高中数学必修一132函数的奇偶性

因因为 为对 对定 于义 定域 义内 域的 内每的一每个一x,个都x有 ,都有
f(-xf)(=-xx+) -1x(=-1x()x2+1xx)12=-f(fx()x)
所所以以，，函函数 数ff((xx))为 奇 1 函 为数 偶函数.
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x2
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练习
判断下面函数的奇偶性
(1) f(x)= x
1.3函数的基本性质（2）
复习：
▪ 什么叫做轴对称图形?
如果把一个图形沿一条直线折起来,直线两侧 部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形
什么叫做中心对称图形?
如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的 图形能和原图形完全重合，那么这个图形叫做中心 对称图形。
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2
巴黎埃菲尔铁塔
f(x ) x ,x 2 ,3
思考： 如果一个函数的图象关于原点对称，它 的定义域应该有什么特点？
定义域关于原点对称.
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判断或证明函数奇偶性的基本步骤：
一看
二找
三判断
看定义域
找关系
下结论
是否关于原点对称
f(x)与f(-x)
奇或偶
注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否 关于y轴对称或者关于原点对称。
(-x,f(-x))
(x,f(x))
猜想 : f(-x) ____ f=(x)
-x 0 x x
思考：能用函数解析式给出证
明吗？
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讨论归纳，形成定义
偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内
任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就 叫做偶函数．
注意： 函数的图象关于y轴对称
/ 2020f/1(2x/2) 1 x
-1/3
-1/2
-1
1 1/2 1/3
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对函数 f(x)，x当我们在定义域内任取一对相反数x和-x时， 所对应的函数值什么关系？
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)x-3 -2 -1 0 1 2 3
观察 : f(-1) ____-=f(1) f(-2) ____=-f(2)
(2) f(x)=0
解:定义域为 [0 ,+∞) ∵ 定义域不关于 原点对称 ∴f(x)为非奇非偶函数
解: 定义域为R ∵ f(-x) = 0 =f(x) 又∵ f(-x)=0 = - f(x)
∴f(x)为既是奇函数又是偶函数
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总结： 根据奇偶性, 函数可划分为四类:
奇函数 偶函数 既是奇函数又是偶函数 非奇非偶函数
f(-3) ___=_ -f(3)
猜想 : f(-x) ____=-f(x)
y f(x)x
f(x)
2 1
-x
-2 -1 0 -1
1 2 xx
-2
f(-x)
思考：能用函数解析式给出证
明吗？
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讨论归纳，形成定义
偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一 个x，都有f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
巴黎圣母院
北京故宫 2020/12/2
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观察做出的两个函数图象并思考以下问题：
（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？ （2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
y y
2
o
x
f (x)x2
o
x
f (x)2 x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
f (x) x2 9 4 1 0 1 4 9
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
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将下面的函数图像分成两类
y
y
y
y
y
y
O
x
0
x
0
x
0
x
0
x
0
x
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奇函数
Hale Waihona Puke Baidu偶函数
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讲练结合，巩固新知
例1、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)x4
(2)f(x)x5
(3)f(x)x1 x
(4)f(x)x12
解 解： ：(4()3对)对 于于函函数数f f((xx) )=xx1+2 1x,其,其定定义义域域为为{{xx||xx00}}
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6.课时小结，知识建构
奇偶性
奇函数
偶函数
定 设函数y=f(x)的定义域为D，对于任意的x，都有
义
f(-x)=-f(x)
f(-x)=f(x)
y
图 像
-a o
ax
性
质
关于原点对称
y -a o a x
关于y轴对称
判断
定义域是否关于原点对称.
步骤
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f(-x)=-f(x)？
偶函数
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观察下面函数图像，看下面函数是偶函数吗？
y
y
1
x
f(x)x2 x(,1]
-1 1
x
f (x)x2
x(,1] [1,)
思考： 如果一个函数的图象关于y轴对称， 它的定义域应该有什么特点？
定义域关于原点对称.
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观察思考
(1)函数 f(x)与x函数
f 图(x)象 1有什么共同特征吗？
x
(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
y f(x)x
3
2 1
y3
2 f (x) 1
1
x
-2 -1 0 1 2 3 x -1 -2
-3
-3 -2 -1 0-11 2 3 x -2 -3
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)x -3 -2 -1 0 1 2 3
x -3 -2 -1 0 1 2 3
-1 0 2f02(0x/1)2=/2 2-|x| 1 2 1 0 -1
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对函数f(x)=x2，当我们在定义域内任取一对相反数x和
-x时，所对应的函数值什么关系？
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
f (x) x2 9 4 1 0 1 4 9
观察 : f(-1) ____ f=(1)
y
f(-2) ____=f(2) f(-3) ___=_ f(3)
图象关于y轴对称
偶函数
定义域关于原点对称
奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意 一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇 函数．
注意：
图象关于原点对称
奇函数
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观察下面函数图像，看是奇函数吗？
y
y
2o
2x
-3 ·
-2
o
·
23 x
f(x)x,x [2,2]
f(-x)=f(x)？ 17
7、当堂达标 判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)xx3x5
(2) f(x)x1
(3)f(x)2 (4) f(x)x2,x(2,4]
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例2、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴 右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边 的图象.
y
O
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x
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作业
1、课本36页1题,2题 2、学习与评价28-30页3.2节练习
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强化定义，深化内涵
☆对奇函数、偶函数定义的说明: