直线与圆定点定值问题
微专题12 与圆有关的定点、定值、最值、范围问题
12－
32
2
∴ 82＋|8a（－－3|6）2＝12，
又∵M(a，0)在l的下方，∴8a－3＞0，∴8a－3＝5，a＝1. 故圆M的方程为(x－1)2＋y2＝1.
10
(2)由已知可设AC的斜率为k1，BC的斜率为k2(k1＞k2)，则直线AC的方程为y＝k1x ＋t，直线BC的方程为y＝k2x＋t＋6. 由方程组yy＝＝kk12xx＋＋tt，＋6， 得 C 点的横坐标为 x0＝k1－6 k2. ∵AB＝t＋6－t＝6， ∴S＝12k1－6 k2×6＝k11－8k2.
的弦长为 3，且圆心 M 在直线 l 的下方. (1)求圆 M 的方程； (2)设 A(0，t)，B(0，t＋6)(－5≤t≤－2)，若圆 M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积 S 的最大值和最小值.
9
解 (1)设圆心 M(a，0)，由已知得圆心 M 到 l：8x－6y－3＝0 的距离为 ＝12，
23
解 (1)连接OP，OA，OB，因为PA，PB为过点P的圆O的切线，切点为A，B， 所以OA⊥PA，OB⊥PB. 因为∠APB＝60°，∠APO＝30°，在Rt△APO中，OA＝1，所以OP＝2. 设点 P 的坐标为(t，t＋2 2)，则 t2＋(t＋2 2)2＝4，t2＋2 2t＋2＝0，即(t＋ 2)2＝0， 解得 t＝－ 2， 所以点 P 的坐标为(－ 2， 2).
24
(2)假设存在符合条件的定点R. 设点 M(x，y)，R(x0，y0)，MMPR22＝λ，则 x2＋y2＝1， 即(x－x0)2＋(y－y0)2＝λ[(x＋ 2)2＋(y－ 2)2]， 整理得－2x0x－2y0y＋x20＋y20＋1＝λ(2 2x－2 2y＋5)， 上式对任意x，y∈R，且x2＋y2＝1恒成立，
2022年高考数学专题圆锥曲线中的“三定问题”(定点、定值、定直线)
圆锥曲线中的“三定问题”（定点、定值、定直线）1．定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.2．定点问题解决步骤：①设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；②根与系数关系列出两根和及两根积；③写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；④整理③所得表达式探求其恒成立的条件．3．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．4．存在型定值问题的求解，解答的一般思路如下：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．5．求定线问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P 到 0,1F 的距离比它到直线2y 的距离小1． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线与曲线C 交于A ，B 两点， 2,1Q ，记直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：1211k k为定值．2．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）过点P（1，1）作两条动直线l1，l2分别交抛物线于点A，B，C，D．设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆的公共弦所在直线为m，试判断直线m是否经过定点，并说明理由．3．已知椭圆22221(0)x y a b a b 的一个焦点到双曲线2212x y 渐近线的距离为3，且点2M 在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC 、BD 过原点O ，直线AC 和BD 的斜率之积－22b a，证明：四边形ABCD 的面积为定值．4．已知点(1,2)P 在抛物线2:2C y px 上，过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A 、B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO ，QN QO uuu r uuu r ，试判断11+ 是否为定值，若是，求11+ 值；若不是，求11+的取值范围．5．已知双曲线的对称中心在直角坐标系的坐标原点，焦点在坐标轴上，双曲线的一条渐近线的方程为4,6，过双曲线上的一点P（P在第一象限）作斜率不为l，l与直线y ，且双曲线经过点x 交于点Q且l与双曲线有且只有一个交点．1（1）求双曲线的标准方程；（2）以PQ为直径的圆是否经过一个定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．6．已知双曲线C ：22221x y a b 0,0a b 的两条渐近线互相垂直，且过点D．（1）求双曲线C 的方程；（2）设P 为双曲线的左顶点，直线l 过坐标原点且斜率不为0，l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线m 过x 轴上一点Q （异于点P ），且与直线l 的倾斜角互补，m 与直线PA ，PB 分别交于,M N （,M N 不在坐标轴上）两点，若直线OM ，ON 的斜率之积为定值，求点Q 的坐标．7．已知椭圆2222:1x y C a b，离心率为12，过椭圆左焦点1F 作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点，直线m 的方程为2x a ，过点M 作ME 垂直于直线m 交直线m 于点E ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）①求证线段EN 必过定点P ，并求定点P 的坐标；②点O 为坐标原点，求OEN 面积的最大值．22a b 122一点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设(,)R s t 是椭圆C 上的一动点，由原点O 向22()()4x s y t 引两条切线，分别交椭圆C 于点,P Q ，若直线,OP OQ 的斜率均存在，并分别记为12,k k ，求证：12k k 为定值．22a b 12221:()1F x c y 与圆222:()9F x c y 相交，两圆交点在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l 不经过 0,1P 点且与椭圆E 相交于,A B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率之和为2 ，证明：直线l 过定点．10．已知抛物线2:4C y x 的焦点为F ，斜率为k 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，与x 轴交于 ,0P a （1）当1k ，3a 时．求AF BF 的值；（2）当点P 、F 重合时，过点A 的圆 2220x y r r 与抛物线C 交于另外一点D ．试问直线BD 是否过x轴上的定点Q ？若是，请求出点Q 坐标；若不是，请说明理由．11．已知抛物线22(0)y px p 上一点 4,t 到其焦点的距离为5． （1）求p 与t 的值；（2）过点 21M ,作斜率存在的直线l 与拋物线交于,A B 两点（异于原点O ），N 为M 在x 轴上的投影，连接AN 与BN 分别交抛物线于,P Q ，问：直线PQ 是否过定点，若存在，求出该定点，若不存在，请说明理由．12．已知抛物线 21:20C y px p 的焦点是椭圆 22222:10x y C a b a b的右焦点，且两条曲线的一个交点为 000,2p E x y x，若E 到1C 的准线的距离为53，到2C 的两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右顶点的两条直线1l ，2l 分别与抛物线1C 相交于点A ，C ，点B ，D ，且12l l ，M 是AC 的中点，N 是BD 的中点，证明：直线MN 恒过定点．13．已知抛物线C ： 220y px p 的焦点到准线的距离是12．（1）求抛物线方程；（2）设点 ,1P m 是该抛物线上一定点，过点P 作圆O ： 2222x y r （其中01r ）的两条切线分别交抛物线C 于点A ，B ，连接AB ．探究：直线AB 是否过一定点，若过，求出该定点坐标；若不经过定点，请说明理由．14．已知抛物线 2:20C y px p 的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，OMF 是以OF 为底边的等腰三角形，且OMF 的面积为 （1）求抛物线C 的方程．（2）过点F 作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB ，DE ，设弦AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，试判断直线PQ 是否过定点．若是，求出所过定点的坐标；若否，请说明理由．15．如图，已知抛物线 2:20C y px p 与圆 22:412M x y 相交于A ，B ，C ，D 四点．（1）若8OA OD ，求抛物线C 的方程；（2）试探究直线AC 是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．16．已知抛物线 2:20C y px p 上一点01,4y到焦点的距离为54．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若点A ，B 为抛物线位于x 轴上方不同的两点，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且满足1212444k k k k ，求证：直线AB 过定点．17．如图，已知抛物线2:2(0)C y px p 与圆22:(4)12M x y 相交于A ，B ，C ，D 四点． （1）若以线段AD 为直径的圆经过点M ，求抛物线C 的方程；（2）设四边形ABCD 两条对角线的交点为E ，点E 是否为定点？若是，求出点E 的坐标；若不是，请说明理由．18．设双曲线22221x y a b ，其虚轴长为（1）求双曲线C 的方程；（2）过点 3,1P 的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点A 、B ，在线段AB 上取点M 使得AM APMB PB，证明：点M 落在某一定直线上．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b 的左右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，离心率为e ，且点(e ，3)，b )都在双曲线C 上． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若A ，B 是双曲线C 上位于x 轴上方的两点，且AF 1//BF 2．证明：1211AF BF 为定值．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b2，1F ，2F为其左右焦点，Q 为其上任一点，且满足120QF QF，122QF QF ．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知M ，N 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，点P 是C 上异于M ，N 的任意一点，直线PM 、PN 分别交x 轴于点T 、S ，试问：||||OS OT 是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中O 是坐标原点）．21．已知双曲线 2222:10,0x y C a b a b ，四点13M ， 2M ，32,3M ，43M中恰有三点在C 上． （1）求C 的方程；（2）过点 3,0的直线l 交C 于P ，Q 两点，过点P 作直线1x 的垂线，垂足为A ．证明：直线AQ 过定点．22．已知动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线:4l x 的距离之比为12，记P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线与曲线C 交于,A B 两点，,R Q 分别为曲线C 与x 轴的两个交点，直线,AR BQ 交于点N ，求证：点N 在定直线上．23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22210xy a a的左右顶点为A ，B ，上顶点K 满足3AK KB ．（1）求C 的标准方程：（2）过点 1,0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．设直线MA 和直线NB 相交于点P ，直线NA 和直线MB 相交于点Q ，直线PQ 与x 轴交于S ．①求直线PQ 的方程； ②证明：SP SQ 是定值．24．已知椭圆C ： 222210x y a b a b ，左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，四边形1122A B A B 的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点 0,1D 且斜率存在的直线与椭圆相交于E ，F 两点，证明：直线2EB ，1FB 的交点G 在一定直线上，并求出该直线方程．25．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b的左，右顶点分别为A 、B ，点F 是椭圆的右焦点，3AF FB uu u r uu r ，3AF FB． （1）求椭圆C 的方程；（2）不过点A 的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，记直线l 、AM 、AN 的斜率分别为k 、1k 、2k ．若 121k k k ，证明直线l 过定点，并求出定点的坐标．26．已知O 为坐标原点，椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b 的右顶点为A ，动直线1:(1)l y x m 与相交于,B C 两点，点B 关于x 轴的对称点为B ，点B 到 的两焦点的距离之和为4．（1）求 的标准方程；（2）若直线B C 与x 轴交于点M ，,OAC AMC 的面积分别为12,S S ，问12S S 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．。
与圆有关的定点、定值、最值与范围问题
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
5．(2013·连云港模拟)一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射，到 达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是________． 解析 因为点 A(－1,1)关于 x 轴的对称点为 B(－1，－1)，圆心 为(2,3)，所以从点 A(－1,1)出发经 x 轴反射，到达圆 C 上一点 的最短路程为 －1－22＋－1－32－1＝4.
BN，得A→M·B→N＝0，即(3，t1)·(1，t2)＝0，所以 3＋t1t2＝0，即 t1t2
＝－3.
所以 MN＝t1－t2＝t1＋(－t2)≥2 －t1t2＝2
当且仅当 t1＝ 3，t2＝－ 3时等号成立．
故 MN 的最小值为 2 3.
抓住2个考点
3.
突破3个考向
揭秘3年高考
(2)证明 由(1)得 t1t2＝－3.以 MN 为直径的圆的方程为(x－2)2 ＋(y－t1)(y－t2)＝0， 即(x－2)2＋y2－(t1＋t2)y＋t1t2＝0， 也即(x－2)2＋y2－(t1＋t2)y－3＝0.
第6讲 与圆有关的定点、定值、最值与 范围问题
抓住2个考点
突破3个考向
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考点梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点 几何观点
Δ_＜__0 d_＞__r
Δ_＝__0 d_＝__r
Δ_＞__0 d_＜__r
抓住2个考点
突破3个考向
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答案 4
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突破3个考向
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直线与圆的方程必考的几种题型
直线与圆的方程必考的几种题型ʏ河北省三河市第二中学 杨 勇从高考命题的角度看,直线㊁圆的方程及位置关系问题是必考的内容,题型大多以选择题或填空题的形式呈现,此类试题难度中等㊂鉴于以上高考命题特点,建议同学们必须掌握以下几种必考题型㊂一㊁求直线方程例1 已知直线l 1:(m +2)x +m y -8=0与直线l 2:m x +y -4=0,m ɪR ㊂(1)若l 1ʊl 2,求m 的值;(2)若点P (1,m )在直线l 2上,直线l 过点P ,且在两坐标轴上的截距之和为0,求直线l 的方程㊂分析:(1)由题意可知m ʂ0,所以可得m +2m =m 1ʂ-8-4,从而可求出m 的值㊂(2)将点P (1,m )的坐标代入直线l 2的方程,求出m 的值,从而可得点P 的坐标,然后设出直线l 的方程,利用两坐标轴上的截距之和为0,列方程求解㊂解:(1)因为l 1ʊl 2,所以m ʂ0,且m +2m=m 1ʂ-8-4㊂由m +2m =m1,得m 2-m -2=0,解得m =-1或m =2(舍去),故m =-1㊂(2)因为点P (1,m )在直线l 2上,所以m +m -4=0,解得m =2,点P 的坐标为(1,2)㊂设直线l 的方程为y -2=k (x -1)(k ʂ0)㊂令x =0,则y =2-k ;令y =0,则x =1-2k㊂因为直线l 在两坐标轴上的截距之和为0,所以1-2k +2-k =0,解得k =1或k =2㊂因此,直线l 的方程为x -y +1=0或2x -y =0㊂点评:解决直线方程问题时应注意以下几点㊂(1)求解两条直线平行的问题时,在利用A 1B 2-A 2B 1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性㊂(2)要注意直线方程每种形式的局限性,应用点斜式㊁两点式㊁斜截式时,要求直线不能与x 轴垂直㊂而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线㊂(3)讨论两条直线的位置关系时,要讨论直线的斜率是否存在㊂(4)直线与圆相切时,利用 切线与过切点的半径垂直,圆心到切线的距离等于半径 建立关于切线斜率的等式,一般求切线方程时多选择点斜式㊂二㊁求圆的方程例2 (1)已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2,-2),且圆心C 在直线l :x +y +5=0上,则圆C 的方程为㊂(2)经过点(0,0),(0,4),(3,3)的圆的方程为㊂分析:(1)由圆的性质可得,A B 的垂直平分线与直线l :x +y +5=0联立求得圆心为(-3,-2),用两点之间距离公式求得r =|C A |=(-3-1)2+(-2-1)2=5,即可求出圆的标准方程㊂(2)设圆的一般方程为x 2+y 2+D x +E y +F =0,代入三个点的坐标,求出待定系数即可㊂解:因为A (1,1),B (2,-2),所以线段A B 的中点坐标为32,-12,直线A B 的斜率k A B =-2-12-1=-3㊂因此线段A B 的垂直平分线方程是y +12=13x -32,即x -3y -3=0㊂圆心C 的坐标是方程组x -3y -3=0,x +y+5=0的解㊂解此方程组得x =-3,y =-2㊂所以圆心C 的坐标是(-3,-2)㊂因此,圆C 的半径r =|C A |=(-3-1)2+(-2-1)2=5㊂所以圆C 的标准方程是(x +3)2+(y +2)2=25㊂(2)设圆的方程为x 2+y 2+D x +E y +F =0,代入点(0,0),(0,4),(3,3)可得:F =0,16+4E +F =0,18+3D +3E +F =0,解得F =0,D =-2,E =-4㊂故圆的方程为x 2+y 2-2x -4y =0㊂点评:求圆的方程一般有两种方法㊂(1)几何法,通过研究圆的性质㊁直线与圆㊁圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程㊂(2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各个系数㊂三㊁与直线或圆有关的距离问题例3 (1)已知点P 1(1,1),P 2(5,4)到直线l 的距离都等于2,则直线l 的方程为㊂(2)已知圆:x 2+y 2=16上恰有3个点到直线l :y =3x +b (b >0)的距离等于2,则b 的值为㊂分析:(1)直线l 与直线P 1P 2平行,直线l 过线段P 1P 2的中点或斜率不存在,进行分类讨论㊂(2)根据圆上3个点到直线l 的距离等于2,可得圆心到直线l 的距离为4-2=2,利用点到直线的距离公式解出b 即可㊂解:(1)①当l ʊP 1P 2时,因为直线P 1P 2的方程为3x -4y +1=0,所以可设直线l 的方程为3x -4y +m =0㊂由d =|m -1|5=2⇒m =11或m =-9,即直线l 的方程为3x -4y +11=0或3x -4y -9=0㊂②当l 过线段P 1P 2的中点M 3,52时,设l 的方程为y -52=k (x -3),即k x -y +52-3k =0㊂点P 1到l 的距离d =32-2k k 2+1=2⇒k =-724,即y -52=-724(x -3)⇒7x +24y -81=0㊂③当l ʅx 轴时,斜率不存在,此时x =3也符合题意㊂(2)因为圆的方程为x 2+y 2=16,所以圆心为(0,0),半径为4㊂因为圆x 2+y 2=16上恰有3个点到直线l 的距离都等于2,所以只需要圆心到直线l :y =3x +b (b >0)的距离为2即可㊂直线方程为y =3x +b (b >0),所以圆心到直线的距离为b2=2,且b >0,故b 的值为4㊂点评:(1)求点到直线的距离时,应先将直线方程化为一般式㊂(2)求两平行线之间的距离时,应先将两直线方程化为一般式且x ,y 的系数对应相等㊂(3)求曲线上任意一点到已知直线的最小距离,要利用数形结合和转化与化归思想解题㊂四㊁直线与圆㊁圆与圆的位置关系判断例4 (1)(多选)已知直线l :(1+a )x +y +2a =0(a ɪR )与圆C :x 2+(y -2)2=4,则( )㊂A.直线l 必过定点B .当a =1时,l 被圆C 截得的弦长为455C .直线l 与圆C 可能相切D .直线l 与圆C 不可能相离(2)已知圆C 1的圆心在直线x +2y -1=0上,点(3,0)与(1,-2)都在圆C 1上,圆C 2:(x -3)2+(y +1)2=1,则圆C 1与圆C 2的位置关系是㊂分析:(1)将直线l 变形为x +y +a (x +2)=0,求定点坐标,即可判断A 项;根据弦长公式求弦长,判断B 项;根据直线l 所过定点与圆C 的关系,结合直线方程的形式,即可判断C ㊁D 项㊂(2)利用待定系数法求得圆C 1的标准方程,求出圆心距|C 1C 2|,与两圆的半径和㊁差比较即可得出结论㊂解:(1)因为联立x +y =0,x +2=0,得x =-2,y =2,所以直线过点(-2,2),故A 正确㊂当a =1时,l :2x +y +2=0,圆心(0,2)到直线l 的距离d =422+12=45,弦长=2r 2-d 2=455,故B 正确㊂直线l 所过定点(-2,2)在圆上,过点(-2,2)与圆C 相切的直线是x =-2,但直线l :(1+a )x +y +2a =0(a ɪR )表示斜率存在的直线,表示不了直线x =-2,故不存在直线l 与圆C 相切,故C 错误㊂直线所过定点(-2,2)在圆上,所以直线l 与圆C 总有公共点,不可能相离,故D 正确㊂故选A B D ㊂(2)设圆C 1的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 21㊂因为圆心C 1在直线x +2y -1=0上,且该圆经过(3,0)与(1,-2)两点,列方程组a +2b -1=0,(3-a )2+(0-b )2=r 21,(1-a )2+(-2-b )2=r 21,解得a =1,b =0,r 1=2㊂圆C 1的标准方程为(x -1)2+y 2=4,圆心C 1(1,0),半径r 1=2㊂圆C 2:(x -3)2+(y +1)2=1,圆心C 2(3,-1),半径r 2=1㊂则|C 1C 2|=(3-1)2+12=5㊂又r 1+r 2=3,r 1-r 2=1,而1<5<3,故圆C 1与圆C 2的位置关系是相交㊂点评:(1)直线与圆的位置关系有相交㊁相切和相离三种情况,判断直线与圆的位置关系,主要通过比较圆心到直线的距离与半径的大小㊂(2)圆与圆的位置关系有五种,即内含㊁内切㊁相交㊁外切㊁外离㊂两个圆的位置关系的判断依据是两个圆的圆心距与两个圆的半径差的绝对值或半径和的大小关系㊂(3)过圆外一点求解切线段长的问题,可先求出圆心到圆外点的距离,再结合半径利用勾股定理计算㊂五㊁直线与圆㊁圆与圆弦长问题例5 已知圆C 1:(x -a )2+y 2=4与C 2:x 2+(y -b )2=1(a ,b ɪR )交于A ,B 两点㊂若存在a ,使得|A B |=2,则b 的取值范围为㊂分析:根据圆与圆相交弦所在直线方程性质求得直线A B 的方程,利用直线与圆相交弦长公式,求得a ,b 满足的等式关系,根据方程有解,即可得b 的取值范围㊂解:圆C 1:(x -a )2+y 2=4的圆心C 1(a ,0),半径r 1=2㊂圆C 2:x 2+(y -b )2=1的圆心C 2(0,b ),半径r 2=1㊂若两圆相交,则|r 1-r 2|<|C 1C 2|<r 1+r 2,即1<a 2+b 2<3,则1<a 2+b 2<9㊂又两圆相交弦A B 所在直线方程为(x -a )2+y 2-x 2-(y -b )2=4-1,即2a x -2b y -a 2+b 2+3=0㊂所以圆心C 1(a ,0)到直线A B 的距离d 1=|2a 2-0-a 2+b 2+3|4a 2+4b2,圆心C 2(0,b )到直线A B 的距离d 2=|0-2b 2-a 2+b 2+3|4a 2+4b2,则弦长|A B |=2r 21-d 21=2r 22-d 22=2㊂所以d 1=3,d 2=0,则|a 2+b 2+3|4a 2+4b 2=3,|a 2+b 2-3|4a 2+4b 2=0㊂因此,a 2+b 2=3㊂若存在a ,使得|A B |=2,则b 2ɤ3,即-3ɤb ɤ3,所以b 的取值范围为[-3,3]㊂点评:求解圆的弦长的方法有三种㊂(1)几何法,根据半径㊁弦心距㊁弦长构成的直角三角形,构成三者间的关系r 2=d 2+l 24(其中l 为弦长,r 为圆的半径,d 为圆心到弦的距离)㊂(2)公式法,根据公式l =1+k 2|x 1-x 2|求解(其中l 为弦长,x 1,x 2为直线与圆相交所得两个交点的横坐标,k 为直线的斜率)㊂(3)距离法,联立直线与圆的方程,解方程组先求出两个交点坐标,再利用两点间的距离公式求解㊂六㊁隐圆问题例6 (1)已知A (-2,0),B (2,0),点P 满足|P A |2+|P B |2=16,直线l :(m +1)㊃x -y +1-3m =0(m ɪR ),当点P 到直线l 的距离最大时,m 的值为( )㊂A.43 B .13 C .-74 D .-34(2)已知O 为坐标原点,A ,B 在直线x -y -4=0上,|A B |=22,动点M 满足|M A |=2|M B |,则|O M |的最小值为㊂分析:(1)由|P A |2+|P B |2=16可求出点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4,结合图形可知,当O M ʅl 时,点P 到直线l 的距离最大,计算k O M ㊃k l =-1可求得m 的值㊂(2)设M (x ,y ),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由|A B |=22,|M A |2=4|M B |2,得到(x -x 1)2+(y -y 1)2=4(x -x 2)2+4(y -y 2)2,整理得M 点在以D4x 2-x 13,4y 2-y 13为圆心,半径为423的圆上,且圆心D 在直线x -y -4=0上,过O 作l 的垂线,当垂足为圆心D 时,|O M |长度最小,求出|O D |长度即可㊂解:(1)已知A (-2,0),B (2,0),设P (x ,y ),则|P A |2+|P B |2=(x +2)2+y 2+(x -2)2+y 2=2x 2+2y 2+8㊂因为|P A |2+|P B |2=16,所以2x 2+2y 2+8=16,化简得x 2+y 2=4㊂故点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4,其圆心为(0,0),半径为2㊂直线l :(m +1)x -y +1-3m =0(m ɪR ),化简得m (x -3)+x -y +1=0㊂由x -3=0,x -y +1=0,解得x =3,y =4㊂即直线l 恒过定点(3,4)㊂图1设定点为M (3,4),如图1,当O M ʅl 时,点P 到直线l 的距离最大㊂此时k O M ㊃k l =-1,k O M =4-03-0=43,k l=m +1,故43(m +1)=-1,m =-74㊂选C㊂(2)设M (x ,y ),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)㊂因为|A B |=22,所以|A B |2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=8㊂因为|M A ||M B |=2,所以|M A |2=4|M B |2,即(x -x 1)2+(y -y 1)2=4(x -x 2)2+4(y -y 2)2㊂整理得x -4x 2-x 132+y -4y 2-y 132=4(y 1-y 1)2+4(x 1-x 2)29=329,可得M 点在以D 4x 2-x 13,4y 2-y 13为圆心,半径为423的圆上㊂M A ң=(x 1-x ,y 1-y ),B M ң=(x -x 2,y -y 2),当B M ң=-14M A ң时,可得x -x 2=-14(x 1-x ),y -y 2=-14(y 1-y ),即x =4x 2-x 13,y =4y 2-y 13㊂图2易知圆心D4x 2-x 13,4y 2-y 13在直线x -y -4=0上㊂如图2,过O 作x -y -4=0的垂线,当垂足为圆心D 时,|O D |长度最小,|O M |的长度也最小㊂|O D |长度的最小值为|0-0-4|2=22,此时|O M |的最小值为22-423=223㊂点评:(1)利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆㊂(2)在平面上给定相异的两点A ,B ,设点P 与点A ,B 在同一平面上,且满足|P A |=λ|P B |,当λ>0且λʂ1时,点P 的轨迹是一个圆,这个圆我们称为阿波罗尼斯圆㊂(3)两定点A ,B 与动点P 满足P A ң㊃P B ң=λ,点P 的轨迹是隐圆㊂(4)两定点A ,B 与动点P 满足|P A |2+|P B |2是定值,点P 的轨迹是隐圆㊂(责任编辑 徐利杰)。
直线与圆的位置关系
精心整理直线与圆、圆与圆的位置关系1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．d<r?相交；d＝r?相切；d>r?相离．(2)代数法：[知识拓展](1)(2)(3)2．设圆O圆O2[(1)4条．(2)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(×)(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(×)(5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√)(6)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(√)1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离答案 B2．(2013·安徽)直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A．1B．2C．4D．4答案 C3．两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线x－y＋＝0上，则m＋c的值等于________．答案4．⊥BC，答案例1(1)(2)AC．答案例2(2)②与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；③过切点A(4，－1)．(1)答案x＝2或4x－3y＋4＝0(2013·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．题型三圆与圆的位置关系例3(1)已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是________________________．(2)两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切线的条数是________．(3)已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，若由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．答案(1)x－2y＋4＝0(2)2(3)x＝(1)圆C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2x－6＝0的位置关系为()A．外离B．外切C．相交D．内切(2)设M＝{(x，y)|y＝，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}，且M∩N≠?，求a的最大值和最小值．(1)与直线2x＋yA.πC．(6APB ＝90°A．7B答案典例() A．[1B．(C．[2D．()A.C. D.答案(3)D(4)DA组专项基础训练(时间：45分钟)1．(2014·湖南)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于()A．21B．19C．9D．－11答案 C2．(2013·福建)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0答案 D3．若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为() A.B．2C．4D．2答案 B4．(2013·山东)过点P(3,1)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为() A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0答案 A522A．1B答案6答案7．0，则m答案8答案9(1)(2)(1)∴S即△(2)∴10所在的(1)(2)已知直线l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．解(1)矩形ABCD的外接圆的方程是(x－2)2＋y2＝8.(2)故l的方程为y－2＝－(x－3)，即x＋2y－7＝0.B组专项能力提升(时间：25分钟)11．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定答案 A12．设曲线C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案 B13．(2013·江西)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线lA.B答案14答案15．为等答案16(1)(2)若a解(2)即|。
与圆有关的定点定值最值与范围问题
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练 2】 (2012·徐州市调研(一))在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 x－y＋1＝0 截以原点 O 为圆心的圆所得弦长为 6. (1)求圆 O 的方程； (2)若直线 l 与圆 O 切于第一象限，且与坐标轴交于点 D、E， 当 DE 长最小时，求直线 l 的方程； (3)设 M、P 是圆 O 上任意两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 N，若直线 MP、NP 分别交 x 轴于点(m,0)和(n,0)，问 mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
所
以PPAB22＝
xx＋＋95522＋＋yy22＝xx22＋ ＋11580xx＋＋92－5＋x29＋－82x152＝
12285··55xx＋＋1177＝
9 25
.
从而PB＝3为常数． PA 5
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
法二 假设存在这样的点 B(t,0)，使得PPAB为常数 λ，则 PB2＝ λ2PA2，所以(x－t)2＋y2＝λ2[(x＋5)2＋y2]，将 y2＝9－x2 代入，得 x2－2xt＋t2＋9－x2＝λ2(x2＋10x＋25＋9－x2)， 即 2·(5λ2＋t)x＋34λ2－t2－9＝0 对 x∈[－3,3]恒成立，
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
解 (1)设所求直线方程为 y＝－2x＋b，即 2x＋y－b＝0. 因为直线与圆相切， 所以 |2－2＋b|12＝3，得 b＝±3 5. 所以所求直线方程为 y＝－2x±3 5. (2)法一 假设存在这样的点 B(t,0)． 当点 P 为圆 C 与 x 轴的左交点(－3,0)时，PPAB＝|t＋2 3|；
故 mn＝2 为定值．
高中数学直线与圆的位置关系
圆圆的方程：直线与圆的位置关系：记圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，圆与圆的位置关系：记两圆的半径分别为12,r r ，两圆的圆心距为d ，圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=，圆心为(,)a b ，半径为r ； 圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=，2240D E F +-> 直线与圆相割⇔联立方程组有两组解⇔d r <； 直线与圆相切⇔联立方程组有且仅有一组解⇔d r =； 直线与圆相离⇔联立方程组无解⇔d r >． 两圆相交⇔1212||r r d r r -<<+；两圆外切⇔12r r d +=；两圆内切⇔12r r d -=； 两圆外离⇔12r r d +<；两圆内含⇔12r r d ->．圆的方程要求层次重难点圆与方程圆的标准方程与一般方程C掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．（一） 知识内容直线与圆的位置关系将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二次方程，求出其∆的值，然后比较判别式∆与0的大小关系，若0∆<，则直线与圆相离 若0∆=，则直线与圆相切 若0∆>，则直线与圆相交 <教师备案>过圆222x y r +=上一点00(,)x y 的切线方程为200x x y y r +=知识框架例题精讲高考要求板块一：直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系已知圆的方程是222x y r +=，求经过圆上一点00(,)M x y 的切线方程．解：当点M 不在坐标轴上时，设切线的斜率为k ，半径OM 的斜率为1k ， ∵圆的切线垂直于过切点的半径，∴11k k =-，又∵010y k x =，∴00x k y =-， ∴经过点M 的切线方程是0000()x y y x x y -=--， 整理得：220000x x y y x y +=+，又∵点00(,)M x y 在圆上，∴22200x y r +=， ∴所求的切线方程是200x x y y r +=．当点M 在坐标轴上时，可以验证上面的方程同样适用．（二）典例分析：【例1】 如图所示，在ABC ∆中，顶点A B ，和内心I 的坐标分别为(91)A ，、(34)B ，、(41)I ，，求顶点C 的坐标．【解析】 AB 边所在直线的方程为194139y x --=--，即2110x y +-=． 因内心到AB 的距离等于内切圆半径r，则r ==设AC 边所在直线方程为1(9)y k x -=-，即190kx y k -+-=．点I 到AC=，解得12k =±．因为12AB k =-，所以12AC k =．故AC 的方程为270x y --=．同理可算出BC 的方程为220x y --=． 上面两个方程联立可解出点C 坐标为(14)--，．【例2】 已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740()l m x m y m m +++--=∈R ．⑴证明直线l 与圆相交；⑵求直线l 被圆C 截得的弦长最小时，求直线l 的方程．【解析】 ⑴将直线l 的方程整理为(4)(27)0x y m x y +-++-=，由40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩．即直线l 过定点(31)A ，，因为22(31)(12)525-+-=<，所以A 在圆C 的内部． 故直线l 恒与圆相交．⑵圆心(12)O ，，当截得的弦长最小时，l AO ⊥，不难算出12AO k =-，于是直线l 的方程为12(3)y x -=-，即250x y --=．【例3】 求过直线370x y +-=与已知圆222230x y x y ++--=的交点，且在两坐标轴上的四个截距之和为8-的圆的方程．【解析】 过直线与圆的交点的圆方程可设为22223(37)0x y x y x y λ++--++-=，整理得：22(2)(32)370x y x y λλλ++++---=，令0y =，得2(2)370x x λλ++--=．所以圆在x 轴上的两截距之和为122x x λ+=--．同理，圆在y 轴上的两截距之和为23λ-，故有2238λλ--+-=-，解得2λ=， 所求圆的方程为2244170x y x y +++-=．【例4】 a 为何值时，直线0l y a +-=与圆22:4O x y +=：⑴ 相交；⑵相切；⑶相离． 【解析】 圆22:4O x y +=的半径2r =，法一：圆心(00)O ，到直线0l y a +-=的距离d =，即2a d =．⑴ 令d r <，得22a <，解得44a -<<．∴当44a -<<时，直线l 与圆O 相交．⑵ 令d r =，得22a=，解得4a =±．∴当4a =±时，直线l 与圆O 相切． ⑶ 令d r >，得22a >，解得4a >，或4a <-．∴当4a >，或4a <-时，直线l 与圆O 相离．法二：把直线l 0y a +-=代入圆O 的方程224x y+=并整理，得224240x a -+-=．这个方程的判别式2464a ∆=-+．依次令0∆>，0∆=，0∆<，得44a -<<；4a =±；4a >，或4a <-． ⑴ 当44a -<<时，直线与圆相交． ⑵ 当4a =±时，直线与圆相切．⑶ 当4a >或4a <-时，直线与圆相离．【例5】 （2005·上海高考模拟）求过点(24)A ，向圆224x y +=所引的切线方程． 【解析】 法一：设切点00()M x y ，，则过点M 的切线方程为004x x y y +=．∵点A 在切线上，∴00244x y +=即0022x y +=． ① 又22004x y +=． ②由①②得：0020x y =⎧⎨=⎩或006585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则所求的切线方程为34100x y -+=或2x =．法二：设过点A 的切线斜率为k ，则切线方程可表示为4(2)y k x -=-， 即：(42)0kx y k -+-=．∵圆心到切线的距离为半径2r =．2=．解得：34k =． ∴切线方程为34100x y -+=．当过A 的直线斜率不存在时，方程为2x =，由于圆心到直线2x =的距离为2，所以2x =也是圆的切线． 因此所求的切线方程为34100x y -+=或2x =．【例6】 求过点(5,2)A ，(1,6)B ，且圆心在直线:330l x y --=上的圆的方程． 【解析】 直线AB 的斜率62115k -==-- 所以AB 的垂直平分线m 的斜率为1AB 的中点的坐标为1532x +==，2642y +== 因此，直线m 的方程为41(3)y x -=⨯-，即10x y -+=又圆心在直线l 上，所以圆心是直线m 与直线l 的交点，解联立方程组10330x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得：23x y =⎧⎨=⎩所以圆心坐标为(2,3)C ，又半径r CA ==所求圆的方程是22(2)(3)10x y -+-=．【例7】 求经过点(24)A --，，且与直线:3260l x y +-=相切于点(86)B ，的圆的方程． 【解析】 法一：设圆心为()C a b ，，圆的方程为222()()x a y b r -+-=．由CA CB =，CB l ⊥，得112a =，32b =-，r =∴圆的方程为22113125()()222x y -++=． 法二：设圆心为C ，则CB l ⊥．∴直线CB 的方程为3180x y --=．①设直线CB 与圆C 的另一交点为P ，连结AP ，AB ，则AP AB ⊥．∴直线AP 的斜率为8(2)16(4)---=---．直线AP 的方程为60x y ++=．② 联立①与②，可得P 点的坐标为(39)-，．再由C 为线段BP 的中点知，C 点的坐标为113()22-，，以下略．法三：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=．由CB l ⊥，点(24)A --，、(86)B ，在圆上，得2222(2)(4)(2)(4)0612()138286860D E F E DD E F ⎧-+-+-+-+=⎪⎪--⎪⋅-=-⎨⎪--⎪⎪++++=⎩，，， 整理得242086100336D E F D E F D E +-=⎧⎪++=-⎨⎪-=-⎩，，，解得11330.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，∴圆的方程为22113300x y x y +-+-=．【例8】 （安徽省和县一中2008—2009学年度第一学期必修2模块检测试卷）已知圆()()22:1225C x y -+-=及直线()():21174()l m x m y m m +++=+∈R ⑴证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；⑵求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．【解析】 ⑴ 直线方程()():21174l m x m y m +++=+，可以改写为()2740m x y x y +-++-=，所以直线必经过直线27040x y x y +-=+-=和的交点． 由方程组270,40x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得3,1x y =⎧⎨=⎩即两直线的交点为(3,1)A又因为点(3,1)A 与圆心()1,2C的距离5d ，所以该点在C 内，故不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交．⑵ 连接AC ，过A 作AC 的垂线，此时的直线与圆C 相交于B 、D ． BD 为直线被圆所截得的最短弦长．此时，5,AC BC BD ===所以又直线AC 的斜率12AC k =-，所以直线BD 的斜率为2．此时直线方程为：()123,250.y x x y -=---=即【例9】 （福建省宁德市2009届高中数学必修2模块考试）已知圆C ：()2219x y -+=内有一点(22)P ，，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点． ⑴当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；⑵当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； ⑶当直线l 的倾斜角为45︒时，求弦AB 的长．【解析】 ⑴已知圆C ：()2219x y -+=的圆心为(10)C ，，因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为2(1)y x =-，即22x y -=．⑵当弦AB 被点P 平分时，l PC ⊥， 直线l 的方程为12(2)2y x -=--， 即260x y +-=；⑶当直线l 的倾斜角为45︒时，斜率为1，直线l 的方程为22y x -=-，即0x y -=圆心C 到直线l，圆的半径为3，弦AB【例10】 已知点11()A x y ，、22()B x y ，12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点，O 是坐标原点，向量OA 、OB 满足OA OB OA OB +=-．设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=． ⑴证明：线段AB 是圆C 的直径；⑵当圆C 的圆心到直线20x y -=时，求p 的值． 【解析】 ⑴将A B ，的坐标代入OA OB OA OB +=-，化简可得12120x x y y +=，即OA OB ⊥，由方程221212()()0x y x x x y y y +-+-+=知圆C 过原点及A B ，两点，又OA OB ⊥，故线段AB 是圆C 的直径；⑵由2212121224y y y y x x p=-=-，得2124y y p =-，2222121212()822y y y y p x x p p++++==，又圆心121222x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，到直线20x y -=的距离为：222d ===2p =．【例11】 已知圆22:2440C x y x y +-+-=，问是否存在斜率为1的直线l ，其被圆C 截得弦AB ，且以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解析】 假设存在直线:l y x m =+，圆C 化为22(1)(2)9x y -++=，圆心(12)C -，．过圆心垂直于l 的方程为2(1)y x +=--，则AB 中点N 是直线0x y m -+=与2(1)y x +=--的交点，即11()22m m N +--，． 以AB 为直径的圆过原点，则AN ON =．又CN AB ⊥，CN =，所以AN ==又ON =AN ON =，解得1m =或4m =-． 因此存在直线l ，其方程为10x y -+=或40x y --=．【例12】 （2008辽宁）圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ ）A．(k ∈B ．((2)k ∈-∞+∞，， C．(k ∈D ．((3)k ∈-∞+∞，， 【解析】 C ；圆心(00)，到直线20kxy 的距离2211k时，直线与圆没有公共点，解得33k．【例13】 （2008重庆）直线l 与圆22240x y x y a ++-+=(3)a <相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为()01，，则直线l 的方程为 ． 【解析】 10x y ；圆心的坐标为(12)，，圆心与弦的中点连线与弦垂直，故直线l 的斜率k 满足：211110kk．故直线l 的方程为11(0)1y x y x -=⋅-⇒=+．【例14】 （2008山东）已知圆的方程为22680x y x y +--=．设该圆过点(35)，的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【解析】 B ；点(35)，在圆内，故最长弦为直径，最短弦为以该点为中点的弦，且与过该点的直径互相垂直，故四边形ABCD 的面积12AC BD ．又圆的标准方程为22(3)(4)25xy ，故10AC，又最短弦的弦心距为1，故2225146BD，110462062S．【例15】 已知圆224O x y +=：，求过点(2,4)P 与圆O 相切的切线．【解析】 ∵点(2,4)P 到O⊙圆心的距离为d =，大于圆的半径2r =∴过点(2,4)P 与O ⊙相切的直线有两条若切线的斜率存在，设切线的方程为()24y k x =-+， 2=，解得 34k =． ∴()3244y x =-+，即 34100x y -+=； 若切线的斜率不存在，过点(2,4)P 的斜率不存在的直线方程为2x =，此时，圆心到直线的距离为202-=，即此直线也为圆的切线； 综上知，过点P 的圆的切线方程为34100x y -+=与2x =．【例16】 已知圆的方程为22220x y ax y a ++++=，一定点为(1,1)A --，要使过定点A 作圆的切线有两条，求a 的取值范围．【解析】 圆的标准方程为：2223(1)124a x y a ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭，要使得过(1,1)A --的切线有两条，只需此点在圆外．从而有222223104433(1)01(11)124a a a a a a ⎧->⎧⎪<⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪->-++-+>-⎩ ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得0a <<或1a <<【例17】 求经过点(2,4)A --且与直线l ：3260x y +-=相切于点(8,6)B 的圆的方程．【解析】 由题意知，(2,4)A --，(8,6)B 都是圆上的点，故圆心在线段AB 的中垂线上，故圆心坐标满足：6482822642y x -+-⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭，即40x y +-=； 又直线l 是圆的过点B 的切线，故圆心在直线：63(8)y x -=-上， 联立403180x y x y +-=⎧⎨--=⎩得圆心坐标为113,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而圆的半径为r ==故所求的圆的方程为22113250224x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：22113300x y x y +-+-=．【例18】 半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线(0)y x =≥相切，求这个圆的方程． 【解析】 ∵半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线(0)y x x =≥相切，∴圆心在直线y =上，且圆心的横坐标为1这个圆的方程为22(1)(1x y -+-=．【例19】 （06全国I ）从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为___________．【解析】 圆222210x x y y -+-+=的圆心为(1,1)M ，半径为1，点P 到圆心M，从圆外一点(3,2)P 向这个圆作两条切线，则 每条切线与PM 的夹角θ12=， ∴两切线夹角的正切值为2122tan 42tan 211tan 314θθθ⨯===--，π22θ<， ∴该角的余弦值等于35．【例20】 过直线2x =上一点M 向圆()()22511x y ++-=作切线，则M 到切点的最小距离为_ __．【解析】M 与圆心C 的距离的平方减去半径的平方1，只要求M 与圆心距离MC 的最小值． ∴M 点在直线2x =上，故M 与圆心距离的最小值为圆心(5,1)C -到直线2x =的距离，等于|52|7--=．∴M =【例21】 一条光线从点(2,3)P 射出，经x 轴反射，与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，求反射光线所在的直线的方程．【解析】依题意得，点P 关于x 轴的对称点(2,3)P '-在反射光线所在的直线上，故可设反射光线所在直线的方程为3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=．1=，解得43k =-或34k =-，∴反射光线所在直线的方程是43(2)3y x +=--或33(2)4y x +=--，即4310x y ++=或3460x y ++=．【例22】 自点()3,3A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆224470C x y x y +--+=：相切，求入射光线l 和反射光线所在的直线方程，并求光线自A 到切点所经过的路程． 【解析】 首先求出点A 关于x 轴的对称点A '的坐标为()3,3--，则反射光线所在的直线即过A '的圆C 的切线方程，设之为()33y k x =+-， 圆的标准方程为：22(2)(2)1x y -+-=，圆心为(2,2)， 根据1d r ===，解得：43k =或34k =， 故反射光线所在的直线为4(3)33y x =+-或3(3)34y x =+-，整理得：反射光线所在的直线方程为4330x y -+=或3430x y --=，最后根据入射光线与反射光线关于x 轴对称，得入射光线所在直线方程为4330x y ++=或3430x y +-=． 记反射光线与圆的切点为M ，根据对称性知，所求的路程为'A M ， 可由勾股定理求得22222(23)(23)149A M A C CM ''=-=+++-=， ∴'7A M =．备注 本题也可以把圆对称到x 轴下方，再求解．【例23】 求经过点(0,5)A ，且与直线20x y -=和20x y +=都相切的圆的方程．【解析】 分析 欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解 ∵圆和直线20x y -=与20x y +=相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心(,)x y 到两直线20x y -=和20x y +=的距离相等．=∴圆心(,)x y 在直线30x y +=或30x y -=上． 又∵圆过点(0,5)A ，∴圆心C 只能在直线30x y -=上．设圆心(,3)C t t ∵C 到直线20x y +=的距离等于AC ，=化简整理得2650t t -+=．解得：1t =或5t =∴所求圆的圆心是(1,3)或圆心是(5,15)，半径为 ∴所求圆的方程为22(1)(3)5x y -+-=或22(5)(15)125x y -+-=．【例24】 （03北京春）已知直线0(0)ax by c abc ++=≠与圆221x y +=相切，则三条边长分别为||a ，||b ，||c 的三角形（ ）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在【解析】 圆心坐标为(0,0)，半径为1．因为直线和圆相切．利用点到直线距离公式得：1d ==，即222a b c +=．∴以||a ，||b ，||c 为边的三角形是直角三角形；【例25】 （02北京）已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA 、PB 是圆:C 222210x y x y +--+=的两条切线，,A B 是切点，那么四边形PACB 面积的最小值为_______，此时P 点的坐标为_____． 【解析】 方法一 易知四边形PACB 是由两个全等的直角三角形构成，欲使面积最小，因为BC 为定值，只须BP 最小，欲使BP 最小只须CP 最小，CP 的最小值即为C 到直线的距离，从而得到结果．∵(1,1)C 到直线3480x y ++=3=，1r =，∵min 1()212PACB S =⨯⨯=CP 的直线方程为41(1)3y x -=-，联立它与3480x y ++=，解得P 点的坐标为47,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭．方法二 ∵点P 在直线3480x y ++=上， ∴设3,24P x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C 点坐标为(1,1)，122||||||||||2PACB PAB S S AP AC AP AC AP ∆==⨯⨯⨯=⨯=，∵2222223255||||||(1)12194162AP CP AC x x x x ⎛⎫=-=-+++-=++ ⎪⎝⎭22548165x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴当45x =-，即P 点坐标为47,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，有min ||AP ==∴四边形PACB面积的最小值为【例26】 （04天津文）若过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是_________．【解析】 结合图象知，要使直线与圆在第一象限内有交点，只需k 在0与MA k 之 间变化，其中A 点为圆与y 轴正半轴的交点．令0x =得：y = 故A点坐标为(0,，MA k ==∴(0,k ∈时满足题意；【例27】 （97全国文）如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是________．22)5=，圆过坐标原点．直线l 将圆平分，也就是直线l 过圆心(1,2)C ，如图得：当直线过圆心与x 轴平行时，或者直线同时过圆心与标原点时都不通过第四象限，并且当直线l 在这两条直线之间变化时都不通过第四象限．当直线l 过圆心与x 轴平行时，0k =，当直线l 过圆心与原点时，2k =．∴当[0,2]k ∈时，满足题意．【例28】 直线230x y -+=与圆224x y +=相交弦中点M 与点(1,2)N 的距离为_______． 【解析】 方法一 ∵弦心距所在直线过圆心，且与直线230x y -+=垂直，故弦心距所在直线方程为20x y +=，将此方程与已知直线方程230x y -+=联立，得弦中点坐标为36,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而求得||MN =；方法二 联立222304x y x y -+=⎧⎨+=⎩，消去y 得：25670x x +-=， 此方程的两个根即为直线与圆的交点的横坐标，从而知中点M 点的横坐标为163255⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，从而知M 的纵坐标为3625x +=，故36,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，MN ．（可在此补充介绍直线上两点间距离公式12|d x x =-）【例29】 求过直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的交点，且满足下列条件之一的圆的方程．⑴ 过原点；⑵ 有最小面积．【解析】 设所求的圆的方程为22241(24)0x y x y x y λ++-++++=，即222(1)(4)(14)0x y x y λλλ++++-++=，⑴ 因为此圆过原点，∴140λ+=，14λ=-，故所求圆的方程为22317024x y x y ++-=；⑵ 方法一 当半径最小时，圆面积也最小，对原方程左边配方得：2224584[(1)]2455x y λλλ-⎛⎫⎛⎫++++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当85λ=时，此圆面积最小，故满足条件的圆的方程为221364555x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．方法二 因为直线与圆的相交弦为所求圆的一条弦，故当此弦恰为直径时，所求圆的面积有最小值，此时圆心在直线240x y ++=上， 易求得圆心坐标为41,2λλ-⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 代入直线方程得：42(1)402λλ--+-+=，解得85λ=．∴当85λ=时，此圆面积最小，故满足条件的圆的方程为222612370555x y x y ++-+=．【例30】 已知圆2260x y x y m ++-+=与直线:230l x y +-=相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP OQ ⊥，求实数m 的值．【解析】 分析 设P 、Q 两点的坐标为11(,)x y 、22(,)x y ，则由1OP OQ k k ⋅=-，可得12120x x y y +=，再利用一元二次方程根与系数的关系求解．或因为通过原点的直线的斜率为yx，由直线l 与圆的方程构造以yx为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出OP OQ k k ⋅的值，从而使问题得以解决．方法一 设点P 、Q 的坐标为11(,)x y 、22(,)x y ．一方面，由OP OQ ⊥，得1OP OQ k k ⋅=-，即12121y y x x ⋅=-，也即：12120x x y y +=． 另一方面，11(,)x y 、22(,)x y 是方程组2223060x y x y x y m +-=⎧⎨++-+=⎩的实数解，即1x 、2x 是方程25104270x x m ++-=的两个根． ∴10020(427)08m m ∆=-->⇒<，122x x +=-，124275m x x -=． ① 又P 、Q 在直线230x y +-=上， ∴[]12121212111(3)(3)93()224y y x x x x x x =-⋅-=-++．从而有[]12121212193()504x x y y x x x x +=-++=将①代入上式得：1(96427)04m ++-=，解得3m =，满足8m <，∴3m =．方法二 由直线方程可得32x y =+，代入圆的方程2260x y x y m ++-+=，有2221(2)(6)(2)039mx y x y x y x y +++-++=，整理得 22(12)4(3)(427)0m x m xy m y ++-+-=． 由于0x ≠，故可得2(427)4(3)120y y m m m x x ⎛⎫-+-++= ⎪⎝⎭．∴OP k ，OQ k 是上述方程两根，由1OP OQ k k ⋅=-得121427mm +=--，解得3m =．经检验可知3m =为所求．【例31】 已知圆22:2440C x y x y +-+-=，问最否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在，写出直线方程；若不存在，说明理由． 【解析】 方法一 假设存在这样的直线:l y x m =+满足题设的要求，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由于以AB 为直径的圆过原点，∴121200OA OB OA OB x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=212121212()()02()0x x x m x m x x m x x m ⇔+++=⇔+++=，将直线:l y x m =+代入圆22:2440C x y x y +-+-=得：22(1)2202m x m x m ++++-=，121x x m +=--，212222m x x m =+-（*）其中22(1)42202m m m ⎛⎫∆=+-+-> ⎪⎝⎭，∴33m -<<， 将（*）代入212122()0x x m x x m +++=得：2340m m +-=， ∴4m =-或1m =，都满足0∆>∴这样的直线l 存在，为4y x =-或1y x =+．方法二 设需要过原点的圆的方程为22220x y mx ny +--=，则该圆的圆心为(,)m n ，并且公共弦所在直线的方程为2222(244)(22)0x y x y x y mx ny +-+--+--=，即(1)(2)20m x n y -++-=．一方面该直线的斜率为1，另一方面圆心(,)m n 在此直线上，于是112(1)(2)20m n m m n n -⎧-=⎪+⎨⎪-++-=⎩，解得10m n =-⎧⎨=⎩或3252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 对应的直线即40x y --=或10x y -+=． 方法三 设直线y x b =+满足题设要求，则1y x b-=对圆222440x y x y +-+-=，有222222222440y x y x y x b x b y b x b y b b b b ---⎛⎫+-⋅+⋅-⋅= ⎪⎝⎭即2222(24)(44)(86)0b b x b b y b xy +-++-+-=，也即222(44)(86)240y y b b b b b x x ⎛⎫+-+-++-= ⎪⎝⎭．根据已知，2224144b b b b +-=-+-，即2340b b +-=，解得4b =-或1b =．∴这样的直线l 存在，为4y x =-或1y x =+．【例32】 求半径为4，与圆224240x y x y +---=相切，且和直线0y =相切的圆的方程． 【解析】 设所求圆的方程为圆222:()()4C x a y b -+-=．圆C 与直线0y =相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为1(,4)C a 或2(,4)C a -． 又已知圆224240x y x y +---=的圆心A 的坐标为(2,1)，半径为3． 若两圆相切，则437CA =+=或431CA =-=．① 当1(,4)C a 时，有222(2)(41)7a -+-=或222(2)(41)1a -+-=（无解），可解得2a =±．∴所求圆方程为22(2(4)16x y --+-=，或22(2(4)16x y -++-=．② 当2(,4)C a -时，222(2)(41)7a -+--=或222(2)(41)1a -+--=（无解），故2a =±． ∴所求圆的方程为22(2(4)16x y --++=或22(2(4)16x y -+++=．对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0y =相切且半径为4，则圆心坐标为(,4)C a ， 且方程形如222()(4)4x a y -+-=．又圆224240x y x y +---=，即222(2)(1)3x y -+-=，其圆心为(2,1)A ，半径为3．若两圆相切，则43CA =+．故222(2)(41)7a -+-=，解之得2a =±．所以欲求圆的方程为222(2(4)4x y --+-=，或222(2(4)4x y -++-=． 上述误解只考虑了圆心在直线0y =上方的情形，而疏漏了圆心在直线0y =下方的情形；只考虑了两圆外切的情况，没有考虑两圆内切的情况．【例33】 已知两圆22420x y x y +-+=和22240x y y +--=的交点分别为A B 、，⑴ 求直线AB 的方程及线段AB 的长；⑵ 求经过A B 、两点，且圆心在直线241x y +=上的圆的方程．【解析】 解 ⑴ 将两圆的方程相减得：10x y --=，∵交点A ，B 的坐标满足两圆的方程，故满足此直线方程，由两点确定一条直线知直线AB 的方程为：10x y --=．将两圆分别化为标准方程得：22(2)(1)5x y -++=，22(1)5x y +-=，其中一个圆心的坐标为(2,1)-，它到直线AB=故相交弦AB 的长度为=；⑵ 设过两圆的交点的圆系方程为：222242(24)0x y x y x y y λ+-+++--=， 即22(1)(1)42(1)40x y x y λλλλ+++-+--=，圆心为21,11C λλλ-⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又∵圆心在直线241x y +=上， ∴44(1)111λλλ--+=++，解得：13λ=，将它代入圆系方程， 并整理得：22310x y x y +-+-=．圆系方程不包括22240x y y +--=，此圆圆心为(0,1)，不在直线241x y +=上， 从而满足条件的圆的方程为22310x y x y +-+-=．【例34】 若直线220(,0)ax by a b -+=>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则11a b+的最小值为____________．【解析】 直线平分圆的周长，即直线过圆心(1,2)-，从而有1a b +=，∴112224a b a b a b ab a b b a ++⎛⎫+=+=+++= ⎪⎝⎭≥，当且仅当12a b ==时取到等号， 故11a b+的最小值为4；【例35】 已知圆224O x y +=：，过点(2,4)P 与圆O 相切的两条切线为,PA PB ，其中A B 、为切点，求直线AB 的方程．【解析】 一般方法是求得切线，切点，再求直线AB 的方程．可以利用圆系方程求解．∵OA AP ⊥，OB BP ⊥，∴四点A B C D 、、、共圆，以OP 为直径的圆的方程为：22(1)(2)5x y -+-=，知,A B 两点在此圆上． ∴AB 为此圆与圆O 的公共弦，故两圆方程相减即得直线AB 的方程， 即220x y +-=．【例36】 从抛物线2y x =的顶点引两条互相垂直的弦OA 、OB ，作OM AB ⊥．则点M 的轨迹方程为 ．【解析】220x y y +-=； 由A 、B 在抛物线上且OA OB ⊥，可设A 、B 的坐标为2()m m ，，211(0)m m m ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭，．则AB 的方程为PA BC ⊥，等比211y m x m--=． 可见直线AB 过定点(01)D ，．因OM AB ⊥，故M 在以OD 为直径的圆上（如图），轨迹方程为2221122x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也即220x y y +-=．M DBAOyx【例37】 若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l ：y kx =的距离为22，则k 的取值范围是_________．【解析】 将圆的方程化为标准方程得：22(2)(2)18x y -+-=，得圆的半径为32，圆上至少有三个不同的点到直线的距离为22， 则圆心到直线的距离小于等于32222-=． 即22|22|24101k k k k -⇒-++≤≤，解得：2323k -+≤≤；【例38】 圆22(3)(3)9x y -+-=上到直线34110x y +-=的距离为1的点有几个？ 【解析】 方法一 圆22(3)(3)9x y -+-=的圆心为1(3,3)O ，半径3r =．设圆心1O 到直线34110x y +-=的距离为d ，则223343112334d ⨯+⨯-==<+．如图，在圆心1O 同侧，与直线34110x y +-=平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又321r d -=-=．∴与直线34110x y +-=平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．方法二 符合题意的点是平行于直线34110x y +-=，且与之距离为1的直线和圆的交点． 设所求直线为340x y m ++=，则1d ==，∴115m +=±，即6m =-或16m =-，也即13460l x y +-=：或234160l x y +-=：．设圆221(3)(3)9O x y -+-=：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则13d ==，21d ==．∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点． 即符合题意的点共3个．【例39】 已知圆22:(2)1C x y ++=，(,)P x y 为圆上任一点，求21y x --的最大、最小值，求2x y -的最大、最小值．【解析】 方法一 由22(2)1x y ++=知，可设P 的坐标为(2cos ,sin )θθ-+，θ是参数．则2sin 21cos 3y x θθ--=--，令sin 2cos 3t θθ-=-，得sin cos 23t t θθ-=-)23t θϕ-=-sin()1θϕ⇒=-≤t ．所以max t =，min t =． 即21y x --．此时22cos 2sin 2)x y θθθϕ-=-+-=-++． 所以2x y -的最大值为2-+2-- 方法二21y x --表示点(,)P x y 与点(1,2)连线的斜率，其中P 点为圆上的动点，结合图象知，要求斜率的最值，只须求出过(1,2)点的圆的切线的斜率即可， 设过(1,2)点的直线方程为：20kx y k --+=． 由1d==，得k ， 所以21y x --令2x y m -=，同理两条切线在x 轴上的截距分别是 2x y -的最大、最小值．由1d ==，得2m =-．所以2x y -的最大值为2-+2--【例40】 求函数sin 12cos 4x y x -=+的值域．【解析】 sin 11sin 12cos 42cos 2x x y x x --==⨯++，于是sin 12cos 2x y x -=+， 其几何意义为单位圆上的任一点(cos ,sin )x x 与点(2,1)-的连线的斜率． 结合图象知：过点(2,1)-与单位圆相切的直线的斜率为10k =，243k =-，连线的斜率的取值范围为4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，从而此函数的值域为2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【例41】 圆22(2)(3)4x y -++=上与直线20x y -+=距离最远的点的坐标是_________． 【解析】 距离直线20x y -+=最远的点为过圆心且与此直线垂直的直线与圆的交点中的一点，∵圆心坐标为(2,3)-，∴过该点与直线20x y -+=垂直的直线为：3(2)y x +=--，即10x y ++=，联立22(2)(3)410x y x y ⎧-++=⎨++=⎩，解得23x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或23x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩易知与直线20x y -+=距离最远的点的坐标为(23-；【例42】 设||1a ≤，,a b ∈R ，求22()25)a b b -+-的最小值．【解析】 分析式子的几何意义，它表示两点(,a 与(,25)b b +的距离的平方，前者在半圆221(0)x y y +=≥上，后者在直线25y x =+上，11=，从而所求的最小值为21)6=-【例43】 （06湖南）圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离的差是_________．【解析】 圆2244100x y x y +---=的圆心为(2,2)，半径为圆心到直线140x y +-==∴直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =【例44】 实数,x y 满足221x y +=，求22x y u x y ++=-+的最大值与最小值．【解析】 方法一 变形得：(1)(1)2(1)0(2)u x u y u y x -+++-=≠+，此方程表示一条直线．又∵,x y 满足221x y +=，故直线与圆221x y +=有公共点．1，解得22u-≤由于直线2y x=+与圆221x y+=无公共点，因此，22u≤即22x yux y++=-+的最大值为2，最小值为2方法二设cosxθ=，sinyθ=，则π22cos sin24π2cos sin224x yux yθθθθθθ⎛⎫++⎪++++⎝⎭===-+-+⎛⎫++⎪⎝⎭πsin4πcos4θθ⎛⎫++⎪⎝⎭=⎛⎫++⎪⎝⎭，①几何意义为单位圆221x y+=上的点ππcos sin44θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，与点(连线的斜率，求过点(的单位圆切线的斜率：12k=22k=-从而22x yux y++=-+的最大值为2+，最小值为2-②由此式得πππcos sin444uθθθφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1，解得22u≤，因此22x yux y++=-+的最大值为2+，最小值为2-【例45】已知圆22(3)(4)1C x y-+-=：，(,)P x y为圆C上的动点，求22d x y=+的最大、最小值．【解析】方法一由圆的标准方程22(3)(4)1x y-+-=．可设点P的坐标为(3cos,4sin)θθ++（θ是参数）．则222296cos cos168sin sind x yθθθθ=+=+++++266cos8sin2610cos()θθθϕ=++=+-（其中4tan3ϕ=）．所以max261036d=+=，min261016d=-=．方法二d是圆上点到原点距离的平方，∴要求d的最值，即求圆上距离原点距离最远和最近的点．结合图象知：距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径1．所以2max1)36d==，2min1)16d==．【例46】若220x y-+=，求函数2224u x y x y=+-+的最小值．【解析】222224(1)(2)5u x y x y x y =+-+=-++-，先求点(1,2)-与直线220x y -+=的距离为d =， 2min 49245555u d =-=-=．【例47】 （安徽省和县一中2008—2009学年度第一学期必修2模块检测试卷）点00(,)M x y 是圆222(0)x y a a +=>内不为圆心的一点，则直线200x x y y a +=与该圆的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交【解析】C ；【例48】 （2004·天津高考试题）若过定点(10)M -，且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．0k <B ．0k <<C ．0k <<D ．05k <<【解析】22450x y x ++-=，∴22(2)9x y ++=是以(20)-，为圆心，3为半径的圆，如图7-6-2，令0x =得y =∴点C 坐标为(0．又(10)M -，，∴MC k =结合上述图形得0k <<A ．【例49】 半径为2的圆与直线:7l x y +=相切，切点为(43)M ，，求圆的方程．【解析】设圆心C 的坐标为()a b ，，则C 在过点(43)M ，且与直线:7l x y +=垂直的直线'l 上．易知':10l x y --=，其斜率1k =．∵C 与M 均在直线'l 上，2CM =，∴42a -，∴4a =+3b =+4a =3b =∴圆心分别为1(43C ++，2(43C ． 从而圆的方程是22(4(34x y -+-=，或22(4(34x y -+-=．【例50】 （2004·天津高考试题）若过定点(10)M -，且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．0k <<B ．0k <<C ．0k <<D ．05k <<【解析】22450x y x ++-=，∴22(2)9x y ++=是以(20)-，为圆心，3为半径的圆，如图7-6-2，令0x =得y =∴点C坐标为(0． 又(10)M -，，∴MC k =结合上述图形得0k <<A ．【例51】 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切．求圆C 的方程．【解析】设圆心坐标为(,0)a ，则由点到直线的距离公式为3425a +=解得：2a =或7-，由0a >∴圆心坐标为(2,0) ∴22(2)4x y -+= 即2240x y x +-=【例52】 直线经过点332P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，被圆2225x y +=截得的弦长为8，求此弦所在直线方程．【解析】⑴当斜率k 不存在时，过点P 的直线方程为3x =-代入2225x y +=，得1244y y ==-， ∴弦长为12||8y y -=⑵当斜率k 存在时，设所求方程3(3)2y k x +=+ 即3302kx y k -+-=由已知，弦心距||3OM =3= 解得34k =-所以此直线方程为33(3)24y x +=-+即34150x y ++= 所以所求直线方程为30x +=或34150x y ++=【例53】 若()2,1P -为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为 ．【解析】30x y --=【例54】 若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(12)P -，，则ab 的积为 ．【解析】由已知条件有230a b -+-=，即23a b =-①，又22(2)5x y -+=，即圆心坐标为(20)，，则2OP k =，则12l k =-，∴12a b -=-，∴2b a =②，联立①②，解得：12a b =⎧⎨=⎩，∴2ab =．【例55】 已知直线(:l y k x =+()0k ≠与圆O ：224xy +=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AOB ∆的面积为S ．⑴试将S 表示为k 的函数()S k ，并求出它的义域；⑵求S 的最大值，并求出此时的k 值．【解析】⑴作OD AB ⊥于D ，则OD =，弦长AB ==ABC ∆的面积12S AB OD =⋅=∵011(0)AB k k >-<<≠，，∴()11,0)S k k k =-<<≠⑵设(0180)AOB θθ∠=︒<<︒，则1()sin 2sin 2S OA OB θθθ=⋅=∴当90θ=︒，max ()2,S θ=此时OD =k ==【例56】 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）A ．227(3)()13x y -+-=B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223()(1)12x y -+-=【解析】设圆心为(1)a ，，由圆心到直线距离为1不难算出答案为B ．【例57】 （08天津）已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且||6AB =，则圆C 的方程为 ．【解析】设圆C 的圆心C 的坐标为()a b ，，直线CP 的斜率为112b a -=-+，CP 的中点在直线1y x =+上，即12122b a +-=+．联立上面两个方程可解出01a b ==-，． 设圆的方程为222(1)x y r ++=，则C 到AB3=．因此2226()3182r =+=，于是圆C 的方程为22(1)18x y ++=．【例58】 圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++= ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】把222430x y x y +++-=化为()()22128x y +++=，从而圆心为()1,2--，半径为r ==，所以选C ．【例59】 设点(,)P x y 是圆221x y +=是任一点，求21y u x -=+的取值范围．【解析】方法一 设(cos ,sin )P θθ，则有cos x θ=，sin y θ=，[0,2π)θ∈∴sin 2cos 1u θθ-=+，∴cos sin 2u u θθ+=-∴cos sin (2)u u θθ-=-+．)2u θφ-=+（tan u φ=）∴sin()θφ-．又∵sin()1θφ-≤1≤ 解之得：34u -≤．方法二 根据几何意义求解21y u x -=+的几何意义是过圆221x y +=上一动点和定点(1,2)-的连线的斜率， 利用此直线与圆221x y +=有公共点，可确定出u 的取值范围．由21y u x -=+得：2(1)y u x -=+，此直线与圆221x y +=有公共点， 故点(0,0)到直线的距离1d ≤．1≤，解得：34u -≤．另外，直线2(1)y u x -=+与圆221x y +=的公共点还可以这样来处理： 由222(1)1y u x x y -=+⎧⎨+=⎩消去y 后得：2222(1)(24)(43)0u x u u x u u ++++++=，此方程有实根，故2222(24)4(1)(43)0u u u u u ∆=+-+++≥，解之得：34u -≤．【例60】 已知对于圆22(1)1x y +-=上任一点(,)P x y ，不等式0x y m ++≥恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】方法一 ∵0x y m ++=右上方面的点满足：0x y m ++>，结合图象知，要圆上的任一点的坐标都满足0x y m ++≥， 只需直线在如图所示的切线的左下方，图中切线的纵截距1m -=，故只需1m -≤，即1m 即可．方法二 分析 设圆上一点(cos ,1sin )P θθ+，问题转化为利用三角函数求范围． 解 设圆22(1)1x y +-=上任一点(cos ,1sin )P θθ+，[0,2π)θ∈ ∴cos x θ=，1sin y θ=+，∵0x y m ++≥恒成立，∴cos 1sin 0m θθ+++≥恒成立，即(1cos sin )m θθ-++≥恒成立．∴只须m 不小于(1cos sin )θθ-++的最大值．设π(sin cos )1)14u θθθ=-+-=+-，∴max 1u =即1m ．【例61】 过点(1,2)P 的直线将圆22450x y x +--=分成两个弓形，当这两个弓形面积之差最大时，这条直线的方程为（ ）A ． 1x =B ． 2y =C ． 1y x =+D ． 230x y -+=【解析】D ；显然，过P 且与直径垂直的直线即为所求 ．【例62】 已知a b ≠，且2πsin cos 04a a θθ+-=，2πsin cos 04b b θθ+-=，则连接2(,)a a ，2(,)b b 两点的直线与单位圆的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【解析】A ；设直线π:sin cos 04l y x θθ+-=，则点2(,)a a 和点2(,)b b 都在直线l 上，π14=<，所以与单位圆的位置关系为相交．【例63】 若220x y -+=，求函数2224u x y x y =+-+的最小值．【解析】222224(1)(2)5u x y x y x y =+-+=-++-，先求点(1,2)-与直线220x y -+=的距离为d =， 2min 49245555u d =-=-=．【例64】 过点(1,的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k = ．；由图形可知点(1,A 在圆22(2)4x y -+=的内部， 圆心为(2,0)O 要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l OA ⊥，所以1l OA k k =-==【例65】 实数x 、y 满足2286210x y x y +--+=，求yx的取值范围．。
圆中的定点、定值问题
第 1 页 共 2 页圆中的定点问题1．直线2y －3－m (2x ＋y －2)＝0必过一定点，定点的坐标为 ．(14，32)2．圆方程为：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，其必过定点，定点的坐标为 ．(0，2)和(45，25)例1．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．解：设P (2m ，m )，MP 的中点Q (m ，m2＋1)，因为P A 是圆M 的切线所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为：(x －m )2＋(y －m 2－1)2＝m 2＋(m2－1)2，化简得：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，或⎩⎨⎧x ＝45，y ＝25．所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0，2)或(1，1)．变式：直线AB 是否过定点？如果存在定点，求出所有定点；如果不存在，说明理由．解：直线AB 即为圆Q 与圆M 的公共弦所在直线，两圆方程相减得AB ：mx ＋my －2y －2m ＋3＝0，整理为：m (2x ＋y －2)－2y ＋3＝0，此式是关于m 的恒等式，故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，－2y +3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝32．例2．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1和y 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆M 上不同于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 交x 轴于E ，F 两点．当点P 变化时，以EF 为直径的圆H 是否经过圆M 内一定点？请证明你的结论．证明：设P (m ，n )，则m 2＋(n －2)2＝1，∵A (0，3)，B (0，1)，∴l AP ：y －3＝n －3m x ，l BP ：y －1＝n －1m x ，∴E (3m3－n，0)， F (m 1－n ，0)，故以EF 为直径的圆方程：(x －3m 3－n )( x －m 1－n)＋y 2＝0， 把m 2＋(n －2)2＝1代入整理得：x 2＋y 2＋6－4nmx －3＝0， 令x ＝0得y ＝±3，∵在圆内，∴过定点(0，3)．法二：可设AP 斜率为k ，则PB 斜率为－1k ，分别求出直线方程和交点，计算更简单．例3．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，点A (0，－3)，若在直线OA 上（O 为坐标原点）存在定点B（不同于点A ），满足：对于圆M 上任意一点P ，都有PBP A 为一常数，求所有满足条件的点B 的坐标．解：设B (0，t )(t ≠－3)，使得PBP A 为常数λ，则PB 2＝λ2P A 2，∴x 2＋(y －t )2＝λ2[x 2＋(y ＋3)2]，将x 2＝1－(y －2)2代入得， (4－2t －10λ2)y ＋t 2－3－6λ2＝0对y ∈[1，3]恒成立，xy． B AP OMy xB A P OM EFyx第 2 页 共 2 页∴⎩⎪⎨⎪⎧4－2t －10λ2＝0，t 2－3－6λ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝15，t ＝95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－3(舍去)， 所以存在点B ⎝⎛⎭⎫0，95对于圆M 上任一点P ，都有PB P A 为常数15． 练习：1．过直线l ：x ＝－1上的动点Q 向⊙M ：(x －2)2＋y 2＝4作切线，切点分别为S ，T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．解：由题意，点Q ，M ，S ，T 四点共圆，且QM 为该圆直径，则线段ST 即为该圆与⊙M 的公共弦，设点Q (－1，t )，所以此圆方程为(x ＋1)(x －2)＋(y －t )y ＝0，两圆作差，从而直线ST 的方程为3x －ty －2＝0，令y ＝0，x ＝23，所以直线ST 恒过一个定点，且该定点坐标为⎝⎛⎭⎫23，0． 2．已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，M ，N 是直线x ＝4上的两个动点，且F 1M →·F 2N →＝0，以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．解：由题可设点M (4，y 1)，N (4，y 2)，则以MN 为直径的圆的圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫4，y 1＋y 22，半径r ＝|y 2－y 1|2，从而圆C 的方程为(x －4)2＋⎝⎛⎭⎫y －y 1＋y 222＝(y 2－y 1)24，整理得x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋16＋y 1y 2＝0，由F 1M →·F 2N →＝0得y 1y 2＝－15， 所以x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋1＝0，令y ＝0得x 2－8x ＋1＝0，所以x ＝4±15， 所以圆C 过定点(4±15，0)．3．已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5，0)，在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBP A为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．解：法一：假设存在这样的点B (t ，0)，当P 为圆C 与x 轴左交点(－3，0)时，PB P A ＝|t ＋3|2；当P 为圆C 与x 轴右交点(3，0)时，PB P A ＝|t －3|8，依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－5(舍去)，或t ＝－95．下面证明点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PBP A为一常数．设P (x ，y )， 则y 2＝9－x 2，∴PB 2P A 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2x ＋52＋y 2＝x 2＋185x ＋8125＋9－x 2x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825(5x ＋17)2(5x ＋17)＝925，∴PB P A ＝35为常数． 法二：假设存在这样的点B (t ，0)，使得PBP A为常数λ，则PB 2＝λ2P A 2，∴(x －t )2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入得， x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t )x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3，3]恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎨⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)， 所以存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB P A 为常数35．。
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直线与圆（定点，定值）导学案（二）
1.设有一组圆C k ：(x －k ＋1)2＋(y －3k )2＝2k 4(k ∈N *)下列四个命题正确的序号有： ①存在一条定直线与所有的圆均相切；
②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；
④所有的圆均不经过原点．
2.已知过点A （0，1），且斜率为k 的直线l 与圆C ：1)3()
2(22=-+-y x ，相交于M 、N 两点.
（1）求实数k 的取值范围；
（2）AM ∙AN 是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明
理由。
3.已知圆O 的方程为），
，过点直线03(,1122A l y x =+且与圆O 相切. (1)求直线1l 的方程;
(2)设圆O 与x 轴交与P,Q 两点,M 是圆O 上异于P,Q 的任意一点,过点A 且与x 轴垂直的直线为2l ,直线PM 交直线2l 于点'P ,直线QM 交直线2l 于点'Q .求证:以''Q P 为直径的圆C 总过定点,并求出定点坐标.。