圆中定点定值问题
微专题12 与圆有关的定点、定值、最值、范围问题
12－
32
2
∴ 82＋|8a（－－3|6）2＝12，
又∵M(a，0)在l的下方，∴8a－3＞0，∴8a－3＝5，a＝1. 故圆M的方程为(x－1)2＋y2＝1.
10
(2)由已知可设AC的斜率为k1，BC的斜率为k2(k1＞k2)，则直线AC的方程为y＝k1x ＋t，直线BC的方程为y＝k2x＋t＋6. 由方程组yy＝＝kk12xx＋＋tt，＋6， 得 C 点的横坐标为 x0＝k1－6 k2. ∵AB＝t＋6－t＝6， ∴S＝12k1－6 k2×6＝k11－8k2.
的弦长为 3，且圆心 M 在直线 l 的下方. (1)求圆 M 的方程； (2)设 A(0，t)，B(0，t＋6)(－5≤t≤－2)，若圆 M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积 S 的最大值和最小值.
9
解 (1)设圆心 M(a，0)，由已知得圆心 M 到 l：8x－6y－3＝0 的距离为 ＝12，
23
解 (1)连接OP，OA，OB，因为PA，PB为过点P的圆O的切线，切点为A，B， 所以OA⊥PA，OB⊥PB. 因为∠APB＝60°，∠APO＝30°，在Rt△APO中，OA＝1，所以OP＝2. 设点 P 的坐标为(t，t＋2 2)，则 t2＋(t＋2 2)2＝4，t2＋2 2t＋2＝0，即(t＋ 2)2＝0， 解得 t＝－ 2， 所以点 P 的坐标为(－ 2， 2).
24
(2)假设存在符合条件的定点R. 设点 M(x，y)，R(x0，y0)，MMPR22＝λ，则 x2＋y2＝1， 即(x－x0)2＋(y－y0)2＝λ[(x＋ 2)2＋(y－ 2)2]， 整理得－2x0x－2y0y＋x20＋y20＋1＝λ(2 2x－2 2y＋5)， 上式对任意x，y∈R，且x2＋y2＝1恒成立，
第6讲 与圆有关的定点、定值、最值与范围问题
第6讲 与圆有关的定点、定值、最值与 范围问题一、填空题1．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则点(x ，y )到圆(x ＋2)2＋(y －6)2＝1上点的距离的最小值是________． 答案 42－12．已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2最小值为________． 解析 法一 点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上，故点(x ，y )到原点距离的平方即x 2＋y 2最小值为(13－1)2＝14－213.法二 设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋sin α则x 2＋y 2＝14＋4cos α＋6sin α，所以x 2＋y 2的最小值为14－42＋62＝14－213.答案 14－2133．圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF→的最小值是________．解析 如图所示，连接CE ，CF .由题意，可知圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝5sin θ，则可得圆心M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝25，由图，可知只有当M ，P ，C 三点共线时，才能够满足PE →·PF →最小，此时|PC |＝4，|EC |＝2，故|PE |＝|PF |＝23，∠EPF ＝60°，则PE →·PF →＝(23)2×cos 60°＝6.答案 64．直线2ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析△AOB是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线2ax＋by＝1的距离等于2 2，由点到直线的距离公式，得12a2＋b2＝22，即2a2＋b2＝2，即a2＝1－b22且b∈[－2，2]．点P(a，b)与点(0,1)之间的距离为d＝a2＋(b－1)2＝12b2－2b＋2，因此当b＝－2时，d取最大值，此时d max＝3＋22＝2＋1.答案2＋15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形P ACB面积的最小值是________．解析如图所示，由题意，圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心是C(1,1)，半径为1，由P A＝PB易知四边形P ACB的面积＝12(P A＋PB)＝P A，故P A最小时，四边形P ACB的面积最小．由于P A ＝PC2－1，故PC最小时P A最小，此时CP垂直于直线3x＋4y＋8＝0，P为垂足，PC＝|3＋4＋8|5＝3，P A＝PC2－1＝22，所以四边形P ACB面积的最小值是2 2.答案2 26．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则AB的最小值为________．解析设圆上的点为(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，切线方程为x0x＋y0y＝1，分别令x ＝0，y ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，0、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1y 0，所以AB ＝1x 20＋1y 20＝(x 20＋y 20)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 20＋1y 20≥2. 答案 27．若圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝1在不等式x ＋y ＋1≥0所表示的平面区域内，则a 的最小值为________．解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝|a ＋2|2≥1，a ＋1＋1≥0，解得a ≥2－2. 答案2－28．过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．解析 因点P 在圆C 内，所以当AB 长最小时，∠ACB 最小，此时AB ⊥PC .由k PC ＝－2可得k AB ＝12.所以直线l 的方程为2x －4y ＋3＝0. 答案 2x －4y ＋3＝09．过直线x ＋y －22＝0上一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析 因为点P 在直线x ＋y －22＝0上，所以可设点P (x 0，－x 0＋22)，设其中一个切点为M .因为两条切线的夹角为60°，所以∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2，所以OP 2＝4，即x 20＋(－x 0＋22)2＝4，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)． 答案 (2，2)10．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．解析 由题意，圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心(－2，－1)在直线ax ＋by ＋1＝0上，所以－2a －b ＋1＝0，即2a ＋b －1＝0.因为(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与(2,2)的距离，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，即(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 答案 5 二、解答题11．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． (1)证明 ∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t 2. 设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t . ∴S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程是y ＝x2.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＞5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相离，∴t ＝－2不符合题意舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．已知圆C 的方程为(x ＋4)2＋y 2＝16，直线l 过圆心且垂直于x 轴，其中G 点在圆上，F 点坐标为(－6,0)．(1)若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长；(2)在平面上是否存在定点P ，使得对圆C 上任意的点G 有|GF ||GP |＝12？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，设G (－5，y G )，代入(x ＋4)2＋y 2＝16，得y G ＝±15，所以FG 的斜率为k ＝±15，FG 的方程为y ＝±15(x ＋6)．设圆心C (－4,0)到FG 的距离为d ，由点到直线的距离公式得d ＝|±215|15＋1＝152. 则直线FG 被圆C 截得的弦长为216－⎝⎛⎭⎪⎫1522＝7. 故直线FG 被圆C 截得的弦长为7.(2)设P (s ，t )，G (x 0，y 0)，则由|GF ||GP |＝12， 得(x 0＋6)2＋y 20(x 0－s )2＋(y 0－t )2＝12，整理得3(x 20＋y 20)＋(48＋2s )x 0＋2ty 0＋144－s 2－t 2＝0.①又G (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋4)2＋y 2＝16上，所以x 20＋y 20＋8x 0＝0.②将②代入①，得(2s ＋24)x 0＋2ty 0＋144－s 2－t 2＝0.又由G (x 0，y 0)为圆C 上任意一点可知，⎩⎨⎧2s ＋24＝0，2t ＝0，144－s 2－t 2＝0，解得s ＝－12，t ＝0.所以在平面上存在定点P (－12,0)，使得结论成立．13．已知⊙C 过点P (1,1)，且与⊙M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求⊙C 的方程；(2)设Q 为⊙C 上的一个动点，求PQ →·MQ→的最小值；(3)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A 、B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解(1)设圆心C (a ，b )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1.解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0.则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入，得r 2＝2. 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.所以PQ →·MQ→的最小值为－4.(也可由线性规划或三角代换求得) (3)由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设P A ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)． 由⎩⎨⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2，得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0. 因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解， 故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理，x B ＝k 2＋2k －11＋k 2.所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k OP .所以直线AB 和OP 一定平行．14. 如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 解 (1)∵|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， ∴4a ＝8，a ＝2.又∵e ＝12，即c a ＝12，∴c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝ 3. 故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.∵动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)， ∴m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*) 此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m .由⎩⎨⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上． 设M (x 1,0)，则MP →·MQ→＝0对满足(*)式的m ，k 恒成立．。
与圆有关的定点、定值、最值与范围问题
抓住2个考点
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5．(2013·连云港模拟)一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射，到 达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是________． 解析 因为点 A(－1,1)关于 x 轴的对称点为 B(－1，－1)，圆心 为(2,3)，所以从点 A(－1,1)出发经 x 轴反射，到达圆 C 上一点 的最短路程为 －1－22＋－1－32－1＝4.
BN，得A→M·B→N＝0，即(3，t1)·(1，t2)＝0，所以 3＋t1t2＝0，即 t1t2
＝－3.
所以 MN＝t1－t2＝t1＋(－t2)≥2 －t1t2＝2
当且仅当 t1＝ 3，t2＝－ 3时等号成立．
故 MN 的最小值为 2 3.
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3.
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(2)证明 由(1)得 t1t2＝－3.以 MN 为直径的圆的方程为(x－2)2 ＋(y－t1)(y－t2)＝0， 即(x－2)2＋y2－(t1＋t2)y＋t1t2＝0， 也即(x－2)2＋y2－(t1＋t2)y－3＝0.
第6讲 与圆有关的定点、定值、最值与 范围问题
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考点梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点 几何观点
Δ_＜__0 d_＞__r
Δ_＝__0 d_＝__r
Δ_＞__0 d_＜__r
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答案 4
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2020高考数学专项训练《17与圆相关的定点、定值问题》(有答案)
B
－9，0 5
对于圆
O 上任一点
P，都有PB为
PA
5
常数3. 5
变式联想
变式 1
答案：(1)y＝± 2(x－3)； 4
(2)(3±2 2，0)．
解析：(1)因为直线 l1 过点 A(3，0)，且与圆 O：x2＋y2＝1 相切，设直线 l1 的方程为 y
＝k(x－3)，即 kx－y－3k＝0，则圆心 O(0，0)到直线 l1 的距离为 d＝
B(t，0)，当 P 为圆 O 与 x 轴左交点(－3，0)时，PB＝|t＋3|；当 P 为圆 O 与 x 轴右交点 PA 2
(3，0)时，PB＝|t－3|，依题意，|t＋3|＝|t－3|，解得，t＝－5(舍去)，或 t＝－9.下面证明：
PA 8
2
8
5
点
B
－9，0 5
对于圆
O
上任一点
P，都有PB为一常数．设 PA
x＝3，
1)．解方程组 y＝ t （x＋1）， s＋1
3， 4t 得 P′ s＋1 同理可得，
3， 2t Q′ s－1 .所以以 P′Q′为直径的圆 C 的方程为(x－3)(x－3)＋
y－ 4t s＋1
y－ 2t s－1
＝0，又
s2＋t2＝1，所以整理得
x2＋y2－6x＋1＋6x－2y＝0，若圆
C
t
串讲 2 设 O 为坐标原点，F(1，0)，M 是 l：x＝2 上的点，过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆 D 交于 P，Q 两点．
(1)若 PQ＝ 6，求圆 D 的方程； (2)若 M 是 l 上的动点，求证点 P 在定圆上，并求该定圆的方程．
(2018·江苏模拟卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 是圆 O：x2＋y2＝1 与 x 轴的两个交点(点 B 在点 A 右侧)，点 Q(－2，0)，x 轴上方的动点 P 使直线 PA，PQ，PB 的 斜率存在且依次成等差数列．
圆中的定值问题
圆中的定值问题(一）探究a b⋅型定值问题定值问题是近年来中考和竞赛中的热点和难点，它要求学生能运用动与静、变与不变的辨证关系进行分析、猜想、论证，从而使问题获得解决.图形背景：如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的圆分别交x轴、y轴于A、B、C、D四点.此图虽简单，但内涵极为丰富，它可以与直角三角形、射影定理、垂径定理等有关知识联系，演变成一系列定值问题.例1.如图，圆心M的坐标（3，0），半径为5。
点P是上一动点，连接CP并延长交x轴⋅为定值，并求其于点Q，连接PD交x轴于点H，当点P在上运动时，试探究MQ MH值。
练习2、（2010•深圳）如图1所示，以点M（-1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分x交y轴于点F．（1）请直接写出OE，⊙M的半径r，CH的长；（2）如图2所示，弦HQ交x轴于点P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值；（3）如图3所示，点K为线段EC上一动点（不与E，C重合），连接BK交⊙M 于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足M N•MK=a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．练习3——已知：如图，直线y=kx+3（k＞0）交x轴于B点，交y轴于A点，以A为圆心，AB为半径作⊙A交x轴于另一点D，交y轴于E、F两点，交直线AB 于C点，连接BE、CE，∠CBD的平分线交CE于I点．（1）求证：BE=IE；（2）若AI⊥CE，①求⊙A的半径；②设Q为弧BF上一点，连接DQ交y轴于T，连接BQ并延长交y轴于G 点，求AT•AG的值；4、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，连接PO并延长，与圆相交于点B、C，PA=10，PB=5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别相交于点D和E．求：（1）⊙O的半径；（2）sin∠BAP的值；（3）AD•AE的值．圆中的定值问题（二）探究a b 型定值问题定值问题是近年来中考和竞赛中的热点和难点，它要求学生能运用动与静、变与不变的辨证关系进行分析、猜想、论证，从而使问题获得解决.图形背景：如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的圆分别交x轴、y轴于A、B、C、D四点.此图虽简单，但内涵极为丰富，它可以与直角三角形、射影定理、垂径定理等有关知识联系，演变成一系列定值问题.例.如图，若以M（1，0）为圆心，2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、D四点，点P 是上一动点，过点D作⊙M的直径DH交AP于F点，连接PH交x轴于点E，当点P在上运动时，试探究ME+MF为定值，并求其值.变式练习.如图，若以M（1，0）为圆心，2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、D四点，若P是上一动点，连接HP交x轴于E，当点P在上运动时，试探究ME-MF为定值，并求其值.例.如图，点P是上一动点，连接PC、PB、PD，当点P在上运动时，探究PC PDPB+为定值，并求其值.练习1、如图，点P是上一动点，连接PC、PB、PD，若点P在上运动时，探究PC PDPB-为定值，并求其值.练习2、如图，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧BC 上一个动点，且A（-1，0），E（1，0）．（1）如图1，求点C的坐标；（2）如图2，连接PA，PC．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段AQ的长度是否发生变化；若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；（3）如图3，连接PD，当P点在运动时（不与B、C两点重合），给出下列两个结论:①确的，请你判断哪一个是正确的，并求其值。
与圆有关的定点定值最值与范围问题
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【训练 2】 (2012·徐州市调研(一))在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 x－y＋1＝0 截以原点 O 为圆心的圆所得弦长为 6. (1)求圆 O 的方程； (2)若直线 l 与圆 O 切于第一象限，且与坐标轴交于点 D、E， 当 DE 长最小时，求直线 l 的方程； (3)设 M、P 是圆 O 上任意两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 N，若直线 MP、NP 分别交 x 轴于点(m,0)和(n,0)，问 mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
所
以PPAB22＝
xx＋＋95522＋＋yy22＝xx22＋ ＋11580xx＋＋92－5＋x29＋－82x152＝
12285··55xx＋＋1177＝
9 25
.
从而PB＝3为常数． PA 5
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法二 假设存在这样的点 B(t,0)，使得PPAB为常数 λ，则 PB2＝ λ2PA2，所以(x－t)2＋y2＝λ2[(x＋5)2＋y2]，将 y2＝9－x2 代入，得 x2－2xt＋t2＋9－x2＝λ2(x2＋10x＋25＋9－x2)， 即 2·(5λ2＋t)x＋34λ2－t2－9＝0 对 x∈[－3,3]恒成立，
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解 (1)设所求直线方程为 y＝－2x＋b，即 2x＋y－b＝0. 因为直线与圆相切， 所以 |2－2＋b|12＝3，得 b＝±3 5. 所以所求直线方程为 y＝－2x±3 5. (2)法一 假设存在这样的点 B(t,0)． 当点 P 为圆 C 与 x 轴的左交点(－3,0)时，PPAB＝|t＋2 3|；
故 mn＝2 为定值．
圆中的定点、定值问题
第 1 页 共 2 页圆中的定点问题1．直线2y －3－m (2x ＋y －2)＝0必过一定点，定点的坐标为 ．(14，32)2．圆方程为：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，其必过定点，定点的坐标为 ．(0，2)和(45，25)例1．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．解：设P (2m ，m )，MP 的中点Q (m ，m2＋1)，因为P A 是圆M 的切线所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为：(x －m )2＋(y －m 2－1)2＝m 2＋(m2－1)2，化简得：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，或⎩⎨⎧x ＝45，y ＝25．所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0，2)或(1，1)．变式：直线AB 是否过定点？如果存在定点，求出所有定点；如果不存在，说明理由．解：直线AB 即为圆Q 与圆M 的公共弦所在直线，两圆方程相减得AB ：mx ＋my －2y －2m ＋3＝0，整理为：m (2x ＋y －2)－2y ＋3＝0，此式是关于m 的恒等式，故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，－2y +3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝32．例2．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1和y 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆M 上不同于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 交x 轴于E ，F 两点．当点P 变化时，以EF 为直径的圆H 是否经过圆M 内一定点？请证明你的结论．证明：设P (m ，n )，则m 2＋(n －2)2＝1，∵A (0，3)，B (0，1)，∴l AP ：y －3＝n －3m x ，l BP ：y －1＝n －1m x ，∴E (3m3－n，0)， F (m 1－n ，0)，故以EF 为直径的圆方程：(x －3m 3－n )( x －m 1－n)＋y 2＝0， 把m 2＋(n －2)2＝1代入整理得：x 2＋y 2＋6－4nmx －3＝0， 令x ＝0得y ＝±3，∵在圆内，∴过定点(0，3)．法二：可设AP 斜率为k ，则PB 斜率为－1k ，分别求出直线方程和交点，计算更简单．例3．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，点A (0，－3)，若在直线OA 上（O 为坐标原点）存在定点B（不同于点A ），满足：对于圆M 上任意一点P ，都有PBP A 为一常数，求所有满足条件的点B 的坐标．解：设B (0，t )(t ≠－3)，使得PBP A 为常数λ，则PB 2＝λ2P A 2，∴x 2＋(y －t )2＝λ2[x 2＋(y ＋3)2]，将x 2＝1－(y －2)2代入得， (4－2t －10λ2)y ＋t 2－3－6λ2＝0对y ∈[1，3]恒成立，xy． B AP OMy xB A P OM EFyx第 2 页 共 2 页∴⎩⎪⎨⎪⎧4－2t －10λ2＝0，t 2－3－6λ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝15，t ＝95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－3(舍去)， 所以存在点B ⎝⎛⎭⎫0，95对于圆M 上任一点P ，都有PB P A 为常数15． 练习：1．过直线l ：x ＝－1上的动点Q 向⊙M ：(x －2)2＋y 2＝4作切线，切点分别为S ，T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．解：由题意，点Q ，M ，S ，T 四点共圆，且QM 为该圆直径，则线段ST 即为该圆与⊙M 的公共弦，设点Q (－1，t )，所以此圆方程为(x ＋1)(x －2)＋(y －t )y ＝0，两圆作差，从而直线ST 的方程为3x －ty －2＝0，令y ＝0，x ＝23，所以直线ST 恒过一个定点，且该定点坐标为⎝⎛⎭⎫23，0． 2．已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，M ，N 是直线x ＝4上的两个动点，且F 1M →·F 2N →＝0，以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．解：由题可设点M (4，y 1)，N (4，y 2)，则以MN 为直径的圆的圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫4，y 1＋y 22，半径r ＝|y 2－y 1|2，从而圆C 的方程为(x －4)2＋⎝⎛⎭⎫y －y 1＋y 222＝(y 2－y 1)24，整理得x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋16＋y 1y 2＝0，由F 1M →·F 2N →＝0得y 1y 2＝－15， 所以x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋1＝0，令y ＝0得x 2－8x ＋1＝0，所以x ＝4±15， 所以圆C 过定点(4±15，0)．3．已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5，0)，在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBP A为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．解：法一：假设存在这样的点B (t ，0)，当P 为圆C 与x 轴左交点(－3，0)时，PB P A ＝|t ＋3|2；当P 为圆C 与x 轴右交点(3，0)时，PB P A ＝|t －3|8，依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－5(舍去)，或t ＝－95．下面证明点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PBP A为一常数．设P (x ，y )， 则y 2＝9－x 2，∴PB 2P A 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2x ＋52＋y 2＝x 2＋185x ＋8125＋9－x 2x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825(5x ＋17)2(5x ＋17)＝925，∴PB P A ＝35为常数． 法二：假设存在这样的点B (t ，0)，使得PBP A为常数λ，则PB 2＝λ2P A 2，∴(x －t )2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入得， x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t )x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3，3]恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎨⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)， 所以存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB P A 为常数35．。
圆中的定点、定值问题
圆中的定点定值问题问题1．直线2y －3－m (2x ＋y －2)＝0必过一定点，定点的坐标为 ．(14，32)2．圆方程为：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，其必过定点，定点的坐标为 ．(0，2)和(45，25)例1．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．解：设P (2m ，m )，MP 的中点Q (m ，m2＋1)，因为P A 是圆M 的切线所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为：(x －m )2＋(y －m 2－1)2＝m 2＋(m2－1)2，化简得：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式， 故2220,220.x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得02x y =⎧⎨=⎩，或4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0，2)或(45，25)．变式：直线AB 是否过定点？如果存在定点，求出所有定点；如果不存在，说明理由．解：直线AB 即为圆Q 与圆M 的公共弦所在直线，两圆方程相减得AB ：mx ＋my －2y －2m ＋3＝0，整理为：m (2x ＋y －2)－2y ＋3＝0，此式是关于m 的恒等式，故220,230.x y y +-=⎧⎨-+=⎩解得1432x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．例2．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1和y 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆M 上不同于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 交x 轴于E ，F 两点．当点P 变化时，以EF 为直径的圆H 是否经过圆M 内一定点？请证明你的结论．证明：设P (m ，n )，则m 2＋(n －2)2＝1，∵A (0，3)，B (0，1)，∴l AP ：y －3＝n －3m x ，l BP ：y －1＝n －1m x ，∴E (3m3－n，0)， F (m 1－n ，0)，故以EF 为直径的圆方程：(x －3m 3－n )( x －m1－n)＋y 2＝0， 把m 2＋(n －2)2＝1代入整理得：x 2＋y 2＋6－4nmx －3＝0， 令x ＝0得y ＝±3，∵在圆内，∴过定点(0，3)．法二：可设AP 斜率为k ，则PB 斜率为－1k ，分别求出直线方程和交点，计算更简单．例3．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，点A (0，－3)，若在直线OA 上（O 为坐标原点）存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆M 上任意一点P ，都有PBP A为一常数，求所有满足条件的点B 的坐标． 解：设B (0，t )(t ≠－3)，使得PBP A为常数λ，则PB 2＝λ2P A 2，∴x 2＋(y －t )2＝λ2[x 2＋(y ＋3)2]，将x 2＝1－(y －2)2代入得， (4－2t －10λ2)y ＋t 2－3－6λ2＝0对y ∈[1，3]恒成立，xy． BAP OM yxB A P OM EFyx∴22242100,360.t t λλ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩解得1,59.5t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,3.t λ=⎧⎨=-⎩(舍去)， 所以存在点B (0，95)对于圆M 上任一点P ，都有PB P A 为常数15．例4． 已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．（1）求圆C 的方程；（2）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A 、B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解：（1）设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2．（2）由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设P A ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0．因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2．同理可得x B ＝k 2＋2k －11＋k 2，所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A ＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k OP ，所以，直线AB 和OP 一定平行．例5．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 1过定点A (1，0)．（1）若l 1与圆相切，求l 1的方程；（2）若l 1与圆相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，判断AM ·AN 是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由． 解：（1）①若直线l 1的斜率不存在，即直线是x ＝1，符合题意． ②若直线l 1斜率存在，设直线l 1为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0．由题意知，圆心(3，4)到已知直线l 1的距离等于半径2，即||3k －4－k k 2＋1＝2，解得k ＝34． ∴所求直线方程是x ＝1或3x －4y －3＝0．（2）(解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1．又直线CM 与l 1垂直，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，y －4＝－1k (x －3)， 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2＋2k 1＋k 2．∴AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k 1＋k 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝⎛⎭⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k 21＋k 2·31＋k 2|2k ＋1|＝6为定值．故AM ·AN 是定值，且为6．(解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1．再由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，(x －3)2＋(y －4)2＝4，得(1＋k 2)x 2－(2k 2＋8k ＋6)x ＋k 2＋8k ＋21＝0．∴x 1＋x 2＝2k 2＋8k ＋61＋k 2，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2＋2k 1＋k 2．以下同解法1．。