直线与圆定点定值问题 (1)
微专题12 与圆有关的定点、定值、最值、范围问题
12－
32
2
∴ 82＋|8a（－－3|6）2＝12，
又∵M(a，0)在l的下方，∴8a－3＞0，∴8a－3＝5，a＝1. 故圆M的方程为(x－1)2＋y2＝1.
10
(2)由已知可设AC的斜率为k1，BC的斜率为k2(k1＞k2)，则直线AC的方程为y＝k1x ＋t，直线BC的方程为y＝k2x＋t＋6. 由方程组yy＝＝kk12xx＋＋tt，＋6， 得 C 点的横坐标为 x0＝k1－6 k2. ∵AB＝t＋6－t＝6， ∴S＝12k1－6 k2×6＝k11－8k2.
的弦长为 3，且圆心 M 在直线 l 的下方. (1)求圆 M 的方程； (2)设 A(0，t)，B(0，t＋6)(－5≤t≤－2)，若圆 M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积 S 的最大值和最小值.
9
解 (1)设圆心 M(a，0)，由已知得圆心 M 到 l：8x－6y－3＝0 的距离为 ＝12，
23
解 (1)连接OP，OA，OB，因为PA，PB为过点P的圆O的切线，切点为A，B， 所以OA⊥PA，OB⊥PB. 因为∠APB＝60°，∠APO＝30°，在Rt△APO中，OA＝1，所以OP＝2. 设点 P 的坐标为(t，t＋2 2)，则 t2＋(t＋2 2)2＝4，t2＋2 2t＋2＝0，即(t＋ 2)2＝0， 解得 t＝－ 2， 所以点 P 的坐标为(－ 2， 2).
24
(2)假设存在符合条件的定点R. 设点 M(x，y)，R(x0，y0)，MMPR22＝λ，则 x2＋y2＝1， 即(x－x0)2＋(y－y0)2＝λ[(x＋ 2)2＋(y－ 2)2]， 整理得－2x0x－2y0y＋x20＋y20＋1＝λ(2 2x－2 2y＋5)， 上式对任意x，y∈R，且x2＋y2＝1恒成立，
微专题12 与圆有关的定点、定值、最值、范围问题
微专题12与圆有关的定点、定值、最值、范围问题真题感悟(2019·全国Ⅰ卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，AB＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切.(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，MA－MP为定值？并说明理由.解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a).因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.连接MA，由已知得AO＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1，0)，使得MA－MP为定值.理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，AO＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2, 化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以MP＝x＋1.因为MA－MP＝r－MP＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.考点整合1.最值与范围问题(1)研究与圆有关的最值问题时，可借助圆的性质，利用数形结合求解.(2)常见的最值问题有以下几种类型：①形如μ＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如μ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(3)对于圆的方程也可以利用三角代换，转化为三角函数问题：对于圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，可设x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ.2.定点问题的求解步骤(1)选参变量：需要证明过定点的动直线(曲线)往往随着某一个量的变化而变化，可以选择这个量为参变量.(2)求动直线(曲线)方程：求出含上述参变量的动直线(曲线)方程，通过消元或整体思想，使得方程只含有一个参量(当根据几何条件建立的等式中含有多个参量时，要注意区别对待，与动点、动直线、动圆有关的参量是主要参量，其他参量可看作系数).(3)定点：求出定点坐标.利用方程ax ＋b ＝0恒成立来处理定点问题.在处理时也可以用从特殊到一般的思想，先求出一个特殊点，再代入进行验证.3.定值问题的处理(1)可以直接求出相关等式，再论证该等式与参数无关，类似于三角化简求值.(2)也可以用从特殊到一般的思想，先让参数取特殊值来论证性质，再将性质推广至一般情形.热点一 最值与范围问题【例1】 已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 所截的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方.(1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值.解 (1)设圆心M (a ，0)，由已知得圆心M 到l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12，∴|8a －3|82＋（－6）2＝12，又∵M (a ，0)在l 的下方，∴8a －3＞0，∴8a －3＝5，a ＝1.故圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)由已知可设AC 的斜率为k 1，BC 的斜率为k 2(k 1＞k 2)，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎨⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6， 得C 点的横坐标为x 0＝6k 1－k 2. ∵AB ＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18k 1－k 2. ∵圆M 与AC 相切，∴1＝|k 1＋t |1＋k 21，∴k 1＝1－t 22t ， 同理，k 2＝1－（t ＋6）22（t ＋6），∴k 1－k 2＝3（t 2＋6t ＋1）t 2＋6t， ∴S ＝6（t 2＋6t ）t 2＋6t ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1t 2＋6t ＋1. ∵－5≤t ≤－2，∴－2≤t ＋3≤1，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4，∴S max ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18＝274， ∴△ABC 的面积S 的最大值为152，最小值为274.探究提高 直线与圆中的最值问题主要包含两个方面(1)参量的取值范围：由直线和圆的位置关系或几何特征，引起的参量如k ，b ，r 的值变化.此类问题主要是根据几何特征建立关于参量的不等式或函数.(2)长度和面积的最值：由于直线或圆的运动，引起的长度或面积的值变化.此类问题主要是建立关于与参数如k 或(x ，y )的函数，运用函数或基本不等式求最值.【训练1】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y －x 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 由x 2＋y 2－4x ＋1＝0得(x －2)2＋y 2＝3，它表示以(2，0)为圆心，3为半径长的圆.(1)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6. 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(2)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，过原点和圆心的直线与圆有两个交点，在这两个交点处x 2＋y 2取得最值.因为圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2， 所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.热点二 与圆有关的定点问题【例2】 (2019·北京卷)已知抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)经过点(2，－1).(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.(1)解 由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)得p ＝2.所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.(2)证明 抛物线C 的焦点为F (0，－1).设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0).由⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y ，得x 2＋4kx －4＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则解方程得 x 1，2＝－2k ±2k 2＋1，从而x 1x 2＝－4.直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x . 令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1， 同理得B 的横坐标x B ＝－x 2y 2.所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1y 1，－1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2，－1. 设点D (0，n )，则DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1y 1，－1－n ， DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2，－1－n ， DA →·DB →＝x 1x 2y 1y 2＋(n ＋1)2＝x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 214⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 224＋(n ＋1)2 ＝16x 1x 2＋(n ＋1)2＝－4＋(n ＋1)2. 令DA →·DB→＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3. 故以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0，1)和(0，－3).探究提高 圆锥曲线中的定值与定点问题是高考的常考题型，运算量较大，题目逻辑性较强.解决这类问题一般有两种方法：一是根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组，消去参数，求出定值或定点坐标；二是先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证.【训练2】 已知圆x 2＋y 2＝9的圆心为P ，点Q (a ，b )在圆P 外，以PQ 为直径作圆M 与圆P 相交于A ，B 两点.(1)试判断直线QA 与圆P 的位置关系；(2)若QA ＝QB ＝4，试问点Q 在什么曲线上运动？(3)若点Q 在直线x ＋y －9＝0上运动，问：直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.解 (1)因为以PQ 为直径的圆M 与圆P 相交于A ，B ，所以P A ⊥QA ，又AP 为圆P 的半径，所以AQ 为圆P 的切线，从而直线QA 与圆P 相切.(2)因为P A ⊥QA ，AP ＝3，AQ ＝4，所以PQ ＝32＋42＝5，故点Q 在以P 为圆心，5为半径的圆上运动.(3)因为点Q (a ，b )在直线x ＋y －9＝0上，所以点Q (a ，9－a )，所以，以PQ 为直径的圆M 的方程为x 2＋y 2－ax －(9－a )y ＝0，又AB 为圆P 与圆M 的公共弦，所以直线AB 的方程为ax ＋(9－a )y －9＝0，即a(x－y)－9y－9＝0，从而此直线过x－y＝0与9y－9＝0的交点，即过定点(1，1).热点三与圆有关的定值问题【例3】(2018·高邮调研)如图，已知圆O的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x－y＋22＝0，点P是直线l上的动点，过点P作圆O的切线P A，PB，切点为A，B.(1)若∠APB＝60°，试求点P的坐标；(2)在(1)的条件下，对于圆O上任意一点M，平面内是否存在一定点R，使MR MP为定值？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由.解(1)连接OP，OA，OB，因为P A，PB为过点P的圆O的切线，切点为A，B，所以OA⊥P A，OB⊥PB.因为∠APB＝60°，∠APO＝30°，在Rt△APO中，OA＝1，所以OP＝2.设点P的坐标为(t，t＋22)，则t2＋(t＋22)2＝4，t2＋22t＋2＝0，即(t＋2)2＝0，解得t＝－2，所以点P的坐标为(－2，2).(2)假设存在符合条件的定点R.设点M(x，y)，R(x0，y0)，MR2MP2＝λ，则x2＋y2＝1，即(x－x0)2＋(y－y0)2＝λ[(x＋2)2＋(y－2)2]，整理得－2x0x－2y0y＋x20＋y20＋1＝λ(22x－22y＋5)，上式对任意x，y∈R，且x2＋y2＝1恒成立，则⎩⎨⎧－2x 0＝22λ，－2y 0＝－22λ，x 20＋y 20＋1＝5λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14，x 0＝－24，y 0＝24或⎩⎨⎧λ＝1，x 0＝－2，（舍去）y 0＝2.所以R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24， 经检验，符合条件MR MP ＝12，所以对于圆O 上任意一点M ，平面内存在一定点R ，使MR MP 为定值，且R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24. 探究提高 本题考查直线与圆相切问题以及定值问题.相切问题的基本处理方法是将切点与圆心连接，从而它与切线相互垂直，利用这一直角来进行转化研究问题；第(2)问是探索性问题，在研究探索性问题时，先假设存在是一般性的处理方法，其次将所要研究的问题转化为关于点M 的坐标为元的方程问题，利用该方程的解与点M 的坐标无关来研究问题.【训练3】 (2019·泰州中学检测)已知圆O ：x 2＋y 2＝4与坐标轴交于点A 1，A 2，B 1，B 2(如图).(1)点Q 是圆O 上除A 1，A 2外的任意点(如图1)，A 2Q ，A 1Q 与直线y ＋3＝0交于不同的两点M ，N ，求MN 的最小值；(2)点P 是圆O 上除A 1，A 2，B 1，B 2外的任意点(如图2)，直线B 2P 交x 轴于点F ，直线A 1B 2交A 2P 于点E .设A 2P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m －k 为定值.(1)解 由题意可设直线A 2Q 的方程为y ＝k ′(x －2)，直线A 1Q 的方程为y ＝－1k ′(x＋2)，k ′≠0.由⎩⎨⎧y ＝k ′（x －2），y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3k ′，y ＝－3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k ′（x ＋2），y ＋3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3k ′－2，y ＝－3. 所以直线A 2Q 与直线y ＋3＝0的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3k ′，－3， 直线A 1Q 与直线y ＋3＝0的交点为N (3k ′－2，－3)，所以MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ′＋3k ′－4. 当k ′＞0时，MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ′＋3k ′－4≥6－4＝2，当且仅当k ′＝1时等号成立； 当k ′＜0时，MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ′＋3k ′－4≥|4－(－6)|＝10，当且仅当k ′＝－1时等号成立. 故线段MN 长度的最小值是2.(2)证明 由题意可知点A 1(－2，0)，A 2(2，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，A 2P 的斜率为k ，所以直线A 2P 的方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －2），x 2＋y 2＝4，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－2k 2＋1，－4k k 2＋1， 则直线B 2P 的方程为y ＝－k ＋1k －1x ＋2， 令y ＝0，则x ＝2（k －1）k ＋1，即F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2（k －1）k ＋1，0. 因为直线A 1B 2的方程为x －y ＋2＝0，由⎩⎨⎧x －y ＋2＝0，y ＝k （x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k ＋2k －1，y ＝4k k －1，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k －1，4k k －1， 所以EF 的斜率m ＝4kk －12k ＋2k －1－2（k －1）k ＋1＝k ＋12， 所以2m －k ＝2·k ＋12－k ＝1(定值).【新题感悟】 (2019·苏北七市高三一模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －4)2＋y 2＝4.若存在过点P (m ，0)的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是________.解析 直线l 的斜率k 不存在或为0时均不成立，设直线l 的方程为kx －y －km ＝0，则圆心O (0，0)到直线l 的距离d 1＝|km |k 2＋1，圆心C (4，0)到直线l 的距离d 2＝|4k －km |k 2＋1.因为l 被两圆截得的弦长相等，所以21－d 21＝24－d 22，即d 22－d 21＝3，所以16k 2＋k 2m 2－8k 2m －k 2m 2k 2＋1＝3，化为：16k 2－8k 2m ＝3k 2＋3，k 2＝313－8m＞0，得：m ＜138.又d 21＝k 2m 2k 2＋1＝m 21＋1k 2＝m 21＋13－8m 3＝3m 216－8m ＜1，即3m 2＋8m －16＜0，解得：－4＜m ＜43.综上，－4＜m ＜43.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，43一、填空题1.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.解析直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.答案(x－1)2＋y2＝22.(2019·靖江调研)已知圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，直线l：3x＋4y－17＝0.若在直线l上任取一点M作圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，则AB的长度取最小值时直线AB的方程为________.解析圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，当AB的长度最小时，圆心角∠ACB最小，设为2θ，则由cos θ＝ACCM＝1CM，知当θ最小时，cos θ最大，即CM最小，那么CM⊥l，所以k AB＝k l＝－34.设直线AB的方程为3x＋4y＝m.又由CM＝|3＋4－17|5＝2，此时cos θ＝12，则点C到直线AB的距离为AC cos θ＝12，即1 2＝|3＋4－m|5，解得m＝192或m＝92，经检验m＝192，则直线AB的方程为6x＋8y－19＝0.答案6x＋8y－19＝03.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为________.解析由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小(D 为切点)，只需圆C的半径或直径最小，又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，当OC所在直线与直线2x＋y－4＝0垂直时，OD最小(D为切点)，即圆C的直径最小，此时OD＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆的半径为25，圆C的面积的最小值为S＝πr2＝4 5π.答案4 5π4.(2018·全国Ⅲ卷改编)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P 在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是________.解析由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r＝2，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝32，最小距离是d－r＝ 2.易知A(－2，0)，B(0，－2)，所以AB＝22，所以2≤S△ABP≤6. 答案[2，6]5.(2019·常州调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________.解析圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，由题意得圆心(2，－2)到直线kx＋y＋3＝0的距离d＝|2k－2＋3|k2＋1≤1，解得－43≤k≤0，所以实数k的最小值为－4 3.答案－4 36.(2019·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y＝2ln x的图象与圆M：(x－3)2＋y2＝r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y＝f(x)的图象经过点O，P，M，则y＝f(x)的最大值为________.解析设P(x0，2ln x0)，x0>0，则函数y＝2ln x在点P处的切线斜率为2x0，则2x0·2ln x0x0－3＝－1，即4ln x0＝－x0·(x0－3)①.由二次函数y＝f(x)的图象经过点O和M可设f (x )＝ax (x －3)，代入点P (x 0，2ln x 0)，x 0>0，得2ln x 0＝ax 0(x 0－3) ②.由①②比较可得a ＝－12，则f (x )＝－12x (x －3)，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－12×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝98.答案 987.直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间距离的最小值为________.解析 根据题意画出图形，如图所示，过点O 作OC ⊥AB 于C ，因为△AOB 为等腰直角三角形，所以C 为弦AB 的中点，又OA ＝OB ＝1，根据勾股定理得AB ＝2， ∴OC ＝12AB ＝22.∴圆心(0，0)到直线2ax ＋by ＝1的距离为12a 2＋b 2＝22，即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝－12b 2＋1≥0.∴－2≤b ≤ 2.则点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离d ＝（a －0）2＋（b －1）2＝a 2＋b 2－2b ＋1＝12b 2－2b ＋2.设f (b )＝12b 2－2b ＋2＝12(b －2)2，此函数图象为对称轴为b ＝2的开口向上的抛物线，∴当－2≤b ≤2<2时，函数为减函数.∴f (b )min ＝f (2)＝12(2－2)2， ∴d 的最小值为12（2－2）2＝（2－1）2＝2－1.答案2－18.(2019·南京师大附中模拟)已知直线x －y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝9交于不同的两点A ，B .若O 是坐标原点，且|OA →＋OB →|≥22|AB →|，则实数b 的取值范围是________. 解析 设AB 的中点为D ，则OA→＋OB →＝2OD →，故|OD →|≥24|AB →|，即|OD →|2≥18|AB →|2.再由直线与圆的弦长公式可得，AB ＝2r 2－d 2(d 为圆心到直线的距离)，又直线与圆相交，故d ＜r ，得|b |2＜3，所以－32＜b ＜32，根据|OD→|2≥18|AB →|2，|AB →|2＝4(9－OD →2)，得|OD →|2≥3.由点到直线的距离公式可得|OD →|2＝b 22，即b 22≥3，所以b ≥6或b ≤－ 6.综上可得，b 的取值范围是(－32，－6]∪[6，32). 答案 (－32，－6]∪[6，32) 二、解答题9.如果实数x ，y 满足(x ＋2)2＋y 2＝3. (1)求yx 的最大值； (2)求2x －y 的最小值.解 (1)问题可转化为求圆(x ＋2)2＋y 2＝3上任意一点到原点连线的斜率k ＝yx 的最大值，由图形性质可知，由原点向圆(x ＋2)2＋y 2＝3作切线，其中切线斜率的最大值即为yx 的最大值.设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由|－2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝3或k ＝－3，所以yx 的最大值为 3.(2)将2x －y 看作直线y ＝2x ＋b 在y 轴上的纵截距的相反数，当直线y ＝2x ＋b 与圆(x ＋2)2＋y 2＝3相切时，纵截距b 取得最大值或最小值.此时|－4＋b |22＋1＝3，所以b ＝4±15，所以2x －y 的最小值为－4－15. 10.(2019·扬州模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)直线l 1：3x ＋y －23＝0与圆O 相交于A ，B 两点，求弦AB 的长度； (2)如图，设M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)是圆O 上的两个动点，点M关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，如果直线PM 1，PM 2与y 轴分别交于(0，m )和(0，n )，问mn 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解 (1)由于圆心(0，0)到直线l 1：3x ＋y －23＝0的距离d ＝|－23|2＝ 3.圆的半径r ＝2，所以AB ＝2r 2－d 2＝2.(2)由于M (x 1，y 1)，点M 关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，可得M 1(－x 1，－y 1)，M 2(x 1，－y 1)， 由M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)是圆O 上的两个动点，可得x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4.直线PM 1的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x ＋x 1x 2＋x 1，令x ＝0，求得y ＝m ＝x 1y 2－x 2y 1x 2＋x 1.直线PM 2的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1，令x ＝0，求得y ＝n ＝－x 1y 2－x 2y 1x 2－x 1.所以mn ＝x 22y 21－x 21y 22x 22－x 21＝x 22（4－x 21）－x 21（4－x 22）x 22－x 21＝4. 故mn 为定值.11.如图所示，已知圆A 的圆心在直线y ＝－2x 上，且该圆上存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称，又圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程；(3)(BM →＋BN →)·BP→是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.解 (1)由圆上存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称知圆心A 在直线x ＋y －1＝0上.由⎩⎨⎧y ＝－2x ，x ＋y －1＝0，得A (－1，2). 设圆A 的半径为R ，∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝25， ∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时， 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，连接AQ ，则AQ ⊥MN ， ∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1. 由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34， ∴直线l 的方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0， ∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ →·BP→＝0，∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BQ →·BP →＝2(BA →＋AQ →)·BP →＝2BA →·BP →； 当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－52，则BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，又BA →＝(1，2)， ∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BA →·BP→＝－10；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 由⎩⎨⎧y ＝k （x ＋2），x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k ， ∴BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k ， ∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BA →·BP→＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k －10k 1＋2k ＝－10. 综上所述，(BM →＋BN →)·BP→为定值－10.。
与圆有关的定点、定值、最值与范围问题
抓住2个考点
突破3个考向
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5．(2013·连云港模拟)一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射，到 达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是________． 解析 因为点 A(－1,1)关于 x 轴的对称点为 B(－1，－1)，圆心 为(2,3)，所以从点 A(－1,1)出发经 x 轴反射，到达圆 C 上一点 的最短路程为 －1－22＋－1－32－1＝4.
BN，得A→M·B→N＝0，即(3，t1)·(1，t2)＝0，所以 3＋t1t2＝0，即 t1t2
＝－3.
所以 MN＝t1－t2＝t1＋(－t2)≥2 －t1t2＝2
当且仅当 t1＝ 3，t2＝－ 3时等号成立．
故 MN 的最小值为 2 3.
抓住2个考点
3.
突破3个考向
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(2)证明 由(1)得 t1t2＝－3.以 MN 为直径的圆的方程为(x－2)2 ＋(y－t1)(y－t2)＝0， 即(x－2)2＋y2－(t1＋t2)y＋t1t2＝0， 也即(x－2)2＋y2－(t1＋t2)y－3＝0.
第6讲 与圆有关的定点、定值、最值与 范围问题
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考点梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点 几何观点
Δ_＜__0 d_＞__r
Δ_＝__0 d_＝__r
Δ_＞__0 d_＜__r
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答案 4
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与圆有关的定点定值最值与范围问题
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【训练 2】 (2012·徐州市调研(一))在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 x－y＋1＝0 截以原点 O 为圆心的圆所得弦长为 6. (1)求圆 O 的方程； (2)若直线 l 与圆 O 切于第一象限，且与坐标轴交于点 D、E， 当 DE 长最小时，求直线 l 的方程； (3)设 M、P 是圆 O 上任意两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 N，若直线 MP、NP 分别交 x 轴于点(m,0)和(n,0)，问 mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
所
以PPAB22＝
xx＋＋95522＋＋yy22＝xx22＋ ＋11580xx＋＋92－5＋x29＋－82x152＝
12285··55xx＋＋1177＝
9 25
.
从而PB＝3为常数． PA 5
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法二 假设存在这样的点 B(t,0)，使得PPAB为常数 λ，则 PB2＝ λ2PA2，所以(x－t)2＋y2＝λ2[(x＋5)2＋y2]，将 y2＝9－x2 代入，得 x2－2xt＋t2＋9－x2＝λ2(x2＋10x＋25＋9－x2)， 即 2·(5λ2＋t)x＋34λ2－t2－9＝0 对 x∈[－3,3]恒成立，
抓住2个考点
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解 (1)设所求直线方程为 y＝－2x＋b，即 2x＋y－b＝0. 因为直线与圆相切， 所以 |2－2＋b|12＝3，得 b＝±3 5. 所以所求直线方程为 y＝－2x±3 5. (2)法一 假设存在这样的点 B(t,0)． 当点 P 为圆 C 与 x 轴的左交点(－3,0)时，PPAB＝|t＋2 3|；
故 mn＝2 为定值．
高二数学上册常考题专练(人教A版2019选修一)专题09 与圆有关的定值问题(解析版)
专题09与圆有关的定值问题1．已知圆C 的圆心在直线2y x =-上，并且经过点(2,1)A -，与直线1x y +=相切．（1）试求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线:2l y kx =-相交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点．求证：1211x x +为定值．【解答】解：（1）由题意知：过(2,1)A -且与直线1x y +=垂直的直线方程为：3y x =-， 圆心在直线：2y x =-上，∴由23y x y x =-⎧⎨=-⎩⇒12x y =⎧⎨=-⎩即(1,2)M -，且半径1||r AO ==，∴所求圆的方程为：22(1)(2)2x y -++=．（2）将l 的方程与圆C 的方程联立得22(1)210k x x +--=，由韦达定理得12122221,11x x x x k k -+==++ ，故121212112x x x x x x ++==-．【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解及直线与圆的位置关系的简单应用，方程的根与系数关系的应用是证明（2）的关键．2．动圆C 与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，0)两点，且1x ，2x 是方程2240x mx +-=的两根．（1）若线段AB 是动圆C 的直径，求动圆C 的方程；（2）证明：当动圆C 过点(0,1)M 时，动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．【解答】解：（1）1x ，2x 是方程2240x mx +-=的两根，122x x m ∴+=-，124x x =-． 动圆C 与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，0)两点，且线段AB 是动圆C 的直径，∴动圆C 的圆心C 的坐标为(,0)m -，半径为21||||22x x AB -==．∴动圆C 的方程为222()4x m y m ++=+；（2）证明：设动圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 动圆C 与y 轴交于(0,1)M ，1(0,)N y ，令0y =则20x Dx F ++=，由题意可知2D m =，4F =-，又动圆C 过点(0,1)M ，140E ∴+-=，解得3E =．令0x =，则2340y y +-=，解得1y =或4y =-，14y ∴=-．∴动圆C 在y 轴上截得弦长为1|1|5y -=．故动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．【点睛】本题主要考查圆的方程及被坐标轴截得的弦长的问题，属于定值问题中的基础题．3．如图，在直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM 、AN 分别与圆O 交于M 、N 两点．（1）若2AM k =，12AN k =-，求AMN ∆的面积；（2）若直线MN 过点(1,0)，证明：AM AN k k为定值，并求此定值．【解答】解：（1）根据题意，圆22:4O x y +=的圆心为(0,0)，半径为2，(2,0)A -，若2AM k =，则直线AM 的方程为02(2)y x -=+，即24y x =+，12AN k =-，直线AN 的方程为10(2)2y x -=-+，即112y x =--，由题知1AM AN k k =- ，所以AN AM ⊥，MN 为圆O 的直径，所以圆心到直线AM的距离455d ==，则2AM =，又由中位线定理知，2AN d =，即855AN =，则AMN ∆的面积1116225S AM AN =⨯⨯=⨯；（2）证明：设1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，①当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，代入圆的方程中有：222(1)40x k x +--=，整理得：2222(1)240k x k x k +-+-=，则有212221k x x k +=+，212241k x x k -=+，此时2212121212121212121212(1)(1)()1122(2)(2)(2)(2)2()43AM AN y y y y k x x x x x x k k k x x x x x x x x x x ---++=⨯===⨯=-+++++++++ ，②当直线MN 斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =，代入圆的方程可得M，(1,N ；此时13AM AN k k =- ，综合可得：AM AN k k 为定值，且此定值为13-．【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，以及弦长公式的运用，属于定值问题中的基础题．4．已知过点M (0,2)且斜率为k 的直线l 与圆22:(1)1C x y -+=交于A ，B 两点．（1）求斜率k 的取值范围；（2）以点M 为圆心，r 为半径的圆与圆C 总存在公共点，求r 的取值范围；（3）O 为坐标原点，求证：直线OA 与OB 斜率之和为定值．【解答】解：（1）根据题意可得，直线l 的方程为：2(0)y k x -=-，即20kx y -+=，圆C 的方程为22(1)1x y -+=，则其圆心(1,0)C ，半径1r =，若直线与圆相交，必有d r <，即1<，解得34k <-，所以斜率k 的取值范围为34k <-．（2）若以点M 为圆心，r 为半径的圆与圆C 总存在公共点，则|1|||1r MC r -+，即|1|1r r -+，11r-+．（3）证明：联立直线与圆的方程：222(1)1y kx x y =+⎧⎨-+=⎩，消去y 整理得22(1)(42)40k x k x ++-+=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，根据韦达定理得12212242141k x x k x x k +⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，则121212121222222OA OB y y kx kx k k k x x x x x x +++=+=+=++212122842()122221141k x x k k k k k x x k --++=+=+=-+=+，故直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值1．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，斜率，属于中档题．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上的圆C 经过点(3,0)A ，且被y 轴截得的弦长为，经过坐标原点O 的直线l 与圆C 交于M ，N 两点．（1）求当满足20OM ON += 时对应的直线l 的方程；（2）若点(3,0)P -，直线PM 与圆C 的另一个交点为R ，直线PN 与圆C 的另一个交点为T ，分别记直线l 、直线RT 的斜率为1k 、2k ，求证：12k k +为定值．【解答】解：因为圆C 被y轴截得的弦长为，所以OC =，又圆心在x 轴上的圆C 经过点(3,0)A ，所以3OC r +=，即3r +=，解得2r =，所以圆心(1,0)C ，所以圆C 方程为22(1)4x y -+=．设直线l 方程为：1y k x =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 联立圆的方程得，221(1)230k x x +--=，122121x x k +=+③，122131x x k -=+④，（1）因为20OM ON += ，所以1(x ，12)(2y x +，22)(0y =，0)即121220,20,x x y y +=⎧⎨+=⎩①②①-③得22121x k =-+，代入③得12141x k =+，代入④得，222111243()()111k k k --=+++解得1k =，所以直线l 的方程为：153y =±．（2）直线PT l 方程为：2200(3)3y y x x --=++，联立圆的方程得：2222222222[1(][26()]9()30333y y y x x x x x ++-++-=+++，所以22222222222222222222226()26()332(3)6(3)1()1()33T y y x x x y x x y y x y x x -+-+++-+=-==++++++，所以2222222222222222222(3)62(3)6[4(1)](3)(3)[4(1)]T x y x x x x x x y x x +-+---=-=-++++--，22222222222222121824612669426x x x x x x x x x ++-+-+=-+++-+-，22228812x x x =-+，2222228812812x x x x --=+22323x x -=+，12212212222223393(3)32332323T k x x k x x k x y x x x x x -+=+==+++++ ，所以223(23x T x -+，122323k x x +，同理可得113(23x R x -+，1113)23k x x +，所以1211211211122212112213323233(23)3(23)333(23)3(23)2323k x k x x x k x x k x x k x x x x x x x x -+++-+==--++++++11212112111269699()k x x k x k x x k x x x +--=-1211219()9()k x x k x x -=-=--，所以120k k +=，所以120k k +=为定值．【点睛】本题考查圆的方程，向量，直线与圆相交问题，还考查运算能力，属于中档题．6．已知圆心C 在第一象限，半径为54的圆与y 轴相切，且与x 轴正半轴交于A ，B 两点(A 在B 左侧），||||1(OA OB O ⋅=为坐标原点）．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于P ，Q 两点．①证明：||||||||PA QB PB QA +为定值；②求||2||PB PC +的最小值．【解答】（1）解：因为圆心C 在第一象限，半径为54的圆与y 轴相切，故设圆心5(,)4C b ，则225||216AB b =-，所以51||||42OA AB =-，51||||42OB AB =+，所以22251||||||1164OA OB AB b ⋅=-==，解得1b =，所以圆C 的方程为22525((1)416x y -+-=；（2）①证明：由（1）可得，1(,0),(2,0)2A B ，设0(P x ，0)y ，则22001x y +=，所以222200000222200000115()()1||1224||542(2)(2)1x y x x x PA PB x x y x y -+-+--====--+-+-，同理可得||2||QB QA =，所以||||||||PA QB PB QA +为定值52；②解：因为||2||PB PA =，所以5||2||2(||||)2||2PB PC PA PC AC +=+==，故||2||PB PC +的最小值为52．【点睛】本题考查了圆的标准方程的求解与应用，直线与圆位置关系的应用，圆中弦长公式的应用以及圆中最值问题的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．7．已知圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线3480x y +-=相切．（1）求圆C 的标准方程．（2）直线:2l y kx =+与圆C 交于A ，B 两点．（ⅰ）求k 的取值范围；（ⅱ）证明：直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值．【解答】解：（1）设圆C 的圆心坐标为(,0)C a ，其中0a >，半径为r ，圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上，r a ∴=，又 圆C 与直线3480x y +-=相切，∴r a ==，解得1a =或4a =-（舍去），∴圆心(1,0)C ，1r =，故圆C 的标准方程为22(1)1x y -+=．（2）()i 联立直线与圆的方程222(1)1y kx x y =+⎧⎨-+=⎩，可得22(1)(42)40k x k x ++-+=， 直线l 交圆C 与A ，B 两点，∴△2224(42)16(1)0b ac k k =-=--+>，解得34k <-，故k 的取值范围为3(,4-∞-．()ii 证明：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由韦达定理，可得122421k x x k -+=+，12241x x k =+，又 2121212121212284222()122221141OA OB k y y kx kx x x k k k k k k k x x x x x x k --+++++=+=+=+=+=-+=+，∴直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值，即得证．【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，并考查了点到直线的距离公式和韦达定理，需要学生较强的综合能力，属于中档题．8．在平面直角坐标系xOy 中，设圆22(2)4x y -+=的圆心为M ，(0,4)P -．（1）若PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 是切点，M 为圆心，求四边形PAMB 的面积；（2）若过点P 且斜率为k 的直线与圆M 相交于不同的两点A ，B ．设直线OA 、OB 的斜率分别为1k ，2k ，问12k k +是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【解答】解：（1）圆心M 的坐标为(2,0)，半径2r = 圆心(2,0)M 到直线0x =的距离2d =，∴直线0x =是圆的一条切线，无妨设切点为A ，则||2MA d ==，||PM ==||4PA ∴==，∴四边形PAMB 的面积为1||||282PA MA ⨯⨯⨯=．（2）过点P 的直线方程为4y kx =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立得224(2)4y kx x y =-⎧⎨-+=⎩，整理得22(1)(84)160k x k x +-++=，直线与圆相交，∴△2216(21)64(1)0k k =+-+>，34k ∴>，则122841k x x k ++=+，122161x x k ⋅=+，于是121221122112121212(4)(4)y y y x y x kx x kx x k k x x x x x x +++++=+==12124()84224()116x x k k k x x ++=-=-⨯=-，12k k ∴+为定值1-．【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，用联立法求解是解决问题的关键，属于中档题．9．已知圆22:(3)(4)4C x y +++=，直线l 过定点(1,0)A -．（1）若l 与圆相切，求l 的方程；（2）若l 与圆相交于P 、Q 两点，PQ 线段中点为M ，又l 与0:220l x y +-=交点为N ，求证：||||AM AN ⋅为定值．【解答】（1）解：由题意知直线的斜率不为0，设直线l 的方程为1x ty =-，10x ty -+=，则由l与圆相切得：2d ==，解得：0t =或43，故l 的方程为1x =-或3430x y -+=．（2）证明：l 与圆相交于PQ 两点，故l 斜率存在且不为0．设直线l 的方程为1x ty =-，联立122x ty x y =-⎧⎨+=⎩得31232t x t y t ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，故33(1,)22t N t t -++；PQ 线段中点为M ，CM PQ ∴⊥，设直线CM 的方程为4(3)y t x +=-+，联立14(3)x ty y t x =-⎧⎨+=-+⎩，得2222411241t t x t t y t ⎧--=-⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩，故2222424(1,)11t t t M t t -----++；∴2222424(,11t t t AM t t ----=++ ，33(,22t AN t t =++ ，∴6AM AN ⋅=- ，又由于A ，M ，N 三点共线，||||6AM AN ∴⋅=得证，||||AM AN ⋅为定值．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．10．已知O 为坐标原点，圆C 的方程为：22(1)1x y -+=，直线l 过点(0,3)M ．（1）若直线l 与圆C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，试问：直线OA 与OB 的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值：若不是，说明理由．【解答】解：（1）①当直线l 斜率不存在时，l 的方程为0x =，符合题意．②当直线l 斜率存在时，设l 的方程为3y kx =+，由22(1)1x y -+=，得圆心(1,0)C ，半径1r =．直线与圆有一个公共点，∴1d ==，解得43k =-．l ∴的方程为433y x =-+，即4390x y +-=．综上所述，直线l 的方程为0x =或4390x y +-=；（2）直线OA 与OB 的斜率之和为定值．证明：由（1）知直线l 斜率存在，设l 的方程为3y kx =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与圆的方程：223(1)1y kx x y =+⎧⎨-+=⎩，消去y 得22(1)(62)90k x k x ++-+=．根据韦达定理得12212262191k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩．则1212121233OA OB y y kx kx k k x x x x +++=+=+212121221863()33221222229331k x x k k k k k k x x x x k --++=++=+=+=-+=+ ．∴直线OA 与OB 的斜率之和为定值23．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．11．若圆221:C x y m +=与圆222:68160C x y x y +--+=相外切．（1）求m 的值；（2）若圆1C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，P 为第三象限内一点且在圆1C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．【解答】解：（1）圆1C 的圆心坐标(0,0)圆2C 的圆心坐标(3,4)，半径为3，35+=，4m ∴=．（2）证明：点A 坐标为(2,0)，点B 坐标为(0,2)，设P 点坐标为0(x ，0)y ，由题意得点M 的坐标为002(0,)2y x -；点N 的坐标为002(2x y -，0)，四边形ABNM 的面积20000000022(422)11(2)(2)2222(2)(2)x y y x S y x y x --=--=---- ，由P 点在圆1C 上，有22004x y +=，∴四边形ABNM 的面积4S =，即四边形ABNM 的面积为定值4．【点睛】本题考查圆的标准方程，考查了圆与圆的位置关系，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．12．已知圆C 和y 轴相切于点(0,2)T ，与x 轴的正半轴交于M 、N 两点(M 在N 的左侧），且3MN =；（1）求圆C 的方程；（2）过点M 任作一条直线与圆22:4O x y +=相交于点A 、B ，连接AN 和BN ，记AN 和BN 的斜率为1k ，2k ，求证：12k k +为定值．【解答】解：（1） 圆C 与y 轴相切于点(0,2)T ，可设圆心的坐标为(m ，2)(0)m >，则圆C 的半径为m ，又||3MN =，∴223254()24m =+=，解得52m =，∴圆C 的方程为22525((2)24x y -+-=；证明：（2）由（1）知(1,0)M ，(4,0)N ，当直线AB 的斜率为0时，知0AN BN k k ==，即120k k +=为定值．当直线AB 的斜率不为0时，设直线:1AB x ty =+，将1x ty =+代入224x y +=，整理得，22(1)230t y ty ++-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，∴12221t y y t +=-+，12231y y t -=+，则12121212124433y y y y k k x x ty ty +=+=+----22121212126623()110(3)(3)(3)(3)t tty y y y t t ty ty ty ty -+-+++===----．综上可知，120k k +=为定值．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．13．平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,4)P ，圆22:4O x y +=与x 轴的正半轴交于点Q ．（1）若过点P 的直线1l 与圆O 相切，求直线1l 的方程；（2）若过点P 的直线2l 与圆O 交于不同的两点A ，B ．①设直线QA ，QB 的斜率分别是1k ，2k ，问12k k +是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由；②设线段AB 的中点为M ，点(1,0)N ，若14MN OM =，求直线AB的方程．【解答】解：（1）当1l 的斜率不存在时，易得1l 的方程为2x =适合题意；当1l 的斜率存在时，设1:4(2)l y k x -=-，即420kx y k -+-=，由题设知：圆心O 到直线1l的距离324d r k ===⇒=，此时1:34100l x y -+=，∴直线1l 的方程为2x =或34100x y -+=；（2）①2:4(2)l y k x -=-，联立224(2)4y k x x y -=-⎧⎨+=⎩，可得222(1)4(2)(24)40k x k k x k +--+--=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1224(2)1k k x x k -+=+，2122(24)41k x x k--=+，∴121212121212(2)4(2)4442222222y y k x k x k k k x x x x x x -+-++=+=+=++------21221212224(2)4(4)4(4)4(84)12221(24)44(2)2()4162411k k x x k k k k k k k k x x x x k k --+-++=+=+=-=-----++-+++；②设0(M x ，0)y ，由①知，12022(2)21x x k k x k +-==+，代入直线方程，可得022(2)1k y k --=+，由14MN OM =，得222200001(1)()16x y x y -+=+，化简为22000151532160x y x +-+=，把0x ，0y 代入，可得222222(2)2(2)2(2)15()15(32160111k k k k k k k k ----+-+=+++，解得4k =或163k =．∴直线AB 的方程为44(2)y x -=-或164(4)3y x -=-，即440x y --=或163520x y --=．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，体现了“设而不求”的解题思想，考查计算能力，是中档题．14．平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆被直线20x --=截得弦长为．（1）求圆O 的方程；（2）过点(0,1)P 的直线与圆O 交于A ，B 两点，与x 轴交于点Q ，设QA PA λ= ，QB PB μ=，求证：λμ+为定值．【解答】解：（1）设圆O 的半径为r，圆心到直线20x --=的距离为d ，则1d ==，则2r =．∴圆O 的方程为224x y +=；证明：（2）当AB 与x 轴垂直时（不妨设A 在x 轴上方），此时Q 与O 重合，从而2λ=，23μ=，83λμ+=；当点Q 与点O 不重合时，直线AB 的斜率存在，设:1AB y kx =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1(Q k -，0)，由QA PA λ= ，QB PB μ= ，得：111x x k λ+=，221x x kμ+=，即12121211112x x kx kx kx x λμ++=+++=+．联立2214y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得22(1)230k x kx ++-=．则△222412(1)16120k k k =++=+>．12221k x x k -+=+，12231x x k -=+，1212282233x x k kx x k λμ+-∴+=+=+=-．综上，λμ+为定值83．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．15．已知圆C 的圆心在y 轴上，半径5r <，过点(0,4)且与直线32y x =-相切．（1）求圆C 的方程；（2）若过点(,0)P t 的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，且与直线240x y --=交于点M ，若A ，B 中点为N ，问是否存在实数t ，使PM PN为定值，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设圆心(0,)m ，圆心到直线32y x =-的距离等于半径，∴|4|31m =-+，解得2m =或10m =，又半径5r <，2m ∴=，则圆C 的方程为22(2)4x y +-=；（2）()PM PN PM PC CN PM PC PM CN PM PC =+=+= ．①当直线l 的斜率k 存在时，设:()l y k x t =-，联立()240y k x t x y =-⎧⎨--=⎩，解得4212412kt x kk kt y k -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，424(,1212kt k kt M k k --∴--，∴4244(4)(,)(,12121212kt k kt t k t PM t k k k k----=-=---- ，(,2)PC t =-，∴4(4)(4)2(4)(4)(2)(,)(,2)1212121212t k t t t k t t t k PM PC t k k k k k-------+=-=+=----- ，要使PM PN 为定值，则1t =，此时3PM PN =-；②当l 的斜率不存在时，4(,)2t M t -，(,0)P t ，(,2)N t ，∴4(0,)(0,2)42t PM PN t -==- ，1t =时满足3PM PN =- ；又当M 与P 重合时，0PM PN =也为的值．综上，当1t =或4时，PM PN为定值．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的方程为2230x y x y +-+=，点(1,1)P 是圆C 上一点．（1）若M ，N 为圆C 上两点，若四边形MONP 的对角线MN 的方程为20x y m ++=，求四边形MONP 面积的最大值；（2）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且120k k +=，试判断直线AB 的斜率是否为定值，并说明理由．【解答】解：（1）由圆C 的方程为2230x y x y +-+=，可知31(,)22C -，半径r =则C 到MN 距离31|1|||22m m d -++==所以MN ==12m =-时取等号，由d r <，解得1521522222m --<<-+；由O ，P 在MN 两侧，(12)0m m ++<，30m -<<，所以30m -<<．O 到MN距离1d ==，P 到MN距离2d =，所以四边形MONP的面积12132()22MNO MNP S S S MN d d ∆∆=+=+=，所以12m =-时，四边形MONP 面积最大为322；（2）由题意可设1:(1)1PA y k x =-+，由122(1)130y k x x y x y =-+⎧⎨+-+=⎩，可得22221111(1)(233)320k x k k x k k +--++-+=，设1(A x ，1)y ，则2111213211k k x k -+⨯=+，所以211121321k k x k -+=+，2111112121(1)11k k y k x k -++=-+=+，所以22111122113221(,)11k k k k A k k -+-++++，同理22222222223221(,)11k k k k B k k -+-++++，因为120k k +=，所以22111122113221(,)11k k k k B k k ++--+++，所以22111122111221111122112121112132326311ABk k k k k k k k k k k k k k k -++--+-++===--+++--++为定值．【点睛】本题考查圆的方程，直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．17．已知圆22:1O x y +=与x 轴的正半轴交于点P ，直线:30l kx y k --+=与圆O 交于不同的两点A ，B ．（1）求实数k 的取值范围；（2）设直线PA ，PB 的斜率分别是1k ，2k ，试问12k k +是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由；（3）设AB 的中点为N ，求点N 到直线3100x y +-=的距离的最大值．【解答】解： 圆22:1O x y +=与x 轴的正半轴交于点P ，∴圆心(0,0)O ，半径1r =，(1,0)P ．（1） 直线:30l kx y k --+=与圆O 交于不同的两点A 、B ，∴圆心O 到直线l的距离1d =<，即|3|k -<43k >；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22301kx y k x y --+=⎧⎨+=⎩，可得2222(1)(26)680k x k k x k k +--+-+=，∴2122261k k x x k -+=+，2122681k k x x k-+=+，∴121212121212(1)3(1)3332111111y y k x k x k k k x x x x x x -+-++=+=+=++------221222212123(2)3[262(1)]22()168(26)1x x k k k k k x x x x k k k k k +---+=+=+-++-+--++1862293k k --=+=-为定值．12k k ∴+是定值，定值为23-；（3）（方法一）AB 的中点为N ，∴2122321N x x k k x k +-==+，23(1)31N Nky k x k -=-+=+，∴22233(,)11k k kN k k--++．记点N 到直线3100x y +-=的距离为d ，则22222393|10|2(34)11]1k k k k k k d k --+--=++，令34m k =-，则0m >，∴22181818))]255825818m d m m m m =+=+=+++++-+18)18+=（当且仅当5m =，即3k =时取等号）．∴点N 到直线3100x y +-=（方法二）直线l 的方程为30kx y k --+=，即(1)3y k x =-+，∴直线恒过定点(1,3)M ．AB 的中点为N ，ON AB ∴⊥，∴点N 在以OM 为直径的圆上（在圆O 内的部分）．∴以OM 为直径的圆的方程为2221310()()()222x y -+-=．∴点N 到直线3100x y +-=的距离的最大值为13|310|10222+⨯-=（此时N 为(0,0))．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，考查化归与转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．18．平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,4)P ，圆22:4O x y +=与x 轴的正半轴的交于点Q ．（1）若过点P 的直线1l 与圆O 相切，求直线1l 的方程；（2）若过点P 的直线2l 与圆O 交于不同的两点A ，B ．①设线段AB 的中点为M ，求点M 纵坐标的最小值；②设直线QA ，QB 的斜率分别是1k ，2k ，问：12k k +是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由．【解答】解：（1）当直线1l 的斜率不存在时，则直线1l 的方程为：2x =，圆心O 到直线1l 的距离2d r ==，显然2x =符合条件，当直线1l 的斜率存在时，由题意设直线1l 的方程为4(2)y k x -=-即240kx y k --+=，圆心O 到直线1l 的距离为2|24|21d k ==+，解得34k =，所以切线方程为3324044x y --+= ，即34100x y -+=，综上所述：过P 点的切线方程为2x =或34100x y -+=；（2）①设点(,)M x y ，因为M 是弦AB 的中点，所以MO MP ⊥，又因为(,)OM x y = ，(2,4)PM x y =--，所以(2)(4)0x x y y -+-=，即22240x y x y +--=，联立22224240x y x y x y ⎧+=⎨+--=⎩解得20x y =⎧⎨=⎩或6585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为M 在圆O 的内部，所以点M 的轨迹是一段圆22240x y x y +--=以6(5-，8)5和(2,0)为端点的一段劣弧（不包括端点），在圆22240x y x y +--=方程中，令1x =，得25y =±根据点(1,25)在圆O 内部，所以点M 的纵坐标的最小值为25；②联立224(2)4y k x x y -=-⎧⎨+=⎩，整理可得222(1)4(2)(24)40k x k k x k +--+--=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 则12221224(2)1(24)410k k x x k k x x k -⎧+=⎪+⎪--⎪=⎨+⎪>⎪⎪⎩，所以21212121221212121212224(2)4[4](2)4(2)44(4)444(84)122221(24)44(2)2222222()4162411k k y y k x k x x x k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x k k ---+-++-+++=+=+=++=+=+=-=-----------++-+++ ，所以12k k +为定值1-．【点睛】本题考查求过某点的切线方程的方法，及直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2225x y +=，圆222:(1)(03)C x y r r +-=<<，点(3,4)P -，M ，N 为圆O 上的不同于点P 的两点．（1）已知M 坐标为(5,0)，若直线PM 截圆C所得的弦长为5，求圆C 的方程；（2）若直线MN 过(0,4)，求CMN ∆面积的最大值；（3）若直线PM ，PN 与圆C 都相切，求证：当r 变化时，直线MN的斜率为定值．【解答】解：（1）(3,4)P - ，(5,0)M 可得401352PM k -==---，故直线PM 的方程为：250x y +-=，∴点C 到直线PM的距离为=直线PM 截圆C，∴2224r =+=，∴圆C 的方程为：22(1)4x y +-=；（2）由题意可知直线MN 的斜率存在，故可设直线MN 的方程为40kx y -+=，所以点C 到直线MN的距离d =，可得MN =12CMN S MN d ∆∴=⋅=，令2t =，(0t ∈，16]，CMN S ∆=252t =时，即k =时，CMN ∆面积的最大值为758；（3）03r << ，所以过P 与圆相切的直线的斜率存在设为430kx y k -++=．由直线430kx y k -++=与圆222:(1)(03)C x y r r +-=<<相切，∴r =．整理可得222(9)1890r k k r -++-=，∴1221201891k k r k k >⎧⎪⎪+=⎨-⎪=⎪⎩ ，联立43kx y k -++，2225x y +=，可得211213831M k k x k --=+，222223831N k k x k --=+，∴22121212212221(3)4[(3)4]3()8()46()3M N M N MNM N M N k x k x k x k x k k k k k x x x x k k ++-++-+--====---，所以，当r 变化时，直线MN 的斜率为定值．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想、计算能力，属于中档题．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在y 轴右侧，原点O 和点(1,1)P 都在圆C 上，且圆C 在x 轴上截得的线段长度为3．（1）求圆C 的方程；（2）若M ，N 为圆C 上两点，若四边形MONP 的对角线MN 的方程为20x y m ++=，求四边形MONP 面积的最大值；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且120k k +=，试判断直线AB 的斜率是否为定值，并说明理由．【解答】解：（1）由题意，圆C 过点(0,0)，(1,1)，(3,0)，设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=．则0110930F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得310D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．∴圆C 的方程为2230x y x y +-+=，即22315()()222x y -++=；（2）由（1）可知，3(2C ，12-，半径2r =，C 到MN 的距离31|1|||22m m d -++==．MN∴==，当且仅当12m=-时取等号．由d r<，解得1122m-<-+．由O，P在MN的两侧，得(12)0m m++<，即30m-<<．O到MN的距离1d==，P到MN的距离2d=∴四边形MONP的面积121()22MNO MNPS S S MN d d∆∆=+=+=．12m∴=-时，四边形MONP 的面积有最大值为322；（3）由题意可设1:(1)1PA y k x=-+．联立122(1)130y k xx y x y=-+⎧⎨+-+=⎩，得222211111(1)(233)320k x k k x k k+--++-+=．设1(A x，1)y，则2111213211k kxk-+⨯=+，∴211121321k kxk-+=+，2111112122(1)11k ky k xk-++=-+=+．2112132(1k kAk-+∴+，2112121)1k kk-+++，结合12k k+=，同理2112132(1k kBk+++，21121211k kk--++．22111122111221111122112121112132326311ABk k k kk k kkk k k k kk k-++--+-++∴===--+++--++．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21．在直角坐标系xOy中，曲线22y x mx=+-与x轴交于A、B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC BC⊥的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．【解答】解：（1）曲线22y x mx=+-与x轴交于A、B两点，可设1(A x，0)，2(B x，0)，由韦达定理可得122x x=-，若AC BC ⊥，则1AC BC k k =- ，即有121010100x x --=--- ，即为121x x =-这与122x x =-矛盾，故不出现AC BC ⊥的情况；（2）证明：设过A 、B 、C 三点的圆的方程为22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，由题意可得0y =时，20x Dx F ++=与220x mx +-=等价，可得D m =，2F =-，圆的方程即为2220x y mx Ey +++-=，由圆过(0,1)C ，可得01020E +++-=，可得1E =，则圆的方程即为2220x y mx y +++-=，另解：设过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上的交点为(0,)H d ，则由相交弦定理可得||||||||OA OB OC OH = ，即有2||OH =，再令0x =，可得220y y +-=，解得1y =或2-．即有圆与y 轴的交点为(0,1)，(0,2)-，则过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值3．【点睛】本题考查直线与圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定系数法，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．22．如图，已知圆C 与y 轴相切于点(0,2)T ，与x 轴的正半轴交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），且||3MN =．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点M 任作一条直线与圆22:4O x y +=相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，求证：AN BN k k +为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为圆C 与y 轴相切于点(0,2)T ，可设圆心的坐标为(m ，2)(0)m >，则圆C 的半径为m ；又||3MN =，所以223254(24m =+=，解得52m =；所以圆C 的方程为22525()(2)24x y -+-=；（Ⅱ）证明：由（1）知，(1,0)M ，(4,0)N ，当直线AB 的斜率为0时，易知0AN BN k k ==，即0AN BN k k +=；当直线AB 的斜率不为0时，设直线:1AB x ty =+，将1x ty =+代入2240x y +-=，整理得22(1)230t y ty ++-=；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，所以1221222131t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，则121244AN BN y y k k x x +=+--121233y y ty ty =+--12121223()(3)(3)ty y y y ty ty -+=--22126611(3)(3)t t t t ty ty -+++=--0=；综上，可得0AN BN k k +=．【点睛】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了直线斜率的计算问题，是综合题．23．已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 过定点(1,0)A （1）若直线1l 与圆相切，切点为B ，求线段AB 的长度；（2）若1l 与圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2:220l x y ++=的交点为N ，判断AM AN 是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）圆22:(3)(4)4C x y -+-=，圆心为(3,4)，半径为2，直线1l 过定点(1,0)A ；直线1l 与圆C 相切，切点为B ，连接AB ，BC 与AC ，则BC AB ⊥，且2BC =，所以AC =4AB =，即线段AB 的长度为4；（2）易知，若斜率不存在，则1l 与圆相切，若斜率为0，则1l 与圆相离，故直线的斜率存在，可设1l 的方程：(1)y k x =-，由220(1)x y y k x ++=⎧⎨=-⎩，解得223(,)2121k k N k k --++，再由1CM l ⊥，解得22224342(,)11k k k k M k k +++++，又直线1CM l ⊥，所以14(3)(1)y x k y k x ⎧-=--⎪⎨⎪=-⎩，解得22224342(,11k k k k M k k +++++，所以6|21|AM AN k ==+ 为定值．⋯（12分）【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用问题，考查了数形结合思想与方程的应用问题，是综合性题目．。
圆中的定点、定值问题
第 1 页 共 2 页圆中的定点问题1．直线2y －3－m (2x ＋y －2)＝0必过一定点，定点的坐标为 ．(14，32)2．圆方程为：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，其必过定点，定点的坐标为 ．(0，2)和(45，25)例1．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．解：设P (2m ，m )，MP 的中点Q (m ，m2＋1)，因为P A 是圆M 的切线所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为：(x －m )2＋(y －m 2－1)2＝m 2＋(m2－1)2，化简得：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，或⎩⎨⎧x ＝45，y ＝25．所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0，2)或(1，1)．变式：直线AB 是否过定点？如果存在定点，求出所有定点；如果不存在，说明理由．解：直线AB 即为圆Q 与圆M 的公共弦所在直线，两圆方程相减得AB ：mx ＋my －2y －2m ＋3＝0，整理为：m (2x ＋y －2)－2y ＋3＝0，此式是关于m 的恒等式，故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，－2y +3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝32．例2．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1和y 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆M 上不同于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 交x 轴于E ，F 两点．当点P 变化时，以EF 为直径的圆H 是否经过圆M 内一定点？请证明你的结论．证明：设P (m ，n )，则m 2＋(n －2)2＝1，∵A (0，3)，B (0，1)，∴l AP ：y －3＝n －3m x ，l BP ：y －1＝n －1m x ，∴E (3m3－n，0)， F (m 1－n ，0)，故以EF 为直径的圆方程：(x －3m 3－n )( x －m 1－n)＋y 2＝0， 把m 2＋(n －2)2＝1代入整理得：x 2＋y 2＋6－4nmx －3＝0， 令x ＝0得y ＝±3，∵在圆内，∴过定点(0，3)．法二：可设AP 斜率为k ，则PB 斜率为－1k ，分别求出直线方程和交点，计算更简单．例3．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，点A (0，－3)，若在直线OA 上（O 为坐标原点）存在定点B（不同于点A ），满足：对于圆M 上任意一点P ，都有PBP A 为一常数，求所有满足条件的点B 的坐标．解：设B (0，t )(t ≠－3)，使得PBP A 为常数λ，则PB 2＝λ2P A 2，∴x 2＋(y －t )2＝λ2[x 2＋(y ＋3)2]，将x 2＝1－(y －2)2代入得， (4－2t －10λ2)y ＋t 2－3－6λ2＝0对y ∈[1，3]恒成立，xy． B AP OMy xB A P OM EFyx第 2 页 共 2 页∴⎩⎪⎨⎪⎧4－2t －10λ2＝0，t 2－3－6λ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝15，t ＝95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－3(舍去)， 所以存在点B ⎝⎛⎭⎫0，95对于圆M 上任一点P ，都有PB P A 为常数15． 练习：1．过直线l ：x ＝－1上的动点Q 向⊙M ：(x －2)2＋y 2＝4作切线，切点分别为S ，T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．解：由题意，点Q ，M ，S ，T 四点共圆，且QM 为该圆直径，则线段ST 即为该圆与⊙M 的公共弦，设点Q (－1，t )，所以此圆方程为(x ＋1)(x －2)＋(y －t )y ＝0，两圆作差，从而直线ST 的方程为3x －ty －2＝0，令y ＝0，x ＝23，所以直线ST 恒过一个定点，且该定点坐标为⎝⎛⎭⎫23，0． 2．已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，M ，N 是直线x ＝4上的两个动点，且F 1M →·F 2N →＝0，以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．解：由题可设点M (4，y 1)，N (4，y 2)，则以MN 为直径的圆的圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫4，y 1＋y 22，半径r ＝|y 2－y 1|2，从而圆C 的方程为(x －4)2＋⎝⎛⎭⎫y －y 1＋y 222＝(y 2－y 1)24，整理得x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋16＋y 1y 2＝0，由F 1M →·F 2N →＝0得y 1y 2＝－15， 所以x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋1＝0，令y ＝0得x 2－8x ＋1＝0，所以x ＝4±15， 所以圆C 过定点(4±15，0)．3．已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5，0)，在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBP A为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．解：法一：假设存在这样的点B (t ，0)，当P 为圆C 与x 轴左交点(－3，0)时，PB P A ＝|t ＋3|2；当P 为圆C 与x 轴右交点(3，0)时，PB P A ＝|t －3|8，依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－5(舍去)，或t ＝－95．下面证明点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PBP A为一常数．设P (x ，y )， 则y 2＝9－x 2，∴PB 2P A 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2x ＋52＋y 2＝x 2＋185x ＋8125＋9－x 2x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825(5x ＋17)2(5x ＋17)＝925，∴PB P A ＝35为常数． 法二：假设存在这样的点B (t ，0)，使得PBP A为常数λ，则PB 2＝λ2P A 2，∴(x －t )2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入得， x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t )x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3，3]恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎨⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)， 所以存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB P A 为常数35．。
圆中的定点、定值问题
圆中的定点定值问题问题1．直线2y －3－m (2x ＋y －2)＝0必过一定点，定点的坐标为 ．(14，32)2．圆方程为：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，其必过定点，定点的坐标为 ．(0，2)和(45，25)例1．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．解：设P (2m ，m )，MP 的中点Q (m ，m2＋1)，因为P A 是圆M 的切线所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为：(x －m )2＋(y －m 2－1)2＝m 2＋(m2－1)2，化简得：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式， 故2220,220.x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得02x y =⎧⎨=⎩，或4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0，2)或(45，25)．变式：直线AB 是否过定点？如果存在定点，求出所有定点；如果不存在，说明理由．解：直线AB 即为圆Q 与圆M 的公共弦所在直线，两圆方程相减得AB ：mx ＋my －2y －2m ＋3＝0，整理为：m (2x ＋y －2)－2y ＋3＝0，此式是关于m 的恒等式，故220,230.x y y +-=⎧⎨-+=⎩解得1432x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．例2．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1和y 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆M 上不同于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 交x 轴于E ，F 两点．当点P 变化时，以EF 为直径的圆H 是否经过圆M 内一定点？请证明你的结论．证明：设P (m ，n )，则m 2＋(n －2)2＝1，∵A (0，3)，B (0，1)，∴l AP ：y －3＝n －3m x ，l BP ：y －1＝n －1m x ，∴E (3m3－n，0)， F (m 1－n ，0)，故以EF 为直径的圆方程：(x －3m 3－n )( x －m1－n)＋y 2＝0， 把m 2＋(n －2)2＝1代入整理得：x 2＋y 2＋6－4nmx －3＝0， 令x ＝0得y ＝±3，∵在圆内，∴过定点(0，3)．法二：可设AP 斜率为k ，则PB 斜率为－1k ，分别求出直线方程和交点，计算更简单．例3．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，点A (0，－3)，若在直线OA 上（O 为坐标原点）存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆M 上任意一点P ，都有PBP A为一常数，求所有满足条件的点B 的坐标． 解：设B (0，t )(t ≠－3)，使得PBP A为常数λ，则PB 2＝λ2P A 2，∴x 2＋(y －t )2＝λ2[x 2＋(y ＋3)2]，将x 2＝1－(y －2)2代入得， (4－2t －10λ2)y ＋t 2－3－6λ2＝0对y ∈[1，3]恒成立，xy． BAP OM yxB A P OM EFyx∴22242100,360.t t λλ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩解得1,59.5t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,3.t λ=⎧⎨=-⎩(舍去)， 所以存在点B (0，95)对于圆M 上任一点P ，都有PB P A 为常数15．例4． 已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．（1）求圆C 的方程；（2）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A 、B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解：（1）设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2．（2）由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设P A ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0．因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2．同理可得x B ＝k 2＋2k －11＋k 2，所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A ＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k OP ，所以，直线AB 和OP 一定平行．例5．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 1过定点A (1，0)．（1）若l 1与圆相切，求l 1的方程；（2）若l 1与圆相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，判断AM ·AN 是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由． 解：（1）①若直线l 1的斜率不存在，即直线是x ＝1，符合题意． ②若直线l 1斜率存在，设直线l 1为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0．由题意知，圆心(3，4)到已知直线l 1的距离等于半径2，即||3k －4－k k 2＋1＝2，解得k ＝34． ∴所求直线方程是x ＝1或3x －4y －3＝0．（2）(解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1．又直线CM 与l 1垂直，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，y －4＝－1k (x －3)， 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2＋2k 1＋k 2．∴AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k 1＋k 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝⎛⎭⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k 21＋k 2·31＋k 2|2k ＋1|＝6为定值．故AM ·AN 是定值，且为6．(解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1．再由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，(x －3)2＋(y －4)2＝4，得(1＋k 2)x 2－(2k 2＋8k ＋6)x ＋k 2＋8k ＋21＝0．∴x 1＋x 2＝2k 2＋8k ＋61＋k 2，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2＋2k 1＋k 2．以下同解法1．。
直线与圆定值定点最值经典题训练
直线与圆定值定点最值经典题训练1．已知过点A(0,1)，且斜率为k 的直线与圆相交于M,N 两点.（1）求实数k 的取值范围； （2）求证：AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 为定值； 2．已知圆C：：x：a：2+：y：b：2=1：a：0）关于直线3x：2y=0对称，且与直线3x：4y+1=0相切．：1）求圆C 的方程；：2）若直线l：y=kx+2与圆C 交于M：N 两点，是否存在直线l ，使得OM →⋅ON →=6：O 为坐标原点）若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 3．已知圆O:x 2+y 2=1，直线l 过点A(3,0)且与圆O 相切 . （I ）求直线l 的方程；（II ）如图，圆O 与x 轴交于P,Q 两点，点M 是圆O 上异于P�Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 1，直线PM 交直线l 1于点E ，直线QM 交直线l 1于点F ，求证：以EF 为直径的圆C 与x 轴交于定点B ，并求出点B 的坐标 .4．已知圆C:(x −4)2+(y −1)2=4,直线l:2mx −(3m +1)y +2=0 （1）若直线l 与圆C 相交于两点A,B ，弦长AB 等于2√3，求m 的值；（2）已知点M(4,5)，点C 为圆心，若在直线MC 上存在定点N （异于点M ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有|PM||PN|为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及改常数．5．如图在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+(y −2)2=1，且圆C 与y 轴交于M,N 两点（点N 在点M 的上方），直线l:y =kx(k >0)与圆C 交于A ，B 两点。
（1）若AB =2√55，求实数k 的值。
（2）设直线AM ，直线BN 的斜率分别为k 1,k 2，若存在常数a 使得k 1=ak 2恒成立？若存在，求出a 的值.若不存在请说明理由。
（3）若直线AM 与直线BN 相较于点P ，求证点P 在一条定直线上。
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直线与圆定点，定值范围问题习题
1.直线(21)(1)740()m x m y m m R +++--=∈，则直线过定点____________.
2.若圆222
(3)(5)x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则半径r 的取值范围为____________.
3.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ________．
4.圆222
:22440C x y tx t y t +--+-=，则圆过定点________________.
5.若直线
y=x+b 与曲线y =b 的取值范围______________. 6.平面内动点M 到定点(2,0),(2,0)A B -的距离之比为1
2
，则动点M 的轨迹方程是______________________.
7已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是
________．
8.一束光线从点A (－1,1)出发经x 轴反射，到达圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点的最短路
程是________
9.设有一组圆C k ：(x －k ＋1)2
＋(y －3k )2
＝2k 4
(k ∈N *
)下列四个命题正确的序号有：
①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交； ③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点．
10.已知过点A （0，1），且斜率为k 的直线l 与圆C ：1)3()2(22
=-+-y x ，相交于M 、
N 两点.
（1）求实数k 的取值范围； （2）AM •AN 是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理
由。
11.已知⊙C,22
(1)5,x y +-=直线mx-y+1-m=0
(1)证明：对于m R ∈,直线与圆总有两个不同的交点A,B, (2)求弦AB 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
（3）若定点P(1，1)分弦满足PB=2PA,求AB 直线方程
12.已知⊙O 2
2
4x y +=过点
P (作倾斜角互补的直线交圆A,B ，证明直线AB 的斜率为定值。
13.点A(0，2)是圆2
2
16x y +=内的一定点，B,C 是这个圆上的两动点，若AB CA ⊥,求BC
中点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状。
A
Q
M
O
14.已知：点P 是圆2
2
16x y +=上的一个动点，点A 是x 轴上的定点，坐标为（12，0），当P 点在圆上运动时，求线段PA 的中点M 的轨迹方程
15.圆2
2(5)(4)6x y -+-=内一定点A (4,3)，在圆上作弦MN ，使90MAN ∠=，求弦MN 中点P 的轨迹方程
16.如图，已知定点A （2,0），点Q 是圆2
2
1x y +=上的动点，AOQ ∠的
平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程
17.由点P 分别向两定圆221:(2)1C x y ++=及圆22
2:(2)4C x y -+=所引切线段长度之比为
1：2，求点P 的轨迹方程
18.平面上有两点A （-1，0），B （1，0），P 为圆x y x y 2
2
68210+--+=上的一点，试求
S AP BP =+||||22的最大值与最小值，并求相应的P 点坐标。
()()()0,0,4,0,0,3,,ABC A B C P PA PB PC ∆19.已知三个顶点坐标，点是它的内切圆上一点，求以为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。
20.已知与
22:2210C x y x y +--+=相切的直线l 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，O 为坐标原点，
(),2,2OA a OB b a b ==>>.
(1)求证:()()222a b --=;(2)求线段AB 中点P 的轨迹;(3)求AOB 面积的最小值
21.已知圆M 的方程为2
2
(2)1x y +-=，直线l l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线,PA PB PA 、PB ，切点为,A B .
(1) 若0
60APB ∠=，试求点P 的坐标；
(2) 若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D
两点，当CD =
CD 的方程；
(3) 求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
22.已知⊙M:22
(2)1x y +-=，Q 是X 轴上的动点，QA,QB 分别切⊙M 于A,B 两点，
（1）
若,3
AB =
求MQ ,Q,点的坐标以及MQ 的直线方程； （2） 求证AB 过一定点；
23.已知圆C ：2
2
9x y +=,点A (－5,0)，直线l ：x －2y ＝0.
(1)求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；
（2）在直线OA 上，存在点B （不同于A ），满足：对于圆上任一点P ，都有
PB
PA
为常数，并求满足条件的B 的坐标。
,
24.若动点P 在直线:x-y-2=0上，点Q 在直线x-y-6=0上，设线段PQ 的中点为M(00,x y )且
2200(2)(2)8x y -+-≤则2200x y +的取值范围（ ）
25.已知
22:1O x y +=和点(4,2)M ．
(1) 过点M M 向
O 引切线l ，求直线l 的方程；
(2) 求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为4的M 的方程；
(3) 设P 为(2)中
M 上任一点，过点P 向O 引切线，切点为Q .试探究：平面内是否
存在一定点R ，使得PQ
PR
为定值若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．
26.已知圆22
:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 过定点(1,0)A （1） 若1l 与圆相切，求1l 的方程；
（2） 若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与直线2:220l x y ++=的交点
为N ，求证：AM AN 为定值.
27.已知方程2
2
240x y x y m +--+=
（1） 若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；
（2） 若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于,M N 两点，若以MN 为直径的圆过坐标原
点，求实数m 的值.。