解析几何中的定点、定值问题(含答案)

解析几何中的定点和定值问题

【教学目标】学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态图形中的几何对象，探究、证明其不

变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中的作用．

【教学难、重点】解题思路的优化． 【教学方法】讨论式 【教学过程】 一、基础练习

1、过直线4x =上动点P 作圆224O x y +=：的切线PA PB 、，则两切点所在直线AB 恒过一定点．此定点的坐标为_________． 【答案】(1,0)

【解析】设动点坐标为(4,t P ），则以OP 直径的圆C 方程为：(4)()0x x y y t -+-= ， 故AB 是两圆的公共弦，其方程为44x ty +=． 注：部分优秀学生可由200x x y y r += 公式直接得出． 令4400x y -=⎧⎨=⎩

得定点(1,0).

2、已知PQ 是过椭圆22:21C x y +=中心的任一弦，A 是椭圆C 上异于P Q 、的任意一点．若

AP AQ 、 分别有斜率12k k 、 ，则12k k ⋅=______________．

【答案】-2

【解析】设00(,),(,)P x y A x y ，则(,)Q x y --

220001222

000y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，

又由A 、P 均在椭圆上，故有：22

0022

21

21

x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，

两式相减得2

2

2

2

002()()0x x y y -+-= ，22

0122

2

02y y k k x x

-⋅==-- 3，过右焦点F 作不垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点， AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则_______.1=24

e

【解析】

设直线AB 斜率为k ，则直线方程为()3y k x =-,

与椭圆方程联立消去y 整理可得()

22223424361080k x k x k +-+-=,

则22121222

2436108

,3434k k x x x x k k -+==

++, 所以122

1834k

y y k

-+=

+, 则AB 中点为222129,3434k k k k ⎛⎫

- ⎪++⎝⎭

. 所以AB 中垂线方程为22291123434k k y x k k k ⎛⎫

+=-- ⎪++⎝⎭, 令0y =,则2

2334k x k =+,即22

3,034k N k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭, 所以2222

39(1)

33434k k NF k k

+=-=++.

()

22

36134k AB k +=

=+,所以14

NF AB =.

F A ,是其左顶点和左焦点，P 是圆222b y x =+

上的动点，若PA

PF

=常数，则此椭圆的离心率是

【答案】e =2

1

5- 【解析】 因为

PA

PF

=常数，所以当点P 分别在（±b，0）时比值相等，

2

b a

c =， 又因为2

2

2

b a

c =-， 所以22

0a c ac --=

同除以a 2

可得e 2

+e -1=0，解得离心率e =2

1

5-． 二、典例讨论 例１、

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22

142

x y +=的左顶点为A ，过原点O 的直线（与

坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点． 试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．

分析一：

设PQ 的方程为y kx =，设点()00,P x y （00x >），则点()00,Q x y --．

联立方程组22,24y kx x y =⎧⎨+=⎩

消去y 得2

2

412x k =+．

所以0x

，则0y =

．

所以直线AP

的方程为)2y x =

+．从而

M ⎛⎫

⎝

同理可得点N ⎛

⎫ ⎝． 所以以MN

为直径的圆的方程为2

(0x y y ++

=

整理得：22

20x y y +--=

由22200

x y y ⎧+-=⎨=⎩

，可得定点(0)F 分析二：

设P （x 0，y 0），则Q （﹣x 0，﹣y 0），代入椭圆方程可得22

0024x y +=．由直线PA 方程为：

00(2)2y y x x =

++，可得0020,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理由直线QA 方程可得0020,2y N x ⎛⎫

⎪-⎝⎭

，可得以MN 为直径的圆为2

000022022y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫

+-

⋅-= ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭

，

整理得：2

2

2

002

0002240224y y y x y y x x x ⎛⎫+-++= ⎪+--⎝⎭

由于22

0042x y -=-，代入整理即可得22

002

04204x y x y y x ⎛⎫

+--=

⎪-⎝⎭

此圆过定点(0)F ． 分析三： 易证：2212

AP AQ

b k k a =-=-，

故可设直线AP 斜率为k ，则直线AQ 斜率为1

2k

-

. 直线AP 方程为(2)y k x =+，从而得(0,2)M k ，以12k -

代k 得10,N k ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭