第二部分 专题五 第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值与最值问题
圆锥曲线中的定点、定值问题课件-2025届高三数学一轮复习
有lMN：x＝2＋1＝3，也过定点(3,0)， 故直线MN过定点，且该定点为(3,0)．
(2)设G为直线AE与直线BD的交点，求△GMN面积的最小值．
解：由A(x1，y1)，B(x2，y2)，E(x3，y3)，D(x4，y4)， 则 lAE：y＝yx33－ －yx11(x－x1)＋y1，由 y21＝4x1，y22＝4x2， 故 y＝yy4323－－yy4121x－y421＋y1＝y3＋4xy1－y3＋y21 y1＋y1＝y3＋4xy1＋y3y＋1y3y1， 同理可得 lBD：y＝y4＋4xy2＋y4y＋2y4y2，
(2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M， N，证明：线段MN的中点为定点．
解：证明：由题意可知：直线PQ的斜率存在， 设PQ：y＝k(x＋2)＋3， P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立方程
y＝k(x＋2)＋3， y92＋x42＝1， 消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0， 则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k>0，解得k<0，
[kx1＋(2k＋3)](x2＋2)＋[kx2＋(2k＋3)](x1＋2) (x1＋2)(x2＋2)
＝2kx1x2＋x(14xk2＋＋32)((xx11＋＋xx22))＋＋44(2k＋3)
＝32k4(kk22＋＋19364k(kk)－22＋＋893kk(4)－k4＋1k263＋4k)k((2292＋kk＋＋933))＋＋44(2k＋3)＝13068＝3， 所以线段MN的中点是定点(0,3)．
综合①②知，|MN|＝4 3，为定值．
规律方法
由特殊到一般法求定值问题的两个常用技巧
圆锥曲线的定点定值问题
圆锥曲线的定点定值问题（最新版）目录一、圆锥曲线的定点定值问题概述1.定点问题的定义与求解方法2.定值问题的定义与求解方法3.圆锥曲线中定点定值问题的重要性二、定点问题的求解方法1.引进参数法2.直接解法三、定值问题的求解方法1.函数与方程思想2.转化与化归思想3.数形结合思想四、圆锥曲线中定点定值问题的典型例题分析1.椭圆中的定点定值问题2.双曲线中的定点定值问题3.抛物线中的定点定值问题五、总结与展望1.圆锥曲线中定点定值问题的解题技巧与方法2.对学生逻辑思维能力与计算能力的培养正文一、圆锥曲线的定点定值问题概述圆锥曲线是解析几何中的重要内容，也是高考数学中的热点问题。
圆锥曲线中的定点定值问题，主要包括定点问题和定值问题。
定点问题是指在运动变化过程中，直线或曲线恒过平面内的某个或某几个定点，而定值问题则是指几何量在运动变化中保持不变。
这类问题对学生的逻辑思维能力和计算能力有较高的要求，是高考数学中的难点之一。
二、定点问题的求解方法1.引进参数法在解决定点问题时，我们可以引入适当的参数，将问题转化为关于参数的方程或不等式，然后求解参数的取值范围，进而得到定点的坐标。
2.直接解法对于一些简单的定点问题，我们可以直接通过解析几何中的公式和定理求解。
例如，当直线与圆相交时，直线上的定点可以通过求解直线与圆的交点得到。
三、定值问题的求解方法1.函数与方程思想在解决定值问题时，我们通常可以将问题转化为函数与方程的问题。
通过寻找合适的函数关系，我们可以得到定值的表达式，进而求解问题。
2.转化与化归思想在解决定值问题时，我们可以通过转化与化归的思想，将问题转化为更容易解决的形式。
例如，在解决椭圆中的定值问题时，我们可以将椭圆转化为圆，从而简化问题。
3.数形结合思想在解决定值问题时，我们可以利用数形结合的思想，通过几何图形的性质和公式，得到定值的表达式。
例如，在解决抛物线中的定值问题时，我们可以通过抛物线的几何性质，得到定值的表达式。
高三总复习数学课件 圆锥曲线中的定点、定值问题
定点问题
考向 1 参数法求证定点问题的一般思路 (1)把直线或者曲线方程中的变量 x，y 当作常数看待，把常量当作未知数，将方程 一端化为 0，即化为 kf(x，y)＋g(x，y)＝0 的形式(这里把常量 k 当作未知数)． (2)既然过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部 等于 0，这样就得到一个关于 x，y 的方程组，即fgxx，，yy＝＝00，. (3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，即满足fgxx，，yy＝＝00， 的点(x0，y0)为直线或曲线所过的定点．
[解] (1)抛物线 y2＝8x 的准线为 x＝－2， 所以 F(－2,0)，即 c＝2， 又因为椭圆 C 经过点 A( 6，1)，
则a62＋b12＝1， 解得 a2＝8，b2＝4， a2＝b2＋c2，
所以椭圆 C 的方程为x82＋y42＝1． (2)证明：由(1)知，A1(－2 2，0)，A2(2 2，0)， 所以 l1：x＝－2 2，l2：x＝2 2， 联立x82＋y42＝1， 消 y 得(2k2＋1)x2＋4ktx＋2t2－8＝0，
(2020·全国Ⅰ卷)已知 A，B 分别为椭圆 E：xa22＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，―A→G ·―G→B ＝8．P 为直线 x＝6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D．
(1)求 E 的方程； (2)证明：直线 CD 过定点． [解] (1)由题意得 A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)． 则―A→G ＝(a,1)，―G→B ＝(a，－1)． 由―A→G ·―G→B ＝8 得 a2－1＝8，即 a＝3． 所以 E 的方程为x92＋y2＝1．
直线过定点问题的解题模型
圆锥曲线中的定点、定值问题-高中数学总复习课件
3，0）.
综上，直线 PQ 过定点（－3，0）.
高中总复习·数学
参数法求定值
【例3】 已知 O 为坐标原点，过点 M （1，0）的直线 l 与抛物线 C ：
y 2＝2 px （ p ＞0）交于 A ， B 两点，且 · ＝－3.
程为 y ＝±（ x －1），
2
联立 x 2－ ＝1求解可得 x ＝－3，直线 PQ 过点（－3，0）.
2
当直线 PQ 斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 y ＝ kx ＋ m ， P （ x
1， y 1）， Q （ x 2， y 2），
高中总复习·数学
2
代入 x 2－ ＝1，整理得（ k 2－2） x 2＋2 kmx ＋ m 2＋2＝0，易知Δ
2
2
2
3
2
2
代入 ＋ ＝1，得（3＋4 k ） x ＋4 k （3－2 k ） x ＋4（ －
4
3
2
k ）2－12＝0.
3
设 E （ xE ， yE ）， F （ xF ， yF ），∵点 A （1， ）在椭圆上，
2
∴ xE ＝
3
−
2
4（
）2 −12
3+4 2
，
高中总复习·数学
3
yE ＝ kxE ＋ － k .
圆锥曲线中的定点、定值问题
处理圆锥曲线中定点问题的方法：（1）探索直线过定点时，可
设出直线方程为 y ＝ kx ＋ m ，然后利用条件建立关于 k ， m 的等量关
系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；（2）从特殊情况入
圆锥曲线中的定点、定值问题讲义-2023届高三数学二轮专题复习
专题复习：圆锥曲线中的定点、定值问题一、方法指导圆锥曲线是高考数学中的重点和难点，其中定点问题更是难点中的难点。
通过对近几年高考数学试卷的分析，可以发现圆锥曲线定点问题一直是高频考点，且题目难度较大，对学生的数学思维和解题能力要求较高。
因此，在高三二轮复习中，学生需要加强对圆锥曲线定点问题的复习，掌握其解题方法和技巧。
二、知识梳理圆锥曲线的定义和性质直线与圆锥曲线的位置关系圆锥曲线的定点问题及其解法三、方法总结直接法：通过联立直线和圆锥曲线的方程，消元后得到一元二次方程，再利用根与系数的关系进行求解。
这种方法适用于直线过定点但不与x轴平行的情况。
参数法：引入参数来表示直线的斜率或截距，再通过参数的取值范围来确定定点。
这种方法适用于直线过定点且与x轴平行或重合的情况。
反证法：假设定点不是坐标原点，则过该定点的直线与圆锥曲线有两个交点。
根据韦达定理，这两个交点的横坐标之和等于两倍的定点横坐标，这与题意矛盾。
因此，定点必须是坐标原点。
这种方法适用于直线过定点且与x轴垂直的情况。
由特殊到一般法如果要解决的问题是一个定值（定点）问题，而题设条件又没有给出这个定值（定点），那么我们可以这样思考：由于这个定值（定点）对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定值（定点），明确了解决问题的目标，然后进行一般情况下的推理证明.3.利用推论解题推论1过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）.推论2过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点.推论3过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点.推论4过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则k AB为定值.推论5设点A，B是椭圆x 2a2+y2b2=1（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=-b 2a2推论6过圆锥曲线的焦点F的直线（斜率存在）交圆锥曲线于P，Q两点，PQ的中垂线交x轴于点M，则MFPQ=e2，e为圆锥曲线的离心率.推论7过圆锥曲线的焦点F的直线交圆锥曲线于A，B两点，过点A，B分别作较近准线l 的垂线AA1，BB1，垂足分别为点A1，B1，设准线l与焦点所在轴交于点P，M为PF中点，则（1）AA1与BB1过点M;（2）A1F+B1F为定值.一、动直线过定点1、齐次式：例1、椭圆C :x 24+y 2=1，C (0，1)，设直线l 不过点P ，且与C 交于A 、B 两点，若k PA +k PB =−1，证明：直线l 过定点.2、参数法：例2、（2021·湖北襄阳市高三期末）已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a+=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.3、特殊到一般例2、（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．4、待定系数法例3、椭圆C ：22143x y +=左右顶点分别为A 、B ，k ≠0的直线与C 交于M 、N 两点，K BM =2K AN ，证明：直线过定点，并求出该定点.解：A (−2，0) B (2，0)设直线：y =kx +b (k ≠0) M (x 1，y 1) N (x 2，y 2) 直线与曲线联立得：(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−120 则x 1x 2=4b 2−123+4k 2x 1+x 2=−8kb3+4k 2K BM =2K AN 所以y 1x1−2= 2y 2x 2−2x 2y 1+2y 1=2x 1y 2−4y 2即k x 1x 2−(4k +b )x 2+2(b −k )x 1−6b =0代入得：−12b 2k −8k 2b −12k −18b −(6k +8k 3+9b +12k 2b )x 2=0待定系数有：{−12b 2k −8k 2b −12k −18b =06k +8k 3+9b +12k 2b =0得(2k −b )(2k +3b ) =0若b =2k ,则过定点(−2，0)，不成立； 若−3b =2k ,则过定点(23，0)，成立.5、y 1−y 2或x 1−x 2型例4、已知双曲线C ：x 23−y 2=1,过(3，0)的直线l 交C 于P 、Q 两点，过P 作直线x =1的垂线，垂足为A ，证明：AQ 过定点解：当l 斜率不存在时P (3，√2) Q (3，−√2) 或P (3，−√2) Q (3，√2)过P 作x =1垂线：A (1，√2)或A(1，−√2)此时AQ ：y =√2x −2√2或y = −√2x +2√2 过定点(2，0) 当l 斜率存在时 l ：y =k (x −3) P (x 1，y 1) Q (x 2，y 2) 与双曲线联立得：(1−3k 2)x 2+18k 2x −27k 2−3=0 有x 1x 2=−27k 2−31−3k 2x 1+x 2=−18k 21−3k 2AQ :y =y 1+y 2x 2−1x −x 2(y 2−y 1)x 2−1+y 2令y =0 x =y 2−x 2y 1y 2−y 1= −kx 1x 2+4kx 2−3k2−x 1)=−x 1x 2+4x 2−3x 2−x 1= 27k 2=31−3k 2−3+4x 2−(x 1+x 2−2x 2)= 36k 21−3k 2+4x 218k 21−3k 2+2x 2=2过定点（2，0）二、动点在定直线上的问题例3、（2021·山东威海市高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为1,,2A B 分别是它的左、右顶点，F 是它的右焦点，过点F 作直线与C 交于,P Q (异于,A B )两点，当PQ x ⊥轴时，APQ ∆的面积为92.（1）求C 的标准方程;（2）设直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证:点M 在定直线上.解:（1）由题意知12c a =，所以2a c =，又222a b c =+， 所以3b c =当PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为92， 所以()212922b ac a +⋅=解得21,c =所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知()1,0F ，设直线PQ 的方程为1x my =+，与椭圆22143x y +=联立，得()2234690m y my ++-=.显然0∆>恒成立. 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 所以有12122269,3434m y y y y m m +=-=-++ ()* 直线AP 的方程为()112+2y y x x =+，直线BO 的方程为()2222y y x x =--， 联立两方程可得，所以()()121222+22y y x x x x +=-- ()()121212212121213232221my y x y my y y x x y x y my my y y ++++=⋅==---- 由()*式可得()121232y y y y m=+， 代入上式可得()()1212121221339222233322232y y y y x y y x y y y y +++==-+-=++， 解得4,x = 故点M 在定直线4x =上.三、其他曲线过定点例4、（2021·湖北武汉市高三月考）设P 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴顶点A 1，A 2的任意一点，过P 作C 的切线与分别过A 1，A 2的切线交于B 1，B 2两点，已知|A 1A 2|=4，椭圆C 的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）以B 1B 2为直径的圆是否过x 轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由.解：（1）由题可知122412A A a c e a ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得2,1a c ==，由222a b c =+得23b =， 椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设00(,)P x y ，由于P 是异于长轴顶点12,A A 的任意一点，故切线斜率存在.设过P 的椭圆的切线为y kx b =+，联立方程22143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kbx b +++-=，222(8)4(34)(412)0kb k b ∆=-+-=，得2234b k =+，由002200143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 所以()220034y kx k -=+，则()22200004230x k y x k y --+-=，即222000016290y k y x k x ++=所以()200430y k x +=，则034x k y =-解得过P 点的切线方程为()000034x y y x x y -=--，即000334x x y y y =-+ 由于分别过12,A A 的切线分别为2,2x x =-=， 解得12,B B 的坐标为0012006363(2,),(2,)22x x B B y y +--.在x 轴上取点(),0M t ，则010632,2x MB t y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，020632,2x MB t y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 所以2220122369414x MB MB t t y -⋅=-+=-. 当1t =±时，120MB MB ⋅=.所以，以12B B 为直径的圆过x 轴上的定点为12(1,0),(1,0)F F -.二、例题讲解例1A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求证： (1)A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值； (2)直线AB 经过一定点．例2如图，直线y ＝12x 与抛物线y ＝18x 2－4交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线y ＝－5交于Q 点． (1)求点Q 的坐标；(2)当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A ，B )的动点时，求△OPQ 面积的最大值．例3如图，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的相异两点，Q ，P 到y 轴的距离的积为4，且OP →·OQ →＝0. (1)求该抛物线的标准方程；(2)过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴的交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．三、课时练习1．已知λ∈R ，则不论λ取何值，曲线C ：λx 2－x －λy ＋1＝0恒过定点( ) A ．(0，1) B ．(－1，1) C ．(1，0) D ．(1，1)2．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与两坐标轴均不平行，k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝( )A ．－c 2a 2B ．－b 2a 2C ．－c 2b 2D ．－a 2b23．直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 2a＝1相切，则k ，a 的取值范围分别是( )A ．a ∈(0，1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B ．a ∈(0，1]，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 C ．a ∈(0，1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．a ∈(0，1]，k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12 4．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的点，设点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到圆(x ＋3)2＋(y－3)2＝1上一动点Q 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．32＋15．抛物线y 2＝12x 与直线3x －y ＋5＝0的最近距离为______．6．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是____．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的任意一点，求PF 1→·PA →的取值范围；(3)直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的顶点)，AH ⊥MN ，垂足为H ，且AH →2＝MH →·HN →，求证：直线l 恒过定点．。
圆锥曲线专题书目录 (1)
圆锥曲线专题书目录第一章华山论剑——圆锥曲线基础知识和基本定理专题一白云出岫——基础知识点 (1)第一讲椭圆 (1)第二讲双曲线 (9)第三讲抛物线 (21)第四讲圆锥曲线第一定义 (29)第五讲圆锥曲线第二定义 (35)第六讲圆锥曲线第三定义与点差法 (39)专题二有凤来仪——焦长与焦比体系 (46)第一讲椭圆焦长与焦比问题 (46)第二讲双曲线焦点三角形问题 (50)第三讲抛物线焦长公式及性质 (53)第四讲过焦点的面积最值问题 (55)第五讲过焦点的弦及其中垂线的性质 (57)专题三天坤倒悬——轨迹方程的求法 (60)第一讲定义法 (60)第二讲直译法 (61)第三讲相关点法 (63)第四讲交轨法 (66)第五讲参数方程法 (69)第二章万剑归宗——小题快速解题技巧专题一万剑自生——三角形的相关性质 (72)第一讲与等腰三角形有关的解题技巧 (72)第二讲直角三角形相关问题 (80)第三讲椭圆与双曲线共焦点三角形 (88)第四讲相似三角形在几何中的应用 (93)第五讲余弦定理在解析几何中的运用 (98)第六讲双曲线渐近线与离心率的问题 (102)专题二剑冲废穴——四边形相关性质 (108)第一讲平行四边形对角线性质及梯形相关性质 (108)第二讲极化恒等式与矩形大法 (112)第三讲辅助角公式 (116)专题三归元武学——圆锥曲线与圆的混合问题 (119)第一讲圆的基本性质 (119)第二讲直线和圆的基本关系 (122)第三讲三角形的内切圆与旁切圆 (126)第四讲圆幂定理 (132)第五讲三角形的外接圆与正弦定理 (138)第六讲圆与圆锥曲线综合问题 (142)专题四宗远功长——抛物线的综合问题 (146)第一讲抛物线中的垂直问题 (146)第二讲定点定值问题 (149)第三讲抛物线的最值问题 (154)第三章少林棍法——圆锥曲线的同构式方程专题一小夜叉棍法——齐次化探究 (156)第一讲斜率和积与定值定点问题 (156)第二讲先求轨迹再齐次化 (164)第三讲齐次化求取值范围 ................................................................................. 16 错误！未定义书签。
高考数学二轮复习第2部分专题5解析几何第3讲圆锥曲线中的综合问题课件理
切入点：(1)直接套用斜率公式，并借助－12＜x＜32求其范围； (2)先分别计算|PA|、|PQ|的长，再建立|PA|·|PQ|的函数，进而借 助导数求其最值．
[解](1)设直线AP的斜率为k，k＝xx2＋－1214＝x－12， 因为－12<x<32， 所以－1＜x－12＜1， 即直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．
(与向量交汇直线过定点问题)设M点为圆C：x2＋y2＝4上的动 点，点M在x轴上的投影为N.动点P满足2 P→N ＝ 3 M→N ，动点P的轨迹 为E.
(1)求E的方程； (2)设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx＋m与曲线E交于A，B两 点(A，B不是左、右顶点)，且满足| D→A ＋ D→B |＝| D→A － D→B |，求证：直 线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
第二部分 讲练篇
专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的综合问题
研考题 举题固法
求圆锥曲线中的最值范围问题(5年2考) 考向1 构造不等式求最值或范围
[高考解读] 以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，融函数与 方程，均值不等式、导数于一体，重在考查学生的数学建模、数学 运算能力和逻辑推理及等价转化能力.
[解](1)设点M(x0，y0)，P(x，y)，由题意可知N(x0,0)， ∵2P→N＝ 3M→N，∴2(x0－x，－y)＝ 3(0，－y0)， 即x0＝x，y0＝ 23y， 又点M在圆C：x2＋y2＝4上，∴x20＋y20＝4， 将x0＝x，y0＝ 23y代入得x42＋y32＝1， 即轨迹E的方程为x42＋y32＝1.
设C(p，q)，由2qpp＝＋q21，－2＝0
得p＝q＝2，所以C(2,2)．
高考数学(理科)新精准大二轮：专题五 第三讲 第2课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题
1．(2019·山西太原模拟)已知动点C 到点F (1,0)的距离比到直线x ＝－2的距离小1，动点C 的轨迹为E .(1)求曲线E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (km <0)与曲线E 相交于A ，B 两个不同点，且OA →·OB →＝5，证明：直线l 经过一个定点．解析：(1)由题意可得动点C 到点F (1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离，∴曲线E 是以点(1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线．设其方程为y 2＝2px (p >0)，∴p 2＝1，∴p ＝2，∴曲线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x 得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0，∴x 1＋x 2＝4－2km k 2，x 1x 2＝m 2k2，Δ＝(2km －4)2－4m 2k 2＝16(1－km )>0.∵OA →·OB →＝5，∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2＋4km k 2＝5， ∴m 2＋4km －5k 2＝0，∴m ＝k 或m ＝－5k .∵km <0，则m ＝k 舍去，∴m ＝－5k ，满足Δ＝16(1－km )>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －5)，∴直线l 必经过定点(5,0)．2．(2019·成都模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为42，离心率为13. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，左，右顶点分别为A ，B ，点M ，N 为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且F 1M ∥F 2N ，直线F 1M 的斜率为26，记直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求3k 1＋2k 2的值．解析：(1)由题意，得2b ＝42，c a ＝13， 又a 2－c 2＝b 2，∴a ＝3，b ＝22，c ＝1.∴椭圆方程为：x 29＋y 28＝1. (2)由(1)，可知A (－3,0)，B (3,0)，F 1(－1,0)，据题意，F 1M 的方程为y ＝26(x ＋1)．记直线F 1M 与椭圆的另一交点为M ′，设M (x 1，y 1)(y 1>0)，M ′(x 2，y 2)，∵F 1M ∥F 2N ，根据对称性，得N (－x 2，－y 2)，联立⎩⎨⎧8x 2＋9y 2＝72，y ＝26(x ＋1)，消去y ，得14x 2＋27x ＋9＝0.∵x 1>x 2，∴x 1＝－37，x 2＝－32， ∵k 1＝y 1x 1＋3＝26(x 1＋1)x 1＋3＝469， k 2＝－y 2－x 2－3＝26(x 2＋1)x 2＋3＝－263. ∴3k 1＋2k 2＝3×469＋2×⎝⎛⎭⎫－263＝0， 即3k 1＋2k 2的值为0.3．(2019·山东济宁模拟)已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点M 是直线y ＝x 与抛物线E 在第一象限内的交点，且|MF |＝5.(1)求抛物线E 的方程；(2)如图，不过原点的直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点Q ，过点A ，B 分别作抛物线E 的切线，与x 轴分别相交于C ，D 两点．判断直线QC 与直线BD 是否平行？直线QC 与直线QD 是否垂直？并说明理由．解析：(1)依题意，设点M (t ，t )(t >0)．由|MF |＝5，得t ＋p 2＝5.① 又点M 在抛物线E 上，则t 2＝2pt (t >0)，即t ＝2p ，②联立①②，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)由(1)知抛物线E ：x 2＝4y ，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (b ≠0)，则Q (0，b )，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4b ＝0，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b . 由x 2＝4y 得y ＝14x 2，从而y ′＝12x ， 所以过点A (x 1，y 1)的切线方程为y －14x 21＝x 12(x －x 1)， 令y ＝0，得C ⎝⎛⎭⎫x 12，0，同理可得D ⎝⎛⎭⎫x 22，0， 所以k QC ＝b －00－x 12＝－2b x 1＝－－x 1x 22x 1＝x 22， k BD ＝y 2x 2－x 22＝14x 22x 22＝x 22，所以QC ∥BD .若QC ⊥QD ， 则QC →·QD →＝x 12·x 22＋(－b )·(－b )＝x 1x 24＋b 2＝b 2－b ＝0， 解得b ＝1(b ＝0舍去)，所以当Q 为焦点F 时，b ＝1，此时QC ⊥QD ；当Q 不为焦点F 时，QC 与QD 不垂直．4．(2019·上海模拟)已知抛物线方程y 2＝4x ，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：d (P )＝|PF ||FQ |. (1)当P ⎝⎛⎭⎫－1，－83时，求d (P )； (2)证明：存在常数a ，使得2d (P )＝|PF |＋a ；(3)P 1，P 2，P 3为抛物线准线上三点，且|P 1P 2|＝|P 2P 3|，判断d (P 1)＋d (P 3)与2d (P 2)的关系．解析：(1)抛物线方程y 2＝4x 的焦点F (1,0)，P ⎝⎛⎭⎫－1，－83， k PF ＝832＝43，PF 的方程为y ＝43(x －1)，代入抛物线的方程，解得x Q ＝14， 抛物线的准线方程为x ＝－1，可得|PF |＝22＋649＝103， |QF |＝14＋1＝54，d (P )＝|PF ||QF |＝83. (2)证明：当P (－1,0)时，a ＝2d (P )－|PF |＝2×2－2＝2，设P (－1，y P )，不妨设y P >0，PF ：x ＝my ＋1，则my P ＝－2，联立x ＝my ＋1和y 2＝4x ，可得y 2－4my －4＝0，y Q ＝4m ＋16m 2＋162＝2m ＋21＋m 2，2d (P )－|PF |＝2y P y Q －1＋m 2y P ＝2·－2m (2m ＋21＋m 2)＋21＋m 2m ＝－2·1＋m 2－m m ＋21＋m 2m＝2， 则存在常数a ，使得2d (P )＝|PF |＋a .(3)设P 1(－1，y 1)，P 2(－1，y 2)，P 3(－1，y 3)，则2[d (P 1)＋d (P 3)]－4d (P 2)＝|P 1F |＋|P 3F |－2|P 2F |＝4＋y 21＋4＋y 23－24＋y 22＝4＋y 21＋4＋y 23－2⎝⎛⎭⎫y 1＋y 322＋4＝4＋y 21＋4＋y 23－(y 1＋y 3)2＋16，由(4＋y 21＋4＋y 23)2－[(y 1＋y 3)2＋16]＝24＋y 214＋y 23－2y 1y 3－8， (4＋y 21)(4＋y 23)－(y 1y 3＋4)2＝4(y 21＋y 23)－8y 1y 3＝4(y 1－y 3)2>0，则d (P 1)＋d (P 3)>2d (P 2)．。
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4k 3 因为 MP ＝－ m －x1，m， MQ ＝(4－x1,4k＋m)，
16k 4kx1 12k 2 MQ 由 MP · ＝0，得－ m ＋ m －4x1＋x1＋ m ＋3＝0，
3 1 取k＝－2，m＝2，此时P1，2，Q(4,0)， 52 32 45 以PQ为直径的圆为x－2 ＋y－4 ＝16，
交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．
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所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)． 以下证明M(1,0)就是满足条件的点：
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化简得4k2－m2＋3＝0.(*) 4km 4k 3 此时x0＝－ 2 ＝－ m ，y0＝kx0＋m＝m， 4k ＋3
4k 3 所以P－ m ，m. x＝4， 由 y＝kx＋m，
得Q(4,4k＋m)．
假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M 必在x轴上．
k 2 整理，得(4x1－4)m＋x1－4x1＋3＝0.(**) 由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，
4x1－4＝0， 所以 2 x1－4x1＋3＝0，
解得x1＝1.
故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
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法二：同(2)法一假设前内容． 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M 必在x轴上． 取k＝0，m＝ 3，此时P(0， 3)，Q(4， 3)， 以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－ 3)2＝4， 交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；
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y＝x， 解：(1)联立方程 2 x ＝2py，
得x2－2px＝0，故O(0,0)，
N(2p,2p)，所以|ON|＝ 4p2＋4p2＝2 2p. 由2 2p＝4 2得p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y. (2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零，设其方程为
1 y＝kx＋1，则直线l与x轴交点为M－k，0，
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(2)由题意直线 MN 的方程为 y＝kx＋m， x2 2 ＋y ＝1， 由 2 消去 y 得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0. y＝kx＋m 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 2m2－2 kx1＋m 4km 则 x1＋x2＝－ 2 ，x1x2＝ 2 ，且 kF M＝ ， 2 2k ＋1 2k ＋1 x1－1 kx2＋m kF N＝ ， 2 x2－1 由已知 α＋β＝π 得 kF M＋kF N＝0，
4k 3 因为M的坐标为(1,0)，所以 MP ＝ － m －1，m ， MQ ＝
12k 12k MQ (3,4k＋m)，从而 MP · ＝－ m －3＋ m ＋3＝0，
故恒有 MP ⊥ MQ ，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径
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6 ①若AF1－BF2＝ 2 ，求直线AF1的斜率； ②求证：PF1＋PF2是定值． [思路点拨] a，b的值； (2)由(1)可知F1、F2的坐标，设出直线AF1与BF2的方程，然后 利用弦长公式可求|AF1|与|BF2|，从而可求AF1的斜率；分别用AF1 和BF2表示PF1与PF2，即可证明PF1＋PF2为定值． (1)将点(1，e)和
kx1＋1 kx2＋1 y1 所以a＝ ＝－ kx ，同理可得b＝－ kx ， 1－y1 1 2
kx1＋1 kx2＋1 x2＋x1 则a＋b＝－ ＋ kx ＝－2＋ kx x ＝－1， kx1 2 1 2
所以对任意的直线l，a＋b为定值－1.
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a2－1 3 即 a4 ＋4＝1，解得a2＝2. x2 2 因此，所求椭圆的方程是 2 ＋y ＝1.
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(2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，又因为直线AF1与BF2平行，所 以可设直线AF1的方程为x＋1＝my，直线BF2的方程为x－1＝my. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>0，y2>0. x2 2 1 ＋y1＝1， 由 2 得(m2＋2)y2－2my1－1＝0， 1 x1＋1＝my1， m＋ 2m2＋2 解得y1＝ ， m2＋2 故AF1＝ ＝ x1＋12＋y1－02 m2＋1 .①
2m2＋1＋m my12＋y2＝ 1 m2＋2
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2m2＋1－m m2＋1 同理，BF2＝ .② 2 m ＋2 2m m2＋1 ⅰ.由①②得AF1－BF2＝ ， m2＋2 2m m2＋1 6 解 ＝ 2 ，得m2＝2，注意到m>0，故m＝ 2. m2＋2 1 2 所以直线AF1的斜率为m＝ 2 . PB BF2 ⅱ.证明：因为直线AF1与BF2平行，所以PF ＝AF ， 1 1
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PB＋PF1 BF2＋AF1 于是 PF ＝ AF ， 1 1 AF1 故PF1＝ BF . AF1＋BF2 1 由B点在椭圆上知BF1＋BF2＝2 2， AF1 从而PF1＝ (2 2－BF2)． AF1＋BF2 BF2 同理PF2＝ (2 2－AF1)． AF1＋BF2
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AF1 BF2 因此，PF1＋PF2＝ (2 2－BF2)＋ AF1＋BF2 AF1＋BF2 2AF1· 2 BF (2 2－AF1)＝2 2－ . AF1＋BF2 2 2m2＋1 又由①②知AF1＋BF2＝ ， 2 m ＋2 m2＋1 2 3 2 AF1· 2＝ 2 BF ，所以PF1＋PF2＝2 2－ 2 ＝ 2 . m ＋2 因此，PF1＋PF2是定值．
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专 题 五
第 三 讲
第 二 课 时
透析高 考
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通法——归纳领悟
冲刺
直击高 考
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第二课时
圆锥曲线中的定点、定值与最值问题
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圆锥曲线中的定点问题
[例1] x2 y2 如图，椭圆E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)
1 的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝2.过F1 的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8. (1)求椭圆E的方程； (2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且 与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M， 使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不 存在，说明理由．
记点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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y＝kx＋1， 由 2 x ＝4y，
得x2－4kx－4＝0，
所以Δ＝(4k)2－(－16)＝16(k2＋1)>0， 故x1＋x2＝4k，x1·2＝－4. x
1 由 MA＝a AF ，得x1＋k，y1＝a(－x1,1－y1)，
e，
3 代入椭圆方程即可求得 2
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[规范解答]
c (1)由题设知a ＝b ＋c ，e＝a.
2 2 2
1 c2 由点(1，e)在椭圆上，得a2＋a2b2＝1， 解得b2＝1.于是c2＝a2－1，
又因为点e，
e2 3 3 在椭圆上，所以a2＋4b2＝1， 2
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所以b＝ a2－c2＝ 3. x2 y2 故椭圆E的方程是 4 ＋ 3 ＝1. y＝kx＋m， 2 2 (2)法一：由x y 4 ＋ 3 ＝1， 得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)， 所以m≠0且Δ＝0， 即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，
1 2
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kx1＋m kx2＋m 即 ＋ ＝0. x1－1 x2－1 化简，得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0， 2m2－2 4kmm－k 所以2k· 2 － －2m＝0， 2k ＋1 2k2＋1 整理得m＝－2k. 故直线MN的方程为y＝k(x－2)， 因此直线MN过定点，该定点的坐标为(2,0).
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圆锥曲线中的定值问题
[例2] (2012· 江苏高考)如图，在平面直角
x2 y2 坐标系xOy中，椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、 右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)
和e，
3 都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率． 2
(1)求椭圆的方程； (2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线 BF2平行，AF2与BF1交于点P，
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[思路点拨]
(1)由椭圆的定义求出a，b的值即可确定标
准方程；
(2)首先由题意探求出M的位置应在x轴上，然后假设存 在，并利用MP⊥MQ解决．
[规范解答] (1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8， 又因为|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a， 所以4a＝8，a＝2. 1 c 1 又因为e＝2，即a＝2，所以c＝1，
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2 c 2 解：(1)由椭圆C的离心率e＝ 2 ，得a＝ 2 ， 其中c＝ a2－b2， 椭圆C的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)． 又∵点F2在线段PF1的中垂线上， ∴|F1F2|＝|PF2|，∴(2c)2＝( 3)2＋(2－c)2， 解得c＝1，∴a2＝2，b2＝1. x2 2 ∴椭圆的方程为 2 ＋y ＝1.
从而得到定值. 返回
2．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，O为坐标原点，F为抛物线的焦 点，直线y＝x与抛物线C相交于不同的两点O、N，且|ON|＝ 4 2. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A，B，交x轴于点 M，且 MA＝a AF ， MB ＝b BF ，对任意的直线l，a＋b是 否为定值？若是，求出a＋b的值；否则，说明理由．
的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).
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x2 y2 2 1．已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率e＝ 2 ，左、右焦点分 别为F1、F2，点P(2， 3)，点F2在线段PF1的中垂线上． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与 F2N的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π，试问直线l是否过定 点？若过，求该定点的坐标．