居于马线性代数第六章答案
线性代数参考题1-6答案
线性代数参考题一答案：（注：为了大家共同的利益，我做了每一道题，希望你发现有做错处及时告诉我，谢谢，你的朋友冯国晨 gcfeng@ ）一. 填空题(每小题3分,满分30分)1．42342311a a a a 与44322311a a a a -；2.b a =；3.)(211E A A -=-；4.可逆阵或满秩阵或非奇异阵；5.特征根为0；6.1-=α；7.)()(T r A r =；8.3R ；9.负定；10.25≠t二. 陈治中版《线性代数》例题1.5.7（p.26）答案：nn bc ad D )(2-=三. 令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=130231,3512,343122321C B A 则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=--2115.053,2153,1115.235.123111X BA四. 令),,,(4321αααα=A ，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==0000310020101013130631120140121),,,(4321ααααA 因而3)(=A r ，321,,ααα构成一个极大无关组，且321432αααα+-=五. 陈治中版《线性代数》习题4.6（p.121）答案：p.211 六. 将二次型f 化成矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=211121112A ，显然A 为实对称阵，可以正交对角化的，即 由特征方程0||=-E A λ，得01=λ，33,2=λ当01=λ 对应的特征向量为T)1,1,1(1=α，标准化为T)1,1,1(311=η；当33,2=λ 对应的特征向量为T)0,1,1(2-=α和T)1,0,1(3-=α正交化T)0,1,1(22-==αβ，标准化为T)0,1,1(212-=ηT)1,1,0(,,2222333-=⋅><><-=ββββααβ，标准化T)1,1,0(213-=η因而),,(321ηηη=P ，且232233y y f += 七. 令αααααααααααααααβββββL n nn=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3213213212113211111111111............由 1||=L 以及n αα,,1 线性无关得n ββ,,1 线性无关。
居余马线性代数课后详细答案
1、22220aab a b ab ab abb=⋅-⋅=2、22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=⋅--⋅=+=3、222()()22()2a bi b a bi a bi ab a b ab a b aa bi+=+--=+-=--4、3242123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+--------- 920321224205=---+++=-5、1234561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++--- 45849648721050=++---=6、2214112*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+----20240479639880820218=-++--=-7、222234322222211101(1)(1)(1)011w wwww ww w w w w w w w w www+⨯---=-=-++=-⨯--第2行第1行()第3行第1行()8、3322232121*2*3322663x xxx x x x x x x x xx=++---=-+9、143000400400431(1)0434********324321+-=-=-按第行展开10、公式： 111112111222222122112212000000000000n n nn nn nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a ===11111,11(1)2,12,2,1212,1212,111,11100000000(1)0n n n n n n n n n n n n n n n n nnn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a -------===-⋅解：101000010000100200002010(1)1008000080090000910+-⋅按第行展开 9(19)210(1)128910!+=⋅-⋅⋅⋅=11、3111111112111110200311*(2)8111100204111112----=-=------第行第行第行第行第行第行12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即 12341234123421113234113410113103110102223412*********114141231123111---=-=-----------第行第行第行第行 第行第行10*16160==13、50421111111121011211121021014324741204120032415311115420153-----=-=----=----------第，行交换14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变） 365641111111111111112545325453032750327536342254650328700012254653634203075002001111136564329722------===---根据课本20页公式（1.21），原式012112003*4120322=-=-=-（）15、1200340012132*160013345151-==---（）（）=3216、1234512345123678910678910213567810*220000130101143100002400024011113-=-=-=-第，行对换17、根据课本20页公式（1.22） 23001121120030212(1)30212*(5)600024031241240131258⨯--=-=-=--18、1001201*2*33!123A ===，5(51)20000100020(1)(1)(2)(3)(4)(5)5!00300040005B ---==------=----所以 3*5*(1)||||3!5!0A AB B=-=-19、证：21111111112222222222233333333311111112222222223333333(1)2*1(1)(1)(1)1*2(1)a b x a x b c a b x b x c a b xa xbc x a b xb xc a b xa xbc a b xb xc a b xb c a b c x a b xb c x x a b c a b xb c a b c +++-=++-+-+++-+=-+--=+左第列第列第列第列右20、1111111121111100311111004111110xx x x x y x y yxy++----=-+-----第行第行左第行第行第行第行144401114(1)10(1)()00xx xxy y xx xxy++--+-⋅⋅-+-⋅-⋅----按第列展开 2222222(1)()x y y x xy xy x x y y x y x x y ⎡⎤=---++-=----==⎣⎦右21、33333333333111111010b ac aab c b a c ab ac aabcb ac a--==--=⋅----左()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222b ac a c ac a c a b a b ab a b a c a c ac ab ab a b ac a c ac bab b a c a c b a b c =--++---++=--++---=--+--=---++=右22、解法1：()()()()232322332233223323223311001111a ab b b a b a b acacabaccc ac a=--=-------整理得()()()()ab bc ca b a c a c b =++---又根据范德蒙行列式有：()()()222111a ab ac a c b b b cc---=故原式得证。
线性代数(杨凤藻)课后习题1-6章节解答
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3 5 2 2.设 D 1 1 0 , Aij 为 D 中 aij 的代数余子式, 1 3 1
(1) A11 A12 (2) A11 A12 A13 (3) 3 A11 5 A12 2 A13
1 0 1 0 (1)12 1 1 0 3 1 1 1 1 0 1 0 1 1 (2) A11 A12 A13 (1)11 (1)1 2 (1)13 1 1 4 4 3 1 1 1 1 3 1 0 1 0 1 1 (3) 3 A11 5 A12 2 A13 3 (1)11 5 (1)12 2 (1)13 3 1 1 1 1 3
2 1 1 1 2 1 1 4 2 1 1 6 3 2 (2) 201 102 99 98 5 4 197 1 2 1 2 5 4 3 1 6 3 2 0 5 1 (1) 5 4 197 0 5 4 3 0
6 3 2 6 3 1800 = 5 4 197 200 5 4 0 0 200
有无非零解. 解:齐次线性方程组的系数行列式为:
1 3 2 1 3 2 1 3 2 A 2 1 3 0 7 1 0 7 1 42 0 3 2 1 0 7 7 0 0 6
而齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式不等于零 . 则该齐次线性方程组没有非零解. 7. 设齐次线性方程组
2a13 2a33 2a23
;
2a13 a11 a12 3 2a33 (2) a31 a32 2a23 a21 a22
a13 a11 a12 a33 (8)(1) a21 a22 a23 a31 a32
a13 a23 8 2 16 a33
1 a1 1 1 (2) 三阶行列式 1 1 a2 1 1 1 1 a3
线性代数第六章习题册答案
第六章 二次型1. 用矩阵记号表示下列二次型：(1);4427),,(222yz xz xy z y x z y x f ----+=(2)22312121321542),,(x x x x x x x x x f -++=； (3)),,,(4321x x x x f .46242423241312124232221x x x x x x x x x x x x x x -+-+-+++=解：(1)()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=z y x z yxz y x f 722211211),,( (2) ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321321321002052/222/21),,(x x x x x x x x x f(3) ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=4321432143211001231223111211),,,(x x x x x x x x x x x x f 2. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：),,(321x x x f 322322214332x x x x x +++=.解：0)5)(1)(2(32023002=---=---=-λλλλλλλE A 得11=λ，22=λ，53=λ当11=λ时，特征向量为T）（11-01=ξ 当22=λ时，特征向量为T ）（0012=ξ 当53=λ时，特征向量为T）（1103=ξ取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2102121021-010P ， 则利用正交变换Py x =，二次型可化为标准型 23222152y y y f ++= 3. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：23322231212132128244),,(x x x x x x x x x x x x f -+-+-=. 解：0)7()2(2-4242-22212=+--=-----=-λλλλλλE A 得=1λ22=λ，73-=λ当=1λ22=λ，时，特征向量为T ）（1021=ξ，T ）（012-2=ξ，通过施密特正交化得到T ）（10251e 1=，Te ）（452-5312= 当73-=λ时，特征向量为T）（11-213-=ξ，单位化得T ）（22131e 3--= 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32534513253503153252P ， 则利用正交变换Py x =，二次型可化为标准型 232221722y y y f -+= 4. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：),,,(4321x x x x f 43324121242322212222x x x x x x x x x x x x +--++++=．解：0)3)(1()1(11011110011110112=-+-=--------=-λλλλλλλλE A得121==λλ，13-=λ，34=λ当121==λλ时，特征向量为T ）（01011=ξ，T）（10102=ξ 当13-=λ时，特征向量为T ）（11113--=ξ 当34=λ时，特征向量为T ）（11114--=ξ 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=21211021210121211021211P ，则利用正交变换Py x =，二次型可化为标准型 24232221y 3+-+=y y y f5. 二次型)0(a 2332),,(32232221321>+++=a x x x x x x x x f 通过正交变换可化为标准形23222132152),,(y y y y y y f ++=，求参数a 及所用的正交变换矩阵. 解：二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3030002a a A特征值为11=λ，22=λ，53=λ，得10=A ，故10)9(22=-=a A ，又0>a ，得2=a . 当11=λ时，特征向量为T）（11-01=ξ 当22=λ时，特征向量为T ）（0012=ξ 当53=λ时，特征向量为T）（1103=ξ取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2102121021-010P ，用正交变换Py x =，二次型标准型为 23222152y y y f ++=6. 用配方法化),,(321x x x f 32312321222x x x x x x +++=为规范形，写出所用变换的矩阵． 解：),,(321x x x f 2322223132312321))222x x x x x x x x x x x ++-+=+++=（（由⎪⎩⎪⎨⎧=+==+33222131y x x y x y x x 得⎪⎩⎪⎨⎧+-==-+=323223211y y x y x y y y x ，取⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110010111C ，C 可逆， 由变换Cy x =得二次型的规范型为),,(321x x x f 232221y y y +-=7. 判别下列二次型的正定性：(1)),,(321x x x f 312123222122462x x x x x x x ++---=；(2)424131212423222162421993x x x x x x x x x x x x f -++-+++=4312x x -.解：（1）负定 （2）正定8. 二次型323121242322214321222)(),,,(x x x x x x x x x x t x x x x f -+++++=，t 取何值时是正定二次型？解： 二次型矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1000011011011t t t ，二次型正定即要求所有顺序主子式 0)2()1(100011011011,0)2()1(111111,0111,0222>-+=-->-+=-->-=>=t t tt t t t tt t t t t t t 可得2t >时此二次型正定.9. 已知A 为n 阶方阵，E A -是正定矩阵，证明A 为正定矩阵.证明：因为E A -是正定矩阵，所以()E A E A E A T T-=-=-，所以 A A T=，即A 为对称矩阵.设λ为A 的任意一个特征值，则1-λ是E A -的一个特征值，因为E A -为正定矩阵，所以01>-λ，从而0>λ，因此A 为正定矩阵.10. 设C 为可逆矩阵，A C C T=，证明x x A T=f 为正定二次型．.证明：)()(TCx Cx Cx C x f TTT===x x A令y x =C ，因为C 可逆，对任意0≠x ，有0≠y ， 从而0)()(>==y y Cx Cx f TT，为正定二次型。
居余马线性代数课后详细答案（更新）
1、22220a aba b ab ab ab b =⋅-⋅=2、22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=⋅--⋅=+=3、222()()22()2a bi ba bi a bi ab a b ab a b a a bi+=+--=+-=--4、3242123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+---------920321224205=---+++=-5、1234561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++---45849648721050=++---=6、2214112*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+----20240479639880820218=-++--=-7、222234322222211101(1)(1)(1)011w w w w w ww w w w w w w w w w w w +⨯---=-=-++=-⨯--第2行第1行()第3行第1行()8、3322232121*2*3322663x xxx x x x x x x x xx =++---=-+9、143000400400431(1)0434*******4324321+-=-=-按第行展开10、公式：11111211122222212211221200000000000n n nn nn nnn n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a ===11111,11(1)2,12,2,1212,1212,111,1110000000(1)0000n n n n n n n nn n n n n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a -------===-⋅解：10100001000010020*******(1)1008000080090000910+-⋅ 按第行展开9(19)210(1)128910!+=⋅-⋅⋅⋅=11、3111111112111110200311*(2)8111100204111110002----=-=------第行第行第行第行第行第行12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即123412341234211132341134101131031101022234121412022211141412311230111---=-=-----------第行第行第行第行 第行第行10*16160==13、504211111111210112111210210143247412041200324153111150420153-----=-=----=----------第，行交换14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变）3656411111111111111125453254530327503275363422546503287000122546536342030750020011111365640329700022------===--- 根据课本20页公式（1.21），原式012112003*41203022=-=-=-（）15、1200340012132*16001334510051-==---（）（）=3216、1234512345123678910678910213567810*22000013010114301000024000240101100013-=-=-=-第，行对换17、根据课本20页公式（1.22）23001121120030212(1)30212*(5)6000240312401240131258⨯--=-=-=--18、1001201*2*33!123A ===，5(51)20000100020(1)(1)(2)(3)(4)(5)5!030004000500B ---==------=----所以3*5*(1)||||3!5!0A AB B=-=-19、证：21111111112222222222233333333311111112222222223333333(1)2*1(1)(1)(1)1*2(1)a b x a x b c a b x b x c a b x a x b c x a b x b x c a b x a x b c a b x b x c a b xb c a b c x a b x b c x x a b c a b x b c a b c +++-=++-+-+++-+=-+--=+左第列第列第列第列右20、11111111211111003111110041111100x x x x x y x y y x y++----=-+-----第行第行左第行第行第行第行144401114(1)10(1)()000x x x xy y xx xxy++--+-⋅⋅-+-⋅-⋅----按第列展开2222222(1)()x y y x xy xy x x y y x y x x y ⎡⎤=---++-=----==⎣⎦右21、33333333333111111010b a c a ab c b ac a b a c a a b c b a c a --==--=⋅----左()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222b a c a c ac a c a b a b ab a b a c a c ac a b ab a b a c a c ac b ab b a c a c b a b c =--++---++=--++---=--+--=---++=右22、解法1：()()()()232322332233223323223311001111a a b b b a b a b a c a c a b a c c c a c a =--=------- 整理得()()()()ab bc ca b a c a c b =++---又根据范德蒙行列式有：()()()222111a a b a c a c b bb cc ---= 故原式得证。
《线性代数》课后习题答案
《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。
（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。
（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
居于马线性代数第六章答案
第六章 二次型将以下1-3题的二次型表示成矩阵形式。
1.22(,)467f x y x xy y =-- 解：()2243(,)46737x f x y x xy y xy y ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2.222(,,)346f x y z x xy y yz z =+--+解：()222320(,,)346213031x f x y z x xy y yz z xyz y z ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+--+=-- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭3.22212341341214232434(,,,)242264f x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++--+解：()12123412343412012013(,,,)01121322x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭4.设n 元二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵为n 阶三对角对称矩阵1111111111A -⎛⎫⎪-- ⎪⎪=- ⎪- ⎪⎪-⎝⎭， 试写出二次型（二次齐次多项式）的表示式。
解：22221211222311(,,,)222n n n n n f x x x x x x x x x x x x x --=-+-++-+。
12(,,,)T n f x x x x Ax =对一切12(,,,)T n x x x x =恒有12(,,,)0n f x x x =，证明A 为n阶零矩阵。
证明：取(0,,1,,0)T i x =(其中第i 个分量为1，其余分量全为零)，那么有11()0,1,2,,nnTi i i ij i j ii i j f x x Ax a x x a i n =======∑∑。
再取(0,,1,,1,,0)T ij x =(其中第i 和第j 个分量为1，其余分量全为零)，那么有()20,,1,2,,T ij ij ij ij f x x Ax a i j n ====。
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第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。
（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）。
(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。
(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。
(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。
若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（ ）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。
若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。
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第六章 二次型将下列1-3题的二次型表示成矩阵形式。
1.22(,)467f x y x xy y =-- 解：()2243(,)46737x f x y x xy y xy y ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2.222(,,)346f x y z x xy y yz z =+--+解：()222320(,,)346213031x f x y z x xy y yz z xyz y z ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+--+=-- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭3.22212341341214232434(,,,)242264f x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++--+解：()12123412343412012013(,,,)01121322x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭4.设n 元二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵为n 阶三对角对称矩阵1111111111A -⎛⎫⎪-- ⎪⎪=- ⎪- ⎪⎪-⎝⎭， 试写出二次型（二次齐次多项式）的表示式。
解：22221211222311(,,,)222n n n n n f x x x x x x x x x x x x x --=-+-++-+。
5.若二次型12(,,,)T n f x x x x Ax =对一切12(,,,)T n x x x x =恒有12(,,,)0n f x x x =，证明A 为n 阶零矩阵。
证明：取(0,,1,,0)T i x =(其中第i 个分量为1，其余分量全为零)，则有11()0,1,2,,nnTi i i ij i j ii i j f x x Ax a x x a i n =======∑∑。
再取(0,,1,,1,,0)T ij x =(其中第i 和第j 个分量为1，其余分量全为零)，则有()20,,1,2,,T ij ij ij ij f x x Ax a i j n ====。
所以，A 的2n 个元素全为0，即A 为n 阶零矩阵。
6.设,A B 均为n 阶对称矩阵，且对一切x 有TTx Ax x Bx =，则A B =。
证明：由12(,,,)()T n f x x x x A B x =-，对一切12(,,,)T n x x x x =恒有()0f x =。
利用上题结果得0A B -=。
7.设,AB C D ，且它们都是n 阶实对称矩阵，下列结论成立吗？(1) )()A C B D ++(； (2) A O B O O C O D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：(1)不成立；如1000,,,0111A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，此时，A C +与B D +不合同。
(2)成立。
由1122,T TC AC B C CCD ==(其中12,C C 为可逆矩阵)，得11112222TT TC C A O B O C AC O C C O C OD OC CC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 其中12C C ⎛⎫⎪⎝⎭仍然可逆，所以结论成立。
8.用正交变换x Qy =，将下列二次型化为标准形，并求正交矩阵Q ：(1) 222123232334f x x x x x =+++解：二次型对应的矩阵为200032023A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的三个特征值为1231,2,5λλλ===。
由()0E A x -=，求得对应11λ=的特征向量为1011ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭由(2)0E A x -=，求得对应22λ=的特征向量为2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由(5)0E A x -=，求得对应35λ=的特征向量为3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因123,,ξξξ是分别属于三个不同特征值的特征向量，故正交。
单位化，1011η⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，2100η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3011η⎛⎫⎪=⎪⎪⎭令()12301000Q ηηη⎛⎫ ⎪ ⎪ == ⎝，有1125TQ AQ Q AQ -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭。
(2) 22221234121423342222f x x x x x x x x x x x x =++++---解：二次型对应的矩阵为1101111001111011A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭由[(1]0E A x +-=，求得对应1+的特征向量为1211,1001ξξ-⎛⎫⎛ - ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正交化，得12120,101ηη⎛- -⎛⎫ ⎪ ⎪ ==⎪ ⎪ ⎝⎭⎪⎝⎭再单位化，得1211011,12210p p --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭由[(1]0E A x --=，求得对应13411,1001ξξ-⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单位化，341111,221001p p -⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()123411110121110001Q p p p p ⎛--- - ⎪==⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，则11111T Q AQ Q AQ -⎛⎫⎪+ ⎪== ⎪- ⎪⎝。
9.设420002100000500000460061A -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，求正交矩阵Q ，使得T Q AQ 为对角矩阵。
解：利用7(2)分块矩阵合同的结论，令12A A A A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，其中 1024246,(5),2161A A A --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭。
对14221A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，存在可逆矩阵11221P ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，使得1111105P A P -⎛⎫==Λ ⎪⎝⎭；对24661A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，存在可逆矩阵22332P ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，使得1222258P A P -⎛⎫==Λ ⎪-⎝⎭。
不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化。
取12,Q Q⎫⎫⎪⎪⎪⎪==，令1211QQQ⎫⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪⎪⎝，则有5558TQ AQ⎛⎫⎪⎪⎪=Λ=⎪⎪⎪-⎝⎭。
10.用配方法将下列二次型化为标准形，并写出所用的坐标变换：(1) 21122343x x x x x+-解：212311223(,,)43f x x x x x x x x=+-令112223332,3,2,y x xy x xy x=+⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩则11232233323,3,2,x y y yx y yx y=-+⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩这样，二次型212311223(,,)43f x x x x x x x x=+-化为标准形222123123(,,)49f x x x y y y=-+，所用的坐标变换为x Cy=，其中1233012001C-⎛⎫⎪⎪=-⎪⎪⎝⎭。
(2)1213233x x x x x x+-解：因为二次型中没有平方项，无法配方，所以先做一个坐标变换，使其出现平方项。
根据12x x ，利用平方差公式，令11221233,,,x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩则令11322333,2,,z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩则11322333,2,,y z z y z z y z =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩这样，二次型123121323(,,)3f x x x x x x x x x =+-化为标准形222123123(,,)3f x x x z z z =-+，所用的变换为1x C y =和2y C z =，即x Cz =，其中1110110001C ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，2101012001C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12113111001C C C ⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭。
(3) 222123122331254484x x x x x x x x x +++--解： 222123123122331(,,)254484f x x x x x x x x x x x x =+++--令 112322333,2,3,y x x x y x x y x =+-⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩则 1123223331,32,3,x y y y x y y x y ⎧=-+⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩这样，二次型222123123122331(,,)254484f x x x x x x x x x x x x =+++--转化为标准形2221231232(,,)233f x x x y y y =++，所用的变换为x Cy =，其中11132013001C ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
11.用初等变换法将下列二次型化为标准形，并求相应的坐标变换。
(1) 122331x x x x x x ++解：()1123122331123231102211(,,),,02211022x f x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，则初等变换可以写成于是，做坐标变换x Cy =，其中11121112001C ⎛⎫-- ⎪⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则二次型123(,,)f x x x 化为标准形 2221231231(,,)4T f x x x y y y y y =Λ=--。
(2) 2221231213232242x x x x x x x x x -++++解：()122212312312132312323112(,,)2242,,121211x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-++++=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则初等变换可以写成于是，做坐标变换x Cy =，其中51131013001C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则二次型123(,,)f x x x 化为标准形2221231238(,,)33T f x x x y y y y y =Λ=--。
(3) 2222123412132434546448x x x x x x x x x x x x ++-+---解：2222123123412132434(,,)546448f x x x x x x x x x x x x x x x =++-+---()1212343413203502,,,20440241x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭， 则初等变换可以写成[2][1]3[3][1]232[2][1]313201020350204622044264402410241100013000100010000100010********A I -⨯+⨯⨯⨯-⨯--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪---- ⎪⎪------⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−−−−→ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②-①③+①[3][1]21[2]21[3][2]3321[3[2]21004620604024113200100001000011000013103040141312021000200100001+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⎛⎫⎪-- ⎪⎪-⎪--- ⎪⎪−−−−→⎪- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭②③+②][2]3[4][4][2][4][2]1000010100970171351022150022001000011000010000970070353122215102220010001+⨯--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎪--- ⎪⎪ ⎪−−−−→ ⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪--⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭④-②7[3]9797[4][3]9100001000090490009.39412291513022970019001C +⨯⨯+⨯⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪Λ⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→= ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭④+③于是，做坐标变换x Cy =，其中394122915130229700190001C ⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则二次型123(,,)f x x x 化为标准形22221234123449(,,,)99T f x x x x y y y y y y =Λ=-+-。