戴华《矩阵论》 第一章线性空间与内积空间
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矩阵论-线性代数引论
限维空间，记dim V= ∞.
无限维空间很多，如
n
K={ ai i | ai Q, n N}, （为圆周率） i0
K为Q上的无限维线性空间.
设V是数域F上得线性空间， x1, , xr V ,若满足
1)x1, , xr线性无关, 2)V中任一x均可由x1, , xr线性表示. 则称x1, , xr为V的一个基底（基）.
二、维数，基底与坐标
设V为F上线性空间,xi V (i 1, , m), x V .若有ci F,
使得
x
=c 1
x1
c 2
x2
c m
xm
,
则称
x为
x1,
, xm的线性
组合,或者说x可由 x1, , xm线性表示.如果存在一组不
m
全为零的数k1, , km ,使得 ki xi ,则称向量组x1, , i 1
m
xm线性相关;否则称线性无关, 即若 ki xi ,则 i 1
k1 km 0.
线性无关组的任一子集是线性无关的，线性相关组的 任一扩展集仍线性相关.
维数：线性空间V中不同线性无关组中向量个数不
一定相同，向量个数最大者叫做V的维数，记为 dimV. 当dim V< ∞, 称 V 为有限维空间，否则为无
下都构成加群.
数域：若一个数集中任意两个数的和， 差，积，商（除数不为0）仍在该数集 中，则称该数集为数域.
如：有理数域，实数域，复数域等
线性空间：设(V, +)是一个加群，F 是一个数域，若 有 F 对 V 的数乘规则，使得 F,u V , 有V中唯
一元与之对应，记为 u ，且此规则满足：
3)存在零元 V 使得 u V , u u; 4)u V , 存在V中唯一负元-u,使得u+(-u)= .
无限维空间很多，如
n
K={ ai i | ai Q, n N}, （为圆周率） i0
K为Q上的无限维线性空间.
设V是数域F上得线性空间， x1, , xr V ,若满足
1)x1, , xr线性无关, 2)V中任一x均可由x1, , xr线性表示. 则称x1, , xr为V的一个基底（基）.
二、维数，基底与坐标
设V为F上线性空间,xi V (i 1, , m), x V .若有ci F,
使得
x
=c 1
x1
c 2
x2
c m
xm
,
则称
x为
x1,
, xm的线性
组合,或者说x可由 x1, , xm线性表示.如果存在一组不
m
全为零的数k1, , km ,使得 ki xi ,则称向量组x1, , i 1
m
xm线性相关;否则称线性无关, 即若 ki xi ,则 i 1
k1 km 0.
线性无关组的任一子集是线性无关的，线性相关组的 任一扩展集仍线性相关.
维数：线性空间V中不同线性无关组中向量个数不
一定相同，向量个数最大者叫做V的维数，记为 dimV. 当dim V< ∞, 称 V 为有限维空间，否则为无
下都构成加群.
数域：若一个数集中任意两个数的和， 差，积，商（除数不为0）仍在该数集 中，则称该数集为数域.
如：有理数域，实数域，复数域等
线性空间：设(V, +)是一个加群，F 是一个数域，若 有 F 对 V 的数乘规则，使得 F,u V , 有V中唯
一元与之对应，记为 u ，且此规则满足：
3)存在零元 V 使得 u V , u u; 4)u V , 存在V中唯一负元-u,使得u+(-u)= .
矩阵论第1章
例 1.1.4 在实数域上，m n 矩阵全体 R mn 按照通常矩阵 的加法，数与矩阵的乘法构成一个线性空间.
线性空间的三个重要例子：
P n , P[ x]n , P mn
1.1.2线性空间的性质
1 线性空间中零元素是唯一的．
2 线性空间中任一元素的负元素是唯一的．
3 0 0 ， (1) ， k 0 0 ．
向量组之间的等价关系具有如下性质． （1）反身性 每一个向量组都与它自身等价； （2）对称性 如果向量组 1 , 2 ,, m 与 1 , 2 ,, s 等价，则 向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, m 等价； （3）传递性 如果向量组 1 , 2 ,, m 与 1 , 2 ,, s 等价，且 向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, t 等价，则向量组 1 , 2 ,, m 与
（2）(加法结合律) ( ) ( ) ；
（3）(有零元)在 V 中存在元素 0 ，使对任何 V ，都 有 0 ，称 0 为零元素； （ 4 ） ( 有 负 元 ) 对 任 何 V ， 都 有 元 素 V ， 使
0 ，称 为 的负元素，记为 ；
所以 在基 1 , 2 , , n 下的坐标为 (a1 , a 2 a1 , , a n a n 1 ) ．
T
例 1.2.7 求线性空间 P[ x]n 的一个基、维数以及向量 p 在该基下的坐标．
容易看出，在线性空间 P3 x 2 ,, p n x n1 , p n 1 x n ，
T
例1.2.6 在 R n 中如下的 n 个向量
1 (1,1,1,,1), T 2 (0,1,1,,1) T , ， n (0,0,,0,1) T
戴华《矩阵论》线性空间与内积空间PPT精品文档
组 Ax 的一个基础解系， 为 Ax b 的一
个特解。
.
15
.
16
向量的线性相关性：
线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、 线性相关、线性无关、秩等定义和结论都可以推 广到一般线性空间。
.
17
.
18
.
19
.
20
.
21
证明：取k1 ，k2 ，k3∈R， 令 k11+k22+k33
k 1 1 00 0 k2 1 11 0 k3 1 01 0 0 00 0 则有k1-k2=0, k2 +k3=0
( B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ) ( E 1 1 ,E 1 2 ,E 2 1 ,E 2 2 ) C 2
.
38
从而 ( B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ) ( E 1 1 ,E 1 2 ,E 2 1 ,E 2 2 ) C 2
(A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4)C 1 1 C 2
.
32
由题， 在基 1,2,3下的坐标为 x(3,2,4)T
而且，基 1,2,3 到基 1,2,3的过渡矩阵为
1 2 4
所以
P
0
1
4
0 0 1
1 2 4 3 2 3
y P1x 0
1
4 2
1
8
0 0 1. 4 4
33
例1.3.5 已知矩阵空间 R 2 2 的两组基：
1 0
（a,bR）都有a+bi=(1,i)( a ),所以(a,b) T即为k的坐
标。
b
.
30
例 1.3.2 实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1
个特解。
.
15
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向量的线性相关性：
线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、 线性相关、线性无关、秩等定义和结论都可以推 广到一般线性空间。
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证明：取k1 ，k2 ，k3∈R， 令 k11+k22+k33
k 1 1 00 0 k2 1 11 0 k3 1 01 0 0 00 0 则有k1-k2=0, k2 +k3=0
( B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ) ( E 1 1 ,E 1 2 ,E 2 1 ,E 2 2 ) C 2
.
38
从而 ( B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ) ( E 1 1 ,E 1 2 ,E 2 1 ,E 2 2 ) C 2
(A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4)C 1 1 C 2
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32
由题， 在基 1,2,3下的坐标为 x(3,2,4)T
而且，基 1,2,3 到基 1,2,3的过渡矩阵为
1 2 4
所以
P
0
1
4
0 0 1
1 2 4 3 2 3
y P1x 0
1
4 2
1
8
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33
例1.3.5 已知矩阵空间 R 2 2 的两组基：
1 0
（a,bR）都有a+bi=(1,i)( a ),所以(a,b) T即为k的坐
标。
b
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30
例 1.3.2 实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1
矩阵论第一章
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为 集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
元素 a 不属于集合 M , 记作
a M
(或
a M ) .
表示法：
(1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 .
例: 有限集合 A a1 , a2 , , an
实质：二元关系是描述两个集合之间元素与元素 的关系或者是一个集合内部两个元素之间的关系， 它是满足某种规律的有序对全体。
例 1：
A与B之间是一个住宿关系。
设A {甲，乙，丙，丁}(四个人），B {1, 2,3} （三套房间），
显然，R {(甲，1),(乙，3),(丁，3),(丙，2)} A B
逆映射与复合映射
1.1.8 逆映射的定义
定义: 设有映射 使 称此映射 g为 f 的逆映射 , 习惯上 计为 f 1. 若f有逆映射，则称f可逆. 例如, 映射
A
f
f 1
若存在一新映射
B
其逆映射为
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定理1.1.4 设映射f :A→B是可逆的，则f 的逆 映射 f 1 是唯一的。
实数集合
R x x 为有理数或无理数
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2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B
若 A B 且 B A 则称 A 与 B 相等, 记作 A B . 例如 , , ,
戴华《矩阵论》习题答案
第一章第一章第6题实数域R 上的全体n 阶对称（反对称）矩阵，对矩阵的加法和数量乘法。
解：实数域R 上的全体n 阶矩阵，对矩阵的加法和数量乘法构成R 上的线性空间n n R ⨯,记 {}{}A A R A A W A A R A A V T n n T n n -=∈==∈=⨯⨯,/;,/ 以为，对任意的,,,,B B A A V B A T T ==∈则(),B A B A T+=+即V B A ∈+,所以V 对加法运算是封闭的；对任意的A A R k V A T =∈∈,,,则(),,V kA kA kA T∈=即所以V 对数乘运算封闭；所以，V 是n n R ⨯的一个线性子空间，故V 构成实数域R 上的一个线性空间。
同理可证，W 也是一个线性空间。
P41第一章第8题(参考P10例题 1.2.5) 证明：存在1k ,2k ,3k ,4k 使得112233440k k k k αααα+++=即11111k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+21101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+31110k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+41011k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0 解12341231341240000k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ 得12340k k k k ====所以1α，2α，3α，4α线性无关P42第1章第12题解：因为A=x 1α1+x 2α2+x33α+x 4α4即x 1+x 2+x 3+x 4=1x 1+x 2+x 3=2x 1+x 3+x 4=-2x 1+x 2+x 4=0⇒x 1=-2x2=3x 3=1 x 4=-1所以A 的坐标为[x 1,x 2,x 3,x 4]T=[-2,3,1,-1]TP42第一章第13题 答案 f(x)=3+1-n 2x ( 泰勒展开))(f x '=2(n-1)2-n x(x)f ''=2(n-1)(n-2)3-n x ……)1(f -n (x)=2(n-1)! )(f n (x)=0f(1)=5 )1(f '=2(n-1) (1)f ''=2(n-1)(n-2) …… )1(f -n (1)=2(n-1)!f(x)=f(1)+ )1(f '(x-1)+!21(1)f ''2)1(-x +……+)!1(1-n )1(f -n (1)1)1(--n x =5+2(n-1)(n-2)+!2)2)(1(2--n n 2)1(-x +……+)!1()1(2--n n ！1)1(--n x=5+211-n C (x-1)+221-n C 2)1(-x +……+211--n n C 1)1(--n x 取f(x)=3+1-n 2x在基1, (x-1), 2)1(-x , ……,1)1(--n x 下的坐标为（5 , 211-n C , 221-n C ,…… , 211--n n C T ) 教材P42习题14：求基T )0,0,0,1(1=α，T )0,0,1,0(2=α，T )0,1,0,0(3=α，T)1,0,0,0(4=α，到基T )1,1,1,2(1-=β，T )0,1,3,0(2=β，T )1,2,3,5(3=β，T )3,1,6,6(4=β的过度矩阵，确定向量Tx x x x ),,,(4321=ξ在基1β，2β，3β，4β，下的坐标，并求一非零向量，使它在这两组基下的坐标相同。
矩阵理论第一章线性空间与线性变换13
x1 y1, x2 y2 ,, xn yn
反之，任给一组有序数组 x1, x2 ,, xn ,总有唯一的元素 可由
1,2 ,,n 线性表示为：
x11 x22 xnn Vn
事实上， 若有 x11 xnn则 ＝；
从而可知，若1,2 ,,n 为 Vn 的一个基，则 Vn
中元素的全体可表示为：
Vn＝{ x11 x22 xnn x1, x2 ,, xn R}
由此可见，V中的元素 与有序数组 x1, x2 ,, xn 之间
构成一一对应关系。因此，可用这组有序数表示
由此可得下面定义3。
定义3 设1,2 ,,n为线性空间 Vn 的一个基，对于任一向量 Vn，有且仅有一组有序数 x1, x2 ,, xn，使得：
一个线性空间，这个线性空间我们常用 Pn 来表示。 当 P为复数域 C 时，上述线性空间称为 n 元复向量空间，记作 C n ; 当 P 为实数域 R 时，上述线性空间称为 n 元实向量空间，记作 Rn.
例1 复数域 C 上次数不超过 n 的一元多项式全体 Cn[x],
按通常多项式加法和数与多项式乘法，构成一个复数域C上的
线性空间，记为
Cn[x] { f (x) an xn an1xn1 a1x a0 | an ,, a1, a0 C}.
对于通常的多项式加法，数乘多项式两种运算显然满足线性运算规律， 且对运算封闭：
f1 (x) f2 (x) (an xn a1x a0 ) (bn xn b1x b0 )
(an xn a1x a0 ) (an )xn (a1)x a0 Cn[x]
所以 Cn[x] 是一个线性空间。
例2 n 次多项式的全体
Qn[x] {an xn an1xn1 a1x a0} | an ,, a1, a0 P
反之，任给一组有序数组 x1, x2 ,, xn ,总有唯一的元素 可由
1,2 ,,n 线性表示为：
x11 x22 xnn Vn
事实上， 若有 x11 xnn则 ＝；
从而可知，若1,2 ,,n 为 Vn 的一个基，则 Vn
中元素的全体可表示为：
Vn＝{ x11 x22 xnn x1, x2 ,, xn R}
由此可见，V中的元素 与有序数组 x1, x2 ,, xn 之间
构成一一对应关系。因此，可用这组有序数表示
由此可得下面定义3。
定义3 设1,2 ,,n为线性空间 Vn 的一个基，对于任一向量 Vn，有且仅有一组有序数 x1, x2 ,, xn，使得：
一个线性空间，这个线性空间我们常用 Pn 来表示。 当 P为复数域 C 时，上述线性空间称为 n 元复向量空间，记作 C n ; 当 P 为实数域 R 时，上述线性空间称为 n 元实向量空间，记作 Rn.
例1 复数域 C 上次数不超过 n 的一元多项式全体 Cn[x],
按通常多项式加法和数与多项式乘法，构成一个复数域C上的
线性空间，记为
Cn[x] { f (x) an xn an1xn1 a1x a0 | an ,, a1, a0 C}.
对于通常的多项式加法，数乘多项式两种运算显然满足线性运算规律， 且对运算封闭：
f1 (x) f2 (x) (an xn a1x a0 ) (bn xn b1x b0 )
(an xn a1x a0 ) (an )xn (a1)x a0 Cn[x]
所以 Cn[x] 是一个线性空间。
例2 n 次多项式的全体
Qn[x] {an xn an1xn1 a1x a0} | an ,, a1, a0 P
矩阵论第一章
k1 , k2 ,L, kr ∈ P ，使得
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
线性相关的 则称向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 为线性相关的；
不是线性相关的 （4）如果向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 不是线性相关的，即 ）
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
上零多项式作成的集合， 上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘 上的一个线性空间， 表示． 法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示． 上的一个线性空间
P [ x ]n = { f ( x ) = a n − 1 x n − 1 + L + a 1 x + a 0 a n − 1 ,L , a 1 , a 0 ∈ P }
+ ∀a ∈ R + , ∀k ∈ R, k o a = a k ∈ R,且 ak 唯一确定． 唯一确定．
其次， 其次，加法和数量乘法满足下列算律 ① a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a ② (a ⊕ b) ⊕ c = (ab) ⊕ c = (ab)c = a(bc) = a ⊕(bc) = a ⊕(b ⊕ c)
二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的. 、零元素是唯一的
证明：假设线性空间 有两个零元素 有两个零元素0 证明：假设线性空间V有两个零元素 1、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 α ∈V ，的负元素是唯一的，记为- α ． 、 的负元素是唯一的，记为∀
证明： 证明：假设α 有两个负元素 β、γ ，则有
k ,α 的数量乘积 并记做 kα , 如果加法和数量乘法 的数量乘积,并记做
【矩阵论】第1,2章 线性空间与线性变换内积空间
六、基变换和坐标变换
讨论：
不同的基之间的关系 同一个向量在不同基下坐标之间的关系
1 基变换公式 {1 , 2 ,..., n } 设空间中有两组基：{1 , 2 ,..., n }
过渡矩阵C的性质： C为可逆矩阵
则(1 , 2 ,..., n ) (1 , 2 ,..., n )Cnn
子集合：设 S1与S2 表示两个集合，如果集合
都是集合 S 2 的元素，即由 a S1 a S2 ， 那么就称 S1是S2 的子集合，记为
S1 S 2或S 2 S1
相等：即
S1 S2且S1 S2 S1 S2
集合的交： S1 S2 x x S1且x S2 集合的并： S1 S2 x x S1或x S2
3 1 在基{E } ij 4 5
例2 设空间F[x]4的两组基为： {1，x，x2，x3}和 {1，（ x - 1）1，（ x - 1）2，（ x - 1）3} 求f（x）=2+3x+4x2+x 3在这两组基下的坐标。
归纳： 有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和 一个实际的 R n 元素对应起来，从而将抽象具体化 进行研究。
线性空间的一般性的观点：
线性空间的简单性质（共性）： （1） V中的零元素是惟一的。 （2） V中任何元素的负元素是惟一的。 数0 （3）数零和零元素的性质： 0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0 （ 4） = （ 1）
向量0
三、向量组的探讨（Review)
向量的线性相关与线性无关：
子空间本身就是线性空间。 子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方 法
子空间和非子空间的例子： V={x=(x1，x2，0｝R 3， V={x=(x1，x2，1｝R 3，
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这说明，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征。在 同构的意义下，n维向量空间Pn并不只是线性空间V 的一 个特殊例子，而是所有的n维线性空间的代表。即每一个
1 0 C1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0
而基 ( III ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵为
1 1 C2 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
所以
( A , A2 , A3 , A4 ) ( E11 , E12 , E21 , E22 )C1 1 ( B1 , B2 , B3 , B4 ) ( E11 , E12 , E21 , E22 )C2
dim(V1 V2 ) dim(V1 ) dim(V2 ) dim(V1 V2 ).
在维数公式中，和空间的维数不大于子空间维数之和。那么何时等号成立呢？
V1 , V2 是数域 P 上线
性空间 V 的两个有限维子空间，则它们的交 与和
例1.4.6 设 S , K 分别是 n 阶实对称矩阵和反对称矩阵 的全体。显然容易证明 S , K 均为线性空间 R nn 的子
( III )
显然
1 A1 0 0 E11 E22 1 1 0 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 0 1
类似地，
1 A2 0 0 E11 E22 1 1 0 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 0 1 0 1 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 1 0
证明：
1 0 取1= 0 0
0 1 3= 0 0 2= 0 1 1 0
则1,2,3线性无关. 对线性空间V中的任一向量可表示成
a11 a12 A= a a =a11 1 +a12 2 +a22 3 12 22
理解线性空间和内积空间的概念 掌握子空间与维数定理 了解线性空间和内积空间同构的含义 掌握正交基及子空间的正交关系 掌握Gram-Schmidt正交化方法
线性空间是线性代数最基本的概念之一，
是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向量空
间在元素和线性运算上的推广和抽象。
线性空间中的元素可以是向量、矩阵、 多项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉的 一般运算，也可以是各种特殊的运算。
求 V1 V2 、V1 V2 的基与维数。
解 设 V1 V2
所以可令 解关于
，则
V1， V2
k11 k2 2 = l11 l2 2
k1 , k2 , l1 , l2 的齐次方程组，得
5 2 k1 0, k2 l2 , l1 l2 3 3 5 = k1 1 k2 2 l2 2 . 3
（或值域）,记为R(A)或Im(A)。
即R(A)={y|y=Ax,xRn}
注：判定非空集合是否为线性空间，要验算
运算的封闭性，以及8条运算律，相当地麻烦。
至于判定线性空间的子集是否为线性子空间，
则很方便.
下面考虑两个子空间的运算：
注意：线性空间V的两个子空间的V1,V2并一般不是V 的子空间；
间{0}和V本身。
实数域 R上的线性空间 R nn 中全体上
例1.4.2
三角矩阵集合，全体下三角矩阵集合，全体反对 称矩阵集合分别都构成
R
nn
的子空间。
例1.4.3 设ARmn，记A={a1,a2,…an},其中aiRm，则
k1a1+k2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2…+knan是Rm的子空间，称为矩阵A的列空间
( II )
1 1 B3 , 0 0 求基 ( I ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵。
解
引入 R 22 的标准基：
E11 E 21 1 0 0 1 0 , 0 0 , 0 E12 E 22 0 0 0 0 1 , 0 0 1
从而
( B1 , B2 , B3 , B4 ) ( E11 , E12 , E21 , E22 )C2
( A , A2 , A3 , A4 )C1 1C2 1
因此基 ( I ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵为
2 0 1 1 C C1 C2 22 0 1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 . 0 0
0 A3 1
1 E12 E21 0
0 A4 1
1 E12 E21 0
0 1 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 1 0
则基 ( III ) 到基 ( I ) 的过渡矩阵为
1 , 2 , 1 , 2
的极大无关组，所以它也是
V1 V2 的基，故 dim(V1 V2 ) 3.
注意到例 1.4.5 中
dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ) dim(V1 ) dim(V2 ).
这并不是偶然的。 定理1.4.7（维数公式） 设 都是有限维的，并且
即A可由1,2,3线性表出。所以 Dim（V）=3
注: （1）若把线性空间V 看作无穷个向量组成的向 量组，那么 V 的基就是向量组的极大无关组, V 的 维数就是向量组的秩. （2）个数与线性空间 V 的维数相等的线性无 关组都是 V 的基.
例1.3.1 线性空间 C 是实数域 R 上的二维空间， 其基可取为 {1, i } ，即C中任一复数k=a+bi a （a,bR）都有a+bi=(1,i)( ),所以(a,b) T即为k的坐 b 标。
例 1.3.2
实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1
是 基底， R [x]n的维数为 n。
例1.3.3 实数域 R上的线性空间
R
nn
的维数为
nn，标准基为Eij：（i=1,2…n;j=1,2…n） 第i行第j列的元素为1，其它的都为0。
例1.3.4 在线性空间 P[ x] 中，显然 3
因此
所以
V1 V2 的基为 2 ，维数为 dim(V1 V2 ) 1.
由例1.4.4 由前得
V1 V2 span(1 , 2 , 1 , 2 )
5 2 0 1 l2 2 l 2 1 l 2 2 3 3 5 2 即 2 0 1 2 1 3 3 然而 1 , 2 , 1 线性无关，这样 1 , 2 , 1 是
例4 次数不超过 n 的所有实系数多项式按通常多项 式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间 R[ x]n
例5
集合 V { x x [ x1 , x2 ,1] , x1 , x2 R} 不是
T
一个线性空间。因为加法不封闭。
例6
线性非齐次方程组 Ax b 的解集
n mn
V { R | C11 Cnrnr , A R
由题， 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为
1 2 4 P 0 1 4 0 0 1
x (3, 2,4)
T
而且，基 1 , 2 , 3 到基 1 , 2 , 3 的过渡矩阵为
所以
1 0 1 yP x 0
令 k11+k22+k33
1 0 1 0 0 0 0 0 k1 0 0 k 2 1 1 k3 1 1 0 0
则有k1-k2=0, k2 +k3=0 该方程组有非零解，所以1,2,3线性相关.
例1.4.4 设 V1 , V2 是线性空间 V 的子空间，且
V1 span(1 , , s ), V2 span( 1 , , t ),
则
V1 V2 span(1 ,, s , 1 ,, t )
证明
由子空间和的定义，有
V1+V2=span(1,2…s)+span(1, 2…t) ={(k11+k22…+kss)+(l11+l2 2…+ ltt)| ki,lj P}
1 1, 2 x, 3 x
是 P[ x]3 的一组基，此时多项式
2
3 2x 4 x2
在这组基下的坐标就是
(3, 2, 4)T .
2
证明 1 1, 2 ( x 2), 3 ( x 2) 也是 P[ x]3 的基,并求 1 , 2 , 3 及 在此基下的坐标。
}
不构成线性空间，这里 1 ,, n r 是对应齐次方程
组 Ax 的一个基础解系， 为 Ax b 的一 个特解。
向量的线性相关性：
线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、 线性相关、线性无关、秩等定义和结论都可以推 广到一般线性空间。
证明：取k1 ，k2 ，k3∈R，
=span(1,2…s,1, 2…t)
例1.4.5
设
1 (2,1, 3,1) , 2 (1,1, 3,1) ,
T T T T
1 (4,5, 3, 1) , 2 (1,5, 3,1) ,
V1 span(1 , 2 ),V2 span( 1 , 2 ).
空间。试证明 Rnn S K
证明：因为任意实方阵可以分解为一个实对称矩阵
和一个实反对称矩阵的和，即
1 ( A AT ) 1 ( A AT ), A 2 2
又
nn 2
A R
nn
dim( R ) n n( n 1) / 2 n( n 1) / 2 dim( S ) dim( K ) , 根据定理1.4.9可知结论成立。