矩阵论习题一
矩阵论试题及答案
一．（10分）已知n n C ⨯中的两种范数a ⋅和b ⋅，对于n n C A ⨯∈，证明b a A A A +=是n n C ⨯中的范数. 解：⑴非负性：由于b a ⋅⋅,是两种范数，故当A=0时，0,0==b a A A ，所以000=+=+=b a A A A ； 当A ≠0时，0,0>>b a A A ，所以0>+=b a A A A⑵齐性：()A A A A A A A A b a b a b a ααααααα=+=+=+= ⑶三角不等式：B A B A B A B A B A B A b b a a b a +=+++≤+++=+二．(每小题10分,共20分)已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101121103A ,()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=002t e t b , 1. 求At e2. 用矩阵函数方法求微分方程()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=T x t b t Ax t x dt d1,0,10的解.解：1. ()1112113det ----=-λλλλA I ()()3211132-=----=λλλλ显然, )det(A I -λ的一阶子式的公因子为1, 容易知道)det(A I -λ 的二阶子式的公因子为2-λ,所以A的最小多项式为()()()23222-=--=λλλλm ,即()()022=-=I A A m ,设()()()b a g m e f t ++==λλλλλ,则()a te f t =='λλ 对于特征值2=λ有()()⎩⎨⎧=='+==a te f b a e f t t 22222,()⎩⎨⎧+-==ttet b te a 2212 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+=+=t t t t t t e bI aA e t At1010122. ()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰--ds e s s s ss s e e ds s b e x e t x s t s At t As At 001010110102020 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t e t e t At 1001012三．(15分)用Givens 变换求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2100421132403100A 的QR 分解. 解：()T01001=β,构造()s c T ,13=,1101sin ,0100cos 22232132223211=+=+===+=+==xx x s x x x c θθ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210031002340421121421132403100100000010010010013A T⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21312A , 构造),(12s c T , ()21sin ,21111cos 222122222211=+==-=+--=+==x x x s x x x c θθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=1052212131111121212A T⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/1002/12/1002/10010010013122T T I T ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==2/12/100000100102/12/100TT Q ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/522344211R四．(10分)用Gerschgorin 定理证明⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=8110260110410100A 至少有两个实特征值. 解：A 的4个盖尔圆为:{}1|1≤=z z G ,{}2114|2=+≤-=z z G , {}3216|3=+≤-=z z G , {}2118|4=+≤-=z z G ,它们构成的两个连通部分为11G S =,4322G G G S =.易见,1S ,2S 都关于实轴对称且各含有1个和3个特征值,因为实矩阵的复特征值必成对出现, 故1S ,2S 必各含有一个实特征值,从而A 至少含有2个实特征值.五．(20分)已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=221221*********A ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=44111b 1. 求A 的满秩分解.2. 求+A3. 用广义逆矩阵的方法判别方程组b Ax =是否相容.4. 求方程组b Ax =的极小范数解或极小范数最小二乘解并指出所求解的类型.解 1。
11级-矩阵论试题与答案
参考答案一（20分） V 表示实数域上次数不超过2的多项式构成的线性空间。
对2()f x ax bx c V ∀=++∈，在V 上定义变换：2[()]3(223)(4)T f x ax a b c x a b c =++++++（1）验证T 是V 上的线性变换；（2）求V 的基2,,1x x 到基2(1),1,1x x --的过渡矩阵P ； （3）求T 在基2,,1x x 下的表示矩阵A ； （4）在V 中定义内积1(,)()()f g f t g t dt =⎰，求基2,,1x x 的度量矩阵G 。
解：（1）设22111222(),()f x a x b x c g x a x b x c =++=++2121212()()()f g a a x b b x c c +=+++++[]212121212()3()2()2()3()T f g a a x a a b b c c x +=+++++++[]121212()()4()a a b b c c ++++++()()2111111132234a x a b c x a b c =++++++()()2222222232234a x a b c x a b c +++++++()()T f T g =+类似可验证: ()()T kf kT f =或把T 写成：2300[()][,,1]223114a T f x x x b c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（1）再来验证就更方便了。
（2）由22100(1),1,1,,1210111x x x x ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤--=-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦得基2,,1x x 到基2(1),1,1x x --的过渡矩阵为100210111P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（3） 由22()321T x x x =++,()21T x x =+,(1)34T x =+得T 在基1,,2x x 下的表示矩阵为：300223114A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（4） 11431112210011,54g x dx g g x dx =====⎰⎰ 11221331220011,33g x dx g g x dx =====⎰⎰11233233001,12g g xdx g dx =====⎰⎰ 故度量矩阵11154311143211132G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二（20分） 设311121210A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（1）求A 的行列式因子、不变因子、初等因子； （2）求A 的Jordan 标准形J ； （3）求可逆矩阵P 使1P AP J -=；（4）计算Ate 并求解微分方程组。
矩阵论考试试题含答案
矩阵论试题一、(10分)设函数矩阵 求：()⎰tdt t A 0与(()⎰20t dt t A )'。
解：()⎰t dt t A 0=()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎰⎰⎰⎰tttt tdt tdt dt t dtt 000sin cos cos sin =⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t t t t cos 1sin sin cos 1 二、(15分)在3R 中线性变换σ将基变为基 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102β，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2303β(1)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示A ；(2)求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标； (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。
解：(1)不难求得：因此σ在321,,ααα下矩阵表示为(2)设()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321321,,k k k αααξ，即解之得：9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。
()ξσ在321,,ααα下坐标可得(3)ξ在基321,,βββ下坐标为()ξσ在基321,,βββ下坐标为三、(20分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301010200A ，求At e 。
解：容易算得由于()λm 是2次多项式，且2,121==λλ，故()λg 是1次多项式，设由于()t e f λλ=，且()()11λλg f =，()()22λλg f =，故于是解得：⎩⎨⎧-=-=tt tt ee a e e a 21202 从而：四、(15分)求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000110101A 的奇异值分解。
解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==211110101A A B T的特征值是0,1,3321===λλλ对应的特征向量依次为于是可得 2=rankA ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑1003 计算： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=-0021212121111AV U 构造 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1002U ，则 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==100021210212121U U V 则A 的奇异值分解为： 五、(15分)求矩阵的满秩分解： 解： 可求得：于是有 BC A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30202101121101或 ()H H H H B AC B C A 1-+=六、(10分)求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=201034011A 的Jordan 标准形。
矩阵论简明教程习题答案
由此可得 与 故 (sinia)A==sinA 与 5. 对A求得 P= , P=, PAP= 根据p69方法二, e=Pdiag(e,e,e)P= sinA=Pdiag(sin(－1),sin1,sin2)P= 6. D()==, D()=D()=1, A~J=. 现设 r(,t)=b+b+b, 则有 b=1, b=2e－te－2, b=te－e+1. 于是 e=r(A, t)=bI+bA+bA=I+(2e－te－2)+(te－e+1) = 同理,由 b=1, b=tsint+2cost－2, b=1－tsint－cost. 将其代入 cosAt=bI+bA+bA, 求出 cosAt= 7. 设 f(A)=,S=.则 f(A)=并且由于 (S)== 所以, f(A)==f(A). 8, (1) 对A求得 P=, P=P , J= 则有 e=PP= sinAt=PP= (cosia)I==cosA.
10. 利用定理2.12得 . 11. A= cond(A)=; cond(A)=. 12．设x是对应于的特征向量, 则A.又设 是C上与矩阵范数相容的向量范 数,那么 ≦ 因 ＞0, 故由上式可得 ≦≦. 习 题 三 1. , 当﹤1时, 根据定理3.3, A为收敛矩阵. 2. 令S=, =S , 则 . 反例: 设 A=, 则因 发散, 故 发散, 但 =O. 3. 设 A=, 则 ≦行和范数=0.9＜1, 根据定理3.7, =(I－A)=. 4. 我们用用两种方法求矩阵函数e: 相似对角化法. , 当 ia时, 解方程组 (ia－A)x=0, 得解向量 p=(i, 1). 当 =－ia时, 解方程组 (ia+A)x=0, 得解向量 p=(－i, 1).令 P=, 则P=, 于是 e=PP=. 利用待定系数法. 设e=(+a)q()+r(), 且 r()=b+b, 则由 b=cosa , b=sina .于是 e=bI+bA=cosa+sina=. 后一求法显然比前一种方法更简便, 以后我们多用待定系数法. 设 f()上面的分解变形可得 A= = = 3.对A的第1列向量, 构造Householder矩阵使得 ,
矩阵论(华中科技大学)课后习题问题详解(1)
习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩L L L ⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r αααL 为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββL 为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=L L而()()1212r r C αααβββ=L L ，C 为过渡矩阵，且可逆 于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈L L L L L L由此，得 21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。
矩阵论试题
矩阵论试题一、选择题1.设A是n阶方阵，若|A|=0，则A（）。
A. 一定是可逆矩阵B. 一定是不可逆矩阵C. 可能是可逆矩阵，也可能是不可逆矩阵D. 以上说法均不正确答案：B2.若矩阵A与B相似，则A与B具有（）。
A. 相同的特征值B. 相同的特征向量C. 相同的秩D. 相同的行列式答案：A、D（相似矩阵具有相同的特征值和行列式，但特征向量不一定相同，秩也一定相同，但此题只问具有什么，故A、D为正确答案）3.下列矩阵中，属于正交矩阵的是（）。
A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 上三角矩阵D. 任意方阵答案：A（单位矩阵是正交矩阵的一种特殊情况）二、填空题1.设矩阵A=(1324)，则A的行列式|A|=______。
答案：-2（根据行列式的定义和计算方法，有|A|=1×4-2×3=-2）2.若矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B为______。
答案：可交换矩阵（或称为可交换的）3.设n阶方阵A的伴随矩阵为A，则|A|=______。
答案：|A|(n-1)）三、计算题1.设矩阵A=(2113)，求A的逆矩阵A^(-1)。
解答：首先求|A|，有|A|=2×3-1×1=5≠0，所以A可逆。
然后利用逆矩阵的公式A^(-1)=(1/|A|)×A*，其中A*是A的伴随矩阵。
A的伴随矩阵A=(3−1−12)（伴随矩阵的元素是A的每个元素的代数余子式构成的矩阵的转置）。
所以A^(-1)=(1/5)×A=(3/5−1/5−1/52/5)。
2.设矩阵A=147258369，求A的秩R(A)。
解答：对矩阵A进行初等行变换，将其化为行最简形。
通过初等行变换，可以得到A的行最简形为1002−303−60。
所以R(A)=2（非零行的个数）。
四、证明题1.证明：若矩阵A为n阶方阵，且|A|=0，则A不可逆。
证明：根据可逆矩阵的定义，若矩阵A可逆，则存在n阶方阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵）。
矩阵论(方保镕、周继东、李医民)习题1-3章
6. 解：（1）设 A 的实系数多项式 f A的全体为
f A a0 I a1 A am Am ai R, m正整数
1
显然，它满足两个封闭性和八条公理，故是线性空间. （2）与（3）也都是线性空间.
(ai bi ) ai bi 2
i1
i1
i1
于是可知 L，因此 L 不是 V 的子空间.
18.
解：
Span(
' 1
,
' 2
,
' 3
)
的基为
1'
,
' 2
,
' 3
的一个最大无关组，
' 1
,
' 2
,
' 3
在基1
,
2
,
3
下的坐标依次为
(1, -2, 3) T , (2 , 3 , 2) T , (4, 13, 0 ) T
故 C =(1 , 2 , 3 , 4 ) 1 ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1 0 0 0 1 2 0 5 6
= 0100
0010
1 336 1 1 2 1
0001
1 013
2 056 1 336
= 1 1 2 1 .
1 013
⑵ 显然，向量α在基1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为 X =(1 ,2 ,3,4 ) T ,
7
（2）取
A
1 0
0 0
，B
矩阵论(华中科技大学)课后习题问题详解(1)
习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=而()()1212r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈由此，得 21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。
矩阵论练习题
练习一一﹑选择题1、对于()212,x x R ∀∈，下列变换是2R 上的线性变换的是 ( D )．(A) ()()21212,,T x x x x =； (B) ()()21212,,T x x x x =；(C) ()()1212,,0T x x x x =； (D) ()()1212,,T x x x x =-. 2、设()(),A B λλ为两个n 阶λ-矩阵，则 ( D ).(A) 若()A λ满秩，则()A λ必可逆； (B) ()A λ可逆当且仅当()0A λ≠；(C) 若()A λ与()B λ秩相等，则()A λ与()B λ等价；(D) 若()A λ与()B λ等价，则()A λ与()B λ具有相同的不变因子. 3、设()n n ij A a C ⨯=∈，则下列不能构成矩阵范数的是( A )．(A) ,max ij i ja ； (B) ,max ij i jn a ⋅； (C) 1max nij ij a =∑； (D) 1max nij j i a =∑.4、设n n A C ⨯∈，H A 为A 的共轭转置矩阵，()A ρ为A 的谱半径，A 为A 的范数，则下列说法不正确的是( C )．(A)()[]()kk A A ρρ=； (B) ()()H H A A AA ρρ=；(C) 若()1A ρ<，必有E A -可逆； (D) 若A 为收敛矩阵，必有()1A ρ<. 5、设V 为酉空间，C λ∈，,V αβ∈且(),αβ为α与β的內积，则下列说法不正确的是( B )．(A) ()(),,λαβλαβ=； (B) ()(),,αλβλαβ=； (C) ()()(),,,αβγαβαγ+=+； (D) ()()(),,,βγαβαγα+=+.二﹑填空题1、已知100231120012233002A -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则A 的LDU 分解为 .2、设sin ()2cost t t te A t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0()x A t dt ⎰=21cos 1sin x x x xe e xx ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.3、设矩阵2242t tt At tt t e te te e te e te ⎡⎤-=⎢⎥-+⎣⎦ ，则矩阵A =1143-⎛⎫⎪-⎝⎭.4、矩阵100110111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 相对于矩阵范数∞ 的条件数为 6 .5、设11122122⎛⎫=⎪⎝⎭x x X x x ，(),A a b =，则()d AX dX =0000a a b b ⎛⎫⎪⎝⎭. 6、已知101112003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则543258884A A A A A E -+-+- =001102002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.7、已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=987654321A ，则A 的正奇异值的个数为 2 .三、计算题已知 1(1,3,2,1)T α=-，2(1,0,0,2)T α=，1(0,1,1,3)T β=，2(3,2,1,6)T β=--， 且112{,}V span αα=，212{,}V span ββ=，求12V V +与12V V 的基和维数. 解：因为1212{,}V V span αα+=+12{,}span ββ=1212{,,,}span ααββ而12121103100130120102(,,,)2011001112360000ααββ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换 由于121,,ααβ是向量组1212,,,ααββ的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,ααβ且21212βααβ=--. 由行最简形知12dim()2,dim()2,V V ==又121212dim()dim dim dim()V V V V V V +=+- 故12dim()1V V =311100222110201236001212A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由21212βααβ=--得()12121223,3,2,3TV V ξααββ=-=+=--∈所以()3,3,2,3T--为12V V 的一组基。
矩阵论试题(2011)精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版矩阵论试题（2011）一.(18分)填空：设.1111,0910⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 1. A -B 的Jordan 标准形为J =2. 是否可将A 看作线性空间V 2中某两个基之间的过渡矩阵（ ）。
3. 是否可将B 看作欧式空间V 2中某个基的度量矩阵。
（ ）4. ()p vec B =（ ），其中+∞<≤p 1。
5 .若常数k 使得kA 为收敛矩阵，则k 应满足的条件是（ ）。
6. A ⊗B 的全体特征值是（ ）。
7. =⊗2BA （ ）。
8. B 的两个不同秩的{1}-逆为⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=)1()1(,B B 。
二.(10分)设n m C A ⨯∈,对于矩阵的2-范数2A 和F -范数F A ，定义实数222F A A A +=，（任意n m C A ⨯∈） 验证A 是n m C ⨯中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。
三.(15分)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011)0(,0)(,11120211133x e e t b A t t 。
1. 求At e ；2. 用矩阵函数方法求微分方程)()()(t b t Ax t x dtd+=满足初始条件x (0) 的解。
四.(10分)用Householder 变换求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4021030143010021A 的QR 分解。
五.（10分）用Gerschgorin 定理隔离矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i A 116864120的特征值。
（要求画图表示）六. (15分)已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3131,1212010121211010b A 。
1. 求A 的满秩分解；2. 求A +；3. 用广义逆矩阵方法判断线性方程组 Ax =b 是否有解；4. 求线性方程组Ax =b 的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x 0。
（要求指出所求的是哪种解）七.(15分)已知欧式空间R 2⨯2 的子空间,0032414321⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==x x x x x x x x X V R 2⨯2中的内积为,,),(222112112121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==a a a a A b a B A ij i j ij ,22211211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b B V 中的线性变换为T (X )=XP +XT , 任意X ∈V ，.0110⎪⎭⎫⎝⎛=P 1. 给出子空间V 的一个标准正交基； 2. 验证T 是V 中的对称变换；3. 求V 的一个标准正交基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵.八. (7分) 设线性空间V n 的线性变换T 在基n x x x ,,,21 下的矩阵为A ，T e 表示V n 的单位变换，证明：存在x 0≠0，使得T (x 0)=(T e -T )(x 0)的充要条件是21=λ为A 的特征值.矩阵论试题（07，12）一.(18分)填空：1. 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2101120100102201A 的Jordan 标准形为J =2. 设,4321,1001021001201001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=x A 则⎪⎩⎪⎨⎧===∞Ax A A F 2 3. 若A 是正交矩阵，则cos(πA )=4. 设n m C A ⨯∈，A +是A 的Moore -Penrose 逆，则(-2A , A )+=5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛--=300220111,4221B A ，则A ⊗B +I 2⊗I 3的全体特征值是（ ）。
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习题一
1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11
{()|0}n
ij n n ii
i V A a a
⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；
（2）2{|,}n n
T V A A R
A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；
（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
2.求线性空间{|}n n
T V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
4.设111213315A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，讨论向量(2,3,4)T α=是否在R (A )中。
5.讨论线性空间
P 4[x ]中向量3
2
11P x x x =+++，3
2
223P
x x x =-+，323452P x x x =+++的线性相关性。
6.设m n
A R ⨯∈，证明dim R (A )+dim N (A )=n 。
7.设113021211152A -⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪--⎝⎭
，求矩阵A 的列空间R (A )和零空间N (A )。
8.在22
R
⨯中，已知两组基
11000E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20100E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，30010E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，40001E ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
10111G ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，21011G ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31101G ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41110G ⎛⎫= ⎪⎝⎭
求基{E i }到基{G i }的过渡矩阵，并求矩阵0123⎛⎫
⎪-⎝⎭
在基{G i }下的坐标X 。
9.判别下列集合是否构成子空间。
（1）222
1{(,,)|1,,,}W x y z x y z x y z R α==++≤∈； （2）2
2{|,}n n
W A A I A R
⨯==∈；
（3）3
R 中，2
31231
230
{(,,)|(}0}t
W x x x x x x d ατ
ττ==++=⎰；
（4）411
{()|
0}m n
ij m n ij
i j W A a a
⨯=====∑∑。
10.设1(1,2,1,0)T
α=，2(1,1,1,1)T
α=-，1(2,1,0,1)
T
β=-，2(1,1,3,7)
T
β=-，
112{,}W span αα=，212{,}W span ββ=，求12W W ⋂和12W W +。
11.在矩阵空间22R ⨯中，子空间
1
21123434{|}x
x V A x x x x x x ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭，212{,}V L B B =，其中11023B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 20201B -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，求
（1）V 1的基和维数；
（2）12V V +和12V V ⋂的维数。
12.设1W 和2W 为n V 的子空间，1121
{(,,,)|
0}n
T
n i
i W x x x x
α====∑ ，
21212{(,,,)|}T n n W x x x x x x α===== ，证明12n V W W =⊕。
13.n
R 中，12(,,,)T
n αααα= ，12(,,,)T
n ββββ= ，判别下面定义的实数(,)αβ是否
为内积。
（1）1
(,)n
i
i
i αβαβ
==
∑；
（2）1
(,)n
i
i
i i αβαβ
==
∑；
（3）(,)T A αβαβ=，其中A 为正定矩阵。
13.设125{,,,}εεε 是V 5的标准正交基，又115αεε=+，2134αεεε=-+，
31232αεεε=++，求123{,,}W L ααα=的标准正交基。
14.在欧氏空间R 4中，求子空间{(1,1,1,1),(1,1,1,1)}T T W L =---的正交补子空间W ⊥。
15.判断下列变换哪些是线性变换 （1）R 2中，21212(,)(1,)T T
T x x x x =+；
（2）R 3中，12312123(,,)(,,2)T
T
T x x x x x x x x =+-；
（3）n n R ⨯中，A 为给定n 阶方阵，n n X R ⨯∀∈，()T X AX A =+； （4）22R ⨯中，()T A A *=，A *为A 的伴随矩阵。
16.设R 3中，线性变换T 为：i i T αβ=，i =1,2,3，其中1(1,0,1)T
α=-，2(2,1,1)T
α=，
3(1,1,1)T α=，1(0,1,1)T β=，2(1,1,0)T β=-，3(1,2,1)T β=，求
（1）T 在基123{,,}ααα下的矩阵； （2）T 在标准正交基下的矩阵。
17.设线性变换4
3
R R →，有
123412341241234(,,,)(,2,3)T T T x x x x x x x x x x x x x x x =-+++-++-，求N (T )和R (T )。
18.在欧氏空间Rn 中，设有两组基12,,,n ααα 与12,,,n βββ ，满足关系式
1212(,,,)(,,,)n n P βββααα= ，n n P R ⨯∈
证明：（1）若12,,,n ααα 与12,,,n βββ 都是标准正交基，则P 是正交阵；
（2）若12,,,n ααα 是标准正交组，P 是正交阵，则12,,,n βββ 是标准正交组。