东南大学考博矩阵论复习题
矩阵理论习题与答案
矩阵理论习题与答案矩阵理论习题与答案矩阵理论是线性代数中的重要内容之一，它在数学、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
为了帮助读者更好地理解和掌握矩阵理论，本文将介绍一些常见的矩阵理论习题，并提供详细的答案解析。
一、基础习题1. 已知矩阵A = [[2, 3], [4, 5]]，求A的转置矩阵。
答案：矩阵的转置是将其行和列互换得到的新矩阵。
所以A的转置矩阵为A^T = [[2, 4], [3, 5]]。
2. 已知矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求B的逆矩阵。
答案：逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。
由于B是一个2×3的矩阵，不是方阵，所以不存在逆矩阵。
3. 已知矩阵C = [[1, 2], [3, 4]]，求C的特征值和特征向量。
答案：特征值是矩阵C的特征多项式的根，特征向量是对应于每个特征值的线性方程组的解。
计算特征值和特征向量的步骤如下：首先，计算特征多项式：det(C - λI) = 0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
解特征多项式得到特征值λ1 = 5，λ2 = -1。
然后，将特征值代入线性方程组 (C - λI)x = 0，求解得到特征向量：对于λ1 = 5，解得特征向量v1 = [1, -2]。
对于λ2 = -1，解得特征向量v2 = [1, -1]。
所以C的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1，对应的特征向量为v1 = [1, -2]，v2 = [1, -1]。
二、进阶习题1. 已知矩阵D = [[1, 2], [3, 4]]，求D的奇异值分解。
答案：奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
计算奇异值分解的步骤如下：首先，计算D的转置矩阵D^T。
然后，计算D和D^T的乘积DD^T，得到一个对称矩阵。
接下来，求解对称矩阵的特征值和特征向量。
将特征值构成对角矩阵Σ，特征向量构成正交矩阵U。
最后，计算D^T和U的乘积D^TU，得到正交矩阵V。
3、东南大学工程矩阵模拟题12套
2． 求 n＝2 时，f 的所有特征值及相应特征子空间的基。
3． 写出一般 n(n ≥ 3) 时，对应于 1 与 2 的结论。
工程矩阵模拟题 4
一：已知
C
2×2
的子空间：V1
=
{B
|
AB
=
BA,
B
∈
C
2×2 }
则 V1 的标准正交基为______， V2 的标准正交基为______， V1 ∩V2 的标准正交基为
______，V1 + V2 的标准正交基为______。
二：设 f , g 为线性空间V 上的线性变换且 fg = f 。试证： 1．V = k ( f ) + R(g) （V 未必是有限维） 2．若 dim V＝n， 则 K ( f ) + R(g ) 为直和的充要条件为 dim R（f）＝dim R（g）。
______，V2 的基为______，V1 ∩V2 的基为______，V1 + V2 的基为______。
⎛a 0 b⎞
3．
已知线性变换
f
在基 α1 , α 2
,α3
下的矩阵为
⎜ ⎜
0
c
0
⎟ ⎟
，则
f
在基
α3
,α2
,α1
下的矩阵
⎜⎝ b 0 a ⎟⎠
为______.
4．
设 A ∈ C s×n , B ∈ Ct×n ，又 （r A）＝m，（r B)＝r，作
2． 若 A 为 Hermite 阵，则 e A 为正定阵。
3． 若 n 阶方阵 A, B 满足： A, A − BH AB 均为正定阵，则 ρ (B) < 1 。
矩阵引论试题及答案
矩阵引论试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 矩阵的元素全部为0的矩阵称为：A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 标量矩阵答案：A2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行（列）的最大数目D. 矩阵的元素个数答案：C3. 矩阵的转置是指：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行数变为列数C. 矩阵的列数变为行数D. 矩阵的元素不变答案：A4. 两个矩阵相乘的结果称为：A. 矩阵的和B. 矩阵的差C. 矩阵的积D. 矩阵的逆答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果矩阵A的行列式为0，则称矩阵A为________。
答案：奇异矩阵2. 矩阵A的逆矩阵记作________。
答案：A^(-1)3. 矩阵A与矩阵B相乘，记作________。
答案：AB4. 对于任意矩阵A，矩阵A与单位矩阵相乘的结果仍然是________。
答案：A三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述矩阵的行列式是什么？答案：矩阵的行列式是一个标量值，它提供了关于矩阵的一些重要信息，如矩阵是否可逆（行列式非零则可逆）、线性方程组是否有解等。
2. 矩阵的逆矩阵有什么性质？答案：矩阵的逆矩阵具有以下性质：(A^(-1))^(-1) = A，(AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)，以及单位矩阵I的逆矩阵仍然是I。
3. 矩阵的转置矩阵有什么特点？答案：矩阵的转置矩阵具有以下特点：(A^T)^T = A，(AB)^T =B^TA^T，以及矩阵A的转置矩阵的行列式等于矩阵A的行列式。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定矩阵A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，计算A的行列式。
答案：\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \]2. 给定矩阵B = \[\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5\end{bmatrix}\]，计算B的逆矩阵。
考博必备 研究生矩阵理论课后答案矩阵分析所有习题
①: , A
*
( A )
*
T
( A ) A
* *
*
, ;
( k , ) k A k ( , );
习题3-30
#3-30:若ACnn,则A可唯一地写为 A=B+C,其中BHnn,CSHnn.
证:存在性 取 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*), 则显然B,C分别是Hermite矩阵和反Hermite矩阵, 并且满足A=B+C. 唯一性 若 A=B+C,其中BHnn,CSHnn,则 A*=(B+C)*=B*+C*=B-C. 于是 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*). 证毕 注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推 出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.
习题3-14
#3-14:若AHmn,A2=E,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,-En-r).
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*) 其中1,…,n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=E=Udiag(1,…,1)U* 和 A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U* =Udiag(12,…,n2)U* ∴ i2=1,即i=1,i=1,…,n,. 取1,…,n的排列使特征值1(设共有r个)全排在 前面,则(*)式即给出所需答案.
习题3-20 试证:两个半正定矩阵之和是半正 定;半正定矩阵与正定矩阵之和是正定矩阵
矩阵论考博题选
设矩阵()n n ij A a C ⨯=∈满足（i ）A 是非奇异矩阵。
（ii ）11diag(,,)nn D a a = ，1B I D A -=-，证明()1B ρ< 证明（i ）反证。
假设A 是奇异矩阵（即0A =），则0Ax =有非零解：12(,,,)T n x x x x = 。
设1max 0k i i nx x ≤≤=≠，由10nkjj j ax ==∑，得1nkk k kj j j j ka x a x =≠=-∑，两边取绝对值又得111nnnk kk kj j kkjkk kj j j j j kj kj kx a a x x aa a ===≠≠≠≤≤⇒≤∑∑∑这与A 是严格对角占优矩阵矛盾。
故A 是非奇异矩阵。
证毕。
（ii ）11()B I D A D D A --=-=-，B 的特征多项式为11det()det(())det()det(())I B D D A D D D A D λλλ---=+-=+- （1）如果B 的某个特征值10≥λ，则显然0()D A D λ+-也是严格对角占优矩阵。
由结论（i ），0d et (())0D A D λ+-≠。
把式（1）中λ换成0λ，左边等于零，右边不等于零，矛盾。
从而B 的任一特征值1λ<，即()1B ρ<。
A 是非奇异的充要条件是存在常数项不为零的多项式()g λ使得()g A O =。
证明 设A 的特征多项式为11100()((1))n n n n f I A a a a a A λλλλλ--=-=++++=-由Hamilton-Cayley 定理，()f A O =。
必要性：如果A 是非奇异的，则00a ≠，取()()g f λλ=，即得证。
充分性：设11100()(0)m m m g a a a a λλλλ--=++++≠ ，且1110()m m m g A A a A a A a I O --=++++=移项121101()m m m A A a A a I I a ---⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭，说明A 可逆。
矩阵论试题(2011)精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版矩阵论试题（2011）一.(18分)填空：设.1111,0910⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 1. A -B 的Jordan 标准形为J =2. 是否可将A 看作线性空间V 2中某两个基之间的过渡矩阵（ ）。
3. 是否可将B 看作欧式空间V 2中某个基的度量矩阵。
（ ）4. ()p vec B =（ ），其中+∞<≤p 1。
5 .若常数k 使得kA 为收敛矩阵，则k 应满足的条件是（ ）。
6. A ⊗B 的全体特征值是（ ）。
7. =⊗2BA （ ）。
8. B 的两个不同秩的{1}-逆为⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=)1()1(,B B 。
二.(10分)设n m C A ⨯∈,对于矩阵的2-范数2A 和F -范数F A ，定义实数222F A A A +=，（任意n m C A ⨯∈） 验证A 是n m C ⨯中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。
三.(15分)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011)0(,0)(,11120211133x e e t b A t t 。
1. 求At e ；2. 用矩阵函数方法求微分方程)()()(t b t Ax t x dtd+=满足初始条件x (0) 的解。
四.(10分)用Householder 变换求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4021030143010021A 的QR 分解。
五.（10分）用Gerschgorin 定理隔离矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i A 116864120的特征值。
（要求画图表示）六. (15分)已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3131,1212010121211010b A 。
1. 求A 的满秩分解；2. 求A +；3. 用广义逆矩阵方法判断线性方程组 Ax =b 是否有解；4. 求线性方程组Ax =b 的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x 0。
（要求指出所求的是哪种解）七.(15分)已知欧式空间R 2⨯2 的子空间,0032414321⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==x x x x x x x x X V R 2⨯2中的内积为,,),(222112112121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==a a a a A b a B A ij i j ij ,22211211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b B V 中的线性变换为T (X )=XP +XT , 任意X ∈V ，.0110⎪⎭⎫⎝⎛=P 1. 给出子空间V 的一个标准正交基； 2. 验证T 是V 中的对称变换；3. 求V 的一个标准正交基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵.八. (7分) 设线性空间V n 的线性变换T 在基n x x x ,,,21 下的矩阵为A ，T e 表示V n 的单位变换，证明：存在x 0≠0，使得T (x 0)=(T e -T )(x 0)的充要条件是21=λ为A 的特征值.矩阵论试题（07，12）一.(18分)填空：1. 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2101120100102201A 的Jordan 标准形为J =2. 设,4321,1001021001201001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=x A 则⎪⎩⎪⎨⎧===∞Ax A A F 2 3. 若A 是正交矩阵，则cos(πA )=4. 设n m C A ⨯∈，A +是A 的Moore -Penrose 逆，则(-2A , A )+=5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛--=300220111,4221B A ，则A ⊗B +I 2⊗I 3的全体特征值是（ ）。
东南大学考博矩阵论复习题
2011矩阵论复习题1.设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为yx y x ⋅=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为kx x k =⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由.2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为),(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为)2)1(,(2121x k k kx kx x k −+=⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由.3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim .4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈=′=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim .5.设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有j i i T +=)(ji j T −=2)(1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;2)若j i e −=1j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵.敬告：本资源来自网络，如有侵权，请发邮件至liwdedy@ ，收到后立即删除，谢谢!6.设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T −=++)(i k j T =+)(kj i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵;2)求T 的零空间和像空间的维数.7.设线性空间3R 的两个基为(I):321,,x x x ,(II):321,,y y y ,由基(I)到基(II)的过度矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=101010101C ,3R 上的线性变换T 满足21321)32(y y x x x T +=++12323(24)T x x x y y ++=+31321)43(y y x x x T +=++1)求T 在基(II)下的矩阵;2)求)(1y T 在基(I)下的坐标.8.在线性空间)(3R P 中321)(x x x a x f +++=3221)(x x ax x f +++=32321)(x x x x f +++=讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.9.在22R ×中求由基(I)12101A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠20122A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠32112A −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠41312A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠到基(II)11210B ⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠21111B −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠31211B −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠41101B −−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠的过渡矩阵.10.已知1(1,2,1,0)α=2(2,1,0,1)α=−1(1,1,1,1)β=−2(1,1,3,7)β=−设1212(,)(,)V L L ααββ=∩,求线性空间V 的维数和基.11.在)(2R P 中,对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为∫=10)()())(),((dx x g x f x g x f 若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram −正交化方法,求)(2R P 的一组正交基.12.求矩阵10002i A i +⎛⎞=⎜⎟⎝⎠的奇异值分解.13.设A 为n 阶实矩阵,证明A 可表示为一对称矩阵和一反对称矩阵之和.(提示:若A A T =,称A 为对称矩阵。
矩阵论复习题 带答案1
矩阵论复习题1设A 、B 均为n 阶正规矩阵，试证A 与B 酉相似的充分必要条件是A 与B 的特征值相同。
证明: 充分性：A 与B 的特征值相同，A 、B 均为n 阶正规矩阵，则有11,A P IP B Q IQ --== 故11111,,A P QIQ P R Q P R P Q -----==令= A 与B 酉相似 必要性:A,B 为n 阶正规矩阵，存在初等变换R,1A RBR -=11,,,I E PQ A P IP B Q EQ --==为对角矩阵，存在初等变换111,I PAP E QRAR Q ---== ，因为I,E 为对角矩阵，故I=E 。
因此A 与B 的特征值相同。
#2 作出下列矩阵的奇异值分解10(1)A 0111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦011(2)A 200-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (1)632- 6 3 2101263011,130 2 6 311206333T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 2221 2 2,131222 2 2TC A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应故263 2 6 32210263 2 203 2 6 3220063 2 20 33HA ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2) 2010,240401T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应， 0040012201-1,2-400- 2 20-11022- 2 2T C A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 0101022200A 001 2202022022H⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.求下列矩阵A 的满秩分解123002111021A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭112211001230010,021110102111001230010,021101100001001230=010021-11-11L L A L L L A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦故4 设A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，证明：若B A ≥且BA AB =，则33B A ≥.证明：由于A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，且BA AB =，则AB 与BA 均为n 阶Hermite 正定矩阵。
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2011矩阵论复习题
1.设+
=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为y
x y x ⋅=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为
k
x x k =⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由.
2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为
)
,(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为
)2)1(,(2121x k k kx kx x k −+
=⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由.
3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3
R 的子空间，并求S 的
一组基和S dim .
4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)}
()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈=′=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim .
5.设T 是2
R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有j i i T +=)(j
i j T −=2)(1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;
2)若j i e −=1j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵.敬告：本资源来自网络，如有侵权，请发邮件至liwdedy@ ，收到后立即删除，谢谢!
6.设T 是3
R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T −=++)(i k j T =+)(k
j i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵;
2)求T 的零空间和像空间的维数.
7.设线性空间3R 的两个基为(I):321,,x x x ,(II):321,,y y y ,由基(I)到基(II)的过度矩阵为
⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=101010101C ,3R 上的线性变换T 满足
2
1321)32(y y x x x T +=++12323
(24)T x x x y y ++=+3
1321)43(y y x x x T +=++1)求T 在基(II)下的矩阵;
2)求)(1y T 在基(I)下的坐标.
8.在线性空间)(3R P 中
321)(x x x a x f +++=3221)(x x ax x f +++=3
2321)(x x x x f +++=讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.
9.在22R ×中求由基(I)12101A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠20122A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠32112A −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠41312A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠到基(II)11210B ⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠21111B −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠31211B −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠41101B −−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠
的过渡矩阵.
10.已知1(1,2,1,0)α=2(2,1,0,1)α=−1(1,1,1,1)β=−2(1,1,3,7)
β=−设1212(,)(,)V L L ααββ=∩,求线性空间V 的维数和基.
11.在)(2R P 中,对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为
∫=1
0)()())(),((dx x g x f x g x f 若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram −正交化方法,求)(2R P 的一组正交基.
12.求矩阵1000
2i A i +⎛⎞=⎜⎟⎝⎠的奇异值分解.13.设A 为n 阶实矩阵,证明A 可表示为一对称矩阵和一反对称矩阵之和.
(提示:若A A T =,称A 为对称矩阵。
若A A T
−=,称A 为反对称矩阵)
14.设x 和y 是Eucild 空间V 的非零元,它们的夹角是θ,试证明θ
cos ||||||||2||||||||||||222y x y x y x ⋅−+=−15.设A 是n n C
×上的n 阶方阵,x 是n C 上的n 维列向量,证明：22||||||||||||F Ax A x ≤⋅.16.设n
n C A ×∈,并且满足E A A H =,计算2||||A 和F A ||||.17.已知122112012422A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠
，求A 的最大值分解。
18.设m n A C ×∈，1）证明：()()H
rank A A rank A =;
2)证明：H A A 是半正定矩阵或正定矩阵。
19.求下列矩阵的谱阵和谱分解
400031013A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠332112310A ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠
20.设s λλλ,,,21L 是n 阶单纯矩阵A 的重数为s r r r ,,,21L 的特征值,∑==s i i n
r
1i E 是A 的对应于i λ的谱阵,证明
1)0=j i E E ,
(j i ≠),,2,1,s j i L =2)∑==s i i E
E
1
21.设函数矩阵⎟⎟⎠⎞⎜
⎜⎝⎛−=t t t t A cos sin sin cos ,求)(t A dt d ,))((det t A dt d 和))(det(t A dt d .22.证明1))()()())((111t A t A dt
d t A t A dt d −−−⋅⋅−=2)A
e Ae e dt
d At At At ==23.已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=73487612i A ,⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛=845x ,求111||||,||||,||||,||||,||||,||||x x Ax Ax A A ∞∞∞24.设a ||||•是n n C ×的一种矩阵范数,B 和D 是n 阶可逆矩阵,且
,1||||1≤−a B 1||||1≤−a D ,试证明对任意的n
n C A ×∈a
b BAD A ||||||||=也是n n C ×的一种矩阵范数.
25.已知a ||||•是n n C ×上的矩阵范数，0y 是n C 中的某非零列向量，n x C ∀∈设0||||||||H a x xy =证明它是n C 上的向量范数，并且与矩阵范数a ||||•相容。
26.设A 是n n C
×上的n 阶方阵,x 是n C 上的n 维列向量,证明：2||||||||||||x A Ax F F ⋅≤27.设n n C A ×∈,B 和D 是酉矩阵,证明:F
F F F BAD AD BA A ||||||||||||||||===28.已知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=00a a A ,⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−=a a a a B cos sin sin cos 其中R a ∈且0≠a ,证明:B e A =.29.已知⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−=33i i A ,1)证明A 是Hermite 矩阵;2)求方阵函数A cos .30.已知⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2000310020111001A ，1)求A 的Jordan 标准形J ;2)求可逆矩阵P ,使J AP P =−1
31.已知⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=3000130001300001A ,求A sin 和)sin(At .32.设A 为n 阶方阵,求证()det()A tr A e e
=特别地当A 为反对称矩阵时有det()1A e =33.设⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−−=3113A ,求方阵函数A e 和At e .34.证明:线性方程组b Ax =(其中n m C A ×∈m C b ∈)有解的充分必要条件是b
b AA =+35.已知⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=112001110001A ,求A 的广义逆矩阵+A .36.已知⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛=011i i i A ,求A 的广义逆矩阵+A .37.设BC A =是A 的最大秩分解,证明:+
++=B
C A 38.求微分方程组32113x x x dt
dx +−=32125x x x dt
dx −+−=32133x x x dt
dx +−=的通解.。