132函数的奇偶性
1.3.2函数的奇偶性
问题3：偶函数的图像有什么特点？
（关于y轴对称）
f(x)为偶函数
f(x)的图像关于y轴对称
问题4：如何判断一个函数是偶函数？ 1 形----函数图像关于y轴对称（图像容易
画出的函数） 2数----利用定义
（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义 域是否关于原点对称
（2） 确定f(x)于f(-x)的关系 （3） 若f(-x)= f(x)，则f(x)是偶函数 问题5：请举出一些偶函数，为什么它是偶函数？
例1 判断下列函数是不是奇函数：
（1）f（x）=
1 x
；
（3）f（x）= x +1 ；
（2）f（x）= -x3 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7．
解: （3）函数 f（x）= x+1 的定义域为R， 所以定义域关于坐标原点对称． 因为f（-x）= -x +1 - f（x）= -（ x + 1 ） = - x - 1 ≠ f（ - x）， 所以函数 f（x）= x+1 不是奇函数．
因为 f（-x）=
1
-x
=-
1 x
= - f（x），
所以函数 f（x）=
1 x
是奇函数．
例1 判断下列函数是不是奇函数：
（1）f（x）=
1 x
；
（3）f（x）= x +1 ；
（2）f（x）= -x3 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7．
解: （2）函数 f（x）= -x3 的定义域为R， 所以定义域关于坐标原点对称． 因为 f（-x）= -(-x)3 = x3 = - f（x）， 所以函数 f（x）= -x3 是奇函数．
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质知识点总结函数的基本性质函数的奇偶性函数的奇偶性是函数的整体性质。
如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性。
如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
判断函数奇偶性的步骤如下：1.首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称。
2.确定f(-x)与f(x)的关系。
3.若f(-x) =f(x)或f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
函数的简单性质包括：1.图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称。
2.在公共定义域上，奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。
函数的单调性函数的单调性是函数的局部性质。
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）。
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)。
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
对于复合函数y=f[g(x)]，其中u=g(x)，A是y=f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g:x→u=g(x)的象集。
1.若函数u=g(x)在区间A上单调增（或单调减），且函数y=f(u)在区间B上也单调增（或单调减），则复合函数y=f[g(x)]在区间A上单调增（或单调减）。
最新高一数学知识点整理归纳5篇
最新高一数学知识点整理归纳5篇说到高一数学,很多同学都会说很难，的确,相对而言，高一数学是高中数学中最难的一部分，但我们一定要把知识点给吃透.下面就是松鼠给大家带来的最新高一数学知识点整理归纳5篇，希望能帮助到大家！更多高一数学的相关内容推荐↓↓↓人教版高一数学知识点整理五篇分享高一数学集合知识点归纳高一数学知识点大全5篇学好高一数学五大方法数学课本知识点大全高一★高一数学知识点总结11.函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或方程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称,高中数学;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;★高一数学知识点总结2集合具有某种特定性质的事物的总体。
2024-2025学年重庆乌江新高考协作体高三上学期二调数学试题及答案
重庆市乌江新高考协作体2025届高考质量调研（二）数学试题（分数：150分，时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（ ）个元素A. 15B. 16C. 17D. 182. 若直线2y x =是曲线()()=-2e xf x x a 的切线，则a =（ ）A. e- B. 1- C. 1 D. e3. 已知tan 2α=，则1cos2sin2αα+=（ ）A. 3B.13C. 2D.124. 若(1,0)A ，(0,)B b ，(2,2)C --三点共线，则b =（ ）A. 23-B. 32-C.23D.325. 《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d ．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，则下列推理正确的是（ ）A. 由图1和图2面积相等得2abd a b=+ B. 由AE AF ≥≥C. 由AD AE ≥211a b≥+ D. 由AD AF ≥可得22a b a b+≥+6. 已知设i(,)z x y x y =+∈R ，则|(3)(3)i |2x y -++=，则|1|z +最小值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 67. 若数列{}n a 为正项等比数列，31a =，数列{}n b 为公差为6，首项为1的等差数列，则数列{}n n a b 前5项和的最小值为（ ）A.1874B.1674C.1474D. 658. 设tan 0.21a =，ln1.21b =,2122c =，则下列大小关系正确的是 （ ）A. b c a<< B. b a c<< C. c a b<< D. c b a<<二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9. 已知非零向量,,a b c，则下列结论正确的是（ ）A. 若()0a b c ⋅=，则b c⊥ B. 若()(),a b a b +⊥- 则||||a b = C. 若a c b c ⋅=⋅，则a b=D. 向量()()a b c a c b ⋅-⋅ 与向量a垂直10. 已知,(0,1)(1,)m n ∈⋃+∞，若211log 2,log 212m n a a==-，则下列命题正确的是（ ）A. 若2a =，则2mn = B. 若2a >，则2mn >C. 若1mn =，则1a = D. 若1mn >，则1a >11. 已知{}{}cos ,cos2,cos3sin ,sin2,sin3αααααα=，则α可以是（ ）A.π8B. 3π8-C 2π7-D. 4π1-12. 1843年，Hamilton 在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在Broughant Bridge ．对四元数的.i j k u a b c d =+++，,,,a b c d ∈R 的单位,,i j k ，其运算满足：222i j k 1===-，ij k =，jk i =，ki j =，ji k =-，kj i =-，ik j =-；记i j k u a b c d =---，()2222N u uu a b c d ==+++，u =11uu-=，记所有四元数构成的集合为V ，则以下说法中正确的有（ ）A. 集合{}1,i,j,k 的元素按乘法得到一个八元集合B. 若非零元,u v V ∈，则有：11u vu v --=C. 若,u v V ∈，则有：()()()N uv N u N v =D. 若非零元u V ∈，则有：12u u u -=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.13. 若函数()243f x x ax =--在区间()4,-+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．14. 若()ππsin 3sin 63f x a x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，则实数a 的值为__________.15. 小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子,A B 中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将B 中的1颗糖放入A 中，否则将A 中的1颗糖放入B 中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时B 中没有糖的概率是__________．16. 已知0a >，如果有且仅有四个不同的复数z ，同时满足()21(1)z z a -+=和1z =，则a 的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数21()log 1xf x x-=+．（1）判断并证明()f x 奇偶性；（2）若对任意11,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦-，[]2,2t ∈-，不等式2()6f x t at ≥+-恒成立，求实数a 的取值范围．18. 海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）时刻：x （时）0 3.1 6.29.312.415.518.621.724水深：y （米）5.07.45.02.65.07.45.02.64.0的的（1）根据以上数据，可以用函数()πsin 0,||2y A x b ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长．19. 在ABC V 中，角,,A B C 对边分别为a ，b ，c，已知cos aC C b=+.（1）求角B ；（2）若D 是ABC V 边AC 上的一点， 且满足BA BD BD BCBA BC⋅⋅= ，9425a c +=，求BD 的最大值．20. 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）由频率分布直方图计算得样本标准差s 的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本标准差S .（ⅰ）利用该正态分布，求()250.25399.5P X <<；（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z 表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E （Z ）；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，的()()220.9545,330.99731P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x 轴上从原点O 出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都12，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点(),0n 的概率为()160n P n ≤≤，试证明数列{}1n n P P --是等比数列()259n ≤≤，求出数列{}()160n P n ≤≤的通项公式，并比较59P 和60P 的大小.21. 已知ABC V 的三个角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan 3tan C B =．（1）若2a b =，求C ；（2）若a =，3b c +=，求ABC V 的面积．22. 设函数()()2e 2sin 1xf x x a x =+-+.（1）当1a =时，求()f x 在[)0,+∞上的最小值；（2）若()g x 与()f x 关于y 轴对称，当0x ≥时，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.重庆市乌江新高考协作体2025届高考质量调研（二）数学试题（分数：150分，时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（ ）个元素A. 15 B. 16 C. 17 D. 18【答案】A 【解析】【分析】根据取出的数字个数进行分类，每一类中一一列举出来计数即可.【详解】只取一个元素组成的没有重复数字的自然数：共3个；只取两个元素组成的没有重复数字的自然数：有12，21，13，31，23，32共6个；取三个元素组成的没有重复数字的自然数：有123，132，213，231，312，321共6个；共有36615++=种方法，即由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有15个元素，故选：A.2. 若直线2y x =是曲线()()=-2e xf x x a 的切线，则a =（ ）A. e -B. 1-C. 1D. e【答案】B 【解析】【分析】利用导数，根据切点及切线的斜率求得正确答案.【详解】()()=-2e xf x x a ，()()212e x f x x a '=+-，依题意，直线2y x =是曲线()()=-2e xf x x a 的切线，设切点为(),2t t ，则()()22e 212e 2t t t a t t a ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，()()22e 212e 2t t t a tt a ⎧=+⎪⎨+=+⎪⎩，通过对比系数可得()212,20,0t t t t t +===，则1a =-.故选：B3. 已知tan 2α=，则1cos2sin2αα+=（ ）A. 3B.13C. 2D.12【答案】D 【解析】【分析】应用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式计算再结合同角三角函数关系求解.【详解】21cos22cos 11sin22sin cos tan 2αααααα+===.故选：D.4. 若(1,0)A ，(0,)B b ，(2,2)C --三点共线，则b =（ ）A 23-B. 32-C.23D.32【答案】A 【解析】【分析】利用共线向量的性质，设AC AB λ=且0λ≠，进而列方程求解.【详解】,,A B C 三点共线，AC AB λ∴=且0λ≠，得21=(01)20=(0)b λλ---⎧⎨---⎩，解得=32=3b λ⎧⎪⎨-⎪⎩,故选：A.5. 《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d ．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，则下列推理正确的是（ ）.A. 由图1和图2面积相等得2abd a b =+ B. 由AE AF ≥≥C. 由AD AE ≥211a b≥+ D. 由AD AF ≥可得22a b a b+≥+【答案】C 【解析】【分析】根据图1，图2面积相等，可求得d 的表达式，可判断A 选项正误，由题意可求得图3中,,AD AE AF 的表达式，逐一分析B 、C 、D 选项，即可得答案【详解】对于A ，由图1和图2面积相等得()ab a b d =+⨯，所以abd a b=+，故A 错误；对于B ，因为AF BC ⊥，所以12a b AF ⨯⨯=，所以AF =，AE ==，因为AE AF ≥≥2a b+≥，故B 错误；对于C ，因为D 为斜边BC的中点，所以AD =，因为AD AE ≥≥211a b≥+，故C 正确；对于D ，因为AD AF ≥≥，整理得222a b ab +≥，故D 错误．故选：C ．6. 已知设i(,)z x y x y =+∈R ，则|(3)(3)i |2x y -++=，则|1|z +的最小值为（ ）A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】A 【解析】【分析】先求得复数z 实部与虚部的关系，再去求|1|z +的最小值即可解决.【详解】由|(3)(3)i |2x y -++=，可得22(3)(3)4x y -++=，可令2cos 32sin 3x y αα=+⎧⎨=-⎩，则|1|z +====ϕ为锐角，且4tan 3ϕ=）由1sin()1ϕα-≤-≤，可得37≤≤则|1|z +的最小值为3.故选：A7. 若数列{}n a 为正项等比数列，31a =，数列{}n b 为公差为6，首项为1的等差数列，则数列{}n n a b 前5项和的最小值为（ ）A.1874B.1674C.1474D. 65【答案】A 【解析】【分析】由已知可得21122334455217131925a b a b a b a b a b q q q q++++=++++，利用导数可求其最小值.【详解】因为数列{}n b 为公差为6，首项为1的等差数列，所以123451,7,13,19,25,b b b b b =====若数列{}n a 为正项等比数列，31a =，设公比为q ，则21245211,,,a a a q a q q q====，所以数列{}n n a b 前5项和为21122334455217131925a b a b a b a b a b q q q q++++=++++，设2217131925y q q q q =++++，求导可得34323272719501950q q q y q q q q---++'=-++=，令34()271950g q q q q =--++，可得23()757200g q q q '=-++，()g q '在(0,)+∞上增函数，又2333700051305400()757(200(010101000g q -++'=-+⨯+⨯=>，当310q ≥时，()0g q '≥，所以()g q 在3[,)10+∞上为增函数，为又341111()2719(50()02222g =--⨯+⨯+⨯=，所以当31(,)102q ∈,0'<y ，1,2q ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，0'>y ，所以min 192518741413244y =++++=，当3(0,)10q ∈,2171007042718713139394y q q =++>++=>,所以则数列{}n n a b 前5项和的最小值为1874.故选：A.8. 设tan 0.21a =，ln1.21b =,2122c =，则下列大小关系正确的是 （ ）A. b c a << B. b a c<< C. c a b<< D. c b a<<【答案】B 【解析】【分析】首先通过构造函数得到当π02x <<时，tan x x >，再通过构造函数()()πln 1,02f x x x x =-+<<进一步得到()ln 1x x >+，π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，由此即可比较,a b ，进一步比较,c b ，由此即可得解.【详解】设()πtan ,02h x x x x =-<<，则()()22cos cos sin sin 1π110,0cos cos 2x x x xh x x xx ⋅--=-=-><<'，所以()tan h x x x =-在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()()tan 00h x x x h =->=，即πtan ,02x x x ><<，令()()πln 1,02f x x x x =-+<<，则()11011xf x x x=-=>++'，所以()()ln 1f x x x =-+在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，从而()()()ln 100f x x x f =-+>=，即()ln 1x x >+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()tan ln 1x x x >>+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而当0.21x =时，tan 0.21ln1.21a b =>=，π2446321tan 0.21tan63666622a c =<=<=<==，所以c ab >>.故选：B.【点睛】关键点点睛：在比较,a b 的大小关系时，可以通过先放缩再构造函数求导，由此即可顺利得解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9. 已知非零向量,,a b c，则下列结论正确的是（ ）A. 若()0a b c ⋅=，则b c ⊥ B. 若()(),a b a b +⊥-则||||a b =C. 若a c b c ⋅=⋅ ，则a b= D. 向量()()a b c a c b ⋅-⋅ 与向量a垂直【答案】ABD 【解析】【分析】选项A ，根据条件，利用数乘向量的定义得到0b c ⋅=，即可判断选项A 的正误；选项B ，根据条件，利用数量积的运算及模的定义，即可判断选项B 的正误；选项C ，根据条件，利用数量积的定义，得到||cos ,||cos ,a a c b b c =，即可求解；选项D ，根据条件，结合数量积的运算律，得到[()()]0a b c a c b a ⋅-⋅⋅=，即可求解.【详解】对于选项A ，因为a为非零向量，若()0a b c ⋅= ，则0b c ⋅= ，故bc ⊥，所以选项A 正确，对于选项B ，若2222()()||||0a b a b a b a b +⋅-=-=-= ，故||||a b =，所以选项В正确，对于选项C ，若a c b c ⋅=⋅ ，则||||cos ,||||cos ,a c a c b c b c ⋅=⋅ ，得到||cos ,||cos ,a a c b b c = ，不能确定a b = ，所以选项C 错误，对于选项D ，[()()]()()()()()()0a b c a c b a a b c a a c b a a b c a a b c a ⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=，故[()()]a b c a c b a ⋅-⋅⊥，所以选项D 正确，故选：ABD ．10. 已知,(0,1)(1,)m n ∈⋃+∞，若211log 2,log 212m n a a==-，则下列命题正确的是（ ）A. 若2a =，则2mn = B. 若2a >，则2mn >C. 若1mn =，则1a = D. 若1mn >，则1a >【答案】ABC 【解析】【分析】由对数运算的性质得2212aa mn -+=，通过代入2a =即可判断A ；由二次函数的性质即可判断B ；代入1mn =即可求出a 的值，则可判断C ；由1mn >可得2221(1)0a a a -+=->，可解得a 的取值范围，则可判断D .【详解】由题意知222log 12,log m a n a =-=，所以22log ()21mn a a =-+，所以2212aa mn -+=．对于A ，若2a =，则122mn ==，故A 正确；对于B ，若2a >，则2221(1)1a a a -+=->，所以122mn >=，故B 正确；对于C ，若1mn =，则2210a a -+=，解得1a =，故C 正确；对于D ，若1mn >，则2221(1)0a a a -+=->，不能得到1a >，故D 错误．故选：ABC .11. 已知{}{}cos ,cos2,cos3sin ,sin2,sin3αααααα=，则α可以是（ ）A.π8B. 3π8-C. 2π7-D. 4π1-【答案】AB 【解析】π7πsin(sin(2424αα+=+，即可求解得到2π3k α=或ππ28k α=+，Z k ∈，可求答案.【详解】{}{}cos ,cos2,cos3sin ,sin2,sin3αααααα= ，cos cos2cos3sin sin2sin3αααααα++=++∴，()()sinsin sin2sin3sincos cos2cos322αααααααα∴⨯++=⨯++，sin sinsinsinsinsin222222sin sin2sin3cos cos2cos3αααααααααααα∴++++=，33557coscoscos cos +cos co n 35375sin sin sin sin si sin s 222222222222αααααααααααα∴=-+----+-+，77coscossin sin 2222αααα∴-=-，77sin cos sin cos 2222αααα∴+=+，π7πsin(sin(2424αα+=+，7ππ()()32π2424k ααα∴+-+==或()7πππ421π24242k ααα⎛⎫⎛⎫+++=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，Z k ∈,2π3k α∴=，Z k ∈，或ππ28k α=+，Z k ∈，∴经检验，3π8α=-或π8符合，其它都不符合.故选：AB.12. 1843年，Hamilton 在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在Broughant Bridge ．对四元数i j k u a b c d =+++，,,,a b c d ∈R 的单位,,i j k ，其运算满足：222i j k 1===-，ij k =，jk i =，ki j =，ji k =-，kj i =-，ik j =-；记i j k u a b c d =---，()2222N u uu a b c d ==+++，u =11u u-=，记所有四元数构成的集合为V ，则以下说法中正确的有（ ）A. 集合{}1,i,j,k 的元素按乘法得到一个八元集合B. 若非零元,u v V ∈，则有：11u vu v --=C. 若,u v V ∈，则有：()()()N uv N u N v =D. 若非零元u V ∈，则有：12u u u -=【答案】ACD【分析】对于A ，利用已知条件求出所求集合为{}1,i,j,k,1,i,j,k ----即可；对于B ，直接给出反例1u =，2v =即可；对于C ，利用()N u 的定义计算即可；对于D ，利用C 选项的结果验证即可.【详解】对于A ，由于222i j k 1===-，ji k =-，kj i =-，ik j =-，故集合{}1,i,j,k 的元素按乘法可以得到集合{}1,i,j,k,1,i,j,k ----，容易验证该集合中任意两个元素的乘积还在该集合中，故集合{}1,i,j,k 的元素按乘法得到的集合是八元集合{}1,i,j,k,1,i,j,k ----，故A 正确；对于B ，取1u =，2v =，则11111121121222u vu v ----=⋅⋅=⋅⋅=≠==，故B 错误；对于C ，若,u v V ∈，设i j k u a b c d =+++，i j k v x y z w =+++，则()()()()i j k i j k N uv N a b c d x y z w =++++++()()()()()i j k N ax by cz dw ay bx cw dz az cx dy bw aw dx bz cy =---+++-+++-+++-()()()()2222ax by cz dw ay bx cw dz az cx dy bw aw dx bz cy =---+++-+++-+++-22222222222222222222222222222222a xb xc xd x a y b y c y d y a z b z c z d z a w b w c w d w =+++++++++++++++()()22222222a b c d xy z w =++++++()()i j k i j k N a b c d N x y z w =++++++()()N u N v =，故C 正确；对于D ，根据题目中的定义有()2N u u =，从而221u uu u u u⋅======.所以12uu u -=，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，只有理解了定义，方可求解所求的问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.13. 若函数()243f x x ax =--在区间()4,-+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．【答案】(],2-∞-【分析】根据二次函数的对称性得出对称轴与4-的关系即可求解.【详解】因为函数()243f x x ax =--的对称轴为2x a =，图象开口向上，所以函数在[)2,a +∞上单调递增，因为函数()f x 在区间()4,-+∞上单调递增，所以24a ≤-，解得2a ≤-.故答案为：(],2-∞-.14. 若()ππsin 3sin 63f x a x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，则实数a 的值为__________.【答案】【解析】【分析】由函数()f x 是偶函数，则ππ66f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入计算并验证即可求出a .【详解】函数()f x 是偶函数，则ππ66f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,πππ3ππππππ3sin sin 3sin sin 36632666633f f a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+===+++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,化简可得a =当a =()ππ3sin 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππsin cos cos sin 3sin cos cos sin 6633x x x x ⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎭⎝⎭11cos 3sin 22x x x x x⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭所以()f x x =，则()()()x x f x f x -===-，所以函数()f x 是偶函数，则a =.故答案为：15. 小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子,A B 中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将B 中的1颗糖放入A 中，否则将A 中的1颗糖放入B 中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时B 中没有糖的概率是__________．【答案】117【解析】【分析】设最初在A 中有k 颗糖，B 中有6k -颗糖时，游戏结束时B 中没有糖的概率为()0,1,,6k a k = ，归纳找出递推关系，利用方程得出0a ，再由递推关系求3a .【详解】设A 中有k 颗糖，B 中有6k -颗糖，游戏结束时B 中没有糖的概率为()0,1,,6k a k = .显然0113a a =，()65112112,153333k k k a a a a a k +-=+=+≤≤，可得()112k k k k a a a a +--=-，则()566510022a a a a a -=-=，()65626765040010002222221a a a a a a a a a a ∴=+=++=+++=- ，同理()256510002221a a a a a =+++=- ，()()760021212133a a ∴-=-+，解得011385255a ==⨯()430112115.25517a a ∴=-=⨯=故答案为：117【点睛】关键点点睛：本题的关键在于建立统一的一个6颗糖果放入2个盒子不同情况的模型，找到统一的递推关系，利用递推关系建立方程求出0a ，即可得出这一统一模型的答案.16. 已知0a >，如果有且仅有四个不同的复数z ，同时满足()21(1)z z a -+=和1z =，则a 的取值范围是__________.【答案】⎛ ⎝【解析】【分析】利用复数模的运算性质，再数形结合，转化为三次函数来研究即可.【详解】由()21(1)z z a -+=可得211=z z a -+，又由1z =可得，复数z 在复平面上对应的点在单位圆上，设单位圆上动点P ，()1,0A -，()1,0B ，则1z -表示PB 长度，1z +表示PA 长度，即2a PB PA =⋅，又因为22+4PB PA =，所以()24a PB PB =⋅-，令PB x =，可设()()2344f x x xxx =⋅-=-+，()0,2x ∈()234f x x =-'+，令()0f x '=，可得x =，当0x ⎛∈ ⎝时，()2340f x x '=-+>，所以()34f x x x =-+0⎛ ⎝上单调递增；当2x ⎫∈⎪⎪⎭时，()2340f x x '=-+<，所以()34f x x x =-+在2⎫⎪⎪⎭上单调递减；由34f =-+()32242=0f =-+⨯，()00f =，所以当a ⎛∈ ⎝时，x 在(0,2)有两解，即在x 轴上方一定存在两个复数z 对应的点满足条件，再利用圆关于x 轴对称，所以在x 轴下方也一定存在两个复数z 对应的点满足条件，综上此时有四个不同的复数z ，故答案为：⎛ ⎝.【点睛】方法点睛：利用数形结合，把问题转化为2a PB PA =⋅，再利用22+4PB PA =消元，然后再利用函数求导来研究值域，即可求得a 的范围.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数21()log 1xf x x-=+．（1）判断并证明()f x的奇偶性；在（2）若对任意11,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦-，[]2,2t ∈-，不等式2()6f x t at ≥+-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）奇函数，证明见解析； （2）1122a -≤≤.【解析】【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可；（2）根据对数复合函数单调性确定()f x 在11,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦-上最小值，把问题化为250t at +-≤在[]2,2t ∈-上恒成立，即可求结果.【小问1详解】()f x 为奇函数，证明如下：由解析式易知10(1)(1)0111xx x x x ->⇒-+<⇒-<<+，函数定义域为(1,1)-，而2211()log log ()11x xf x f x x x+--==-=--+，故()f x 为奇函数.【小问2详解】由12111x m x x -==-++在11,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦-上为减函数，而2log y m =在定义域上为增函数，所以()f x 在11,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦-上为减函数，故()min 1(13f x f ==-，要使任意11,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦-，[]2,2t ∈-，不等式2()6f x t at ≥+-恒成立，只需261t at +-≤-在[]2,2t ∈-上恒成立，即250t at +-≤在[]2,2t ∈-上恒成立，由25y t at =+-开口向上，则425011425022a a a --≤⎧⇒-≤≤⎨+-≤⎩，综上，1122a -≤≤.18. 海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）时刻：x （时）0 3.1 6.29.312.415.518.621.724水深：y （米）5.07.45.02.65.07.45.02.64.0（1）根据以上数据，可以用函数()πsin 0,||2y A x b ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长．【答案】（1）5π2.4sin5,02431y x x =+≤< （2）最早可行的进港时间为 1 时 2 分， 5 时 10 分出港；这条货船一天中最多可以在港口中停靠的总时长为8小时16分.【解析】【分析】（1）由公式max min max min,22A b -+==可求，由表格可得周期12.4012.4T =-=，进而求ω，代入最高点(3.1,7.4)可求ϕ；（2）由题意可知进港条件为 6.2y ≥，解不等式即可.【小问1详解】由表格可知y 的最大值为7.4，最小值为2.6，所以7.4 2.67.4 2.62.4,522A b -+====，由表格可知12.4012.4T =-=，所以2π2π5π12.431T ω===，所以52.4sin 531y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，将点(3.1,7.4)代入可得：5π7.4 2.4sin 3.1531ϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭，所以5ππ3.12π,Z 312k k ϕ⨯+=+∈，解得02π,Z k k ϕ=+∈，因为π2ϕ<，所以0ϕ=，所以5π2.4sin 5,02431y x x =+≤<.【小问2详解】货船需要的安全水深为 4.22 6.2+=米, 所以进港条件为 6.2y ≥.令 5π2.4sin 5 6.231x +≥, 即5π1sin 312x ≥,所以π5π5π2π2π,Z 6316k x k k +≤≤+∈,解得31623162,Z 30565k k x k +≤≤+∈,因为024x ≤<，所以0k =时，3131306x ≤≤,k =1时，4035273030x ≤≤因为3130（时） =1 时 2 分, 316（时）5= 时 10 分.40330（时） 13= 时 26 分，（时） 17= 时 34 分.因此，货船可以在 1 时 2 分进港，早晨 5 时 10 分出港；或在下午 13 时 26 分进港，下午 17 时 34 分出港.则该货船最早进港时间1时2分，停靠总时长为8小时16分钟.19. 在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c，已知cos a C C b =+.（1）求角B ；（2）若D 是ABC V 边AC 上的一点， 且满足BA BD BD BCBA BC⋅⋅=，9425a c +=，求BD 的最大值．【答案】（1）π3B = （2【解析】【分析】（1）根据题意可得sin cos a C b C =+，利用正弦定理结合三角恒等变换可得tan B =，即可得结果；为（2）根据题意结合向量夹角公式可得π6ABD CBD ∠==，利用面积关系可得11a c =+，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为cos a C C b =+，即sin cos a C b C =+，由正弦定理可得sin sin sin cos A B C B C =+，且()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，即sin cos cos sin sin sin cos B C B C B C B C +=+，可得cos sin sin B C B C =，且()0,πC ∈，则sin 0C ≠，可得tan B =，又因为0πB <<，所以π3B =.【小问2详解】因为BA BD BD BC BA BC ⋅⋅= ，即BA BD BD BC BA BD BC BD⋅⋅= ，可得cos cos ABD CBD ∠=∠，即ABD CBD ∠=∠，可知BD 平分ABC ∠，则π6ABD CBD ∠==，因为ABC ABD BCD S S S =+△△△，即1111122222ac BD a BD c =⨯⨯+⨯⨯11a c=+，又因为9425a c +=，()11114919413131252525c a a c a c a c ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当49c a a c =，即53a =，52c =时取等号，可得BD ≤，所以BD20. 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）由频率分布直方图计算得样本标准差s 的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本标准差S .（ⅰ）利用该正态分布，求()250.25399.5P X <<；（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z 表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E （Z ）；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()()220.9545,330.99731P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x 轴上从原点O 出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都12，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点(),0n 的概率为()160n P n ≤≤，试证明数列{}1n n P P --是等比数列()259n ≤≤，求出数列{}()160n P n ≤≤的通项公式，并比较59P 和60P 的大小.【答案】（1）300 （2）（ⅰ）0.8186；（ⅱ）16.372（3）证明见解析，158211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，5960P P>【解析】【分析】（1）根据平均数的求法求得正确答案.（2）（ⅰ）根据正态分布的对称性求得正确答案.（ⅱ）根据二项分布的知识求得正确答案.（3）根据已知条件构造等比数列，然后利用累加法求得n P ，利用差比较法比较59P 和60P 的大小.【小问1详解】2050.12550.23050.453550.24050.05300x ≈⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（ⅰ）0.95450.6827(250.25399.5)0.68270.81862P X -<<=+=.（ⅱ））∵Z 服从二项分布()20,0.8186B ，∴()200.818616.372E Z =⨯=.【小问3详解】当359n ≤≤时，()12112111,222n n n n n n n P P P P P P P -----=+-=--，1221111131,,222244P P P P ==⨯+=-=.∴{}1(259)n n P P n --≤≤是以14为首项，12-为公比的等比数列，2111(259)42n n n P P n --⎛⎫-=⋅-≤≤ ⎪⎝⎭.22132111111,,,(259)44242n n n P P P P P P n --⎛⎫⎛⎫-=-=⋅-⋯-=⋅-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.累加得：115816058111422111111,(259),1362236212n n n n P P P n P P --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭-==-⋅-≤≤==+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+.∴158211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩∵58585960111111033232P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴5960P P >.注：比较59P 和60P 的另一个过程：58596059592112111,13623622P P P P ⎛⎫=-⋅>-==-<< ⎪⎝⎭.21. 已知ABC V 的三个角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan 3tan C B =．（1）若2a b =，求C ；（2）若a =，3b c +=，求ABC V 的面积．【答案】（1）π3（2【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，化切为弦，再利用内角和定理结合两角和正弦公式化简求值即可；（2）法一，由sin 4sin cos A B C =利用正、余弦定理化角为边，联立3b c +=解方程组可得,b c ，进而求得cos ,sin C C ，然后由面积公式可得；法二，作辅助线三角形的高，由tan 3tan C B =利用直角三角形化角为边，再利用勾股定理建立关于高的方程求解可得，进而可求面积.【小问1详解】因为tan 3tan C B =，所以sin 3sin cos cos C B C B=，则sin cos 3sin cos C B B C =.因为2a b =，由正弦定理可得，sin 2sin sin()sin cos cos sin A B B C B C B C ==+=+4sin cos B C =，所以2sin 4sin cos B B C =，由B 为三角形内角，故sin 0B ≠，所以1cos 2C =，又0πC <<，故π3C =.【小问2详解】法一：由（1）知，sin cos 3sin cos C B B C =，则sin sin()sin cos cos sin 4sin cos A B C B C B C B C =+=+=，由正弦定理可得4cos a b C =，的由a =222cos 2a b c C ab +-==代入4cos a b C =可得4=223c b -=，联立3b c +=，解得2,1c b ==，又由4cos a b C ==cos C =则sin C ==，故11sin 22ABC S ab C === .法二：由tan 3tan C B =可知，,B C 均为锐角，且tan tan C B >，所以0π2B C <<<，如图在ABC V 中，过点A 作边BC 上的高AD ，垂足为D ，由tan 3tan C B =可得，3AD AD DC BD=，则有3BD DC =，由4a BC BD DC DC ===+=，可得BD DC ==.设AD h =，则c AB ===，b AC ===，由3b c +=3=，解得258h =，即h =，故高AD =.所以ABC V 的面积为1122BC AD ⋅==22. 设函数()()2e 2sin 1xf x x a x =+-+.（1）当1a =时，求()f x 在[)0,+∞上的最小值；（2）若()g x 与()f x 关于y 轴对称，当0x ≥时，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2（2）3a ≤【解析】【分析】（1）先将1a =代入()f x ，然后求导得到()2e 2cos 2xf x x =+-'，再求导得到()2e 2sin x f x x '=-'，因为[)0x ∈+∞，，就得到二阶导大于等于0恒成立，得到一阶导单调递增，然后判断一阶导大于等于0恒成立，然后得到原函数单调性，求得最小值；（2）先利用两个函数的互对称得到()g x ，然后代入不等式()()f x g x ≥，整理得()e e 2sin 10x x x a x --+-+≥，构造函数()()e e 2sin 1x x h x x a x -=-+-+，得到()00h =，然后利用端点效应得到3a ≤，最后判断其充分性即可.【小问1详解】当1a =时，()2e 2sin 2xf x x x =+-，所以()2e 2cos 2xf x x =+-'，令()2e 2cos 2xF x x =+-，得()2e 2sin xF x x -'=，因为0x ≥，得e 1,sin 1x x ≥≤，所以()2e 2sin 0x F x x =-≥'，故()()2e 2cos 2x F x f x x '==+-在[)0，+¥单调递增；所以()()02f x f ''≥=，所以()2e 2sin 2x f x x x =+-在[)0，+¥单调递增，故()f x 在[)0，+¥上的最小值为()02f =.【小问2详解】由题得()()()2e2sin 1x g x f x x a x -=-=-++，得当0x ≥时，()()2e 2sin 12e 2sin 1x x x a x x a x -+-+≥-++恒成立，整理得()e e2sin 10x x x a x --+-+≥恒成立，令()()e e 2sin 1x x h x x a x -=-+-+，显然，()00h =，要使0x ≥时，()e e2sin 10x x x a x --+-+≥恒成立，则()00h '≥，()()e e 2cos 1x x h x x a -=++-+'，所以有()()000e e 2cos 0103h a a =+'++-≥⇒≤，验证，当3a ≤时，令()()e e 2cos 1x x G x x a -=++-+，()e e 2sin x x G x x --'=-，令()e e 2sin x x H x x -=--，()e e 2cos 2cos 22cos 0x x H x x x x -=+-≥=-'≥，故()e e 2sin x x H x x -=--在[)0,∞+单调递增；所以()()000e e 2sin 00H x H ≥=--=，故()()e e 2cos 1x x G x x a -=++-+在[)0,∞+单调递增；所以()()00G x G ≥≥，故()()e e 2sin 1x x h x x a x -=-+-+在[)0,∞+单调递增；所以()()0=0h x h ≥，故3a ≤符合题意.【点睛】思路点睛：()()e e 2sin 10x x h x x a x -=-+-+≥恒成立，显然()00h =，我们由函数图像可知，在0x =时， ()()e e 2sin 1x x h x x a x -=-+-+不可能单调递减，所以可知()00h '≥，然后求得3a ≤，此时3a ≤为()e e 2sin 10x x x a x --+-+≥恒成立的必要条件，我们还需要利用3a ≤去判断()e e 2sin 10x x x a x --+-+≥恒成立，证明3a ≤为()e e 2sin 10x x x a x --+-+≥恒成立的充分条件.。
谈谈函数奇偶性的应用
思路探寻函数奇偶性是函数的重要性质之一，是指对于函数f (x )，若定义域内任意的x ，都有f (-x )=-f （x ）,则函数f (x )为奇函数；若都有f (-x )=f （x ），则该函数f (x )为偶函数.函数的奇偶性在高中数学解题中应用广泛，尤其在解不等式、求函数的值、求函数解析式时应用较多.对此，笔者就函数奇偶性在高中数学解题中的应用进行了探讨，以期对同学们解题有所助益.一、利用函数的奇偶性解不等式有些不等式问题较为复杂，很难快速找到解题的突破口，此时不妨仔细分析不等式左右两边式子的结构特征，构造恰当的函数，将不等式问题转化为函数问题，再利用函数的奇偶性去处理，这样便可使不等式问题顺利获解.例1.求证：x 1-2x ＜x 2(x ≠0).分析：此不等式若直接证明十分棘手，可结合不等式的特点构造出一个函数，利用偶函数的性质将不等式进行转化，则可以轻松证明结论.证明：设f (x )=x 1-2x -x 2(x ≠0),因为f (-x )=-x 1-2-x --x2=-x (1+12x -1)+x 2=x 1-2x -x 2=f (x ),所以f (x )为偶函数.当x ＞0时，1-x2＜0，可知f (x )＜0；当x ＜0时，-x ＞0,f (x )=f (-x )＜0,综上所述，当x ≠0时，恒有f (x )＜0，即x 1-2x ＜x 2(x ≠0).利用函数奇偶性解答不等式问题的关键在于,结合不等式的结构特征构造具有奇偶性的函数，以便利用函数的奇偶性将问题加以转化.二、利用函数的奇偶性求函数的值求函数的值问题是函数中的常见题目，常以选择题或填空题的形式出现.此类问题中常含有参数，为了快速求得函数的值，我们可以利用函数的奇偶性，将f (-x )用±f （x ）来替换，将函数式作整体处理，进而求得函数的值.这样不仅可以避免逐步讨论、求解参数的值，还可以简化运算，有利于提升解题的效率.例2.若f (x )=a x -a -x2+b ·log c (x +x 2+1)+x 2(其中a ,b ,c 为常数)，且f (-2)=5，试求f (2)的值.分析：本题直接求函数f (2)的值较为困难，可结合f (x )表达式的特点，将含x 的一部分构造成具有奇偶性的函数，利用函数的奇偶性进行处理，则不难求出函数f (2)的值.解：设g (x )=a x -a -x 2+b ·log c (x +x 2+1),则g (-x )=a -x -a x2+b ·log c (-x +(-x )2+1)=-g (x ),易知g (x )为奇函数，故有g (-2)=-g (2)，又因为f (x )=g (x )+x 2,则{f (-2)=g (-2)+4,f (2)=-g (2)+4,将两式相加可得f (-2)+f (2)=8，因为f (-2)=5，所以f (2)=3.三、利用函数的奇偶性求函数的解析式求解函数的解析式问题的方法较多，利用函数奇偶性是常用的方法.在求函数的解析式时，要首先根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，然后将f (-x )用±f （x ）来替换，这样便能快速求得函数的解析式.例3.已知f (x )与g (x )的定义域是｛x |x ∈R 且x ≠±1｝,若f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )+g (x )=1x -1.试求f (x )与g (x )的解析式.解：因为f (x )是偶函数，所以f (-x )=f (x )，因为g (x )是奇函数，所以g (-x )=-g (x )，因为f (-x )+g (-x )=1-x -1,所以f (x )-g (x )=1-x -1①.由已知可得f (x )+g (x )=1x -1②.由①+②可得2f (x )=2x 2-1(x ≠±1)，所以f (x )=1x 2-1(x ≠±1)，所以g (x )=1x -1-1x 2-1=x x 2-1(x ≠±1).若已知函数是偶函数或奇偶数，则根据函数奇偶性的定义f (-x )=-f (x )或f (-x )=f (x )进行代换，便不难求出函数的解析式.在这一过程中，我们要注意把握奇函数或偶函数的定义域.总之，对于某些较为复杂的函数问题，同学们若能从函数的奇偶性入手，往往可以拓宽解题的思路.所以，在平时的学习中，同学们要熟练掌握函数的性质.(作者单位：江苏省江浦高级中学)谈谈函数奇偶性的应用邹大博48Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
3d百十个定奇偶方法
3d百十个定奇偶方法3D百十个定奇偶方法是一种用于确定一个数的奇偶性的方法。
它可以通过将数的个位和十位数相加，然后判断结果的奇偶性来确定原始数的奇偶性。
下面我将详细地介绍这个方法。
首先，让我们以一个例子来说明这个方法。
假设我们要确定数132的奇偶性。
我们首先需要将个位和十位数相加，即3+2=5。
接下来，我们观察结果5的奇偶性。
由于5是奇数，因此我们可以得出结论：数132是奇数。
接着，我将详细阐述这个方法的原理。
我们知道，任何一个整数都可以写成各位数字的和的形式。
例如，数132可以写成1+3+2的形式。
同时，我们知道奇数加奇数得偶数，偶数加奇数得奇数，奇数加偶数得奇数，偶数加偶数得偶数。
基于这个原理，我们可以得出结论：当个位数和十位数的结果为奇数时，原始数是奇数；当个位数和十位数的结果为偶数时，原始数是偶数。
在应用这个方法时，我们首先需要将数的个位和十位数相加。
这可以通过将数除以10取余的方式实现。
例如，对于数132来说，我们可以用132除以10得到13余数2，即132的个位是2。
接着，我们将132整除10，得到13，即132的十位是3。
然后，我们将个位和十位数相加，即2+3=5。
最后，我们观察结果5的奇偶性，即可确定数132的奇偶性。
除了个位和十位数相加的方法，我们还可以使用其他方式来确定一个数的奇偶性。
例如，我们可以观察数的个位数是否是偶数。
如果个位数是偶数，那么原始数一定是偶数。
另一种方式是观察数是否能被2整除。
如果一个数能被2整除，那么它一定是偶数，否则它是奇数。
总结起来，3D百十个定奇偶方法是一种通过将数的个位和十位数相加，然后判断结果的奇偶性来确定一个数的奇偶性的方法。
它是一种简单且易于理解的方法，适用于各种不同的整数。
通过应用这个方法，我们可以快速准确地确定一个数的奇偶性，进而应用到各种数学和逻辑问题中。
1.3.2函数的奇偶性
！注意：
1、偶函数、奇函数是函数的整体性质，是在整个定义域 内来说的.
2、偶函数、奇函数的前提条件是定义域关于原点对称. （要注意关于原点对称的含义：对于定义域内的任意一个x， 则－x也一定是定义域内的一个自变量）
3、在前提条件定义域关于原点对称下，则
∴f(x)偶函数 (3)解：定义域为{x|x≠0} (4)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x) ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x) 即f(-x)=-f(x) 即f(-x)=f(x) ∴f(x)奇函数 ∴f(x)偶函数
(x<0) x－2 2.判断函数 f(x)＝0 (x＝0) 的奇偶性． －x－2 (x>0)
若函数y＝f(x)为奇函数，f(x0)＝M，则f(－x0)＝－M.
变式体验1 如果奇函数f(x)在区间[－5，－3]上是增函数， 且最大值是－4，那么f(x)在x∈[3,5]上是( )B A．增函数且最大值是4 B．增函数且最小值是4 C．减函数且最大值是4 D．减函数且最小值是4
图2
例1 已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝
例1、判断下列函数的奇偶性： (1) f ( x ) x 4 ( 2) f ( x )
1 ( 3) f ( x ) x x
(1)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即f(-x)=f(x)
x 1 ( 4) f ( x ) 2 x
(2)解：定义域为x≥0 ∴f(x)非奇非偶函数
设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减， 若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．
教案函数的奇偶性
函数的奇偶性一、教材分析“函数的奇偶性”是人教B版第二章“函数”的第一节的第3小节。
奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的函数入手，从特殊到一般，从具体到抽象，系统地介绍了函数的奇偶性。
从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。
因此，本节课起着承上启下的重要作用。
二、学情分析从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。
同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。
从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题。
三、教学目标数学抽象：通过具体的函数抽象出函数的奇偶性的概念。
逻辑推理：通过从特殊到一般的过程，提高观察、归纳、抽象和推理论证的数学能力。
直观想象：利用函数图象理解函数奇偶性的概念。
四、教学重难点重点：函数奇偶性的概念和几何意义。
．难点：奇偶性概念的数学化提炼过程。
五、教法与学法分析1、教法分析根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。
教学中，精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。
2、学法分析让学生在“观察一归纳一检验一应用”的学习过程中，自主参与知识的发生、发展、形成的过程，从而使学生掌握知识。
六、教学过程（一）创设情境，导入新课同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物等生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢（二）发现与探究探究（1）偶函数的概念问题1:如图1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．图1学生先自己观察，教师最后总结：这两个函数的图象关于轴对称。
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§1.3.2函数的奇偶性
1、已知奇函数)(x f 在[)+∞,0上是减函数，若)()(b f a f <，则一定有（ ）
A a<b
B a>b
C |a|<|b|
D |a|>|b|
2、奇函数R x x f y ∈=),(的图象必过点（ ）
A ())(,a f a -
B ())(,a f a -
C ())(,a f a --
D 以上都不对
3、已知偶函数)(x f 在[)+∞,0上单调增加，则满足)()(3112f x f <-的x 取值范围是（ ） A ⎪⎭⎫⎢⎣⎡3231, B ⎪⎭⎫ ⎝⎛3231, C ⎪⎭⎫ ⎝⎛3221, D ⎪⎭
⎫⎢⎣⎡3221, 4、奇函数)(x f 在区间[]73,上为增函数，且最小值是1，则)(x f 在区间[]37--,上是（ ） A 增函数且最小值是-1 B 增函数且最大值是-1
C 减函数且最小值是-1
D 减函数且最大值是-1
5、已知当x>0时，函数322--=x x x f )(，若)(x f 是R 上的奇函数，则)(x f =___________;
6、已知224+-+=x bx ax x f )(，102=-)(f ，则___________)(=2f ；
7、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，在()+∞,0上是增函数，且01=)(f ，则0>)(x f 的解集是_________;
8、下列函数是偶函数的是___________;
①||)(x x x f =②||||)(11-++=x x x f ③⎪⎩
⎪⎨⎧<-+≥--=010122x x x x x x x f ,,)(④)(x f 的图象关于y 轴对称。
9、定义在（-2，2）上的减函数)(x f 是奇函数，解不等式0213>++-)()(x f x f
10、若对一切实数x,y 都有)()()(y f x f y x f +=+，
（1）求)(0f ；
（2）用定义法判断)(x f 的奇偶性；
（3）若当x>0时，0>)(x f ，用定义法判断)(x f 的单调性。