解析几何中的定值定点问题

解析几何中的定值定点问题

一、定点问题

【例1】．已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>

，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆

与直线0x y -+=相切． ⑴求椭圆C 的方程；

⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；

⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．

解：⑴由题意知c e a ==2222

2234c a b e a a -===

，即224a b =

，又因为1b ==，所以22

4,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214

x y +=．

⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22

(4)14

y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意，

所以直线PN

的斜率的取值范围是0k <<

或0k <． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为21

2221

()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221

()

y x x x x y y -=-

+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②

由得①2212122232644

,4141k k x x x x k k -+==

++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．

【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M

到点()1,0F

，)

2

,0F 的距离之和是4，点M 的轨

迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；

⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．

解：⑴∵点M

到(),0

，)

,0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x

轴上焦中为的椭圆，其方程为2

214

x y +=．

⑵将y kx b =+，代入曲线C

的方程，整理得22(14)40k x +++= ，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y

，则12x x +=，12

2

4

14x x k =+ ② 且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．

将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或6

5b k =．经检验，

都符合条件①，当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛

⎫=+=+ ⎪⎝

⎭．

显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫

- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点

6,05⎛⎫

- ⎪⎝⎭

点． 【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15

92

2=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、

),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。

（1）设动点P 满足42

2

=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设3

1

,221=

=x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。

【解析】 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。

解：（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。

由42

2=-PB PF ，得2

2

2

2

(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得92

x =

。

故所求点P 的轨迹为直线92

x =。 （2）将31,221=

=x x 分别代入椭圆方程，以及0,021<>y y 得：M （2，53）、N （13，209

-） 直线MTA 方程为：03

52303

y x -+=

+-，即113y x =+， 直线NTB 方程为：03

2010393

y x --=

---，即5562y x =-。 联立方程组，解得：7103x y =⎧⎪

⎨=⎪⎩

，

所以点T 的坐标为10(7,

)3

。 （3）点T 的坐标为(9,)m

直线MTA 方程为：

03093y x m -+=-+，即(3)12m

y x =+，

直线NTB 方程为：03093y x m --=

--，即(3)6

m

y x =-。 分别与椭圆1592

2=+y x 联立方程组，同时考虑到123,3x x ≠-≠， 解得：2223(80)40(,)8080m m M m m -++、222

3(20)20(,)2020m m

N m m

--++。 （方法一）当12x x ≠时，直线MN 方程为：22

2

22

2222

203(20)

202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y =，解得：1x =。此时必过点D （1，0）；

当12x x =时，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为D （1，0）。 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）。

（方法二）若12x x =，则由2222

24033608020m m m m

--=++及0m >

，得m = 此时直线MN 的方程为1x =，过点D （1，0）。

若12x x ≠

，则m ≠MD 的斜率222

2

4010802403401

80MD

m

m m k m m

m +==---+，