矩阵论复习题

2012矩阵论复习题
1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ⋅=⊕
对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为
k x x k =⊗
问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由.
2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为
),(112211y x y x y x y x +++=⊕
对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为
)2
)1(,(2121x k k kx kx x k -+=⊗ 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由.
3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim .
4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,
)}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='=
证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim .
5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有
j i i T +=)( j i j T -=2)(
1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;
2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵.
6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有
k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=
1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵;
2)求T 的零空间和像空间的维数.
7.在线性空间)(3R P 中
321)(x x x a x f +++= 3221)(x x ax x f +++= 32321)(x x x x f +++= 讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.
8.在22R ⨯中求由基(I) 12101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 20122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32112A -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41312A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
到基(II) 11210B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 21111B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 31211B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41101B --⎛⎫= ⎪⎝⎭
的过渡矩阵. 9.已知 1(1,2,1,0)α= 2(2,1,0,1)α=- 1(1,1,1,1)β=- 2(1,1,3,7)β=- 设1212(,)(,)V L L ααββ=⋂, 求线性空间V 的维数和基.
10.在)(2R P 中, 对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为
⎰=1
0)()())(),((dx x g x f x g x f 若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram -正交化方法,求)(2R P 的一组标准正交基.
11. 在2[]P x 中，内积定义为：1
20,()(),,[].f g f x g x dx f g P x <>=∀∈⎰ （1）如果()612+-=x x x f ，计算f ；
（2）证明：任一线性多项式()bx a x g +=，都正交于()6
12+
-=x x x f . 12.设A 是n n C ⨯上的n 阶方阵,x 是n C 上的n 维列向量,证明：
22||||||||||||F Ax A x ≤⋅. 13.设n n C A ⨯∈,并且满足E A A H =,计算2||||A 和F A ||||.
14. 设 101202011A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
，求A 的秩分解.
15.已知122112012422A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，求A 的最大秩分解。

16. 求矩阵10002i A i +⎛⎫= ⎪⎝⎭
的奇异值分解. 17.设m n A C ⨯∈，1）证明：()()H rank A A rank A =;
2) 证明：H A A 是半正定矩阵或正定矩阵。

18.求下列矩阵的谱阵和谱分解
400031013A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 332112310A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭
19.设s λλλ,,,21Λ是n 阶单纯矩阵A 的重数为s r r r ,,,21Λ的特征值,∑==s
i i n r 1
i E 是A 的对应于i λ的谱阵,证明
1)0=j i E E ,(j i ≠ ),,2,1,s j i Λ= 2) ∑==s
i i E E 1
20.设函数矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=t t t t A cos sin sin cos , 求)(t A dt d , ))((det t A dt d 和))(det(t A dt d . 21.证明 1))()()())((111t A t A dt
d t A t A dt d ---⋅⋅-= 2)A
e Ae e dt
d At At At == 22.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=73487612i A , ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=845x , 求111||||,||||,||||,||||,||||,||||x x Ax Ax A A ∞∞∞ 23.设a ||||•是n n C ⨯的一种矩阵范数,B 和D 是n 阶可逆矩阵,且,1||||1≤-a B 1||||1≤-a D ,证明对任意的n n C A ⨯∈，a b BAD A ||||||||=也是n n C ⨯的一种矩阵范数.
24. 已知a ||||•是n n C ⨯上的矩阵范数，0y 是n C 中的某非零列向量，n x C ∀∈设
0||||||||H a x xy =证明它是n C 上的向量范数，并且与矩阵范数a ||||•相容。

25.设n n C A ⨯∈, B 和D 是酉矩阵, 证明: F F F F BAD AD BA A ||||||||||||||||===
26.设n n C A ⨯∈，k 为正整数，证明：()()k k A A ρρ=.
27.设n n C A ⨯∈，且是Hermite 矩阵，证明：()2A A ρ=.
28.已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00a a A , ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=a a a a B cos sin sin cos 其中R a ∈且0≠a , 证明:B e A =. 29.已知⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=33i i A , 1)证明A 是Hermite 矩阵; 2)求方阵函数A cos . 30.已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2000310020111001A ， 1)求A 的Jordan 标准形J ; 2)求可逆矩阵P , 使J AP P =-1.
31.已知111111012A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，求50303A A +.
32.求矩阵210420210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭
的最小多项式.
33.已知111111012A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，判断矩阵级数03k k k k A ∞=∑是否收敛. 34.已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=3000130001300001A , 求A sin 和)sin(At . 35.设A 为n 阶方阵,求证()det()A tr A e e =特别地当A 为反对称矩阵时有det()1A e =
36.设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=163053064A , 求方阵函数A e 和()cos At . 37.证明:线性方程组b Ax =(其中n m C A ⨯∈ m C b ∈)有解的充分必要条件是b b AA =+
38.已知(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11200111000
1A , (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011i i i A ,求A 的广义逆矩阵+A . 39.设BC A =是A 的最大秩分解, 证明: +++=B C A
40.求微分方程组
32113x x x dt
dx +-= 32125x x x dt
dx -+-= 32133x x x dt
dx +-= 的通解及满足初始条件123(0)1(0)1(0)0x x x ===的特解.。