1.3.2 函数的奇偶性
1.3.2函数的奇偶性
教学课题 教学时长 1.3.2《函数的奇偶性》 15 分钟 课型 授课人 高一新课 景琦
教学目标
【知识与技能】 1. 了解奇偶函数的概念及表达式，能判断一些简单函数的奇偶性 2. 能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题 【过程与方法】 经过奇偶性概念的形成过程， 提高观察抽象能力以及从特殊到一般地 归纳概括能力 【情感态度与价值观】 通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美 一、教学重点 函数奇偶性的概念和几何意义 二、教学难点 会判断一个函数的奇偶性 探究教学法 （一） 新课导入 出示一组轴对称和中心对称的图片 （二） 新课讲授 探究一 观察下图，思考并讨论以下问题 （1） 这两个函数图像有什么共同特征吗？
2
-3
-2
-1
0
1
2
3
f −3 = 9 = f 3 , f −2 = 4 = f 2 , f −1 = 1 = f(1) 对 于 R 内 任 意 的 一 个 x ， 都 有 f −x = (−������)2 = ������ 2 = ������(������) , 则 称 函 数 f x = ������ 2 为偶函数 定义：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做偶函数 思考？ 请你仿照这个过程，说明函数 f(x)=|x|也是偶函数 （三） 例题讲解 例：判断下列函数是否为偶函数? f(x)=������ 4 解：对于函数 f(x)=������ 4 ，其定义域为（ − ∞， + ∞）） 因为对定义域内的每一个 x，都有f −x = (−������)4 = ������ 4 = ������(������) 所以，函数f x = ������ 4 为偶函数 （四） 课堂练习 判断下列函数是否为偶函数 （1） f x = 2������ 4 + 3������ 2 （2） f x = ������ 3 − 2������ （五） 课后小结 这节课你学到了什么？ （六） 布置作业 课后练习 1-（4） 1.3.2 函数的奇偶性 板书设计 1. 偶函数的定义 2. 例题 3. 课堂练习 多 媒 体 投 放 区
高一数学《函数的奇偶性》教案
高一数学《函数的奇偶性》教案课题：1.3.2函数的奇偶性一、三维目标：知识与技能：使学生明白得奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判定函数的奇偶性。
过程与方法：通过设置问题情境培养学生判定、推断的能力。
情感态度与价值观：通过绘制和展现优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的专门性和一样性之间的关系，培养学生善于探究的思维品质。
二、学习重、难点：重点：函数的奇偶性的概念。
难点：函数奇偶性的判定。
三、学法指导：学生在独立摸索的基础上进行合作交流，在摸索、探究和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和明白得。
关于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固。
四、知识链接：1.复习在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义：2.分别画出函数f (x) =x3与g (x) = x2的图象,并说出图象的对称性。
五、学习过程：函数的奇偶性：（1）关于函数，其定义域关于原点对称：假如______________________________________，那么函数为奇函数；假如______________________________________，那么函数为偶函数。
（2）奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于________ _对称。
（3）奇函数在对称区间的增减性；偶函数在对称区间的增减性。
六、达标训练：A1、判定下列函数的奇偶性。
（1）f（x）＝x4；（2）f（x）＝x5；（3）f（x）＝x＋（4）f（x）＝A2、二次函数( )是偶函数,则b=___________ .B3、已知，其中为常数，若，则_______ .B4、若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于（）（A）轴对称（B）轴对称（C）原点对称（D）以上均不对B5、假如定义在区间上的函数为奇函数，则=_____ .C6、若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，那么当时，=_______ .D7、设是上的奇函数，，当时，，则等于（）（A）0.5 （B）（C）1.5 （D）D8、定义在上的奇函数，则常数____ , _____ .七、学习小结：单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
1.3.2函数的奇偶性
是偶函数但不是奇函数
既是奇函数又是偶函数； 既不是奇函数也不是偶函数.
(3)奇函数，偶函数作一些简单运算后会出现一些规律 奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇X奇=偶 偶X偶=偶
练习:
–3
思考：
如图，给出了偶函数 2 y＝f (x)的局部图象， 试比较f (-1)与 f (3) 的 –1 O x 大小.
y
已知偶函数 f (x )在 [ 3,1] 上是减函数， 试问：它在 [1,3] 上是增函数还是减函数？
x f(x)= x2
-3 -2 -1 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9
x
f(x)=|x|
-3 -2 -1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3
一般地，如果对于函数 f ( x) 的定义域内 的任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x), 那么称函 数 y f ( x) 是偶函数（even function）；
小结：
• 1.判断函数奇偶性的步骤和方法： 先看定义域是否关于原点对称 然后在找f(x)与f(-x)间的关系 • 2.奇函数，偶函数作一些简单运算后会 出现一些规律 奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇X奇=偶 偶X偶=偶
y
3 2 1
y
f(x) = x
3 2 1
1 f ( x) xxFra bibliotek1 2
x
-2 -1
O
1
2
-2
-1
O
这两个函数图象有什么共同特征？
一般地，如果对于函数 f ( x) 的定义域 内的任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x), 那么 称函数是奇函数（odd function）；
判断函数f (x)＝x2，x∈[－2, 1] 的奇偶性
高中数学：第一章 1.3.2 函数奇偶性 (42)
1.3.2奇偶性课标要点课标要点学考要求高考要求1.奇函数、偶函数的概念b b2.奇函数、偶函数的性质c c知识导图学法指导1.要深挖函数“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴对称．2．学习本节知识注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们之间的联系．3．学习奇偶性时不能忘记函数的定义域，奇偶性是函数整个定义域上的性质，忽略定义域是一个易错点.知识点奇、偶函数1．偶函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．2．奇函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．3．奇、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数的图象关于(0,0)对称．()(2)奇函数的图象关于y轴对称．()(3)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数．()(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．下列函数为奇函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－x C．y＝1x3D．y＝－x2＋14解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．答案：C3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为()A．－2 B．2 C．0 D．不能确定解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.答案：B4．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．答案：(2)(4)(1)(3)类型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝1－x2＋x2－1；(3)f(x)＝2x2＋2xx＋1；(4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x－1，x<0，0，x＝0，x＋1，x>0.【解析】(1)函数的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数．(2)由⎩⎨⎧1－x2≥0，x2－1≥0得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x－1，－x<0，0，－x＝0，－x＋1，－x>0，即f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x＋1)，x>0，0，x＝0，－(x－1)，x<0.于是有f(－x)＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．满足f(－x)＝f(x)是偶函数，f(－x)＝－f(x)是奇函数．方法归纳函数奇偶性判断的方法(1)定义法：(2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．跟踪训练1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2); (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(3)f(x)＝1－x2x；(4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋1，x>0，－x＋1，x<0.解析：(1)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0，又∵f(－x)＝1－(－x)2－x＝－1－x2x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．根据函数奇偶性定义判断．类型二函数奇偶性的图象特征例2设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是________．【解析】由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域[－5,5]上的图象如图，由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|－2<x<0或2<x≤5}．【答案】{x|－2<x<0或2<x≤5}根据奇函数的图象关于原点对称作图，再求出f(x)<0的解集．方法归纳根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题．跟踪训练2如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．解析：方法一因函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，补全图如图．由图象可知f (1)<f (3)．方法二 由图象可知f (－1)<f (－3)． 又函数y ＝f (x )是偶函数， 所以f (－1)＝f (1)，f (－3)＝f (3)，故f (1)<f (3)．方法一是利用偶函数补全图象，再比较f(1)与f(3)的大小； 方法二f(1)＝f(－1)，f(3)＝f(－3)，观察图象判断大小．类型三 利用函数奇偶性求参数例3 (1)设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x为奇函数，则a ＝________； (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，ax 2＋x ，x <0是奇函数，则a ＝________.【解析】 (1)方法一(定义法) 由已知 f (－x )＝－f (x )，即(－x ＋1)(－x ＋a )－x＝－(x ＋1)(x ＋a )x . 显然x ≠0得，x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ， 故a ＋1＝0，得a ＝－1.方法二(特值法) 由f (x )为奇函数得 f (－1)＝－f (1)，即(－1＋1)(－1＋a )－1＝－(1＋1)(1＋a )1， 整理得a ＝－1.(2)(特值法) 由f (x )为奇函数， 得f (－1)＝－f (1)，[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝2x 2－3 B ．y ＝x 3 C ．y ＝x 2，x ∈[0,1] D ．y ＝x解析：对于A ，f (－x )＝2(－x )2－3＝2x 2－3＝f (x )，∴f (x )是偶函数，B ，D 都为奇函数，C 中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.答案：A2．函数f (x )＝1x －x 的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称解析：∵f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x －(－x )＝x －1x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，图象关于原点对称．答案：C3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )解析：选项A 中的图象不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故排除；选项C ，D 中函数的定义域不关于原点对称，也排除．选项B 中的函数图象关于y 轴对称，是偶函数，故选B.答案：B4．下列四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称；④奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必过(－a ，f (a ))．表述正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：偶函数的图象一定关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，例如，函数f (x )＝x 0，其定义域为{x |x ≠0}，故其图象与y 轴不相交，但f (x )＝x 0＝1(x ≠0)是偶函数，从而可知①是错误的，③是正确的． 奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过坐标原点，例如，函数f (x )＝1x ，其定义域为{x |x ≠0}，可知其图象不经过坐标原点，但f (x )＝1x 是奇函数，从而可知②是错误的．若点(a ，f (a ))在奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象上，则点(－a ，－f (a ))也在其图象上，故④是错误的．答案：A5．如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0解析：由图知f (1)＝12，f (2)＝32，又f (x )为奇函数，所以f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1)＝－32－12＝－2.故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．若函数f (x )＝kx 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则k 等于________．解析：由于函数f (x )＝kx 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，因此k －1＝0，k ＝1.答案：17．给出下列四个函数的论断： ①y ＝－|x |是奇函数；②y ＝x 2(x ∈(－1,1])是偶函数；解得b＝0.答案：0三、解答题(每小题10分，共20分)9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3－x2x－1；(2)f(x)＝x2－x3；(3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；(4)f(x)＝x2＋ax(x≠0，a∈R)．解析：(1)∵函数f(x)＝x3－x2x－1的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(x)的定义域为R，是关于原点对称的．∵f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3，又－f(x)＝－x2＋x3，∴f(－x)既不等于f(x)，也不等于－f(x)．故f(x)＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数．(3)方法一(定义法)函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，∴函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．方法二(根据图象进行判断)f(x)＝|x－2|－|x＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，x≥2，－2x，－2<x<2，4，x≤－2，画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f(x)是奇函数．(4)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋ax(x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．综上所述，当a∈R且a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，函数f(x)为偶函数．10．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)画出函数f(x)的图象．解析：(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；②当x<0时，－x>0，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，综上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x，(x>0)0，(x＝0)－x2－2x，(x<0)(2)图象如图：[能力提升](20分钟，40分)11．定义两种运算：a b＝a2－b2，a⊗b＝(a－b)2，则函数f(x)＝2x(x⊗2)－2为()A．奇函数B．偶函数C．奇函数且为偶函数D．非奇函数且非偶函数解析：由定义知f(x)＝4－x2(x－2)2－2＝4－x2|x－2|－2，由4－x2≥0且|x－2|－2≠0，得－2≤x<0或0<x≤2，即函数f(x)的定义域为{x|－2≤x<0或0<x≤2}，关于原点对称；f(x)＝4－x22－x－2＝－4－x2x，f(－x)＝－4－x2－x＝－f(x)．故f(x)是奇函数．故选A.答案：A12．若f(x)是[－2,2]上的偶函数，在(0,2]上为增函数，且f(m－1)>f(m＋1)，则m的取值范围为________．解析：∵f(x)为偶函数，。
1.3.2函数的奇偶性(第1课时)教学设计
函数的奇偶性（第1课时）教学设计嵊州市三界中学竹林烽一．教材分析1 教材的地位与作用内容选自人教版A版必修1第一章第三节;函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用;奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。
2 学情分析已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。
尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识；在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识；高一学生具备一定的观察能力，但观察的深刻性及稳定性也都还有待于提高；高一学生的学习心理具备一定的稳定性,有明确的学习动机，能自觉配合教师完成教学内容。
二．目的分析教学目标：1、奇函数的概念；2、偶函数的概念；3、函数奇偶性的判断；过程与方法目标：1、培养学生的类比，观察,归纳能力；2、渗透数形结合的思想方法，感悟由形象到具体,再从具体到一般的研究方法情感态度与价值观目标：1、对数学研究的科学方法有进一步的感受；2、体验数学研究严谨性，感受数学对称美重点与难点重点：函数奇偶性的概念难点：函数奇偶性的判断三．教法、学法、教学手段教法自学辅导法、讨论法、讲授法学法归纳——讨论——练习教学手段多媒体电脑四．过程分析（一）情境导航、引入新课问题提出源于生活，那么我们现在正在学习的函数图象，是否也会具有对称的特性呢是否也体现了图象对称的美感呢（二）构建概念、突破难点考察下列两个函数：1 2思考1:这两个函数的图象有何共同特征思考2:对于上述两个函数，f1与f-1，f2与f-2，f与f-有什么关系一般地，若函数=f的图象关于轴对称，当自变量任取定义域中的一对相反数时，对应的函数值相等。
1.3.2函数奇偶性
§1．3．2函数的奇偶性学习目标：1．知识与技能：理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；2．过程与方法：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养自己观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．3．情态与价值：通过函数的奇偶性教学，培养自己从特殊到一般的概括归纳问题的能力． 重点和难点分析：重点：函数的奇偶性及其几何意义难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 问题导学：预习教材P 33----P 36, 并找出疑惑之处。
1. 明确偶函数的概念并找出如何通过函数图象判断该函数是否偶函数2. 明确奇函数的概念并找出如何通过函数图象判断该函数是否奇函数预习自测：判断下列函数的奇偶性1.2()f x x =2. ()||1f x x =-3. 21)(x x f =4. 2432)(x x x f +=5. x x x f 2)(3-=6. xx x f 1)(2+=7. 1)(2+=x x f学习过程：学习探究思考：“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？1.观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．2()f x x = ()||1f x x =- 21()f x=通过讨论归纳：函数2()f x x =是定义域为 ————的抛物线；函数()||1f x x =-是定义域为———— 的折线；函数21()f x x=是定义域为 ————的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于————对称．2.观察一对关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？归纳问题：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -是否也在函数图象上?即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标是否一定相等？归纳定义：函数的奇偶性定义：1．偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．依照偶函数的定义给出奇函数的定义．2．奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有 ————，那么()f x 就叫做奇函数． 注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．3．具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．典型例题：例1．判断下列函数是否是偶函数．（1）2()[1,2]f x x x =∈-（2）32()1x x f x x -=-例2．判断下列函数的奇偶性（1）4()f x x =（2）5()f x x =（3）1()f x x x =+（4）21()f x x=小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定()()f x f x -与的关系； ③作出相应结论：若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数；若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数．例3．判断下列函数的奇偶性：2211(0)2()11(0)2x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩分析：先验证函数定义域的对称性，再考察()()()f x f x f x --是否等于或．例4．利用函数的奇偶性补全函数的图象．教材P 35思考题规律：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．例5．已知()f x 是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．证明：()f x 在（－∞，0）上也是增函数．小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．课堂训练：判断下列函数的奇偶性，并说明理由．①()0,[6,2][2,6];f x x =∈--②()|2||2|f x x x =-++③()|2||2|f x x x =--+④())f x lg x =（五）归纳小结，整体认识． 本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．。
人教A版必修一1.3.2函数的奇偶性
链接一：轴对称图形：一个图形绕一条直线翻转180°后，能与原图形重合， 则这个图形称为轴对称图形，这条直线称为这个图形的对称轴. 中心对称图形：一个图形绕一个点旋转180°后，能与原图形重合，则这个 图形称为中心对称图形，这个点称为这个图形的对称中心. 链接二：抛物线 双曲线 直线y=2x的图象（如图所示）都具有对称性.
3.既奇又偶函数的表达式是
定义域A是关于原点对称的非空数集.
4.若奇函数在原点处有定义，则有f（0）=0. 探究要点二：利用定义判断函数奇偶性的步骤 1.求函数f（x）的定义域； 2.判断函数f（x）的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既 不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； 3.结合函数f（x）的定义域，化简函数f（x）的解析式； 4.求f（－x）； 5.根据f（－x）与f（x）之间的关系，判断函数f（x）的奇偶性. 判断函数奇偶性时要注意： 1.{0}是关于原点对称的，如函数 定义域是{0}，f（x）=0，所以该函数既是奇函数又是偶函数. 2.函数根据奇偶性分为：奇函数，偶函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数. 3.有时也根据下面的式子判断函数f（x）的奇偶性：对于定义域内的任意一个x， 若有f（x）－f（－x）=0成立，则f（x）为偶函数；对于定义域内的任意一个x，若 有f（x）+f（－x）=0成立，则f（x）为奇函数.
变式训练2－1：已知f（x）是定义在 上的奇函数，且x>0时， 求x＜0时，f（x）的解析式. 解：当x＜0时，－x＞0，
类型三：利用函数奇偶性作函数图象 已知函数
（1）如图，已知f（x）在区间
上的图象，请据此在该坐标系中
补全函数f（x）在定义域内的图象，请说明你的作图依据； （2）求证：f（x）+g（x）=1（x≠0）.
1.3.2函数的奇偶性
例5、判断下列函数的奇偶性：
(1 ) (3) f (x) = x
4
(2) (4)
f (x) = x5 1 f (x) = x2
1 f (x) = x + x
(1)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即f(-x)=f(x)
(2)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)5=-x=-f(x) 即f(-x)=-f(x)
f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
实际上，对于 内任意的一个 都有f(-x)=-x=-f(x),这时 内任意的一个x,都有 实际上，对于R内任意的一个 都有 这时 我们称函数y=x为奇函数 我们称函数 为奇函数.
2．奇函数 ．
一般地，对于函数 的定义域内的任意一个x， 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个 ， 的定义域内的任意一个 都有f(－ 就叫做奇函数 都有 －x)=-f(x)，那么 就叫做奇函数． ，那么f(x)就叫做奇函数． 注意： 注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性， 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性， 函数的奇偶性是函数的整体性质 整体性质； 函数的奇偶性是函数的整体性质； 2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的 由函数的奇偶性定义可知， 一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x， 一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 ，则 也一定是定义域内的一个自变量（ －x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关 也一定是定义域内的一个自变量 于原点对称）． 于原点对称）．
2 , 例如，函数 f (x) = x +1 f (x) = x2 +1都是偶函数，
2
它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.
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O
x0
x
-2
-1
O
1
x
练习2. 判断下列函数的奇偶性
1 (1) f(x)=x- x
非奇非偶
奇函数
(2) f(x)= x2 +2，x∈[-4,4)，若x∈（-4,4）呢？
偶函数
(3) f(x)=5
偶函数
1 x f ( x) ( x 1) 1 x
非奇非偶
(4) f(x)=0
(5)f (x) x 1 1 x
1.3.2
函数的奇偶性
引 例：
问题１：画出函数f(x)=x2的图象，并求f(-2),f(2), f(-3),f(3)值．
解: f(-2)=(-2)2=4 f(-３)=(-３)2=９
f(2)=２２＝4 f(３)= ３2=９
( x, f ( x))
( x, f ( x))
y
( x, f ( x))
1、对定义域中的每一 个x，-x是也在定义 域内； 2、都有f(x)=f(-x)
如果对于函数f(x)的定义域内任意 一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x) 就叫做偶函数（even function）。
问题３.已知g(x)=x3,画出它的图象,并求出g(-2),g(2),g(-1), g(1)及g(-x)
=2x4+3x2
= -(x3+2x) 即 f(-x)= - f(x) ∴f(x)为奇函数 即 f(-x)= f(x) ∴f(x)为偶函数
☆ 说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:
⑴先求定义域，看是否关于原点对称;
⑵再判断f(－x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立。
也可以通过图像 的对称 性判断函数的奇偶性
y
解: g(-2)=(-2)3=-8
g (2)=8
-x
g(-x)
(x g(x) , g ( x))
g(-1)=(-1)3=-1 g(1)=1 g(-x)=(-x)3=-x3 思考 : 通过练习,同学们发现了什么规律? g(-2)= - g(2) g(-1)= - g(1) g(-x)= - g(x)
奇函数的图象(如y=x3 )
y
偶函数的图象(如y=x2)
y
p(a ,f(a))
P/(-a ,f(-a))
p(a ,f(a))
(-a,f(a))
-a
o
a a
x
-a
o
a
x
P/(-a ,f(-a))
(-a,-f(a))
奇函数的图象关于原点对称. 反之,若一个函数的图象关于原点 对称，那么这个函数是奇函数. 偶函数的图象关于y轴对称. 反之, 若一个函数的图象关于 y 轴 对称,那么这个函数是偶函数.
y
练习5如图是奇函数y=f(x)图象 的一部分，试画出函数在y轴 左边的图象。
x
0
本课小结:
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x) 如果都有f(-x)= f(x) f(x)为奇函数。 f(x)为偶函数。
2.两个性质:
一个函数为奇函数 一个函数为偶函数 它的图象关于原点对称。 它的图象关于y 轴对称。
问题４： (1)定义在［-2,7］上的函数f(x)=x2是否是偶函数？为什么？ (2)定义在［-2,2］上的函数f(x)=x2是否是偶函数？为什么？
☆对奇函数、偶函数定义的说明:
(1).函数具有奇偶性的前提条件是：定义域关于 原点对称。 o [-b,-a] [a ,b] (2) 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说 函数f(x) 具有奇偶性。
2 2
既是奇函数又是偶函数
例2 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图， 画出y=f(x)在 y轴左边的图象。 y 解：画法略
o
x
例3、研究函数
的性质并作出它的图像
解：已知函数的定义域是x≠0的实数集，即｛x∈R|x≠0｝
分析略：请一位同学一边分析，一边画出函数图像来！
1 x … -3 -2 -1 - 1 … 0 … 2 2 1 1 1 4 … 不存 … 4 y … 9 4 在
思考 : 通过练习,同学们发现了什么规律?
－３－２
o
２３
x题２：对于定义域内的任意x是否存在一个-x，使 f(x)=x2满足f(-x)=f(x)结论呢？
f ( x) ( x) 2 x 2 f ( x)
函数y=f(x)的图象 关于y轴对称
1 1
2
1 4
3 …
1 9
…
由图像可以看出这个函数的 单调区间是什么？
偶 数 （ 0,)上 增 数 函 在 是 函 ， 在 ， 上 减 数 则 （ 0） 是 函 。
练习3 已知y=f(x)是R上的奇函数，当x>0时， f(x)=x2 +2x-1 ，求函数的表达式。
x2 x 练 4、 明 数 f ( x) 习 证 函 x x2 是 函 奇 数 ( x 0) ( x 0)
练 ： p361、 习 2 p39 A6、B3
说明：对于形如 f(x)=x n 的函数，
若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。
例1：判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+2x
解: 定义域为R
(2)
f(x)=2x4+3x2
解: 定义域为R
∵f(-x)=(-x)3+2(-x) = -x3-2x
∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2
x
练习1. 说出下列函数的奇偶性:
偶函数 ①f(x)=x4 ________
奇函数 ② f(x)=x ________ 奇函数 ③ f(x)=x5 __________
奇函数 ④ f(x)= x -1 __________
⑤f(x)=x -2 ⑥f(x)=x -3 偶函数 __________ 奇函数 _______________
o
x
x
( x, g ( x))
( x, g ( x))
函数y=f(x)的图象 关于原点对称
1、对定义域中的每一 个x，-x是也在定义 域内； 2、都有f(-x)=-f(x)
如果对于函数f(x)的定义域内任意 一个x，都有f(-x)=- f(x)，那么函数f(x) 就叫做奇函数(odd function) 。