1.3.2《空间几何体的表面积与体积--球体》
球体的体积和表面积的特点和几何应用
球体的体积和表面积的特点和几何应用球体是一种具有特殊几何形状的几何体，它具有独特的体积和表面积特点，并且在实际应用中有着广泛的用途。
本文将分析球体的体积和表面积的特点，并探讨它们在几何学以及实际生活中的应用。
一、球体的体积特点球体的体积是指球体所包含的三维空间的容积大小。
球体的体积特点如下：1. 体积公式：根据几何学原理可知，球体的体积公式为V = (4/3)πr³，其中V表示球体的体积，π是一个常数约等于3.14159，r表示球体的半径。
该公式是根据球体的半径计算其体积的最常用公式。
2. 半径与体积的关系：从体积公式可以看出，球体的体积与半径的三次方成正比。
即当半径增加时，球体的体积也相应增加，而且增加的比例是不断增大的。
这一特点可以在计算球体的体积时得到验证。
3. 单位体积：球体一般被认为是一个连续体，因此在计算球体的体积时可以使用单位体积的概念。
单位体积指的是单位空间中包含的球体的体积。
例如，单位立方米中包含的球体的体积就是一个单位体积。
二、球体的表面积特点球体的表面积是指球体外部所包含的曲面部分的大小。
球体的表面积特点如下：1. 表面积公式：根据几何学原理可知，球体的表面积公式为A =4πr²，其中A表示球体的表面积，π是一个常数约等于3.14159，r表示球体的半径。
该公式是根据球体的半径计算其表面积的最常用公式。
2. 半径与表面积的关系：从表面积公式可以看出，球体的表面积与半径的平方成正比。
即当半径增加时，球体的表面积也相应增加，增加的比例是较小的。
这一特点可以在计算球体的表面积时得到验证。
3. 最小表面积原理：球体是所有形状的几何体中，相同体积下表面积最小的几何形状。
这一原理使得球体在储存、运输等方面有着广泛应用，因为相同体积的球体相对于其他几何形状来说，所需的材料更少，成本更低。
三、球体的几何应用球体具有独特的几何特点，在几何学和工程学中有着广泛的应用。
以下是球体在实际应用中的一些例子：1. 大地测量：在测量大地地球形状和地球表面时，球体的几何特性被广泛应用。
球的体积与表面积 优秀教案
1.3球的体积与表面积【课题】：§1.3.2球的体积与表面积B 【教学目标】：１． 知识与技能⑴通过运用祖暅原理得出球的体积和面积公式的推导； ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
２． 过程与方法通过运用祖暅原理得出球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝34πR 3和面积公式Ｓ＝４πR 2的方法。
３． 情感与价值观通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。
【教学重点】：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
【教学难点】：在球的体积、表面积计算公式的推导过程中体会“无穷”“极限”的思想． 【教学突破点】：球体的表面积和体积计算的教学，主要应当通过诱导学生前面已有知识点的运用技巧，通过客观的诱导分析及具体动手操作来完成．教学时，教师要充分利用“思考”“探究”栏目中提出的问题，让学生在动手实践的过程中学直观的得出柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式，更进一步体验公式的实际作用． 【教法、学法设计】：1．教法：通过对空间模型或运用计算机软件所呈现的空间几何体的开展过程的观察，帮助学生认识可以使用分割求和的方法得到球体的体积与表面积的运算公式。
并且能够运用基本公式来解决实际问题，培养解题技能。
2．学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，在球的体积、表面积计算公式的推导过程中体会“无穷”“极限”的思想． 【课前准备】：模型、课件 【教学过程设计】：233R R R R ππ-=，所以这个结论可以通过“倒沙实验”得到．设想一个球由许多顶点在球心，底面都在球面上的“准锥这时，这些“准锥体”的高趋向于球半径......的和趋向于球面积，所有这些“准锥体”的体积向于球的体积12311RS RS RS +++ (1)RS =练习与测试：1. 球的体积是323，则此球的表面积是( )A. 12πB. 16πC. 163π D.643π2. 两个球的表面积之比为1：9，则此两球的体积之比为（）A. 1: 729B. 1: 27C. 1: 9D. 1: 33. 一个正方体的内切球与外接球的表面积之比为（）A. 1:B. 1: 3C.D. 1: 24. 一个几何体的三视图都是半径为1的圆，则此几何体的表面积是；体积是。
球的体积和表面积及多面体与球的切接
1.3.2 球的体积和表面积
学习目标
1.掌握球的表面积和体积公式. 2.能解决与球有关的组合体的计算问题.
知识点 球的表面积和体积公式
1.球的表面积公式 S＝4πR2 (R为球的半径)；
2.球的体积公式 V＝43πR3
怎么得到的呢？
提出问题
怎样求球的表面积和体积？
3.常见的几何体与球的切、接问题的解决策略： 解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关 键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面 问题来计算.
ห้องสมุดไป่ตู้
球的表面积
第一步：分割
O
Si
O
Vi
球面被分割成n个网格， 表面积分别为：
S1，S2，S3...Sn 则球的表面积：
S S1 S2 S3 ... Sn
设“小锥体”的体积为：Vi 则球的体积为：
V V1 V2 V3 ... Vn
第二步：求近似和
例3 (1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体
积为
A.43π
B.
2π 3
C.
3π 2
D.π6
(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 3， 5， 15，则它的外 接球表面积为_9_π____.
(3)表面积为4 3 3的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体 积为
2 1 2 22 A. 3 π B.3πC.3πD. 3 π
(2)已知球的体积为5300π，求它的表面积.
例2 两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为
A.2∶3
B.4∶9
高一数学课件：球的体积和表面积
□ 1.球的体积
如果球的半径为 R，那么它的体积 V＝
1 43πR3 .
2.球的表面积
□ 如果球的半径为 R，那么它的表面积 S＝ 2 4πR2 .
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1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径．( √ ) (2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半 径．( √ ) (3)球的体积 V 与球的表面积 S 的关系为 V＝R3S.( √ )
S＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π. 该几何体的体积为 V＝23＋12×43π×13＝8＋23π.
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拓展提升
(1)由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积 和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含 义．
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3.(教材改编，P27，例 4)若球的过球心的圆面圆周长是 c，
则这个球的表面积是( )
c2 A.4π
c2 B.2π
c2 C. π
D．2πc2
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探究 2 球的三视图 例 2 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表 面积和体积．
学高一数学1.3.2球的体积和表面积2必修2
【规律方法】 球的轴截面(球的过直径的 截面)是将球的问题(立体问题)转化为圆的 问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有 关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并 充分利用它来分析解决问题．
变式 1 用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的
截面面积为 π，则球的体积为( )
A.332π
B.83π
长为 l，上、下底面半径分别为 r1、r2，
在 Rt△BOC 中，
r1r2＝R2，r1＋r2＝l
①
依题意，有πl4rπ1＋R2r2＝34
②
将①代入②，得r14＋Rr222＝34⇔
(r1＋r2)2＝136R2
③
这时球体积与圆台体积分别为
V 球＝43πR3，V 台＝13πh(r21＋r1r2＋r22)
变式 3 (2010 年高考课标全国卷)设长方体的长、
宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则
该球的表面积为( )
A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
解析：由于长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a， 则长方体的体对角线长为 2a2＋a2＋a2＝ 6a.又长方 体外接球的直径 2R 等于长方体的体对角线，∴2R＝ 6 a.∴S 球＝4πR2＝6πa2.
则根据长方体的对角线性质，得(2R)2＝a2 ＋a2＋(2a)2，
即 4R2＝6a2，所以 R＝ 26a. 从而 V 半球＝23πR3＝23π( 26a)3＝ 26πa3，V 正方体＝a3. 因此 V ∶ 半球 V ＝ 正方体 26πa3∶a3＝ 6π∶2.
【规律方法】 解决与球有关的组合体问 题，可通过画过球心的截面来分析．例如， 底面半径为r，高为h的圆锥内部有一球O， 且球与圆锥的底面和侧面均相切．过球心O 作球的截面，如图所示，则球心是等腰 △ABC的内接圆的圆心，AB和AC均是圆锥 的母线，BC是圆锥底面直径，D是圆锥底 面的圆心．
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高一数学必修2目录_高一数学必修二课本目录数学必修2课程是高一学生学习的重要内容。
同学们若想知道必修2课本目录，下面店铺为大家整理了高一数学必修2目录，希望对大家有所帮助!高一数学必修2目录第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆小结复习参考题高一数学必修2知识点1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第3节空间几何体的表面积和体积教学课件
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合作探究 提素养
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棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积 【例 1】 正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高是 3，求它的 表面积． 思路探究：由 S 侧与 S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系， 进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．
所以 S 侧＝3×12×(20＋30)×DD′＝75DD′. 又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下 ＝ 43×(202＋302)＝325 3(cm2)．
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由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3， 所以 DD′＝133 3(cm)， 又因为 O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)， OD＝ 63×30＝5 3(cm)，
错点)
运算核心素养.
3.会求简单组合体的体积及表面积．(难点)
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自主预习 探新知
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1．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体 锥体
V 柱体＝ Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆柱＝ πr2h (r 为底面半径) 1
V 锥体＝ 3Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆锥＝ π3r2h (r 为底面半径)
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台体
V 台体＝ 13h(S＋ SS′＋S′) (S′，S 分别为上、下底面面 积，h 为高)，V 圆台＝ 13πh(r′2＋rr′＋r2) (r′，r 分别为上、 下底面半径)
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 提示：V＝Sh―S′―＝→S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′―＝→0 V＝13Sh.
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[解] 如图所示，设 SE 是侧面三角形 ABS 的高，则 SE 就是正 四棱锥的斜高．
《球的表面积和体积》人教版高中数学必修二PPT课件(第1.3.2课时)
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2 2 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1: 3 4 .
2、若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为（ A ）
（A）2:1 (B) 2:3 (C) 2:
(D) 2:5
随堂练习
立体图形的内切和外接问题 例4：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比。
初态温度T1＝(273＋27) K＝300 K
由 p1V1 p2V2
T1
T2
V2 =
p1T2 p2T1
V1
6.25 m3
课堂训练
3.如图所示，粗细均匀一端封闭一端开口的U形玻
璃管，当t1＝31 ℃，大气压强p0＝76 cmHg时，
两管水银面相平，这时左管被封闭的气柱长L1＝8
10.9150 1635(朵)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
新知探究
例3、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
RO
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4 倍.
3、从微观上说：分子间以及分子和器壁间，除碰撞外无其他作用力，分子本身没有体积，即它 所占据的空间认为都是可以被压缩的空间。
4、从能量上说：理想气体的微观本质是忽略了分子力，没有分子势能，理想气体的内能只有分 子动能。
一、理想气体
一定质量的理想气体的内能仅由温度决定 ,与气体的体积无关.
例1.（多选）关于理想气体的性质，下列说法中正确的是( ABC )
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D C B O
2
侧棱长为5cm
A
S 侧 6 5 150cm
2
D1
A1 B1
C1
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
D C D A D1 A1 B1 O C1 C1
A1 C1
C B
A C
球的体积
高等于底面半径的旋转体体积对比
R
V圆锥1 3 R 3来自V半球 ?V圆柱
3 3 R 3
猜测 : V半球
2 4 3 R , 从而V R 3 . 3 3
球的体积
球的体积公式怎样得到的？我们先来回忆圆面积计算 公式的导出方法．
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新 拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是 R和R的矩形.
5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 则它的外接球的表面积为_____ 9 .
3 , 5 , 15，
6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π , 则两球的直径之差为______ 4 .
课堂小结
熟练掌握球的体积、表面积公式：
4 3 ①V R 3 2 ②S 4R
例5.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体 积，表面积．
4 3 1 2 R RS , 从而S 4R 3 3
例题讲解
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
4 4 5 3 125 3 V R ( ) cm 3 3 3 2 6
例题讲解 (变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是 5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
那么圆的面积就近似等 于R .
2
球的体积 A
O
A
球的体积
A
O
O
C2
B2
r1 R R,
2
R 2 r2 R ( ) , n
2
2R 2 r3 R ( ) , n
2
球的体积
4 3 定理：半径是 R的球的体积为： V R 3
球的表面积
S i
o o
4 3 又球的体积为： V R 3
O
A
O
C
B
课堂练习
练习一
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___ 2 倍.
4 倍. 2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___
1: 2 2 3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.
3 1 : 4. 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______
A
D1 O
B
A1
B1
小结：球内接长方体的体对角线是球体的直径 思考：三条棱两两互相垂直的三棱锥外接球？ 可补体为长方体解决
例3.有三个球,一球切于正方体的各 面,一球切于该正方体的各侧棱,一球 过该正方体的各顶点,求这三个球的 体积之比_________. 1: 2 2 : 3 3
解题方法：一般画出截面图
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
4 5 3 4 7.9 [ ( ) x 3 ] 142 3 2 3
x
3
5 3 142 3 ( ) 11.3 2 7.9 4
由计算器算得:
x 2.24 2 x 4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
例题讲解 (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 至少要用多少纸做纸盒?
课堂练习
1. 球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原 8 . 来的＿倍
2. 一个三棱锥的顶点都在球面上,它的侧 棱长是4cm,并且三条侧棱俩俩互相垂直， 32 3 cm3. 这个球的体积为＿＿＿
3.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球， 3 那么这个大铅球的表面积是______. 12 3
课堂练习