高考数学专题复习-圆锥曲线定值定点问题
高考数学复习：圆锥曲线的定点、定值、定直线
高考数学复习：圆锥曲线的定点、定值、定直线【热点聚焦】纵观近几年的高考试题，圆锥曲线的定点、定值、定直线问题是热点之一.从命题的类型看，主要是大题.一般说来，考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系问题，综合性较强，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长、面积、参数、几何量为定值，或定点在某直线上、定直线过某点等.难度往往大些.【重点知识回眸】（一）定值问题1.定义：定值问题是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．3.常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.4.定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算（二）定点问题1.求解圆锥曲线中的定点问题的两种思路：(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关.(2)直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组()0g()0f x y x y =⎧⎨=⎩，，；③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，则可以特殊解决.2.求解圆锥曲线中的定点问题的方法（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ）（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至易于找到00,x y .常见的变形方向如下：①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“()k ⋅”的形式，从而00,x y 只需要先让括号内的部分为零即可②若等式为含k 的分式，00,x y 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）3.一些技巧与注意事项：（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）.然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合.属于“先猜再证”.（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件.例如：直线:1l y kx k =+-，就应该能够意识到()11y k x =+-，进而直线绕定点()1,1--旋转.（三）定直线问题探求圆锥曲线中的定直线问题的两种方法：方法一是参数法，即先利用题设条件探求出动点T 的坐标(包含参数)，再消去参数，即得动点T 在定直线上；方法二是相关点法，即先设出动点T 的坐标为(x，y)，根据题设条件得到已知曲线上的动点R 的坐标，再将动点R 的坐标代入已知的曲线方程，即得动点T 在定直线上．【典型考题解析】热点一定值问题【典例1】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ= ，QN QO μ= ，求证：11λμ+为定值．【典例2】如图，已知抛物线2:4C x y =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）.(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||MN MN -为定值，并求此定值.【典例3】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为43的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，B 在x 轴的上方，且点B 的横坐标为4.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设点P 为抛物线C 上异于A ，B 的点，直线PA 与PB 分别交抛物线C 的准线于E ，G 两点，x 轴与准线的交点为H ，求证：HG HE ⋅为定值，并求出定值.【典例4】已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH = ．证明：直线HN 过定点．【典例5】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【典例6】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【总结提升】动直线l 过定点问题的常见思路设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k(x ＋m)，故动直线过定点(－m,0)．【典例7】设椭圆的焦点在x 轴上（Ⅰ）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；（Ⅱ）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上.【典例8】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，点()0,A b ，若12AF F △的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点1F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若0DE MN ⋅= ，证明：直线PQ 过定点．【典例9】设12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右两个焦点，O 为坐标原点，若点P 在双曲线C 的右支上，且1122,OP OF PF F == 的面积为3.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)若双曲线C 的两顶点分别为()()12,0,,0A a A a -，过点2F 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.1．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.2．在平面直角坐标系中，动点(),M x y 与定点()5,0F 的距离和M 到定直线16:5l x =的距离的比是常数54，设动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设()2,0P ，垂直于x 轴的直线与曲线C 相交于,A B 两点，直线AP 和曲线C 交于另一点D ，求证：直线BD 过定点.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为32，右焦点F.(1)求双曲线C 的方程；(2)若12,A A 分别是C 的左､右顶点，过F 的直线与C 交于,M N 两点（不同于12,A A ）.记直线12,A M A N 的斜率分别为12,k k ，请问12k k 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.4．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为()11,0F -，上、下顶点分别为A ，B ，190AF B ∠=︒．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆上有三点P ，Q ，M 满足OM OP OQ =+uuu r uu u r uuu r ，证明：四边形OPMQ 的面积为定值．5．已知动圆M 过定点()2,0A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心M 的轨迹为曲线L ．(1)求L 的方程；(2)已知点()3,2B --，()2,1C ，P 是L 上的一个动点，设直线PB ，PC 与L 的另一交点分别为E ，F ，求证：当P 点在L 上运动时，直线EF 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，一个焦点1F 与抛物线2y =-的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线:l y kx m =+交C 于,A B 两点，直线1F A 与1F B 关于x 轴对称，证明：直线l 恒过一定点．7．在直角坐标系xOy 中，已知定点(0,1)F ，定直线:3l y =-，动点M 到直线l 的距离比动点M 到点F 的距离大2．记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线？(2)设0(2,)P y 在C 上，不过点P 的动直线1l 与C 交于A ，B 两点，若90APB ∠=︒，证明：直线1l 恒过定点．8．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，M 为直线3x =-上任意一点，过F 作MF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．证明：OM 经过线段PQ 的中点N ．（其中O 为坐标原点）9．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2.(1)求E 的方程；(2)过点()4,0M -且斜率不为0的直线l 与E 自左向右依次交于点B ，C ，点N 在线段BC 上，且MB NBMC NC =，P 为线段BC 的中点，记直线OP ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.10．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段RS，C的离心率为2．(1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，(2,0)P ，且总存在实数R λ∈，使得PA PB PF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭ ，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，圆O ：222x y a +=，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 和圆O.(1)求C 的方程；(2)过圆O 上一点P （不在坐标轴上）作C 的两条切线1l ，2l ，记1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，直线OP 的斜率为3k ，证明：()123k k k +为定值.12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．。
2022年高考数学专题圆锥曲线中的“三定问题”(定点、定值、定直线)
圆锥曲线中的“三定问题”（定点、定值、定直线）1．定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.2．定点问题解决步骤：①设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；②根与系数关系列出两根和及两根积；③写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；④整理③所得表达式探求其恒成立的条件．3．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．4．存在型定值问题的求解，解答的一般思路如下：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．5．求定线问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P 到 0,1F 的距离比它到直线2y 的距离小1． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线与曲线C 交于A ，B 两点， 2,1Q ，记直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：1211k k为定值．2．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）过点P（1，1）作两条动直线l1，l2分别交抛物线于点A，B，C，D．设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆的公共弦所在直线为m，试判断直线m是否经过定点，并说明理由．3．已知椭圆22221(0)x y a b a b 的一个焦点到双曲线2212x y 渐近线的距离为3，且点2M 在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC 、BD 过原点O ，直线AC 和BD 的斜率之积－22b a，证明：四边形ABCD 的面积为定值．4．已知点(1,2)P 在抛物线2:2C y px 上，过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A 、B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO ，QN QO uuu r uuu r ，试判断11+ 是否为定值，若是，求11+ 值；若不是，求11+的取值范围．5．已知双曲线的对称中心在直角坐标系的坐标原点，焦点在坐标轴上，双曲线的一条渐近线的方程为4,6，过双曲线上的一点P（P在第一象限）作斜率不为l，l与直线y ，且双曲线经过点x 交于点Q且l与双曲线有且只有一个交点．1（1）求双曲线的标准方程；（2）以PQ为直径的圆是否经过一个定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．6．已知双曲线C ：22221x y a b 0,0a b 的两条渐近线互相垂直，且过点D．（1）求双曲线C 的方程；（2）设P 为双曲线的左顶点，直线l 过坐标原点且斜率不为0，l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线m 过x 轴上一点Q （异于点P ），且与直线l 的倾斜角互补，m 与直线PA ，PB 分别交于,M N （,M N 不在坐标轴上）两点，若直线OM ，ON 的斜率之积为定值，求点Q 的坐标．7．已知椭圆2222:1x y C a b，离心率为12，过椭圆左焦点1F 作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点，直线m 的方程为2x a ，过点M 作ME 垂直于直线m 交直线m 于点E ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）①求证线段EN 必过定点P ，并求定点P 的坐标；②点O 为坐标原点，求OEN 面积的最大值．22a b 122一点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设(,)R s t 是椭圆C 上的一动点，由原点O 向22()()4x s y t 引两条切线，分别交椭圆C 于点,P Q ，若直线,OP OQ 的斜率均存在，并分别记为12,k k ，求证：12k k 为定值．22a b 12221:()1F x c y 与圆222:()9F x c y 相交，两圆交点在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l 不经过 0,1P 点且与椭圆E 相交于,A B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率之和为2 ，证明：直线l 过定点．10．已知抛物线2:4C y x 的焦点为F ，斜率为k 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，与x 轴交于 ,0P a （1）当1k ，3a 时．求AF BF 的值；（2）当点P 、F 重合时，过点A 的圆 2220x y r r 与抛物线C 交于另外一点D ．试问直线BD 是否过x轴上的定点Q ？若是，请求出点Q 坐标；若不是，请说明理由．11．已知抛物线22(0)y px p 上一点 4,t 到其焦点的距离为5． （1）求p 与t 的值；（2）过点 21M ,作斜率存在的直线l 与拋物线交于,A B 两点（异于原点O ），N 为M 在x 轴上的投影，连接AN 与BN 分别交抛物线于,P Q ，问：直线PQ 是否过定点，若存在，求出该定点，若不存在，请说明理由．12．已知抛物线 21:20C y px p 的焦点是椭圆 22222:10x y C a b a b的右焦点，且两条曲线的一个交点为 000,2p E x y x，若E 到1C 的准线的距离为53，到2C 的两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右顶点的两条直线1l ，2l 分别与抛物线1C 相交于点A ，C ，点B ，D ，且12l l ，M 是AC 的中点，N 是BD 的中点，证明：直线MN 恒过定点．13．已知抛物线C ： 220y px p 的焦点到准线的距离是12．（1）求抛物线方程；（2）设点 ,1P m 是该抛物线上一定点，过点P 作圆O ： 2222x y r （其中01r ）的两条切线分别交抛物线C 于点A ，B ，连接AB ．探究：直线AB 是否过一定点，若过，求出该定点坐标；若不经过定点，请说明理由．14．已知抛物线 2:20C y px p 的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，OMF 是以OF 为底边的等腰三角形，且OMF 的面积为 （1）求抛物线C 的方程．（2）过点F 作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB ，DE ，设弦AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，试判断直线PQ 是否过定点．若是，求出所过定点的坐标；若否，请说明理由．15．如图，已知抛物线 2:20C y px p 与圆 22:412M x y 相交于A ，B ，C ，D 四点．（1）若8OA OD ，求抛物线C 的方程；（2）试探究直线AC 是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．16．已知抛物线 2:20C y px p 上一点01,4y到焦点的距离为54．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若点A ，B 为抛物线位于x 轴上方不同的两点，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且满足1212444k k k k ，求证：直线AB 过定点．17．如图，已知抛物线2:2(0)C y px p 与圆22:(4)12M x y 相交于A ，B ，C ，D 四点． （1）若以线段AD 为直径的圆经过点M ，求抛物线C 的方程；（2）设四边形ABCD 两条对角线的交点为E ，点E 是否为定点？若是，求出点E 的坐标；若不是，请说明理由．18．设双曲线22221x y a b ，其虚轴长为（1）求双曲线C 的方程；（2）过点 3,1P 的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点A 、B ，在线段AB 上取点M 使得AM APMB PB，证明：点M 落在某一定直线上．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b 的左右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，离心率为e ，且点(e ，3)，b )都在双曲线C 上． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若A ，B 是双曲线C 上位于x 轴上方的两点，且AF 1//BF 2．证明：1211AF BF 为定值．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b2，1F ，2F为其左右焦点，Q 为其上任一点，且满足120QF QF，122QF QF ．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知M ，N 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，点P 是C 上异于M ，N 的任意一点，直线PM 、PN 分别交x 轴于点T 、S ，试问：||||OS OT 是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中O 是坐标原点）．21．已知双曲线 2222:10,0x y C a b a b ，四点13M ， 2M ，32,3M ，43M中恰有三点在C 上． （1）求C 的方程；（2）过点 3,0的直线l 交C 于P ，Q 两点，过点P 作直线1x 的垂线，垂足为A ．证明：直线AQ 过定点．22．已知动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线:4l x 的距离之比为12，记P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线与曲线C 交于,A B 两点，,R Q 分别为曲线C 与x 轴的两个交点，直线,AR BQ 交于点N ，求证：点N 在定直线上．23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22210xy a a的左右顶点为A ，B ，上顶点K 满足3AK KB ．（1）求C 的标准方程：（2）过点 1,0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．设直线MA 和直线NB 相交于点P ，直线NA 和直线MB 相交于点Q ，直线PQ 与x 轴交于S ．①求直线PQ 的方程； ②证明：SP SQ 是定值．24．已知椭圆C ： 222210x y a b a b ，左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，四边形1122A B A B 的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点 0,1D 且斜率存在的直线与椭圆相交于E ，F 两点，证明：直线2EB ，1FB 的交点G 在一定直线上，并求出该直线方程．25．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b的左，右顶点分别为A 、B ，点F 是椭圆的右焦点，3AF FB uu u r uu r ，3AF FB． （1）求椭圆C 的方程；（2）不过点A 的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，记直线l 、AM 、AN 的斜率分别为k 、1k 、2k ．若 121k k k ，证明直线l 过定点，并求出定点的坐标．26．已知O 为坐标原点，椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b 的右顶点为A ，动直线1:(1)l y x m 与相交于,B C 两点，点B 关于x 轴的对称点为B ，点B 到 的两焦点的距离之和为4．（1）求 的标准方程；（2）若直线B C 与x 轴交于点M ，,OAC AMC 的面积分别为12,S S ，问12S S 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．。
高考数学一轮复习专题训练—圆锥曲线的定值问题
圆锥曲线的定值问题题型一 长度或距离为定值【例1】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点A 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为1的直角三角形． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 相切，求证：点F 1，F 2到直线l 的距离之积为定值．(1)解 ∵椭圆C 的上顶点A 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为1的直角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，bc ＝1， ∴b ＝c ＝1， ∴a 2＝b 2＋c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝±2， 点F 1，F 2到直线l 的距离之积为(2－1)(2＋1)＝1. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，Δ＝(4km )2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝－8(m 2－2k 2－1)＝0， ∴m 2＝1＋2k 2，点F 1到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d 1＝|－k ＋m |k 2＋1，点F 2到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d 2＝|k ＋m |k 2＋1.∴d 1d 2＝|－k ＋m |k 2＋1·|k ＋m |k 2＋1＝|m 2－k 2|k 2＋1＝|2k 2＋1－k 2|k 2＋1＝1.综上，可知当直线l 与椭圆C 相切时，点F 1，F 2到直线l 的距离之积为定值1.感悟升华 圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现．【训练1】 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M ，N 分别是C 1，C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值． 证明 当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33， 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝⎛⎭⎫显然|k |>22，则直线OM 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1，得⎩⎨⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k 24＋k 2，同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1， 设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2， 所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33.综上，O 到直线MN 的距离是定值． 题型二 斜率或其表达式为定值【例2】 (2020·兰州诊断)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．(1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0， 由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和为k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2(即为定值)．【训练2】 (2021·大同模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，已知|AB |＝4，且点⎝⎛⎭⎫e ，345在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． (1)解 ∵|AB |＝4，∴2a ＝4，∴a ＝2， 又点⎝⎛⎭⎫e ，354在椭圆上，∴e 24＋4516b2＝1， 又b 2＋c 2＝a 2＝4，联立方程组解得b 2＝3， ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设点P 的坐标为(s ，t )，点M ，N 的横坐标为m (m ≠±2)， 则直线AP 的方程为y ＝t s ＋2(x ＋2)，故M ⎝⎛⎭⎫m ，ts ＋2(m ＋2)，故直线BM 的斜率k 1＝t (m ＋2)(s ＋2)(m －2)，同理可得直线AN 的斜率k 2＝t (m －2)(s －2)(m ＋2)，故k 1k 2＝t (m ＋2)(s ＋2)(m －2)×t (m －2)(s －2)(m ＋2)＝t 2s 2－4，又点P 在椭圆上，∴s 24＋t 23＝1，∴t 2＝－34(s 2－4)，∴k 1k 2＝－34(s 2－4)s 2－4＝－34.即直线AN 与直线BM 的斜率之积为定值．题型三 几何图形面积为定值【例3】 (2021·昆明诊断)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ，点(1，e )在椭圆E上，点A (a,0)，B (0，b )，△AOB 的面积为32，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线OM 的斜率为k 1，直线ON 的斜率为k 2，且k 1k 2＝－19，证明：△OMN 的面积是定值，并求此定值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋e 2b 2＝1，e ＝ca ，c 2＝a 2－b 2，得b ＝1.又S △AOB ＝12ab ＝32，得a ＝3.所以椭圆E 的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，设直线l ：x ＝t (－3<t <3且t ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，x ＝t ，得y 2＝1－t 29，则k 1k 2＝1－t 29t×－1－t 29t＝－1－t 29t 2＝－19，解得t 2＝92.所以S △OMN ＝12×2×1－t 29×|t |＝32.当直线l 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 2＝1消去y 并整理，得(9k 2＋1)x 2＋18kmx ＋9m 2－9＝0. Δ＝(18km )2－4(9k 2＋1)(9m 2－9)＝36(9k 2－m 2＋1)>0， x 1＋x 2＝－18km9k 2＋1，x 1x 2＝9m 2－99k 2＋1，k 1k 2＝y 1x 1×y 2x 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2＝－9k 2＋m 29m 2－9＝－19， 化简得9k 2＋1＝2m 2，满足Δ>0.|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫－18km 9k 2＋12－4·9m 2－99k 2＋1＝61＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1.又原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2， 所以S △OMN ＝12×|MN |×d＝31＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1×|m |1＋k 2＝3|m |2m 2－m 22m 2＝32.综上可知，△OMN 的面积为定值32.感悟升华 探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可．【训练3】 已知点F (0,2)，过点P (0，－2)且与y 轴垂直的直线为l 1，l 2⊥x 轴，交l 1于点N ，直线l 垂直平分FN ，交l 2于点M . (1)求点M 的轨迹方程；(2)记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 2－1＝x 1＋m 2(m 为常数)，直线l ′与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问△ABC 的面积是否为定值．若为定值，求出△ABC 的面积；若不是定值，说明理由．解 (1)由题意得|FM |＝|MN |，即动点M 到点F (0,2)的距离和到直线y ＝－2的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0,2)为焦点，直线y ＝－2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M 的轨迹方程为x 2＝8y .(2)由题意知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝8y 消去x 整理得x 2－8kx －8b ＝0.则x 1＋x 2＝8k ，x 1·x 2＝－8b .设AB 的中点为Q ，则点Q 的坐标为(4k,4k 2＋b )．由条件设切线方程为y ＝kx ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＝8y 消去y 整理得x 2－8kx －8t ＝0.∵直线与抛物线相切，∴Δ＝64k 2＋32t ＝0，∴t ＝－2k 2， ∴切点C 的横坐标为4k ，∴点C 的坐标为(4k,2k 2)． ∴CQ ⊥x 轴，∵x 2－x 1＝m 2＋1， ∴(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4(－8b ) ＝64k 2＋32b ＝(m 2＋1)2，∴b ＝(m 2＋1)2－64k 232.∴S △ABC ＝12|CQ |·|x 2－x 1|＝12·(2k 2＋b )·(x 2－x 1)＝(m 2＋1)364，∵m 为常数，∴△ABC 的面积为定值．1．(2021·洛阳高三统考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，其焦点为F ，O 为坐标原点，直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，M 为AB 的中点． (1)若p ＝2，M 的坐标为(1,1)，求直线l 的方程．(2)若直线l 过焦点F ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求证：2|MN |2|FN |为定值．(1)解 由题意知直线l 的斜率存在且不为0， 故设直线l 的方程为x －1＝t (y －1) 即x ＝ty ＋1－t ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1－t ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＋4t ＝0， ∴Δ＝16t 2＋16－16t ＝16(t 2－t ＋1)＞0，y 1＋y 2＝4t ， ∴4t ＝2，即t ＝12.∴直线l 的方程为2x －y －1＝0.(2)证明 ∵抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，∴焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0. 由题意知直线l 的斜率存在且不为0，∵直线l 过焦点F ，故设直线l 的方程为x ＝ty ＋p2(t ≠0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋p 2y 2＝2px，得y 2－2pty －p 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pt ，Δ＝4p 2t 2＋4p 2＞0. ∴x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋p ＝2pt 2＋p ， ∴M ⎝⎛⎭⎫pt 2＋p2，pt .∴MN 的方程为y －pt ＝－t ⎝⎛⎭⎫x －pt 2－p2. 令y ＝0，解得x ＝pt 2＋3p2，N ⎝⎛⎭⎫pt 2＋3p 2，0， ∴|MN |2＝p 2＋p 2t 2，|FN |＝pt 2＋3p 2－p2＝pt 2＋p ， ∴2|MN |2|FN |＝2(p 2＋p 2t 2)pt 2＋p＝2p ，为定值．2．(2020·新高考山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点A (2,1)．(1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．(1)解 由题设得4a 2＋1b 2＝1, a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3. 所以C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26＋y 23＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.①由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0， 故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0. 将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km1＋2k 2＋(m －1)2＋4＝0， 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0. 因为A (2,1)不在直线MN 上，所以2k ＋m －1≠0，所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1. 所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －23－13(k ≠1)． 所以直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1)．由AM →·AN →＝0，得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0.又x 216＋y 213＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0. 解得x 1＝2(舍去)，或x 1＝23.此时直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 令Q 为AP 的中点，即Q ⎝⎛⎭⎫43，13.若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故|DQ |＝12|AP |＝223.若D 与P 重合，则|DQ |＝12|AP |.综上，存在点Q ⎝⎛⎭⎫43，13，使得|DQ |为定值．。
圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题(解析)
圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E ：x +1 2+y 2=16，点F 1,0 ，G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程；(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l ：x =4交于P ，Q ，已知点A 2,0 ，且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)经过定点，定点坐标为1,0 【分析】(1)利用椭圆的定义即可求出动点H 的轨迹Γ的方程；(2)设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为：x =my +n ，与椭圆方程联立，根据韦达定理列出x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系，再利用两点式写出直线MA 的方程，求出点P 4,2y 1x 1-2 ，Q 4,2y 2x 2-2，再写出以PQ 为直径的圆的方程，根据圆的方程经过点T 7,0 ，得到关系式，进而求得n 为定值，从而得到直线MN 过定点.【详解】(1)如图所示，∵HE +HF =HE +HG =4，且EF =2<4，∴点H 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆，设椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1，则2a =4，c =1，∴a =2，b =a 2-c 2= 3.所以点H 的轨迹方程为：x 24+y 23=1.(2)设直线MN 的方程为：x =my +n ，由x 24+y 23=1x =my +n ，得3m 2+4 y 2+6mny +3n 2-12=0设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-6mn 3m 2+4，y 1y 2=3n 2-123m 2+4.所以，x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =8n 3m 2+4，x 1x 2=my 1+n my 2+n =-12m 2+4n 23m 2+4因为直线MA 的方程为：y =y 1x 1-2x -2 ，令x =4，得y P =2y 1x 1-2，所以，P 4,2y 1x1-2 ，同理可得Q 4,2y 2x 2-2，以PQ 为直径的圆的方程为：x -4 2+y -2y 1x 1-2 y -2y 2x 2-2=0，即x -4 2+y 2-2y 1x 1-2+2y 2x 2-2y +2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，因为圆过点7,0 ，所以，9+2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，得9+4y 1y 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4=0，代入得9+12n 2-483m 2+4-12m 2+4n 23m 2+4-16n3m 2+4+4=0，化简得，9+12n 2-484n 2-16n +16=04n 2-16n +16≠0,n ≠2 ，解得n =1或n =2(舍去)，所以直线MN 经过定点1,0 ，当直线MN 的斜率为0时，此时直线MN 与x 轴重合，直线MN 经过点1,0 ，综上所述，直线MN 经过定点1,0 .2已知点A (2,0)，B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程；(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B )，过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ，当P 是CQ 中点时，证明．直线l 过定点.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)根据椭圆所经过的点列方程求出其方程；(2)设出CD 方程，结合韦达定理和P 是CQ 中点的条件，找到直线CD 中两个参数的关系，从而求出定点.【详解】(1)由题知a =2，又椭圆经过B -65,-45 ，代入可得14-652+1b2-452=1，解得b 2=1，故椭圆的方程为：x 24+y 2=1(2)由题意知，当l ⊥x 轴时，不符合题意，故l 的斜率存在，设l 的方程为y =kx +m ，联立y =kx +m x 24+y 2=1消去y 得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0，则Δ=64k 2m 2-16m 2-1 4k 2+1 =164k 2-m 2+1 >0，即4k 2+1>m 2设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1AB 的方程为y =14(x -2)，令x =x 1得P x 1,x 1-24 ，AD 的方程为y =y 2x 2-2(x -2)，令x =x 1得Q x 1,x 1-2x 2-2y 2，由P 是CQ 中点，得x 1-22=y 1+x 1-2x 2-2⋅y 2，即y 1x 1-2+y 2x 2-2=12，即kx 1+m x 2-2 +kx 2+m x 1-2 =12x 1x 2-2x 1+x 2 +4 ，即(1-4k )x 1x 2+(4k -2m -2)x 1+x 2 +4+8m =0，即4m 2+(16k +8)m +16k 2+16k =0，所以(m +2k )(m +2k +2)=0，得m =-2k -2或m =-2k ，当m =-2k -2，此时由Δ>0，得k <-38，符合题意；当m =-2k ，此时直线l 经过点A ，与题意不符，舍去.所以l 的方程为y =kx -2k -2，即y =k (x -2)-2，所以l 过定点(2,-2).3如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．【答案】(1)C :x 24+y 22=1；(2)存在定点T 23,0 使TH 为定值，理由见解析.【分析】(1)根据离心率，椭圆上点及参数关系列方程组求a ,b ,c ，即可得椭圆方程；(2)根据题意设BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立椭圆方程求P ,Q 坐标，判断直线PQ 过定点，结合BH ⊥PQ 于H 确定H 轨迹，进而可得定点使得TH 为定值.【详解】(1)由题意c a =222a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，可得a 2=4b 2=c 2=2 ，则椭圆方程为C :x 24+y 22=1；(2)若直线BQ 斜率为k ，则直线AP 斜率为2k ，而A (-2,0),B (2,0)，所以BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立BQ 与椭圆C ，则x 2+2k 2(x -2)2=4，整理得(1+2k 2)x 2-8k 2x +8k 2-4=0，所以2x Q =8k 2-41+2k 2，则x Q =4k 2-21+2k 2，故y Q =-4k1+2k 2，联立AP 与椭圆C ，则x 2+8k 2(x +2)2=4，整理得(1+8k 2)x 2+32k 2x +32k 2-4=0，所以-2x P =32k 2-41+8k 2，则x P =2-16k 21+8k 2，故y P=8k 1+8k 2，综上，x Q -x P =4k 2-21+2k 2-2-16k 21+8k 2=64k 4-4(1+8k 2)(1+2k 2)，y Q -y P =-4k 1+2k 2-8k 1+8k 2=-12k +48k 31+8k 2 1+2k 2，当64k 4-4≠0，即k ≠±12时，k PQ =12k (1+4k 2)4(1-16k 4)=3k1-4k 2，此时PQ :y +4k 1+2k 2=3k 1-4k 2x +2-4k 21+2k 2=3k 1-4k 2x +6k -12k 3(1+2k 2)(1-4k 2)，所以PQ :y =3k 1-4k 2x +2k 1-4k 2=k 1-4k 2(3x +2)，即直线PQ 过定点-23,0 ；当64k 4-4=0，即k =±12时，若k =12，则x Q =-23且y Q =-43，x P =-23且y P =43，故直线PQ 过定点-23,0 ；若k =-12，则x Q =-23且y Q =43，x P =-23且y P =-43，故直线PQ 过定点-23,0 ；综上，直线PQ 过定点M -23,0 ，又BH ⊥PQ 于H ，易知H 轨迹是以BM 为直径的圆上，故BM 的中点23,0 到H 的距离为定值，所以，所求定点T 为23,0 .【点睛】关键点点睛：第二问，设直线BQ ，AP 联立椭圆，结合韦达定理求点P ,Q 坐标，再写出直线PQ 方程判断其过定点是关键.4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 分别是C 的右、上顶点，且AB =7，D 是C 上一点，△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程；(2)C 的弦DE 过F 1，直线AE ，AD 分别交直线x =-4于M ，N 两点，P 是线段MN 的中点，证明：以PD 为直径的圆过定点.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据椭圆的定义结合三角形不等式求解即可；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，联立直线与椭圆的方程，根据过两点圆的方程，结合图形的对称性可得定点在x 轴上，代入韦达定理求解即可.【详解】(1)依题意，a 2+b 2=7，△BF 2D 周长DB +DF 2 +a =DB +2a -DF 1 +a ≤BF 1 +3a =4a ，当且仅当B ,F 1,D 三点共线时等号成立，故4a =8，所以a 2=4,b 2=3，所以C 的方程x 24+y 23=1；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，代入x 24+y 23=1，整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0，Δ=36m 2+363m 2+4 >0，y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4，易知AD :y =y 1x 1-2x -2 ，令x =-4，得N -4,-6y 1x 1-2 ，同得M -4,-6y 2x 2-2，从而中点P -4,-3y 1x 1-2+y 2x 2-2，以PD 为直径的圆为x +4 x -x 1 +y +3y 1x 1-2+y 2x 2-2y -y 1 =0，由对称性可知，定点必在x 轴上，令y =0得，x +4 x -x 1 -3y 1y 1x 1-2+y 2x 2-2=0，y 1x 1-2+y 2x 2-2=y 1my 1-3+y 2my 2-3=2my 1y 2-3y 1+y 2 m 2y 1y 2-3m y 1+y 2 +9=-18m3m 2+4-18m 3m 2+4-9m 23m 2+4-18m 23m 2+4+9=-36m36=-m ，所以x +4 x -x 1 +3my 1=0，即x 2+4-x 1 x -4x 1+3my 1=0，因为x 1=my 1-1，所以x 2+5-my 1 x -my 1+4=0，即x +1 x -my 1+4 =0，解得x =-1，所以圆过定点-1,0 .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2，x 1x 2(或y 1+y 2，y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)7-354,0 (2)存在定点D (4,0)【分析】(1)由题意，根据椭圆的定义以及a 2=b 2+c 2，列出等式即可求出椭圆C 的方程，判断△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于点T ，此时T 为△APQ 的内心，进行求解即可；(2)设直线l 方程为y =k (x -t )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线l 的方程与椭圆方程联立，得到根的判别式大于零，由点M 、R 、N 、D 均在直线l 上，得到MR ⋅ND =MD ⋅RN，此时2t -(1+t )(x 1+x 2)+2x 1x 2=0，结合韦达定理求出t =4，可得存在定点D (4,0)满足题意．【详解】(1)∵a 2=b 2+c 2,2b 2a=a +c =3∴a =2,b =3,c =1∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1，不妨取P 1,32 ,Q 1,-32 ,A (-2,0)，则AP =352,PF =32；因为△APQ 中，AP =AQ ，所以△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于T ，则T 为△APQ 的内心，且AT TF =AP PF =5=AT 3-AT ，所以AT =355+1，则T 7-354,0 ；(2)∵椭圆和弦PQ 均关于x 轴上下对称．若存在定点D ，则点D 必在x 轴上∴设D (t ,0)当直线l 斜率存在时，设方程为y =k (x -t ),M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线方程与椭圆方程联立y =k (x -t )x 24+y 23=1，消去y 得4k 2+3 x 2-8k 2tx +4k 2t 2-3 =0，则Δ=48k 2+3-k 2t 2>0,x 1+x 2=8k 2t4k 2+3,x 1x 2=4k 2t 2-3 4k 2+3①∵点R 的横坐标为1，M 、R 、N 、D 均在直线l 上，MR ⋅ND =MD ⋅RN∴1+k 2 1-x 1 t -x 2 =1+k 2 t -x 1 x 2-1∴2t -(1+t )x 1+x 2 +2x 1x 2=0∴2t -(1+t )8k 2t 4k 2+3+2×4k 2t 2-3 4k 2+3=0，整理得t =4，因为点D 在椭圆外，则直线l 的斜率必存在．∴存在定点D (4,0)满足题意【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)x 24-y 23=1(2)证明见解析，定点为(-2,3).【分析】(1)由点到直线的距离公式求出b =3，再将点P 4,3 代入双曲线方程求出a 2=4，可得双曲线E 的标准方程；(2)联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得x 1+x 2、x 1x 2，再根据斜率和为1列式，推出t =2k +3，从而可得直线y =kx +t 过定点(-2,3).【详解】(1)设F 1(-c ,0)(c >0)到渐近线y =bax ，即bx -ay =0的距离为3，则3=|-bc |b 2+a2，结合a 2+b 2=c 2得b =3，又P (4,3)在双曲线x 2a 2-y 23=1上，所以16a2-93=1，得a 2=4，所以双曲线E 的标准方程为x 24-y 23=1.(2)联立y =kx +tx 24-y 23=1，消去y 并整理得3-4k 2 x 2-8ktx -4t 2-12=0，则3-4k 2≠0，Δ=64k 2t 2+4(3-4k 2)(4t 2+12)>0，即t 2+3>4k 2，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=8kt 3-4k 2，x 1x 2=-4t 2+123-4k 2，则k PA +k PB =y 1-3x 1-4+y 2-3x 2-4=kx 1+t -3x 1-4+kx 2+t -3x 2-4=kx 1+t -3 x 2-4 +kx 2+t -3 x 1-4 x 1-4 x 2-4=2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24x 1x 2-4(x 1+x 2)+16=1，所以2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24=x 1x 2-4(x 1+x 2)+16，所以2k -1 x 1x 2+t -4k +1 x 1+x 2 -8t +8=0，所以-2k -1 4t2+123-4k 2+t -4k +1 ⋅8kt3-4k2-8t +8=0，整理得t 2-6k +2kt -6t -8k 2+9=0，所以(t -3)2+2k (t -3)-8k 2=0，所以t -3-2k t -3+4k =0，因为直线y =kx +t 不过P (4,3)，即3≠4k +t ，t -3+4k ≠0，所以t -3-2k =0，即t =2k +3，所以直线y =kx +t =kx +2k +3，即y -3=k (x +2)过定点(-2,3).【点睛】关键点点睛：利用韦达定理和斜率公式推出t =2k +3是解题关键.2双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点，且△ABD 是直角三角形.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2，且MN 的中垂线为直线l ，是否存在半径为1的定圆E ，使得l 被圆E 截得的弦长为定值，若存在，求出圆E 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E :(x -8)2+y 2=1【分析】(1)根据双曲线的性质，结合△ABD 是等腰直角三角形的性质，列出关系式即可求解双曲线方程；(2)首先利用点差法求出直线l 所过的定点，即可求出定圆的方程.【详解】(1)依题意，∠BAD =90°，焦半径c =2，当x =c 时，c 2a 2-y 2b 2=1，得y 2=b 2c 2a 2-1=b 4a2，即y =±b 2a ，所以BF =b 2a ，由AF =BF ，得a +c =b 2a，得a 2+2a =22-a 2，解得：a =1(其中a =-2<0舍去)，所以b 2=c 2-a 2=4-1=3，故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1；(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,MN 的中点为Q x 0,y 0 因为M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2.所以x 21-y 213=1,①x 22-y 223=1,②x 0=x 1+x 22=2,③y 0=y 1+y 22,④.①-②得x 1+x 2 x 1-x 2 -y 1+y 2 y 1-y 23=0，当k MN 存在时，k MN =y 1-y2x 1-x 2=3x 1+x 2 y 1+y 2=3×42y 0=6y 0，因为MN 的中垂线为直线l ，所以y -y 0=-y 06x -2 ，即l :y =-y 06x -8 ，所以l 过定点T 8,0 .当k MN 不存在时，M ,N 关于x 轴对称，MN 的中垂线l 为x 轴，此时l 也过T 8,0 ，所以存在以8,0 为圆心的定圆E :(x -8)2+y 2=1，使得l 被圆E 截得的弦长为定值2.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线相交的综合应用，本题的关键是求得直线所过的定点，因为半径为1，所以定圆圆心为定点，弦长就是直径.3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，右顶点分别为F ，A ，B 0,b ，AF =1，点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，O 为坐标原点.(1)求双曲线C 的方程.(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E 12,0 【分析】(1)由AF =1，BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，求得a ,b ,c 之间的关系式，解得a ,b 的值，进而求出双曲线的方程；(2)设直线PQ 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得EF 为∠PEQ 的角平分线，可得直线EP ,EQ 的斜率之和为0，整理可得参数的值，即求出E 的坐标．【详解】(1)设c 2=a 2+b 2c >0 ，所以F c ,0 ，A a ,0 ，B 0,b ，因为点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，所以点M 33+1a ,13+1b，因为直线OM 的斜率为1，所以13+1b 33+1a =1，所以ba=3，因为AF =1，所以c -a =1，解得a =1，b =3，c =2.所以双曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)假设在x 轴上存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，当直线l 的斜率不存在时，E 在x 轴上任意位置，都有EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ；当直线l 的斜率存在且不为0时，设E t ,0 ，直线l 的方程为x =ky +2，直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，则-33<k <33且k ≠0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，由x 2-y 23=1x =ky +2 ，得3k 2-1 y 2+12ky +9=0，3k 2-1≠0，Δ=36k 2+36>0，所以y 1+y 2=-12k 3k 2-1，y 1y 2=93k 2-1，因为EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ，即EP EQ=FP FQ，所以EF 平分∠PEQ ，k EP +k EQ =0，有y 1x 1-t +y 2x 2-t =0，即y 1ky 1+2-t +y 2ky 2+2-t=0，得2ky 1y 2+2-t y 1+y 2 =0，所以2k93k 2-1+2-t -12k 3k 2-1=0，由k ≠0，解得t =12.综上所述，存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，且E 12,0.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF=0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.【答案】(1)x 24-y 2=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件，设出双曲线C 的方程，再将点A 的坐标代入求解作答.(2)当直线EF 斜率存在时，设出其方程并与双曲线C 的方程联立，由给定的数量积关系结合韦达定理求得直线EF 过定点，再验证斜率不存在的情况，进而推理判断作答.【详解】(1)依题意，设双曲线C 的方程为x 212-y 23=λ(λ≠0)，而点A (22,-1)在双曲线C 上，于是λ=(22)212-(-1)23=13，双曲线C 的方程为x 212-y 23=13，即x 24-y 2=1，所以双曲线C 的标准方程为x24-y 2=1.(2)当直线EF 斜率存在时，设直线EF 的方程为：y =kx +m ，设E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ，由y =kx +mx 2-4y 2=4消去y 并整理得4k 2-1 x 2+8kmx +4m 2+1 =0，有4k 2-1≠0，且Δ=(8km )2-16(m 2+1)(4k 2-1)>0，即4k 2-1≠0且4k 2-m 2-1<0，有x 1+x 2=-8km 4k 2-1,x 1x 2=4m 2+44k 2-1，又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，DE =(x 1-2,y 1),DF =(x 2-2,y 2)，由DE ·DF =0，得x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0，整理得k 2+1 ⋅x 1x 2+(km -2)⋅x 1+x 2 +m 2+4=0，于是k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+(km -2)⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0，化简得3m 2+16km +20k 2=0，即(3m +10k )(m +2k )=0，解得m =-2k 或m =-103k ，均满足条件，当m =-2k 时，直线EF 的方程为y =k (x -2)，直线EF 过定点(2,0)，与已知矛盾，当m =-103k 时，直线EF 的方程为y =k x -103 ，直线EF 过定点M 103,0 ；当直线EF 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE 的方程为：y =x -2，由y =x -2x 2-4y 2=4解得x =2或x =103，因此点E ,F 的横坐标x E ,x F 有x E =x F =103，即直线EF 过定点M 103,0 ，综上得直线EF 过定点M 103,0 ，由于DG ⊥EF ，即点G 在以DM 为直径的圆上，H 为该圆圆心，GH 为该圆半径，所以存在定点H 83,0 ，使GH 为定值23.【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.5已知双曲线C :x 2-y 2b2=1b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是C 的左顶点，C 的离心率为2．设过F 2的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点，其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线x =12于M 、N 两点，证明：MF 2 ⋅NF 2 为定值；(3)是否存在常数λ，使得∠PF 2A =λ∠PAF 2恒成立？若存在，求出λ的值；否则，说明理由．【答案】(1)x 2-y 23=1；(2)证明见解析；(3)存在λ=2，理由见解析.【分析】(1)根据离心率，以及a ，结合b 2=c 2-a 2，即可求得曲线C 方程；(2)设出直线PQ 的方程，联立双曲线方程，得到关于点P ,Q 坐标的韦达定理；再分别求得AP ,AQ 的方程，以及点M ,N 的坐标，利用数量积的坐标运算，即可证明；(3)求得直线PQ 不存在斜率时满足的λ，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线PA ,PF 2斜率之间的关系，结合点P 的坐标满足曲线C 方程，求解即可.【详解】(1)由题可得a =1,ca =2，故可得c =2，则b 2=c 2-a 2=4-1=3，故C 的标准方程为x 2-y23=1.(2)由(1)中所求可得点A ，F 2的坐标分别为-1,0 ,(2,0)，又双曲线渐近线为y =±3x ，显然直线PQ 的斜率不为零，故设其方程为x =my +2，m ≠±33，联立双曲线方程x 2-y 23=1可得：3m 2-1 y 2+12my +9=0，设点P ,Q 的坐标分别为x 1,y 1 ,(x 2,y 2)，则y 1+y 2=-12m 3m 2-1,y 1y 2=93m 2-1，x 1+x 2=m y 1+y 2 +4=-43m 2-1，x 1x 2=m 2y 1y 2+2m y 1+y 2 +4=-3m 2-43m 2-1；又直线AP 方程为：y =y 1x 1+1(x +1)，令x =12，则y =32⋅y 1x 1+1，故点M 的坐标为12,32⋅y 1x 1+1；直线AQ 方程为：y =y 2x 2+1(x +1)，令x =12，则y =32⋅y 2x 2+1，故点N 的坐标为12,32⋅y 2x 2+1；则MF 2 ⋅NF 2 =32,-32⋅y 1x 1+1 ⋅32,-32⋅y 2x 2+1=94+94⋅y 1y 2x 1x 2+x 1+x 2+1=94+94⋅93m 2-1-3m 2-43m 2-1-43m 2-1+1=94+94⋅9-9=0故MF 2 ⋅NF 2为定值0.(3)当直线PQ 斜率不存在时，对曲线C :x 2-y 23=1，令x =2，解得y =±3，故点P 的坐标为(2,3)，此时∠PF 2A =90°，在三角形PF 2A 中，AF 2 =3,PF 2 =3，故可得∠PAF 2=45°，则存在常数λ=2，使得∠PF 2A =2∠PAF 2成立；当直线PQ 斜率存在时，不妨设点P 的坐标为(x ,y )，x ≠2，直线PF 2的倾斜角为α，直线PA 的倾斜角为β，则∠PF 2A =π-α，∠PAF 2=β，假设存在常数λ=2，使得∠PF 2A =2∠PAF 2成立，即π-α=2β，则一定有：tan π-α =-tan α=tan2β=2tan β1-tan 2β，也即-k PF2=2k PA 1-k 2PA；又-k PF 2=-yx -2；2k PA 1-k 2PA=2yx +11-y 2x +12=2y (x +1)x +1 2-y2；又点P 的坐标满足x 2-y 23=1，则y 2=3x 2-3，故2k PA1-k 2PA=2y x +1 x +1 2-y 2=2y x +1 x +1 2-3x 2+3=2y (x +1)-2x 2+2x +4=2y (x +1)-2(x -2)(x +1)=-y x -2=-k PF 2；故假设成立，存在实数常数λ=2，使得∠PF 2A =2∠PAF 2成立；综上所述，存在常数λ=2，使得∠PF 2A =2∠PAF 2恒成立.【点睛】关键点点睛：本题考察双曲线中定值以及存在常数满足条件的问题；其中第二问证明的关键是能够快速，准确的进行计算；第三问处理的关键是要投石问路，找到特殊情况下的参数值，再验证非特殊情况下依旧成立，同时还要注意本小题中把角度关系，转化为斜率关系；属综合困难题.三、抛物线定点问题1已知动圆M 恒过定点F 0,18 ，圆心M 到直线y =-14的距离为d ,d =MF +18．(1)求M 点的轨迹C 的方程；(2)过直线y =x -1上的动点Q 作C 的两条切线l 1,l 2，切点分别为A ,B ，证明：直线AB 恒过定点．【答案】(1)x 2=12y(2)证明见详解【分析】(1)设M x ,y ，由题意可得y +14=x 2+y -18 2+18，化简整理即可；(2)设A x 1,2x 21 ,B x 2,x 22 ,Q t ,t -1 ，结合导数的几何意义分析可得x 1,x 2为方程2x 2-4tx +t -1=0的两根，结合韦达定理求直线AB 的方程，即可得结果.【详解】(1)设M x ,y ，则MF =x 2+y -18 2,d =y +14 ，因为d =MF +18，即y +14 =x 2+y -18 2+18，当y +14≥0，即y ≥-14时，则y +14=x 2+y -18 2+18，整理得x 2=12y ；当y +14<0，即y <-14时，则-y -14=x 2+y -18 2+18，整理得x 2=y +18<0，不成立；综上所述：M 点的轨迹C 的方程x 2=12y .(2)由(1)可知：曲线C ：x 2=12y ，即y =2x 2，则y =4x ，设A x 1,2x 21 ,B x 2,x 22 ,Q t ,t -1 ，可知切线QA 的斜率为4x 1，所以切线QA ：y -2x 21=4x 1x -x 1 ，则t -1-2x 21=4x 1t -x 1 ，整理得2x 21-4tx 1+t -1=0，同理由切线QB 可得：2x 22-4tx 2+t -1=0，可知：x 1,x 2为方程2x 2-4tx +t -1=0的两根，则x 1+x 2=2t ,x 1x 2=t -12，可得直线AB 的斜率k AB =2x 21-2x 22x 1-x 2=2x 1+x 2 =4t ，设AB 的中点为N x 0,y 0 ，则x 0=x 1+x 22=t ,y 0=2x 21+2x 222=x 1+x 2 2-2x 1x 2=4t 2-t +1，即N t ,4t 2-t +1 ，所以直线AB ：y -4t 2-t +1 =4t x -t ，整理得y -1=4t x -14，所以直线AB 恒过定点P 14,1 .【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l 过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y =kx +t ，由题设条件将t 用k 表示为t =mk +n ，得y =k x +m +n ，故动直线过定点-m ,n ；(2)动曲线C 过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．2已知抛物线C 1:x 2=2py (p >0)和圆C 2:(x +1)2+y 2=2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1焦点，且l 1与C 2相切.(1)求抛物线C 1的方程；(2)动点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，若C 1在点A 处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN =MA +MB，证明点N 在定直线上，并求该定直线的方程.【答案】(1)x 2=12y ；(2)证明见解析，y =3.【分析】(1)设直线l 1的方程为y =x +p2，再根据直线和圆相切求出p 的值得解；(2)依题意设M (m ,-3)，求出切线l 2的方程和B 点坐标，求出MN =x 1-2m ,6 ，ON=x 1-m ,3 即可求解作答.【详解】(1)依题意得，物线C 1:x 2=2py 的焦点坐标为0,p 2 ，设直线l 1的方程为y =x +p2，而圆C 2:x +1 2+y 2=2的圆心C 2(-1,0)，半径r =2，由直线l 1与圆C 2相切，得d =-1+p212+-12=2，又p >0，解得p =6，所以抛物线C 1的方程为x 2=12y .(2)由(1)知抛物线C 1：x 2=12y 的准线为y =-3，设M (m ,-3)，由y =x 212，求导得y =x6，设A (x 1,y 1)，则以A 为切点的切线l 2的斜率为k =x 16，于是切线l 2的方程为y =16x 1x -x 1 +y 1，令x =0，得y =-16x 21+y 1=-16×12y 1+y 1=-y 1，即l 2交y 轴于点B (0,-y 1)，因此MA =(x 1-m ，y 1+3),MB =-m ,-y 1+3 ，MN =MA +MB =x 1-2m ,6 ，则ON =OM +MN=x 1-m ,3 ，设N 点坐标为(x ,y )，从而y =3，所以点N 在定直线y =3上.3已知直线l 1:x -y +1=0过椭圆C :x 24+y 2b2=1(b >0)的左焦点，且与抛物线M :y 2=2px (p >0)相切.(1)求椭圆C 及抛物线M 的标准方程;(2)直线l 2过抛物线M 的焦点且与抛物线M 交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与椭圆的过右顶点的切线交于M ，N 两点.判断以MN 为直径的圆与椭圆C 是否恒交于定点P ，若存在，求出定点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1，y 2=4x(2)存在，-2,0【分析】(1)由直线l 1过椭圆C 的左焦点，求出c 得出椭圆方程，利用直线l 1与抛物线M 相切，联立两个方程，通过判别式为零进行求解；(2)分成直线l 2斜率存在与不存在两种情况进行讨论，斜率存在时可设直线方程y =k x -1 ，与椭圆方程联立得出韦达定理，表示M ,N 两点坐标，利用PM ⋅PN=0进行求解.【详解】(1)由y 2=2px x -y +1=0 ，得x 2+2-2p x +1=0，因为直线x -y +1=0与抛物线M 只有1个公共点，所以Δ=2-2p 2-4=0，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .由直线x -y +1=0过椭圆C 的左焦点得得c =1，所以，4-b 2=1，b 2=3，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)如图1，设A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 ，当直线l 2斜率存在时，可设直线方程：y =k x -1由y 2=4x y =k x -1 得k 2x 2-2k 2+4 x +k 2=0，所以Δ=2k 2+4 2-4k 4=16k 2+16>0，x 1+x 2=2k 2+4k2，x 1x 2=1. 所以y 1y 2=k 2x 1-1 x 2-1 =k 2x 1x 2-x 1+x 2 +1 =-4，x 2y 1+x 1y 2=kx 2x 1-1 +kx 1x 2-1 =k 2x 1x 2-x 1+x 2 =-4k，直线OA 的方程为y =y 1x 1x ，同理可得，直线OB 的方程为y =y 2x 2x ，令x =2得，M 2，2y 1x 1 ，N 2，2y 2x 2，假设椭圆C 上存在点P x 0,y 0 ，恒有PM ⊥PN .则PM ⋅PN =2-x 0，2y 1x 1-y 0 ⋅2-x 0，2y 2x 2-y 0=0即2-x 0 2+2y 1x 1-y 0 2y 2x 2-y 0=0，即2-x 0 2+y 20-2x 2y 1+2x 1y 2x 1x 2y 0+4y 1y 2x 1x 2=0，即2-x 0 2+y 20+8ky 0-16=0，令y 0=0，可得x 0=6或x 0=-2.由于点6，0 不在椭圆C 上，点-2，0 在椭圆D 上，所以椭圆C 上存在点P -2，0 ，使PM ⊥PN 恒成立如图2，当直线斜率不存在时，直线过抛物线的右焦点，则直线方程为x =1，与抛物线交于A 1,2 ，B 1,-2 ，则直线OA 方程为：y =2x ，直线OB 方程为：y =-2x ，椭圆的过右顶点的切线方程为x =2，切线方程x =2与直线OA 交于M 2,4 ，与直线OB 交于N 2,-4 ，由上面斜率存在可知恒过P -2,0 ，经验证满足PM ⋅PN=0，所以当斜率不存在时候也满足以MN 为直径的圆恒过定点-2,0 .4在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q 的动圆恒过点F (0,1)，且与直线y =-1相切，设动圆的圆心Q 的轨迹为曲线Γ．(1)求曲线Γ的方程；(2)P 为直线l ：y =y 0y 0<0 上一个动点，过点P 作曲线Γ的切线，切点分别为A ，B ，过点P 作AB 的垂线，垂足为H ，是否存在实数y 0，使点P 在直线l 上移动时，垂足H 恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出y 0的值，并求定点H 的坐标．【答案】(1)x 2=4y(2)存在这样的y 0，当y 0=-1时，H 坐标为(0,1)．【分析】(1)依题意，由几何法即可得出圆心的轨迹Γ是以F (0,1)为焦点，l ：y =-1为准线的抛物线．(2)设直线AP 的方程y -y 1=k x -x 1 ，对抛物线方程求导化简也可得直线AP 的方程，由恒等思想可得y 0+y 1=x 1x 02，y 0+y 2=x 2x 02，构造直线方程为y +y 0=x 0x2，故AB 两点代入化简可得恒过点0,-y 0 ，再由PH ⊥AB 得x =-x02y -y 0-2 ，PH 恒过点0,y 0+2 ，从而可得结论.。
圆锥曲线专题——定值定点问题(附解析)
第1页（共15页）圆锥曲线专题——定值定点问题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且22OA OBb k k a=-，判断AOB ∆的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．【解答】解：（1）椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切，∴b ==又222a b c =+，12c e a ==， 解得24a =，23b =，故椭圆的方程为22143x y +=．()II 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化为222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， △22226416(34)(3)0m k k m =-+->，化为22340k m +->．∴122834mkx x k +=-+，21224(3)34m x x k -=+．22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++=+++=+， 34OA OB k k =-，第2页（共15页）∴121234y y x x =-，121234y y x x =-， 222223(4)34(3)34434m k m k k --=-++，化为22243m k -=，||AB==又11)4d==-=，1||2S AB d ===22342k +=== （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过F 作直线l 与椭圆交于A 、B 两点，问：在x 轴上是否存在点P ，使PA PB 为定值，若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意知1c =，过F 且与x 轴垂直的弦长为3，则223b a =，即222()3a c a -=，则2a =，b∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=；（2）假设存在点P 满足条件，设其坐标为(,0)t ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当l 斜率存在时，设l 方程为(1)y k x =-，联立22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩，整理得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，△0>恒成立．第3页（共15页）2122843k x x k ∴+=+，212241243k x x k -=+． ∴1(PA x t =-，1)y ，2(PB x t =-，2)y ．∴222212121212()()(1)()()PA PB x t x t y y k x x k t x x k t =--+=+-++++22222222(1)(412)()8()(43)43k k k t k k t k k +--++++=+， 2222(485)3(12)43t t k t k --+-=+， 当PA PB 为定值时，2248531243t t t ---=，118t ∴=， 此时223121354364t PA PB t -==-=-． 当l 斜率不存在时，11(8P ，0)，3(1,)2A ，3(1,)2B -．3(8PA =-，3)2，3(8PB =-，3)2-，∴13564PA PB =-， ∴存在满足条件的点P ，其坐标为11(8，0)． 此时PA PB 的值为13564-． 3．已知点(2,1)M 在抛物线2:C y ax =上，A ，B 是抛物线上异于M 的两点，以AB 为直径的圆过点M ．（1）证明：直线AB 过定点；（2）过点M 作直线AB 的垂线，求垂足N 的轨迹方程． 【解答】证明：（Ⅰ）点(2,1)M 在抛物线2:C y ax =上，14a ∴=，解得14a =，第4页（共15页）∴抛物线的方程为24x y =，由题意知，故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立得24x yy kx m⎧=⎨=+⎩，消y 可得2440x kx m --=，得124x x k +=，124x x m =，由于MA MB ⊥，∴0MA MB =，即1212(2)(2)(2)(2)0x x y y --+--=，即121212122()()50x x x x y y y y -++-++=，(*)1212()2y y k x x m +=++，22121212()y y k x x km x x m =+++，代入(*)式得224865k k m m +=-+，即22(22)(3)k m +=-， 223k m ∴+=-，或223k m +=-，即25m k =+，或21m k =-+，当25m k =+时，直线AB 方程为(2)5y k x =++，恒过定点(2,5)， 经验证，此时△0>，符合题意，当21m k =-+时，直线AB 方程为(2)5y k x =++，恒过定点(2,1)，不合题意，∴直线AB 恒过点(2,5)-，（Ⅱ）由（Ⅰ）设直线AB 恒过定点(2,5)R -，则点N 的轨迹是以MR 为直径的圆且去掉(2,1)±，方程为22(3)8x y +-=，1y ≠．第5页（共15页）4．如图已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且过点(0,1)A ．（1）求椭圆的方程；（2）过点A 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 恒过定点P ．并求点P 的坐标．【解答】解：（1）因为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>3，且过点(0,1)A ．所以1b =，3c a =， 所以2a =，1b =所以椭圆C 的方程为：2214x y +=⋯（3分）（2）直线MN 恒过定点3(0,)5P -，下面给予证明：设直线1l 的方程为1y kx =+，联立椭圆方程，消去y 得；22(41)80k x kx ++=，解得222814,4141M M k k x y k k -=-=++ 同理可得：22284,(844N N k k x y k k -==⋯++则直线MN 的斜率22222221441414885414k k k k k k k k k k k ----++'==--++，第6页（共15页）则直线MN 的方程为22221418()41541k k ky x k k k ---=+++，即22222141813()4154155k k k k y x x k k k k ---=++=-++，则直MN 过定点3(0,)5-．故直线MN 恒过定点P 3(0,)5-．⋯（12分）B ．（1）证明：直线AB 过定点；面积．【解答】解：（1）证明：22x y =的导数为y x '=，设切点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，即有2112x y =，2222x y =，切线DA 的方程为111()y y x x x -=-，即为2112x y x x =-，切线DB 的方程为2222x y x x =-，联立两切线方程可得121()2x x x =+，可得121122y x x ==-，即121x x =-， 直线AB 的方程为2112112()2x y y y x x x x --=--， 即为211211()()22x y x x x x -=+-，第7页（共15页）可化为1211()22y x x x =++，可得AB 恒过定点1(0,)2；（2）法一：设直线AB 的方程为12y kx =+， 由（1）可得122x x k +=，121x x =-， AB 中点21(,)2H k k +，由H 为切点可得E 到直线AB 的距离即为||EH ，15||-= 解得0k =或1k =±， 即有直线AB 的方程为12y =或12y x =±+， 由12y =可得||2AB =，四边形ADBE 的面积为12(12)32ABE ABD S S ∆∆+=⨯⨯+=； 由12y x =±+，可得||1444AB =+=，此时1(1,)2D ±-到直线AB11|1|++= 5(0,)2E到直线AB15||-= 则四边形ADBE的面积为142ABE ABD S S ∆∆+=⨯⨯=；法二：（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+．第8页（共15页）由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是122x x t +=，121x x =-，21212()121y y t x x t +=++=+，212|||2(1)AB x x t =-=+．设1d ，2d 分别为点D ，E 到直线AB的距离，则1d =2d =因此，四边形ADBE的面积2121||()(2S AB d d t =+=+． 设M 为线段AB 的中点，则21(,)2M t t +．由于EM AB ⊥，而2(,2)EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以2(2)0t t t +-=．解得0t =或1t =±．当0t =时，3S =；当1t =±时，S =综上，四边形ADBE 的面积为3或（1）求椭圆方程；（2）过直线2y =上的点P 作椭圆的两条切线，切点分别为B ，C ①求证：直线BC 过定点； ②求OBC ∆面积的最大值；【解答】（1）解：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点(2,1)A ，离心率e =，第9页（共15页）∴22411a b +=，c a = 28a ∴=，22b =，∴椭圆方程为22182x y +=；（2）①证明：设0(P x ，2)，1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，则切线11:182x x y y PB +=，22:182x x y y PC +=， 0(P x ，2)代入，可得直线BC 的方程为018x xy +=， ∴直线BC 过定点(0,1)；②018x xy +=代入椭圆方程可得2200(1)4016x x x x +--=， 0122116x x x x∴+=+，12204116x x x -=+，1201||2OBCS x x ∆∴=-=， 令2016u x =+，则1216OBC S ∆=，OBC ∴∆面积的最大值为2．（1）求抛物线C 的方程；（2）动直线:1()l x my m R =+∈与抛物线C 相交于A ，B 两点，问：在x 轴上是否存在定点||||DA DBDA DB +与向量OD 共线（其中存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．第10页（共15页）【解答】解：（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(2p，0)， 准线方程为2px =-， 即有05||22p pPF x =+=，即02x p =， 则2164p =，解得2p =，则抛物线的方程为24y x =；（2）在x 轴上假设存在定点(,0)D t （其中0)t ≠，使得||||DA DB DA DB +与向量OD 共线， 由||DA DA ，||DBDB 均为单位向量，且它们的和向量与OD 共线， 可得x 轴平分ADB ∠， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立1x my =+和24y x =，得2440y my --=，△216(1)0m =+>恒成立．124y y m +=，124y y =-．①设直线DA 、DB 的斜率分别为1k ，2k ， 则由ODA ODB ∠=∠得，第11页（共15页） 121221121212()()()()y y y x t y x t k k x t x t x t x t -+-+=+=---- 122112121212(1)(1)2(1)()()()()()y my t y my t my y t y y x t x t x t x t +-++-+-+==----， 12122(1)()0my y t y y ∴+-+=，②联立①②，得4(1)0m t -+=，故存在1t =-满足题意，综上，在x 轴上存在一点(1,0)D -，使得x 轴平分ADB ∠， 即||||DA DB DA DB +与向量OD 共线． 8．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；率均存在且斜率之和为2-，证明：直线l 过定点．【解答】解：（1）由圆22:(2)1M x y ++=，可知圆心(2,0)M -，半径1；圆22:(2)49N x y -+=，圆心(2,0)N ，半径7．设动圆的半径为R ，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，||||1(7)8PM PN R R ∴+=++-=， 而||4NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为半长轴长的椭圆， 4a ∴=，2c =，22212b a c =-=．∴曲线C 的方程为2211612x y +=．第12页（共15页）（2）证明：直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为：x t =，(44)t -． 1(,)A t y ，2(,)B t y ，120y y +=．2AQ BQ k k +====-．解得t =此时直线l的方程为：x =．直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y kx m =+，．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 联立2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为：222(34)84480k x kmx m +++-=． 则122834km x x k +=-+，212244834m x x k -=+，12122AQ BQ y y k k x x --+=+=-，11y kx m =+，22y kx m =+．化为：1212(22)()0k x x m x x ++-+=，代入化为：k =∴直线l的方程为：y m =+．第13页（共15页）令23x =，可得23y =-．可得直线l 过定点(23，23)-．9．如图，椭圆222:1(02)4x y E b b+=<<，点(0,1)P 在短轴CD 上，且2PC PD =- （Ⅰ）求椭圆E 的方程及离心率；（Ⅱ）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ+为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．第14页（共15页）【解答】解：（Ⅰ）由已知，点C ，D 的坐标分别为(0,)b -，(0,)b ． 又点P 的坐标为(0,1)，且2PC PD =-，即212b -=-， 解得23b =．∴椭圆E 方程为22143x y +=． 221c a b =-，∴离心率12e =； （Ⅱ）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为1y kx =+，A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ．联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(43)880k x kx ++-=． 其判别式△0>，122843k x x k -+=+，122843x x k -=+． 从而，12121212[(1)(1)]OA OB PA PB x x y y x x y y λλ+=+++-- 21212(1)(1)()1k x x k x x λ=+++++22228(1)(1)4342234343k k k k λλλ-++-+-==--++，第15页（共15页）当2λ=时，24223743k λλ---=-+， 即7OA OB PA PB λ+=-为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ， 此时2347OA OB PA PB OC OD PC PD λ+=+=--=-， 故存在常数2λ=，使得OA OB PA PB λ+为定值7-．。
2024年高考数学复习大题全题型专练：专题14 圆锥曲线中的定值定点问题(原卷版)
专题14圆锥曲线中的定值定点问题1．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过 30,2,,12A B两点．(1)求E 的方程；(2)设过点 1,2P 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH．证明：直线HN 过定点．2．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b，右焦点为F，且离心率为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x 相切．证明：M ，N ，F三点共线的充要条件是||MN 3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知椭圆M ：22221x y a b （a >b >0）的离心率为22，AB 为过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点 2,0P ，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，当12111k k 时，是否存在直线l 恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.4．（2022·上海松江·二模）2222:1(0)x y a b a b 的右顶点坐标为(2,0)A ，左、右焦点分别为1F 、2F ，且122F F ，直线l 交椭圆 于不同的两点M 和N ．(1)求椭圆 的方程；(2)若直线l 的斜率为1，且以MN 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程；(3)若直线l 与椭圆 相切，求证：点1F 、2F 到直线l 的距离之积为定值．5．（2022·上海浦东新·二模）已知12F F 、分别为椭圆E ：22143x y的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆E 于,A B 两点．(1)当直线l 垂直于x 轴时，求弦长AB ；(2)当2OA OB时，求直线l 的方程；(3)记椭圆的右顶点为T ，直线AT 、BT 分别交直线6x 于C 、D 两点，求证：以CD 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．6．（2022·上海长宁·二模）已知,A B 分别为椭圆222Γ:1(1)xy a a的上、下顶点，F 是椭圆 的右焦点，M 是椭圆 上异于,A B 的点．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2(1)若π3AFB，求椭圆 的标准方程(2)设直线:2l y 与y 轴交于点P ，与直线MA 交于点Q ，与直线MB 交于点R ，求证：PQ PR 的值仅与a 有关(3)如图，在四边形MADB 中，MA AD ，MB BD ，若四边形MADB 面积S 的最大值为52，求a 的值．7．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）圆O ：224x y 与x 轴的两个交点分别为 12,0A ， 22,0A ，点M 为圆O 上一动点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点R 满足12NR NM(1)求点R 的轨迹方程；(2)设点R 的轨迹为曲线C ，直线1x my 交C 于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，试问：是否存在一个定点T ，当m 变化时，2A TS 为等腰三角形8．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆 2222:10x y C a b a b的离心率为12，椭圆C 的左､右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，1AD BD.(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为12的动直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，是否存在定点P （直线l 不经过点P ），使得直线PM 与直线PN 的倾斜角互补，若存在这样的点P ，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.9．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知椭圆 2222:10x y C a b a b的两个焦点分别为1F 和2F ，椭圆C 上一点到1F 和2F 的距离之和为4，且椭圆C 的离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)过左焦点1F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D （不与1F 重合），是否存在实数 ，使1AB DF恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说出理由.10．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y 上一个动点N 到椭圆焦点(0,)Fc 的距离的最小值是23，且长轴的两个端点12,A A 与短轴的一个端点B 构成的12A A B △的面积为2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过点4(0,)M 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．证明：直线1A P 与直线2A Q 的交点T 在定直线上．11．（2022·安徽省舒城中学三模（理））已知椭圆22:184x y ，过原点O 的直线交该椭圆 于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），点 4,0E ，直线AE 与椭圆的另一交点为C ，直线BE 与椭圆的另一交点为D ．(1)若AB 是 短轴，求点C 坐标；(2)是否存在定点T ，使得直线CD 恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2022·广东茂名·二模）已知圆O ：x 2+y 2＝4与x 轴交于点(2,0)A ，过圆上一动点M 作x 轴的垂线，垂足为H ，N 是MH 的中点，记N 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过6(,0)5作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，设直线AP ，AS 的斜率分别为k 1，k 2.证明：k 1＝4k 2．13．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C 的焦点在y 轴上，中心在坐标原点，从下焦点1F 射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点2F ，这束光线的总长度为4率e 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若从椭圆C 中心O 出发的两束光线OM 、ON ，分别穿过椭圆上的A 、B 点后射到直线4y 上的M 、N 两点，若AB原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4连线过椭圆的上焦点2F ，试问，直线BM 与直线AN 能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.14．（2022·全国·模拟预测）设椭圆 222:10416x y C b b的右焦点为F ，左顶点为A ．M 是C 上异于A 的动点，过F 且与直线AM 平行的直线与C 交于P ，Q 两点（Q 在x 轴下方），且当M 为椭圆的下顶点时，2AM FQ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点S ，T 满足PS SQ ，FS ST，证明：平面上存在两个定点，使得T 到这两定点距离之和为定值．15．（2022·上海交大附中模拟预测）已知椭圆221214x y F F ：，，是左、右焦点．设M 是直线 2l x t t ：上的一个动点，连结1MF ，交椭圆 于 0N N y ．直线l 与x 轴的交点为P ，且M 不与P重合．(1)若M的坐标为528，，求四边形2PMNF 的面积；(2)若PN 与椭圆 相切于N 且1214NF NF，求2tan PNF 的值；(3)作N 关于原点的对称点N ，是否存在直线2F N ，使得1F N 上的任一点到2F N，若存在，求出直线2F N 的方程和N 的坐标，若不存在，请说明理由．16．（2022·全国·模拟预测（理））已知椭圆C ： 222210x y a b a b的右顶点为A ，上顶点为B ，直线AB的斜率为原点O 到直线AB 的距离为2217.(1)求C 的方程；(2)直线l 交C 于M ，N 两点，90MBN ，证明：l 恒过定点.17．（2022·全国·模拟预测（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左、右焦点分别为1F ，2F ，1A ，2A 分别为左、右顶点，1B ，2B 分别为上、下顶点．若四边形1122B F B F212F F ，212B B ，212A A 成等差数列．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆外一点P (P 不在坐标轴上)连接1PA ，2PA ，分别与椭圆C 交于M ，N 两点，直线MN 交x 轴于点Q ．试问：P ，Q 两点横坐标之积是否为定值？若为定值，求出定值；若不是，说明理由．18．（2022·山西·太原五中二模（文））已知椭圆2221x y ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于A B ､和C D ､，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S ．(1)设 1122,,,A x y C x y ，用A C ､的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212S x y x y ；(2)请从①②两个问题中任选一个作答①设1l 与2l 的斜率之积12，求面积S 的值．②设1l 与2l 的斜率之积为m ．求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变．19．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知A ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b的右顶点和上顶点，||AB ，直线AB 的斜率为12.(1)求椭圆的方程；(2)直线//l AB ，与x ，y 轴分别交于点M ，N ，与椭圆相交于点C ，D ．证明：（i ）OCM 的面积等于ODN △的面积；（ii ）22||||CM MD 为定值．20．（2022·北京市第十二中学三模）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b 过点(2,0)A .(1)求椭圆M 的方程；(2)已知直线(3)y k x 在x 轴上方交椭圆M 于B ，C （异于点A ）两个不同的点，直线AB ，AC 分别与y 轴交于点P ､Q ，O 为坐标原点，求 k OP OQ 的值.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6。
圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线的定值、定点问题
圆锥曲线中的定值、定点问题一、直线恒过定点问题例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2:4C x y =的切线,EA EB ， 切点为A 、B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标；解：设),2,(-a E )4,(),4,(222211x x B x x A ，x y x y 214'2=∴=,)(2141121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(21421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x同理可得：222280x ax --=8,2082,2121221-=⋅=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程)24,(2+a a AB 中点为可得，又2212121212124442ABx x y y x x a k x x x x --+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2ay x AB =+∴即过定点0,2.例2. 已知点是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x xy y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。
解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩，解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩∴ 直线PN 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为： 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(1,0)G 二、恒为定值问题例3. 已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点。
专题14 圆锥曲线中的定值定点问题(解析版)
专题14 圆锥曲线中的定值定点问题1．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)22143y x +=(2)(0,2)- 【解析】 【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解. (1)解：设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.(2)3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得(1,M，N ，代入AB 方程223y x =-，可得(3,T ，由MT TH =得到(5,H -.求得HN 方程：(22y x =+-，过点(0,2)-. ①若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=， 可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++- 可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=， 将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--= 显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-2．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN 充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭圆方程结合弦长公=1k =±，即可得解. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a ==a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ， 必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y -=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以121234x x x x +=⋅=，所以MN所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=y x =-所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知椭圆M ：22221x y a b +=（a >b>0AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2. (1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点()2,0P ，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，当12111k k +=时，是否存在直线l 恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22142x y += (2)存在，()2,4-- 【解析】 【分析】（1）由题意求出,,a b c ，即可求出椭圆M 的方程.（2）设直线l 的方程为m (x －2)+ny ＝1，()11,C x y ，()22,D x y ，联立直线l 的方程与椭圆方程()()222242x y x -+=--，得()22214420x x m n y y ⎛⎫--+++= ⎪⎝⎭，则12114114n k k m +=-=+，化简得14m n +=-，即可求出直线l 恒过的定点. (1)因为22221x y a b +=（a >b >0222b a =， 所以a ＝2，c =b M 的方程为22142x y +=.(2)设直线l 的方程为m (x －2)+ny ＝1，()11,C x y ，()22,D x y ， 由椭圆的方程2224x y +=，得()()222242x y x -+=--.联立直线l 的方程与椭圆方程，得()()()2222422x y x m x ny ⎡⎤⎣⎦-+=---+，即()()()221424220m x n x y y +-+-+=，()22214420x x m n y y ⎛⎫--+++= ⎪⎝⎭， 所以12121222114114x x nk k y y m--+=+=-=+， 化简得14m n +=-，代入直线l 的方程得()1214m x m y ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭， 即()1214m x y y ---=，解得x ＝－2，y ＝－4，即直线l 恒过定点()2,4--. 4．（2022·上海松江·二模）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右顶点坐标为(2,0)A ，左、右焦点分别为1F 、2F ，且122F F =，直线l 交椭圆Γ于不同的两点M 和N ． (1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l 的斜率为1，且以MN 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程； (3)若直线l 与椭圆Γ相切，求证：点1F 、2F 到直线l 的距离之积为定值．【答案】(1)22143x y +=；(2)2y x =-或27y x =-； (3)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据焦距及椭圆的顶点求出,a b 即可得出；（2）设直线l 的方程为 y x b =+，联立方程，由根与系数的关系及0AM AN ⋅=求解即可；（3）分直线斜率存在与不存在讨论，当斜率不存在时直接计算可得，当斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，根据相切求出,b k 关系，再由点到直线的距离直接计算即可得解.(1)①1222F F c == ①1c =，①2a =，由222a b c =+ 得241=+b ，①22=34=b a ，所以椭圆Γ的方程：22143x y +=；(2)①直线l 的斜率为1，故可设直线l 的方程为 y x b =+， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y由22143y x bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得22784120x bx b ++-=， 则1287b x x +=-，2124127b x x -=，①以MN 为直径的圆过右顶点A ，①0AM AN ⋅=，①1212(2)(2)0x x y y --+= ①21212122211))2()4((2(2)()4b b x x x x x x x x b x x b -+++=+-+++++2241282(2)4077b bb b -=⋅--⋅++=，整理可得271640b b ++=，①2b =-或27b =-，①2226447(412)16(213)b b b ∆=-⋅⋅-=⋅-， 当2b =-或27b =-时，均有0∆>所以直线l 的方程为2y x =-或27y x =-． (3)椭圆Γ左、右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F①当直线l 平行于y 轴时，①直线l 与椭圆Γ相切，①直线l 的方程为2x =±， 此时点1F 、2F 到直线l 的到距离分别为121,3d d ==，①123d d ⋅=． ①直线l 不平行于y 轴时，设直线l 的方程为 y kx b =+，联立2234120y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得222(34)84120k x kbx b +++-=， 222222644(34)(412)16(9123)k b k b k b ∆=-+-=⋅+-，①直线l 与椭圆Γ相切，①0∆=，①2234b k =+ ①1(1,0)F -到直线l的距离为1d ，2(1,0)F -到直线l的距离为2=d①2222212222(34)33111k bk k k d d k k k --++⋅=====+++， ①点1F 、2F 到直线l 的距离之积为定值由3．5．（2022·上海浦东新·二模）已知12F F 、分别为椭圆E ：22143x y+=的左、右焦点， 过1F 的直线l 交椭圆E于,A B 两点．(1)当直线l 垂直于x 轴时，求弦长AB ； (2)当2OA OB ⋅=-时，求直线l 的方程；(3)记椭圆的右顶点为T ，直线AT 、BT 分别交直线6x =于C 、D 两点，求证：以CD 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)3(2))1y x =+(3)证明见解析；定点()()4080，，，【解析】 【分析】（1）将1x =-代入椭圆方程求解即可；（2）由（1）知当直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()1y k x =+，联立直线与椭圆的方程，得出()22223484120k xk x k +++-=，设()()1122A x y B x y ，，，可得韦达定理，代入2OA OB ⋅=-计算可得斜率；（3）分析当直线l 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知若以CD 为直径的圆恒过定点则定点在x 轴上，再以CD 为直径的圆的方程，令0y =，代入韦达定理化简可得定点 (1)由题知()110F -，，将1x =-代入椭圆方程得332y AB =±∴=， (2)由（1）知当直线l 的斜率不存在时，331122A B ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，此时14OA OB =，不符合题意，舍去∴直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()1y k x =+，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22223484120k x k x k +++-=，设()()1122A x y B x y ，，，，则2122212283441234k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 由()()()()2222222221212121212122224128512111()1343434k k k OA OB x x y y x x k x k x k x xk x x k kk k k k k ----=+=+++=++++=+++=+++，解得22k k ==，∴直线l 的方程为)1y x =+．．(3)①当直线l 的斜率不存在时，()33112022A B T ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，直线AT 的方程为112y x =-+，C 点坐标为()62-，， 直线BT 的方程为112y x =-，D 点坐标为()62，，以CD 为直径的圆方程为()2264x y -+=，由椭圆的对称性知若以CD 为直径的圆恒过定点则定点在x 轴上，令0y =，得48x x ==，．即圆过点()()4080，，，． ①当直线l 的斜率存在时，同（2）联立，直线AT 的方程为()1122y y x x =--， C 点坐标为11462y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，同理D 点坐标为22462y x ⎛⎫⎪-⎝⎭，，以CD 为直径的圆的方程为()()12124466022y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，令0y =，得()2121212161236024y y x x x x x x -++=-++，由()()()()22222121222121212122241281611611343416441282424243434k k k k x k x k k y y k k x x x x x x x x k k ⎛⎫--++ ⎪++++⎝⎭===----++-++-+++， 得212320x x -+=，解得48x x ==，，即圆过点()()4080，，，． 综上可得，以CD 为直径的圆恒过定点()()4080，，，． 6．（2022·上海长宁·二模）已知,A B 分别为椭圆222Γ:1(1)x y a a+=>的上、下顶点，F 是椭圆Γ的右焦点，M 是椭圆Γ上异于,A B 的点．(1)若π3AFB ∠=，求椭圆Γ的标准方程 (2)设直线:2l y =与y 轴交于点P ，与直线MA 交于点Q ，与直线MB 交于点R ，求证：PQ PR ⋅的值仅与a 有关(3)如图，在四边形MADB 中，MA AD ⊥，MB BD ⊥，若四边形MADB 面积S 的最大值为52，求a 的值．【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析 (3)2a = 【解析】 【分析】（1）根据已知判断AFB △形状，然后可得；（2）设()11,M x y ，表示出直线AM 、BM 的方程，然后求Q 、R 的坐标，直接表示出所求可证； （3）设()11,M x y ，()44,D x y ，根据已知列方程求解可得14,x x 之间关系，表示出面积，结合已知可得. (1)因为AF BF =，π3AFB ∠=，所以AFB △是等边三角形， 因为2AB =，AF a =，所以2a =，得椭圆的标准方程为2214x y +=．(2)设()11,M x y ，()2,2R x ，()3,2Q x ， 因为()0,1A ，()0,1B -所以直线AM 、BM 的方程分别为 111:1AM y l y x x -=+， 111:1BM y l y x x +=-， 所以12131x x y =+，1311x x y =-， 又221121x y a-=所以2211221331x PQ PR x x a y ⋅===-，所以PQ PR ⋅的值仅与a 有关． (3)设()11,M x y ，()44,D x y ， 因为MA DA ⊥，MB DB ⊥，所以()()1414110x x y y +--=，()()1414110x x y y +++= 两式相减得41y y =-，带回原式得214110x x y +-=，因为221121x y a+=，所以142x x a =-， 1412111MAB DABS SSx x x a a a ⎛⎫=+=+=+≤+ ⎪⎝⎭因为S 的最大值为52 ，所以152a a += ，得2a =．7．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）圆O ：224x y +=与x 轴的两个交点分别为()12,0A -，()22,0A ，点M 为圆O 上一动点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点R 满足12NR NM = (1)求点R 的轨迹方程；(2)设点R 的轨迹为曲线C ，直线1x my =+交C 于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，试问：是否存在一个定点T ，当m 变化时，2A TS 为等腰三角形【答案】(1)2214x y +=(2)存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）设点()00,M x y 在圆224x y +=上，故有22004x y +=，设(),R x y ，根据题意得0x x =，012y y =，再代入圆224x y +=即可求解；（2）先判断斜率不存在的情况；再在斜率存在时，设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆联立得：()224230m y my ++-=，12224m y y m -+=+，12234y y m -=+，再根据题意求解判断即可. (1)设点()00,M x y 在圆224x y +=上，故有22004x y +=，设(),R x y ，又12NR NM =，可得0x x =，012y y =， 即0x x =，02y y =代入22004x y +=可得()2224x y +=，化简得：2214x y +=，故点R 的轨迹方程为：2214x y +=.(2)根据题意，可设直线l 的方程为1x my =+， 取0m =，可得P ⎛ ⎝⎭，1,Q ⎛ ⎝⎭， 可得直线1A P的方程为y x =+，直线2A Q的方程为y x =-联立方程组，可得交点为(1S ；若1,P ⎛ ⎝⎭，Q ⎛ ⎝⎭，由对称性可知交点(24,S ， 若点S 在同一直线上，则直线只能为l ：4x =上，以下证明：对任意的m ，直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线l ：4x =上. 由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()224230m y my ++-= 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12224m y y m -+=+，12234y y m -=+ 设1A P 与l 交于点()004,S y ，由011422y y x =++，可得10162y y x =+ 设2A Q 与l 交于点()004,S y '，由022422y y x '=--，可得20222y y x '=-，因为()()()()122112102126123622222y my y my y y y y x x x x --+'-=-=+-+- ()()()()()22121211121212464402222m mmy y y y m m x x x x ----+++===+-+-， 因为00y y '=，即0S 与0S '重合， 所以当m 变化时，点S 均在直线l ：4x =上，因为()22,0A ，()4,S y ，所以要使2A TS 恒为等腰三角形，只需要4x =为线段2A T 的垂直平分线即可，根据对称性知，点()6,0T . 故存在定点()6,0T 满足条件.8．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆C 的左､右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，1AD BD ⋅=-. (1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为12的动直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，是否存在定点P （直线l 不经过点P ），使得直线PM 与直线PN 的倾斜角互补，若存在这样的点P ，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22143x y +=(2)存在，点P 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用数量积公式及离心率可得a ,b ,c 从而得到椭圆方程; （2）设直线l 的方程为12y x m =+，与椭圆方程联立，写出韦达定理，由题意可得直线PM 与直线PN 的斜率之和为零，利用韦达定理化简可得结果. (1)设椭圆C 的焦距为2c ，由题意知(),0A a -，(),0B a ，()0,D b ，所以(),AD a b =，(),BD a b =-，所以2221AD BD a b c ⋅=-+=-=-，解得1c =. 又椭圆C 的离心率为12，所以22a c ==，b故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)假设存在这样的点P ，设点P 的坐标为()00,x y ，点M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，设直线l 的方程为12y x m =+. 联立方程221,4312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 后整理得2230x mx m ++-=.()222431230m m m ∆=--=->，得22m -<<， 有12212,3.x x m x x m +=-⎧⎨=-⎩ 若直线PM 与直线PN 的倾斜角互补，则直线PM 与直线PN 的斜率之和为零，所以01020102010201021122y x m y x m y y y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=+---- ()()()()()()()()()()010*********0102010222222222222y m x x x y m x x x y m x y m x x x x x x x x x ---+---⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦=+=----()()()()()()()()()()20000012121200102010222223222222y m x m m mx y m x x x x x x x x x x x x x x x x -++-+--++-+⎡⎤⎣⎦==----()()()()()()()()0000000001020102462322323022x y y x m x y y x mx x x x x x x x -+--+-===----.所以0000230,230,x y y x -=⎧⎨-=⎩解得001,32x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或001,3.2x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩故存在点P 符合条件，点P 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.9．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1F 和2F ，椭圆C 上一点到1F 和2F 的距离之和为4，且椭圆C(1)求椭圆C 的方程；(2)过左焦点1F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D （不与1F 重合），是否存在实数λ，使1AB DF λ=恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说出理由.【答案】(1)2214x y +=(2)存在，λ=【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义可求得a 的值，根据椭圆的离心率求得c 的值，再求出b 的值，即可得出椭圆C 的方程； （2）分析可知，直线l 不与x 轴垂直，分两种情况讨论，一是直线l 与x 轴重合，二是直线l 的斜率存在且不为零，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，求出AB 、1DF ，即可求得λ的值. (1)解：由椭圆的定义可得24a =，则2a =，因为c ea ==c∴=1b ==， 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)解：若直线l 与x 轴垂直，此时，线段AB 的垂直平分线为x 轴，不合乎题意； 若直线l 与x 轴重合，此时，线段AB 的垂直平分线为y 轴，则点D 与坐标原点重合，此时，143AB DF λ==若直线l 的斜率存在且不为零时，设直线l 的方程为)0x my m =≠，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立2244x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩()22410m y +--=，()()22212441610m m m ∆=++=+>，由韦达定理可得12y y +=，12214y y m =-+， 则()121222m y y x x ++= 所以，线段AB的中点为M ⎛ ⎝⎭， 所以，线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y m x ⎛=- ⎝⎭，在直线方程y m x ⎛=- ⎝⎭中，令0y =可得x =，故点D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以，)21214m DF m +==+，由弦长公式可得()22414m AB m +==+，因此，()2221414m ABDF m λ+===+综上所述，存在λ=1AB DF λ=恒成立. 10．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=上一个动点N 到椭圆焦点(0,)F c 的距离的最小值是2，且长轴的两个端点12,A A 与短轴的一个端点B 构成的12A A B △的面积为2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过点4(0,)M -且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．证明：直线1A P 与直线2A Q 的交点T 在定直线上．【答案】(1)2214y x +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得到22221222a c ab a b c ⎧-=⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎩，再解方程组即可.（2）首先设直线:4l y kx =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，与椭圆联立，利用韦达定理得到12284kx x k +=+，122124x x k =+.1112:2PA y l y x x ++=，2222:2QA y l y xx --=，根据2123y y +=--，即可得到1y =-，从而得到直线1A P 与直线2A Q 的交点T 在定直线1y =-上. (1)由题知：22221222a c ab a b c⎧-=⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪⎩，即：椭圆22:14+=y C x(2)设直线:4l y kx =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，()10,2A -，()20,2A ，()222214812044y x k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+-+=⎨⎪=-⎩. 12284k x x k +=+，122124x x k =+. 则1112:2PA y l y x x ++=，2222:2QA y l y x x --=， 则()()()()1212122212112122222266y x kx x kx x x y y y x kx x kx x x +--+===----， 因为()1212212342k kx x x x k ==++， 所以()()12212121213232123293362x x x x x y y x x x x x +--+===---++-，解得1y =-. 所以直线1A P 与直线2A Q 的交点T 在定直线1y =-上.11．（2022·安徽省舒城中学三模（理））已知椭圆22:184x y Γ+=，过原点O 的直线交该椭圆Γ于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），点()4,0E ，直线AE 与椭圆的另一交点为C ，直线BE 与椭圆的另一交点为D ．(1)若AB 是Γ短轴，求点C 坐标；(2)是否存在定点T ，使得直线CD 恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)82(,)33；(2)存在，8(,0)3T .【解析】 【分析】（1）两点式写出直线AE ，联立椭圆方程并结合韦达定理求出C 坐标； （2）设00(,)A x y 有00:(4)4=--y AE y x x ，联立椭圆求C 坐标，同理求D 坐标，讨论00x ≠、00x =，判断直线CD 恒过定点即可. (1)由题设，(0,2)A ，而()4,0E ，故直线AE 为240x y +-=，联立22:184x y Γ+=并整理得：23840y y -+=，故83A C y y +=，而2A y =，所以23C y =，代入直线AE 可得284233C x =-⨯=，故C 坐标为82(,)33.(2)设00(,)A x y ，则00:(4)4=--y AE y x x ， 由()00224428y y x x x y ⎧=-⎪-⎨⎪+=⎩，故2220202(4)8(4)+-=-y x x x ， 由韦达定理有20222222000000002220000020328(4)328(4)16(8)8(4)64242(4)22482481(4)C y x y x x x x x x x y x y x x x --------====-+--+-， 所以00833C x x x -=-，故003C y y x =-，同理得：00833D x x x +=+，003D y y x -=+，当00x ≠时，取8(,0)3T ，则0000003383833TCy x yk x x x -==----，同理003TD y k x =-， 故,,T C D 共线，此时CD 过定点8(,0)3T .当00x =时，83C D x x ==，此时CD 过定点8(,0)3T .综上，CD 过定点8(,0)3T .12．（2022·广东茂名·二模）已知圆O ：x 2+y 2＝4与x 轴交于点(2,0)A -，过圆上一动点M 作x 轴的垂线，垂足为H ，N 是MH 的中点，记N 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)过6(,0)5-作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，设直线AP ，AS 的斜率分别为k 1，k 2.证明：k 1＝4k 2．【答案】(1)2212x y +=；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）运用相关点法即可求曲线C 的方程；( 2)首先对直线l 的斜率是否存在进行讨论,再根据几何关系分别求出P 、Q 、S 三点的坐标，进而表示出直线AP ， AS 的斜率12,k k ，再根据斜率的表达式进行化简运算,得出结论. (1)设N （x 0，y 0），则H （x 0，0）， ①N 是MH 的中点，①M （x 0，2y 0），又①M 在圆O 上，2200(2)4y x +=∴，即220014x y +=； ①曲线C 的方程为：2214x y +=；(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：65x =-，若点P 在轴上方，则点Q 在x 轴下方，则6464(,),(,)5555P Q ---，直线OQ 与曲线C 的另一交点为S ，则S 与Q 关于原点对称，①64(,)55S ，1244001551,,6642255APAS k k k k --======-++124k k ∴=；若点P 在x 轴下方，则点Q 在x 轴上方， 同理得：646464(,),(,),(,)555555P Q S ----，1244001551,6642255APAS k k k k ----===-∴===--++，①k 1＝4k 2；①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：6,5x my =-，由6,5x my =-与2214x y +=联立可得221264(4)0525m m y y +--=， 其中22144644(4)02525m m ∆=+⨯+⨯>，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则22(,)S x y --，则1212221264525,44m y y y y m m -+==++，①112212112200,,2222AP AS k y y y y k k k x x x x ---======++-+- 则121122121216()2542()5y my k y x k x y my y --=⋅=++121112212121112226464161616252554545444641216()4445525525454545my y y y y m m my y y y y m m y y m m m -----++====++---+⋅--+++，①k 1＝4k 2. 13．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C 的焦点在y 轴上，中心在坐标原点，从下焦点1F 射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点2F ，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角e < (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若从椭圆C 中心O 出发的两束光线OM 、ON ，分别穿过椭圆上的A 、B 点后射到直线4y =上的M 、N两点，若AB 连线过椭圆的上焦点2F ，试问，直线BM 与直线AN 能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.【答案】(1)22143y x +=(2)能，定点为（0，85）【解析】 【分析】（1）由条件列方程求,,a b c 可得椭圆方程； （2）联立方程组，利用设而不求法结论完成证明. (1)由已知可设椭圆方程为22221(0)y x a b a b+=>>，则24a =，122c b ⨯⨯222a b c =+又e <所以21a b c ===，，故椭圆C 的标准方程为22143y x +=(2)设AB 方程为1y kx =+，由221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690k x kx ++-=， 222(6)36(34)1441440k k k ∆=++=+>设()()1122A x y B x y ，，，，则121222693434k x x x x k k --+==++，.. 由对称性知，若定点存在，则直线BM 与直线AN 交于y 轴上的定点，由114y y x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩得1144x M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则直线BM 方程为211121444()4y x y x x y x y --=--， 令0x =，则 122114(4)44x y y x y x -=+-()()112211414114x x kx x kx x ⎡⎤-+=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦112211234(1)4x kx x x x kx x -=+-+2121124()4x x x x kx x -=-+又12123()2x x kx x +=， 则21212112214()4()83554()()22x x x x y x x x x x x --===-++-，所以，直线BM 过定点（0，85），同理直线AN 也过定点8(0,)5.则点（0，85）即为所求点.14．（2022·全国·模拟预测）设椭圆()222:10416x y C b b+=<<的右焦点为F ，左顶点为A ．M 是C 上异于A的动点，过F 且与直线AM 平行的直线与C 交于P ，Q 两点（Q 在x 轴下方），且当M 为椭圆的下顶点时，2AM FQ =．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点S ，T 满足PS SQ =，FS ST =，证明：平面上存在两个定点，使得T 到这两定点距离之和为定值． 【答案】(1)22116x = (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标运算用,b c 表示出Q 点坐标，代入椭圆方程求得参数b ，得椭圆方程； （2）设(), 0F c ，直线PQ 的斜率不为0，设其方程为 x m y c =+，设1122(,),(,)P x y Q x y ．直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得12y y +，利用向量相等的坐标表示求得T 点坐标，得出T 点坐标满足一个椭圆方程，然后再由椭圆定义得两定点坐标． (1)当M 为椭圆的下顶点时，(4,)AM b =-，则12,22b FQ AM ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． 设C 的焦距为2c ，则2,2b Q c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即2,2b Q ⎫-⎪⎭．因为Q 在C上，故)2211164+=，解得()22162b =-=则椭圆C的标准方程为22116x =． (2)设(), 0F c ，直线PQ 的斜率不为0，设其方程为 x m y c =+，设1122(,),(,)P x y Q x y ．联立直线PQ 和C 的方程，消x得()22220y +-．12y y +=1212()2x x m y y c +=++= 由PS SQ =得S 为弦PQ的中点，故S ⎛．由FS ST =得S 是线段FT的中点，故T ．设T 的坐标为(), x y，则x c =，y c =，故2211x y c c ⎛⎫⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2221x c =， 这表明T 在中心为原点，(,0)c ±为长轴端点，0,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为短轴端点的椭圆上运动，故T到两焦点,0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的距离之和为定值．代入得两焦点坐标为(()4,0±-．综上所述，平面上存在两定点()4-，()4-+，使得T 到这两定点距离之和为定值．15．（2022·上海交大附中模拟预测）已知椭圆221214x y F F Γ+=：，，是左、右焦点．设M 是直线()2l x t t =>：上的一个动点，连结1MF ，交椭圆Γ于()0N N y ≥．直线l 与x 轴的交点为P ，且M 不与P 重合．(1)若M 的坐标为58⎫⎪⎪⎝⎭，，求四边形2PMNF 的面积； (2)若PN 与椭圆Γ相切于N 且1214NF NF ⋅=，求2tan PNF ∠的值； (3)作N 关于原点的对称点N '，是否存在直线2F N ，使得1F N '上的任一点到2F N求出直线2F N 的方程和N 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(3)存在；y x =；126N ⎫⎪⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据点斜式方程可得1:MF l y x =，再联立椭圆方程得到12N ⎫⎪⎭，再根据2112PMNF PF M NF F S S S =-△△求解即可；（2）设:()PN l y k x t =-，根据相切可知，直线与椭圆方程联立后判别式为0，得到2214k t =-，再根据1214NF NF ⋅=，化简可得t =12N ⎫⎪⎭，再根据直角三角形中的关系求解2tan PNF ∠的值即可；（3）设()00,N x y ，表达出2NF l，再根据22O NF d -=列式化简可得2148k =，结合k =程即可求得N 和直线2F N 的方程 (1)由题意，()1F，故15MF k ==，所以1:MF l y x =与椭圆方程联立2214x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得：213450x +-=，即(130x x +=，又由题意N x >，故解得x =12N ⎫⎪⎭，故121122NF F S =⋅=△且11528PF M S ==△则2112PMNF PF M NF F S S S =-=△△(2)由于直线PN 的斜率必存在，则设:()PN l y k x t =-与椭圆方程联立2214()x y y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得：()22222148440k x k tx k t +-+-=由相切，()22216140k k t∆=+-=，则2214kt =-同时有韦达定理21228214N k t x x x k +==+，代入2214k t =-有2244414Nt t x t -=+-，化简得4N x t =，故2222414N Nx t y t-=-=而222122122134N Nt NF NF x y t -⋅=+-==，解得2t =>则12N ⎫⎪⎭，所以2NF x ⊥轴，故在直角三角形2PNF中，2223tan 12PF PNF NF ∠===(3)由于N 与N '，1F 与2F 是两组关于原点的对称点，由对称性知 四边形12F NF N '是平行四边形，则2NF 与1N F '是平行的， 故1F N '上的任一点到2F N 的距离均为两条平行线间的距离d ．设()00,N x y，其中0(x ∈，易验证，当0x 时，2NF 与1N F '之间的距离为k =2(:NF y l k x =，即0kx y -=，发现当0x22O NF d d -==221914k k =+，整理得2148k =代入k =(220048y x =，代入220014x y =-整理得20013450x --=，即(00130x x -=由于0(x ∈，所以0x =126N ⎫⎪⎪⎝⎭，故1k =， 则2F N l的直线方程为y x =16．（2022·全国·模拟预测（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，直线AB的斜率为O 到直线AB(1)求C 的方程；(2)直线l 交C 于M ，N 两点，90MBN ∠=︒，证明：l 恒过定点.【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【解析】 【分析】（1）题意得(,0),(0,)A a B b ，根据AB斜率，可得b a =AB 的方程，根据点到直线距离公式，可求得a 值，进而可得b 值，即可得答案.（2）分析得直线l 的斜率存在，设1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+，与椭圆联立，可得关于x 的一元二次方程，根据韦达定理，可得1212,x x x x +表达式，进而可得12y y 、12y y +的表达式，根据90MBN ∠=︒，可得0MB NB ⋅=，根据数量积公式，化简计算，可得m 值，分析即可得证(1)由题意得(,0),(0,)A a B b ， 所以直线AB的斜率为b a =-b a = 又直线AB的方程为)y x a =-20y +=， 所以原点O 到直线AB的距离d ==，解得2a =，所以b =22143x y +=.(2)由椭圆的对称性可得，直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+，联立方程22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得222(34)84120k x kmx m +++-=， 所以21212228412,3434km m x x x x k k --+==++， 所以22221212122312()34m k y y k x x km x x m k -=+++=+，121226()234m y y k x x m k +=++=+， 因为90MBN ∠=︒，所以MB BN ⊥，因为B，所以1122(,3),()MB x yNB x y =--=-，所以22212121222241263123)30343434m m m k MB NB x x y y y y k k k --⋅=+++=++=+++， 整理得2730m --=，解得m =或7m =-，因为B ，所以m舍去， 所以直线l 的方程为y kx =0,⎛ ⎝⎭，得证17．（2022·全国·模拟预测（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，1A ，2A 分别为左、右顶点，1B ，2B 分别为上、下顶点．若四边形1122B F B F212F F ，212B B ，212A A 成等差数列．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆外一点P (P 不在坐标轴上)连接1PA ，2PA ，分别与椭圆C 交于M ，N 两点，直线MN 交x 轴于点Q ．试问：P ，Q 两点横坐标之积是否为定值？若为定值，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)22132x y +=；(2)32P Q x x =为定值，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）应用菱形面积公式、等差中项的性质及椭圆参数关系求椭圆参数，写出椭圆标准方程.（2）由题意分析知1PA ，2PA 所在直线斜率均存在且不为0、斜率和差均不为0，设直线1PA ，2PA 联立椭圆求M ，N 的坐标及P 点横坐标，应用点斜式写出直线MN ，令0y =求Q 横坐标，即可得结论. (1)由题设知：2222222844bc b a c a b c ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎩，可得22321a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以椭圆标准方程为22132x y +=. (2)由题意，1PA ，2PA 所在直线斜率均存在且不为0、斜率和差均不为0，设1PA为(y k x =，联立椭圆方程整理得：22229(23)302k k x x +++-=，所以1M A x x +=1A x =M x == 设2PA为(y m x =，联立椭圆方程整理得：22229(23)302m m x x +-+-=，所以2N A x x +=2A x =N x ==所以M y k =⋅=Ny m =⋅=， 联立直线1PA 、2PA可得：P x =，直线MN为2()[23m k y x km +=⋅-，令0y =，则Q x =，所以32P Q x x ==为定值.18．（2022·山西·太原五中二模（文））已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于A B ､和C D ､，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S ．(1)设()()1122,,,A x y C x y ，用A C ､的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212S x y x y =-； (2)请从①①两个问题中任选一个作答 ①设1l 与2l 的斜率之积12-，求面积S 的值．①设1l 与2l 的斜率之积为m ．求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变． 【答案】(1)(2)见解析 【解析】 【分析】（1）讨论10x ≠和10x =，分别写出直线1l 的方程，由距离公式即可求得点C 到直线1l 的距离，由面积公式即可证明12212S x y x y =-；（2）若选①，设出直线1l 和2l 的方程，联立椭圆求出A C ､的坐标，结合（1）中面积公式求解即可；若选①，设出直线1l 和2l 的方程，联立椭圆求出A C ､的坐标，结合（1）中面积公式得到S 的表达式，平方整理，由含42,k k 的项系数为0即可求解. (1)当10x ≠时，直线1l 的方程为：11y y x x =，则点C 到直线1l的距离为d ==当10x =时，直线1l 的方程为：0x =，则点C 到直线1l 的距离为2d x =，也满足d则点C 到直线1l2AB AO ==则1212112222S AB d x y x x x y y y =⋅==--=；(2)若选①，设1122121:,:,2l y k x l y k x k k ===-，设()()1122,,,A x y C x y ，直线1l 与椭圆联立12221y k x x y =⎧⎨+=⎩可得()221121k x+=，同理直线2l 与椭圆联立可得()222121k x +=，不妨令120,0x x >>，则11x y =，22x y ===，则12212S x y x y ==-== 若选①，设12:,:m l y kx l y x k ==，设()()1122,,,A x y C x y ，直线1l 与椭圆联立2221y kx x y =⎧⎨+=⎩可得()22121k x +=，则212112x k =+，同理可得2222221212k x k m m k ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则1221121221222m m x x x kx k x k S y x x k x y =-=-=-⋅⋅⋅1222m m k x x k k k ==-=-⋅，两边平方整理得()24222222224(48)240Sk S S m m k m S m -++++-=，由面积S 与k 无关，可得2222240480S S S m m ⎧-=⎨++=⎩，解得12S m ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，故12m =-时，无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变．19．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知A ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点和上顶点，||AB =AB 的斜率为12-.(1)求椭圆的方程；(2)直线//l AB ，与x ，y 轴分别交于点M ，N ，与椭圆相交于点C ，D ．证明： （i ）OCM 的面积等于ODN △的面积；（ii ）22||||CM MD +为定值．【答案】(1)2214x y +=(2)（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据(,0)A a ，(0,)B b，由||AB =AB 的斜率为12-求解；（2）设直线l 的方程为12y x m =-+，得到(2,0)M m ，(0,)N m ，与椭圆方程联立，根据11|2|||2=OCM S m y ，21||||2=ODN S m x ，2222221122||||(2)(2)CM MD x m y x m y ∴+=-++-+利用韦达定理求解. (1) 解：A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个顶点，且||AB =AB 的斜率为12-，由(,0)A a ，(0,)B b，得||AB == 又0102b b k a a -==-=--，解得2a =，1b =， ∴椭圆的方程为2214x y +=； (2)设直线l 的方程为12y x m =-+，则(2,0)M m ，(0,)N m ，联立方程221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，整理得222220x mx m -+-=．22248(4)3240m m m ∆=--=->， 得28m <设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ． 122x x m ∴+=，21222x x m =-．所以11|2|||2=OCM S m y ，21||||2=ODN S m x 则有112222|2||2|||1||||||-====OCMODNS y m x x Sx x x OCM ∴的面积等于ODN 的面积；2222221122||||(2)(2)CM MD x m y x m y ∴+=-++-+，2222221112221144()44()22x mx m x m x mx m x m =-++-++-++-+，()()221212125551042x x x x m x x m =+--++， ()2222552210102m m m m =---+5=. 20．（2022·北京市第十二中学三模）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>过点(2,0)A(1)求椭圆M 的方程；(2)已知直线(3)y k x =+在x 轴上方交椭圆M 于B ，C （异于点A ）两个不同的点，直线AB ，AC 分别与y 轴交于点P ､Q ，O 为坐标原点，求()k OP OQ +的值.【答案】(1)22142x y +=(2)45【解析】 【分析】（1）直接由A 点坐标及离心率求得椭圆方程即可；（2）联立直线与椭圆求得2212122212184,2121k k x x x x k k --+==++，再表示出直线AB ，AC 的方程，求得P ､Q 坐标，再计算()k OP OQ +即可. (1)由题意知：2,c a a ==c =2222b a c =-=，则椭圆M 的方程为22142x y +=；(2)联立直线与椭圆22(3)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222221121840k x k x k +++-=，()()422214442118440160k k k k ∆=-+-=-+>，即k <<(3)y k x =+在x 轴上方交椭圆M 于B ，C （异于点A）两点，则0k << 设1122(,),(,)B x y C x y ，则1222,22x x -<<-<<，2212122212184,2121k k x x x x k k --+==++，1122(3),(3)y k x y k x =+=+， 易得直线AB ，AC 斜率必然存在，则11:(2)2y AB y x x =--，令0x =，得11202y y x =>-，则112(0,)2y P x -，同理可得222(0,)2y Q x -，且22202y x >-， 则()()()()()112121212223222222()(32)22k x x y y x x x k x k x OP x OQ k k -++⎛⎫+==⋅ ⎪⎝⎭+-+----222212122212122218412422442()242121184122()4242121k k k k k kx x k x x k k k k k k k x x x x k k ---⋅-⋅+--++++=⋅=⋅---++-⋅+++45=.。
2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题(解析版)
圆锥曲线中的定点问题思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．母题呈现考法1参数法求证定点【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为坐标平面内的一点，且|OP →|＝32PF 1→·PF 2→＝－34，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π2.证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．【解题指导】【解析】(1)设P 点坐标为(x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)．由题意得x 20＋y 20＝94，x 0＋cx 0－c＋y 20＝－34，解得c 2＝3，∴c ＝ 3.又e ＝c a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝1.∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．y 2＝1，kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.又由α＋β＝π2，∴tan α·tan β＝1，设直线MA ，MB 斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝1，∴y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝1，即(x 1＋2)(x 2＋2)＝y 1y 2.∴(x 1＋2)(x 2＋2)＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，∴(k 2－1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2－4＝0，∴(k 2－1)4m 2－44k 2＋1＋(km －2)28()41kmk -+＋m 2－4＝0，化简得20k 2－16km ＋3m 2＝0，解得m ＝2k ，或m ＝103k .当m ＝2k 时，y ＝kx ＋2k ，过定点(－2,0)，不合题意(舍去)．当m ＝103k 时，y ＝kx ＋103k 10,0)3-，∴直线AB 恒过定点10(,0)3-【例2】（2022·福建·漳州三模）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（1）求证：MAB ∆是直角三角形；（2）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.【解题指导】【解析】（1）由已知得直线l 的方程为1x =-，设()1,M m -，切线斜率为k ，则切线方程为()1y m k x -=+，（2分）将其与24y x =联立消x 得244()0ky y m k -++=.所以1616()0k m k ∆=-+=，化简得210k mk +-=，（4分）所以121k k =-，所以MA MB ⊥.即MAB ∆是直角三角形.（6分）（2）由（1）知1616()0k m k ∆=-+=时，方程244()0ky y m k -++=的根为2y k=设切点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121222,y y k k ==.因为121k k =-，所以121244y y k k ==-.（10分）设:AB l x ny t =+，【点拨】由M 点出发向抛物线作量条切线，则切点A,B 所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零与24y x =联立消x 得2440y ny t --=，则124y y t =-，所以44t -=-，解得1t =，所以直线AB 过定点()1,0P .即x 轴上存在一定点()1,0P ，使,,A P B 三点共线.（12分）【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．考法2先求后证法求证定点【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()0,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点→设出直线方程→与椭圆C 的方程联立→求HN 的方程→是否过定点.【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,)3M ，26(1,3N-，代入AB方程223y x=-，可得263,3T+，由MT TH=得到265,)3H.求得HN方程：(223y x=--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=.联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34ky ykk ky yk-+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y+-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】模拟训练（2）方法一：设PQ 方程为x my =()2222234433x my m y my x y =-⎧⇒-+⎨-=⎩以PQ 为直径的圆的方程为(1x x -()(22121212x x x x x x y y y -+++-+由对称性知以PQ 为直径的圆必过()21212120x x x x x x y y -+++=，而()21212212431m x x m y y m +=+-=-()()212121222x x my my m y y =--=22222434931313m x x m m m --∴-++---()()22313510m x m x ⎡⎤⇒-+--=⎣⎦∴以PQ 为直径的圆经过定点(1,0方法二：设PQ 方程为2,x my P =-()22222311233x my m y my x y =-⎧⇒--⎨-=⎩由对称性知以PQ 为直径的圆必过设以PQ 为直径的圆过(),0E t ，()()1210EP EQ x t x t y ∴⋅=⇒--+ 而()()21212122x x my my m y =--=2229122431313m m m m m -=⋅-⋅+=--【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线等于零，得出定点．7．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线为双曲线E的左、右顶点，P为直线(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．理得1112,y y y y +（或1212,x x x x +），代入交点坐标后可得结论，如果是求动直线过定点，则可以引入参数求得动直线方程后，观察直线方程得定点．。
高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)完整版.doc
专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。
设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。
解得。
∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当12k =时，弦MN 的长为15. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）24y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4-【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（1）可设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11t t ⇒=（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．（2）设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12211222=MN t t k t t t t -=-+， 则()212:2MN y t x t t t -=-+即()11220x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=；()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=，即11t t =（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，易得直线NQ 过定点()1,4-3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2:0C y mx m =>过点()1,2-， P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B （l 不过P 点），且PAB ∆的重心的纵坐标为23-. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值.【答案】（1）方程为24y x =;其焦点坐标为()1,0（2）120k k +=【解析】试题分析;（1）将()1,2-代入2y mx =，得4m =，可得抛物线C 的方程及其焦点坐标；（2）设直线l 的方程为y x b =-+，将它代入24y x =得22220x b x b -++=（），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标23-，化简可12k k + 的值；因为PAB ∆的重心的纵坐标为23-， 所以122p y y y ++=-，所以2p y =，所以1p x =，所以()()()()()()1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=+=----， 又()()()()12212121y x y x --+--()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦()()()12122122x x b x x b =-+-+--()()()22212220b b b b =-+-+--=.所以120k k +=.4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴端点到右焦点()10F ，的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于A B ，两点，交直线4l x =：于点P ，若1PA AF λ=，2PB BF λ=，求证： 12λλ-为定值．【答案】(1) 22143x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（Ⅱ）由题意直线AB 过点()1,0F ，且斜率存在，设方程为()1y k x =-, 将4x =代人得P 点坐标为()4,3k ，由()221{ 143y k x x y =-+=，消元得()22223484120k x k x k +-+-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且21222122834{ 41234k x x k k x x k +=+-⋅=+， 方法一：因为1PA AF λ=，所以11141PA x AF x λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-，且1141x x --与2241x x --异号，所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k --=-+--++0=. 所以， 12λλ-为定值0.当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以， 12λλ-为定值0.同理2223PB my BFmy λ-==，且113my my -与223my my -异号，所以()12121212123332y y my my my my my y λλ+---=+=- ()()36209m m ⨯-=-=⨯-.又当直线AB 与x 轴重合时， 120λλ-=， 所以， 12λλ-为定值0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB 过点()1,0F ，在设方程时，往往设为1x my =+()0m ≠，可减少讨论该直线是否存在斜率.5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C ： 24y x =， F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点. （1）设l 的斜率为1，求AB ；（2）求证： OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值. 【答案】(1) 8AB =（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；（2）证明：设直线l 的方程为1x ky =+，由21{4x ky y x=+-得2440y ky --= ∴124y y k +=， 124y y =- ()()1122,,,OA x y OB x y ==u u u v u u u v， ∵()()1212121211OA OB x x y y kx ky y y ⋅=+=+++u u u v u u u v，()212121222144143k y y k y y y y k k =++++=-++-=-， ∴OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成1x ky =+也给解题带来了方便.6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C : 22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为6,右焦点为(2,0).(1)求椭圆C 的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A ,B 两点,求证:点O 到直线AB 的距离为定值.【答案】(1) 2213x y += ,(2) O 到直线AB 3【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a ，b ，c ；（2）对于AB 有无斜率进行讨论，设出A ，B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；有OA ⊥OB 知x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(k x 1+m ) (k x 2+m )=(1+k 2) x 1x 2+k m (x 1+x 2)=0 代入,得4 m 2=3 k 2+3原点到直线AB 的距离231m d k ==+ ， 当AB 的斜率不存在时, 11x y = ,可得, 13x d == 依然成立.所以点O 到直线的距离为定值32. 点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线()222210x y b a a b-=>>渐近线方程为3y x =， O 为坐标原点，点(3,3M 在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知,P Q 为双曲线上不同两点，点O 在以PQ 为直径的圆上，求2211OPOQ+的值．【答案】（Ⅰ）22126x y -=；（Ⅱ） 221113OP OQ+=. 【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M 的坐标求得参数即可；（2）由条件可得OP OQ ⊥，可设出直线,OP OQ 的方程，代入双曲线方程求得点,P Q 的坐标可求得221113OPOQ+=。
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圆锥曲线问题的解题规律可以概括为：
“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布范围，曲线定义不能忘，引参、用参巧解题，分清关系思路畅、数形结合关系明，选好，选准突破口，一点破译全局活。
定点、定直线、定值专题
已知直线l ：
y=x+，圆O ：x 2+y 2=5，椭圆E ：过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．
2．过点作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由．
3．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2
）是椭圆，（a ＞b ＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O 为坐标原点：
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k 的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍，且椭圆
C经过点M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点．求证：为定值．
5．已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是k1，k2且．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N．
①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值
②若直线BM，BN的斜率都存在并满足，证明直线l过定点，并求出这个定点．
6．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；
7．已知椭圆Ω的离心率为，它的一个焦点和抛物线y2=﹣4x的焦点重合．
（1）求椭圆Ω的方程；
（2）若椭圆上过点（x0，y0）的切线方程为
．
①过直线l：x=4上点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点C；
②是否存在实数λ使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|，若存在，求出入的值；若不存在，说明理由．。