解析几何中的定点、定值问题(含答案)
(完整)解析几何中的定点和定值问题
解析几何中的定点定值问题考纲解读:定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。
此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆,圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。
考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。
一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系,通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
例1、已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p 〉0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点,解析： 设A （121,2y p y ),B （222,2y py ）,则212tan ,2tan y py p ==βα，代入1)tan(=+βα 得221214)(2p y y y y p -=+ (1） 又设直线AB 的方程为b kx y +=，则022222=+-⇒⎩⎨⎧=+=pb py ky pxy bkx y ∴kpy y kpby y 2,22121=+=，代入(1）式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点(-)2,2p p说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。
例2．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ,M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围;⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：⑴由题意知c e a ==,所以22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ①联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得:2222(41)324(161)0k x k x k --+-=, 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意,所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <<． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ,则11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--， 令0y =,得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理,得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程;⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系,并证明直线l 过定点．解:⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4,焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C 的方程，整理得22(14)40k x +++= ,因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ①设()11,P x y ,()22,Q x y ，则1228214k x x k +=-+，122414x x k =+ ② 且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验,都符合条件①，当2b k =时,直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然,此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是:65b k =,且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图,已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ,其中m 〉0,0,021<>y y .(1）设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标; （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关)。
难点2.10 解析几何中的定值、定点和定线问题 (解析版)
解析几何中的定值、定点、定线问题仍是高考考试的重点与难点，该类问题知识综合性强,方法灵活,对运算能力和推理能力要求较高,因而成为了高中数学学习的重点和难点.主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查定值、定点、定线问题，试题难度较大．定点、定值、定线问题都是探求"变中有不变的量".因此要用全面的、联系的、发展的观点看待并处理此类问题.从整体上把握问题给出的综合信息,并注意挖掘问题中各个量之间的相互关系,恰当适时地运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法. 在解答这类问题过程中，既有探索性的历程，又有严密的逻辑推理及复杂的运算，成为考查学生逻辑思维能力、知识迁移能力和运算求证能力的一道亮丽的风景线，真正体现了考试大纲中“重知识，更重能力”的指导思想．复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去.解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用．1解析几何中的定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的.同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索.如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效.例1【百校联盟2018届一月联考】已知点()0,2F ，过点()0,2P -且与y 轴垂直的直线为1l ， 2l x ⊥轴，交1l 于点N ，直线l 垂直平分FN ，交2l 于点M .（1）求点M 的轨迹方程；（2）记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点()()1122,,,A x y B x y ，且2211x x m-=+（m 为常数），直线l '与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问ABC ∆的面积是否为定值.若为定值，求出ABC ∆的面积；若不是定值，说明理由.思路分析：（1）根据抛物线的定义可得点M 的轨迹，根据待定系数法可得轨迹方程．（2）设直线AB 的方程为y kx b =+，与抛物线方程联立消元后可得AB 中点()24,4Q k k b +的坐标为．同样设出切线方程y kx t =+，与抛物线方程联立消元后可得切点C 的坐标为()24,2k k ，故得CQ ⊥ x 轴．于是点评：圆锥曲线中求定值问题常见的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)由题意得到目标函数，直接通过推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到目标函数的取值与变量无关，从而证得定值．定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现. 定值问题的主要处理方法是函数方法，首先，选择适当的量为变量，然后把证明为定值的量表示为上述变量的函数（可能含多元），最后把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值.消去变量的过程中，经常要用到点在曲线上进行坐标代换消元.有时先从特殊情形入手，求出定值，再对一般情形进行证明，这样可使问题的方向更加明确.另外关注图形的几何性质可简化计算.学*科网2解析几何中的定点问题定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题，一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决.定点问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点问题的证明．难度较大．定点问题是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．解析几何中的“定点”问题一般是在一些动态事物(如动点、动直线、动弦、动角、动轨迹等)中,寻求某一个不变量——定点，由于这种问题涉及面广、综合性强.例2【河南省中原名校2018届第五次联考】已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为G ，直线FG 与直线30x y -=垂直，椭圆E 经过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点F 作椭圆E 的两条互相垂直的弦,AB CD ．若弦,AB CD 的中点分别为,M N ，证明：直线MN 恒过定点．思路分析：（1）根据直线FG 与直线30x y -=垂直可得3b c =，从而得到2243a b =，再由点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上可求得22,a b ，即可得椭圆的方程．（2）当直线AB CD ，的斜率都存在时，设AB 的方程为()10x my m =+≠，与椭圆方程联立消元后根据根据系数的关系可得点M 的坐标，同理可得点N 坐标，从而可得直线MN 的方程，通过此方程可得直线过定点4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭．然后再验证当直线AB CD 或的斜率不存在时也过该定点．点评：本题考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式,属难题；解决圆锥曲线定点方法一般有两种：（1）从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 定点定值问题的实质为等式恒成立，方法为待定系数法.定点问题，关键在于寻找题中的已知量、未知量间的平行、垂直关系或是方程、不等式，然后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系的问题来解决.定值问题，关键在于选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义、方程、几何性质，再用韦达定理等方法导出所求定值关系式需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果. 圆锥曲线中的定点问题是高考中的常考题型，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是数形结合思想、分类讨论思想的考查．求解的方法有以下两种：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．学*科网3解析几何中的定线问题 定线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．例3在平面直角坐标系xOy 中,过点()2,0C 的直线与抛物线24y x =相交于,A B 两点,()()1122,,,A x y B x y .（1）求证:12y y 为定值；（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由.思路分析：（Ⅰ）设出过点()2,0C 的直线方程，与抛物线方程联立消去未知数x ，由根与系数关系可得128y y =-为定值；（Ⅱ）先设存在直线l ：a x =满足条件，求出以AC 为直径的圆的圆心坐标和半径，利用勾股定理求出弦长表达式222124(1)84r d a x a a -=--+-，由表达式可知，当1a =时，弦长为定值.点评：本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系,属难题；解决圆锥曲线定值定点方法一般有两种：（1）从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 学*科网综上所述：解决圆锥曲线问题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的. 定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解思想是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．解析几何中的定值问题是指某些几何量、线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 证明直线过定点的解题步骤可以归纳为：一选、二求、三定点.具体操作程序如下：一选：选择参变量.需要证明过定点的直线往往会随某一个量的变化而变化，可选择这个量为参变量（当动直线牵涉的量比较多时，也可以选择多个参变量）. 二求：求出动直线的方程.求出只含上述参变量的动直线方程，并由其他辅助条件减少参变量的个数，最终使动直线的方程的系数中只含有一个参变量. 三定点：求出定点的坐标.不妨设动直线的方程中含有变量，把直线方程写成的形式，然后解关于的方程组得到定点的坐标. 解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整性．。
定点定值
x=a 2E K DBAF g l Oy x解析几何中的定点、定值问题阳信一中 郑振华有关解析几何的问题中,常常涉及到证明直线过定点、两直线相交于定点、动圆过定点及两变量的和、差、积或两向量的数量积为定值的问题,对于每类问题如何解决,笔者给出了以下例题,以期能起到“以点带面”之功效. 一、共点直线系例1.已知(1)(1)20m x m y m +---=为直线l 的方程,求证：不论m 取任何实数,直线l 必过定点,并求出这个定点的坐标.证明:方法一:由直线l 的方程得20mx my m x y --++=,即(2)0m x y x y --++=. 当20x y --=且0x y +=时, 不论m 取任何实数方程恒成立,故直线l 必过定点解方程组200x y x y --=⎧⎨+=⎩得11x y =⎧⎨=-⎩,即定点坐标为(1,1)-.方法二: 由直线l 的方程得20mx my m x y --++=,(1)(1),m x m m y m ∴+-=-+(1)1(1)1,(1)(1)(1)(1)m x m m y m m x m m y m +--=-+-+-+=-+-,即11(1)(1),1m y x m m ++=-≠-因此当1m ≠时,直线l 必过定点(1,1).-当1m =时,原直线l 的方程为1,x =同样过点(1,1).- 综上所述,不论m 取取任何实数,直线l 必过定点(1,1).-【点评】(1)若直线方程中含有参数m ,可将方程整理成(,)(,)0f x y m x y ϕ+=的形式, 令(,)0(,)0f x y x y ϕ=⎧⎨=⎩,解得0x x y y =⎧⎨=⎩.则直线恒过点00(,)x y .(2)共点直线系:00()[y y k x x -=-定点00(,),x y k 为变数],表示一束过定点00(,)x y 的直线系(不包括直线0)x x =二、两动直线相交于定点(两变量的差为定值) 例2.已知直线l :1x my =+过椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的右焦点F ,且交椭圆C 于,A B 两点,点,,A F B 在直线2:g x a =上的射影依次为点,,D K E .连结,AE BD ,证明:当m 变化时,直线,AE BD 相交于一定点. 证明:因为(1,0)F ,所以2(,0).K a先探索:当0m =时,直线l ⊥x 轴,此时四边形A B E D 为矩形, 由对称性知,,AE BD 相交于F K 的中点21(,0).2a N +猜想: 当m 变化时,直线,AE BD 相交于一定点21(,0).2a N +证明:设22112212(,),(,),(,),(,).A x y B x y D a y E a y 首先证明当m 变化时,直线AE 过定点N .由22221,1,x m y x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得2222222()2(1)0.a b m y m b y b a +++-= 222224(1)0(1),a b a m b a ∆=+->>22212122222222(1),.mbb a y y y y a b ma b m-+=-=++12221,.1122AN EN y y k k a a m y --==---122211122AN EN y y k k a a m y --∴-=----22222121222222222221112(1)1()()221111()()2222a m bb a a m y y m y y a b m a b ma a a a m y m y -----+-++==------ 22222222212(1)2(1)0.1(1)()()2m a b m a b a a my a b m ---==---+,AN EN k k ∴=故,,A E N 三点共线;同理可证,,B D N 三点共线.所以,当m 变化时,直线,AE BD 相交于一定点.【点评】(1)若曲线在一般情况下具有某一性质,则在特殊情形下一定具有该性质,故上述例题首先取一特殊情况(直线斜率不存在)求出定点,然后给出一般情况下的证明. (2)证三条直线共点时,可首先证明两直线相交于一点,再证第三条直线过交点;同理,证明两直线相交于一点,可先证明一直线过定点,再证另一直线也过该点. 三、动圆恒过定点 例3已知椭圆22142xy+=,点P 是椭圆上异于顶点的任意一点,过点P 作椭圆的切线l ,交y轴与点,A 直线l '过点P 且垂直与l ,交y 轴与点.B 试判断以AB 为直径的圆能否经过定yxPQOBAy xBAPO 点？若能,求出定点坐标;若不能,请说明理由.解:设点0000(,)(0,0)P x y x y ≠≠,直线l 的方程为00(),y y k x x -=-代入22142xy+=,整理得2220000(34)8()4()120k x k y kx y kx ++-+--=.0x x =是方程的两个相等实根,00028()2,34k y kx x k-∴=-+解得003.4x k y =-[或根据234(0)2y x y =->求导解得]∴∴直线l 的方程为00003().4x y y x x y -=--令0x =,得点A 的坐标为220043(0,).4y x y +又222200001,4312,43x y y x +=∴+=∴点A 的坐标为03(0,).y又直线l '的方程为00004(),3y y y x x x -=-令0x =,得点B 的坐标为0(0,),3y -∴以AB 为直径的圆方程为003()()0,3y x x y y y ⋅+-⋅+=整理得2203()10.3y x y y y ++--=由2210,0x y y ⎧+-=⎨=⎩得1.0x y =±⎧⎨=⎩ ∴以AB 为直径的圆恒过定点(1,0)-和(1,0).【点评】过圆C ：220x y Dx Ey F ++++=与直线:0l Ax By C ++=交点的圆系方程为： 22()0x y D x Ey F Ax By C λ+++++++=.交点坐标由2200Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩解得 四、动点在某定直线上 例4.设椭圆C :221,42xy+=当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点,A B 时，在线段AB 上取点Q ,满足||||||||.A P Q B A Q P B ⋅=⋅证明:点Q 总在某定直线上.证明:设点,,Q A B 的坐标分别为1122(,),(,),(,).x y x y x y由题设知||,||,||,||AP PB AQ Q B 均不为零,记||||,||||AP AQ PB QB λ==则0λ>且 1.λ≠又,,,A P B Q 四点共线, 从而,.AP PB AQ Q B λλ=-=于是12124,1.11x x y y λλλλ--==--1212,1.11x x y y x λλλλ++==++从而2221224,1x x x λλ-=- ①2221221y y y λλ-=-. ②又点,A B 在椭圆C 上,即221124,x y += ③ 22222 4.x y += ④①+2⨯②并结合③,④得42 4.x y +=即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上. 【点评】(1)解答本题有两个关键，一是将向量模之间的关系转化成向量之间的线性关系，从而得到动点、定点之间的坐标关系；二是如何合理整合各关系式.（2）圆锥曲线上的动点满足三个基本条件:①动点满足曲线定义的几何条件;②动点满足曲线的几何性质;③动点坐标满足标准方程的代数条件.应充分利用这些特征,根据函数与方程思想和几何性质处理有关“定”的问题. 五、两变量的和为定值例5.已知抛物线:C 24,x y =其焦点为F ,过点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点,交抛物线的准线l 于点,N 已知12,,NA AF NB BF λλ==求证:12λλ+为定值.证明:方法一:如图所示,设直线AB 的方程为11221,(,),(,),y kx A x y B x y =+则2(,1).N k--联立方程组24,1x yy kx ⎧=⎨=+⎩消去y 得22440,(4)160,x kx k --=∆=-+>故12124, 4.x x k x x +==-由12,NA AF NB BF λλ==得11122222,,x x x x kkλλ+=-+=-整理得1212221,1.kx kx λλ=--=--故12122112()kx x λλ+=--+1212224220.4x x k k x x k +=--⋅=--⋅=- 方法二:由已知12,,NA AF NB BF λλ==得120.λλ⋅<于是12||||,||||NA AF NB BF λλ=-①如图,过,A B 两点分别作准线l 的垂线,垂足 分别为11,A B ,则有11||||||,||||||AA NA AF NB BB BF ==② 由①、②得120.λλ+=【点评】如何利用题设条件中向量之间的线性关系,本例给出了启示,即根据向量平行将 12,λλ用坐标表示出来,进而化简整理证得;另利用初中所学的平面几何知识解决有关直线与抛物线的位置关系问题,有时可将解答过程大大简化. 六、两变量的积为定值 例6.已知曲线1C :22221(0,0)x y b a y ab+=>>≥与抛物线2C :22(0)x py p =>的交点分别为,A B (点A 在点B 左边),曲线1C 和抛物线2C 在点A 处的切线分别为12,,l l 且12,l l 的斜率分别为12,.k k 当b a为定值时,求证;12k k ⋅为定值(与p 无关),并求出这个定值.证明:设点A 的坐标为00(,),x y 曲线1C 的方程可写成:222200,,b b y a x y a x aa=-∴=-所以002001222220|()|.x x x x bx b x bx k y a y a a xa a x=='==-=-=---200122()x x b k k ay p⋅=-⋅⋅=又002021|()|,2x x x x x k y x pp==''===所以200122()x x b k k ay p⋅=-⋅⋅=222222x b b apy a-⋅=-为定值.【点评】由题意,两直线斜率都可通过求导求的,相乘约分即可求出定值,但复合函数的求导问题值得关注. 七、数量积为定值 例7.已知椭圆C :221,2xy +=点M 的坐标为5(,0)4,过椭圆右焦点F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,对于任意的,k R ∈M A M B ⋅是否为定值？若是求出这个定值;若不是,请说明理由.解析:由已知得(1,0),F 直线l 的方程为(1).y k x =-由22(1),12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得 2222(21)42(1)0,k x k x k +-+-=设1122(,),(,),A x y B x yF 2F 1yxBA P则2212122242(1),.2121kk x x x x k k -+==++112255(,)(,)44M A M B x y x y ∴⋅=-- 121255()()44x x y y --+2121255()()(1)(1)44x x k x x =--+--2221212525(1)()()416k x x k x x k=+-++++222222254()22254(1)212116k k k k k k k +-=+-++++2242257.211616k k --=+=-+由此可知,716M A M B ⋅=- 为定值. 【点评】证明数量积为定值,首先将向量用坐标表示,而进行怎样的转化,如何利用题设条件是证明的关键.八、直线斜率为定值 例8.已知椭圆22124xy+=的上、下焦点为12,,F F 点P 在第一象限且是椭圆上的点，并满足121PF PF ⋅=,过P 作倾斜角互补的两条直线,PA PB 分别交椭圆于,A B 两点. 求证:直线AB 的斜率为定值.证明;由题意可得12(0,2),(0,2),F F -设0000(,)(0,0),P x y x y >>则100200(,2),(,2),P F x y P F x y =--=---221200(2)1,PF PF x y ∴⋅=--= 又点00(,)P x y 在椭圆上,所以22001,24x y += 所以224,2y x -=从而2204(2)1,2y y ---=得0 2.y =则点P 的坐标为(1,2).因为直线P A 、P B 的斜率比存在,故不妨设直线P B 的斜率为(0)k k >,则直线P B 的方程为:2(1).y k x -=-由222(1),124y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得 222(2)2(2)(2)40,k x k k x k ++-+--=设(,),(,),B B A A B x y A x y则22222(2)2(2)2221,1,222B B k k k k k k x x kkk----+==-=+++同理可得22222,2A k k x k+-=+则242,2A B k x x k -=+28(1)(1).2A B A B k y y k x k x k-=----=+所以直线AB 的斜率2A B AB A By y k x x -==-为定值.【点评】(1)若已知条件中的曲线满足某些特殊位置关系(本例中的倾斜角互补),则与这些曲线相关的点也可能较“特殊”.(2)当两直线的斜率满足120k k +=或121k k =-等关系时，若通过整理运算得到一关于1k 的关系式，关于2k 的关系式即用2k -或21k -代替上式中的1k 便可求的.。
探究解析几何中的定点、定值问题
解题篇经典题突破方法高考数学2021年4月探究解析几何中的定点.定值问题■浙江省湖州市第二中学曹亚奇定点与定值问题是解析几何中的高频考点。
此类问题定中有动，动中有定，并常与轨迹问题、曲线系问题等相结合，综合性强，解法灵活多变。
求解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能合理猜想并仔细推理论证，对熟练运用所学知识分析问题、解决问题的能力要求较高，所以掌握这类问题的通性通法是我们学习的重中之重。
一.直线的定点问题我们知道，若一条直线经过一定点，往往表达成如下形式：（1）夕=也7+1；（2）夕=足2—冷；（3）夕一1=忌（工一1）；（4）Cm—1）rr+（2?n—1）»=?n—5。
于是我们最终需要表达的直线的方程是含有一个参数，那又该如何做到呢？下面让我们以一道经典习题为例，从“线设”、“点设”、“共线”等三个视角入手，寻求直线中定点问题的通性通法。
侧f（武汉市2020届高中毕业生质量检测第19题）已知抛物线r iy2=2p^ S>0）的焦点为F,P是抛物线。
上一点，且在第一象限，满足FP=（2,2/3）o（1）求抛物线r的标准方程。
（2）已知过点A（3,-2）的直线交抛物线r于M,N两点，经过定点B（3,—6）和M点的直线与拋物线「交于另一点试问：直线NL是否恒过定点？若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由。
解析：（1）抛物线r的标准方程为y2= 4工。
（过程略）（2）解法1：设M（?“），则直线MN：工一护T-33=上+2（夕+2），与抛物线方程y2=4鼻联立竹*f2护—122t2-\~X2t,r并化简得:y y-=0,故y N=t2_12_2e+12_“+6\27+2"—t=—匚卡-，心=（石巨），即N（（爭）1—帚）。
同理直线辺山—3 *2_1O=17+24^+6）,与抛物线方程宁=4工联立，得叫峯广-罟）。
于是直线N“+6^+122z+122e+12_e+6t~\~2（（e+6）2、…i+2=（卄6）2（3£+6尸严―q+2）2丿，化（卄2）2—（卄6）2简整理得’=_（霁+霁寻»_3,所以直线NL过定点（一3,0）。
江苏高考 解析几何 定值定点问题 含答案解析
第2课时 定点、定值问题题型一 定点问题例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(1)解 由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝－8km ±16(4k 2－m 2＋1)2(4k 2＋1)， 所以x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2.由题设知k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)· 4m 2－44k 2＋1＋(m －1)· －8km4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 跟踪训练1 已知焦距为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，直线y ＝43与椭圆C交于P ，Q 两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形． (1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .①若直线l 过原点且与坐标轴不重合，E 是直线3x ＋3y －2＝0上一点，且△EMN 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，求k 的值；②若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM ，点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点． (1)解 由题意可得2c ＝22，即c ＝2， 设Q ⎝⎛⎭⎫n ，43，因为四边形ABPQ 为平行四边形， PQ ＝2n ，AB ＝a －n ，所以2n ＝a －n ，n ＝a 3，则⎝⎛⎭⎫a 32a 2＋169b2＝1，解得b 2＝2，a 2＝b 2＋c 2＝4， 可得椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①解 将直线y ＝kx (k ≠0)代入椭圆方程， 可得(1＋2k 2)x 2＝4， 解得x ＝±21＋2k2，可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k 2，2k 1＋2k 2， 由E 是3x ＋3y －2＝0上一点， 可设E ⎝⎛⎭⎫m ，23－m ⎝⎛⎭⎫m ≠0，且m ≠23， E 到直线kx －y ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪km ＋m －231＋k2，因为△EMN 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形， 所以OE ⊥MN ，OM ＝d ， 即有23－m m ＝－1k，①4＋4k21＋2k 2＝⎪⎪⎪⎪km ＋m －231＋k2，②由①得m ＝2k3(k －1)(k ≠1)，代入②式，化简整理可得7k 2－18k ＋8＝0，解得k ＝2或47.②证明 由M (－2,0)，可得直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，代入椭圆方程可得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， 解得x N ＝2－4k 21＋2k 2，y N ＝k (x N ＋2)＝4k1＋2k 2，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2， 设G (t,0)(t ≠－2)，由题意可得D (2,4k )，A (2,0)， 以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点， 可得AN ⊥DG ，即有AN →·DG →＝0，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2·(t －2，－4k )＝0，解得t ＝0. 故点G 是定点，即为原点(0,0)．题型二 定值问题例2 (2018·苏锡常镇模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A .(1)求该椭圆的方程；(2)如图，过点D (2，－2)作直线PQ 交椭圆于两个不同点P ，Q ，求证：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值．(1)解 由题意可知，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点在x 轴上，2c ＝2，c ＝1，椭圆的离心率e ＝c a ＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，则椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，A (2，0)， 由题意知直线PQ 斜率存在， 设其方程为y ＝k (x －2)－2，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)－2，x 22＋y 2＝1，整理得(2k 2＋1)x 2－(42k 2＋42k )x ＋4k 2＋8k ＋2＝0.所以x 1,2＝(42k 2＋42k )±[－(42k 2＋42k )]2－4(2k 2＋1)(4k 2＋8k ＋2)2(2k 2＋1)，所以x 1＋x 2＝42k 2＋42k 2k 2＋1，x 1x 2＝4k 2＋8k ＋22k 2＋1， 则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－22k －22＝－22－22k2k 2＋1，则k AP ＋k AQ ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2.由y 1x 2＋y 2x 1＝[k (x 1－2)－2]x 2＋[k (x 2－2)－2]x 1 ＝2kx 1x 2－(2k ＋2)(x 1＋x 2)＝－4k2k 2＋1， k AP ＋k AQ ＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2＝－4k2k 2＋1－2×－22－22k 2k 2＋14k 2＋8k ＋22k 2＋1－2×42k 2＋42k2k 2＋1＋2＝1，∴直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1.思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．跟踪训练2 (2018·南通考试)如图，已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝4，过点P (0,1)的直线与圆O 交于点A ，B ，与x 轴交于点Q ，设QA →＝λP A →，QB →＝uPB →，求证：λ＋u 为定值．证明 当AB 与x 轴垂直时，此时点Q 与点O 重合， 从而λ＝2，u ＝23，λ＋u ＝83.当点Q 与点O 不重合时，直线AB 的斜率存在． 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则Q ⎝⎛⎭⎫－1k ，0. 由题设，得x 1＋1k ＝λx 1，x 2＋1k＝ux 2，即λ＝1＋1x 1k ，u ＝1＋1x 2k.所以λ＋u ＝1＋1x 1k ＋1＋1kx 2＝2＋x 1＋x 2kx 1x 2，将y ＝kx ＋1代入x 2＋y 2＝4，得(1＋k 2)x 2＋2kx －3＝0， 则Δ>0，x 1,2＝－2k ±4k 2＋12(1＋k 2)2(1＋k 2)， x 1＋x 2＝－2k1＋k 2，x 1x 2＝－31＋k2， 所以λ＋u ＝2＋－2k1＋k 2k · ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋k 2＝83. 综上，λ＋u 为定值83.直线与圆锥曲线的综合问题数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．例 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连结PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k 2≠0，证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值． 解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .由题意知2b 2a ＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)， 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为1PF l ：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0，2PF l ：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0.由题意知|my 0＋3y 0|y 20＋(x 0＋3)2＝|my 0－3y 0|y 20＋(x 0－3)2.由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1. 所以|m ＋3|⎝⎛⎭⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝⎛⎭⎫32x 0－22.因为－3<m <3，－2<x 0<2， 可得m ＋332x 0＋2＝3－m 2－32x 0，所以m ＝34x 0，因此－32<m <32.(3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)． 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0)，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0. 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0. 又x 24＋y 20＝1，所以16y 02k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0，所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0· 2x 0y 0＝－8，因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.素养提升 典例的解题过程体现了数学运算素养，其中设出P 点的坐标而不求解又体现了数学运算素养中的一个运算技巧——设而不求，从而简化了运算过程．1．(2019·江苏省明德实验学校调研)如图，已知A ，B 是圆x 2＋y 2＝4与x 轴的交点，P 为直线l ：x ＝4上的动点，P A ，PB 与圆的另一个交点分别为M ，N .(1)若P 点坐标为(4,6)，求直线MN 的方程； (2)求证：直线MN 过定点．(1)解 由题意可知直线P A 的方程为y ＝x ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x 2＋y 2＝4，解得M (0,2)，直线PB 的方程为y ＝3x －6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －6，x 2＋y 2＝4，解得N ⎝⎛⎭⎫85，－65，所以MN 的方程为y ＝－2x ＋2， 即2x ＋y －2＝0.(2)证明 设P (4，t )，则直线P A 的方程为y ＝t6(x ＋2)，直线PB 的方程为y ＝t2(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝t 6(x ＋2)，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫72－2t 236＋t 2，24t 36＋t 2， 同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2－84＋t 2，－8t 4＋t 2， 直线MN 的斜率k ＝24t36＋t 2－－8t4＋t 272－2t 236＋t 2－2t 2－84＋t 2＝8t 12－t2， 直线MN 的方程为y ＝8t 12－t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2t 2－84＋t 2－8t4＋t 2， 化简得y ＝8t 12－t 2x －8t12－t 2， 所以直线MN 过定点(1,0)．2．设F 1，F 2为椭圆C ：x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，M 为椭圆上一点，满足MF 1⊥MF 2，已知△MF 1F 2的面积为1. (1)求C 的方程；(2)设C 的上顶点为H ，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R ，S 两点(异于H )，求证：直线HR 和HS 的斜率之和为定值，并求出这个定值． 解 (1)由椭圆定义得MF 1＋MF 2＝4，①由垂直得MF 21＋MF 22＝F 1F 22＝4(4－b 2)，②由题意得12MF F S＝12MF 1· MF 2＝1，③ 由①②③，可得b 2＝1，C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意，H (0,1)，显然直线的斜率存在且不为0，设直线RS 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，因为直线RS 过点(2，－1)，所以－1＝2k ＋m ，即2k ＝－m －1，代入椭圆方程化简得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题意知，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，设R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，故x 1,2＝－8km ±16(4k 2－m 2＋1)2(4k 2＋1)， 所以x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1. k HR ＋k HS ＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2k ＋(m －1)x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(m －1)－8km 4m 2－4＝2k －2kmm ＋1＝2k m ＋1＝－1. 故k HR ＋k HS 为定值－1.3．(2018·苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－3,4)，B (9,0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC ＝BD .(1)若AC ＝4，求直线CD 的方程；(2)求证：△OCD 的外接圆恒过定点(异于原点O )．(1)解 由题意可知OA ＝5，因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝⎛⎭⎫－35，45， 由题意可知D (5,0)，显然，直线CD 的斜率存在，设直线CD 的方程为y ＝kx ＋b ，将C ，D 两点坐标代入方程得直线CD 的方程为x ＋7y －5＝0.(2)证明 设C (－3m,4m )(0<m ≤1)，则OC ＝5m .则AC ＝OA －OC ＝5－5m ，所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4，所以D 点坐标为(5m ＋4,0)．设△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ F ＝0，9m 2＋16m 2－3mD ＋4mE ＋F ＝0，(5m ＋4)2＋(5m ＋4)D ＋F ＝0，所以△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2－4x －3y －5m (x ＋2y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0， 解得x ＝0，y ＝0(舍)或x ＝2，y ＝－1.△OCD 的外接圆恒过定点(2，－1)．4．已知动圆E 经过定点D (1,0)，且与直线x ＝－1相切，设动圆圆心E 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设过点P (1,2)的直线l 1，l 2分别与曲线C 交于A ，B 两点，直线l 1，l 2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB 的斜率为定值．(1)解 由已知，动点E 到定点D (1,0)的距离等于E 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义知E 点的轨迹是以D (1,0)为焦点，以x ＝－1为准线的抛物线，故曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 由题意直线l 1，l 2的斜率存在，倾斜角互补，得斜率互为相反数，且不等于零． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 1的方程为y ＝k (x －1)＋2，k ≠0.直线l 2的方程为y ＝－k (x －1)＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)＋2，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2－4k ＋4)x ＋(k －2)2＝0，Δ＝16(k －1)2>0，∴x 1＝k 2－4k ＋4k 2， 同理x 2＝k 2＋4k ＋4k 2， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋8k 2，x 1－x 2＝－8k k 2＝－8k， ∴y 1－y 2＝[k (x 1－1)＋2]－[－k (x 2－1)＋2]＝k (x 1＋x 2)－2k＝k · 2k 2＋8k 2－2k ＝8k， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8k －8k＝－1， ∴直线AB 的斜率为定值－1.5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，左顶点M 到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝455，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值．(1)解 由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2， 所以b ＝12a ，即a ＝2b . 由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋y b＝1， 即到直线bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455， 得|b (－a )－ab |a 2＋b 2＝455，即2aba 2＋b 2＝455， 把a ＝2b 代入上式，得4b 25b＝455，解得b ＝1. 所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，由椭圆的对称性，可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2.因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →· OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214＋y 21＝1， 解得|x 1|＝|y 1|＝255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，所以x 1,2＝－8km ±64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)2(1＋4k 2)， 所以x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2. 因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB ，所以OA →· OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，所以(1＋k 2)· 4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0， 整理得5m 2＝4(k 2＋1)，所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255. 综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255.6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过⎝⎛⎭⎫1，32与⎝⎛⎭⎫62，304两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，椭圆C 上一点M 满足MA ＝MB .求证：1OA 2＋1OB2＋2OM 2为定值． (1)解 将⎝⎛⎭⎫1，32与⎝⎛⎭⎫62，304两点代入椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，32a 2＋3016b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 由MA ＝MB ，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知点A ，B 关于原点对称．①若点A ，B 是椭圆的短轴顶点，则点M 是椭圆的一个长轴顶点，此时1OA 2＋1OB 2＋2OM 2＝1b 2＋1b 2＋2a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝76. 同理，若点A ，B 是椭圆的长轴顶点，则点M 是椭圆的一个短轴顶点，此时1OA 2＋1OB 2＋2OM 2＝1a 2＋1a 2＋2b 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝76. ②若点A ，B ，M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则直线OM 的方程为y ＝－1kx ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x 24＋y 23＝1，解得x 12＝123＋4k 2，y 12＝12k 23＋4k 2，所以OA 2＝OB 2＝x 12＋y 12＝12(1＋k 2)3＋4k 2， 同理，OM 2＝12(1＋k 2)4＋3k 2. 所以1OA 2＋1OB 2＋2OM 2＝2×3＋4k 212(1＋k 2)＋2(4＋3k 2)12(1＋k 2)＝76.1 OA2＋1OB2＋2OM2为定值76.综上，。
解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展解答
专题:解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展【问题提出】1.无论k 取任何实数，直线(1 +4k)x-(2 -3k)y+(2 -14k) =0必经过一个定点，则这个定点的坐标为2.已知直线丨：2ax +by-a +b =0 ；圆C : x 2 + y 2 - 2x-1 = 0 ,则直线I 与圆C 的位置关系为=1(a >■ b A 0)，点A,F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是圆PA 若 ——为常数，则椭圆的离心率为PF过点(1, 0).若对任意的实数 m ,定直线 l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线 I 的方程为.2x + y — 2= 0【探究拓展】2探究1：已知F 1、F 2分别为椭圆 G ：詁+詁=1(a Ab 》。
)的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2：x 2=4y 的5焦点，点M是C 1与C 2在第二象限的交点，且阿七.(1) 求椭圆C 1的方程.(2)已知点P(1,3)和圆O ：X 2 +y 2 =b 2,过点P 的动直线I 与圆0相交于不同的两点 A,B ,在线段AB 上取一 点Q ,满足：AP = -A P B ,瓷=Z QB ,( A H 0且A H ±1).求证：点Q 总在某定直线上.4.平面直角坐标系 xOy 中,已知圆C ： x 2+ y 2— (6 — 2m)x — 4my + 5m 2— 6m = 0,直线 I 经 2 2x y3.已知椭圆C : —2 + —2a b2 2 2 O : x + y =b 上的动点,1 4变式1 :在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点A( — 4,0)、B(4,0),动点P 与A 、B 两点连线的斜率之积为①求O M 的方程;直线AF i , AF 2分别交椭圆于点 (1 )求证直线BO 平分线段AC ;(2) 设点P (m , n ) ( m , n 为常数)在直线BO 上且在椭圆外，过P 的动直线(1)求点 p 的轨迹方程;(2)设点 P 的轨迹与y 轴负半轴交于点 C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段 AC 的垂直平分线上，且在 y轴右侧，圆 M 被y 轴截得的弦长为a②当r 变化时，是否存在定直线 I 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线I 的方程；如果不存在，说明理由.2 2X y 变式2 :已知椭圆E : —2 + a b= 1(a Ab >0)的离心率为 弓3 ,它的上顶点为A ,左、右焦点分别为F 1,F 2 ,MP N ,在线段MN 上取点Q ,满足—PN=器，试证明点Q 恒在一定直线上.B ,C .I 与椭圆交于两个不同点 M ,P探究2:平面直角坐标系xoy 中，圆G：(x + 3)2+(y -1)2=4和圆C2：(X-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线I过点A(4,0)，且被圆C I截得的弦长为2J3，求直线I的方程;(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线|1和|2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线|1被圆C1截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.-- ----------- ►A H变式1：在直角坐标系xOy中，点M到点F i(-J3,0)，F2(J3,O)的距离之和为4，点M的轨迹是C，与x轴的负半轴交于点A，轨迹C上有不同的两点P和Q，且AP-AQ-O(1)求轨迹C的方程;(2)直线PQ是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点？若不过定点，请说明理由.变式2:已知圆C:x2+y2=9，点A(—5,0)，直线l :x-2y = 0.(1)求与圆C相切，且与直线I垂直的直线方程;PB (2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B (不同于点A),满足：对于圆C上任一点P ,都有——PA 为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.变式3 :在平面直角坐标系xOy中，已知直线1: 2岳—y+ 3+ 8返=0和圆C1: x2+ y2+ 8x + F= 0.若直线I被圆C i截得的弦长为2j3 .设圆C i和x轴相交于A, B两点，点P为圆C i上不同于A, B的任意一点，直线FA, PB交y轴于M, N两点.当点P变化时，以MN为直径的圆C?是否经过圆C1内一定点?请证明你的结论;变式4:如图，椭圆的中心为原点 O ,离心率e =¥，—条准线的方程为x = 2{2.(1)求该椭圆的标准方程; (2)设动点P 满足：O P = OM + 2ON ，其中M , N 是椭圆上的点，直线 0M 与ON 的斜率之积为一2,问: 是否存在两个定点 F i , F 2，使得|PFJ +|PF 2I 为定值？若存在，求出 F i , F 2的坐标；若不存在，说明理由.5:已知左焦点为F(— 1 , 0)的椭圆过点E(1 , 亜).过点P(1 , 1)分别作斜率为k i , k 2的椭圆的动弦 3 CD ，设M , N 分别为线段AB , CD 的中点. 求椭圆的标准方程； 若P 为线段AB 的中点，求k i ；若k i + k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.变式 AB ,2 2 X y探究 3 :已知椭圆p +笃=1（a；＞bA0）的左顶点为a b+ y2+ J3x -3y -6 = 0过A, F2两点求椭圆标准的方程; A，左、右焦点分别为F1,F2，且圆X2(2) 设直线PF2的倾斜角为a,直线PF1的倾斜角为3,当a,3- a= I n时证明：点P在一定圆上;3变式设椭圆的上顶点为Q,在满足条件（2）的情形下证明: PQ = PF i + PF2 .1:在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（X—1）2+ y2= 4, P为圆C上一点•若存在一个定圆过P作圆M的两条切线PA, PB,切点分别为A, B，当P在圆C上运动时，使得/ APB恒为60。
解析几何中定点、定值、定直线问题
解析几何中定点定值问题例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M 〔0，1〕，过M 的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。
对于给定的实数)1(>a a ，证明：直线AB 过定点。
解：由0MA MB ⋅=知MA MB ⊥，从而直线MA 与坐标轴不垂直， 故可设直线MA 的方程为1y kx =+，直线MB 的方程为11y x k=-+ 将1y kx =+代入椭圆C 的方程，整理得 2222(1)20a k x a kx ++=解得0x =或22221a k x a k -=+，故点A 的坐标为222222221(,)11a k a k a k a k --++ 同理，点B 的坐标为22222222(,)a k k a k a k a-++ 知直线l 的斜率为2222222222222211221k a a k k a a k a k a k k a a k ---++--++=221(1)k a k-+ 直线l 的方程为22222222212()(1)k a k k a y x a k k a k a --=-++++，即222211(1)1k a y x a k a --=-++∴直线l 过定点2210,1a a ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭例3 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. 〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕设M 为椭圆上任意一点，且),(R OB OA OM ∈+=μλλλ，证明22μλ+为定值.〔I 〕解：设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e ab ac b a cba c a cx x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又 〔II 〕证明：由〔I 〕知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x OM μλ+==由已知得设 ⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由〔I 〕知.21,23,23222221c b c a c x x ===+))((33.8321212121222222221c x c x x x y y x x c ba b a c a x x --++=+∴=+-=∴ .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.例4 设21,F F 是椭圆134:22=+y x C 的左右焦点，B A ,分别为左顶点和上顶点，过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于N M ,两点，直线AN AM ,分别与已知直线4=x 交于点Q P ,，试探究以PQ 为直径的圆与直线l 的位置关系.高二数学作业〔13〕1.过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN +-的值为______．82.AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中不平行于对称轴的一条弦，M 是AB 的中点，O 是椭圆的中心，OM AB k k ⋅=______ 22ab -3.在椭圆2212x y +=上，对不同于顶点的任意三个点,,M A B ，存在锐角θ，使OB OA OM θθsin cos +=．则直线OA 与OB 的斜率之积为 . 12-4.如图，AB 是平面α的斜线段．．．，A 为斜足，假设点P 在平面α内运动，使得ABP △的面积为定值，则动点P 的轨迹是 椭圆5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .椭圆14:222=+y x C . 假设M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.解：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON|=1，|OM|=22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =〔显然22||>k 〕，则直线OM 的方程为x y k1-=.由⎩⎨⎧=+=1422y x kxy ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k kON ++=.同理121222||-+=k k OM .设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+，所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d=33.综上，O 到直线MN 的距离是定值.A B P α〔第4题〕6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22143x y +=假设点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M 设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.证明：直线BP 的斜率为1212y k x =-，直线m 的斜率为112m x k y -=,则直线m 的方程为1012(2)x y y x y --=-， 111101111222(2)4(2)2x x x y y x y x y y y x ---=-+=-++ 2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+=++2211111122(4)123(2)x x x x y x y --+-=++=111122x x x y y --+=112(1)x x y -+，所以直线m 过定点(1,0)-．7.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，且过点)21,22(P ，记椭圆的左顶点为.A 〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ，C 两点，试求ABC ∆面积的最大值；〔3〕过点A 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线交椭圆于D ，E 两点，且221=k k ，求证：直线DE 恒过一个定点.高二数学教学案〔13〕例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M 〔0，1〕，过M 的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。
解析几何中的定点、定值问题(含答案)
解析几何中的定点和定值问题【教学目标】学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态图形中的几何对象，探究、证明其不变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中的作用．【教学难、重点】解题思路的优化． 【教学方法】讨论式 【教学过程】 一、基础练习1、过直线4x =上动点P 作圆224O x y +=：的切线PA PB 、，则两切点所在直线AB 恒过一定点．此定点的坐标为_________． 【答案】(1,0)【解析】设动点坐标为(4,t P ），则以OP 直径的圆C 方程为：(4)()0x x y y t -+-= ，？故AB 是两圆的公共弦，其方程为44x ty +=．注：部分优秀学生可由200x x y y r += 公式直接得出． 令4400x y -=⎧⎨=⎩得定点(1,0).2、已知PQ 是过椭圆22:21C x y +=中心的任一弦，A 是椭圆C 上异于P Q 、的任意一点．若AP AQ 、 分别有斜率12k k 、 ，则12k k ⋅=______________．【答案】-2【解析】设00(,),(,)P x y A x y ，则(,)Q x y --220001222000y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，又由A 、P 均在椭圆上，故有：2200222121x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减得2222002()()0x x y y -+-= ，220122202y y k k x x-⋅==-- 3，过右焦点F 作不垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点， ￥AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则_______.1=24e【解析】设直线AB 斜率为k ，则直线方程为()3y k x =-,与椭圆方程联立消去y 整理可得()22223424361080k x k x k +-+-=,则221212222436108,3434k k x x x x k k -+==++, 所以1221834ky y k-+=+, 则AB 中点为222129,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 所以AB 中垂线方程为22291123434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭, 令0y =,则22334k x k =+,即223,034k N k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭, }所以222239(1)33434k k NF k k+=-=++.()2236134k AB k+==+,所以14NF AB =.F A ,是其左顶点和左焦点，P 是圆222b y x =+上的动点，若PAPF=常数，则此椭圆的离心率是【答案】e =215- 【解析】 因为PAPF=常数，所以当点P 分别在（±b ，0）时比值相等，2b ac =， 又因为222b ac =-，:所以220a c ac --=同除以a 2可得e 2+e -1=0，解得离心率e =215-． 二、典例讨论 例１、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22142x y +=的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点． 试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）请证明你的结论．分析一：设PQ 的方程为y kx =，设点()00,P x y （00x >），则点()00,Q x y --．《联立方程组22,24y kx x y =⎧⎨+=⎩消去y 得22412x k =+．所以0x，则0y =．所以直线AP的方程为)2y x =+．从而M ⎛⎫ ⎝同理可得点N ⎛⎫ ⎝． 所以以MN为直径的圆的方程为2(0x y y ++=整理得：2220x y y +--=由22200x y y ⎧+-=⎨=⎩，可得定点(0)F 分析二：设P （x 0，y 0），则Q （﹣x 0，﹣y 0），代入椭圆方程可得220024x y +=．由直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，可得0020,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理由直线QA 方程可得0020,2y N x ⎛⎫⎪-⎝⎭，可得以MN 为直径的圆为2000022022y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫+-⋅-= ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，整理得：2220020002240224y y y x y y x x x ⎛⎫+-++= ⎪+--⎝⎭~由于220042x y -=-，代入整理即可得2200204204x y x y y x ⎛⎫+--= ⎪-⎝⎭此圆过定点(0)F ． 分析三： 易证：2212AP AQb k k a =-=-，故可设直线AP 斜率为k ，则直线AQ 斜率为12k-. 直线AP 方程为(2)y k x =+，从而得(0,2)M k ，以12k -代k 得10,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭故知以MN 为直径的圆的方程为21(2)()0x y k y k+-+= 整理得：2212(2)0x y k y k+-+-=由22200x y y ⎧+-=⎨=⎩，可得定点(0)F . 分析四、、设(0,),(0,)M m N n ，则以MN 为直径的圆的方程为2()()0x y m y n +--=即22()0x y m n y mn +-++= 再由221=2AP AQAM AN b k k k k a =-=-得2mn =-，下略例2、已知离心率为e 的椭圆C (1)e ，和()20，. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知AB MN 、为椭圆C 上的两动弦，其中M N 、关于原点O 对称，AB 过点(1,0)E ，且AB MN 、斜率互为相反数. 试问：直线AM BN 、的斜率之和是否为定值证明你的结论.解析：(1)由题意：222222111a e e b a b ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⎪=⎩⎩~所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (2) 设AB 方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则MN 方程为y kx =-又设33(,)M x kx -，33(,)N x kx -1323132313231323(1)(1)AM BN y kx y kx k x kx k x kx k k x x x x x x x x +--+--+=+=+-+-+则整理得：[]132323131323(1)()(1)()()()AM BN k x x x x x x x x k k x x x x +-++---+=-+212312132322()()()AM BN k x x x x x k k x x x x ⎡⎤+-+⎣⎦+=-+ ①由22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩消元整理得：2222(41)8440k x k x k +-+-=， 所以22121222844,4141k k x x x x k k -+==++ ②又由2244y kxx y =-⎧⎨+=⎩消元整理得： $22(41)4k x +=，所以232441x k =+ ③将②、③代入①式得：0AM BN k k +=.例2(变式)、已知离心率为e 的椭圆C (1)e ，和()20，. (3) 求椭圆C 的方程；(4) 已知AB MN 、为椭圆C 上的两动弦，其中M N 、关于原点O 对称，AB 过定点(,0),(22)E m m -<<，且AB MN 、斜率互为相反数. 试问：直线AM BN 、的斜率之和是否为定值证明你的结论.解析：(3)由题意：22222111a e e b a b ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⎪=⎩⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (4) :(5)设AB 方程为()y k x m =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则MN 方程为y kx =-又设33(,)M x kx -，33(,)N x kx -1323132313231323()()AM BN y kx y kx k k x x x x k x m kx k x m kx x x x x +-+=+-+-+--=+-+则整理得：[]132323131323()()()()()()AM BN k x x m x x x x m x x k k x x x x +-++---+=-+212312132322()()()AM BN k x x x m x x k k x x x x ⎡⎤+-+⎣⎦+=-+ ①由22()44y k x m x y =-⎧⎨+=⎩消元整理得：22222(41)8440k x k mx k m +-+-=， 所以222121222844,4141k m k m x x x x k k -+==++ ②又由2244y kxx y =-⎧⎨+=⎩消元整理得： 22(41)4k x +=，所以232441x k =+ ③]将②、③代入①式得：0AM BN k k +=.三、课外作业1、已知椭圆22+142x y =，A 、B 是其左、右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，连结AM 交椭圆于点P ，在x 轴上有异于点A 、B 的定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP 、MQ 的交点，则点Q 的坐标为____________．【答案】（0,0） 【解析】试题分析：设(2,),M t 则:(2)4tAM y x =+，与椭圆方程联立消y 得2222(8)44320t x t x t +++-=，所以221628P tx t -=+，288Pt y t =+，因此22282816228BP tt k t tt +==---+，即1BP OM k k =-，点Q 的坐标为O （0,0）2、已知PA 、右顶点B 的任意一点，记直线PA ，PB 的斜率分别为1212,,k k k k ⋅则的值为 ． 【答案】13-|【解析】设(,)P x y ，因为P 在椭圆上，所以3、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =12，A,B 是椭圆的左右顶点，P 为椭圆上不同于AB 的动点，直线PA,PB 的倾斜角分别为,αβ，则cos()cos()αβαβ+-= .【答案】7 【解析】试题分析：因为A,B 是椭圆的左右顶点，P 为椭圆上不同于AB 的动点，22PA PBb k k a ∴⋅=-2222211132244c a b b e a a a -=∴=∴=∴=，2234PA PBb k k a ∴⋅=-=-，31cos()cos cos sin sin 1tan tan 473cos()cos cos sin sin 1tan tan 14αβαβαβαβαβαβαβαβ++--====-++- #4、如图所示，已知椭圆C C 上任取不同两点A ，B ，点A 关于x 轴的对称点为'A ，当A ，B 变化时，如果直线AB 经过x 轴上的定点T (1，0)，则直线'A B 经过x 轴上的定点为________．【答案】(4，0)【解析】设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，由22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得(my ＋1)2＋4y 2＝4，即(m 2＋4)y 2＋2my－3＝0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(x 1，－y 1)，且y 1＋y 2＝－224m m +，y 1y 2＝－234m +， 当m ≠0时，经过点A′(x 1，－y 1)，B(x 2，y 2)的直线方程为121y y y y ++＝121x x x x --.令y ＝0，得x ＝2121x x y y -+y 1＋x 1＝2121my my y y -+y 1＋my 1＋1＝2212112121my y my my y my y y －＋＋＋＋1＝12212my y y y ＋＋1＝2232424m m m m ⋅+-+－＋1＝4，所以y ＝0时，x ＝4.当m ＝0时，直线AB 的方程为x ＝1，此时A′，B 重合，经过A′，B 的直线有无数条，当然可以有一条经过点(4，0)的直线．当直线AB 为x 轴时，直线A ′B 就是直线AB ，即x 轴，这条直线也经过点(4，0)．综上所述，当点A ，B 变化时，直线A ′B 经过x 轴上的定点(4，0)．5、 的右焦点2F 的直线交椭圆于于,M N 两点，令*【解析】试题分析：不失一般性，不妨取MN 垂直x 轴的情况，此时MN ：x=1,联立221431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得M （1，32）,N （1，-32），∴m=n=32，∴34mn m n =+6、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）以MN 为直径的圆是否经过定点若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解析：（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． 设椭圆的右焦点为()220F ，，已知点(2B 在椭圆C 上，—由椭圆的定义知122BF BF a +=，所以2a ==．所以a =2b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=． 解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b+=． ②由①②解得，a =2b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=． （Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．]因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =，则0y =．所以直线AE的方程为y x =+．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令0x =得y =，即点M ⎛⎫ ⎝．同理可得点N ⎛⎫ ⎝．所以MN ==．设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为0,P k ⎛- ⎝⎭．【则以MN 为直径的圆的方程为22x y k ⎛++= ⎝⎭2，即224x y y k++=．令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．解法二：因为椭圆C 的左端点为A ，则点A的坐标为()-．因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --．所以直线AE的方程为y x =+．因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =M ⎛⎫⎝． ；同理可得点N ⎛⎫⎝．所以020168yMN x ==-．因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=． 所以08MN y =． 设MN 的中点为P ，则点P的坐标为000,P y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 则以MN为直径的圆的方程为2200x y y ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭2016y ．即22+x y y y +=4． 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为()-．】因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点(),2sin E θθ（0θ<<π），则点(),2sin F θθ--．所以直线AE 的方程为y x =+．因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭．所以2sin 2sin 4cos 1cos 1sin MN θθθθθ=-=+-．设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为2cos 0,sin P θθ⎛⎫-⎪⎝⎭． 则以MN 为直径的圆的方程为222cos sin x y θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭24sin θ， 即224cos 4sin x y y θθ++=． %令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．7、已知椭圆C: 2222x y a b+=1（a >0，b >0，点A (1在椭圆C 上．(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满 足此圆与l 相交于两点P 1，P 2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP 1，OP 2的斜率之 积为定值若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．（Ⅰ）解：由题意，得c a =，222a b c =+，又因为点A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， 解得2a =，1b =，c ，~所以椭圆C 的方程为1422=+y x .（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=.证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=.由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+.由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， 则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221kmx x k -+=+，2y x b =-+， 设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++===222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+，将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.要使得12k k 为定值，则224141r r -=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. 当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 8、已知椭圆C 1：22221(0)y x a b a b+=>>，且过定点M (1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：1()3y kx k =-∈R 与椭圆C 交于A 、B 两点，试问在y 轴上是否存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过P 点若存在，求出P 点的坐标，若不存在，说明理由． (1)解：由已知222222252511142c e a a b c a b a b ⎧==⎪⎧=⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎪⎩∴椭圆C 的方程为2224155y x +=(2)解：由221324155y kx y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：229(24)12430k x kx +--= ①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程①的两根 ∴12122212439(24)9(24)k x x x x k k +==-++，设P (0，p )，则1122()()PA x y p PB x y p =-=-，，， 22121212121212112()()()()333pPA PB x x y y p y y p x x kx kx pk x x p ⋅=+-++=+---+++2222(1845)3624399(24)p k p p k -++-=+若PA PB ⊥，则0PA PB ⋅=即222(1845)3624390p k p p -++-=对任意k ∈R 恒成立∴22184503624390p p p ⎧-=⎨+-=⎩此方程组无解，∴不存在定点满足条件。
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解析几何中的定点和定值问题【教学目标】学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态图形中的几何对象，探究、证明其不变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中的作用．【教学难、重点】解题思路的优化． 【教学方法】讨论式 【教学过程】 一、基础练习1、过直线4x =上动点P 作圆224O x y +=：的切线PA PB 、，则两切点所在直线AB 恒过一定点．此定点的坐标为_________． 【答案】(1,0)【解析】设动点坐标为(4,t P ），则以OP 直径的圆C 方程为：(4)()0x x y y t -+-= ， 故AB 是两圆的公共弦，其方程为44x ty +=． 注：部分优秀学生可由200x x y y r += 公式直接得出． 令4400x y -=⎧⎨=⎩得定点(1,0).2、已知PQ 是过椭圆22:21C x y +=中心的任一弦，A 是椭圆C 上异于P Q 、的任意一点．若AP AQ 、 分别有斜率12k k 、 ，则12k k ⋅=______________．【答案】-2【解析】设00(,),(,)P x y A x y ，则(,)Q x y --220001222000y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，又由A 、P 均在椭圆上，故有：2200222121x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减得2222002()()0x x y y -+-= ，220122202y y k k x x-⋅==-- 3，过右焦点F 作不垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点， AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则_______.1=24e【解析】设直线AB 斜率为k ，则直线方程为()3y k x =-,与椭圆方程联立消去y 整理可得()22223424361080k x k x k +-+-=,则221212222436108,3434k k x x x x k k -+==++, 所以1221834ky y k-+=+, 则AB 中点为222129,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 所以AB 中垂线方程为22291123434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭, 令0y =,则22334k x k =+,即223,034k N k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭, 所以222239(1)33434k k NF k k+=-=++.()2236134k AB k +==+,所以14NF AB =.F A ,是其左顶点和左焦点，P 是圆222b y x =+上的动点，若PAPF=常数，则此椭圆的离心率是【答案】e =215- 【解析】 因为PAPF=常数，所以当点P 分别在（±b，0）时比值相等，2b ac =， 又因为222b ac =-， 所以220a c ac --=同除以a 2可得e 2+e -1=0，解得离心率e =215-． 二、典例讨论 例１、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22142x y +=的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点． 试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．分析一：设PQ 的方程为y kx =，设点()00,P x y （00x >），则点()00,Q x y --．联立方程组22,24y kx x y =⎧⎨+=⎩消去y 得22412x k =+．所以0x，则0y =．所以直线AP的方程为)2y x =+．从而M ⎛⎫⎝同理可得点N ⎛⎫ ⎝． 所以以MN为直径的圆的方程为2(0x y y ++=整理得：2220x y y +--=由22200x y y ⎧+-=⎨=⎩，可得定点(0)F 分析二：设P （x 0，y 0），则Q （﹣x 0，﹣y 0），代入椭圆方程可得220024x y +=．由直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，可得0020,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理由直线QA 方程可得0020,2y N x ⎛⎫⎪-⎝⎭，可得以MN 为直径的圆为2000022022y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫+-⋅-= ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，整理得：2220020002240224y y y x y y x x x ⎛⎫+-++= ⎪+--⎝⎭由于220042x y -=-，代入整理即可得2200204204x y x y y x ⎛⎫+--=⎪-⎝⎭此圆过定点(0)F ． 分析三： 易证：2212AP AQb k k a =-=-，故可设直线AP 斜率为k ，则直线AQ 斜率为12k-. 直线AP 方程为(2)y k x =+，从而得(0,2)M k ，以12k -代k 得10,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭故知以MN 为直径的圆的方程为21(2)()0x y k y k+-+= 整理得：2212(2)0x y k y k+-+-=由22200x y y ⎧+-=⎨=⎩，可得定点(0)F . 分析四、设(0,),(0,)M m N n ，则以MN 为直径的圆的方程为2()()0x y m y n +--=即22()0x y m n y mn +-++= 再由221=2AP AQAM AN b k k k k a =-=-得2mn =-，下略例2、已知离心率为e 的椭圆C (1)e ，和()20，. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知AB MN 、为椭圆C 上的两动弦，其中M N 、关于原点O 对称，AB 过点(1,0)E ，且AB MN 、斜率互为相反数. 试问：直线AM BN 、的斜率之和是否为定值？证明你的结论.解析：(1)由题意：22222111a e e b a b ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⎪=⎩⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (2) 设AB 方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则MN 方程为y kx =-又设33(,)M x kx -，33(,)N x kx -1323132313231323(1)(1)AM BN y kx y kx k x kx k x kx k k x x x x x x x x +--+--+=+=+-+-+则整理得：[]132323131323(1)()(1)()()()AM BN k x x x x x x x x k k x x x x +-++---+=-+212312132322()()()AM BN k x x x x x k k x x x x ⎡⎤+-+⎣⎦+=-+ ①由22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩消元整理得：2222(41)8440k x k x k +-+-=， 所以22121222844,4141k k x x x x k k -+==++ ②又由2244y kxx y =-⎧⎨+=⎩消元整理得： 22(41)4k x +=，所以232441x k =+ ③将②、③代入①式得：0AM BN k k +=.例2(变式)、已知离心率为e 的椭圆C (1)e ，和()20，. (3) 求椭圆C 的方程；(4) 已知AB MN 、为椭圆C 上的两动弦，其中M N 、关于原点O 对称，AB 过定点(,0),(22)E m m -<<，且AB MN 、斜率互为相反数. 试问：直线AM BN 、的斜率之和是否为定值？证明你的结论.解析：(3)由题意：22222111a e e b a b ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⎪=⎩⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (4) 设AB 方程为()y k x m =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则MN 方程为y kx =-又设33(,)M x kx -，33(,)N x kx -1323132313231323()()AM BN y kx y kx k k x x x x k x m kx k x m kx x x x x +-+=+-+-+--=+-+则整理得：[]132323131323()()()()()()AM BN k x x m x x x x m x x k k x x x x +-++---+=-+212312132322()()()AM BN k x x x m x x k k x x x x ⎡⎤+-+⎣⎦+=-+ ①由22()44y k x m x y =-⎧⎨+=⎩消元整理得：22222(41)8440k x k mx k m +-+-=， 所以222121222844,4141k m k m x x x x k k -+==++ ②又由2244y kxx y =-⎧⎨+=⎩消元整理得： 22(41)4k x +=，所以232441x k =+ ③将②、③代入①式得：0AM BN k k +=.三、课外作业1、已知椭圆22+142x y =，A 、B 是其左、右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，连结AM 交椭圆于点P ，在x 轴上有异于点A 、B 的定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP 、MQ 的交点，则点Q 的坐标为____________． 【答案】（0,0） 【解析】试题分析：设(2,),M t 则:(2)4tAM y x =+，与椭圆方程联立消y 得2222(8)44320t x t x t +++-=，所以221628P tx t -=+，288P t y t =+，因此22282816228BP tt k t tt +==---+，即1BP OM k k =-，点Q 的坐标为O （0,0）2、已知PA 、右顶点B 的任意一点，记直线P A ，PB 的斜率分别为1212,,k k k k ⋅则的值为 ． 【答案】13- 【解析】设(,)P x y ，因为P 在椭圆上，所以3、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =12，A,B 是椭圆的左右顶点，P 为椭圆上不同于AB 的动点，直线PA,PB 的倾斜角分别为,αβ，则cos()cos()αβαβ+-= .【答案】7 【解析】试题分析：因为A,B 是椭圆的左右顶点，P 为椭圆上不同于AB 的动点，22PA PBb k k a ∴⋅=-2222211132244c a b b e a a a -=∴=∴=∴=，2234PA PBb k k a ∴⋅=-=-，31cos()cos cos sin sin 1tan tan 473cos()cos cos sin sin 1tan tan 14αβαβαβαβαβαβαβαβ++--====-++- 4、如图所示，已知椭圆C C 上任取不同两点A ，B ，点A 关于x 轴的对称点为'A ，当A ，B 变化时，如果直线AB 经过x 轴上的定点T (1，0)，则直线'A B 经过x 轴上的定点为________．【答案】(4，0)【解析】设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，由22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得(my ＋1)2＋4y 2＝4，即(m 2＋4)y 2＋2my－3＝0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(x 1，－y 1)，且y 1＋y 2＝－224m m +，y 1y 2＝－234m +， 当m ≠0时，经过点A′(x 1，－y 1)，B(x 2，y 2)的直线方程为121y y y y ++＝121x x x x --.令y ＝0，得x ＝2121x x y y -+y 1＋x 1＝2121my my y y -+y 1＋my 1＋1＝2212112121my y my my y my y y －＋＋＋＋1＝12212my y y y ＋＋1＝2232424m m m m ⋅+-+－＋1＝4，所以y ＝0时，x ＝4. 当m ＝0时，直线AB 的方程为x ＝1，此时A′，B 重合，经过A′，B 的直线有无数条，当然可以有一条经过点(4，0)的直线．当直线AB 为x 轴时，直线A ′B 就是直线AB ，即x 轴，这条直线也经过点(4，0)．综上所述，当点A ，B 变化时，直线A ′B 经过x 轴上的定点(4，0)．5、 的右焦点2F 的直线交椭圆于于,M N 两点，令【解析】试题分析：不失一般性，不妨取MN 垂直x 轴的情况，此时MN ：x=1,联立221431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得M （1，32）,N （1，-32），∴m=n=32，∴34mn m n =+6、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解析：（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．设椭圆的右焦点为()220F ，，已知点(2B 在椭圆C 上， 由椭圆的定义知122BF BF a +=，所以2a ==．所以a =2b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=． 解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b +=． ②由①②解得，a =2b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为()-．因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =，则0y =．所以直线AE的方程为y x =+．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令0x =得y =，即点M ⎛ ⎝．同理可得点N ⎛⎫ ⎝．所以MN ==设MN的中点为P ，则点P 的坐标为0,P k ⎛- ⎝⎭． 则以MN 为直径的圆的方程为22x y k ⎛++=⎝⎭2， 即224x y y k++=． 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．解法二：因为椭圆C 的左端点为A ，则点A 的坐标为()-．因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --．所以直线AE的方程为y x =+．因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =M ⎛⎫⎝．同理可得点N ⎛⎫⎝．所以020168y MN x ==-．因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=． 所以08MN y =． 设MN 的中点为P ，则点P的坐标为000,P y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 则以MN为直径的圆的方程为2200x y y ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭2016y ．即220+x y y y +=4． 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点(),2sin E θθ（0θ<<π），则点(),2sin F θθ--． 所以直线AE的方程为y x =+．因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭．所以2sin 2sin 4cos 1cos 1sin MN θθθθθ=-=+-．设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为2cos 0,sin P θθ⎛⎫-⎪⎝⎭． 则以MN 为直径的圆的方程为222cos sin x y θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭24sin θ， 即224cos 4sin x y y θθ++=． 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-． 故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．7、已知椭圆C: 2222x y a b+=1（a >0，b >0A (1在椭圆C 上．(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满 足此圆与l 相交于两点P 1，P 2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP 1，OP 2的斜率之 积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．（Ⅰ）解：由题意，得c a =，222a b c =+， 又因为点A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， 解得2a =，1b =，c =，所以椭圆C 的方程为1422=+y x .（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=.证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=.由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+.由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， 则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221kmx x k -+=+，2y x b =-+， 设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++===222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+，将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-. 要使得12k k 为定值，则224141r r -=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. 当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 8、已知椭圆C 1：22221(0)y x a b a b+=>>，且过定点M (1．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：1()3y kx k =-∈R 与椭圆C 交于A 、B 两点，试问在y 轴上是否存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过P 点？若存在，求出P 点的坐标，若不存在，说明理由． (1)解：由已知222222252511142c e a a b c a b a b ⎧==⎪⎧=⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎪⎩∴椭圆C 的方程为2224155y x +=(2)解：由221324155y kx y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：229(24)12430k x kx +--= ①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程①的两根∴12122212439(24)9(24)k x x x x k k +==-++，设P (0，p )，则1122()()PA x y p PB x y p =-=-，，， 22121212121212112()()()()333pPA PB x x y y p y y p x x kx kx pk x x p ⋅=+-++=+---+++2222(1845)3624399(24)p k p p k -++-=+若PA PB ⊥，则0PA PB ⋅=即222(1845)3624390p k p p -++-=对任意k ∈R 恒成立∴22184503624390p p p ⎧-=⎨+-=⎩此方程组无解，∴不存在定点满足条件。