新人教A必修1数学教学课件：函数的奇偶性5
合集下载
高一数学人教A版必修1课件1321函数的奇偶性
总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
2 利用函数的奇偶性求解析式
学法指导：利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的 关系式 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪 个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化 为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导， 求得所求区间上的解析式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图 象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函 数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：
高中数学人教A版 必修1《3.2.2函数的奇偶性》课件（16张PPT）
一看
二找
三判断
看定义域 是否关于 原点对称
找 f x与
f x的
下结
关系
论
函数奇偶性的判断
变式训练1 判断下列函数的奇偶性：——定义法
（1）f x 4 x2 （2）f x x2x 1
x 1
（3）f x 0
按照奇偶性将函数分类为：
①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶函数 ④既奇又偶函数
函数奇偶性的判断 ——图象直观感知
利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以 及复合函数的奇偶性判断.
f x
偶
偶
奇
奇
gx
偶
奇
奇
偶
f x gx
f x gx
f x gx
f g(x)
研究题 借助几何画板绘制大量函数图象并归纳函数的单调
性与函数的奇偶性的关系。来自f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)
不同点
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
补充：奇偶性是函数在其定义域上的整体性质
函数奇偶性的判断
例6 判断下列函数的奇偶性： ——定义法
（1）f x x4
偶函数 （2） f x x5 奇函数
（3）f x x 1
x
奇函数
（4）
f
x
1 x2
偶函数
归纳： 根据定义判断函数的奇偶性的步骤：
f x x2
…
9
4
1
0
14
…
9
gx 2 | x | … -1
0
1
2
1
0
…
-1
f 3 9 f 3 f 2 4 f 2 f 1 1 f 1
几何画板
当自变量取一对相反数时， 相应的两个函数值相等
最新人教A版高中数学必修一课件：5.4.2 第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
(3)由11－＋ssiinn
x＞0， x＞0，
得－1＜sin x＜1，
解得定义域为xx∈R
且x≠kπ＋π2
，k∈Z ，
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)若 sin23π＋π6＝sinπ6，则23π是函数 y＝sin x 的一个周期． (2)所有的周期函数都有最小正周期． (3)函数 y＝ sin x是奇函数．
答案：(1)× (2)× (3)×
() () ()
2．函数 y＝2cos2x＋π2是 A．周期为 π 的奇函数 C．周期为 2π 的奇函数
二、应用性——强调学以致用
2．[好题共享——选自人教B版新教材]若弹簧振子相对平衡位置的位移x(单位： cm)与时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．
(1)求该函数的周期；
A．－12
1 B.2
C．－
3 2
3 D. 2
()
[解析] (1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sinπ2＋2x＝cos 2x 是偶函数，y＝cos32π－2x＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期 T＝π.
(2)f53π＝f53π－π＝f23π
＝f23π－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝
由图象可知 T＝π.
[方法技巧] 求三角函数最小正周期的常用方法
(1)公式法：将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋B 的形式， 再利用 T＝|2ωπ|求得．
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
y
f(x)
O
x
y
g(x)
O
x
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
第16页，共22页。
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
例6、判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x4
(2) f ( x) x5
1
1
(3) f ( x) x x
(4)
y f(x)=5
x
(5)
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
(6)
(7)
(8)
第15页，共22页。
y f(x)=0 x
(9)
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
P85 1.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整.
4
3 2
g(x) 1 x
1
12 345
函数
g(x) 1 x
的定义域为{x|x≠0},
o
x
–1
–2
–3
它关于原点对称,
–4
–5
且 g(x) 1 1 g(x)
即
g
(
x)
1
xx
是奇函数.
x
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
第12页，共22页。
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
y
4
3
f (x) x
2
–3 –2 –1
1 123
o
2023新教材高中数学正余弦函数的周期性奇偶性课件新人教A版必修第一册
12．求下列函数的周期： (1)y＝2sin12x＋π6，x∈R； (2)y＝1－2cosπ2x，x∈R； (3)y＝|sinx|，x∈R.
解 (1)∵2sin12x＋4π＋π6＝2sin12x＋6π＋2π＝2sin12x＋π6，∴自变量 x 只需并且至少要增加到 x＋4π，
函数 y＝2sin12x＋π6，x∈R 的值才能重复出现，
知周期 T＝π2；选项 C，周期 T＝21π＝8π；选项 D，周期 T＝24π＝2π.故选 BD. 4
9．f(x)＝cosωx－π6 的最小正周期为π5，其中 ω>0，则 ω＝________.
答案 10 解析 ∵T＝2ωπ＝π5，∴ω＝10.
10．已知函数 f(x)的定义域为 R，最小正周期是32π，当 x∈－π2，π时，
答案 A
解析 分别作出函数 y＝|cosx|与 y＝sin|x|的图象，观察可得，y＝|cosx| 是周期函数，y＝sin|x|不是周期函数．故选 A.
8．(多选)下列函数中，周期为π2的是(
)
A．y＝sin2x B．y＝|sin2x|
C．y＝cos4x D．y＝cos4x
答案 BD
解析 选项 A，周期 T＝21π＝4π；选项 B，作出函数 y＝|sin2x|的图象易 2
解析 根据周期函数的定义，任意非零有理数都是 f(x)的周期．
2．(多选)下列是定义在 R 上的四个函数图象的一部分，其中是周期函 数的是( )
答案 ABC
解析 显然 D 中函数图象不是经过相同单位长度，图象重复出现．而 A， C 中每经过一个单位长度，图象重复出现．B 中图象每经过 2 个单位长度， 图象重复出现．所以 A，B，C 中函数是周期函数，D 中函数不是周期函数．故 选 ABC.
3.2.2函数的奇偶性-高一数学课件(人教A版必修第一册)
且对任意的x∈[-7,-5],-x∈[5,7],由题意可得6= f(5) ≤ f(-x) ≤ f(7)
则6= f(-5) ≤ f(x) ≤ f(7)
因此，f(x) 在[-7,-5]上是减函数，最小值是6
方法小结
• 偶函数 y 轴两侧的函数单调性相反；
• 奇函数原点两侧的函数单调性相同；
题型三 利用奇偶性和单调性比较大小
则f(x)在[-7,-5]上是( C )
A.增函数，最大值是6
B.增函数，最小值是6
C.减函数，最小值是6
D.减函数，最大值是6
解析：任取x1、x2∈[-7,-5]且 x1<x2，即-7≤ x1< x2≤-5，则5≤-x2<-x1≤7，
由题意可得 f(-x2) < f(-x1)，由偶函数的性质可得 f(x1) > f(x2)，
题型二 奇偶性的应用
例2 已知函数 f(x)=x5-ax3+bx+2，f(-5)=17，则f(5)的
-13
值是________
解析：∵g(x)=x5-ax3+bx是奇函数,
∴g(-x)=-g(x),
∵f(-5)=17=g(-5)+2,
∴g(5)=-15,
∴f(5)=g(5)+2=-15+2=-13
x(x-1)
当x>0时，f(x)=________
解析：当x>0时，-x<0，
所以f(-x)=-x(-x+1)=x(x-1)，
因为f(x)是偶函数，
所以当x>0时，f(x)=f(-x)=x(x-1)
题型一 利用函数奇偶性求解析式
例1(2) 已知f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，
则6= f(-5) ≤ f(x) ≤ f(7)
因此，f(x) 在[-7,-5]上是减函数，最小值是6
方法小结
• 偶函数 y 轴两侧的函数单调性相反；
• 奇函数原点两侧的函数单调性相同；
题型三 利用奇偶性和单调性比较大小
则f(x)在[-7,-5]上是( C )
A.增函数，最大值是6
B.增函数，最小值是6
C.减函数，最小值是6
D.减函数，最大值是6
解析：任取x1、x2∈[-7,-5]且 x1<x2，即-7≤ x1< x2≤-5，则5≤-x2<-x1≤7，
由题意可得 f(-x2) < f(-x1)，由偶函数的性质可得 f(x1) > f(x2)，
题型二 奇偶性的应用
例2 已知函数 f(x)=x5-ax3+bx+2，f(-5)=17，则f(5)的
-13
值是________
解析：∵g(x)=x5-ax3+bx是奇函数,
∴g(-x)=-g(x),
∵f(-5)=17=g(-5)+2,
∴g(5)=-15,
∴f(5)=g(5)+2=-15+2=-13
x(x-1)
当x>0时，f(x)=________
解析：当x>0时，-x<0，
所以f(-x)=-x(-x+1)=x(x-1)，
因为f(x)是偶函数，
所以当x>0时，f(x)=f(-x)=x(x-1)
题型一 利用函数奇偶性求解析式
例1(2) 已知f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，
新人教版高一年级数学必修1.3.2《函数的奇偶性》教学课件
例5、判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x4
(3) f (x) x 1 x
解： (1) f(x)的定义域为R
∵ 对定义域内的每一个x，都有
f (x) (x)4 x4 f (x)
∴f(x)为偶函数 (3) f(x)的定义域为{x|x≠0}
∵ 对定义域内的每一个x，都有
f (x) (x) 1 (x 1) f (x)
(3) f (x) x 1
(4) f (x) x
(5) f (x) 5
(6) f (x) 0
函数f(x)=0 (定义域关于原点对称) 既是奇函数 又是偶函数.
本课小结:
1. 偶函数、奇函数的定义； 2. 偶函数、奇函数图象的对称性； 3. 判断函数奇偶性的方法.
作业:
教材 P36练习第1题
函数定义域关于原点对称.
-b
-a o a
bx
具有奇偶性的函 数，其定义域在数轴
上有怎样的特点？
当堂训练2：
1.如图是奇函数f(x)图像的一部分，你能画出它 在y 轴左边的图像吗？
当堂训练2：
2. 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的 图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象.
y
o
x
自学 P 例5，时间4分钟， 35 总结定义法判断函数奇偶性的步骤.
检查自学效果（一）：
1. 偶函数的概念
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
图像特征: 关于y轴对称.
f(x)=x2
f(x)=2-|x|
检查自学效果（二）：
2.奇函数的概念
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
高中数学人教A版必修1《函数的奇偶性》PPT
自主质疑
问题1：我们在初中学习了轴对称图形和中心对称
图形，你能说出什么叫轴对称(中心对称)图形吗？
一个 图形
绕沿一 一个 条直点线旋翻转折118800oo与原图形重合
轴对称图形 中心对称图形
自主质疑
问题2：在同学们熟悉的函数中, 有没有哪些函数
的图象是轴对称图形或中心对称图形？请你举例 说明？
y ox
我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎 样定义偶函数？
什么是偶函数？
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函 数.（代数定义）
偶函数的图象是关于y轴对称的轴称图 形.（几何特征）
合作探究（二）
考察下列两个函数和它们的图象：
(1) f (x) = x ;
y
y=1
x
o
x
y = ax2 bx c 图（1）
图（2）
自主质疑
问题3：我们从函数图象的升降变化引发了函数的
单调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数 的最值，如果从函数图象的对称性出发又能获得 函数的什么性质呢？
合作探究（一）
考察下列两个函数和它们的图象：
(1) f (x) = x2 ;
yo
的定义域关于原点对称
y
4
1
-1 0 2
x
典例巩固
例1、判断下列函数的奇偶性
(1) f (x) = x 1 ；(2) f (x) = x4 - x2 ； x
(3) f (x) = x2 x；(4) f (x) = 0
例2、已知f(x)=x3-4x的一部分图像如图1，你能
根据函数的性质画出它们在y轴左侧的图像吗？
(1) f (x) = x2 ; x y o x x
问题1：我们在初中学习了轴对称图形和中心对称
图形，你能说出什么叫轴对称(中心对称)图形吗？
一个 图形
绕沿一 一个 条直点线旋翻转折118800oo与原图形重合
轴对称图形 中心对称图形
自主质疑
问题2：在同学们熟悉的函数中, 有没有哪些函数
的图象是轴对称图形或中心对称图形？请你举例 说明？
y ox
我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎 样定义偶函数？
什么是偶函数？
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函 数.（代数定义）
偶函数的图象是关于y轴对称的轴称图 形.（几何特征）
合作探究（二）
考察下列两个函数和它们的图象：
(1) f (x) = x ;
y
y=1
x
o
x
y = ax2 bx c 图（1）
图（2）
自主质疑
问题3：我们从函数图象的升降变化引发了函数的
单调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数 的最值，如果从函数图象的对称性出发又能获得 函数的什么性质呢？
合作探究（一）
考察下列两个函数和它们的图象：
(1) f (x) = x2 ;
yo
的定义域关于原点对称
y
4
1
-1 0 2
x
典例巩固
例1、判断下列函数的奇偶性
(1) f (x) = x 1 ；(2) f (x) = x4 - x2 ； x
(3) f (x) = x2 x；(4) f (x) = 0
例2、已知f(x)=x3-4x的一部分图像如图1，你能
根据函数的性质画出它们在y轴左侧的图像吗？
(1) f (x) = x2 ; x y o x x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
观察下图，思考并讨论以下问题：
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？
(2) 相应的两个函数值对应x 的值是如何体现这些特征 的？
实际上，对于R 内任意的一个x ，都＜f(-x)=(-x)2=x 2=f(x)5 这时我们称函数y=x2为偶函数. f(x)=x 2 f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f (2) f(-1)=1=f(1) ，- 5 4 b - 3 - 2 -1 1 2 3 x f(x)=|x| f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)
1.偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X, 都有f( —x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
2 2
例如，函数/OOF +1，/(兀)=771都是偶函数，它们的图象分别如下图⑴、(2)所宗.
观察函|fcf(x)=x^lf(x)=1/x 的图象(下图)，你能发 现两个函数图象有什么共同特征吗?
实际上，对于R 内任意的一个x,都有f(・x)=：・x=・f(x)，这时 我们称函数y=x 为奇函数. 刃
3 2 I
/-3 -2 -1 /
/
-3 ■
f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1 )=-1 =-f(1) f(-1 )=-1 =-f(1)
f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2)
2・奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f(—x)= — f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
注意：
1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性, 函数的奇偶性是函数的整体性质；
2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x,贝！I —x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关
于原点对称)・
3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即
若f(x)为奇函数，贝!jf(-x)=-f(x)成立.
若f(x)为偶函数，贝!|f(-x)=f(x)成立.
4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
例5、判断下列函数的奇偶性：
（1）于（兀）=兀4 （2）/（乂）=兀5
1 1
（3）于（乂）= 乂（4）f（乂）=二
3•用定义判断函数奇偶性的步骤:
(1) 、先求定义域，看是否关于原点对称；
(2) 、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
课堂练习
判断下列函数的奇偶性:
1
⑴/⑴十匚
(3) f(x) = 5 (5)/(x) = x + 1
(2)y(X)=—x +i (4)/(x) = 0
(6)/ (x) = x2,xe [-1,3]
3 •奇偶函数图象的性质
1、奇函数的图象关于原点对称.
反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数.
2、偶函数的图象关于y轴对称.
那么陶隘函数的图象关于E
说明：奇偶函数图象的性质可用于：
a、简化函数图象的画法.B、判断函数的奇偶性
本课小结
1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个X,
如果都有f(—x)=-f(x) V=^x)为奇函数
如果都有f(-x)=f(x) <^f(x)为偶函数
2、两个性质:
一个函数为奇函数<^它的图象关于原点对称一
个函数为偶函数它的图象关于y轴对称
3、判断函数的奇偶性：先看定义域，后验关系式。