第八章常用计分布

第八章 常用统计分布第一节 超几何分布超几何分布的数学形式·超几何分布的数学期望和方差·超几何分布的近似第二节 泊松分布泊松分布的数学形式·泊松分布的性质、数学期望和方差·泊松分布的近似第三节 卡方分布(2χ分布) 2χ分布的数学形式·2χ分布的性质、数学期望和方差· 样本方差的抽样分布第四节 F 分布F 分布的数学形式·F 分布的性质、数学期望和方差·F 分布的近似一、填空1．对于超几何分布，随着群体的规模逐渐增大，一般当Nn ≤（ ）时，可采用二项分布来近似。

2．泊松分布只有一个参数（ ），只要知道了这个参数的值，泊松分布就确定了。

3．卡方分布是一种（ ）型随机变量的概率分布，它是由（ ）分布派生出来的。

4．如果第一自由度1k 或第二自由度2k 的F 分布没有列在表中，但邻近的第一自由度或第二自由度的F 分布已列在表中，对于F α(1k ，2k )的值可以用（ ）插值法得到。

5．（ ）分布具有一定程度的反对称性。

6．（ ）分布主要用于列联表的检验。

7．（ ）分布用于解决连续体中的孤立事件。

8．2χ分布的图形随着自由度的增加而渐趋（ ）。

9．当群体规模逐渐增大，以致不回置抽样可以作为回置抽样来处理，这时（ ）可采用二项分布来近似。

10．（ ）事件是满足泊松分布的。

二、单项选择1．已知离散性随机变量x 服从参数为λ=2的泊松分布，则概率P （3；λ）＝（ ）。

A 4/3e 2B 3/3e 2C 4/3e 3D 3/3e 32．当群体的规模逐渐增大，以至于不回置抽样可以作为回置抽样来处理时，（ ）分布可以用二项分布来近似。

A t 分布B F 分布C 2χ分布 D 超几何分布3．研究连续体中的孤立事件发生次数的分布，如某时间段内电话机被呼叫的次数的概率分布，应选择（ ）。

A 二项分布B 超几何分布C 泊松分布D F 分布4．对于一个样本容量n 较大及成功事件概率p 较小的二项分布，都可以用（ ）来近似。

A 二项分布B 超几何分布C 泊松分布D F 分布。

5．与F α（1k ，2k ）的值等价的是（ ）。

A F 1-α（1k ，2k ）B F 1-α（2k ，1k ）C 1/F α（1k ，2k ）D 1/F 1-α（2k ，1k ）6、只与一个自由度有关的是（ ）A 2χ分布B 超几何分布C 泊松分布D F 分布三、多项选择1．属于离散性变量概率分布的是（ ）。

A 二项分布B 超几何分布C 泊松分布D F 分布2．属于连续性变量的概率分布的是（ ）。

A 2χ分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布3．下列近似计算概率的正确方法是（ ）。

A 用二项分布的概率近似计算超几何分布的概率B 用二项分布的概率近似计算泊松分布的概率C 用泊松分布的概率近似计算超二项分布的概率D 用正态分布的概率近似计算超二项分布的概率E 用正态分布的概率近似计算F 分布的概率4．2χ分布具有的性质是（ ）。

A 恒为正值B 非对称性C 反对称性D 随机变量非负性E 可加性5．F 分布具有的性质是（ ）。

A 恒为正值B 非对称性C 反对称性D 随机变量非负性E 可加性6．一般地，用泊松分布近似二项式分布有较好的效果是（ ）。

A n/N ≤0.1B n≥10C p≤0.1D k≥30E k2>2四、名词解释1．超几何分布2．泊松分布3．卡方分布4．F分布五、判断题1．在研究对象为小群体时，二项式分布和超几何分布的基本条件都能得到满足。

（）2．成功次数的期望值λ是决定泊松分布的关键因素。

（）3．泊松分布的数学期望和方差是相等的。

（）4．在计算F分布的概率时，只需要知道分子的自由度和分母的自由度两个因素就可以了。

（）5．k个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布。

（）6．卡方分布的随机变量是若干个独立标准正态变量的平方和。

（）7．相互独立的两个卡方变量与其自由度的商的比值为F分布的变量。

（）8. 当群体规模逐渐增大，以致不回置抽样可以作为回置抽样来处理，这时泊松分布可采用二项分布来近似。

（）9. 泊松分布用于解决连续体中的孤立事件。

（）10. F分布具有一定程度的反对称性。

（）六、计算题1．某社区要选派8名积极申请参加公益活动的居民从事一项宣传活动。

申请者为12名女性居民和8名男性居民。

社区宣传活动的组织者把他们的名字完全混合后放在一个盒子里，并从中抽取8个。

试问，抽出4名女性居民的概率是多少？2．有16名二年级学生和14名三年级学生选修了社区管理课。

假设所有学生都会来教室上课，而且是随机进入教室的。

试问，当一名学生进入教室时，恰逢已在教室就坐的5位都是三年级的概率是多少？3．某区进行卫生大检查，现对区内全部40个单位进行卫生合格验收。

检查团随机抽查4个单位，只要有1个单位不合格就取消该区的卫生评先资格。

如果该区确有10%的单位卫生不合格，试问：（1）抽查的4个单位中有1个单位是不合格单位的概率是多少？（2）经抽查，该区没被取消评先资格的概率是多少？（3）计算分布的期望值和方差。

4．设在填写选民证时，1000个选民证中共有300个错字被发现。

问在一张选民证上有一个错字的概率是多少？5．某社区对失业者进行某项培训，参加培训的共有100人。

根据以前的培训经验，项目负责人估计有4%的培训者不能掌握这门技术。

问在参加培训的100名失业者中至少有5人为未掌握这项技术的概率是多少？6．每小时有30个老人穿过一条人行道。

在5分钟内，没有老人穿过该人行道的概率是多少？7．从一正态总体中抽出一个容量为20的样本。

已知总体的方差为5。

求样本的方差在3.5到7.5之间的概率。

8．查表求F 0.95(15，7)的值。

9．已知Z 0.1=1.64。

求21.0χ (1)的值 。

10．已知F 0。

01(120．12)＝1．88，F 0。

01(∞，12)＝1．85。

求F 0。

01(150．12)的值 。

11. 一页书上印刷错误的个数X 是一个离散型随机变量，它服从参数为λ(λ>0）的泊松分布，一本书共400页，有20个印刷错误，求：(l ）任取l 页书上没有印刷错误的概率；(2)任取4页书上都没有印刷错误的概率．12. 某种产品表面上疵点的个数X 是一个离散型随机变量，它服从参数为λ=23的泊松分布，规定表面上疵点的个数不超过2个为合格品，求产品的合格率。

13. 每10分钟内电话交换台收到呼唤的次数X 是一个离散型随机变量，它从参数为λ(λ>0）的泊松分布，已知每10分钟内收到3次呼唤与收到4次呼唤的可能性相同，求：(1）平均每10分钟内电话交换台收到呼唤的次数；(2)任意10分钟内电话交换台收到2次呼唤的概率．14. 设离散型随机变量X 服从参数为λ(λ>0）的泊松分布，且已知概率}1{=X P =33e ，求： (l)参数λ值；(2)概率P {1<X ≤3};(3)数学期望)3(X E ;(4)方差)3(X D .七、问答题1．简述卡方分布的性质。

2．简述F 分布的性质。

参考答案一、填空1． 0.1 2．λ 3．连续 ，正态 4．调和 5. F 6．2χ 7．泊松 8. 对称 9. 超几何分布 10. 稀有二、单项选择1．A 2．D 3．C 4．C 5．D 6．A三、多项选择1．ABC 2.．AF 3．ACDE 4．ABE 5．ABC 6．BC四、名词解释1．超几何分布超几何分布以样本内的成功事件的个数x 为随机变量。

若总体单位数为N ，其中成功类共有K 个，设从中抽取n 个为一样本，则样本中成功类个数x 的超几何概率分布为P （x ）＝H （x ：N ，n ，K ）＝n Nx n K N x K C C C -- 式中：x ≤K ，0≤x ≤n ,0≤K ≤N 。

超几何分布的数学期望μ＝NnK ，方差σ2＝)1())((---N N K K N n N n 2．泊松分布泊松分布为离散型随机变量的概率分布，随机变量为样本内成功事件的次数。

若μ为成功次数的期望值，假定它为已知。

而且在某一时空中成功的次数很少，超过5次的成功概率可忽不计，那么稀有事件出现的次数x 的泊松概率分布为P （x ）＝P （x ；λ）＝λλ-e x x!泊松分布的期望值和方差均等于它的唯一参数λ。

3．卡方分布设随机变量X 1，X 2，…X k ，相互独立，且都服从同一的正态分布N (μ，σ2)。

那么，我们可以先把它们变为标准正态变量Z 1，Z 2，…Z k ，k 个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布（2χ分布）的随机变量2χ2χ（k ）＝（σμ-1X ）2+（σμ-2X ）2+…+（σμ-k X ）2 ＝∑=-k i i X 122)(1μσ＝∑=k i i Z 12 其中k 为卡方分布的自由度，它表示定义式中独立变量的个数。

2χ分布的期望值是自由度k ，方差值为自由度的2倍。

4．F 分布F 分布是连续型随机变量的另一种重要的小样本分布。

设2χ（1k ）和2χ（2k ）相互独立，那么随机变量 F （1k ，2k ）＝222112/)(/)(k k k k χχ 服从自由度为(1k ，2k )的F 分布。

其中，分子上的自由度1k 叫做第一自由度，分母上的自由度2k 叫做第二自由度。

五、判断题1．（ × ） 2．（ √ ） 3．（ √ ） 4．（ × ） 5．（ √ ）6．（ √ ） 7．（ √ ） 8.（ × ） 9.（ √ ） 10.（ √ ）六、计算题1．0.2752．0.01403．解：抽到不合格单位数量x 服从N ＝40、n ＝4的超几何分布（1） K ＝1时 P （x ＝1）＝44033614C C C ＝9139071404⨯＝0．3125 （2） K ＝0时 P （x ＝0）＝44043604C C C ＝91390589051⨯＝0．6445 （3）K ＝4，N ＝40、n ＝4μ＝E (x )＝ NnK = 4044⨯ = 0.1 σ2＝D (x )＝)1())((2---N N K K N n N n = )140(404)440()440(42-⨯⨯-⨯-⨯ = 0.33234．λ＝ 0.3，P （1；λ）=0.22225．提示：用泊松分布近似二项分布；P （x ≥5；λ）=1—P （1；λ）—P （2；λ）—P （3；λ）—P （4；λ）=0.3716． 0.08217． ≈0.758． 0.3699． 2.6910．1.874七、问答题1．答：(1)2χ恒为正值，且⎰+∞022);(χχϕd k ＝1 (2) 2χ分布的期望值是自由度k ，方差值为自由度的2倍，即对2χ（k ）有E (2χ)＝k , D (2χ)＝2 k对k ＜2，2χ分布呈L 形。