线性代数第六章 线性空间及线性变换
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间是线性代数的一个重要概念，扮演着理解线性变换的基础角色。
本文将介绍线性空间的定义、性质以及线性变换的概念和特性。
一、线性空间的定义与性质线性空间，也被称为向量空间，是指一个集合，其中包含一些向量，满足特定的性质。
具体而言，线性空间需要满足以下几个条件：1. 封闭性：对于线性空间中的任意两个向量，它们的线性组合也属于该空间。
即，如果向量a和向量b属于线性空间V，那么对于任意标量α和β，αa + βb也属于V。
2. 加法封闭性：线性空间中的向量满足加法封闭性，即对于任意的向量a和b，它们的和a + b也属于该空间。
3. 数乘封闭性：线性空间中的向量满足数乘封闭性，即对于任意的向量a和标量α，它们的积αa也属于该空间。
4. 满足加法和数乘的运算性质：线性空间中的向量满足加法和数乘的交换律、结合律和分配律。
线性空间的性质还包括零向量、负向量和线性相关性。
零向量表示线性空间中存在一个使其与任何向量相加得到自身的向量，负向量表示线性空间中的向量存在一个加法逆元。
线性相关性指的是线性空间中存在一组向量线性组合为零向量的关系。
二、线性变换的定义和性质线性变换是指在两个线性空间之间的映射，它保持了向量空间中的线性结构。
具体而言，线性变换需要满足以下几个条件：1. 保持加法运算：对于线性变换T，对任意的向量a和b，有T(a +b) = T(a) + T(b)。
2. 保持数乘运算：对于线性变换T和标量α，有T(αa) = αT(a)。
线性变换的性质还包括零变换、恒等变换和可逆性。
零变换表示线性变换将所有向量映射为零向量。
恒等变换表示线性变换将每个向量映射为其本身。
可逆性表示存在一个逆变换，使得两个线性变换进行复合后得到恒等变换。
三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换密切相关，线性变换本质上是线性空间之间的映射，它将一个线性空间中的向量映射到另一个线性空间中。
线性变换保持了向量空间的线性结构，在线性代数中起到了重要的作用。
线性代数向量空间与线性变换
线性代数向量空间与线性变换线性代数是数学的一个分支，研究向量空间和线性变换的性质和特征。
向量空间是线性代数的核心概念之一，而线性变换则是在向量空间内进行变换的关键操作。
本文将介绍向量空间和线性变换的定义、性质以及它们在数学和实际问题中的应用。
一、向量空间向量空间是指一个集合，其中的元素称为向量，满足一定的代数运算规律。
具体来说，一个向量空间必须满足以下条件：1. 封闭性：对于向量空间中的任意两个向量，它们的线性组合仍然属于该向量空间。
即对于任意向量u和v以及任意标量c和d，cu+dv仍然属于该向量空间。
2. 加法运算的结合性：对于向量空间中的任意三个向量u、v和w，满足(u+v)+w = u+(v+w)。
3. 加法运算的交换性：对于向量空间中的任意两个向量u和v，满足u+v = v+u。
4. 存在零向量：向量空间中存在一个零向量0，满足对于任意向量u，u+0 = u。
5. 存在负向量：对于向量空间中的任意向量u，存在一个负向量-v，满足u+(-v) = 0。
6. 标量乘法的结合性：对于标量的乘法运算，满足c(du) = (cd)u。
7. 标量乘法的分配性：对于标量的乘法运算和向量的加法运算，满足(c+d)u = cu+du，以及c(u+v) = cu+cv。
满足以上条件的集合即为向量空间。
在向量空间中，向量可以按照一定的线性关系进行运算和转换。
二、线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，该映射满足以下两个性质：1. 保持线性关系：对于向量空间V中的任意两个向量u和v以及标量c，线性变换T必须满足T(cu+dv) = cT(u)+dT(v)。
2. 保持零向量：线性变换T必须满足T(0) = 0，即将零向量映射为零向量。
线性变换可以通过矩阵的乘法来表示。
设向量空间V和W分别为n 维和m维的向量空间，线性变换T:V→W可以表示为一个m×n的矩阵A，其中A的第i列为T(ei)的坐标表示，ei为向量空间V的基向量。
同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第5版)【教材精讲+考研真题解析】讲义与视频课程-线性空间与线
第6章线性空间与线性变换6.1本章要点详解本章要点■线性空间的定义与性质■维数、基与坐标■基变换与坐标变换■线性变换■线性变换的矩阵表示式重难点导学一、线性空间的定义与性质1．两种运算（1）加法运算设V是一个非空集合，R为实数域．如果在V中定义了一个加法，即对于任意两个元素α，β∈V，总有唯一的一个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作γ＝α＋β．（2）数乘运算在V中又定义了一个数与元素的乘法（简称数乘），即对于任一数λ∈R与任一元素α∈V，总有唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的数量乘积，记作δ＝λα．2．线性空间定义设V是一个非空集合，R为实数域．如果在V中取任意两个元素α，β∈V，加法运算和乘法运算满足以下八条运算规律（设α、β、γ∈V，λ、μ∈R）：（1）α＋β＝β＋α；（2）（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；（3）在V中存在零元素0，对任何α∈V，都有α＋0＝α；（4）对任何α∈V，都有α的负元素β∈V，使α＋β＝0；（5）1α＝α；（6）λ（μα）＝（λμ）α；（7）（λ＋μ）α＝λα＋μα；（8）λ（α＋β）＝λα＋λβ，则V称为线性空间，又称向量空间．3．线性空间的性质（1）零向量是唯一的；（2）任一向量的负向量是唯一的，α的负向量记作－α；（3）0α＝0，（－1）α＝－α，λ0＝0；（4）如果λα＝0，则λ＝0或α＝0．4．子空间（1）定义设V是一个线性空间，L是V的一个非空子集，如果L对于V中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则L称为V的子空间．（2）定理线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是：L对于V中的线性运算封闭．二、维数、基与坐标1．维数与基在线性空间V中，如果存在n个向量，满足：（1）线性无关；（2）V中任一向量α总可由线性表示，则就称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数．注：维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作V n．2．坐标设是线性空间V n的一个基．对于任一向量α∈V n，总有且仅有一组有序数，使这组有序数就称为向量α在这个基中的坐标，并记作3．同构设V与U是两个线性空间，如果在它们的向量之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，则线性空间V与U同构．三、基变换与坐标变换1．基变换定义设α1，…，αn及β1，…，βn是线性空间V n中的两个基，有（6-1）把α1，…，αn这n个有序向量记作（α1，…，αn），记n阶矩阵P＝（p ij），利用向量和矩阵的形式，式（6-1）可表示为（6-2）式（6-2）称为基变换公式，矩阵P称为由基α1，…，αn到基β1，β2，…，βn的过渡矩阵．又β1，β2，…，βn线性无关，故过渡矩阵P可逆．2．坐标变换公式设V n中的向量α在基α1，…，αn中的坐标为（x1，x2，…，x n）T，在基β1，β2，…，βn 中的坐标为．若两个基满足关系式（6-2），则有坐标变换公式四、线性变换1．定义设V n，U m分别是n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m的映射，若映射T满足：（1）任给α1、α2∈V n（从而α1＋α2∈V n），有T（α1＋α2）＝T（α1）＋T（α2）；（2）任给α∈V n，λ∈R（从而λα∈V n），有T（λα）＝λT（α）．则T称为从V n到U m的线性映射，又称线性变换．2．线性变换基本性质（1）T0＝0，T（－α）＝－Tα；（2）若则；（3）若α1，α2，…，αm线性相关，则Tα1，Tα2，…，Tαm亦线性相关，反之不成立；（4）线性变换T的像集T（V n）是一个线性空间，称为线性变换T的像空间；（5）使Tα＝0的α的全体N T＝{α|α∈V n，Tα＝0}也是一个线性空间，且N T称为线性变换T的核．五、线性变换的矩阵表示式1．定义设T是线性空间V n中的线性变换，在V n中取定一个基α1，α2，…，αn，如果这个基在变换T下的像为记，上式可表示为其中则A就称为线性变换T在基α1，α2，…，αn下的矩阵．2．定理设线性空间V n中取定两个基α1，α2，…，αn；β1，β2，…，βn，由基α1，α2，…，αn到基β1，β2，…，βn的过渡矩阵为P，V n中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B，则B＝P－1AP．6.2配套考研真题解析本章为非重点，暂未编选考研真题，若有最新真题会及时更新．。
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间和线性变换是线性代数中的重要概念，在数学和物理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍线性空间和线性变换的概念、性质以及它们之间的关系。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指具有加法运算和数乘运算的集合，满足以下条件：1. 加法运算闭合性：对于任意两个向量u和v，它们的和u+v仍然属于该集合。
2. 加法交换律：对于任意两个向量u和v，有u+v = v+u。
3. 加法结合律：对于任意三个向量u、v和w，有(u+v)+w =u+(v+w)。
4. 存在零向量：存在一个特殊的向量0，使得对于任意向量v，有v+0 = v。
5. 对于任意向量v，存在其负向量-u，使得v+(-u) = 0。
6. 数乘运算闭合性：对于任意标量c和向量v，它们的乘积cv仍然属于该集合。
7. 数乘结合律：对于任意标量c和d以及向量v，有(c+d)v = cv+dv。
8. 数乘分配律1：对于任意标量c以及向量u和v，有c(u+v) =cu+cv。
9. 数乘分配律2：对于任意标量c和d以及向量v，有(cd)v = c(dv)。
线性空间的例子包括n维向量空间和函数空间等。
它们满足上述定义中的所有条件。
二、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射，满足以下条件：1. 对于任意向量v和w以及标量c，线性变换T满足T(v+w) =T(v)+T(w)和T(cv) = cT(v)。
2. 线性变换T保持向量的线性组合关系，即对于任意向量v1、v2、...、vn和标量c1、c2、...、cn，有T(c1v1+c2v2+...+cnvn) =c1T(v1)+c2T(v2)+...+cnT(vn)。
3. 线性变换T将零向量映射为目标线性空间的零向量。
线性变换的例子包括平移、旋转和缩放等。
它们保持向量空间的线性结构和线性关系。
三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换之间存在着密切的联系。
给定一个线性空间V，定义一个线性变换T：V→W，其中W是另一个线性空间。
线性代数之线性变换说明
最近想明白特点值、特点值到底有什么物理意义，搜到了这篇文章，共享一下。
来源：孙哲的日记[1. 特点的数学意义]咱们先考察一种线性转变，例如x,y坐标系的椭圆方程能够写为x^2/a^2+y^2/b^2=1，那么坐标系关于原点做旋转以后，椭圆方程就要发生变换。
咱们能够把原坐标系的(x,y)乘以一个矩阵，取得一个新的(x',y')的表示形式，写为算子的形式确实是(x,y)*M=(x',y')。
那个地址的矩阵M代表一种线性变换：拉伸，平移，旋转。
那么，有无什么样的线性变换b(b是一个向量)，使得变换后的结果，看起来和让(x,y)*b像是一个数b乘以了一个数字m*b? 换句话说，有无如此的矢量b，使得矩阵A*b如此的线性变换相当于A在矢量b上面的投影m*b? 若是有，那么b确实是A的一个特点向量，m确实是对应的一个特点值。
一个矩阵的特点向量能够有很多个。
特点值能够用特点方程求出，特点向量能够有特点值对应的方程组通解求出，反过来也一样。
例如，设A为3阶实对称矩阵，a1=(a,-a,1)T是Ax=0的解，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，a≠2,那么常数a=? 因为a1=(a,-a,1)T是Ax=0的解,说明a1=(a,-a,1)T是A的属于0的特点向量，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，说明a2=(a,1,-a)T是A的属于-1的特点向量。
实对称矩阵属于不同特点值的特点向量式正交的，因此a^2-a-a=0,a≠2,因此a=0。
仍是太抽象了，具体的说，求特点向量的关系，确实是把矩阵A所代表的空间，进行正交分解，使得A的向量集合能够表示为每一个向量a在各个特点向量上面的投影长度。
例如A是m*n的矩阵,n>m，那么特点向量确实是m个(因为秩最大是m)，n个行向量在每一个特点向量E上面有投影，其特点值v确实是权重。
那么每一个行向量此刻就能够够写为Vn=(E1*v1n,E2*v2n...Em*vmn)，矩阵变成了方阵。
第六章 线性变换
ξ = x1α 1 + x 2α 2 + ⋯ + x nα n
σ (ξ )仍是 的一个向量，设 仍是V的一个向量 的一个向量，
过标坐标来 刻画
σ (ξ ) = y1α 1 + y2α 2 + ⋯ + ynα n
σσ
−1
= σσ
−1
=t
§6.3 线性变换和矩阵
教学目标：渗透现代代数学同构、 教学目标：渗透现代代数学同构、代数表示论的思 和化归的数学思想方法， 想，和化归的数学思想方法，让学生了解 向量空间的线性变换关于基的矩阵之间的 关系，理解矩阵相似这一重要概念， 关系，理解矩阵相似这一重要概念，掌握 线性变换关于基的矩阵和线性变换作用下 的向量关于基的坐标的计算方法。 的向量关于基的坐标的计算方法。 重 线性变换关于基的矩阵之间的关系， 点：线性变换关于基的矩阵之间的关系，矩阵 相似概念， 相似概念，线性变换关于基的矩阵和线性 变换作用下的向量关于基的坐标的计算。 变换作用下的向量关于基的坐标的计算。 线性变换关于基的矩阵之间的关系， 点：线性变换关于基的矩阵之间的关系，矩阵 相似概念。 相似概念。
证明：显然 σ是R 2 到R 3 的一个映射。
σ (aξ + bη ) = aσ (ξ ) + bσ (η ) ∵由σ (aξ + bη ) = σ (aξ ) + σ (bη ) = aσ (ξ ) + bσ (η )
∴ σ是R 2 到R 3 的一个线一个线性
又 ∀a, b ∈ R, ∀ξ = (x 1, x 2 ),η = ( y1 , y 2 ) ∈ R ,
从而一个线性变换的任何非负整数幂都有意义
设f ( x) = a 0 + a1 x + ... + a n x ,
线性空间及线性变换
是V1的一组基, 1 , 2 , , l 是V2的一组基.
(1) V1+V2的基与维数. 令矩阵 A ( 1 , 2 , , k , 1 , 2 , , l ) ,求A的秩,则 V1+V2的维数等于A的秩r,A中r个线性无关的列即为 V1+V2的基. (2) V1∩V2的基与维数. 令 x 1 1 x 2 2 x k k y 1 1 y 2 2 y l l ,解这 个方程组求它的一个基础解系: (xi1,xi2,…,xik,yi1,yi2,…,yil)/,i=1,2,…,d,d=k+l-r,则 z y i=1,2,…,d是V1∩V2的一组基, V1∩V2的维数等于 d=k+l-r. 4.线性变换的值域与核 线性变换/A的值域 / AV { y | y V , y / A , V } ,/A的 核/A-1(0)={y|y∈V,/Ay=0}.
二、基本方法 1.V1,V2是线性空间V的两个子空间,证明V=V1△V2 只要证明以下两点: (1)V1∩V2={0}; (2)dimV=dimV1+dimV2. 2.求线性空间V的基与维数,可先找到V的一个生成 元组 , , , ,然后证明 , , , 线性无关.
f ( ) ( 1 ) ( 2 )
r1 r2
生成
( s )
rs
则V可分解为A的不变子空间的直和
V=V1 △V2△…△Vs,其中: V i
是A属于 i 的根子空间.
{ X | ( i I A) i X 0, X V }
r
2.子空间的性质 我们用dimV表示线性空间V的维数. (1) 设V1和V2是线性空间V的子空间,则 dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2). (2) 设V1,V2,…,Vm是线性空间V的真子空间,则必存 在 V ,使 V ,1 i m , (3) 设V1=L(u1,u2,…,um),v1,v2,…,vr是V1中的r个线性 无关的向量,且r<m,则可以从u1,u2,…,um中去掉r个向 量,使剩下的m-r个向量与v1,v2,…,vr合在一起仍生成 子空间V1. 3.子空间的和与交的基与维数的求法 设V1和V2是线性空间V的子空间, 1 , 2 , , k
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间（也称为向量空间）是线性代数的基本概念之一。
它是指由向量集合组成的集合，满足特定的运算规则。
线性空间中的向量可以是实数域上的实向量，也可以是复数域上的复向量。
线性空间的定义涵盖了许多重要的数学概念和定理，在各个领域中都有广泛的应用。
一、线性空间的定义线性空间的定义遵循以下几个基本条件：1. 封闭性：对于线性空间V中任意向量u和v，它们的线性组合也属于V。
即对于任意的标量a和b，有a*u + b*v∈V。
2. 加法结合性：对于线性空间V中任意向量u、v和w，有(u+v)+w = u+(v+w)。
3. 加法交换性：对于线性空间V中任意向量u和v，有u+v = v+u。
4. 零向量存在性：存在一个特殊的向量0，满足对于线性空间V中任意向量u，有u+0 = u。
5. 加法逆元存在性：对于线性空间V中任意向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v) = 0。
6. 数量乘法结合性：对于线性空间V中任意的标量a、b和向量u，有(a*b)*u = a*(b*u)。
7. 标量乘法分配律：对于线性空间V中任意的标量a和向量u、v，有a*(u+v) = a*u + a*v。
8. 向量乘法分配律：对于线性空间V中任意的标量a和b，以及向量u，有(a+b)*u = a*u + b*u。
二、线性变换的定义与性质线性变换是一种将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。
线性变换也被称为线性映射或线性算子。
线性变换保持线性空间的线性结构，即对于线性空间V中任意的向量u和v，以及标量a和b，有以下性质：1. 线性变换将零向量映射到零向量，即T(0) = 0，其中T表示线性变换。
2. 线性变换保持向量的线性组合，即对于线性空间V中任意的向量u和v，以及标量a和b，有T(a*u + b*v) = a*T(u) + b*T(v)。
3. 线性变换的像空间是一个线性空间，即对于线性空间V中的线性变换T，其像空间W也是一个线性空间。
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例 4 正实数的全体, 记作 R+ , 在其中定
义 加法及乘数运算为 a b ab ( a , b R ), 加法: 数乘:
a a ( R, a R ) ,
验证 R+ 对上述加法与乘数运算构成线性空间.
证 实际上要验证十条:
第六章 线性空间与线性变换
线性空间 基、维数与坐标
线性变换
结束
2018/11/13
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1
一、线性空间的定义
1. 定义
定义 1 设 V 是一个非空集合, R 为实数域.
如果对于任意两个元素 , V, 总有唯一的一
个元素 V 与之对应, 称为 与 的和, 记作
+=+;
(ii) ( + ) + = + ( + ) ; (iii) 在 V 中存在零元素 0， 对任何 V , 都有 + 0 = ;
(iv) 对任何 V , 都有 的负元素 V,
使
+=0;
(v) 1 = ;
(vi)
( ) = ( ) ;
只要验证 P[ x ]n 对运算封闭:
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(an x n a1 x a0 ) (bn x n b1 x b0 ) (an bn ) x n (a1 b1 ) x (a0 b0 ) P[ x]n ,
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若另取一 个基
q1 1, q2 1 x, q3 2x2 , q4 x3 , q5 x4 ,
则
1 p (a0 a1 )q1 a1q2 a2 q3 a3q4 a4 q5 . 2
因此 p 在这个基下的坐标为
1 (a0 a1 , a1 , a2 , a3 , a4 ) T . 2
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例 2 在二阶实矩阵组成的集合构成
一个线性空间 R2 ×2 中,
1 0 0 1 0 0 0 0 E11 0 0 , E12 0 0 , E21 1 0 , E22 0 1
为其一个基
任意一个二阶矩阵可表示为
a11 a12 A a11 E11 a12 E12 a21 E21 a22 E22 a 21 a22
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三、向量的运算
建立了坐标以后, 就把抽象的向量 与具体
何 Vn , 都有一组有序数 x1 , x2 , · · ·, xn , 使
= x1 1 + x2 2 + · · ·+ xn n ,
并且这组数是唯一的.
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反之 , 任给一组有序数 x1 , x2 , · · ·, xn , 总有
唯一的元素 = x1 1 + x2 2 + · · ·+ xn n Vn .
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二、举例
例 1 次数不超过 n 的多项式的全体, 记
作P[ x ]n , 即
P[ x]n { p( x) an x an1x a1x a0|an ,,a0 R}
n
n1
对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成 线性空间. 解： 这是因为, 通常的多项式加法、数乘多 项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律, 故
这样, Vn 的元素 与有序数组
(x1 , x2 , · · ·, xn )T
之间存在着一种一一对应的关系, 因此可以用这
组有序数来表示元素 . 于是我们有
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的一个基. 对于任一元素 Vn , 总有且仅有一组
定义 3 设 1 , 2 , · · ·, n 为线性空间 Vn
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在第三章中我们已经提出了基与维数的概念, 这当然也适用于一般的线性空间. 这是线性空间
的主要特性, 特再叙述如下.
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素 1 , 2 , · · ·, n 满足:
定义 2 在线性空间 V 中, 如果存在 n 个元
(i) 1 , 2 , · · ·, n 线性无关;
1
( a) a (a ) a ( ) a;
( ) a a a a a a a a;
(viii)
(a b) (ab) (ab) a b
二、向量在基下的坐标
若知 1 , 2 , · · ·, n 为 Vn 的一个基, 则 Vn 可表示为
Vn { x11 x2 2 xn n | x1,, xn R} ,
这就较清楚地显示出线性空间 Vn 的构造.
若 1 , 2 , · · ·, n 为 Vn 的一个基, 则对任
a b a b.
因此, R+ 对于所定义的运算构成线性空间.
下面讨论线性空间的性质.
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三、线性空间的性质
性质 1 零元素是唯一的. 证明
别有
所以 设 01, 02 是线性空间V中的两个零元素,
即对任何 V, 有 + 01 = , +02 = . 于是特 02 + 01 = 02 , 01 + 02 = 01 .
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s1 A1 sin(x B1 ) (A1 ) sin(x B1 ) S[ x] ,
所以 S[ x ] 是一个线性空间.
检验一个集合是否构成线性空间 , 当然不能
只检验对运算的封闭性(如上面两例). 若所定义的
加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算, 则就应仔细检验是否满足八条线性运算规律.
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四、子空间
在第三章中, 我们提过子空间, 今稍作修正.
定义
设 V 是一个线性空间, L 是 V 的一
个非空子集, 如果 L 对于 V 中所定义的加法和数 乘两种运算也构成一个线性空间, 则称 L 为 V 的 子空间. 一个非空子集要满足什么条件才构成子空间? 因 L 是 V 的一部分, V 中的运算对于 L 而言, 规
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例 1 在线性空间 P[ x ]4 中,
p1 = 1, p2 = x , p3 = x2 , p4 = x3 , p5 = x4 就是它的一个基. 任一不超过 4 次的多项式 p = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 都可表示为 p = a0p1 + a1p2 + a2p3 + a3p4 + a4p5 , 因此 p 在这个基下的坐标为 (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 )T .
对加法封闭: 对任意的 a , b R+ , 有
a b ab R ;
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对数乘封闭: 对任意的 R, a R+ , 有
(i) (ii)
a a R ; a b ab ba b a ;
(a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a (b c);
= + ; 又对于任一数 R 与任一元素 V ,
总有唯一的一个元素 V 与之对应, 称为 与
的积, 记作 ; 并且这两种运算满足以下
八条运算规律(设 , , V ; , R):
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(i)
对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空 · ·+ 0 x + 0 Q[ x ]n , 即 间. 这是因为 0 p = 0 xn + · Q[ x ]n 对运算不封闭.
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例 3 正弦函数的集合 S[ x] {s A sin(x B) | A, B R}
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(vii) ( + ) = + ;
(viii) ( + ) = + . 那么, V 就称为(实数域 R 上的) 线性空间， V 中的元素不论其本来的性质如何, 统称为(实)向量. 简言之, 凡满足八条规律的加法及乘数运算, 就称为线性运算。
(ii) V 中任一元素 总可由 1 , 2 , · · ·, n
线性表示. 那么, 1 , 2 , · · ·, n 就称为线性空间 V 的一 个基, n 称为线性空间 V 的维数. 维数为 n 的线性空间称为 n 维线性空间,
记作 Vn .
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(an x a1 x a0 )
n
(an ) x (a1 ) x (a0 ) P[ x]n ,
n
所以 P[ x ]n是一个线性空间.
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例 2 n 次多项式的全体 n Q[ x]n { p an x a1x a0 | an ,, a0 R, 且 an 0}
R+ 中存在零元素 1 , 对任何 a R+ , 有