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圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)

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圆锥曲线中的定点、定值问题(含解析)

圆锥曲线中的定点、定值问题(含解析)

圆锥曲线中的定点、定值问题一、题型选讲题型一 、 圆锥曲线中过定点问题圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法： （1）、求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出定点（2）、从特殊位置入手，找出定点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。

例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.例2、（2020届山东省临沂市高三上期末）如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.（1）求抛物线C 的方程.（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.例3、【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．题型二、圆锥曲线中定值问题圆锥曲线中常见的定值问题，属于难题．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值例4、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．例5、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率e 满足2220e −+=，右顶点为A ，上顶点为B ，点C (0，－2)，过点C 作一条与y 轴不重合的直线l ，直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交x 轴于点M ，N ；当直线l 经过点A 时，l ．(1)求椭圆E 的方程；(2)证明：BOM BCN S S ∆∆⋅为定值．例6、(2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，C 2与C 1的长轴长之比为2∶1，离心率相同．(1) 求椭圆C 2的标准方程； (2) 设点P 为椭圆C 2上的一点．①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：PAPB 为定值；②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证k 1·k 2为定值．.思路分析 (1)根据已知条件，求出a ，b 的值，得到椭圆C 2的标准方程．(2)①对直线OP 斜率分不存在和存在两种情况讨论，当OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ，并与椭圆C 1的方程联立，解得点A 横坐标，同理求得点P 横坐标，再通过弦长公式，求出PAPB 的表达式，化简整理得到定值．②设P(x 0，y 0)，写出直线l 1的方程，并与椭圆C 1联立，得到关于x 的一元二次方程，根据直线l 1与椭圆C 1有且只有一个公共点，得到方程只有一解，即Δ＝0，整理得(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－1＝0，同理得到(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－1＝0，从而说明k 1，k 2是关于k 的一元二次方程的两个根，运用根与系数的关系，证得定值．二、达标训练1、（2020届浙江省温州市高三4月二模）如图，已知椭圆22:14x C y +=，F 为其右焦点，直线()0:k y x m l m k +<=与椭圆交于1122(,),(,)P x y Q x y 两点，点,A B 在l 上，且满足,,PA PF QB QF OA OB ===.(点,,,A P Q B 从上到下依次排列)(I )试用1x 表示PF ：(II )证明：原点O 到直线l 的距离为定值.2、【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．3、(2019苏锡常镇调研）已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，焦点到相应准线的距离为33.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 已知P(t ，0)为椭圆E 外一动点，过点P 分别作直线l 1和l 2，直线l 1和l 2分别交椭圆E 于点A ，B 和点C ，D ，且l 1和l 2的斜率分别为定值k 1和k 2，求证：PA ·PBPC ·PD 为定值．4、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴的交点除外)，直线PC 交椭圆于另一个点M.(1) 当直线PM 经过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积；(2) ①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1•k 2为定值；5、(2016泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D (－65，0).设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1) 求k 1k 2的值；(2) 记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；(3) 求证：直线AC 必过点Q .圆锥曲线中的定点、定值问题解析一、题型选讲例1【解析】（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3.由于直线P A 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +−=−，可得121227(3)(3)y y x x =−++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219x y +=得222(9)290.m y mny n +++−=所以12229mn y y m +=−+，212299n y y m −=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +−−++++=解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.例2、【解析】（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，l ∴的方程为2p y x =−.由2,22,p y x y px ⎧=−⎪⎨⎪=⎩得22304p x px −+=.设()11,M x y ，()22,N x y ，则123x x p +=， ∴12416x x p M p N ++===，4p =， ∴抛物线C 的方程为28y x =.（2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，由（1）知()2,0F ， ①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =−（0k ≠），由()22,8,y k x y x ⎧=−⎨=⎩得()22224840k x k x k −++=，()22222484464640k k k k ∆=+−⋅⋅=+>，212248k x x k++=，124x x =. ∵直线PM ，PN 关于x 轴对称， ∴0PM PN k k +=，()112PM k x k x a −=−，()222PNk x k x a−=−. ∴()()()()()()122112128(2)222240a k x x a k x x a k x x a x x a k+−−+−−=−+++=−=⎡⎤⎣⎦， ∴2a =−时，此时()2,0P −.②当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可. 综上，存在唯一的点()2,0P −，使直线PM ，PN 关于x 轴对称. 例3、【解析】（1）由抛物线2:2C x py =−经过点(2,1)−，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =−，其准线方程为1y =.（2）抛物线C 的焦点为(0,1)F −. 设直线l 的方程为1(0)y kx k =−≠.由21,4y kx x y=−⎧⎨=−⎩得2440x kx +−=.设()()1122,,,M x y N x y ，则124x x =−. 直线OM 的方程为11y y x x =. 令1y =−，得点A 的横坐标11A x x y =−. 同理得点B 的横坐标22B x x y =−. 设点(0, )D n ，则1212,1,,1x x DA n DB n y y ⎛⎫⎛⎫=−−−=−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21212(1)x x DA DB n y y ⋅=++ 2122212(1)44x x n x x =++⎛⎫⎛⎫−− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21216(1)n x x =++ 24(1)n =−++.令0DA DB ⋅=，即24(1)0n −++=，则1n =或3n =−. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)−.例4、【解析】（1）由题设得22411a b +=，22212a b a −=，解得26a =，23b =． 所以C 的方程为22163x y +=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++−=． 于是2121222426,1212km m x x x x k k −+=−=++．①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y −−+−−=，可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++−−++−+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k−+−−−+−+=++． 整理得(231)(21)0k m k m +++−=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +−≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =−−≠.所以直线MN 过点21(,)33P −.若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y −.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y −−+−−−=.又2211163x y +=，可得2113840x x −+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P −.令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q .若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP =. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.例5、【解析】（1）由2220e −+=解得2e =或e =，∴a =，又222a b c =+，a ∴=，又()020AC k a −−==−a ∴=1b ∴=，∴椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）由题知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =−，设()()1122,,,P x y Q x y ，由22212y kx x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2221860k x kx +−+=， ∴12122286,2121k x x x x k k +==++， ()()22=84621k k −−⨯⨯+=216240k −> 232k ∴>， ∴()121224421y y k x x k −+=+−=+，()()121222y y kx kx =−−()21212=24k x x k x x −++=224221k k −+， 直线BP 的方程为1111y y x x −=+，令0y =解得111x x y =−，则11,01x M y ⎛⎫⎪−⎝⎭，同理可得22,01x N y ⎛⎫⎪−⎝⎭， 12123411BOMBCNx x SSy y ∴=−−=()()()12121212123341141x x x x y y y y y y =−−−++=22226321444212121k k k k +−++++=12， BOM BON S S∆∴为定值12． 例6、 (1) 规范解答 设椭圆C 2的焦距为2c ，由题意，a ＝22，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，因此椭圆C 2的标准方程为x 28＋y 22＝1.(3分)(2)①1°当直线OP 斜率不存在时，PA ＝2－1，PB ＝2＋1，则PAPB ＝2－12＋1＝3－2 2.(4分) 2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＝4， 所以x 2A ＝44k 2＋1，同理x 2P ＝84k 2＋1.(6分)所以x 2P ＝2x 2A ，由题意，x P 与x A 同号，所以x P ＝2x A ，从而PAPB＝|x P－x A||x P－x B|＝|x P－x A||x P＋x A|＝2－12＋1＝3－2 2.所以PAPB＝3－22为定值．(8分)②设P(x0，y0)，所以直线l1的方程为y－y0＝k1(x－x0)，即y＝k1x－k1x0＋y0，记t＝－k1x0＋y0，则l1的方程为y＝k1x＋t，代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k21＋1)x2＋8k1tx＋4t2－4＝0，因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，所以Δ＝(8k1t)2－4(4k21＋1)(4t2－4)＝0，即4k21－t2＋1＝0，将t＝－k1x0＋y0代入上式，整理得，(x20－4)k21－2x0y0k1＋y20－1＝0，(12分)同理可得，(x20－4)k22－2x0y0k2＋y20－1＝0，所以k1，k2为关于k的方程(x20－4)k2－2x0y0k＋y20－1＝0的两根，从而k1·k2＝y20－1x20－4.(14又点在P(x0，y0)椭圆C2：x28＋y22＝1上，所以y20＝2－14x20，所以k1·k2＝2－14x20－1x20－4＝－14为定值．(16分)二、达标训练1、【解析】(I) 椭圆22:14xC y+=，故)F，1 ||22FP x ====−.(II)设()33,A x y，()44,B x y，则将y kx m=+代入2214xy+=得到：()222418440k x kmx m+++−=，故2121222844,4141km mx x x xk k−−+==++，21241x xk−=+，OA OB=，故()3434343421k x x my yx x x x k+++==−++，得到34221kmx xk−+=+，PA PF=13122x x−=−42222x x−=−，由已知得：3124x x x x<<<或3124x x x x>>>，)()123421x x x x x+−+=−，2228241141km kmk k k−+=+++，化简得到221m k=+.故原点O到直线l的距离为1d==为定值.2、【解析】（1）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．由241y xy kx⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x+−+=．依题意22(24)410k k∆=−−⨯⨯>，解得k<0或0<k<1．又P A，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（1）知12224kx xk−+=−，1221x xk=．直线P A的方程为1122(1)1yy xx−−=−−．令x=0，得点M的纵坐标为1111212211My kxyx x−+−+=+=+−−．同理得点N的纵坐标为22121Nkxyx−+=+−．由=QM QOλ，=QN QOμ得=1Myλ−，1Nyμ=−．所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11M Nkx x x x x x k ky y k x k x k x x kk λμ−+−−−++=+=+=⋅=⋅−−−−−−．所以11λμ+为定值．3、规范解答(1)设椭圆的半焦距为c，由已知得，ca＝32，则a2c－c＝33，c2＝a2－b2，(3分)解得a＝2，b＝1，c＝3，(5分)所以椭圆E的标准方程是x24＋y2＝1.(6分)(2) 解法1 由题意，设直线l 1的方程为y ＝k 1(x －t)，代入椭圆E 的方程中，并化简得(1＋4k 21)x 2－8k 21tx ＋4k 21t 2－4＝0，(8分)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝8k 21t 1＋4k 21，x 1x 2＝4k 21t 2－41＋4k 21，因为PA ＝1＋k 21|x 1－t|，PB ＝1＋k 21|x 2－t|，(10分)所以PA·PB ＝(1＋k 21)|x 1－t||x 2－t|＝(1＋k 21)|t 2－(x 1＋x 2)t ＋x 1x 2| ＝(1＋k 21)|t 2－8k 21t 21＋4k 21＋4k 21t 2－41＋4k 21|＝（1＋k 21）|t 2－4|1＋4k 21，(12分) 同理，PC ·PD ＝（1＋k 22）|t 2－4|1＋4k 22，(14分) 所以PA·PB PC·PD ＝（1＋k 21）（1＋4k 22）（1＋k 22）（1＋4k 21）为定值．(16分)解法2 由题意，设直线l 1的方程为y ＝k 1(x －t)，直线l 2的方程为y ＝k 2(x －t)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)．直线l 1的方程为y ＝k 1(x －t)，代入椭圆E 的方程中，并化简得(1＋4k 21)x 2－8k 21tx ＋4k 21t 2－4＝0，(8分) 则x 1＋x 2＝8k 21t 1＋4k 21，x 1x 2＝4k 21t 2－41＋4k 21，同理则x 3＋x 4＝8k 22t1＋4k 22，x 3x 4＝4k 22t 2－41＋4k 22，PA →·PB →＝(x 1－t ，y 1)(x 2－t ，y 2)＝(x 1－t)(x 2－t)＋k 21(x 1－t)(x 2－t)＝(x 1－t)(x 2－t)(1＋k 21)， PC →·PD →＝(x 3－t ，y 3)(x 4－t ，y 4)＝(x 3－t)(x 4－t)＋k 22(x 3－t)(x 4－t)＝(x 3－t)(x 4－t)(1＋k 22)．(12分) 因为P ，A ，B 三点共线，所以PA →·PB →＝PA·PB ，同理，PC →·PD →＝PC ·PD.PA ·PB PC ·PD ＝PA →·PB →PC →·PD →＝（x 1－t ）（x 2－t ）（1＋k 21）（x 3－t ）（x 4－t ）（1＋k 22）＝（1＋k 21）（1＋k 22）·（x 1－t ）（x 2－t ）（x 3－t ）（x 4－t ）＝（1＋k 21）（1＋k 22）·x 1x 2－t （x 1＋x 2）＋t 2x 3x 4－t （x 3＋x 4）＋t 2.代入x 1＋x 2＝8k 21t 1＋4k 21，x 1x 2＝4k 21t 2－41＋4k 21，x 3＋x 4＝8k 22t 1＋4k 22，x 3x 4＝4k 22t 2－41＋4k 22，化简得PA ·PB PC ·PD ＝（1＋k 21）（1＋4k 22）（1＋k 22）（1＋4k 21），(14分)因为是定值，所以PA ·PB PC ·PD ＝（1＋k 21）（1＋4k 22）（1＋k 22）（1＋4k 21）为定值．(16分)4规范解答 (1) 由题意B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(3，0)，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，则直线PM 的方程为x 3＋y －1＝1，即y ＝33x －1，联立⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝33x －1，解得⎩⎨⎧x ＝837，y ＝17或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1(舍)，即M ⎝⎛⎭⎫837，17.(2分)连结BF ，则直线BF ：x 3＋y1＝1，即x ＋3y －3＝0，而BF ＝a ＝2，点M 到直线BF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪837＋3×17－312＋（3）2＝2372＝37.故S △MBF ＝12·BF ·d ＝12×2×37＝37.(4分)(2) 解法1(点P 为主动点) ①设P(m ，－2)，且m≠0，则直线PM 的斜率为k ＝－1－（－2）0－m ＝－1m ， 则直线PM 的方程为y ＝－1m x －1，联立⎩⎨⎧y ＝－1m x －1，x 24＋y 2＝1化简得⎝⎛⎭⎫1＋4m 2x 2＋8m x ＝0，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8m m 2＋4，4－m 2m 2＋4，(6分)所以k 1＝4－m 2m 2＋4－1－8m m 2＋4＝－2m 2－8m ＝14m ，k 2＝1－（－2）0－m ＝－3m ，(8分)所以k 1·k 2＝－3m ·14m ＝－34为定值．(10分)5、规范解答 (1) 设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)，x 204＋y 20＝1，因为A (2,0)，所以k 1＝y 0x 0－2，k 2＝y 0x 0＋2，所以k 1k 2＝y 0x 0－2·y 0x 0＋2＝y 20x 20－4＝1－14x 20x 20－4＝－14.(4分)(2) 设直线AP 方程为y ＝k 1(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －2，x 2＋y 2＝4得(1＋k 21)x 2－4k 21x ＋4(k 21－1)＝0，解得x P ＝2k 21－11＋k 21，y P ＝k 1(x P －2)＝－4k 11＋k 21， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －2，x24＋y 2＝1得(1＋4k 21)x 2－16k 21x ＋4(4k 21－1)＝0，解得x B ＝24k 21－11＋4k 21，y B ＝k 1(x B －2)＝－4k 11＋4k 21，(8分) 所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y Px P ＋65＝－4k 11＋k 212k 21－11＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1， 所以k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k BC .(10分) (3) 设直线AC 方程为y ＝k 2(x －2)，当直线PQ 与x 轴垂直时，Q ⎝⎛⎭⎫－65，－85，则P －65，85，所以k 1＝－12，即B (0,1)，C (0，－1)，所以k 2＝12，则k AQ ＝－85－65－2＝12＝k 2，所以直线AC 必过点Q .当直线PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 方程为y ＝－5k 14k 21－1⎝⎛⎭⎫x ＋65， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－5k 14k 21－1⎝⎛⎭⎫x ＋65，x 2＋y 2＝4解得x Q ＝－216k 21－116k 21＋1，y Q ＝16k 116k 21＋1， 因为k 2＝－y B －x B －2＝4k 11＋4k 2121－4k 211＋4k 21－2＝－14k 1， 所以k AQ ＝16k 116k 21＋1－216k 21－116k 21＋1－2＝－14k 1＝k 2，故直线AC 必过点Q .(16分) (不考虑直线与x 轴垂直的情形扣1分)。

定值定点问题导学案 (专题三教师版)

定值定点问题导学案 (专题三教师版)

定值定点问题导学案一.学习目标：1.掌握圆锥曲线中定点、定值问题的两种常用解题思路。

2.培养数形结合及由特殊到一般的思想。

二.重点难点：在几何问题中，有些几何量的大小和代数表达式不随参数的变化而变化，就构成定值问题；如果满足一定条件的曲线系恒过某些定点，就构成了定点问题。

这一大类问题的解决对运算和恒等变形能力以及数形结合的能力有较高要求。

三.基础训练：1.动直线()()0312=+-++m y m x m ，无论m 取何值时，该直线都过定点A ，则A 点坐标是(-1,-2)2.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的 另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是4 33.过抛物线m ：2y ax =(a ＞0)的焦点F 作直线l 交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为,p q ，则11p q --+的值必等于( C ) A ．2a B ．12a C ．4a D ．4a四.典例分析1.已知圆有这样的性质：圆上任取一定点O ，取圆上两动点A,B 满足OA ⊥OB ，那么直线AB 必过圆心。

如图所示，对抛物线24y x =上两个不同的动点A, B 满足OA ⊥OB ，试探究直线AB 是否会恒过定点？解:(法1)设1122(,),(,)A x y B x y ,将直线AB 方程：(0)x my b b =+≠代入24y x =整理得：2440y my b --=12124,4y y m y y b ∴+==- (同类坐标变换——韦达定理)121200OA OB OA OB x x y y ⊥∴⋅=+=即12121212()()x x y y my b my b y y +=+++而………………①2221212(1)()40m y y mb y y b b b =++++=-+= (同点纵、横坐标变换)04AB 4b b x my ≠∴=∴=+直线：恒过定点(4,0)注：在①中若12,x x 的计算不是代入直线方程，而是代入抛物线方程则可得1216y y =-从而4b =(法2)设直线OA 方程: (0)y kx k =≠,直线OB 方程: 1y x k=-xy OAB由24y x y kx⎧=⎨=⎩得244(,)A k k ，同理可得2(4,4)B k k -①1k ≠±当时，直线AB 方程：22222444(4)4(4)414kk k y k x k y k x k k k k++=-∴+=--- 2(4)0k y k x y ∴+-+=可知直线恒过定点(4,0)②1k =±当时，直线AB 方程：4x =也过(4,0) 综上：直线AB 恒过定点(4,0)(法3)设点22(4,4),(4,4),,0A a a B b b a b a b ≠≠且220444401OA OB OA OB a b a b ab ⊥∴⋅=⋅+⋅=∴=-即①a b ≠-当时，直线AB 方程：22224414(4)4(4)44a b y a x a y a x a a b a b--=-∴-=--+ ()4()4a b y x ab a b y x ∴+=+∴+=-AB ∴直线恒过定点(4,0)②a b ≠-当时，则21a =，直线AB 方程：4x =也过(4,0) 综上：直线AB 恒过定点(4,0)(法4)由抛物线的对称性可知定点在x 轴上，取直线OA ：y x =可得直线AB 方程为4x =, 猜测定点为(4,0).下证明直线AB 恒过定点M (4,0), 只需证 AM BM k k =221212121212001616y y OA OB OA OB x x y y y y y y ⊥∴⋅=+=+=∴=-即1212211212(4)(4)44(4)(4)AM BM y y y x y x k k x x x x ----=-=---- 2212121212211212(4)(4)()(1)()0444y y y y y yy x y x y y y y ---=---=--=0AM BM k k ∴-=，所以直线AB 恒过定点M (4,0)思考1：你能否猜出定点的大致位置么,理由是：由抛物线的对称性可得思考2：对于一般的抛物线y 2=2px(p ＞0) ，你可以得到: 对抛物线y 2=2px 上两个不同的动点A, B 满足OA ⊥OB ，直线AB 恒过定点(2p ，0)变式1：若直线过点M(4,0)与抛物线24y x =交于A, B 两点，试问AOB ∠是定值么？ 解：同例1中的法1，令b=4，2121240OA OB x x y y b b ∴⋅=+=-+=cos 02OA OB AOB AOB OA OBπ⋅∴∠==∴∠=⋅变式2：若直线过点M(4,0)与抛物线24y x =交于A, B 两点。

圆锥曲线专题：定点问题中常见4种考法-高二数学(苏教版2019选择性必修第一册)

圆锥曲线专题：定点问题中常见4种考法-高二数学(苏教版2019选择性必修第一册)

圆锥曲线专题：定点问题中常见的4种考法一、常用方法技巧 1、参数无关法把直线或者曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。

2、特殊到一般法根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。

3、关系法对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。

二、手电筒模型解题步骤1、概念：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如AP BP k k ⋅=定值，+AP BP k k =定值），直线AB 依然会过定点，因为三条直线形似手电筒，故称为手电筒模型。

2、解题步骤：第一步：由AB 直线y kx m =+，联立曲线方程得根与系数关系，∆求出参数范围； 第二步：由AP 与BP 关系，得到一次函数()k f m =或()m f k =； 第三步：将()k f m =或()m f k =代入y kx m =+，得到()y y k x x =-+定定. 三、交点弦的中点所在直线恒过定点解题步骤第一步：设其中一条直线的斜率为1k ，求出直线方程；第二步：直线与曲线进行联立，出现韦达定理的形式，或者直接求出坐标，表示出这条弦的中点，并且类比出另外一条的中点坐标；第三步：由上述两部，根据点斜式写出两个中点所在直线的方程； 第四步：化直线为点斜式，确定定点坐标。

四、圆锥曲线的切点弦方程1、过抛物线()220y px p =>外一点()00,M x y 作抛物线的切线，切点弦方程为()00yy p x x =+；2、过椭圆()222210x y a b a b +=>>外一点()00,M x y 作椭圆的切线，切点弦方程为00221x x y ya b +=；3、过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>外一点()00,M x y 作双曲线的切线，切点弦方程为00221x x y ya b-=； 五、几个重要的定点模型1、过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点(),0F c -作两条相互垂直的弦AB ，CD ，若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，则直线MN 恒过定点222,0ac a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.（双曲线与抛物线也有类似结论） 2、动点()00,P x y 在直线0Ax By C ++=上，由P 引椭圆22221x y a b+=的两条切线，切点分别是M ，N ，则直线MN 恒过定点22,a A b B CC ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（双曲线与抛物线也有类似结论）3、（1）过椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之和为m 的直线1l ，2l ，分别交椭圆于A ，B 两点，则直线AB 必过定点20000222,y b x x y m ma ⎛⎫--- ⎪⎝⎭； （2）过抛物线()220y px p =>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之和为m 的直线1l ，2l ，分别交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 必过定点0002,2y y x p m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭4、（1）过椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之积为m 的直线1l ，2l ，分别交椭圆于A ，B 两点，则直线AB 必过定点()()2222002222,b ma x b ma y b ma b ma ⎛⎫++ ⎪- ⎪--⎝⎭（2）过抛物线()220y px p =>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之积为m 的直线1l ，2l ，分别交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 必过定点002,p x y m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3、4两个结论对于圆与双曲线也成立，当22b a =时就是圆中的结论，用2b -替代2b 就可得到双曲线中的结论）题型一 手电筒模型恒过定点问题【例1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴为双曲线22184x y -=的实轴，且椭圆C 过点()2,1P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点,A B 是椭圆C 上异于点P 的两个不同的点，直线PA 与PB 的斜率均存在，分别记为12,k k ，若1212k k =-，试问直线AB 是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】（1）22+=182x y ；（2）过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴为双曲线22184x y -=的实轴，所以28a =，因为椭圆C 过点()2,1P ，所以22411a b +=，24118b+=，得22b =， 所以椭圆方程为22+=182x y ，（2）①当直线AB 的斜率存在时，设其方程为1122,(,),(,)y kx t A x y B x y =+，由22=++4=8y kx t x y ⎧⎨⎩，得222(41)8480k x ktx t +++-=， 222222644(41)(48)820k t k t k t ∆=-+-=-+>，所以12221228+=4+148=4+1kt x x k t x x k --⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 所以121222()241ty y k x x t k +=++=+， 22221212121228()()()41t k y y kx t kx t k x x kt x x t k -=++=+++=+，因为1212k k =-，所以12121212121211()11222()42y y y y y y x x x x x x ---++⋅==----++，所以1212121222()22()4y y y y x x x x -++=-++-，所以2222222824882222441414141t k t t ktk k k k ---⋅-⋅+=-+⋅-++++， 所以222222164824816164t k t k t kt k --++=-+---， 化简得22438210k t kt t ++--=，即(21)(231)0k t k t +-++=， 所以12t k =-或123kt +=-， 当12t k =-时，直线AB 的方程为12(2)1y kx k k x =+-=-+， 则直线过定点(2,1)（舍去）， 当123k t +=-时，直线AB 的方程为1221333k y kx k x +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，②当直线AB 的斜率不存在时，设直线为=x m （2m ≠），由22=+4=8x m x y ⎧⎨⎩，得22218m y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以=y所以21222111241(2)442m k k m m m ⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===---+， 解得=2m （舍去），或23m =， 所以直线也过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上，直线AB 恒过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.【变式1-1】已知直线2y =与双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>交于A ，B 两点，F 是C 的左焦点，且AF AB ⊥，2BF AF =. （1）求双曲线C 的方程；（2）若P ，Q 是双曲线C 上的两点，M 是C 的右顶点，且直线MP 与MQ 的斜率之积为23-，证明直线PQ 恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2212y x -=；（2）证明见解析，直线PQ 恒过定点（-2，0）【解析】（1）因为AF AB ⊥，所以2AF =，4BF =，||AB =设双曲线C 的焦距为2c，由双曲线的对称性知||2AB c ==设双曲线C 的右焦点为F '，则22BF AF BF BF a '-=-==，得1a =，则b ==C 的方程为2212y x -=.（2）由已知得()1,0M ，设直线MP 与MQ 的斜率分别为1k ，2k ，①当直线PQ 不垂直于x 轴时：设直线PQ 的斜率为k ，PQ 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由22,1,2y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2222220k x kmx m -+++=，当()22820m k ∆=-+>时，12222km x x k -+=-，212222m x x k +=-，那么()()()()()()()()2121212111212121212211111kx kx k y y m m x x km x x k k x x x m x x x x x ===----+++++-++ ()()()()()222222222222222222312222k m k mm k m k m k m k k m kmk mk m k k -++----====-++++-+-+， 得2m k =，符合题意.所以直线PQ 的方程为()2y k x =+，恒过定点（-2，0）. ②当直线PQ 垂直于x 轴时：设(),P t h ，因为P 是C 上的点，所以2222h t =-， 则()()()221222212221311t h t k k tt t +--====----，解得2t =-， 故直线PQ 过点（-2，0）. 综上，直线PQ 恒过定点（-2，0）.【变式1-2】已知F 为抛物线22y px =(0)p >的焦点，过F 且倾斜角为45︒的直线交抛物线于A ，B 两点，||8AB =. （1）求抛物线的方程：（2）已知()0,1P x -为抛物线上一点，M ，N 为抛物线上异于P 的两点，且满足2PM PN k k ⋅=-，试探究直线MN 是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.【答案】（1）24y x = （2）过定点，9,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）由已知,02PF ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2p y x =-联立直线与抛物线222y px p y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消y 可得，22304p x px -+=， 所以3A B x x p +=，因为||A B AB x x p =++4p =8=，所以24p =，即抛物线的方程为24y x =.（2）将()0,1P x -代入24y x =可得1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不妨设直线MN 的方程为(0),x my t m =+≠()11,,M x y ()22,N x y ，联立24y x x my t⎧=⎨=+⎩，消x 得2440y my t --=，则有124,y y m +=124,y y t =-21616m t ∆=+， 由题意1212111144PM PN y y k k x x ++⋅=⨯--124411y y =⨯--()1212161y y y y =-++2=-， 化简可得，94t m =-，代入21616m t ∆=+29164m m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭21163202m ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭此时直线MN 的方程为9(1)4x m y =-+，所以直线MN 过定点9,14⎛⎫⎪⎝⎭.【变式1-3】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同，12,F F 为C 的左、右焦点，M 为C 上任意一点，12MF F S 最大值为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设不过点F 2的直线l ：y ＝kx +m （m ≠0）交椭圆C 于A ，B 两点．若x 轴上任意一点到直线AF 2与BF 2距离相等，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析，定点坐标为()2,0【解析】（1）由抛物线的方程24y x =得其焦点为()10，，则1c =， 当点M 为椭圆的短轴端点时，12MF F △面积最大，此时121212MF F Sc b =⋅⋅=，则1b =，所以a =故椭圆的方程为2212x y +=.（2）联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()222124220k x kmx m +++-=，()()()22222216412228210k m k m k m ∆=-+-=-+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+，1122121122,1111y kx m y kx mk k x x x x ++====----，由题意可得120k k +=，1212011kx m kx m x x +++=--，即()()1212220kx x m k x x m +-+-=， ()2222242201212m km k m k m k k -⎛⎫⋅+-⋅--= ⎪++⎝⎭，解得2m k =-， 所以直线l 的方程为()2y k x =-，故直线l 恒过定点，该定点坐标为()2,0题型二 切点弦恒过定点问题【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 是直线420y x =-+上的动点，过点P 做椭圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，问直线MN 是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．【答案】（1）221124x y +=；（2）是过定点，定点为121,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）由题意得2221222,c a b c a b ⎧=⎪⎪⨯⋅=⎨⎪=-⎪⎩解得22212,4,8,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的标准方程为221124x y +=．（2）当椭圆C 的切线斜率存在时，设点()11,M x y ，()22,N x y，1x ≠±2x ≠±(),420P d d -+， 切线PM 的方程为y kx m =+．联立22,1,124y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()2221363120k x kmx m +++-=．因为直线PM 与椭圆C 相切，故()()2222364133120k m k m ∆=-+-=，即22124m k =+，1223312134km km kx m k m --===-+，2221112124k m k y kx m m m m m-=+=-+==， 所以14m y =，113x k y =-，则切线PM 的方程为11143x y x y y =-+，即11312x x y y +=， 同理，切线PN 的方程为22312x x y y +=．当椭圆C的切线斜率不存在时，切点()或()-，当切点为()时，切线为x =3012y +⨯⨯=；当切点为()-时，切线为x =-3012y -+⨯⨯=． 又切点()11,M x y ，()22,N x y ，则切线PM 方程为11312x x y y +=， 切线PN 方程为22312x x y y +=．因为直线PM 与直线PN 相交于点P ，故()()1122342012,342012,x d y d x d y d ⎧+-+=⎪⎨+-+=⎪⎩由两点确定一条直线有直线MN 的方程为()342012xd y d +-+=， 整理得()1260120d x y y -+-=，联立120,60120,x y y -=⎧⎨-=⎩解得12,51,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故直线MN 过定点121,55⎛⎫⎪⎝⎭．【变式2-1】如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A（1）求椭圆C 的方程;（2）若过点A 作圆222:(1)(01)M x y r r ++=<<的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D (不同于点A ).当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点若是，求出该定点;若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y += （2） 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】（1） 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A∴可得2221b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2,1a b ==∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）设切线方程为1y kx =+r =即()2221210r k k r --+-=设两切线,AB AD 的斜率分别为()1212,k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，根据韦达定理可得:121k k ⋅=由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消掉y 得:()221480k x kx ++=设()()1122,,,B x y D x y∴ 211112211814,1414k k x y k k -=-=++同理可得222121222222212188144,144144k k k k x y k k k k --=-=-==++++221122211111122114144141883414BDk k k k k k k k k k k ---+++==--+++∴∴直线BD 方程为2211122111141814314k k k y x k k k ⎛⎫-+-=-+ ⎪++⎝⎭ 令0x =，得()2221111222111114185205143143314k k k k y k k k k -+---=+⨯==-+++，∴ 故直线BD 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.【变式2-2】抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 是椭圆22134x y +=的一个焦点．（1）求C 的准线方程；（2）若P 是直线240x y --=上的一动点，过P 向C 作两条切线，切点为M ，N ，试探究直线MN 是否过定点？若是，请求出定点，若否，请说明理由. 【答案】（1）1y =-；（2）直线MN 恒过定点(1,2)Q .【解析】（1）椭圆22134x y +=的焦点坐标为(0,1)和(0,1)-，又因为C 的焦点在y 轴正半轴上，所以C 的焦点坐标为(0,1)， 从而准线方程为1y =-；（2）由（1）知C 的方程为24x y =，即为24x y =，则2x y '=，设00(,)P x y ，切点11(,)M x y ，22(,)N x y ， 从而切线PM 方程为1111()2y y x x x -=-，即1112y x x y =-， 同理切线PN 方程为2212y x x y =-分别代入00(,)P x y 有010*******12y x x y y x x y⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 从而11(,)x y 和22(,)x y 均满足直线方程0012y xx y =-， 所以直线MN 的方程为0012y xx y =-，即0012y x x y =-， 又因为00(,)P x y 在直线240x y --=上，所以00122y x =-，所以直线MN 的方程为01(1)22y x x =-+， 从而直线MN 恒过定点(1,2)Q .【变式2-3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2)F ，点P 到点F 的距离比点P 到直线3y =-的距离小1，记P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）在直线2y =-上任取一点M ，过M 作曲线C 的切线12l l 、，切点分别为A 、B ，求证直线AB 过定点．【答案】（1）28x y =；（2）证明见解析【解析】（1）设曲线C 上任意一点P 的坐标为(,)x y ，由题意知3y >-(3)1y =+-，即222(2)(2)x y y +-=+，化简得28x y =，所以曲线C 的方程为28x y = （2）证明：设222121,,,88x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB l 的方程为y kx n =+，联立方程28y kx n x y=+⎧⎨=⎩，整理得2880x kx n --=，所以264320k n ∆=+>，且12128,8x x k x x n +==-，又由28x y =，即28x y =，可得4x y '=，所以抛物线C 在点A 处的切线1l 的方程为()211148x x y x x =-+，即21148x x y x =-，同理直线2l 的方程为22248x x y x =-，联立方程2112224848x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得128x x y =， 又因为直线1l 与2l 的交点恰好在直线2y =-上，所以1228x x =-，即1216x x =-， 所以12816x x n =-=-，解得2n =.故直线l 的方程为2y kx =+，所以直线l 恒过定点()0,2题型三 相交弦中恒过定点问题【例3】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且1F ，2F 与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点P ⎝⎭在E 上. （1）求E 的方程；（2）过点2F 作互相垂直且与x 轴均不重合的两条直线分别交E 于点A ，B 和C ，D ，若M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，证明：直线MN 过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析【解析】（1）设122F F c =，因为两个焦点和短轴的两个端点为正方形的四个顶点，所以b c =，因为点P ⎝⎭在E 上，所以2223144a b +=，又222a b c =+， 解得222,1a b ==，所以E 的方程为2212x y +=.（2）由（1）知2(1,0)F ，由题意知直线AB 和直线CD 的斜率都存在且不为0，设直线AB 方程为：1(0)x my m =+≠，与E 的方程联立221,21,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 并整理，得()222210m y my ++-=，且()224420m m ∆=++>，设()()1122,,,A x y B x y ，则12222m y y m +=-+，所以()12122422x x m y y m +=++=+， 所以点M 的坐标为222,22mm m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为AB CD ⊥，则直线CD 的方程为11x y m=-+， 同理得2222,2121m m N m m ⎛⎫⎪++⎝⎭，当22222212m m m ≠++，即1m ≠±时，直线MN 的斜率()22222232122221212MNm mm m m k m m m m +++==--++， 所以直线MN 的方程为()222322221m m y x m m m ⎛⎫+=- ⎪++-⎝⎭，所以()()()()2222222213232222212132m m m m y x x m m m m m m ⎡⎤-⎛⎫⎢⎥=--=-- ⎪+++--+⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因为()()()()()()222222221621222223323232m m m m m m m -+-++===++++， 所以直线MN 的方程即为()232321m y x m ⎛⎫=-⎪-⎝⎭，显然直线MN 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭； 当22222212m m m =++，即1m =±时，则2121,,,3333M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或2121,,,3333M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 此时直线MN 的方程为23x =，也过点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，直线MN 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.【变式3-1】在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P 到点()2,0F 的距离与它到直线32x =的距离P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l .1l 交曲线C 于A ，B 两点，2l 交曲线C 于S ，T 两点，线段AB 的中点为M ，线段ST 的中点为N ．证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）2213x y -=；（2）证明见解析，直线MN 过定点()3,0【解析】（1）设(),P x y， 化简得曲线C 的方程为2213x y -=.（2）证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，①若直线1l ，2l 都存且不为零，设直线1l 的方程为()2y k x =-，则直线2l 的方程为()12y x k=--，由()22213y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，得()222231121230k x k x k --++=， 当2310k -=时，这个方程变为470x -+=只有一解， 直线1l 与曲线C 只有一个交点，不合题意，当2310k -≠时，()()()42221444311231210k k k k ∆=--+=+>，直线1l 与曲线C 恒有两个交点，由韦达定理， 21221231k x x k +=-，故线段AB 的中点为222623131k k M k k ，⎛⎫⎪--⎝⎭，同理，线段PQ 的中点为226233k N k k ，-⎛⎫⎪--⎝⎭， 若1k ≠±，则()2222222223136631313MNk kk k k k k k k k +--==----， 直线MN 的方程为()2222263331k k y x k k k ⎛⎫+=- ⎪---⎝⎭，即()()22331k y x k =--， 此时，直线MN 恒过点()3,0．若1k =±，则()3,1M ，()3,1N -或()3,1M -，()31N ,，直线MN 的方程为3x =， 此时直线MN 也过点()3,0，②若直线1l ，2l 中其中一条的斜率为0，另一条的斜率不存在， 不妨设1l 的斜率为0，则直线1l ：0y =，2l ：2x =x ＝2， 此时，直线MN 的方程为0y =，此时，直线MN 也过点()3,0， 综上，直线MN 恒过点()3,0．【变式3-2】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>A ，右顶点为B ，上顶点为C ，ABC的内切圆的半径为4． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）点M 为直线:1l x =上任意一点，直线AM ，BM 分别交椭圆E 于不同的两点P ，Q ．求证：直线PQ 恒过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）2214x y +=；（2）()40，. 【解析】（1）ABC的内切圆的半径为4，2,,,AB a AO a OC b CB AC ====由等面积法得 11112222AC r CB r AB r AB OC ∴⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯，22111222222a b r ar ab +⨯⨯+⨯=⨯， 32223c a b c a ==+，解得2a b =， 22111222222a b r ar ab +⨯⨯+⨯=⨯得1,2b a ==.综上所述椭圆E 的标准方程为：2214x y +=.（2）设()()1122(1,),,,,M t P x y Q x y ，则直线AM 的方程为()23t y x =+与2214x y +=联立， 解得22281812,4949t t P t t ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭ 同理可得222824,4141t t Q t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.则直线PQ 的斜率为22222221242494181882434941t tt t t t t t t t -++=--+-+-++， 所以直线PQ 的方程为：2222122818494349t t t y x t t t ⎛⎫-+-=-- ⎪+++⎝⎭，即22(4)43ty x t =--+ 故直线PQ 恒过定点，定点坐标为()40，.【变式3-3】双曲线221169x y -=，过点P （5，0）的直线AB 和CD 相互垂直（斜率存在），M 、N分别是线段AB 和线段CD 的中点．求证：直线MN 过定点．【答案】证明见解析【解析】设AB 直线为(5)y k x =-，112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，可得0121()2x x x =+且0121()2y y y =+，由22111169x y -=，22221169x y -=，两式相减得到12121212916y y y y x x x x +-⋅=+-，即00916y k x ⋅=， 又由0011916(5)y k x y k x ⎧⋅=⎪⎨⎪=-⎩，解得211228045,169169k x k y k k ==--，即2228045,169169k k M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 当0k ≠时，将上式M 点坐标中的k 换成1k -，同理可得228045,169169k N k k -⎛⎫⎪--⎝⎭． ①当直线MN 不垂直于x 轴时，直线MN 的斜率()222222454571691698080161169169MNk kk k k k k k k k +--==----， 其方程()22245780169169161k k y x k k k -⎛⎫-=- ⎪---⎝⎭，化简得278016(1)7k y x k ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭， 此时直线MN 过定点80,07⎛⎫ ⎪⎝⎭．②当直线MN 垂直于x 轴时，2228080169169k k k =--，此时1k =±，直线MN 也过定点80,07⎛⎫ ⎪⎝⎭． 综上所述，直线MN 过定点80,07⎛⎫⎪⎝⎭．题型四 动圆恒过定点问题【例4】如图，已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>，其左､右焦点分别为12,F F ，过右焦点2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于第一象限的点P ，且121sin 3PF F ∠=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交椭圆于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在，()0,1.【解析】（1）法一：2121211sin ,23PF PF F PF PF a PF ∠==+=，123,22aPF a PF ∴==,222212112,2,PF F F PF F F c +==a ∴=，221a c =+,1,c a ∴=∴椭圆方程为：22 1.2x y +=. 法二：设()0,P c y ，代入椭圆方程，由221a c =+，解得201PF y a==， 21211sin ,3PF PF F PF ∠==1123,2,PF PF PF a a∴=+=a ∴=∴椭圆方程为：2212x y +=.（2）设动直线l 的方程为：13y kx =-，由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()22416210,39k k x x +--=设()()1122,,,A x y B x y ， 则()()121222416,321921k x x x x k k +==-++，()222166464Δ12160.999k k k =++=+> 由对称性可设存在定点()0,M m 满足题设， 则()()1122,,,MA x y m MB x y m =-=-，由0MA MB ⋅=，可得()()12120x x y m y m +--=， 所以()()221212111033kx x k m x x m ⎛⎫⎛⎫+-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()()2222161411033921321k k k m m k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+--+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()()222613250m k m m -++-=，由题意知上式对k ∀∈R 成立，210m ∴-=且23250m m +-=，解得1m =.∴存在定点M ，使得以AB 为直径的适恒过这个点，且点M 的坐标为()0,1.【变式4-1】已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>1F ，2F ，T 为椭圆C 上任意一点，12TF F △面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知()0,1A ，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 与x 轴的交点分别为P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析【解析】（1）因为椭圆Cc a =. 又当T 位于上顶点或者下顶点时，12TF F △面积最大，即1bc =. 又222a b c =+，所以1b c ==，a =所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）由题知，直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为12y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，将直线l 代入椭圆C 的方程得：()2242430k x kx ++-=，由韦达定理得：122442k x x k -+=+，122342x x k -=+， 直线AM 的方程为1111y y x x -=+，直线AN 的方程为2211y y x x -=+，所以11,01x P y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，22,01x Q y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，所以以PQ 为直径的圆为21212011x x x x y y y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭， 整理得：()()221212121201111xxx xx y x y y y y ⎛⎫++++= ⎪----⎝⎭.①因为()()()121212222212121212412611114211284222x x x x x x y y k x x k x x k k k kx kx -====----++-+++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令①中的0x =，可得26y =，所以，以PQ为直径的圆过定点(0,.【变式4-2】已知定点()1,0A -，()2,0F ，定直线l ：12x =，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N ． （1）求E 的方程；（2）试判断以线段MN 为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2213y x -=（0y ≠）．；（2）以线段MN 为直径的圆过定点()2,0和()1,0-．【解析】（1）设(),P x y122x =-，化简可得2213y x -=（0y ≠）．（2）解法1：假设以线段MN 为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在x 轴上，设(),0D t ．设直线BC 的方程为2x my =+，由22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 可得()22311290m y my -++=，由题意知2310m -≠．设()11,B x y ，()22,C x y ， 则1221231my y m +=--，122931y y m =-． 因为直线AB 的方程为()1111y y x x =++，所以点M 的坐标为()1131,221y x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭， 同理()2231,221y N x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭， 于是()1131,221y DM t x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭，()2231,221y DN t x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭． 由0DM DN ⋅=可得()()212129102411y y t x x ⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭，即()212212129102439y y t m y y m y y ⎛⎫-+= ⎪⎡⎤+++⎝⎭⎣⎦， 即2222228113102936493131m t m m m m ⎛⎫--+= ⎪⎛⎫⎝⎭-+ ⎪--⎝⎭，即219024t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得2t =或1t =-，所以以线段MN 为直径的圆过定点()2,0和()1,0-．解法2：假设以线段MN 为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在x 轴上． 若BC 垂直于x 轴，则()2,3B ，直线AB 方程为1y x =+，所以点M 坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，此时以MN 为直径的圆的方程为21330222x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该圆与x 轴交于点()12,0D 和()21,0D -．下面进行验证．设直线BC 的方程为2x my =+，由22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 可得()22311290m y my -++=，由题意知2310m -≠．设()11,B x y ，()22,C x y ， 则1221231my y m +=--，122931y y m =-． 因为直线AB 的方程为()1111y y x x =++，所以点M 的坐标为()1131,221y x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，同理()2231,221y N x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭． 因为()11133,221y D M x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭，()21233,221y D N x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭， 所以()()()1212112121212999944114439y y y y D M D N x x m y y m y y ⋅=+=+=++⎡⎤+++⎣⎦222228193104936493131m m m m m -=+=⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭． 同理220D M D N ⋅=．所以以线段MN 为直径的圆过定点()2,0和()1,0-．【变式4-3】已知抛物线()2:20C y px p =>与直线:20l x y +=交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为()8,p P y ．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作直线m 交抛物线于点A ，B ，是否存在定点M ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点M ．若存在，请求出点M 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x =；（2）存在,()4,4.【解析】（1）将12y x =-代入22y px =，得280x px -=； ∴882p =，可得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =． （2）设直线():84m x t y -=+，()11,A x y ，()22,B x y ．联立248(4)y x x t y ⎧=⎨-=+⎩，整理得2416320y ty t ---=， 所以124y y t +=，121632y y t =--．假设存在以AB 为直径的圆恒过(),M m n ， 则221212,,044y y MA MB m y n m y n ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 化简得()()222164488432160m t m n t m n m -+--+++-=，令2216404884032160m m n m n m ⎧-=⎪--=⎨⎪++-=⎩，可得4m n ==， 故以弦AB 为直径的圆恒过()4,4．。

圆锥曲线中的定点、定值问题(教师)

圆锥曲线中的定点、定值问题(教师)

圆锥曲线中的定点、定值问题【方法归纳】定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解思想是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．如：定点问题①探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．②根据条件化为恒等式，求出定点.【典例分析】【定点问题】【例1】（2012.福建卷）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2 ∵e=，∴c=1 ∴b2=a2-c2=3 ∴椭圆E的方程为．法一：法二：取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），y kx m=+,k m22221(b0)x yaa b+=>>12以PQ为直径的圆为（x-2）2+（y-）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x-）2+（y-）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）解法3：(导数求切线斜率)【定直线问题】【例2】（2013.安徽卷）设椭圆的焦点在轴上(Ⅰ)若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;(Ⅱ)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:当变化时,点在某定直线上.解: (Ⅰ).(Ⅱ) .由.12-32523445162222:11x yEa a+=-xE E12,F F P E2F P y Q11F P F Q⊥a p13858851,12,122222222=+=⇒+-==->xxacaacaa，椭圆方程为：),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221mcQFycxPFmQyxPcFcF-=-=-（则设)1,0(),1,0()1,0(12∈∈⇒∈⇒>-yxaa⎩⎨⎧=++=-⊥=+=)()(,//).,(),,(112211mycxcycxcmQFPFQFPFmcQFycxPF得：由所以动点P 过定直线.【定曲线问题】【例3】（2014·福建卷） 已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率．(2)如图1­6，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5.(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a .又因为△OAB 的面积为8， 所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2， 此时双曲线E 的方程为x 24－y216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－mk，0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x 得y 1＝2m 2－k ，同理得y 2＝2m 2＋k .由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|，得 12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m2－k －2m 2＋k ＝8，解得联立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒22222222222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c x y x y x y x y x y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222 01=-+y x即m 2＝4||4－k 2＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 216＝1得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)． 又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法二：(1)同方法一．(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得－12<m <12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x 得y 1＝2t 1－2m ， 同理得y 2＝－2t 1＋2m .设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t ，0)．由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝8，得12|t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 1－2m ＋2t 1＋2m ＝8.所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 2a 2－y 24a2＝1得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0. 因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0， 即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0, 即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0，即(1－4m 2)(a 2－4)＝0， 所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法三：(1)同方法一．(2)当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得k >2或k <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2－y 2＝0得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0， 因为4－k 2<0，Δ>0，所以x 1x 2＝－m 24－k2，又因为△OAB 的面积为8，所以12 |OA |·|OB |· sin∠AOB ＝8，又易知sin∠AOB ＝45，所以25x 21＋y 21·x 22＋y 22＝8，化简得x 1x 2＝4.所以－m 24－k2＝4，即m 2＝4(k 2－4)．由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 24a2＝1得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0. 因为4－k 2<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋4a 2)＝0， 即(k 2－4)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4， 所以双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.当l ⊥x 轴时，由△OAB 的面积等于8可得l ：x ＝2，又易知l ：x ＝2与双曲线E ：x 24－y 216＝1有且只有一个公共点．综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.【定量问题】【例4】（2014·江西卷） 如图1­7所示，已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)． (1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0xa 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值．解：(1)设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1.由题意，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，－c 2a .又直线OA 的方程为y ＝1ax ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，c a ，所以k AB ＝c a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2a c －c 2＝3a .又因为AB ⊥OB ，所以3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0(y 0≠0)． 因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2x 0－33y 0，直线l 与直线x ＝32的交点为N 32，32x 0－33y 0，则|MF |2|NF |2＝（2x 0－3）2（3y 0）214＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）2. 又P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得|MF |2|NF |2＝43·（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）24x 20－12x 0＋9＝43，所以|MF ||NF |＝23＝233，为定值．【例5】（2013.江西卷）如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为. (1) 求椭圆的方程;(2) 是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在求的值;若不存在,说明理由.解:(1)由在椭圆上得, ①依题设知,则 ②②代入①解得.故椭圆的方程为.(2)方法一:由题意可设的斜率为, 则直线的方程为 ③代入椭圆方程并整理,得,设,则有④在方程③中令得,的坐标为.从而. 注意到共线,则有,即有.2222+=1(>>0)x y C a b a b ：3(1,),2P 1=2e l =4x C AB F P AB l M ,,PA PB PM 123,,.k k k λ123+=.k k k λλ3(1,)2P 221914a b +=2a c =223bc =2221,4,3c a b ===C 22143x y +=AB k AB (1)y k x =-223412x y +=2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=1122(,),(,)A x yB x y 2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++4x =M (4,3)k 121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----,,A F B AFBF k k k ==121211y ykx x ==--所以⑤④代入⑤得, 又,所以.故存在常数符合题意. 方法二:设,则直线的方程为:,令,求得, 从而直线的斜率为,联立 ,得,则直线的斜率为:,直线的斜率为:,所以,故存在常数符合题意.【突破提高】1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-⋅=---+++312k k =-1232k k k +=2λ=000(,)(1)B x y x ≠FB 00(1)1y y x x =--4x =003(4,)1y M x -PM 0030212(1)y x k x -+=-0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩0000583(,)2525x y A x x ---PA 00102252(1)y x k x -+=-PB 020232(1)y k x -=-00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---2λ=1.若AB 是过椭圆中心的一条弦,M 是椭圆上任意一点,且AM ,BM 与坐标轴不平行,,分别表示直线AM ,BM 的斜率,则=( )A. B. C. D.【解析】本题可用特殊值法．不妨设弦AB 为椭圆的短轴．M 为椭圆的右顶点，则A (0，b )，B (0，－b )，M (a ，0)．所以．故选B ．2．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足1·2＝0，则e 21＋e 22e 1e 22的值为________． 解析：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，|F 1F 2|＝2c ， 由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22. 又∵1·2＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即2a 21＋2a 22＝4c 2.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2，即e 21＋e 22e 1e 22＝2.3.过抛物线：（＞0）的焦点作直线交抛物线于两点，若线段与的长分别为，则的值必等于（ ）．A ．B ．C ．D ．解法1：（特殊值法） 令直线与轴垂直，则有：，所以有解法2：（参数法） 如图1，设，且，分别垂直于准线于．，抛物线（＞0）的焦点，准线．∴ ：又由，消去得， ∴，22221(b 0)x y a a b +=>>PFPF PF PF m 2y ax =a F l ,P Q PF FQ ,p q 11p q --+2a 12a 4a 4a l x l 14y a =12p q a ⇒==114p q a --+=11(,)P x y 22(,)Q x y PM QN ,M N 114p PM y a ==+214q QN y a ==+2y ax =a 1(0,)4F a 14y a =-l 14y kx a =+l m x 222168(12)10a y a k y -++=212122121,216k y y y y a a ++==∴∴．4.已知点P 是双曲线 (a ＞0,b ＞0)右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，H 为△PF 1F 2的内心。

高中数学基础知识专题讲义46 三定问题(定点、定值、定直线)(教师版)

高中数学基础知识专题讲义46 三定问题(定点、定值、定直线)(教师版)

考点46 三定问题（定点、定值、定直线）一．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 二．直线定点问题的求解的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程； ④根据直线过定点的求解方法可求得结果. 三．解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.考向一 定值【例1】（2021·北京丰台区·高三一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>长轴的两个端点分别为(2,0),(2,0)A B -（1）求椭圆C 的方程；（2）P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，直线,AP PB 分别交直线6x =-于,M N 两点，连接NA 并延长交椭知识理解考向分析圆C 于点Q .（ⅰ）求证：直线,AP AN 的斜率之积为定值； （ⅱ）判断,,M B Q 三点是否共线，并说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）是，理由见解析. 【解析】（1）由题意得2,c a e a ===所以2221==-=c b a c ，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）（ⅰ）证明：设00(,)P x y ，因为P 在椭圆C 上，所以220014x y +=.因为直线AP 的斜率为002y x +，直线BP 的斜率为002y x -，所以直线BP 的方程为00(2)2y y x x =--. 所以N 点的坐标为008(6,)2y N x ---. 所以直线AN 的斜率为0000822622y x y x --=-+-. 所以直线,AP AN 的斜率之积为： 20200022000021422122442x y y y x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅===-+---. （ⅱ）,,M B Q 三点共线.设直线AP 斜率为k ，易得(6,4)M k --.由（ⅰ）可知直线AN 斜率为12k -，所以直线AN 的方程为1(2)2y x k=-+. 联立22440,22,x y x ky ⎧+-=⎨=--⎩可得22(44)80k y ky ++=.解得Q 点的纵坐标为221kk -+， 所以Q 点的坐标为222222(,)11k kQ k k--++. 所以，直线BQ 的斜率为22220122221kk k k k--+=--+，直线BM 的斜率为40622k k --=--. 因为直线BQ 的斜率等于直线BM 的斜率， 所以,,M B Q 三点共线. 【举一反三】1．（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的左､右焦点分别为1F ，2F ，G 是椭圆上一点，12GF F △的周长为6+. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且四边形OAGB 为平行四边形，求证：OAGB 的面积为定值.【答案】（1）221123x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为12GF F △的周长为6+，所以226a c +=+，即3a c +=+又离心率2c e a ==，解得a =3c =， 2223b a c =-=.∴椭圆C 的方程为221123x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,G x y ，将y kx m =+代入221123x y+=消去y 并整理得()2221484120kxkmx m +++-=，则122814km x x k +=-+，212241214m x x k-⋅=+， ()121222214my y k x x m k +=++=+，∵四边形OAGB 为平行四边形，∴()1212,OG OA OB x x y y =+=++，得2282,1414km m G k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭， 将G 点坐标代入椭圆C 方程得()223144m k =+， 点O 到直线AB的距离为d =12AB x =-，∴平行四边形OAGB 的面积为12S d AB m x x =⋅=-=====.故平行四边形OAGB 的面积为定值为2．（2021·四川遂宁市·高三二模（文））如图，已知椭圆C ：()22211x y a a+=>的左焦点为F ，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于A ，B 两点，且0FA FB ⋅=时，3k =.（1）求a 的值；（2）设线段AF ，BF 的延长线分别交椭圆C 于D ，E 两点，当k 变化时，直线DE 与直线AB 的斜率之比是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1（2）为定值5.【解析】（1）设()00,A x y ，则()00,B x y --，由题意得焦点为()F所以，()()2220000001FA FB x y x y x y a ⋅=⋅--=--+-.当0FA FB ⋅=时，有222001x y a +=-.联立222,1,y kx x y a =⎧⎪⎨+=⎪⎩得220221a x k a =+，2220221k a y k a =+，从而22222222111a k a a k a k a +=-++.将3k =代入，得222413a a a =-+，所以()231a a =>，故a =（2）由（1）知，()F ，椭圆C ：2213x y +=.设AD：00x x y y +=C ：2233x y +=，得(2002200310x x y y y y ⎡⎤+⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 而220033x y +=，即()22000050y x y y y +--=，从而D y =.同理BE：00x x y y =E y =从而5E D E D y y y y +=-.于是0000000055E D DE E D E DE D y y y k kx x x y y -====⋅=-.所以DE ，BC 的斜率之比为定值5.考向二 定点【例2】（2021·河南月考（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两焦点为()11,0F -，()21,0F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F △（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）点M 为椭圆C 的右顶点，若不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 均不是椭圆C 的右顶点），且满足AM BM ⊥，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）证明见解析，定点坐标为2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（Ⅰ）由椭圆的对称性可知：当点P 落在椭圆的短轴的两个端点时12PF F △的面积最大，此时122b ⨯⨯=b = 由222a bc =+得：2314a =+=．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为y kx m =+，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()()222348430k x mkx m +++-=，则()()222264163430m k k m =-+->，即22340k m +->，122834mk x x k ∴+=-+，()21224334m x x k-=+．()()1212y y kx m kx m ∴=++()221212k x x mk x x m =+++()2223434m k k-=+．椭圆的右顶点为()2,0M ，AM BM ⊥，0MA MB ∴⋅=，()()1212220x x y y ∴--+=，即()121212240y y x x x x +-++=， ()()2222234433434m k m k k --∴+++2164034mkk ++=+．整理可得：2271640m km k ++=， 解得：12m k =-，227k m =-，（1m ，2m 均满足22340k m +->）． 当2m k =-时，l 的方程为()2y k x =-，直线l 过右顶点()2,0，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线l 过定点，定点坐标为2,07⎛⎫⎪⎝⎭【举一反三】1．（2021·黑龙江大庆市·高三一模（理））已知焦点在x 轴上的椭圆C ：222210)x ya b a b+=>>（，短轴长为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，已知点2(,0)3P ，点A 是椭圆的右顶点，直线l 与椭圆C 交于不同的两点 ,E F ，,E F 两点都在x 轴上方，且APE OPF ∠=∠．证明直线l 过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，(6,0).【解析】（1）由22221b a c a c b ⎧=⎪-=⎨⎪-=⎩得21b a c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆C 交于不同的两点分布在x 轴两侧，不合题意. 所以直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+. 设11(,)E x y 、22(,)F x y ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=， 所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+. 因为APE OPF ∠=∠， 所以0PE PF k k +=，即121202233y y x x +=--，整理得1212242()()033m kx x m k x x +-+-= 化简得6m k =-，所以直线l 的方程为6(6)y kx k k x =-=-， 所以直线l 过定点(6,0).2．（2021·全国高三月考（文））已知斜率为的34的直线l 与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>交于点,A B ，线段AB 中点为()11D -,，直线l 在y 轴上的截距为椭圆C 的长轴长的716倍. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点,,,P Q M N 都在椭圆上，且,PQ MN 都经过椭圆C 的右焦点F ，设直线,PQ MN 的斜率分别为12,k k ，121k k +=-，线段的中点分别为,G H ，判断直线GH 是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）过定点，31,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】设()()1122,,,A x y B x y ， 则12122,2x x y y +=-+=，且2222112222221,1x x x x a b a b+=+= 两式相减得2222121222x x y y a b --=-即2121221212y y y y b x x x x a+-⋅=-+-， 即222324b a -⋅=-，所以2234b a =又直线l 的方程为()3114y x -=+， 令0x =，得74y =所以772,2,164a ab ⨯===， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由题意得()1,0F ，直线,PQ MN 的方程分别为()12()1,1y k x y k x =-=-，设()()3344,,,P x y Q x y ，联立122(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22121213484120k k k xx +-+-=，所以212341834x k k x +=+，则2211221143,3434k k G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭同理2222222243,3434k k H k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以12221212221212221233334344443434GHk k k k k k k k k k k k k ----++==+-++ 由121k k +=- 得()11314GH k k k =++， 所以直线GH 的方程为221111221134334434k k y k k x k k ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭整理得()21133144y k k x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭， 所以直线GH 过定点31,4⎛⎫⎪⎝⎭.考向三 定直线【例3】（2021·深圳实验学校高中部）如图，已知抛物线21:2C y x =直线2y kx =+交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点.（1）证明：OA OB ⊥；（2）设抛物线C 在点A 处的切线为1l ，在点B 处的切线为2l ，证明：1l 与2l 的交点M 在一定直线上. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】1）设211,12A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,12B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把2y kx =+代入212y x =，得2240x kx --=. 由韦达定理得122x x k +=，124x x =-.()22211221212111,,0224OA OB x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫∴⋅=⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以OA OB ⊥ （2）212y x =，y x '∴=， 故经过点211,12A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线1l 的方程为：()211112y x x x x -=-， 即21112y x x x =-，①同理，经过点222,12B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线2l 的方程为：22212y x x x =-，②21x x ⨯-⨯①②，得12122y x x ==-. 即点M 在直线:2l y =-上. 【举一反三】1．（2021·浙江温州市）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点到准线的距离为2，直线:2l y kx =+交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，点P 为直线1l ，2l 的交点. （i ）求证：点P 在一条定直线上； （ii ）求PAB △面积的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）（i ）证明见解析；（ii ）)⎡+∞⎣.【解析】（1）抛物线()2:20C x py p =>的焦点到准线的距离为2，可得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =.（2）联立方程组24,2x yy kx ⎧=⎨=+⎩消去y 得，2480x kx --=，∴124x x k +=，128x x =- 由24x y =得，12y x '=，所以切线PA 方程为()111112:l y y x x x -=- 切线PB 方程为()22221:2l y y x x x -=- 联立直线PA ､PB 方程可解得1222x x x k +==，1224x xy ⋅==-. （i ）所以点P 的坐标为()2,2k -. 所以点P 在定直线2y =-上 （ii ）点P 到直线AB 的距离为2d =所以AB ==PAB △的面积为()322214422PABS d AB k =⋅==+△所以当0k =时，PABS有最小值PAB △面积的取值范围是)⎡+∞⎣.2．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））已知点P 是抛物线2:2C x y =上的动点，且位于第一象限．圆222:()0O x y r r +=>，点P 处的切线l 与圆O 交于不同两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过点P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （1）求证：点M 在定直线上；（2）设点F 为抛物线C 的焦点，切线l 与y 轴交于点N ，求PFN 与PDM △面积比的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】（1）设2,2m P m ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0m >，显然切线l 的斜率存在且不为零，由22x y =，求导得：y x '=，所以切线l 的斜率为m ，因为D 是弦AB 的中点，所以OD l ⊥，所以直线OD 方程：1y x m=-，联立方程1y xm x m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得1y =-，所以点M 在定直线1y =-上．（2）由（1）知切线l 的方程：2()2m y m x m -=-，化简得：22m y mx =-， 令0x =，得20,2m N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 联立方程221m y mx y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得()()3222,2121m m D m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭， 而()211||124PFNSFN m m m ==+，()()()2232221||22181PDMm m mS PM m m m +=-=++， 所以222122PFN PDM S m S m ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，令222t m =+>，得1102t <<， 则22111221,22PFN PDM S t S t t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以PFN 与PDM △面积比的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．1．（2021·江苏常州市·高三一模）已知O 为坐标系原点，椭圆2214x C y +=：的右焦点为点F ，右准线为直线n .（1）过点(4,0)的直线交椭圆C 于,D E 两个不同点，且以线段DE 为直径的圆经过原点O ，求该直线的方程；强化练习（2）已知直线l 上有且只有一个点到F 的距离与到直线n的距离之比为2.直线l 与直线n 交于点N ，过F 作x 轴的垂线，交直线l 于点M .求证：||||FM FN 为定值.【答案】（1）4)y x =-；（2）证明见解析. 【解析】（1）设过点(4,0)的直线为(4)y k x =-交于椭圆()()1122,,D x y E x y联立2214(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()222241326440k x k x k +-+-=()221222121212221223212414164164441k x x k k y y k x x x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎡⎤∴=-++=⎨⎣⎦+-⎪=⎪+⎩又因为以线段DE 为直径的圆经过原点，则212122764·0,4119k OD OE x x y y k k -=+==∴=±+则所求直线方程4)y x =- （2）已知椭圆2214x y +=n的方程为x =， 因为直线l 上只有一点到F 的距离与到直线n的距离之比为2， 所以直线l 与椭圆相切，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得到：()222418440k x kmx m +++-=()()2222226444144041k m k m m k =-+-=∴=+①联立x x FM m y kx m y kx m⎧⎧==⎪⎪∴=+∴⎨⎨=+⎪⎪=+⎩⎩点N坐标为m ⎫+⎪⎭得到||FN =2222||||33FM FN k m =++由①22||3||||4||2FM FM FN FN ⇒=⇒= 2（2021·山西临汾市·高三一模（理））已知椭圆()22122:0x y C a b a b +=>>与双曲线222:14-=x C y 有两个相同的顶点，且2C 的焦点到其渐近线的距离恰好为1C 的短半轴的长度． （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）过点()()()(),0,00,T t t a a ∈-⋃作不垂直于坐标轴的直线l 与1C 交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点M ，使得MT 平分AMB ∠？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）存在点4,0M t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得MT 平分AMB ∠． 【解析】（1）由题意可得2a =，双曲线2C的焦点为()，渐近线方程为：12y x =±，则焦点到渐近线的距离为d b ==，所以1b =，则椭圆1C 的标准方程为2214x y +=；（2）存在点M 使得MT 平分AMB ∠，由题知，直线l 的斜率存在且不为0，又直线过点(),0T t ， 则设直线l 的方程为()y k x t =-，()11,A x y ，()22,B x y ，(),0M m ， 联立方程()2214y k x t x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理可得：()22222148440k xk tx k t +--+=，所以2122814k t x x k +=+，221224414k t x x k-=+， 因为11AM y k x m =-，22BM y k x m=-，0AM BM k k +=，所以()()()()()()1221120k x t x m k x t x m x m x m --+--=--， 即()()()()12210k x t x m k x t x m --+--=，因为0k ≠，所以()()()()()12221x t x m x m x t x m ---+--()()2100x t x m =+--=，即()()1212220x x t m x x tm -+++=，则()222224482201414k t k tt m mt k k-⋅-+⨯+=++， 化简可得4mt =，因为0t ≠，所以4m t=， 综上，存在点4,0M t ⎛⎫⎪⎝⎭，使得MT 平分AMB ∠． 3．（2021·漠河市高级中学高三月考（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个顶点恰好是抛物线2:4D x y =的焦点，其离心率与双曲线22162x y -=的离心率互为倒数.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为P ，当直线l 绕着点F 转动时，试探究：是否存在定点Q ，使得,,B P Q 三点共线？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，定点为3Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）由题意，抛物线2:4D x y =，可得焦点为()0,1，所以1b =，又由双曲线22162x y -=的离心率为3e =，可得椭圆C的离心率2c a =，可得10b c a a ⎧==⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，即椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）由直线l 不与坐标轴垂直，可设直线l的方程为x ty =+，其中0t ≠， 设点()11,A x y ､()22,B x y ，则点()11,P x y -，联立直线l 与椭圆C的方程2244x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22410t y ++-=， 由0∆>恒成立，且12y y +=12214y y t =-+， 由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上， 故假设存在定点(),0Qq ，使得P ､B ､Q 三点共线，则PB PQ k k =，即211211y y yx x q x +=--，可得12211212x y x y q y y +====+.故存在定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭，使得P ､B ､Q 三点共线.4．（2021·山东烟台市·高三一模）已知12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点， A为椭圆的上顶点，12AF F △是面积为4的直角三角形. （1）求椭圆C 的方程； （2）设圆228:3O x y +=上任意一点P 处的切线l 交椭圆C 于点,M N ，问：PM PN ⋅是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22184x y +=；（2）是定值，定值为83-. 【解析】（1）由12AF F △为直角三角形，故b c =， 又121242AF F Sc b =⨯⨯=， 可得4,bc = 解得2,b c == 所以28a =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=；（2）当切线l的斜率不存在时，其方程为x =将x =±22184x y +=，得y =，不妨设M ⎝⎭，N ⎝⎭，又P ⎫⎪⎪⎝⎭所以83PM PN ⋅=-同理当x =时，也有83PM PN ⋅=-.当切线l 的斜率存在时，设方程为()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+，因为l 与圆22:184x y O +=相切，3=即22388m k =+，将y kx m =+代入22184x y+=，得()222214280k x kmx m +++-=，所以2121222428,,2121km m x x x x k k --+==++ 又()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+2PO OP ON OP OM ON OM =-⋅-⋅+⋅， 222PO PO PO ON OM =--+⋅ 2ON OM PO =⋅-又()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()()2212121k x x km x x m =++++()()222222212842121k m k m m k k +--=++++， 22238821m k k --=+ 将22388m k =+代入上式，得0OM ON ⋅=， 综上，83PM PN ⋅=-. 6．（2021·四川遂宁市·高三二模（理））如图，已知椭圆C ：()22211x y a a+=>的左焦点为F ，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于A ，B 两点，且0FA FB ⋅=时，3k =.（1）求a 的值；（2）设线段AF ，BF 的延长线分别交椭圆C 于D ，E 两点，当k 变化时，直线DE 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1（2）过定点，定点为⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】（1）设()00,A x y ，则()00,B x y --，由题意得焦点为()F所以，()()2220000001FA FB x y x y x y a ⋅=⋅--=--+-.当0FA FB ⋅=时，有222001x y a +=-.联立222,1,y kx x y a =⎧⎪⎨+=⎪⎩得220221a x k a =+，2220221k a y k a =+，从而22222222111a k a a k a k a +=-++.将k =222413a a a =-+，即42230a a --=，所以23a =或21a =-（舍），故a =（2）由（1）知，()F ，椭圆C ：2213x y +=.设AD：00x x y y +=C ：2233x y +=， 消去x并整理得(2002200310x x y y y y ⎡⎤⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以2222000000(32)0y x y x y y y +++--=， 而220033x y +=，所以()22000050y x y y y +--=，由韦达定理得20D y y =，所以D y =同理BE：00x x y y -+=-，即00x x y =E y =所以002258E Dyy yx+==-，210258E Dyy yx-=-=-所以002002258105258E DE Dyxy yyy yx-+==--，于是00000055E DDEE DE Dy y yk k x x x -=====⋅= -.所以直线DE：()5D Dyy y x xx-=-.令0y=，得00000055D D D Dx x xx x y y yy y y=-=-45Dxyy+=将D y=x=所以DE经过定点⎛⎫⎪⎝⎭.7．（2021·广东汕头市·高三一模）在平面直角坐标系xOy中，P为坐标原点，)M，已知平行四边形OMNP两条对角线的长度之和等于4．（1）求动点P的轨迹方程；（2过)M作互相垂直的两条直线1l、2l，1l与动点P的轨迹交于A、B，2l与动点P的轨迹交于点C、D，AB、CD的中点分别为E、F；①证明：直线EF恒过定点，并求出定点坐标．②求四边形ACBD 面积的最小值．【答案】（1）()22104x y y +=≠；（2）①证明见解析，定点坐标为⎫⎪⎪⎝⎭；②3225. 【解析】（1）设点(),P x y ，依题意4MP ON OP OM OP OM +=-++=，4=>，所以动点P 的轨迹为椭圆（左、右顶点除外），则24a =，c =1b ∴==，∴动点P 的轨迹方程是()22104x y y +=≠； （2）①若1l 与x 轴重合，则直线1l 与动点P 的轨迹没有交点，不合乎题意； 若2l 与x 轴重合，则直线2l 与动点P 的轨迹没有交点，不合乎题意； 设直线1l 的方程为30xmy m，则直线2l 的方程为1x y m=-直线1l 、2l 均过椭圆的焦点（椭圆内一点），1l 、2l 与椭圆必有交点．设()11,A x y 、()22,Bx y ，由()222241044x my m y x y ⎧=+⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 由韦达定理可得12yy +=，则()1212x x m y y +=++=， 所以点E 的坐标为⎝⎭，同理可得点F⎝⎭，直线EF的斜率为()()25141EFm k m m ==≠±-， 直线EF的方程是()22254441m y x m m m ⎛⎫+=- ⎪ ⎪++-⎝⎭， 即())()()222222155415441m m m y x x m m m ⎡⎤-⎛⎢⎥=-= -+-⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当1m =±时，直线EF的方程为5x =，直线EF 过定点⎫⎪⎪⎝⎭．综上，直线EF过定点5⎛⎫⎪⎪⎝⎭；②由①可得1224y y m +=-+，12214y y m =-+，()2122414m AB y y m +∴=-==+，同理可得()2222141411414m m CD m m⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++， 所以，四边形ACBD 的面积为()()()()22222222281813225441441221m m S AB CD m m m m ++≥=++⎛⎫+++ ⎪⋅⎭==⎝，当且仅当21m =取等号．因此，四边形ACBD 的面积的最小值为3225. 8．（2021·河南平顶山市·高三二模（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，过右焦点(),0F c 的直线y x c =-与椭圆交于A ，B 两点，A在第一象限，且AF =（1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在点M ，满足对于过点F 的任一直线l 与椭圆C 的两个交点P ，Q ，都有MP MQ ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）221189x y +=；（2）存在点15,04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，满足MP MQ ⋅为定值．.【解析】（1）由2e =，及222a b c =+，得a ==，设椭圆方程为222212x y b b +=，联立方程组22222x y b y x b ⎧+=⎨=-⎩得2340x bx -=．则43A bx =，所以3A F bAF x =-==3b =．所以椭圆C 的方程为221189x y +=．（2）当直线l 不与x 轴重合时，设:3l x ny =+，联立方程组222183x y x ny ⎧+=⎨=+⎩得()222690n y ny ++-=． 设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),0M t ，则有12262n y y n +=-+，12292y y n ⋅=-+． 于是()()()()1212121233MP MQ x t x t y y ny t ny t y y ⋅=--+=+-+-+()()()()()()()()2222221212211339163322n y y n t y y t n n t t n n ⎡⎤=++-++-=-+--+-+⎣⎦+()()()22222222627323918212922t t n t t n t t n n ⎡⎤-+-+---+-+⎣⎦==++， 若MP MQ ⋅为定值，则有()222129218t t t -+=-，得1245t =，154t =． 此时218MP MQ t ⋅=-：当直线l 与x轴重合时，()P -，()Q ， 也有()()()()21218MP MQ x t x t tt t ⋅=--=-=-．综上，存在点15,04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，满足MP MQ ⋅为定值． 9．（2021·北京平谷区·高三一模）已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，并且经过(0P 点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点P 的直线与x 轴交于N 点，与椭圆的另一个交点为B ，点B 关于x 轴的对称点为B '，直线PB '交x 轴于点M ，求证：OM ON ⋅为定值．【答案】（1）22143x y+=；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知23112bca⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2ab=⎧⎪⎨=⎪⎩C：22143x y+=．（2）证明：由已知斜率存在以下给出证明：由题意，设直线PB的方程为0)y kx k=+≠，(P，()11,B x y，则()11,B x y'-，由223412,x yy kx⎧+=⎪⎨=⎪⎩得()223480k x++=，所以(280∆=>，12834+=-+xk，12834=-+xk，12834=-+yk，所以B⎛⎝，即B⎛⎝⎭，直线PB'的方程为34y xk⎛-=⎝⎭，令0y=得(()224334kxk--=+所以(()224334kMk⎛⎫--⎪⎪+⎝⎭，，令0y=由y kx=+xk=-所以0N⎛⎫⎪⎪⎝⎭，所以OM ON⋅=4.10．（2021·河南新乡市·高三二模（理））已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右顶点分别为A，B，E 为C 上不同于A ，B 的动点，直线AE ，BE 的斜率AE k ，BE k 满足12AE BE k k ⋅=-，AE BE ⋅的最小值为-4.（1）求C 的方程；（2）O 为坐标原点，过O 的两条直线1l ，2l 满足1//l AE ，2//l BE ，且1l ，2l 分别交C 于M ，N 和P ，Q .试判断四边形MPNQ 的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22184x y +=；（2）是定值，【解析】（1）设()00,E x y ，则2200221x y a b+=，故(,0),(,0)A a B a -，∴2202220002222200001AE BEx b a y y y b k k x a x a x a x a a⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---， 又()()()()22200000021x AE BE x a x a y x a x a b a ⎛⎫⋅=+-+=+-+- ⎪⎝⎭222202c x c c a=-≥-，由题意知：222124b ac ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩，解得2284a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）根据椭圆的对称性，可知OM ON =，OP OQ =， ∴四边形MPNQ 为平行四边形，所以4MPNQ OMP S S=.设1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，()11,M x y ，()22,P x y ，则111y k x =①，222y k x =②. 又1//l AE ，2//l BE ，即1212AE BE k k k k ⋅=⋅=-. 当MP 的斜率不存在时，12y y =-，12x x =.由①⨯②，得2221121112y k k x x -==-，结合2211184x y +=，解得12x =，1y =∴1114422MPNQ OMPS Sy x ==⨯⨯⨯=当MP 的斜率存在时，设直线MP 的方程为y kx m =+，联立方程组得22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214280k x kmx m +++-=，则()()()22222(4)421288840km k m k m ∆=-+-=+->，即122421km x x k +=-+，21222821m x x k -=+.∵()22121212121212121212k x x km x x m y y kx m kx m k k x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅==-， ∴22222222841212128221m km k km m k k m k -⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭=--+，整理得：2242m k =+. 由直线MP 过(0,)m ，12144||2||2MPNQ OMPS Sm x x m ==⨯⨯-=2||m == 将2242m k =+代入，整理得MPNQ S =综上，四边形MPNQ 的面积为定值，且为。

2023高考数学真题知识总结：圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)

2023高考数学真题知识总结：圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)
9
所以 y1＋y2＝－m22m＋n9，y1y2＝mn22－＋99．代入③式
得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0，
解得 n＝－3(舍去)或 n＝3． 2
故直线 CD 的方程为 x＝my＋3， 2
即直线 CD 过定点
3，0 2
．
若 t＝0，则直线 CD 的方程为 y＝0，过点
(2)从特殊到一般求定值：常用处理技巧：①在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便 于向定值靠拢；②巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算．
【题型突破】 1．(2020·全国Ⅰ)已知 A，B 分别为椭圆 E：ax22＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，A→G·G→B＝8．P
所以椭圆 E 的方程为x2＋y2＝1． 9
(2)证明 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．
若 t≠0，设直线 CD 的方程为 x＝my＋n，
由题意可知－3<n<3．易知直线 PA 的方程为 y＝ t (x＋3)，所以 y1＝ t (x1＋3)．
9
9
易知直线 PB 的方程为 y＝ t (x－3)，所以 y2＝ t (x2－3)．
足 MT TH ．证明：直线 HN 过定点．
1．解析
(1)设椭圆 E 的方程为 mx2 ny2 1 ，过 A0,
2,
B
3 2
,
1 ，
4n 1
则
9 4
m
n
，解得 1
m
1 3
，
n
1 4
，
所以椭圆 E 的方程为： y2 x2 1 ． 43
(2) A(0,

圆锥曲线中的定点问题(解析版)

圆锥曲线中的定点问题(解析版)

圆锥曲线中的定点问题一、考情分析定点问题一直是圆锥曲线中的热点问题，高考主要考查直线过定点问题，有时也会涉及圆过定点问题．二、解题秘籍(一)求解圆锥曲线中定点问题的思路与策略1.处理定点问题的思路：(1)确定题目中的核心变量(此处设为k )(2)利用条件找到k 与过定点的曲线F x ,y =0的联系，得到有关k 与x ,y 的等式(3)所谓定点，是指存在一个特殊的点x 0,y 0 ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于k 与x ,y 的等式进行变形，直至易于找到x 0,y 0.常见的变形方向如下：①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“k ⋅ ”的形式，从而x 0,y 0只需要先让括号内的部分为零即可②若等式为含k 的分式，x 0,y 0的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数(这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式)2.处理定点问题两个基本策略：(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【例1】(2023届河南省顶级名校高三上学期月考)设F 1,F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点，M 是C 上一点，MF 2与x 轴垂直.直线MF 1与C 的另一个交点为N ，且直线MN 的斜率为24.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设D 0,1 是椭圆C 的上顶点，过D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于A ，B 两点，证明直线AB 过定点，并求出定点坐标.【解析】(1)由题意知，点M 在第一象限，∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c .当x =c 时，y =b 2a ，即M c ,b 2a.又直线MN 的斜率为24，所以tan ∠MF 1F 2=b 2a2c =b 22ac =24，即b 2=22ac =a 2-c 2，即c 2+22ac -a 2=0,则e 2+22e -1=0，解得e =22或e =-2(舍去)，即e =22.(2)已知D 0,1 是椭圆的上顶点，则b =1，由(1)知e =22=1-b a 2，解得a =2，所以，椭圆C 的方程为x 22+y 2=1，设直线AB 的方程为y =kx +m ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立y =kx +m x 2+2y 2=2可得1+2k 2 x 2+4km x +2m 2-1 =0* ，所以x 1+x 2=-4km1+2k 2,x 1x 2=2m 2-1 1+2k 2，又DA =x 1,y 1-1 ,DB=x 2,y 2-1 ，DA ⋅DB=x 1x 2+y 1-1 y 2-1 =x 1x 2+kx 1+m -1 kx 2+m -1 =k 2+1 x 1x 2+k m -1 x 1+x 2 +(m -1)2=k 2+1 ⋅2m 2-1 1+2k 2+k m -1 ⋅-4km 1+2k2+(m -1)2=2m 2-1 k 2+1 -4k 2m 2-m +1+2k 2 (m -1)21+2k 2=0，化简整理有3m 2-2m -1=0，得m =-13或m =1.当m =1时，直线AB 经过点D ，不满足题意；.当m =-13时满足方程* 中Δ>0，故直线AB 经过y 轴上定点G 0,-13.【例2】椭圆C 的焦点为F 1-2,0 ，F 22,0 ，且点M 2,1 在椭圆C 上．过点P 0,1 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点B 关于y 轴的对称点为点D (不同于点A )．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)证明：直线AD 恒过定点，并求出定点坐标．【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，由已知得c =2,2a =MF 1 +MF 2 =2-2 2+1+2+2 2+1=4.所以a =2，b 2=a 2-c 2=2，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +1(k ≠0)．由x 24+y 22=1y =kx +1得(2k 2+1)x 2+4kx -2=0.设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，D (-x 2,y 2)，则Δ=16k 2+82k 2+1 >0x 1+x 2=-4k2k 2+1x 1x 2=-22k 2+x，特殊地，当A 的坐标为(2，0)时，k =-12，所以2x 2=-43，x 2=-23，y 1=43，即B -23,43 ，所以点B 关于y 轴的对称点为D 23,43，则直线AD 的方程为y =-x +2.当直线l 的斜率不存在时，直线AD 的方程为x =0.如果存在定点Q 满足条件，则为两直线交点Q (0，2)，k QA =y 1-2x 1=y 1-1-1x 1=k -1x 1，k QD =y 2-2-x 2=-k +1x 2，又因为k QA -k QD =2k -1x 1+1x 2 =2k -x 1+x 2x 1x 2=2k -2k =0.所以k QA =k QD ，即A ,D ,Q 三点共线，故直线AD 恒过定点，定点坐标为(0，2)．【点评】本题是先根据两条特殊的曲线的交点Q (0，2)，然后再根据A ,D ,Q 三点共线，判断直线AD 恒过定点，(二)直线过定点问题1.直线过定点问题的解题模型2.求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：y =kx +b ，然后利用题中条件整理出k ,b 的关系，若b =km +n m ,n 为常数 ，代入y =kx +b 得y =k x +m +n ，则该直线过定点-m ,n .【例3】(2023届福建省泉州市高三毕业班质量监测(一))已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点A -2,0 ．右焦点为F ，纵坐标为32的点M 在C 上，且AF ⊥MF ．(1)求C 的方程：(2)设过A 与x 轴垂直的直线为l ，纵坐标不为0的点P 为C 上一动点，过F 作直线PA 的垂线交l 于点Q ，证明：直线PQ 过定点．【解析】(1)设点F c ,0 ，其中c =a 2-b 2>0，则M c ,32，因为椭圆C 过点A -2,0 ，则a =2，将点M 的坐标代入椭圆C 的方程，可得c 2a 2+94b 2=1可得4-b 24+94b2=1，解得b =3，因此，椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)证明：由对称性可知，若直线PQ 过定点T ，则点T 必在x 轴上，设点T t ,0 ，设点P x 0,y 0 x 0≠±2,y 0≠0 ，则k PA =y 0x 0+2，所以，直线PA 的垂线的斜率为k =-x 0+2y 0，故直线FQ 的方程为y =-x 0+2y 0x -1 ，在直线FQ 的方程中，令x =-2，可得y =3x 0+2 y 0，即点Q -2,3x 0+2y 0，所以，直线PQ 的方程为y -y 0=y 0-3x 0+2y 0x0+2x -x 0 ，因为点T 在直线PQ 上，所以，-y 0=y 0-3x 0+2 y 0x 0+2t -x 0 ，即y 20t +2 =3x 0+2 t -x 0 ，①又因为x 204+y 203=1，所以，y 20=3-3x 204，②将②代入①可得3-3x 204t +2 =3x 0+2 t -x 0 ，即t -2 x 0+2 2=0，∵x 0≠-2，则t =2，所以，直线PQ 过定点2,0 .(三)圆过定点问题圆过定点问题的常见类型是以AB 为直径的圆过定点P ，求解思路是把问题转化为PA ⊥PB ，也可以转化为PA ⋅PB =0【例4】(2022届广西“智桂杯”高三上学期大联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，与x 轴不重合的直线l 过焦点F ，l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AB =3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左顶点为P ，PA ，PB 的延长线分别交直线x =4于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆过定点.【解析】(1)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点F (1,0)，则半焦距c =1，当l ⊥x 轴时，弦AB 为椭圆的通径，即|AB |=2b 2a ，则有2b 2a =3，即b 2=32a ，而a 2=b 2+c 2，于是得a 2-32a -1=0，又a >0，解得a =2，b =3，所以椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1.(2)依题意，直线AB 不垂直于y 轴，且过焦点F (1,0)，设AB 的方程为x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由3x 2+4y 2=12x =my +1 得3m 2+4 y 2+6my -9=0，y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，因点P (-2,0)，则直线PA 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，令x =4，得M 4,6y 1x 1+2 ，同理可得N 4,6y 2x 2+2 ，于是有FM =3,6y 1x 1+2 ,FN =3,6y 2x 2+2 ，则FM ⋅FN =9+6y 1x 1+2⋅6y 2x 2+2=9+36y 1y 2my 1+3 my 2+3 =9+36y 1y 2m 2y 1y 2+3m y 1+y 2 +9=9+36⋅-93m 2+4-9m 23m 2+4+-18m 23m 2+4+9=9+36×(-9)36=0，因此，FM ⊥FN ，即F 在以MN 为直径的圆上，所以以MN 为直径的圆过定点F (1,0).(四)确定定点使某个式子的值为定值求解此类问题一般先设出点的坐标，然后把所给式子用所设点的横坐标或纵坐标表示，再观察该式子为定值的条件，确定所设点的坐标.【例5】(2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月诊断)如图，椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1((a >b >0)，|A 1B 1|=7，F 1是椭圆C 的左焦点，A 1是椭圆C 的左顶点，B 1是椭圆C 的上顶点，且A 1F 1 =F 1O ，点P (n ,0)(n ≠0)是长轴上的任一定点，过P 点的任一直线l 交椭圆C 于A ,B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在定点Q (x 0,0)，使得QA ⋅QB 为定值，若存在，试求出定点Q 的坐标，并求出此定值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由已知知a 2+b 2=7a -c =c a 2=b 2+c 2 ，解得a =2b =3c =1，所以椭圆方程为x 24+y 23=1；(2)假设存在Q (x 0,0)满足题意，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，QA =(x 1-x 0,y 1),QB=(x 2-x 0,y 2)，①当直线l 与x 轴不垂直时，设l ：y =k (x -n )，代入x 24+y 23=1并整理得(4k 2+3)x 2-8k 2nx +4k 2n 2-12=0∴x 1+x 2=8k 2n 4k 2+3，x 1x 2=4k 2n 2-124k 2+3QA ⋅QB=(x 1-x 0)(x 2-x 0)+y 1y 2=(x 1-x 0)(x 2-x 0)+k 2(x 1-n )(x 2-n )=(k 2+1)x 1x 2-(k 2n +x 5)(x 1+x 2)-x 20+k 2n 2=k 2+1 4k 2n 2-124k 2+3-k 2n +x 0 8k 2n 4k 2+3-x 20+k 2v 2=7n 2-8nx 0+4x 20-12 k 2+3x 20-124k 2+3 (*)(*)式是与k 无关的常数，则3(7n 2-8nx 0+4x 20-12)=4(3x 20-12)解得x 0=12n +7n 8，此时QA ⋅QB =x 20-4=12n +7n 82-4为定值；②当直线l 与x 垂直时，l :x =n ，A n ,31-n 24 ，B n ,-31-n 24，QA ⋅QB =(n -x 0)2-31-n 24 =x 20-4=12n +7n 82-4也成立，所以存在定点Q 12n +7n 8,0 ，使得QA ⋅QB =12n +7n 82-4为定值．(五)与定点问题有关的基本结论1.若直线l 与抛物线y 2=2px 交于点A ,B ，则OA ⊥OB ⇔直线l 过定点P 2p ,0 ；2.若直线l 与抛物线y 2=2px 交于点A ,B ，则k OA ⋅k OB =m ⇔直线l 过定点P p +m +p 2,0 ；3.设点P 2pt 02,2pt 0 是抛物线y 2=2px 上一定点，M ,N 是该抛物线上的动点，则PM ⊥PN ⇔直线MN 过定点Q 2p +2pt 02,-2pt 0 .4.设点A x 0,y 0 是抛物线y 2=2px 上一定点，M ,N 是该抛物线上的动点，则k AM ⋅k AN =m ⇔直线MN 过定点P x 0-2pm ,-y 0 ；5.过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左顶点P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点A ,B ，则PA ⊥PB ⇔直线AB 过点Q -a a 2-b 2a 2+b 2,0；6.过双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左顶点P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点A ,B ，则PA ⊥PB ⇔直线AB 过点Q -a a 2+b 2a 2-b 2,0；7.设点P m ,n 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一定点，点A ,B 是椭圆C 上不同于P 的两点，若k PA +k PB =λλ≠0 ，则直线AB 过定点m -2n λ,-n -2b 2ma 2λ；8.设点P m ,n 是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 一定点，点A ,B 是双曲线C 上不同于P 的两点，若k PA +k PB =λλ≠0 ，则直线AB 过定点m -2n λ,-n +2b 2ma 2λ .【例6】(2023届山西省长治市高三上学期9月质量检测)已知点P 1,32 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上，且点P 到椭圆右顶点M 的距离为132．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点A ，B 是椭圆C 上不同的两点(均异于M )且满足直线MA 与MB 斜率之积为14．试判断直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．【解析】(1)点P 1,32 ，在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上代入得：1a 2+94b2=1，点P 到椭圆右顶点M 的距离为132，则132=a -1 2+94，解得a =2，b =3，故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)由题意，直线AB 的斜率存在，可设直线AB 的方程为y =kx +m (k ≠0)，M 2,0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．联立y =kx +m3x 2+4y 2=12得3+4k 2 x 2+8km x +4m 2-12=0．Δ=64k 2m 2-43+4k 2 4m 2-12 =484k 2-m 2+3 >0．∴x 1+x 2=-8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2-123+4k 2，∵直线MA 与直线MB 斜率之积为14．∴y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=14，∴4kx 1+m kx 2+m =x 1-2 x 2-2 ． 化简得4k 2-1 x 1x 2+4km +2 x 1+x 2 +4m 2-4=0，∴4k 2-1 4m 2-123+4k 2+4km +2 -8km 3+4k 2+4m -4=0， 化简得m 2-2km -8k 2=0，解得m =4k 或m =-2k ．当m =4k 时，直线AB 方程为y =k x +4 ，过定点-4,0 ．m =4k 代入判别式大于零中，解得-12<k <12(k ≠0)．当m =-2k 时，直线AB 的方程为y =k x -2 ，过定点2,0 ，不符合题意． 综上所述：直线AB 过定点-4,0 ．【例7】(2022届海南华侨中学高三上学期月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，点M 0,-1 是椭圆的一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程；(2)过点M 分别作直线MA ,MB 交椭圆于A ,B 两点，设两直线的斜率分别为k 1,k 2，且k 1+k 2=4，求证：直线AB 过定点12,1.【解析】(1)由题意可得b =1c =b a 2=b 2+c 2，解得a =2,b =1,所以椭圆的方程为x 22+y 2=1.(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .①当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为y =kx +m ，联立y =kx +mx 22+y 2=1得2k 2+1 x 2+4km x +2m 2-2=0.由Δ=16k 2m 2-42k 2+1 2m 2-2 =82k 2-m 2+1 >0，得2k 2+1>m 2.所以x 1+x 2=-4km 2k 2+1,x 1⋅x 2=2m 2-22k 2+1．所以k 1+k 2=y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+m +1x 1+kx 2+m +1x 2=2k +m +1 x 1+x 2x 1x 2=4，即2k -2km m -1=4，所以kmm -1=k -2，即km =k -2 m -1 =km -k -2m +2，所以m =1-k 2，所以y =kx +m =kx +1-k 2=k x -12 +1，所以直线AB 过定点12,1 .②当直线AB 斜率不存在时，A x 1,y 1 ,B x 1,-y 1 ，则k 1+k 2=y 1+1x 1+-y 1+1x 1=2x 1=4，所以x 1=12，则直线AB 也过定点12,1 .综合①②，可得直线AB 过定点12,1 .三、跟踪检测1.(2023届江苏省金陵中学、海安中学高三上学期10月联考)在一张纸上有一个圆C ：x +5 2+y 2=4，定点M 5,0 ，折叠纸片使圆C 上某一点M 1好与点M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线M 1C 的交点为T ．(1)求证：TC -TM 为定值，并求出点T 的轨迹C 方程；(2)设A -1,0 ，M 为曲线C 上一点，N 为圆x 2+y 2=1上一点(M ，N 均不在x轴上)．直线AM ，AN 的斜率分别记为k 1，k 2，且k 2=-14k 1，求证：直线MN 过定点，并求出此定点的坐标．【解析】(1)由题意得TM =TM 1 ，所以TC -TM =TC -TM 1 =2<25=CM ，即T 的轨迹是以C ，M 为焦点，实轴长为2的双曲线，即C：x 2-y 24=1；(2)由已知得l AM ：y =k 1x +1 ，l AN ：y =k 2x +1 ，联立直线方程与双曲线方程y =k 1x +1x 2-y 24=1⇒4-k 21 x 2-2k 21x -k 21-4=0，由韦达定理得x A x M =-k 21-44-k 21，所以x M =k 21+44-k 21，即y M =k 1x M +1 =8k 14-k 21，所以M k 21+44-k 21,8k 14-k 21，联立直线方程与圆方程y =k 2x +1 x 2+y 2=1⇒1+k 22 x 2+2k 22x +k 22-1=0，由韦达定理得x A x N =k 22-11+k 22，所以x N =-k 22+11+k 22，即y N =k 2x N +1 =2k 21+k 22，因为k AN =-14k AM ，即k 2=-14k 1，所以N -k 21+1616+k 21,-8k 116+k 21，若直线MN 所过定点，则由对称性得定点在x 轴上，设定点T t ,0 ，由三点共线得k MT =k NT ，即8k 14-k 21k 21+44-k 21-t =-8k 116+k 21-k 21+1616+k 21-t ⇒k 21+4+k 21-4 t =k 21-16+k 21+16 t ⇒t =1，所以直线MN 过定点T 1,0 ．2.(2023届广东省广东广雅中学高三上学期9月测试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22．圆O (O 为坐标原点)在椭圆C 的内部，半径为63．P ，Q 分别为椭圆C 和圆O 上的动点，且P ，Q 两点的最小距离为1-63．(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 是椭圆C 上不同的两点，且直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上．求证：以AB 为直径的圆过定点．【解析】(1)设椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，半焦距为c ，由圆的性质，|PQ |≥|PO |-63当点P 在椭圆上运动时，当P 处于上下顶点时|PO |最小，故|PQ |≥|PO |-63≥b -63，即b -63=1-63依题意得c a =22b -63=1-63a 2=b 2+c2，解得a =2b =1c =1，所以C 的方程为x 22+y 2=1.(2)因为直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上，所以直线AB 与圆O 相切.(i )当直线AB 垂直于x 轴时，不妨设A 63,63，B 63,-63 ，此时OA ⋅OB=0，所以OA ⊥OB ，故以AB 为直径的圆过点O .(ii )当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y =kx +m ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 .因为AB 与圆O 相切，所以O 到直线AB 的距离|m |k 2+1=63，即3m 2-2k 2-2=0.由y =kx +m ,x 22+y 2=1,得2k 2+1 x 2+4km x +2m 2-2=0，所以x 1+x 2=-4km 2k 2+1,x 1x 2=2m 2-22k 2+1，OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+kx 1+m kx 2+m =1+k 2 x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2=1+k 2 2m 2-22k 2+1 +km -4km2k 2+1+m 2=1+k 2 2m 2-2 +km (-4km )+m 22k 2+1 2k 2+1=3m 2-2k 2-22k 2+1=0，所以OA ⊥OB ，故以AB 为直径的圆过点O .综上，以AB 为直径的圆过点O .3.(2023届湖南省永州市高三上学期第一次考试)点P (4,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上，离心率e =72.(1)求双曲线C 的方程；(2)A ,B 是双曲线C 上的两个动点(异于点P )，k 1,k 2分别表示直线PA ,PB 的斜率，满足k 1k 2=32，求证：直线AB 恒过一个定点，并求出该定点的坐标.【解析】(1)由题意点P (4,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上，离心率e =72可得；16a 2-9b 2=1a 2+b 2a =72，解出，a =2,b =3，所以，双曲线C 的方程是x 24-y 23=1(2)①当直线AB 的斜率不存在时，则可设A n ,y 0 ,B n ,-y 0 ，代入x 24-y 23=1，得y 02=34n 2-3，则k 1k 2=y 0-3n -4⋅-y 0-3n -4=9-y 20(n -4)2=12-34n 2(n -4)2=32，即9n 2-48n +48=0，解得n =43或n =4，当n =4时，y 0=±3，A ,B 其中一个与点P 4,3 重合，不合题意；当n =43时，直线AB 的方程为x =43，它与双曲线C 不相交，故直线AB 的斜率存在；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程y =kx +m 代入x 24-y 23=1，整理得，3-4k 2 x 2-8km x -4m 2-12=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=8km 3-4k 2,x 1x 2=-4m 2+123-4k 2，由Δ=(-8km )2-43-4k 2 -4m 2-12 >0,∴m 2+3>4k 2，所以k 1k 2=y 1-3x 1-4⋅y 2-3x 2-4=kx 1+m -3x 1-4⋅kx 2+m -3x 2-4=k 2x 1x 2+k m -3 x 1+x 2 +(m -3)2x 1x 2-4x 1+x 2 +16=32所以，2k 2-3 x 1x 2+2km -6k +12 x 1+x 2 +2m 2-12m -30=0，即2k 2-3 ⋅-4m 2-123-4k 2+2km -6k +12 ⋅8km 3-4k 2+2m 2-12m -30=0,整理得3m 2+16k -6 m +16k 2-9=0，即3m +4k +3 m +4k -3 =0，所以3m +4k +3=0或m +4k -3=0，若3m +4k +3=0，则m =-4k +33，直线AB 化为y =k x -43 -1，过定点43,-1 ；若m +4k -3=0，则m =-4k +3，直线AB 化为y =k x -4 +3，它过点P 4,3 ，舍去综上，直线AB 恒过定点43,-1 4.(2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)，O 是坐标原点，F 是C 的焦点，M 是C 上一点，|FM |=4，∠OFM =120°．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)设点Q x 0,2 在C 上，过Q 作两条互相垂直的直线QA ,QB ，分别交C 于A ，B 两点(异于Q 点)．证明：直线AB 恒过定点．【解析】(1)由|FM |=4,∠OFM =120°，可得M p2+2,±23 ，代入C :12=2p p2+2=p 2+4p ．解得p =2或p =-6(舍)，所以抛物线的方程为：y 2=4x ．(2)由题意可得Q (1,2)，直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x =my +n ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，由y 2=4x x =my +n，得y 2-4my -4n =0，从而Δ=16m 2+16n >0，则y 1+y 2=4m y 1y 2=-4n．所以x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =4m 2+2n ，x 1x 2=my 1+n my 2+n =m 2y 1y 2+mn y 1+y 2 +n 2=n 2，∵QA ⊥QB ，∴QA ⋅QB=x 1-1 x 2-1 +y 1-2 y 2-2 =0，故x 1x 2-x 1+x 2 +1+y 1y 2-2y 1+y 2 +4=0，整理得n 2-4m 2-6n -8m +5=0．即(n -3)2=4(m +1)2，从而n -3=2(m +1)或n -3=-2(m +1)，即n =2m +5或n =-2m +1．若n =-2m +1，则x =my +n =my -2m +1=m (y -2)+1，过定点(1,2)，与Q 点重合，不符合；若n =2m +5，则x =my +n =my +2m +5=m (y +2)+5，过定点(5,-2)．综上，直线AB 过异于Q 点的定点(5,-2)．5.(2023届四川省部分重点中学高三上学期9月联考)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右顶点是M(2，0)，离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)过点T (4，0)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ，问直线AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】(1)由右顶点是M (2，0)，得a =2，又离心率e =12=ca，所以c =1，所以b2=a2-c2=3，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1．(2)设A x1,y1，B x2,y2，显然直线l的斜率存在．直线l的方程为y=k x-4，联立方程组y=k x-4, 3x2+4y2=12消去y得4k2+3x2-32k2x+64k2-12=0，由Δ>0，得-12<k<12，所以x1+x2=32k24k2+3，x1x2=64k2-124k2+3．因为点D x2,-y2，所以直线AD的方程为y=y1+y2x1-x2x-x1+k x1-4．又y1+y2=k x1+x2-8，所以直线AD的方程可化为y=24kx2-x14k2+3x+kx1x1+x2-8x2-x1+k x1-4x2-x1x2-x1，即y=24kx2-x14k2+3x-24kx2-x14k2+3=24kx2-x14k2+3x-1，所以直线AD恒过点(1，0)．(方法二)设A x1,y1，B x2,y2，直线l的方程为x=my+4，联立方程组x=my+4,3x2+4y2=12消去x得3m2+4y2+24my+36=0，由Δ>0，得m>2或m<-2，所以y1+y2=-24m3m2+4，y1y2=363m2+4．因为点D x2,-y2，则直线AD的方程为y=y1+y2x1-x2x-x1+y1．又x1-x2=my1+4-my2-4=m y1-y2，所以直线AD的方程可化为y=-y1+y2m y2-y1x-my1-4+y1=-y1+y2m y2-y1x+y1+y2my1+4+y1m y2-y1m y2-y1=-y1+y2m y2-y1x+2my1y2+4y1+y2m y2-y1=243m2+4y2-y1x-1，此时直线AD恒过点(1,0)，当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=0，也过点(1，0)．综上，直线AD恒过点(1，0)．6.(2023届安徽省滁州市定远县高三上学期9月月考)设直线x=m与双曲线C:x2-y23=m(m>0)的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形OAB的面积为3．(1)求m的值；(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为M ，F为C的右焦点，若M ，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．【解析】(1)双曲线C:x2-y23=m(m>0)的渐近线方程为y=±3x，则不妨令点A(m,3m),B(m,-3m)，|AB|=23m，而点O到直线AB的距离为m，因此S△OAB=12⋅23m⋅m=3m2=3，解得m=1，所以m=1．(2)由(1)知，双曲线C 的方程为C :x 2-y 23=1，右焦点F (2,0)，因直线l 与x 轴不垂直且斜率不为0，设直线l 与x 轴交于点(t ,0)，直线l 的方程为y =k (x -t )(k ≠0)，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则Mx 1,-y 1 ，由y =k (x -t )x 2-y 23=1消去y 并整理得3-k 2 x 2+2tk 2x -k 2t 2+3 =0，显然有3-k 2≠0且Δ=2tk 2 2+43-k 2 k 2t 2+3 >0，化简得k 2≠3且t 2-1 k 2+3>0，则x 1+x 2=-2tk 23-k 2,x 1x 2=-k 2t 2+33-k 2，FM=(x 1-2,-y 1),FN =(x 2-2,y 2)，而M，F ，N 三点共线，即FM ⎳FN，则-y 1x 2-2 =y 2x 1-2 ，因此-k x 1-t x 2-2 =k x 2-t x 1-2 ，又k ≠0，有x 1-t x 2-2 +x 2-t x 1-2 =0，整理得2x 1x 2-(t +2)x 1+x 2 +4t =0，于是得2⋅-k 2t 2+33-k 2 -(t +2)-2tk 23-k 2+4t =0，化简得t =12，即直线l ：y =k x -12 ，k ≠0过定点12,0 ，所以直线l 经过x 轴上的一个定点12,0 ．7.(2023届江西省智慧上进高三上学期考试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段RS 长度的最小值为2，C 的离心率为22．(1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，P (2,0)，且总存在实数λ∈R ，使得PF=λPA PA +PB PB，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．【解析】(1)由线段RS 长度的最小值为2，得2b 2a=2，又c a =22，所以a 2-b 2a 2=12，解得a 2=2,b 2=1, 所以C 的标准方程为x 22+y 2=1．(2)由PF =λPA PA +PBPB ，可知PF 平分∠APB ，∴k PA +k PB =0．设直线AB 的方程为x =my +t ，A my 1+t ,y 1 ，B my 2+t ,y 2 ，由x =my +t x 2+2y 2=2得m 2+2 y 2+2mty +t 2-2=0，Δ=8m 2-t 2+2 >0，即m 2>t 2-2，∴y 1+y 2=-2mt m 2+2，y 1y 2=t 2-2m 2+2，∴k PA +k PB =y 1my 1+t -2+y 2my 2+t -2=0，∴2my 1y 2+t -2 y 1+y 2 =0，∴2m t 2-2 -t -2 ⋅2mt =0，整理得4m t -1 =0，∴当t =1时，上式恒为0，即直线l 恒过定点Q 1,0 ．8.(2023届山西省高三上学期第一次摸底)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别是F 1-1,0 ，F 21,0 ，点A 0,b ，若△AF 1F 2的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点F 1作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若DE ⋅MN =0，证明：直线PQ 过定点．【解析】(1)由题设c =1，又|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=|A 1F 2|=a ，若内切圆半径为r ，则外接圆半径为2r ，所以12r ×2(a +c )=12×2c ×b ，即r (a +c )=bc ，c 2+(2r -b )2=4r 2，而a 2=b 2+c 2，即a 2=4rb ，综上，a 2(a +c )=4b 2c ，即a 2(a +1)=4b 2=4a 2-4，可得a =2，所以a 2=4，b 2=3，则C :x 24+y 23=1.(2)当直线斜率都存在时，令DE 为x =ky -1，联立C :x 24+y 23=1，整理得：(3k 2+4)y 2-6ky -9=0，且Δ=144(k 2+1)>0，所以y D +y E =6k 3k 2+4，则x D +x E =k (y D +y E )-2=-83k 2+4，故P -43k 2+4,3k3k 2+4，由DE ⋅MN =0，即DE ⊥MN ，故MN 为x =-y k-1，联立C :x 24+y 23=1，所以3k 2+4 y 2+6k y -9=0，有y M +y N =-6k 3+4k 2，则x M +x N=-y M +y N k -2=-8k 23+4k 2，故Q -4k 23+4k 2,-3k3+4k 2 ，所以k PQ =7k 4(k 2-1)，则PQ 为y -3k 3k 2+4=7k 4(k 2-1)x +43k 2+4，整理得k (7x +4)=4(k 2-1)y ，所以PQ 过定点-47,0 ；当一条直线斜率不存在时P ,Q 对应O ,F 1，故PQ 即为x 轴，也过定点-47,0 ；综上，直线PQ 过定点．9.(2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试)已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知D (2,0),E ,F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ⋅DF=0,DG ⊥EF 于G ，证明：存在定点H ，使|GH |为定值.【解析】(1)因为双曲线C 与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线C 的标准方程为x 2-4y 2=λ代入点A 坐标，解得λ=4所以双曲线C 的标准方程为x 24-y 2=1(2)(i )当直线EF 斜率存在时，设EF :y =kx +m ，设E x 1,y 1 F x 2,y 2 ，联立y =kx +m 与双曲线x 24-y 2=1，化简得4k 2-1 x 2+8km x +4m 2+1 =0，Δ=(8km )2-44m 2+4 4k 2-1 >0，即4k 2-m 2-1<0，则有x 1+x 2=-8km4k 2-1x 1x 2=4m 2+44k 2-1，又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，因为DE ⋅DF=x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0，所以k 2+1 ⋅x 1x 2+km -2 ⋅x 1+x 2 +m 2+4=0，所以k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+km -2 ⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0，化简，得3m 2+16km +20k 2=0，即3m +10k m +2k =0，所以m 1=-2k ,m 2=-103k ，且均满足4k 2-m 2-1<0，当m 1=-2k 时，直线l 的方程为y =k x -2 ，直线过定点2,0 ，与已知矛盾，当m 2=-103k 时，直线l 的方程为y =k x -103 ，过定点103,0 (ii )当直线EF 斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE ：y =x -2，与双曲线C 方程联立解得x E =x F =103，此时EF 也过点M 103,0 ，综上，直线EF 过定点M 103,0 .由于DG ⊥EF ，所以点G 在以DM 为直径的圆上，H 为该圆圆心，GH 为该圆半径，所以存在定点H 83,0 ，使GH 为定值23.10.(2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点．(1)求p 的值；(2)是否存在定点T ，使得TA ⋅TB为常数？若存在，求出点T 的坐标及该常数；若不存在，说明理由．【解析】(1)因为F p 2,0 ,P 0,2 ，且点A 恰好为线段PF 中点，所以A p4,1 ，又因为A 在抛物线上，所以12=2p ⋅p4，即p 2=2，解得P =2(2)设T m ,n ，可知直线l 斜率存在；设l ：y =kx +2，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 联立方程得：y 2=22xy =kx +2 ，所以k 2y 2-22y +42=0，所以y 1+y 2=22k ,y 1y 2=42k，又：TA ⋅TB =x 1-m x 2-m )+(y 1-n y 2-n=24y 21-m 24y 22-m +y 1-n y 2-n=18y 21y 22-24m y 21+y 22 +m 2-n y 1+y 2 +n 2=4k 2-24m 8k 2-82k +m 2+42k -22n k +n2=4-22m k 2+4m +42-22n k +m 2+n 2，令4m +42-22n =04-22m =0，解之得：m =2n =4 ，即T 2,4 ，此时TA ⋅TB =m 2+n 2=1811.(2023届江苏省百校联考高三上学期第一次考试)设F 为椭圆C ：x 22+y 2=1的右焦点，过点F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.(1)当BF=2FA 时，求FA ；(2)在x 轴上是否存在异于F 的定点Q ，使k QAk QB为定值(其中k QA ，k QB 分别为直线QA ，QB 的斜率)？若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设直线l 的方程为x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立x =my +1x 2+2y 2=2，得m 2+2 y 2+2my -1=0，又因为BF=2FA ，所以y 1+y 2=-2m m 2+2y 1y 2=-1m 2+2y 2=-2y 1，解得m 2=27，y 1 =2m m 2+2=148，所以FA =1+m 2y 1 =328，即FA =328.(2)假设在x 轴上存在异于点F 的定点Q t ,0 t ≠1 ，使得k QAk QB为定值.设直线AB 的方程为x =my +1，联立x 22+y 2=1x =my +1，得m 2+2 y 2+2my -1=0，则y 1+y 2=-2m m 2+2，y 1y 2=-1m 2+2，所以y 1+y 2=2my 1y 2.所以k QA k QB =y 1x 1-t y 2x 2-t=y 1⋅x 2-t y 2⋅x 1-t =y 1my 2+1-t y 2my 1+1-t =my 1y 2+(1-t )y 1my 1y 2+(1-t )y 2=2my 1y 2+2(1-t )y 12my 1y 2+2(1-t )y 2=(3-2t )y 1+y 2y 1+(3-2t )y 2.要使k QA k QB为定值，则3-2t 1=13-2t ，解得t =2或t =1(舍去)，此时k QAk QB=-1.故在x 轴上存在异于F 的定点Q 2,0 ，使得k QAk QB为定值.12.(2022届辽宁省名校联盟高三上学期12月联考)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，点M (x 0,4)在C 上，且MF =5p2．(1)求点M 的坐标及C 的方程；(2)设动直线l 与C 相交于A ,B 两点，且直线MA 与MB 的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．【分析】(1)利用抛物线定义求出x 0，进而求出p 值即可得解.(2)设出直线l 的方程x =my +n ，再联立直线l 与抛物线C 的方程，借助韦达定理探求出m 与n 的关系，再根据k MA ⋅k MB =1求解.【解析】(1)抛物线C :y 2=2px 的准线：x =-p 2，于是得MF =x 0+p 2=5p 2，解得x 0=2p ，而点M 在C 上，即16=4p 2，解得p =±2，又p >0，则p =2，所以M 的坐标为4,4 ，C 的方程为y 2=4x .(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，直线l 的方程为x =my +n ，由x =my +ny 2=4x消去x 并整理得：y 2-4my -4n =0，则Δ=16m 2+n >0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4n ，因此，k MA ⋅k MB =y 1-4x 1-4⋅y 2-4x 2-4=y 1-4y 214-4⋅y 2-4y 224-4=4y 1+4⋅4y 2+4=1，化简得y 1y 2+4y 1+y 2 =0，即n =4m ，代入l 方程得x =my +4m ，即x -m y +4 =0，则直线l 过定点0,-4 ，所以直线l 过定点0,-4 .13.(2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2.离心率等于63，点P 在y 轴正半轴上，△PF 1F 2为直角三角形且面积等于2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上时，直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.【解析】(1)根据题意，由对称性得△PF 1F 2为等腰直角三角形，且∠F 1PF 2=90°，因为△PF 1F 2的面积等于2，所以F 1F 2 =22，即c =2，因为椭圆C 的离心率等于63，即e =63=2a，解得a =3，所以b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆C 的标准方程为：x 23+y 2=1.(2)由(1)得P 0,2 ，设直线l 的方程为y =kx +m k ≠0 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，因为点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上，所以直线PB 与直线PA 的斜率互为相反数，即k PB +k PA =0，因为k AP =y 1-2x 1,k BP =y 2-2x 2，所以y 1-2x 1+y 2-2x 2=0，整理得x 2(y 1-2)+x 1(y 2-2)=0又因为y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ，所以2kx 1x 2+m -2 x 1+x 2 =0，由y =kx +m x 2+3y 2=3消去y 得(3k 2+1)x 2+6km x +3m 2-3=0,所以Δ>0，即m 2<3k 2+1，x 1+x 2=-6km 3k 2+1,x 1x 2=3m 2-33k 2+1,所以2k ⋅3m 2-33k 2+1+(m -2)⋅-6mk3k 2+1 =0，整理得2k ⋅(3m 2-3)-6mk (m -2)=0,由于k ≠0，故解方程得m =22，此时直线l 的方程为y =kx +22，过定点0,22 所以直线l 恒过定点0,22 .14.(2022届江苏省南通市高三上学期期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a 、b 为正常数)的右顶点为A ，直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，且P 、Q 均不是双曲线的顶点，M 为PQ 的中点．(1)设直线PQ 与直线OM 的斜率分别为k 1、k 2，求k 1·k 2的值；(2)若AM PQ=12，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．【解析】(1)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，因为P 、Q 在双曲线上，所以x 12a 2-y 12b 2=1，x 22a 2-y 22b2=1，两式作差得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2-(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0，即2x 0(x 1-x 2)a 2=2y 0(y 1-y 2)b 2，即y 0(y 1-y 2)x 0(x 1-x 2)=b 2a2，即k 1·k 2=b 2a 2；(2)因为AM PQ=12，所以△APQ 是以A 为直角顶点的直角三角形，即AP ⊥AQ ；①当直线l 的斜率不存在时，设l ：x =t ，代入x 2a 2-y 2b2=1得，y =±bt 2a 2-1，由|t -a |=b t 2a2-1得，(a 2-b 2)t 2-2a 3t +a 2(a 2+b 2)=0，即[(a 2-b 2)t -a (a 2+b 2)](t -a )=0，得t =a (a 2+b 2)a 2-b 2或a (舍)，故直线l 的方程为x =a (a 2+b 2)a 2-b 2；②当直线l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，代入x 2a 2-y 2b2=1，得(b 2-k 2a 2)x 2-2km a 2x -a 2(m 2+b 2)=0，Δ=a 2b 2(m 2+b 2-k 2a 2)>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1+x 2=2km a 2b 2-k 2a 2，x 1x 2=-a 2(m 2+b 2)b 2-k 2a 2；因为AP ⊥AQ ，所以AP ·AQ=0，即(x 1-a ，y 1)·(x 2-a ，y 2)=0，即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+y 1y 2=0，即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0，即(km -a )(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1x 2+m 2+a 2=0，即-2km a 3-k 2a 2b 2-m 2a 2+m 2b 2-k 2a 4b 2-k 2a 2=0，即a 2(a 2+b 2)k 2+2ma 3k +m 2(a 2-b 2)=0，即[a (a 2+b 2)k +m (a 2-b 2)](ak +m )=0，所以k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)或k =-ma ；当k =-m a 时，直线l 的方程为y =-ma x +m ，此时经过A ，舍去；当k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)时，直线l 的方程为y =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)x +m ，恒过定点a (a 2+b 2)a 2-b 2，0，经检验满足题意；综上①②，直线l 过定点a (a 2+b 2)a 2-b 2，0．15.已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，当l ⊥x 轴时，AB=2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点D ，过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P ，直线PF 交抛物线C 于另一点Q .①是否存在定点M ，使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由.②求证：S △QAF ⋅S △QBF 为定值.【解析】(1)当l ⊥x 轴时，易得AB =2p ，所以2p =2，解得p =1，所以抛物线C 的方程为y 2=2x ；(2)①解：易知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x =my +12m ≠0 ，代入抛物线C 的方程y 2=2x ，并整理得y 2-2my -1=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由根与系数的关系得y 1+y 2=2m ，y 1y 2=-1.所以x 1+x 22=my 1+my 2+12=2m 2+12，所以线段AB 的中点N 的坐标为2m 2+12,m ，连接QM ，若四边形AQBM 为平行四边形，则N 是QM 的中点，易知D 0,-12m ，因此P 18m2,-12m ，设直线PQ 的方程为x =ty +12，代入抛物线C 的方程y 2=2x ，整理得y 2-2ty -1=0，所以y P y Q =-12m ⋅y Q=-1， 故y Q =2m ，因此Q 2m 2,2m ，故可得x M =2m 2+12×2-2m 2=1，y M =2m -2m =0，故点M 的坐标为M 1,0 ，因此存在定点M 1,0 ，使得四边形AQBM 为平行四边形；②证明：点Q2m2,2m到直线l:x=my+12的距离d=2m2-m⋅2m-12m2+1=12m2+1，由A x1,y1，F12,0，可得AF =m2+1y1 ，因此S△QAF=12AF⋅d=14y1 ，同理可得S△QBF=14y2 ，所以S△QAF⋅S△QBF=116y1y2=116，为定值.。

圆锥曲线专题——定值定点问题(附解析)

圆锥曲线专题——定值定点问题(附解析)

第1页（共15页）圆锥曲线专题——定值定点问题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且22OA OBb k k a=-，判断AOB ∆的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．【解答】解：（1）椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切，∴b ==又222a b c =+，12c e a ==， 解得24a =，23b =，故椭圆的方程为22143x y +=．()II 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化为222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， △22226416(34)(3)0m k k m =-+->，化为22340k m +->．∴122834mkx x k +=-+，21224(3)34m x x k -=+．22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++=+++=+， 34OA OB k k =-，第2页（共15页）∴121234y y x x =-，121234y y x x =-， 222223(4)34(3)34434m k m k k --=-++，化为22243m k -=，||AB==又11)4d==-=，1||2S AB d ===22342k +=== （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过F 作直线l 与椭圆交于A 、B 两点，问：在x 轴上是否存在点P ，使PA PB 为定值，若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意知1c =，过F 且与x 轴垂直的弦长为3，则223b a =，即222()3a c a -=，则2a =，b∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=；（2）假设存在点P 满足条件，设其坐标为(,0)t ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当l 斜率存在时，设l 方程为(1)y k x =-，联立22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩，整理得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，△0>恒成立．第3页（共15页）2122843k x x k ∴+=+，212241243k x x k -=+． ∴1(PA x t =-，1)y ，2(PB x t =-，2)y ．∴222212121212()()(1)()()PA PB x t x t y y k x x k t x x k t =--+=+-++++22222222(1)(412)()8()(43)43k k k t k k t k k +--++++=+， 2222(485)3(12)43t t k t k --+-=+， 当PA PB 为定值时，2248531243t t t ---=，118t ∴=， 此时223121354364t PA PB t -==-=-． 当l 斜率不存在时，11(8P ，0)，3(1,)2A ，3(1,)2B -．3(8PA =-，3)2，3(8PB =-，3)2-，∴13564PA PB =-， ∴存在满足条件的点P ，其坐标为11(8，0)． 此时PA PB 的值为13564-． 3．已知点(2,1)M 在抛物线2:C y ax =上，A ，B 是抛物线上异于M 的两点，以AB 为直径的圆过点M ．（1）证明：直线AB 过定点；（2）过点M 作直线AB 的垂线，求垂足N 的轨迹方程． 【解答】证明：（Ⅰ）点(2,1)M 在抛物线2:C y ax =上，14a ∴=，解得14a =，第4页（共15页）∴抛物线的方程为24x y =，由题意知，故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立得24x yy kx m⎧=⎨=+⎩，消y 可得2440x kx m --=，得124x x k +=，124x x m =，由于MA MB ⊥，∴0MA MB =，即1212(2)(2)(2)(2)0x x y y --+--=，即121212122()()50x x x x y y y y -++-++=，(*)1212()2y y k x x m +=++，22121212()y y k x x km x x m =+++，代入(*)式得224865k k m m +=-+，即22(22)(3)k m +=-， 223k m ∴+=-，或223k m +=-，即25m k =+，或21m k =-+，当25m k =+时，直线AB 方程为(2)5y k x =++，恒过定点(2,5)， 经验证，此时△0>，符合题意，当21m k =-+时，直线AB 方程为(2)5y k x =++，恒过定点(2,1)，不合题意，∴直线AB 恒过点(2,5)-，（Ⅱ）由（Ⅰ）设直线AB 恒过定点(2,5)R -，则点N 的轨迹是以MR 为直径的圆且去掉(2,1)±，方程为22(3)8x y +-=，1y ≠．第5页（共15页）4．如图已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且过点(0,1)A ．（1）求椭圆的方程；（2）过点A 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 恒过定点P ．并求点P 的坐标．【解答】解：（1）因为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>3，且过点(0,1)A ．所以1b =，3c a =， 所以2a =，1b =所以椭圆C 的方程为：2214x y +=⋯（3分）（2）直线MN 恒过定点3(0,)5P -，下面给予证明：设直线1l 的方程为1y kx =+，联立椭圆方程，消去y 得；22(41)80k x kx ++=，解得222814,4141M M k k x y k k -=-=++ 同理可得：22284,(844N N k k x y k k -==⋯++则直线MN 的斜率22222221441414885414k k k k k k k k k k k ----++'==--++，第6页（共15页）则直线MN 的方程为22221418()41541k k ky x k k k ---=+++，即22222141813()4154155k k k k y x x k k k k ---=++=-++，则直MN 过定点3(0,)5-．故直线MN 恒过定点P 3(0,)5-．⋯（12分）B ．（1）证明：直线AB 过定点；面积．【解答】解：（1）证明：22x y =的导数为y x '=，设切点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，即有2112x y =，2222x y =，切线DA 的方程为111()y y x x x -=-，即为2112x y x x =-，切线DB 的方程为2222x y x x =-，联立两切线方程可得121()2x x x =+，可得121122y x x ==-，即121x x =-， 直线AB 的方程为2112112()2x y y y x x x x --=--， 即为211211()()22x y x x x x -=+-，第7页（共15页）可化为1211()22y x x x =++，可得AB 恒过定点1(0,)2；（2）法一：设直线AB 的方程为12y kx =+， 由（1）可得122x x k +=，121x x =-， AB 中点21(,)2H k k +，由H 为切点可得E 到直线AB 的距离即为||EH ，15||-= 解得0k =或1k =±， 即有直线AB 的方程为12y =或12y x =±+， 由12y =可得||2AB =，四边形ADBE 的面积为12(12)32ABE ABD S S ∆∆+=⨯⨯+=； 由12y x =±+，可得||1444AB =+=，此时1(1,)2D ±-到直线AB11|1|++= 5(0,)2E到直线AB15||-= 则四边形ADBE的面积为142ABE ABD S S ∆∆+=⨯⨯=；法二：（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+．第8页（共15页）由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是122x x t +=，121x x =-，21212()121y y t x x t +=++=+，212|||2(1)AB x x t =-=+．设1d ，2d 分别为点D ，E 到直线AB的距离，则1d =2d =因此，四边形ADBE的面积2121||()(2S AB d d t =+=+． 设M 为线段AB 的中点，则21(,)2M t t +．由于EM AB ⊥，而2(,2)EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以2(2)0t t t +-=．解得0t =或1t =±．当0t =时，3S =；当1t =±时，S =综上，四边形ADBE 的面积为3或（1）求椭圆方程；（2）过直线2y =上的点P 作椭圆的两条切线，切点分别为B ，C ①求证：直线BC 过定点； ②求OBC ∆面积的最大值；【解答】（1）解：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点(2,1)A ，离心率e =，第9页（共15页）∴22411a b +=，c a = 28a ∴=，22b =，∴椭圆方程为22182x y +=；（2）①证明：设0(P x ，2)，1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，则切线11:182x x y y PB +=，22:182x x y y PC +=， 0(P x ，2)代入，可得直线BC 的方程为018x xy +=， ∴直线BC 过定点(0,1)；②018x xy +=代入椭圆方程可得2200(1)4016x x x x +--=， 0122116x x x x∴+=+，12204116x x x -=+，1201||2OBCS x x ∆∴=-=， 令2016u x =+，则1216OBC S ∆=，OBC ∴∆面积的最大值为2．（1）求抛物线C 的方程；（2）动直线:1()l x my m R =+∈与抛物线C 相交于A ，B 两点，问：在x 轴上是否存在定点||||DA DBDA DB +与向量OD 共线（其中存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．第10页（共15页）【解答】解：（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(2p，0)， 准线方程为2px =-， 即有05||22p pPF x =+=，即02x p =， 则2164p =，解得2p =，则抛物线的方程为24y x =；（2）在x 轴上假设存在定点(,0)D t （其中0)t ≠，使得||||DA DB DA DB +与向量OD 共线， 由||DA DA ，||DBDB 均为单位向量，且它们的和向量与OD 共线， 可得x 轴平分ADB ∠， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立1x my =+和24y x =，得2440y my --=，△216(1)0m =+>恒成立．124y y m +=，124y y =-．①设直线DA 、DB 的斜率分别为1k ，2k ， 则由ODA ODB ∠=∠得，第11页（共15页） 121221121212()()()()y y y x t y x t k k x t x t x t x t -+-+=+=---- 122112121212(1)(1)2(1)()()()()()y my t y my t my y t y y x t x t x t x t +-++-+-+==----， 12122(1)()0my y t y y ∴+-+=，②联立①②，得4(1)0m t -+=，故存在1t =-满足题意，综上，在x 轴上存在一点(1,0)D -，使得x 轴平分ADB ∠， 即||||DA DB DA DB +与向量OD 共线． 8．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；率均存在且斜率之和为2-，证明：直线l 过定点．【解答】解：（1）由圆22:(2)1M x y ++=，可知圆心(2,0)M -，半径1；圆22:(2)49N x y -+=，圆心(2,0)N ，半径7．设动圆的半径为R ，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，||||1(7)8PM PN R R ∴+=++-=， 而||4NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为半长轴长的椭圆， 4a ∴=，2c =，22212b a c =-=．∴曲线C 的方程为2211612x y +=．第12页（共15页）（2）证明：直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为：x t =，(44)t -． 1(,)A t y ，2(,)B t y ，120y y +=．2AQ BQ k k +====-．解得t =此时直线l的方程为：x =．直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y kx m =+，．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 联立2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为：222(34)84480k x kmx m +++-=． 则122834km x x k +=-+，212244834m x x k -=+，12122AQ BQ y y k k x x --+=+=-，11y kx m =+，22y kx m =+．化为：1212(22)()0k x x m x x ++-+=，代入化为：k =∴直线l的方程为：y m =+．第13页（共15页）令23x =，可得23y =-．可得直线l 过定点(23，23)-．9．如图，椭圆222:1(02)4x y E b b+=<<，点(0,1)P 在短轴CD 上，且2PC PD =- （Ⅰ）求椭圆E 的方程及离心率；（Ⅱ）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ+为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．第14页（共15页）【解答】解：（Ⅰ）由已知，点C ，D 的坐标分别为(0,)b -，(0,)b ． 又点P 的坐标为(0,1)，且2PC PD =-，即212b -=-， 解得23b =．∴椭圆E 方程为22143x y +=． 221c a b =-，∴离心率12e =； （Ⅱ）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为1y kx =+，A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ．联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(43)880k x kx ++-=． 其判别式△0>，122843k x x k -+=+，122843x x k -=+． 从而，12121212[(1)(1)]OA OB PA PB x x y y x x y y λλ+=+++-- 21212(1)(1)()1k x x k x x λ=+++++22228(1)(1)4342234343k k k k λλλ-++-+-==--++，第15页（共15页）当2λ=时，24223743k λλ---=-+， 即7OA OB PA PB λ+=-为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ， 此时2347OA OB PA PB OC OD PC PD λ+=+=--=-， 故存在常数2λ=，使得OA OB PA PB λ+为定值7-．。

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第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题
一、直线恒过定点问题
例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2
:4C x y =的切线,EA EB ， 切点为
A 、
B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标；
解：设),2,(-a E )4,(),4,(2
22211x x B x x A ，x y x y 2
1
4'2=∴=
,
)(21
41121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(2
1
421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x
同理可得：2
22280x ax --=
8
,2082,2121221-=⋅=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程
)2
4,(2+a a AB 中点为可得，又22
12
121212124442
AB
x x y y x x a k x x x x -
-+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2
a
y x AB =+∴即过定点0,2.
例2、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012
x x
y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒
过一定点G ，求点G 的坐标。

解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n
则0000001
212022x n
m y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩，解得3200020432
0000
2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩
∴ 直线PN 的斜率为4320000032
00004288
2(34)
n y x x x x k m x y x x -++--==---+
从而直线PN 的方程为： 432000000320004288
()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+
即32000432
00002(34)
14288
y x x x y x x x x --+=+++-- 从而直线PN 恒过定点(1,0)G 二、恒为定值问题
例3、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为
2
2
，P 是椭圆在第一 象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭 圆于A 、B 两点。

（1）求P 点坐标；
（2）求证直线AB 的斜率为定值；
解：（1）设椭圆方程为22
221y x a b
+=，由题意可得
2,2,22a b c ===，所以椭圆的方程为22
142
y x +=
则12(0,2),(0,2)F F -，设
0000(,)(0,0)P x y x y >> 则100200(,2),(,2),PF x y PF x y =--=---
22
1200(2)1PF PF x y ∴⋅=--=
点00(,)P x y 在曲线上，则2200 1.24x y += 2
2
0042
y x -∴= 从而2
2
004(2)12
y y ---=，得02y =，则点P 的坐标为(1,2)。

（2）由（1）知1//PF x 轴，直线PA 、PB 斜率互为相反数，
设PB 斜率为(0)k k >，则PB 的直线方程为：2(1)y k x -=-
由222(1)124y k x x y ⎧-=-⎪⎨+
=⎪⎩
得222
(2)2(2)(2)40k x k k x k ++-+--=
设(,),B B B x y 则22(2)222
1B k k k k x ---=-= 同理可得222222A k k x k +-=+，则2
422A B k
x x k
-=+ 2
8(1)(1)2A B A B k
y y k x k x k
-=----=+ 所以直线AB 的斜率2A B
AB A B
y y k x x -=
=-为定值。

例4、已知动直线(1)y k x =+与椭圆22
:
155
3
x y C +=相交于A 、B 两点,已知点 7
(,0)3
M -
， 求证：MA MB ⋅为定值. 解: 将(1)y k x =+代入
22
155
3
x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-= 4
2
2
2
364(31)(35)48200k k k k ∴∆=-+-=+>，
2122631k x x k +=-+，2122
35
31
k x x k -=+ 所以112212127777
(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=+
+=+++ 2121277
()()(1)(1)33
x x k x x =+++++
2221212749
(1)()()39
k x x k x x k =++++++
222
2
22
2357649(1)()()313319
k k k k k k k -=+++-++++ 422
2316549319k k k k ---=+++49
=。

课后作业：
1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2
2:13
x C y +=.如图所示，斜率为(0)k k ＞且不 过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ， 射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点
(3,)D m -.
（Ⅰ）求22m k +的最小值；
（Ⅱ）若2
OG OD =∙OE ，求证：直线l 过定点； 解：（Ⅰ）由题意:设直线:(0)l y kx n n =+≠,
由22
13
y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得:222
(13)6330k x knx n +++-=, 2
2
2
2
364(13)3(1)∆=-+-k n k n ×2
2
12(31)0k n =+-> 设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ,AB 的中点E 00(,)x y ,则由韦达定理得:
12x x +=
2613kn k -+,即02313kn x k -=+,00
2
313kn y kx n k n k -=+=⨯+=+213n
k +, 所以中点E 的坐标为23(
,13kn k -+2
)13n
k +, 因为O 、E 、D 三点在同一直线上，
所以OE OD k K =，即133
m k -
=-， 解得1m k =，
所以22m k +=
221
2k k
+≥,当且仅当1k =时取等号, 即22m k +的最小值为2. （Ⅱ）证明:由题意知:n>0,因为直线OD 的方程为3
m
y x =-,
所以由223
1
3
m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得交点G
的纵坐标为G y = 又因为2
13E n y k =+,D
y m =,且2
OG OD =∙OE ，所以222313m n m m k =⋅++, 又由（Ⅰ）知: 1
m k
=
,所以解得k n =,所以直线l 的方程为:l y kx k =+, 即有:(1)l y k x =+, 令1x =-得,y=0,与实数k 无关,
所以直线l 过定点(-1,0).
2. 已知点N 为曲线2
4(0)y x x =>上的一点， 若(4,0)A ，是否存在垂直x 轴的直线l 被以AN 为直
径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线l 的方程；若不存在， 请说明理由． 解：设AN 的中点为B ，垂直于x 轴的直线方程为x a =， 以AN 为直径的圆交l 于,C D 两点，CD 的中点为H ．
2211
(4)22CB AN x y =
=-+，
412422x BH a x a +=-=-+
222
22211[(4)](24)44CH CB BH x y x a ∴=-=-+--+
221
[(412)416](3)44a x a a a x a a =--+=--+
所以，令3a =，则对任意满足条件的x ，
都有2
9123CH =-+=（与x 无关）， 即23CD =为定值．。

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