2016矩阵论试题
矩阵论习题
1、检验下列集合对于指明的数域和指定的运算，是否构成线性空间：1)集合：数域F 上的所有5次多项式；数域：F ；运算：多项式的加法和数乘．2)集合：n 阶实矩阵的全体；数域：实数域R ；运算：矩阵的加法及数乘．3)集合：数域F 上的n 阶对称矩阵的全体；数域：F ；运算：矩阵的加法及数乘．4)集合：全体整数；数域：实数域R ；运算：数的加法及乘法．5)集合：],[b a 上的全体连续函数；数域：实数域R ；运算：函数的加法及数乘．6)集合：数域F 上的齐次线性方程组0=Ax 的所有解向量；数域：F ；运算：数组向量的加法及数乘．7)集合：},0{R b a b b a V ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=；数域：实数域R ；运算：矩阵的加法及数乘． 8)集合：},1{R b a b b a V ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=；数域：实数域R ；运算：矩阵的加法及数乘． 解 1) 不是，对加法不封闭，(或对数乘不封闭，F ∉0)；2) 是；3) 是；4) 不是，对数乘运算(即通常数的乘法)不封闭；5) 是；6) 是；7) 是；8) 不是，无零元素．2、设V 是数域F 上的线性空间，n εεε,,,21 是V 的一组基．证明：1) 对于数域F 中任意非零的数k ，向量组n k k k εεε,,,21 是V 的一组基；2) n n εεε,,2,21 是V 的一组基．3) 对于F 中任何一组全不为零的数n k k k ,,,21 ，向量组n n k k k εεε,,,2211 是V 的一组基．证 1) 设存在F 中数n k k k ,,,21 ，使得02211=+++n n k k k k k k εεε ，则由n εεε,,,21 线性无关，有021====k k k k k k n ，因0≠k ，所以021====n k k k ，所以n k k k εεε,,,21 线性无关，又它们共有n 个，所以是V 的一组基．2)因为A n n n ),,,(),,2,(2121εεεεεε =，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A 21，因为0!≠=n A ，所以A 为可逆矩阵，又因n εεε,,,21 为一组基，所以n n εεε,,2,21 也为一组基．3) 显然向量组n εεε,,,21 与n n k k k εεε,,,2211 能相互线性表示，也即这两个向量组等价，又因n εεε,,,21 线性无关，所以n n k k k εεε,,,2211 也线性无关，从而为V 的一组基．3、求出下列线性空间的维数和一组基．1) 数域F 上所有n 阶上三角矩阵的集合V 对于通常的矩阵加法与数乘所成的数域F 上的线性空间．2) 数域F 上所有n 阶对角矩阵的集合V 对于通常的矩阵加法与数乘所成的数域F 上的线性空间．3) 复数域C 上所有3元行向量的集合．},,),,{(321321C a a a a a a V ∈=对于通常的数组向量加法与数乘所成的实数域R 上的线性空间．4) 集合},0{R b a b b a V ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 对于通常的矩阵加法与数乘所成的实数域R 上的线性空间．解 1) 维数为2)1(+n n ，一组基为n j i n i E ij ≤≤=;,2,1, ．(ij E 为元素ij a 为1，其他元素都为0的n 阶矩阵)．2) 维数为n ，一组基为n i E ii ,,2,1, =．3) 维数为6，一组基为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(,0,0),(0,,0),(0,0,)i i i4) 维数为2，一组基为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110,0001．4、已知线性空间3R 的两组基 1231231001110,1,0;'0,'1,'1,001001εεεεεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求3R 中向量Ta a a ),,(321=α分别在两组基下的坐标．解 因为332211εεεαa a a ++=，所以α在基321,,εεε下的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321a a a ．又因为123123111(',',')(,,)011001εεεεεε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以α在基123',','εεε下的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-332213211100110111a a a a a a a a ． 5、下述各题中线性空间V 的子集1V 是否构成V 的子空间：(各题中的F 均为数域)． 1)3112312,{(,,)0};V F V a a a a a ==+= 2)32112312,{(,,)};V R V a a a a a ===3)1],[V x R V =是所有常数项为0的实系数多项式的集合；4);][,][315x F V x F V ==5)122,V FV ⨯=是V 中所有2阶可逆矩阵的集合； 6)122,V FV ⨯=是V 中所有右上角元素为0的矩阵的集合； 7)122,V F V ⨯=是V 中所有右上角元素为1的矩阵的集合； 8)1,V R V n=是V 中所有第一个分量大于第二个分量的向量所成的集合．解 1) 是；因为对任意的1321321),,(),,,(V b b b a a a ∈，对任意的F k ∈， 1332211321321),,(),,(),,(V b a b a b a b b b a a a ∈+++=+1321321),,(),,(V ka ka ka a a a k ∈=．2) 不是；对任意的1321321),,(),,,(V b b b a a a ∈，因为),,,(),,(),,(332211321321b a b a b a b b b a a a +++=+且221a a =，221b b =，但22211)(b a b a +≠+，所以和1V ∉．3) 是；4) 是；5) 不是；若22,⨯∈F B A 均可逆，但B A +未必可逆．6) 是；7) 不是；若1V A ∈，对F k ∈≠1，有kA 右上角元素为1≠k ，故1V kA ∉．8) 不是；如1),2,1(V ∈-- ，对R k k ∈<,0，有k k 2-<-，(1,2,)k --= 1(,2,)k k V --∉ ．6、设V 是实系数n 元齐次线性方程组0=Ax 的所有解向量的集合．证明：1)V 是线性空间n R 的一个子空间(该线性空间称为齐次线性方程组0=Ax 的解空间)；2)0=Ax 的任一基础解系都是V 的一组基．证 1) 记{0},n V x R Ax =∈=则任意的V y x ∈,，有()000A x y Ax Ay +=+=+=，对任意的k R ∈，有0)(==kAx kx A ，所以V kx y x ∈+,，V 是nR 的一个子空间．2) 任取0=Ax 的一组基础解系12,,,r ηηη ，则12,,,r ηηη 线性无关，且0=Ax 的任一个解都能由12,,,r ηηη 线性表示，所以12,,,r ηηη 为V 的一组基，r V =dim ．7、求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-03020421431432x x x x x x x x x的解空间的维数和一组基．解 将系数矩阵使用初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000011102101301121011110 ，同解方程组⎩⎨⎧=+-=++002432431x x x x x x 解空间的维数为2=-r n ，令),(43x x 分别为)1,0(),0,1(，得一组基础解系T T )1,0,1,2(,)0,1,1,1(21--=-=ηη，即为解空间的一组基．(答案不唯一)8、求4R 中由向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1215,8120,3011,21024321αααα 生成的子空间的维数和一组基．解 因为),,,(4321ααααL 的维数等于向量组4321,,,αααα的秩，4321,,,αααα的一个极大无关组就是),,,(4321ααααL 的一组基．又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00000000121021011832210112105012，故维数为2，21,αα为一组基(不唯一)． 9、证明：在线性空间V 中，两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价．证 设12,,...,s ααα及12,,...,t βββ是线性空间V 的两个向量组，如果12121(,,...,)(,,...,)s t L L V αααβββ==，此时，若视1V 由12,,...,s ααα生成，则12,,...,t βββ作为1V 中的向量必可由12,,...,s ααα线性表示；若视1V 由12,,...,t βββ生成，则12,,...,s ααα又可由12,,...,t βββ线性表示．于是12,,...,s ααα与12,,...,t βββ等价．反之，若12,,...,s ααα与12,,...,t βββ等价，由于12(,,...,)s L ααα中的向量都可由12,,...,s ααα线性表示，而12,,...,s ααα又可由12,,...,t βββ线性表示，于是12(,,...,)s L ααα中的向量都可由12,,...,t βββ线性表示，即1212(,,...,)(,,...,)s t L L αααβββ⊆．同理可证，1212(,,...,)(,,...,)t s L L βββααα⊆，所以1212(,,...,)(,,...,)s t L L αααβββ=．10、证明：如果n 维线性空间V 的两个子空间1V ，2V 的维数之和大于n ，则12V V 中必有非零向量．证 由维数公式121212dim()dim()dim()dim()V V V V V V +=++ ，由已知，有12dim()0V V > ，故12V V 中必有非零向量．11、证明：线性空间V 的任一子空间1V 都是数乘变换*k 的不变子空间．证 对任意的1V α∈，因1*()k k V αα=∈，有1V 为*k 的不变子空间．12、设线性空间V 的子空间1V ，2V 都是线性变换σ的不变子空间，试证12V V 及12V V +也是σ的不变子空间．证 对任意的12V V α∈ ，则1()V σα∈，2()V σα∈，有12()V V σα∈ ；对任意的12V V α∈+，有12ααα=+，12,V V αα∈∈，则11()V σα∈，22()V σα∈，有1212()()()V V σασασα=+∈+．13、设321,,εεε是线性空间V 的一组基，线性变换σ使132231)(,)(,)(εεσεεσεεσ===，求σ的所有特征根及全部特征向量．解 σ在321,,εεε下对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，易求得A 的也即σ的特征根为1,121=-=λλ(2重)，当11-=λ时，解0)(=--X A E ，得一个基础解系1(1,0,1)T ξ=-，所以σ对应特征根11-=λ的全部特征向量为11231113(,,)(),k k εεεξεε=-其中1k 为任意的非零数．当12=λ时，解0)(=-X A E ，得一个基础解系23(0,0,1),(1,0,1),T T ξξ==所以σ对应特征根12=λ的全部特征向量为212323123323313(,,)(,,)()k k k k εεεξεεεξεεε+=++，其中32,k k 是不同时为0的任意数．14、 判明下述规则τσ,是否成为各自线性空间V 的变换：1)F 为数域，22⨯=F V ，对于任意的V A ∈，若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c a A c b a A )(,0)(τσ； 2)3][x R V =，对于任意的V x a x a a x f ∈++=2210)(，则)()]([),()]([x xf x f x f dx d x f ==τσ； 3)2R V =，对于任意的V ∈α，若T b a ),(=α，则T T ib ia b a ),()(,)1,1()(=++=ατασ．解 此题主要看τσ,的像是否属于V ，易知1)2)3)中的σ都是V 的变换，τ都不是．15、设线性空间3F 上的变换τσ,为：对3321),,(F a a a T ∈=α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21332121210)(,)(a a a a a a a a a a ατασ，试求σττσ,+．解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+323212))((a a a a a ατσ；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=3213210))((a a a a a a αστ．16、判断下面变换中哪些是线性变换，哪些不是．1) 在3R 上，定义σ：对⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0)(,213321a a R a a a ασα；2) 在3F 上，定义σ：对⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=332213321)(,a a a a F a a a ασα； 3) 在4F 上，定义σ：对⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=443322144321)(,a a a a a a a F a a a a ασα； 4) 在线性空间V 上，定义σ：V ∈=ααασ,)(0，其中0α为V 中一个固定的向量．5) 在n n R⨯上，合同变换σ：n n T R A AP P A ⨯∈=,)(σ，其中P 为一个固定的n 阶实可逆矩阵；6) 在][x F 上，定义变换σ：][)(),()]([x F x f x xf x f ∈=σ．解 1)是；2)不是；3)是；4)当00=α时是，当00≠α时不是；5)是；6)是．17、对于线性空间上的线性变换的乘法不具备交换律，但是对某些特定的线性变换τσ,，有τσστ=，此时称τσ,是可换的，今设P 是线性空间n n F ⨯中的一个确定矩阵，定义n n F ⨯的变换τσ,如下：对于n n F ⨯中的任意矩阵A ，AP A PA A ==)(,)(τσ，试证：1)τσ,都是线性变换． 2) τσ,是可换的．证 对任意的n n F B A ⨯∈,，任意的F k ∈，因为)()()()(B A PB PA B A P B A σσσ+=+=+=+)()()(A k kPA kA P kA σσ===所以σ是线性变换，同理可证τ也是线性变换．又n n F A A P PA AP P AP A ⨯∈====),()()()()(τσσστ，所以τσ,都是线性变换．18、设22⨯∈R V ，σ是V 上线性变换，对于任意的V M ∈，若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a M ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=d c c b a b M )(σ． 1) 证明σ是可逆线性变换； 2) 求出1-σ，即对上面的矩阵M ，求出)(1M -σ．证 1)取V 的一组基1112212210010000,,,00001001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000)(,1100)(,0011)(,0010)(22211211E E E E σσσσ，所以σ在基22211211,,,E E E E 下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100010000110010A ，因为01≠-=A ，所以A 可逆，故σ可逆．2)对V M ∈，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-c d c a a b M )(1σ． 1、设V 是实数域R 上的n 维线性空间，12,,,n εεε 是V 的一组基，对于V 中向量n n x x x εεεα+++= 2211，n n y y y εεεβ+++= 2211，定义内积为n n y nx y x y x +++= 22112),(βα，证明V 在此内积下构成一个内积空间．证 设R k V z z z n n ∈∈+++=,2211εεεγ ，则有n n x ny x y x y +++== 22112),(),(αββα；111222(,)()2()()n n n x y z x y z nx y z αβγ+=++++++11221122(2)(2)n n n n x y x y nx y x z x z nx z =+++++++(,)(,)αβαγ=+； 1122(,)2(,)n n k kx y kx y nkx y k αβαβ=+++= ．当0=α时，0),(=αα；当0≠α时，至少有一个00≠i x ，从而0),(200>=i x i αα，因此，该实数是V 上的内积，V 构成一个内积空间．2、设V 是实数域R 上的n 维线性空间，n εεε,,21 是V 的一组基，A 是一个n 阶正定实对称矩阵．定义V 的内积如下：对于V 中向量βα,，如果它们在基12,,,n εεε 下的坐标分别为y x ,，则 Ay x T =),(βα，证明V 是一个内积空间．证 设V ∈γ，在基12,,,n εεε 下的坐标为z ，R k ∈，则有),()(),(αββα=====Ax y x A y Ay x Ay x T T T T T T ；),(),()(),(γαβαγβα+=+=+=+Az x Ay x z y A x T T T ；),()(),(βαβαk Ay kx Ay kx k T T ===；因为A 为n 阶正定实对称矩阵，所以Ax x T =),(αα为正定二次型．0≠α时，0),(>αα；0=α时，0),(=αα，所以V 是一个内积空间．3、在实内积空间4R (内积为实向量的普通内积)中，已知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111,1111,0011321βββ， 试求出与321,,βββ都正交的单位向量．解 设T x x x x ),,,(4321=α满足,3,2,1,0),(==i i βα有 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=--+=+0004321432121x x x x x x x x x x ，可取T )1,1,1,1(--=α，故单位向量为 T ⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21,21,21或T⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21,21,21． 4、设内积空间3C 中向量βα,的内积为 αββαH =),(判断下述向量βα,是否正交：1)T T i i i i )2,1,1(,),,1(-+=--=βα；2)TT i i i i i )3,1,,1(,)2,,1(-=+-=βα． 解 1)01)2,1,1(),(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=i i i i βα，故正交．2)04721)3,,1(),(≠+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=i i i i i i βα，故不正交． 5、设12,,,n ααα 是n 维内积空间V 的一组基，如果V 中向量β使.,2,1,0),(n i i ==αβ证明 0=β．证 令n n x x x αααβ+++= 2211，有0),(),(),(11===∑∑==n i i i n i i i x x αβαβββ，由内积定义，有0=β．6、设V 是实数域R 上的内积空间，321,,εεε是V 的一组标准正交基．证明)22(31),22(31),22(31321332123211εεεηεεεηεεεη--=+-=-+=也是V 的一组标准正交基．证⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=323231323132313232),,(),,(321321εεεηηη，记矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=323231323132313232A ，因为,E A A T =所以A 为正交矩阵，又因为321,,εεε为标准正交基，所以321,,ηηη也是标准正交基．7、设54321,,,,εεεεε是5维内积空间V 的一组标准正交基．32132125112,,εεεαεεαεεα++=-=+=．求子空间),,(321αααL 的一组标准正交基．解 设0332211=++αααk k k ，则0)()2(51332321321=+++-+++εεεεk k k k k k k ，因为5321,,,εεεε线性无关，则0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关，所以他们是),,(321αααL 的一组基．将321,,ααα正交化，单位化，即得),,(321αααL 的一组标准正交基．记)0,0,1,1,2(),0,0,0,1,1(),1,0,0,0,1(321=-==x x x ，则正交化，11x y =；⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=21,0,0,1,21),(),(1111222y y y y x x y ；()1,0,1,1,1),(),(),(),(13222231111333-=-=--=y x y y y y x y y y y x x y ；单位化)1,0,0,0,1(222211==y z ； )1,0,0,2,1(663622--==y z ； )1,0,1,1,1(213-=z 所以标准正交基)(21),2(66),(22532135212511εεεεγεεεγεεγ-++=--=+=． 8、已知线性空间4][x R 对于内积⎰-=11)()())(),((dx x g x f x g x f构成一个内积空间．从基32,,,1x x x 出发，经正交单位化求一组标准正交基．解 因为32),(,0)1,(,211)1,1(1121111=====⋅=⎰⎰⎰---dx x x x xdx x dx ， 52),(,32)1,(,0),(2222===x x x x x ，…… 正交化，令11=β；x x x =⋅-=1)1,1()1,(2β； 31),(),(1)1,1()1,(22223-=⋅-⋅-=x x x x x x x x β；x x 5334-=β；再单位化x x x x x x 41434145;4104103;26),(;22)1,1(34232211-=-=====ηηβηβη9、对于实数域R 上的线性空间n m R ⨯，规定内积如下：对于nm R ⨯中任意元素][],[ij ij b B a A ==，则=),(B A 迹∑∑===n i mj ji ji Tb a A B 11)(．证明nm R⨯对此内积构成欧氏空间．证 ∑∑∑∑=======n i mj m j ni ji ji ji jiA B a b b aB A 1111),(),(；对任意的R k ∈，nm ij Ra C ⨯∈=][，有=+),(C B A 迹=+))((A C B T 迹()T T B A C A +=迹)(A B T +迹()TC A =(,)A B (,)A C +；=),(B kA 迹=))((kA B T 迹)(A kB T =k 迹)(A B T =),(B A k ；0),(112≥=∑∑==n i mj ji a A A ，当且仅当0=ji a (即0=A )时，0),(=A A ，所以n m R ⨯对此内积构成欧氏空间．10、设欧氏空间4R (内积为普通实数组向量的点积)的一组基为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111,0111,0011,00014321αααα，求在这组基下的度量矩阵A ．解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==4321332122211111)),((j i A αα． 11、在线性空间4R 上定义一种内积成为欧氏空间．已知在基T T T T e e e e )1,0,0,0(,)0,1,0,0(,)0,0,1,0(,)0,0,0,1(4321====下的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=3101121001211012A ． 1) 求在基T T T T )1,1,0,1(,)1,2,1,0(,)0,0,2,1(,)0,0,1,1(4321==-=-=αααα下的度量矩阵B ．2) 求实数a ，使向量T a )1,2,,1(-=α与向量T )0,2,1,1(-=β正交． 解 1) 因为由基4321,,,e e e e 到基4321,,,αααα的过渡矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-2100110010113112;11001200012110111P P ， 设向量α在4321,,,e e e e 下的坐标为x ，则α在4321,,,αααα下的坐标为x P 1-，如果在基4321,,,αααα下的度量矩阵为B ，则Ax x x BP x P T T ==--11)(),(αα，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----===--79119130010631032,)(11AP P B A BP P T T 2)βα,在4321,,,e e e e 下的坐标分别为T a )1,2,,1(-和T)0,2,1,1(-，所以0)0,2,1,1()1,2,,1(),(=--=T A a βα时，有310=a ． 12、设321,,εεε是欧氏空间V 的一组基，内积在这组基下的度量矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=612121211A已知V 的子空间1V 的一组基为112αεε=+，2123αεεε=+-．1) 证明21,αα是1V 的一组正交基； 2) 求1V 的正交补⊥1V 的一组基． 证 1) 因为12111213212223(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)ααεεεεεεεεεεεε=+-++-112(1)2(1)0=--+-+--=，故21,αα正交，所以21,αα是1V 的一组正交基．2) 只需再找到V 中向量3α使321,,ααα为V 的一组正交基，则3α即为⊥1V 的一组基． 方法一：设3322113εεεαx x x ++=，利用正交条件⎩⎨⎧==0),(0),(3231αααα 即 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0)1,1,1(0)0,1,1(321321x x x A x x x A 可得一解为2,2,7321-===x x x ，即得3213227εεεα-+=．方法二：先将21,αα扩充为V 的一组基123,,ααξ，为此只需123,,αατ的坐标线性无关．例如取31ξε=即可．再将123,,ααξ正交化．因21,αα已是正交组，正交化过程只需从第三个向量做起．令(3)(3)311223k k αααξ=++，算出(3)(3)3132121122(,)(,)20,(,)(,)5k k ξαξααααα=-==-=，即得3213525257εεεα-+=．13、设4维欧氏空间V 在基4321,,,εεεε下的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1100162102100101A ， 已知V 中向量323312211,,εεαεεαεεα-=+=+=，V 的子空间1123(,,)V L ααα=．1) 试求1V 的一组标准正交基； 2) 设有1V 的线性变换σ，使11266()(1)33σααα=+-，21266()(1)(2)63σααα=-++-，3136()22σααα=+请判明σ是不是1V 的正交变换或对称变换？解 1) 显然321,,ααα线性相关，其极大无关组21,αα即为1V 的一组基，将21,αα正交化、单位化便可得1V 的一组标准正交基．正交化得21211,ααβαβ+-==；再单位化得11212233,233γαγαα==-+． 又解 如取31,αα为1V 的一组标准正交基，因为31,αα已是正交基，只需单位化，便得1V 的一组标准正交基3332111133,22αααηαααη====2) 由题设条件知B ),(),(2121αααασ=，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----+=36236661361B 由1)的结果知P ),(),(2121ααγγ=，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=3303322P 设对1V 的标准正交基21,γγ有C ),(),(2121γγγγσ=则应有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-211133033223623666136130221BP P C因为C 是对称矩阵但不是正交矩阵，所以σ是对称变换但不是正交变换．14、设A ，B 都是H -矩阵，证明AB 也是H -矩阵的充要条件是BA AB =．证 必要性：BA A B AB AB H H H ===)()(；充分性：AB BA A B AB H H H ===)(，所以AB 为H -矩阵．15、若矩阵A 满足,A A H -=则称A 为一个反厄密特矩阵．试证：任一n 阶矩阵可表示为一个厄密特矩阵与一个反厄密特矩阵之和．证 设C B A +=，且C C B B H H -==,，则C B C B A HH H -=+=，所以)(21),(21H H A A C A A B -=+=为所求． 16、判断下列各矩阵在所指明的数域上能否相似对角化？若能，求出一个相似因子P ，并给出相应的对角矩阵Λ．1),163053064⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 实数域 2),201335212⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=A 复数域3),013211233⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=A 实数域 4),1211⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B 复数域5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=624232426B ，实数域解 1) )2()1(163530642+-=-+--=-λλλλλλA E ，特征根11=λ(二重)，22-=λ．当11=λ时，解0)(1=-X A E λ，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000021063063063，秩为1，故基础解系中有213=-=-r n 个线性无关特征向量，因0)(1=-X A E λ的同解方程组为0221=+x x ，3x 为任意实数．则令0,132==x x 有)0,1,2(1'-=ξ；1,032==x x 有)1,0,0(2'=ξ．当22-=λ，解0)(2=-X A E λ，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000110011330000011363033063，秩为2，故基础解系中有 1=-r n 个线性无关的特征向量，其同解方程组为⎩⎨⎧=-=+003221x x x x ．令12=x ，则得)1,1,1(3'-=ξ．因A 有3个线性无关的特征向量．令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110101102P ，则Λ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2111AP P ，P 为相似因子． 2),0)1(13321335212323=+=+++=+-+---=-λλλλλλλλA E 特征根1-=λ(三重)．当1-=λ时，解0)(=--X A E ，有010*******=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----X ，因0)(≠--A E ，故秩1)(≥--A E ，所以基础解系有2≤-r n 个线性无关特征向量．故A 不能相似对角化．3) )4)(4(164413211233223+-=-+-=-----=-λλλλλλλλλA E ，因其不能在实数域上分解成一次因式乘积，故A 不能相似于对角形(或A 特征根为复数)．4)0112112=+=+--=-λλλλB E ，i i -==21,λλ． 当i =1λ时，0)(=-X B iE ，有01211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--X i i ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--00)1(2111211i i i ，同解方程组0)1(2121=+-x i x ，令22=x ，则一个特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=211i ξ．当i -=2λ时，0)(=--X B iE ，有01211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----X i i ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----1211i i ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→00)1(211i ，同解方程组0)1(2121=-+x i x ，令22=x ，则得到一个基础解系⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=212i ξ．则一个相似因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=2211i i P ，且⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ=-i i BP P 1． 5)0)11()2(444815624232426223=--=-+-=---------=-λλλλλλλλλB E ，2=λ(二重)，11=λ．当21=λ时，()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-0000002124242124242X B E ，同解方程组022321=++x x x ，秩为1，基础解系中有3-1=2个线性无关特征向量．令),(32x x 分别取)0,1(，)1,0(，得)1,0,1(,)0,1,21(21'-='-=ξξ．当112=λ时，()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-00012010152428242511X B E ，同解方程组 ⎩⎨⎧=-=-0203231x x x x ，秩为2，基础解系中有3-2=1个线性无关特征向量．令13=x ，有 )1,21,1(3'=ξ，得到一个相似因子⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11021011121P ，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-11221BP P 17、对实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=324262423A ，求正交矩阵Q ，使'Q AQ 为对角矩阵． 解0)2()7(982112324262423223=+-=++-=---=-λλλλλλλλλA E ，得71=λ(二重)， 22-=λ．当71=λ时，()X X A E ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-4242124247，因⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000212424212424，有022321=++x x x ，令),(32x x 分别取)0,2(，)1,0(，有一个基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101,02121ξξ．当22-=λ时，()05242824252=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--X X A E ，因⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---524282425⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000120101 ，有⎩⎨⎧=-=-0203231x x x x ，令23=x ，得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2123ξ． 将21,ξξ正交化得 )0,2,1(11'-==ξη， )1,52,54()0,2,1(51)1,0,1(),(),(1111222'--=---=-=ηηηηζξη，单位化得 )0,2,1(511'-=e ，)55,52,54(1512'--=e 将3ξ单位化得 )2,1,2(313'=e ， 令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32155503115525232155451Q ，则Q 为正交矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Λ='=-2771AQ Q AQ Q ．18、求一个酉矩阵U ，把H -矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22i i A 化为对角形． 解,0)3)(1(341)2(2222=--=+-=--=---=-λλλλλλλλi iA E 解得3,121==λλ．当11=λ时，解0)(=-X A E 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→-00111i i i A E ，同解方程组021=+ix x ，令12=x ，得)1,(1'-=i ξ．当32=λ时，解0)3(=-X A E ，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→-001113i i i A E 同解方程组021=-ix x ，令12=x ，得.)1,(2'=i ξ再单位化得 ,121,12121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=i e i e 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1121i i U ，得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ=31AU U H．19、设V 是3维欧氏空间，321,,εεε是V 的一组标准正交基，线性变换σ使321332123211542)(,452)(,222)(εεεεσεεεεσεεεεσ+--=-+=-+= 求V 的一组标准正交基321,,ηηη，使σ在基321,,ηηη下的矩阵为对角矩阵．解 由题设条件可得σ在标准正交基321,,εεε下的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=542452222A ，对实对称矩阵A ，可求出正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3235032155455311552552Q ， 使)10,1,1(1diag AQ Q =Λ=-．令123123(,,)(,,)Q ηηηεεε=即得所求之标准正交基11221233123255,5525455,15153122.333ηεεηεεεηεεε=-+=++=+-1、用初等变换把下列λ-矩阵化为Smith 标准形．1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-λλλλλλ3522232) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2)1()1(λλλλ解 1)、21[(1)]32232[1,2]3222323[1,2]522352533523λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22250(103)0(103)33λλλλλλλλλλ⎛⎫+⎛⎫⎪⎪→→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2)、3222(1)(1)(1)00020(1)(2)1021λλλλλλλλλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→→++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭22(1)1(1)(1)1(1)λλλλλλλλ+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→+→+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭． 2、求出下列矩阵的不变因子和行列式因子．1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2)1()1(λλλλ 2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----a b b a b a n λλλ121 ，其中11,-n b b 都是不为0的常数．解 1) 易知32321)1()(),1()(,1)(+=+==λλλλλλλD D D ，所以22331221)1()()()(),1()()()(,1)(+==+===λλλλλλλλλλλD D d D D d d ．2) 易知121()()()1,()()n n n D D D D a λλλλλ-=====- ，所以121()()()1,()()n n n d d d d a λλλλλ-=====- ．3、求下列矩阵的若当标准形．1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---502613803； 2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212044010； 3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---544446235； 4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----8411362331； 5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---568236013 ； 6)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011231221 ； 7)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---496375254 ； 8)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---01121413；9)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000210032104321． 解 1) 先求A E -λ的初等因子，使用初等变换得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+---=-2)1(00010001111613803502613803λλλλλλλλλλA E ，所以初等因子是2)1(),1(++λλ，因而A 的Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1111J 或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1111 2)1010440440212122E A λλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭221001004(2)00(2)0122002λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭所以行列式因子3321)2()(,2)(,1)(-=-==λλλλλD D D ； 不变因子2321)2()(,2)(,1)(-=-==λλλλλd d d ； 初等因子组2)2(,2--λλ；Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2122或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2212． 3) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321[若当块次序可有不同]； 4) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11111； 5) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+i i 221；6) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1112；7) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0101； 8) 将A 写成分块形式⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21A A A ， 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0112,141321A A ．先分别求出21,A A 的初等因子 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-21)1(11413λλλλA E ，初等因子为2)1(-λ． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-22)1(1112λλλλA E ，初等因子为2)1(-λ． 所以A 的初等因子为2)1(-λ，2)1(-λ．故Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1111119) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111111． 4、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=130901025017A 的Jordan 标准形，并求变换矩阵P ．解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→-2)2)(3(11λλλA E ，因此A ～⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2123， 即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-21231J AP P ，PJ AP =，令),,(321x x x P =，可得 32322112,2,3x x Ax x Ax x Ax +===2321)2(,0)2(,0)3(x x A E x A E x A E -=-=-=-由齐次线性方程组0)3(=-x A E ，可求得Tx )0,1,0(1=； 由齐次线性方程组0)2(=-x A E ，可求得Tx )3,0,5(2=；把2x 代入2)2(x x A E -=-，可求得T x )1,0,2(3=．所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=130001250P ．5、已知3阶矩阵A 具有3重特征根1，是否可以说A 的若当标准形一定为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111J ，如果不一定，请说出此时A 的若当形有几种可能？都是什么样子？解 不一定；题设条件确定了A 的特征多项式为3)1()(-=λλψ．也就是说，A 的初等因子之积应为3)1(-λ．此时，初等因子组尚有如下一些可能：ⅰ)3)1(-λ；ⅱ)2)1(),1(--λλ；ⅲ))1(),1(),1(---λλλ．因此，相应的若当形也有三种可能，即ⅰ)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11111；ⅱ)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111；ⅲ)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111． 6、求下列矩阵1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=221041040A ；2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-311111002；3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----211212112；4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011212213；5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----444174147的最小多项式． 解 1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++→-2)2(21λλλA E ，故最小多项式为23)2()(+=λλd ．2),311111002⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλA E 其行列式因子为,1)(1=λD ),2()(2-=λλD .)2(3111)2()(33-=----=λλλλλD 不变因子为.)2()(,2)(,1)(2321-=-==λλλλλd d d 故Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2122，最小多项式2)2()(-=λλϕ． 3) ,211212112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--=-λλλλA E 因),1()(,1)(21-==λλλD DA E D -=λλ)(3,)1(3-=λ故()22211)(,1)(,1)(-=-==λλλλλd d d ，故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1211J ，最小多项式2)1()(-=λλϕ．4) )2()1(2--λλ； 5) )12)(3(--λλ．7、方阵A 满足0=kA (k 为正整数)，试说明A 的最小多项式取何种形式？ 解)0()(k l l ≤≤=λλϕ．8、设方阵A 满足E A =2，能否说)1)(1()(-+=λλλϕ一定是A 的最小多项式？如果已知1和-1都是A 的特征根，情况又怎样呢？解 提示：12-λ是A 的致零多项式，故最小多项式有三种可能：)1)(1(,1,1-+-+λλλλ．当1与-1均为A 的特征根时，最小多项式就是12-λ．9、已知方阵A 的特征多项式为)1()1()(2-+=λλλϕ，A 的最小多项式为1)(23+--=λλλλϕ．请给出A 的一个若当形，并简要说明原因．解 特征多项式为4次多项式，故知A 为4阶矩阵，A 的特征根为11-=λ(二重)，12=λ(二重)．由最小多项式)1()1()(2-+=λλλϕ可知A 的若当形J 中有两个若当小块为)1(,11121-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=J J ．因为J 的主对角线上应是A 的全部特征根，所以J 中还有另一个若当小块)1(3-=J ．于是，A 的一个若当形为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11111J ． 1、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110101011A的QR 分解．解 记),,(321ααα=A ，用施密特正交化方法得11βα=；212121122ββααα=-+=-+；312312*********βββαααα=++=++，单位化得T )0,22,22(2222111===αβε； T)36,66,66(3666362122-=+-==ααβε； T )33,33,33(2363632332133--=++==αααβε． 记26326663036302B ⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，123263263263(,,)26363033Q εεε⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==-- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，则有Q AB =， 1222226602620033R B -⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，便有QR A =． 2、求出下列矩阵的一种满秩分解1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211012A ；2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=300212112A ；3) 111111111111i i A i i --⎛⎫⎪--⎪= ⎪- ⎪--⎝⎭解 1) 显然，A 是一个列满秩矩阵，故它的一种满秩分解为AE A =，即23⨯=A B ，22⨯=E C ，BC A =．2) 在用行，列初等变换化A 为标准形过程中，顺便求出相应的初等变换21,P P ．具体过程为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+1000100011110000113000011121000100011003000102120011120)]1(12[()]13[E E A,00011002121211110003131010001001010100002111100001103000111121)]31(2[)]1(13[)]1(12[)]21(1[]3,2[31⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→+-+PP E r所以A 的秩为2，行列变换矩阵分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=010100212121,1110313100121P P ． 求21,P P 的逆，,010100112,1300310011211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--P P取11-P 的前两列为B ，取12-P 的前两行为C ，则得到A 的一种满秩分解⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==100112303101BC A ．3) 记),,,,(4321A A A A A =易知),(21A A 为一个极大无关组，,0213A A A -=,0214iA A A +=令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==i C A A B 1100001,11111111),(21，则BC A =． 3、求下列矩阵(相应于互异特征根)的谱分解：1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2543A ；2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0220；3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111111111111111； 解 1) 求出A 的特征根)2)(7(2543+-=----=-λλλλλA E ，得,71=λ 22-=λ．计算对角化相似因子P 及1-P ，使⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ=-271AP P ． 解0)7(=-X A E ，有基础解系，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111ξ，解0)2(=--X A E ，有基础解系，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=542ξ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-114591,5141),(121P P ξξ． 令)91,91(),94,95(,54,112121-==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q Q P P ，则,95959494,94959495222111⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==Q P A Q P A得谱分解式 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=+=95959494294959495727212211A A A A A λλ． 2) 4222+=-=-λλλλA E ，得互异特征根i i 2,221-==λλ，令i i 2)(,2)(21+=-=λλϕλλϕ，,212221)2(41)()(,212221)2(41)()(22221111⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--==⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+==i i iE A i A A i i iE A i A A λϕϕλϕϕ则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+=212221221222122211i i i i i i A A A λλ． 3)0=-A E λ得,21-=λ22=λ(3重)．令2)(,2)()(1221+=-=+=-=λλλλϕλλλλϕ，,3111131111311113)2(41)()(,111111111111111141)2(41)()(22221111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=+==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=--==E A A A E A A A λϕϕλϕϕ则2122A A A +-=．4、求下列正规矩阵的谱分解式．1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110A ；2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A ；3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ． 解 1) 求出A 的特征根i i -==21,λλ，求酉矩阵U 使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ=-i i AU U 1 解0)(=-X A iE ，得T i ),1(1=ξ，解0)(=--X A iE ，得Ti ),1(2-=ξ， 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=i i U 1121， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-i i U U H 11211． 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1121),1(211211i i i i A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1121),1(211212i i i i A ， 则21iA iA A -=．2) 求A 的特征根得71-=λ，22=λ(2重)求相似因子P ，使得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2271AP P ．解0)7(=--X A E ，得T )2,2,1(1--=ξ，解0)2(=-X A E ，得T T )1,0,2(,)0,1,2(32=-=ξξ，令,102012221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=P 可算得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-542452221911P ，令,44244222191)2,2,1(912211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=--⋅⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=A ,54245222891542452911001222⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 则2127A A A +-=．3),0)1()1()1()(01011022=+-=---=---=-λλλλλλλλλλA E 得11=λ(2重)，12-=λ．解,010********)(1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⇒=-X X A E λ得,)1,1,1(,)1,0,1(21T T ==ξξ解,010********)(2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⇒=-X X A E λ得T )1,0,1(3-=ξ，令,2102101021121,1110101111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-PP,210210002102121021101,21021010210210102112111101121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A 则21A A A -=．5、求矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛002001的奇异值分解． 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000005A A H，特征根51=λ，02=λ(2重)．故A 的奇异值为0,521==σσ．记∑=)5(，则A 的奇异值矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯000005n m S ． 求出A A H分别相应于特征根0,521==λλ的标准正交特征向量为,100,010,001321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=v v v令),(),,(),(2132211V V V v v V v V ===，计算⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=-2151111AV U ，求2U ： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4221H AA ， 0,521==λλ．对02=λ，解T THu X AA E )51,52()1,2(0)0(1-=⇒-=⇒=-ξ，令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=51522U ， 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==122151),(21U U U ，得到奇异值分解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==100010001000005122151HUSV A 6、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110011A的奇异值分解．解 ∑=)2(，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000002S ；),(21V V V =，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2121,212121V V ；),(21U U U =，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21001210,2102121U U ； ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==212121210000022102101021021HUSV A ． 7、求下列矩阵A 的M-P 广义逆+A ．1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101201A ，2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=112001110001A ；3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1210002i i ；4)10201102132i i -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解 1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=+51222261A ；2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+11311131222281A ； 3) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+51052242151i i i A ； 4) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=+i i A 3301745134330241． 1、设nn n n ij Ca A ⨯⨯∈=)(，令12211()n nij Fi j Aa ===∑∑，则F A 为方阵范数，证明：FA 是一种与向量的2-范数2x 相容的方阵范数．称它为方阵A 的Frobenius 范数，简称F-范数．证 即证22x AAx F≤，设n i a a a A in i i i ,,2,1),,,,(21 ==；T n x x x x ),,,(21 =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A x A x A x A A A Ax n n 2121，由Cauchy 不等式得22221212222112x A x a x a x a x a x A inj jnj ijnin i i i =≤+++=∑∑== ．所以22222222222221111()()nnnni i i j Fi i i j A x A x A x a x A x=====≤==∑∑∑∑ 从而 22x AAx F≤．2、设V 是n 维(复的或实的)线性空间，n e e e ,,,21 是V 的一组基，则对任意的V x ∈，x 有唯一表示式n n e x e x e x x +++= 2211，规定 2112)(∑==ni i Ex x．证明：E x 是V 中元素的一种范数．证 (ⅰ) 若0≠x ，因n e e e ,,,21 线性无关，故至少有一个坐标00≠i x ，因此，。
北京邮电大学《矩阵论》2015-2016-1 期末试卷及答案
北京邮电大学2015——2016学年第一学期《矩阵论》期末考试试题评分参考标准一、（10分）设 x 1,x 2 是线性空间 V 的一组基，线性变换 T 在这组基下的矩阵为 A =[21−10] 。
y 1,y 2 是另一组基，且 (y 1,y 2)=(x 1,x 2) [1−1−12] 。
（1）求 T 在 y 1,y 2 下的矩阵 B ；(2) 计算 A 100 。
解：（1）B =[1−1−12]−1A [1−1−12]=[1101]。
（5分） （2）A 100=[1−1−12]B 100[1−1−12]−1A =[101100−100−99]。
（5分）二、（10分）计算 ln A ，其中 A =[e1e 1e 1e ] 。
解：ln A =[11/e −1/2e 21/3e 311/e −1/2e 211/e 1]。
（10分）三、（15分） 设 x =[512] 。
（1）计算Givens 变换 G 1 使得 G 1x =[a 0] ； （2）计算Givens 变换 G 2 使得 G 2x =b [11] 。
解：（1）G 1=[5/1312/13−12/135/13]，a =13，或G 1=[−5/13−12/1312/13−5/13]，a =−13。
（7分） （2）G 2=[17/13√27/13√2−7/13√217/13√2]，b =13√2/2，或G 2=[−17/13√2−7/13√27/13√2−17/13√2]，b =−13√2/2。
（8分）四、（10分）设 A =[−1−600−630000 00344−3] ，计算 ‖A ‖1，‖A ‖2，‖A ‖∞，‖A ‖F 。
解：‖A ‖1=9，‖A ‖2=1+2√10，‖A ‖∞=9，‖A ‖F =2√33。
（10分）五、（10分）设矩阵A ∈R n×n 满足 A 3=A ，证明存在非奇异矩阵 X 使得 X −1AX =[I r −I s 0t]。
矩阵论复习题
矩阵论复习题矩阵论复习题矩阵论作为线性代数的重要分支，涉及到矩阵的性质、运算以及应用等方面。
在学习矩阵论的过程中，复习题是提高理解和巩固知识的重要工具。
本文将通过一些典型的矩阵论复习题，帮助读者回顾和加深对矩阵论的理解。
1. 矩阵的乘法性质与运算规则(1) 证明矩阵的乘法不满足交换律，即AB≠BA。
(2) 若矩阵A是m×n阶矩阵，矩阵B是n×p阶矩阵，证明矩阵乘法满足结合律，即(AB)C=A(BC)。
(3) 证明单位矩阵是矩阵乘法的单位元，即对于任意矩阵A，有AI=IA=A。
2. 矩阵的逆与行列式(1) 若矩阵A可逆，证明其逆矩阵唯一。
(2) 若矩阵A可逆，证明其逆矩阵也可逆，且逆矩阵的逆等于A。
(3) 若矩阵A可逆，证明其转置矩阵也可逆，且转置矩阵的逆等于A的逆的转置。
(4) 证明若矩阵A可逆，则其行列式不为零，即|A|≠0。
3. 矩阵的特征值与特征向量(1) 若矩阵A的特征值为λ，证明矩阵A-λI的行列式为零，即|A-λI|=0。
(2) 若矩阵A的特征向量为v，证明对于任意非零实数k，kv也是矩阵A的特征向量。
(3) 若矩阵A的特征向量v1和v2对应于不同的特征值λ1和λ2，证明v1和v2线性无关。
(4) 若矩阵A的特征向量v对应于特征值λ，证明对于任意正整数n，(A^n)v对应于特征值λ^n。
4. 矩阵的相似与对角化(1) 若矩阵A与矩阵B相似，证明矩阵B与矩阵A相似。
(2) 若矩阵A与矩阵B相似，矩阵B可对角化，证明矩阵A也可对角化。
(3) 若矩阵A可对角化，证明A的特征向量组成的矩阵P可逆，且A=PDP^-1，其中D为对角矩阵。
通过复习以上的矩阵论题目，可以加深对矩阵的性质、运算规则、逆与行列式、特征值与特征向量以及相似与对角化的理解。
同时，通过解题的过程，还可以提高解决问题的能力和运用矩阵论知识的技巧。
希望读者能够充分利用这些复习题，巩固所学的矩阵论知识，为进一步深入学习打下坚实的基础。
2016矩阵论复习题
矩阵论复习题1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ⋅=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为k x x k =⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由.2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为),(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为)2)1(,(2121x k k kx kx x k -+=⊗ 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由.3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S的一组基和S dim .4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim .5. 设33:R R T →是线性变换，()()321323213212,,2,,x x x x x x x x x x x T -++-+=求T 的零空间)(T N 和像空间)(T R 的基和维数.6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵;2)求T 的像空间的基与维数.7. 在22R ⨯中求由基(I) 12101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 20122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32112A -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41312A ⎛⎫= ⎪⎝⎭到基(II) 11210B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 21111B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 31211B -⎛⎫= ⎪⎝⎭41101B --⎛⎫= ⎪⎝⎭的过渡矩阵. 并求矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2102A 在基(I)下的坐标.8. 在)(2R P 中, 对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为⎰=10)()())(),((dx x g x f x g x f 若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram -正交化方法,求)(2R P 的一组标准正交基.9. 在2[]P x 中，内积定义为：120,()(),,[].f g f x g x dx f g P x <>=∀∈⎰ 1）如果()612+-=x x x f ，计算f ；2）证明：任一线性多项式()bx a x g +=，都正交于()612+-=x x x f . 10. 已知122112012422A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的最大秩分解。
矩阵理论(16-17)试卷
2016——2017学年第一学期 《矩阵理论》考试试卷试卷审核人： 考试时间： 2016.12.4注意事项：１.本试卷适用于16级研究生学生考试使用。
２.本试卷共8页，满分100分。
答题时间150分钟。
学院： 姓名:_________________学号：一.(本题满分12分) 设3[]P x 是次数不超过3的实系数多项式空间，{}2301233()(1)0;()[]W f x f a x a x a x f x a P x ==+++∈=,1. 证明W 按照多项式的加法与数乘运算构成3[]P x 的线性子空间；2. 求W 的维数及其一组基．二. (本题满8分)求矩阵524212425A⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=---的LU分解和LDU分解．三．(本题满分12分) 设T 为线性空间22R ⨯的一个线性变换 ，对任意的22a b R c d ⨯⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 232a b a b b T c d c d d ⎛⎫+⎡⎤⎡⎤= ⎪⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ； 1. 求T 在22R⨯的标准基 111221100100,,,000010E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦220001E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦下的矩阵； 2. 求T 在22R ⨯的另一基 123110100,,,111111G G G ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦40001G ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦下的矩阵．四．（本题满分８分）设A()λ为6阶λ矩阵，其秩为4，初等因子为3212111,,,,,,,()λλλλλλλλ--+++,试求A()λ的不变因子与Smith 标准型．五．(本题满分15分) 已知微分方程组112321233123++3+dx =3x x x dt dx =x x x dt dx =3x 3x x dt ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩－－－可简记为d x Ax dt =, 写出A 并求满足初始条件1(0)11x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=的解.六．（本题满分10分）设1011131,11Ai⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=---作出A的盖尔圆, 并判断哪些盖尔圆相交, 应用圆盘定理隔离A的特征值．七．（本题满分10分）设矩阵0311A-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试计算矩阵多项式32()2272g A A A A E=-++并求1A.八. （本题满分10分）已知010001230A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵A的Jordan标准形J，并求10A.九.(本题满分15分) 设10010112,10012111A b⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==-,1.求A的满秩分解；2.求A+；3.判断线性方程组Ax b=是否有解；4.求线性方程组Ax b=的极小范数解或极小范数最小二乘解（并指出所求的是哪种解）.。
矩阵论试题及答案
一．（10分）已知n n C ⨯中的两种范数a ⋅和b ⋅，对于n n C A ⨯∈，证明b a A A A +=是n n C ⨯中的范数. 解：⑴非负性：由于b a ⋅⋅,是两种范数，故当A=0时，0,0==b a A A ，所以000=+=+=b a A A A ； 当A ≠0时，0,0>>b a A A ，所以0>+=b a A A A⑵齐性：()A A A A A A A A b a b a b a ααααααα=+=+=+= ⑶三角不等式：B A B A B A B A B A B A b b a a b a +=+++≤+++=+二．(每小题10分,共20分)已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101121103A ,()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=002t e t b , 1. 求At e2. 用矩阵函数方法求微分方程()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=T x t b t Ax t x dt d1,0,10的解.解：1. ()1112113det ----=-λλλλA I ()()3211132-=----=λλλλ显然, )det(A I -λ的一阶子式的公因子为1, 容易知道)det(A I -λ 的二阶子式的公因子为2-λ,所以A的最小多项式为()()()23222-=--=λλλλm ,即()()022=-=I A A m ,设()()()b a g m e f t ++==λλλλλ,则()a te f t =='λλ 对于特征值2=λ有()()⎩⎨⎧=='+==a te f b a e f t t 22222,()⎩⎨⎧+-==ttet b te a 2212 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+=+=t t t t t t e bI aA e t At1010122. ()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰--ds e s s s ss s e e ds s b e x e t x s t s At t As At 001010110102020 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t e t e t At 1001012三．(15分)用Givens 变换求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2100421132403100A 的QR 分解. 解：()T01001=β,构造()s c T ,13=,1101sin ,0100cos 22232132223211=+=+===+=+==xx x s x x x c θθ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210031002340421121421132403100100000010010010013A T⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21312A , 构造),(12s c T , ()21sin ,21111cos 222122222211=+==-=+--=+==x x x s x x x c θθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=1052212131111121212A T⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/1002/12/1002/10010010013122T T I T ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==2/12/100000100102/12/100TT Q ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/522344211R四．(10分)用Gerschgorin 定理证明⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=8110260110410100A 至少有两个实特征值. 解：A 的4个盖尔圆为:{}1|1≤=z z G ,{}2114|2=+≤-=z z G , {}3216|3=+≤-=z z G , {}2118|4=+≤-=z z G ,它们构成的两个连通部分为11G S =,4322G G G S =.易见,1S ,2S 都关于实轴对称且各含有1个和3个特征值,因为实矩阵的复特征值必成对出现, 故1S ,2S 必各含有一个实特征值,从而A 至少含有2个实特征值.五．(20分)已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=221221*********A ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=44111b 1. 求A 的满秩分解.2. 求+A3. 用广义逆矩阵的方法判别方程组b Ax =是否相容.4. 求方程组b Ax =的极小范数解或极小范数最小二乘解并指出所求解的类型.解 1。
矩阵论试题0712
矩阵论试题（07，12）一.(18分)填空：1.矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=2101120100102201A 的Jordan 标准形为J = 2.设,4321,1001021001201001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=x A 则⎪⎩⎪⎨⎧===∞Ax A A F 23. 若A 是正交投影矩阵，则cos(A )=4. 设nm CA ⨯∈，A +是A 的Moore-Penrose 逆，则(-2A,A )+=5.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=300220111,4221B A ，则A B +I 2I 3的全体特征值是（ ）。
6. 设向量空间R 2按照某种内积构成欧式空间，它的两组基为)1,1(),1,1(21-==αα和),12,6(),2,0(21==ββ且i α与j β的内积为3),(,1),(,15),(,1),(22122111=-===βαβαβαβα 则基21,αα的度量矩阵为（ ）。
二.(10分)设n m n m ij C a A ⨯⨯∈=)(,定义实数ijji a n A ,max =1. 证明A 是nm C⨯中的矩阵范数.2. 证明该矩阵范数与向量的∞-范数相容.三.(15分)已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=321)0(,211)(,211121221x e t b A t 。
1. 求Ate；2. 用矩阵函数方法求微分方程)()()(t b t Ax t x dtd+=满足初始条件x (0)的解。
四.(10分)用Givens 变换求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=4300041220513003400054321A 的QR 分解。
五.（10分）用Gerschgorin 定理隔离矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=i i A 22.03.005.245511.02011.002的特征值。
（要求画图表示） 六. (15分)已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=1321,01111211111101110100b A 。
矩阵理论2015试卷
2015——2016学年第一学期 《矩阵理论》考试试卷试卷审核人： 考试时间： 2015.12.20注意事项：１.本试卷适用于15级研究生学生考试使用。
２.本试卷共8页，满分100分。
答题时间150分钟。
学院： 姓名:________________学号：23320()[]20a b c d V f t a bt ct dt R t b c d ⎧⎫+-+=⎧⎪⎪==+++∈⎨⎨⎬+-=⎩⎪⎪⎩⎭1.证明V 按照多项式的加法与数乘运算构成3[]R t 的学习子空间；2.求V 的维数与一组基.二. (本题满分12分) 在线性空间22R ⨯ 中， 1. 证明 123410000101,,,00011010A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是22R ⨯的一组基；2. 设有线性变换，使得 2212,21TA A A R ⨯⎛⎫=∀∈ ⎪-⎝⎭，求该线性变换在基123410000101,,,00011010A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的矩阵．三．(本题满分10分)求矩阵031042212A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦的QR分解．四．（本题满分15分）已知 12261313At t t tt e e t tt t t t --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--+⎝⎭， 1. 求矩阵 A ；2. 求矩阵A 的Jordan 标准形J ，并求相似变换矩阵,P 使得1P AP J -=.五．（本题满分8分）作出矩阵011131118A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的盖尔圆,并应用圆盘定理隔离其特征值．六．（本题满分8分）求多项式矩阵222212+1()=A λλλλλλλλλλλ⎛⎫++-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭的Smith 标准形.七．（本题满分10分）设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0311A ，试计算矩阵多项式 E A A A A g 272)(23++-=.八．(本题满分12分) 已知95421452,()1,2280t A f t e →⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥=-= ⎪⎢⎥⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭1. 求矩阵函数 ;Ate2. 求微分方程组()()()d x t A x t f t dt→→→=+满足初始条件1(0)02x →⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的解.九. (本题满分15分) 设11121101,00110012A b-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1. 求A的满秩分解；2.求A+；3. 求矛盾方程组Ax b=的极小范数最小二乘解，并计算其两种范数.。
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得分
二、解答题（10分）
11.求矩阵 的Jordan标准型 。
得分
三、证明题（每小题10分，共20分）
12.设线性变换 ，对任意的 ，
（1）求 在基 ， ， ，下的矩阵
（2）求 的基。
13.设 是实数域 上的线性空间 的一个基，且，如果对任意的 有
17.验证矩阵 是正规矩阵，并求酉矩阵 ，使 为对角阵.
3．在 中，基 ， ， 到基 ， ， 的过度矩阵为
4.设矩阵 ，则
.
5． 的Smith标准形为
说法不正确的是（）.
(A) 一定可以对角化；（B） 的特征值全为实数；
(C)若 ，则 ；（D） 的特征值全为零或纯虚数。
7．设矩阵 的谱半径 ，则下列命题不正确的是 （）
， ，
（1）证明： 是 的向量范数，其中 表示 中的2-范数；
（2）当 ， ， 时，计算
得分
四．解答题（每小题10分，共20分）
14.已知 ， ， ， ，求 与 的和空间与交空间的基和维数
15.设 ，
（1）求 的通解；（2）求 的最小范数解。
得分
五．解答题（每小题10分，共20分）
16.已知 ，(1)求 的最小多项式；(2)求 。
（A） ； （B） ；
（C） ； （D） ，使 ．
8.设 是实的反对称矩阵（ ），则下列命题正确的是 （）
（A） 是实的反对称矩阵； （B） 是正交矩阵；
（C） 是实的反对称矩阵； （D） 是实的对称矩阵．
9.如果实对称矩阵 满足 ，而 ,则 （）
（A）0 （B）1； （C）2； （D）4.
10. 若矩阵 ，则矩阵 的奇异值为（）
考试方式：闭卷
太原理工大学矩阵分析试卷（A）
题号
一
二
三
四
总 分
得分
适用专业：2016级硕士研究生考试日期：2017.1.09时间：120分钟 共8页
得分
一、填空选择题（每小题3分，共30分）
1-5题为填空题：
1.已知 ，则 。
2.设线性变换 ， 在基 下的矩阵分别为 ， ，则线性变换 在基 下的矩阵为_____________.