人教B版数学高一版必修1课后导练函数的奇偶性
高中数学(人教B版)必修第一册：函数的奇偶性【精品课件】
注: 既不是奇函数也不是偶函数的函数, 称为非奇非偶函数.
问题 6. 是否存在函数, 既是奇函数又是偶函数? 说明理由.
分析 设函数 的定义域为 D, 且满足: ∀ ∈, − ∈, 则:
是奇函数 ⇔ − = − ,
是偶函数 ⇔ − = ,
∴ 既是奇函数又是偶函数 ⇔ − = − = ⇔ = 0.
如: = 2 − 2, =
1
都是偶函数.
注: 图像关于 y 轴对称的函数是偶函数, 偶函数的图像关于 y 轴对称.
问题2.函数 ℎ = 2 − 2,
∈ −1,2 是偶函数吗?
分析 = −1,2 , ∀ ∈ , 是否满足 ① − ∈ ; ② − = ?
2. − =
− = −
⇔ − − = 0,
⇔ − + = 0.
(1) = 2 +
偶函数
(2) = + 1 − − 1 +
奇函数
(3) = 2 + ∙
奇函数
例 3 如果函数 和 均为奇函数, 且定义域相同(均为 D), 判断下列
1 − 2
(4) =
;
3− − 3
(5) =
1− ,
1+
≥ 0
.
< 0
(1) = + 1 − − 1 ;
解 (1)定义域为, ∴∀ ∈, − ∈.
∵ − = − + 1 − − − 1 �
= − 1 − + 1 = − ,
点 P, 那么图像上必定存在一个横坐标为 − 的点 Q, 这两点关于 y 轴对称,
人教B版必修1函数性质之奇偶性(1)
2.1.4函数的奇偶性（1）【学习目标】1. 结合具体函数，明确函数奇偶性的含义；2. 明确奇偶函数的图象特征；3. 能运用定义判断函数的奇偶性【自学指导】1. 奇函数的定义？2. 偶函数的定义？3. 奇函数的图象特征？举例。
4. 偶函数的图象特征？举例。
5. 如何用定义法证明或判断函数的奇偶性？步骤是什么？【自学检测】1．函数x x x f +=2)(的奇偶性是 （ ）A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数2．函数)(x f y =是奇函数，图象上有一点为))(,(a f a ，则图象必过点（ ）A ． ))(,(a f a - B. ))(,(a f a - C. ))(,(a f a -- D. ))(1,(a f a 3. 下面四个结论①偶函数的图像一定与y 轴相交.②奇函数的图像一定过原点.③偶函数的图像关于y 轴对称.④没有一个函数既是奇函数又是偶函数,其中正确的结论个数是( )A 1B 2C 3D 44. 若函数b x bx ax x f +++=3)(2是偶函数，其定义域为[]a a 2,3-，则=a ，=b5. 设f(x)=ax 5+bx 3+cx －5(a,b,c 是常数)且(7)7f -=,则f （7）= ______.6．判断函数的奇偶性 3)()1(x x x f += 21)()2(x x f -= 2)()3(+=x x f1)()4(2+=x x f []3,1-∈x 0)()5(=x f 331)()6(2-+-=x x x f【能力提升】1. 已知)(x f 是区间(-∞,+∞)上的奇函数, 1)3(,2)1(=-=f f ,则( )A )1()3(->f fB )1()3(-<f fC )1()3(-=f fD )1()3(-f f 与无法比较2.若函数))(12()(a x x x x f -+=为奇函数，则a = ( ) A 21 B 32 C 43 D 1 3. 函数)(x f 是R 上的偶函数，且在),0[+∞上单调递增，则下列各式成立的是（ ）A ．)1()0()2(f f f >>- B. )0()1()2(f f f >->-C.)2()0()1(->>f f fD.)0()2()1(f f f >->4. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( )A )(52R x x y ∈+-=B x y -=C )(3R x x y ∈=D )0,(1≠∈-=x R x xy 5.奇函数)(x f 在区间[1，6]上是增函数且最大值是10最小值是4，则)(x f 在区间[-6,-1]上的最大值是 ,最小值是6.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为________．思考：请根据以上练习，归纳出几个重要的结论（1）（2）【巩固提高】已知函数)(x f 在R 上的奇函数，而且在（0，+∞）上的减函数，证明：)(x f 在（-∞，0）上是减函数？【课堂小结】1. 奇函数的定义？2.偶函数的定义？3.奇函数的图象特征？4.偶函数的图象特征？5.如何用定义法证明或判断函数的奇偶性？步骤是什么？【课堂小测】1.已知()2f x ax bx =+是定义在[]1,2a a -上的偶函数,那么a b +的值是( ) A. 13-B. 13C. 12D. 12- 2.函数()1f x x x =-的图像关于( ) A. y 轴对称 B. 直线y x =-对称 C.坐标原点对称 D.直线y x =对称3. 下列函数中,所有奇函数的序号是________．①()4223f x x x =+②()32f x x x =-③()21x f x x +=④()31f x x =+ 4. 已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数5. 已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________.6.判断下列函数是否具有奇偶性。
高一数学人教B版必修1教学教案：函数的奇偶性含解析
函数的奇偶性函数的奇偶性（教学设计）一、教材、学情、目标分析二、重点、难点三、教学法突破四、过程分析五、教学过程（一）创设情境、引入课题做一个剪纸的手工，对折后再剪出一个轴对称图形，让学生欣赏剪纸艺术大家的作品，了解这项非物质文化遗产，再给出生活中其他对称美的图片，让学生体会对称美，进而提出问题，源于生活，那么我们现在正在学习的函数图象，是否也会具有对称的特性呢？是否也体现了图象对称的美感呢？请同学们举出学过的体现对称美的图象。
根据学生举得例子给出奇偶函数一个形象的定义，图象关于y轴对称的就是偶函数，关于原点对称的就是奇函数。
然后设疑：怎么从数值上是去定义奇偶函数呢？（二）设问诱导、讨论猜想考察下面的函数： ☆思考1:根据形象认识可知这样的函数即为偶函数，那么这个函数的图象上的点的坐标有何特征呢？☆思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(a)与f(-a)有什么关系？几何画板展示：只要自变量互为相反数，函数值必相等。
一般地，若函数y=f(x)的图象关于y 轴对称，当自变量x 任取定义域中的一对相反数时，对应的函数值相等。
即 f(-x)=f(x)☆思考3:怎样定义偶函数？（此处设置小组讨论，讨论2分钟，讨论闭又组长提出讨论的定义，教师板书）☆思考4:函数 偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？（用此例帮助学生完善定义，若此前已完善，帮助学生强化定义中的软肋。
）练习1：判断下列函数是否为偶函数？（PPT 展示，学生口答）（三）合作探究、类比发现仿照讨论偶函数的过程，回答下列问题， 共同完成探究xx f =)(xx f 1)(=2()f x x =2(),[3,2]f x x x =∈-]1,1[,1-)()1(2-∈=x x x f )3,1[,1-)()2(2-∈=x x x f ]2,1()1,2[,)()3(2--∈=x x x f☆(1)请你仔细观察这两个函数图象，它们又有什么共同特征？几何画板展示：只要自变量互为相反数，函数值必为相反数。
人教版数学高一B版必修1同步精练 函数的奇偶性
函数的奇偶性双基达标(限时20分钟)1．函数f(x)＝x3＋3x的奇偶性为()．A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析定义域为R，且f(－x)＝－x3－3x＝－f(x)，∴为奇函数．答案 A2．已知定义在R上的偶函数f(x)在x＞0上是增函数，则()．A．f(3)＜f(－4)＜f(－π) B．f(－π)＜f(－4)＜f(3)C．f(3)＜f(－π)＜f(－4) D．f(－4)＜f(－π)＜f(3)解析f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－4)＝f(4)，f(－π)＝f(π)，∴f(3)＜f(π)＜f(4)，∴f(3)＜f(－π)＜f(－4)．答案 C3．函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于()．A．－2 B．－1C．1 D．2解析y＝x2＋(1－a)x－a，∵函数是偶函数，∴1－a＝0，∴a＝1.答案 C4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．解析由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y <0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)5．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________.解析 设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1，又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－x －1.答案 －x －16．设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (m )＋f (m －1)>0，求实数m 的取值范围．解 由f (m )＋f (m －1)>0，得f (m )>－f (m －1)，∵f (x )在[－2,2]上为奇函数，∴f (1－m )<f (m )．又∵f (x )在[0,2]上为减函数， ∴f (x )在[－2,2]上为减函数，∴⎩⎨⎧－2≤1－m ≤2－2≤m ≤21－m >m，即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ≤3－2≤m ≤2m <12，解得－1≤m <12.综合提高 (限时25分钟)7．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )＜0的x 的取值范围是( )．A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,2)解析 由f (2)＝0和偶函数性质知f (－2)＝0.∵函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，∴当x ∈(－2,0]时，f (x )＜0.由图象关于y轴对称知，当x∈(0,2)时，f(x)＜0，故选D.答案 D8．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()．A．－3 B．－1C．1 D．3解析f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴b＝－1.f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2－1)＝－3.答案 A9．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)＝________.解析f(－2)＝(－2)5＋a·(－2)3＋b·(－2)－8＝10，∴25＋a·23＋2b＝－18，∴f(2)＝25＋a·23＋2b－8＝－26.答案－2610．若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，则f(x)＋g(x)＝________.解析∵f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，∴f(－x)－g(－x)＝x2－3x＋2，又f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴－f(x)－g(x)＝x2－3x＋2，∴f(x)＋g(x)＝－x2＋3x－2.答案－x2＋3x－211．设f(x)＝ax2＋1bx＋c是奇函数(a、b、c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)＜3，求a、b、c的值．解∵f(x)＝ax2＋1bx＋c是奇函数，∴f(－x)＝a(－x)2＋1b(－x)＋c＝－f(x)＝－ax2＋1bx＋c.∴b(－x)＋c＝－(bx＋c)，求得c＝0.由f (1)＝2，f (2)＜3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1b ＝2，4a ＋12b ＜3，消去b ，得4a ＋1a ＋1＜3，解得－1＜a ＜2.又a ∈Z ，∴a ＝0或a ＝1. 当a ＝0时，求得b ＝12∉Z ；当a ＝1时，求得b ＝1∈Z . ∴a ＝1，b ＝1，c ＝0.12．(创新拓展)(1)函数f (x )，x ∈R ，若对于任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )．求证：f (x )为奇函数．(2)函数f (x )，x ∈R .若对于任意实数x 1，x 2，都有f (x 1＋x 2)＋f (x 1－x 2)＝2f (x 1)·f (x 2)．求证：f (x )为偶函数．证明 (1)设a ＝0，则f (b )＝f (0)＋f (b )，∴f (0)＝0. 又设a ＝－x ，b ＝x ，则f (0)＝f (－x )＋f (x )． ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．(2)令x 1＝0，x 2＝x ，得f (x )＋f (－x )＝2f (0)f (x )， ① 令x 2＝0，x 1＝x ，得f (x )＋f (x )＝2f (0)f (x )． ②由①②得f (x )＋f (－x )＝f (x )＋f (x )，即f (－x )＝f (x )．∴f (x )是偶函数．。
函数的奇偶性 2022-2023学年高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
g( x) x x3是奇函数
h( x) 2|xb| 是偶函数
利用奇偶性求分段函数解 析式的一般过程：
(1)取范围: 将x取在需要求对 应关系时的范围；
(2)调范围: 把含有x式子调整 到已知对应关系时的范围；
(3)代入: 将调整后式子代入 已知的解析式；
(4)求出f(x): 根据奇偶性求 出该范围的解析式；
(5)作结论：写成分段函数的 形式
练习
已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x+1。 (1)求f(-3); (2)求f(x)的解析式，并画出函数f(x)图象的大致形状.
0”,对应的运算量如何?
2a( x) b 2ax b
( x)2 1
x2 1
2a(x) b 2ax b 0 ( x)2 1 x2 1
即 -2ax b -2ax b
x2 1
x2 1
2b 0 ( x)2 1
2ax b 2ax b
b 0
2ax
b 0, f ( x) x2 1 .
对于它们各自定义域内的任意x ，都有 f ( x) f ( x)，g( x) g(x)
对于函数f ( x) g( x)，有 f ( x)+g( x) f ( x) g( x) [ f ( x) g( x)]
f ( x) g( x)为奇函数。 同理f ( x) g( x)为奇函数。
对于函数f ( x)g( x)，有 f ( x)g( x) [ f ( x)][ g( x)] f ( x)g( x)
f ( x)g( x)偶函数。
同理，f ( x) 为偶函数。 g( x)
问题3：已知函数f ( x)和g( x)具有奇偶性，则由它们 的和、差、积、商得到的新函数的奇偶性如何？
高中数学(人教B版)函数的奇偶性(2)
课堂小结
二. 函数运算与奇偶性:
1
∵−1 ∈而1 ∉ ,
－1
O 1
P
∴ 是非奇非偶函数.
Q
－1
x
1 − 2
(4) =
;
3− − 3
2
1
−
≥ 0, 得定义域 = −1,0 ⋃ 0,1 ,
解 (4)由
3− − 3 ≠ 0
∴∀ ∈, − ∈.
1 − 2
由定义域, =
=−
3− − 3
∴ − = −
∀ ∈ , − ∈, 且 − = , 则 为偶函数.
例 1 判断下列函数是否具有奇偶性:
(1) = + 1 − − 1 ;
(2) = 1;
2 − 1
3 =
− 1;
−1
1 − 2
(4) =
;
3− − 3
(5) =
1− ,
本题小结 对于复合函数 ,
1. 和 都是奇函数时, 为奇函数;
2. 与 一个是偶函数,另一个是奇或偶函数时, 为偶函数.
例 6 已知对于任意, ∈, 有 + + − = 2 , 且 0 ≠ 0,
综上, ∀ ∈, 都有 − = − ,
∴ 为奇函数.
1x＝－2x＝ Nhomakorabea1
2
x
小结 用定义法 判断函数 奇偶性:
(1)看定义域 D 是否关于原点对称;
(2)看 − 与 的关系.
注: ①在定义域关于原点对称的前提下, 可先化简解析式再判断;
②分段函数, 分段讨论.
例 2 判断下列函数是否具有奇偶性:
人教B版必修1函数性质之奇偶性(2)
2.1.4函数的奇偶性（2）应用2014.9.20 崔文【学习目标】会解决和函数的奇偶性相关的问题。
【自学指导】1. 函数奇偶性的定义？2. 奇偶函数的图象特征是什么？3. 判断函数奇偶性的步骤？【题型分类】类型1：分段函数的奇偶性判断例：判断下列函数的奇偶性：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2（x >0），x （x ＝0），－x 2－2（x <0）.练习：判断下列函数的奇偶性： （1）⎩⎨⎧<+≥-=)0(),1()0(),1()(x x x x x x x f （2）23,0()0,023,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩题型2：求解析式例：设f (x )是R 上的偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋3x )，当x ∈(－∞，0)时，求f (x )的解析式思考：若函数f (x )是R 上的奇函数呢？求解析式。
练习：1. F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3 （x >0）f （x ） （x <0）是奇函数，求f (x )2.已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋2.(1)求f (x )的表达式；(2)画出f (x )的图象，并指出f (x )的单调区间．3.已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数。
当)0,(∞-∈x 时,4)(x x x f -=，求)(x f 的解析式.题型3.单调性与奇偶性结合例1：设定义在[-2,2]上的奇函数)(x f 在x ∈[0,2]时，)(x f 单减，若0)()1(<-+-m f m f ，求m 的范围。
例2：设定义在[-2,2]上的偶函数)(x f 在x ∈[0,2]时，)(x f 单增，若)()1(m f m f <-，求m 的范围。
练习：1.定义在（－2，2）上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若f(m －1)+f(2m －1)>0， 求实数m 的取值范围．2.定义在（－2，2）上的偶函数)(x f 在（－2，0]是减函数，若f(m －1)-f(2m －1)>0， 求实数m 的取值范围．3. 函数f x ()是定义在()-11，上的奇函数，且为增函数，若f a f a ()()1102-+->，求实数a 的范围。
高一必修一函数的奇偶性(人教B版)
解：(1)函数f ( x) x x x 的定义域为R,当
3 5
x R时，-x R. 因为f ( x) x x x ( x x x ) f ( x),
3 5 3 5
所以f ( x) x x x 函数是奇函数。
3 5
(2)函数f ( x) x 1的定义域为R，当x R时 x R.
(4)因为函数的定义域关于原点不对称，存在 3 -1，3 而 3 1，，所以f ( x) x ,x -1,3 3
2
既不是奇函数也不是偶函数.
(5)函数f ( x) 0的定义域为R，当x R时， x R. 因为f ( x) 0 f ( x) f ( x) 所以函数f ( x) 0既是奇函数又是偶函数.
偶函数图象的特点:
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为 对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的 图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
函数奇偶性的应用: 1 例2研究函数y 2 的性质并作出它的图象。 x
通过图象看单调性 已知函数奇偶性， 简化图象的画法。
-3 -2 -1 1 2 3
复习回顾: 函数的定义: 设集合 A 是一个非空的数集,对 A 内任意数 x , 按照确定的对应法则 f ,都有惟一的数值 y 与 它对应,则这种对应关系叫做集合 A上的一个 函数.
美 丽 的 蝴 蝶
美 丽 的 雪 花
自 然 景 物 和 它 在 水 中 的 倒 影
观察 y x 和
3
y x 的图象
2
y
y
o
x
o
x
奇函数和偶函数的定义 设函数 y f ( x) 的定义域为D ，如果对 D 内的任意一个 x ，都有 x D ，且 f ( x) f ( x) 则这个函数叫做奇函数． 设函数 y g ( x) 的定义域为D ，如果对D 内的任意一个 x ，都有 x D ，且
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课后导练
基础达标
1.已知y=f(x)是偶函数,且其图象与x 轴有4个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是( )
A.0
B.1
C.2
D.4
解析：∵偶函数图象关于y 轴对称,
∴图象与x 轴的交点也关于y 轴对称.
答案：A
2.下列结论正确的是( )
A.偶函数的图象一定与y 轴相交
B.奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0
C.定义域为R 的增函数一定是奇函数
D.图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数
答案：B
3.已知函数f(x)=1-x +1+-x ,则f(x)是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
解析：∵x-1≥0,1-x≥0,∴x=1,定义域不关于原点对称.∴函数是非奇非偶函数.
答案：D
4.对于定义域为R 的任意奇函数f(x)都恒成立的是( )
A.f(x)-f(-x)≥0
B.f(x)-f(-x)≤0
C.f(x)·f(-x)≤0
D.f(x)·f(-x)>0
解析：∵f(x)在R 上为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)f(-x)=-f 2(x)≤0.故选C.
答案：C
5.已知等式f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意实数x 、y 都成立,则f(x)为( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
解析：令x=y=0,∴f(0)=2f(0).
∴f(0)=0.
令y=-x,∴f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0.
∴f(-x)=-f(x).故选A.
答案：A
6.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当0<x<3时,f(x)的图象如图所示,那么不等式f(x)<0的解集为…( )
A.(-3,-2)∪(0,1)
B.(-2,-1)∪(0,1)
C.(-3,-1)∪(0,1)
D.(0,1)∪(1,3)
答案：A
7.已知f(x)=ax 2+bx+3a+b 为偶函数,且定义域为［a-1,2a ］,则a=______,b=______.
解析：定义域应关于原点对称,故有a-1=-2a,
∴a=
31.又f(-x)=f(x),∴b=0.故a=3
1,b=0. 答案：31 0 8.函数f(x)和g(x)的定义域为R,若f(x)\,g(x)都是奇函数或都是偶函数,则f(x)与g(x)的积是_____函数(填“奇”或“偶”).
解析：令F(x)=f(x)·g(x),∴F(-x)=f(-x)g(-x)=［-f(x)］［-g(x)］=f(x)g(x)=F(x).
∴f(x)与g(x)的积是偶函数.
答案：偶
9.已知奇函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,试证明y=f(x)在(-∞,0)上的单调性.
证明：f(x)在(-∞,0)上是增函数.证明如下:任取x 1\,x 2∈(-∞,0),且x 1<x 2,则-x 1\,-x 2∈(0,+∞),且-x 1>-x 2.
由f(x)在(0,+∞)上是增函数,有f(-x 1)>f(-x 2).
又f(x)是奇函数,则有-f(x 1)>-f(x 2),即f(x 1)<f(x 2).
故f(x)在(-∞,0)上也是增函数.
综合运用
10.已知f(x)是定义在［-5,5］上的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式中一定成立的是( )
A.f(-1)<f(3)
B.f(0)<f(5)
C.f(3)>f(2)
D.f(2)>f(0)
解析：f(3)>f(1)=f(-1)⇒f(-1)<f(3).
答案：A
11.设函数f(x)(x ∈R )为奇函数,f(1)= 2
1,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)等于( ) A.0 B.1 C.52 D.5
解析：f(5)=f(3+2)=f(3)+f(2)=f(1+2)+f(2)=f(1)+2f(2).
∵f(x)为奇函数,
∴f(-1)=-f(1)=2
1-. 又f(1)=f(-1+2)=f(-1)+f(2),
∴f(2)=1.
∴f(5)=2
5. 答案：C 12.已知函数f(x)=a-
121x +,若f(x)为奇函数,则a=___________. 解析：∵x ∈R ,∴f(0)=0.
∴0=a 121+-
x =a 21-. ∴a=2
1. 答案：2
1 13.(1)设奇函数f(x)的定义域为［-5,5］,若当x ∈［0,5］时,f(x)的图象如图(1),则不等式f(x)<0的解是_________.
(1)
解析：作出［-5,0］的图象,利用奇函数图象关于原点对称性来作图.如图(2),依图得
f(x)<0的解集是(-2,0)∪(2,5］.
(2)
答案：(-2,0)∪(2,5］
14.判断函数g(x)=⎪⎩
⎪⎨⎧>+≤<+1x 2,x -1,|x |0,-1,x 2,x 的奇偶性.
解析：对于g(x),可以用画函数图象的方法(
如图所示),因此g(x)为偶函数,也可用定义来判断:
设x<-1,g(x)=x+2,则-x>1,
∴g(-x)=-(-x)+2=x+2=g(x).
设x>1,g(x)=-x+2,则-x<-1,
∴g(-x)=-x+2=g(x).
而-1≤x≤1时,g(-x)=g(x)=0.
综上,有g(-x)=g(x),
∴g(x)为偶函数.
15.已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的a 、b ∈R 都满足f(a·b)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0),f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论.
解析：(1)f(0)=f(0·0)=0·f(0)+0·f(0)=0,
由f(1)=f(1·1)=1·f(1)+1·f(1),
得f(1)=0.
(2)f(x)是奇函数.
证明：∵f(1)=f ［(-1)2］=-f(-1)-f(-1)=0,∴f(-1)=0.
f(-x)=f(-1·x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x).
∴f(x)为奇函数.
拓展探究
16.函数f(x)=2
1x b ax ++是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(21)=52. (1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.
(1)解析：依题意得⎪⎩⎪⎨⎧
==,52
)21
(,
0)0(f f 即⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=
++=+.0,
15
24
1120
012b a b a
b
∴f(x)=21x x
+.
(2)证明：任取-1<x 1<x 2<1.
f(x 1)-f(x 2)=2111x x +22
2
1x x +- =)
1)(1()
1()(22212121x x x x x x ++•-•-.
∵-1<x 1<x 2<1,
∴x 1-x 2<0.
1+x 12>0,1+x 22>0.
又-1<x 1·x 2<1,
∴1-x 1x 2>0.
∴f(x 1)-f(x 2)<0.
∴f(x)在(-1,1)上是增函数.
(3)解析：f(t-1)<-f(t)=f(-t).
∵f(x)在(-1,1)上是增函数,
∴-1<t-1<-t<1.
解之,得0<t<21
.。