08级-研-矩阵论试题与答案

中国矿

业大学

08级硕士研究生课程考试试卷

考试科目

2008年12月研究生姓名

中国矿业大学研究生培养管理科印制

(15分)计算

已知A可逆，求；e At dt (用矩阵A或其逆矩阵表示);

设a (a i,a2,a3,a4)T是给定的常向量, X (X j)2 4是矩阵变量，求畔■

设3阶方阵A的特征多项式为(6),且A可对角化，求lim

k

k A

--- O (A)

(2)

二( 15分)设微分方程组

dx

Ax

dT

，X o

x(0) X

o

(1)求A的最小多项式m A(); (3)求e At (3)求该方程组的解。

三（15 分）对下面矛盾方程组Ax b

（1）求A的满秩分解A FG ; 2）由满秩分解计算A ；x3

x1

x1

x2 x3 1

x2 1

3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解x LS 。

四（10分）设

求矩阵A的QR分解（要求R的对角元全为正数，方法不限）。

五（10分）设A T(0 R n,n 2)

（1）证明A的最小多项式是m（）2 tr(A)；

（2）求A的Jordan形（需要讨论）。

六(10分)设A R mn

(1)证明rank(I n A A) n

(2) Ax 0的通解是x(I n A A)y, R n

。七( 10分)证明矩阵

(1)能与对角矩阵相似;

2

3

3

4

M

(n 1)2

特征值全为实数。

1

2

2

3

(n 1)3

1

尹

2

3

盯

M

2n

八（15分）设A是可逆矩阵, ,||B A （这里矩阵范数都是算子范

数）

如果，证明

（1）B是可逆矩阵；（2）B 1A1

（15分）计算(2)

(2)参考答案

已知A可逆，求；e At dt（用矩阵A或其逆矩阵表示）;

a （a1,a2,a3,a4）T是给定的常向量，X (X ij )2 4是矩阵变量，求d(X a ;

dX

3阶方阵A的特征多项式为0e At dt A12( 6）,且A可对角化，求lim

k

A

--- o

(A)

, .At

1de dt 0dt A1(e A I)

d(X

dX

)T

A的特征根为

k lim亠

k (A) x1j a j

，(X

X2j a j

(X )T

X11

(X )T

X21

)T

(X

x ij a j X2j a j 得

)T(X (X )T

X12

(X )T

X13

(X )T

X14

(X )T

X22 X24 a1

0 a1

a2

0 a2

a3

0 a3

a4

0 a4

Clim

6, (A) 6.由于A可对角化，即存在可逆矩阵C ,使，从而

A

(A)

C 1.故

C1 1A.

二( 15分)设微分方程组

dx

dT

Ax

,X o

x(0) X

o

求A的最小多项式m A (); (3)求e At (3)求该方程组的解。

3

1) , m A() 1)2;

4t 8t r() e t(t 1 t),At

e r(A) 3t 6t

2t 4t

x(t) At

e X0

1

e t 1

12

t 9t

三( 15 分) (2)

6t 对下面矛盾方程组Ax

求A的满秩分解A FG ; 由满秩分解计算A ；

求该方程组的最小X3 X

1 X

1

2-范数最小二乘解

1

1

1

X2

X2

X

3

1

X LS

。

FG (不唯一)

1 1

2

4 2

2

1 2

(2) A （3）X LS

四（10分）

A 72 1 1 1 3 求矩阵A 的QR 分解 （要求R 的对角元全为正数，方法不限）

五（10分）设A

T (0 证明A 的最小多项式是m （

(2) 求A 的Jordan 形（需要讨论） 易知 rank( A) 1 , tr( A)

m(A) A 2 又对任意的一次多项式 g （） 当c 0时，A O ，矛盾。当 (2)由 m( ) ( tr( A)) 2) tr(A) tr(A)A ( c , g(A) A )A )A O cI O o 反证，如果A cl 0 c 0 时，ran k( A) rank( cl ） n 2，矛盾。

0根知，A 的特征值只能是0或tr （ A ） T