函数的奇偶性问题解决评价单1
“函数的奇偶性”教学实录与感悟
“函数的奇偶性”教学实录与感悟函数的奇偶性是高中数学中涉及比较重要的一个概念，它是描述函数性质的一种方式，也是解决数学问题的重要方法之一、在教学过程中，我发现学生对于函数的奇偶性往往感到困惑，因此我在教学实践中尝试了一些方法，帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
以下是我的教学实录与感悟。
教学实录：一、引入在开始教学之前，我通常会引入一些生活中的例子，让学生了解函数的奇偶性是如何存在于我们周围的。
比如，我会让学生思考一些自然现象或物体的特点是奇数还是偶数，激发学生的兴趣和想象力。
二、定义接着我会向学生介绍函数的奇偶性的定义，以及如何判断一个函数是奇函数还是偶函数。
我会让学生通过观察函数的图像或算出函数的奇偶性来认识这一概念，并带领他们实际操作一些例题，加深他们的理解和记忆。
三、性质在介绍完函数的奇偶性的定义后，我会向学生讲解函数的奇偶性的性质，包括奇函数的性质、偶函数的性质以及两个奇函数相加、两个偶函数相加的规律。
我会通过具体的例子来说明这些性质，并鼓励学生独立思考和验证。
四、应用最后，我会与学生一起解决一些实际问题，应用函数的奇偶性来解决实际问题，让学生感受到函数的奇偶性在解决数学问题中的重要性和实用性。
我会鼓励学生提出自己的问题和想法，引导他们运用函数的奇偶性来解决不同类型的问题。
教学感悟：通过以上的教学实录，我发现学生在理解函数的奇偶性时，往往存在以下几个问题：1.定义理解不清晰：学生对于奇函数和偶函数的定义理解不清晰，容易混淆两者的概念。
因此在教学中我会着重强调奇函数和偶函数的定义，让学生明确两者的区别。
2.性质记忆不牢固：学生在学习函数的奇偶性时，往往容易忽略函数的奇偶性的性质，导致无法正确应用这些性质来解决问题。
因此我在教学中会加强性质的讲解和演示，帮助学生牢固掌握函数的奇偶性的性质。
3.应用能力欠缺：学生在学习函数的奇偶性时，往往缺乏实际应用这一概念解决问题的能力，容易在数学计算上犯错误。
函数的奇偶性的判断及其应用-学会解题之高三数学多题一解【解析版】
函数的奇偶性的判断及其应用【高考地位】函数的奇偶性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明函数的奇偶性，利用函数的奇偶性解决实际问题．类型一 函数奇偶性的判断万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 确定函数的定义域；第二步 判断其定义域是否关于原点对称；第三步 若是，则确定()f x 与()f x -的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第四步 得出结论.例1 判断下列函数的奇偶性：(1) 22()99f x x x =--(2) 1()(1)1x f x x x -=++(3)24()33x f x x -=+-.【解析】（1）第一步，确定函数的定义域：由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-090922x x 得3±=x ，所以函数的定义域为{}33，- 第二步，判断其定义域是否关于原点对称：因为函数的定义域为{}33，-，所以定义域关于原点对称 第三步，若是，则确定()f x 与()f x -的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；()()()()x f x x x x x f =-+-=--+--=-99992222第四步，得出结论. 所以函数为偶函数。
（2）第一步，确定函数的定义域： 由不等式011≥+-xx得11≤<-x ，所以函数的定义域为(]11，- 第二步，判断其定义域是否关于原点对称：因为函数的定义域为(]11，-，所以定义域不关于原点对称第三步，得出结论.所以函数既不是奇函数也不是偶函数；。
（3）第一步，确定函数的定义域：由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≠-+≥-033042x x 得02<≤-x 或20≤<x ，所以函数的定义域为[)⋃-02，或(]20， 第二步，判断其定义域是否关于原点对称：因为函数的定义域为[)⋃-02，或(]20，，所以定义域关于原点对称 第三步，若是，则确定()f x 与()f x -的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；()()()x f xx x x x f -=--=---=-2244第四步，得出结论. 所以函数为奇函数。
高一函数的奇偶性和周期性知识点+例题+练习 含答案
1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数.关于y轴对称奇函数如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数.关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．(√)(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)(5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(6)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)1．(2015·福建改编)下列函数中，①y＝x；②y＝|sin x|；③y＝cos x；④y＝e x－e－x为奇函数的是________．(填函数序号)答案 ④解析 对于④，f (x )＝e x －e －x 的定义域为R ，f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，故y ＝e x －e －x 为奇函数．而y ＝x 的定义域为{x |x ≥0}，不具有对称性，故y ＝x 为非奇非偶函数．y ＝|sin x |和y ＝cos x 为偶函数．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝________. 答案 0解析 由f (x ＋1)是偶函数得f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x －1)，即－f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，即f (x )＋f (x ＋2)＝0，所以f (1)＋f (3)＝0，f (2)＋f (4)＝0，因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0. 3．(2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为______________． 答案 c ＜a ＜b解析 由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0， 所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数， log 0.53＝－log 23，所以log 25＞|－log 23|＞0， 所以b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)．4．(2014·天津)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2， －1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f (32)＝________.答案 1解析 函数的周期是2， 所以f (32)＝f (32－2)＝f (－12)，根据题意得f (－12)＝－4×(－12)2＋2＝1.5．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x <0时，f (x )＝________. 答案 x (1－x )解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．题型一 判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ， x >0.解 (1)定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－(x 3－x ) ＝－f (x )， ∴函数为奇函数．(2)由1－x1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．(3)当x >0时，－x <0，f (x )＝－x 2＋x ， ∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，f (x )＝x 2＋x ， ∴f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )．∴对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 均有f (－x )＝－f (x )．∴函数为奇函数．思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(1)下列四个函数：①f (x )＝－x |x |；②f (x )＝x 3；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝ln xx，同时满足以下两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的是________．(2)函数f (x )＝log a (2＋x )，g (x )＝log a (2－x )(a >0且a ≠1)，则函数F (x )＝f (x )＋g (x )，G (x )＝f (x )－g (x )分别是______________(填奇偶性)． 答案 (1)① (2)偶函数，奇函数解析 (1)①中，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x >0，x 2，x ≤0，由函数性质可知符合题中条件，故①正确；②中，对于比较熟悉的函数f (x )＝x 3可知不符合题意，故②不正确；③中，f (x )＝sin x 在定义域内不具有单调性，故②不正确；④中，定义域关于原点不对称，故④不正确． (2)F (x )，G (x )定义域均为(－2,2)，由已知F (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝log a (2－x )＋log a (2＋x )＝F (x )， G (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (2－x )－log a (2＋x ) ＝－G (x )，∴F (x )是偶函数，G (x )是奇函数．题型二 函数的周期性例2 (1)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________. (2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______.答案 (1)－1 (2)2.5解析 (1)因为f (x )是周期为3的周期函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋3＝f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝4×⎝⎛⎭⎫－122－2＝－1. (2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5.思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． (2)函数周期性的三个常用结论： ①若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ， ②若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ，③若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝____________. 答案 12解析 ∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π， 又∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0， 即f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12.题型三 函数性质的综合应用命题点1 函数奇偶性的应用例3 (1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________.(2)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 (1)1 (2)1解析 (1)因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.(2)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.命题点2 单调性与奇偶性、周期性结合例4 (1)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a的取值范围为________．(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系是__________________． 答案 (1)(－1,4) (2)f (－25)<f (80)<f (11)解析 (1)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4.(2)∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)， f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)． 由f (x )是定义在R 上的奇函数， 且满足f (x －4)＝－f (x )， 得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．∵f (x )在区间[0,2]上是增函数， f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－1)<f (0)<f (1)， 即f (－25)<f (80)<f (11)．思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.(1)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答案 (1)－32(2)(－5,0)∪(5，＋∞)解析 (1)函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln1＋e 3xe 3x ＋e 6x＝2ax ＝ln e 2ax ，即1＋e 3xe 3x ＋e6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.①当x >0时，由f (x )>x 得x 2－4x >x ，解得x >5；②当x ＝0时，f (x )>x 无解；③当x <0时，由f (x )>x 得－x 2－4x >x ， 解得－5<x <0.综上得不等式f (x )>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．2．忽视定义域致误典例 (1)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．易错分析 (1)解题中忽视函数f (x )的定义域，直接通过计算f (0)＝0得k ＝1. (2)本题易出现以下错误：由f (1－x 2)>f (2x )得1－x 2>2x ，忽视了1－x 2>0导致解答失误． 解析 (1)∵f (－x )＝k －2－x1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x ＋k，∴f (－x )＋f (x )＝(k －2x )(2x ＋k )＋(k ·2x －1)·(1＋k ·2x )(1＋k ·2x )(2x ＋k )＝(k 2－1)(22x ＋1)(1＋k ·2x )(2x ＋k ).由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1， ∴k ＝±1.(2)画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋2，得x ∈(－1，2－1)． 答案 (1)±1 (2)(－1，2－1)温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域．(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：①对变量所在区间的讨论．②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系．③弄清最终结果取并集还是交集．[方法与技巧]1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．利用函数奇偶性可以解决以下问题①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图象，确定函数单调性． 3．在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用． [失误与防范]1．f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．2．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇、偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．下列函数中，①y ＝log 2|x |；②y ＝cos 2x ；③y ＝2x －2－x 2；④y ＝log 22－x 2＋x ，既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是________． 答案 ①解析 对于①，函数y ＝log 2|x |是偶函数且在区间(1,2)上是增函数；对于②，函数y ＝cos 2x在区间(1,2)上不是增函数；对于③，函数y ＝2x －2－x 2不是偶函数；对于④，函数y ＝log 22－x2＋x 不是偶函数．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为________． 答案 －4解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1，∴f (x )＝3x －1.∵log 35>log 31＝0，∴f (－log 35)＝－f (log 35)＝3log 5(31)－－＝－4.3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝________. 答案 －2解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2， 即f (2 019)＝－2.4．若函数f (x )＝(ax ＋1)(x －a )为偶函数，且函数y ＝f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的值为________． 答案 1解析 ∵函数f (x )＝(ax ＋1)(x －a )＝ax 2＋(1－a 2)x －a 为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即f (－x )＝ax 2－(1－a 2)x －a ＝ax 2＋(1－a 2)x －a ， ∴1－a 2＝0，解得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝x 2－1，在x ∈(0，＋∞)上单调递增，满足条件．当a ＝－1时，f (x )＝－x 2＋1，在x ∈(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．故a ＝1.5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－2,1)解析 ∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1.6．函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案 －－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝－f (x )，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 7．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是____________________．答案 (－∞，1]∪[3，＋∞)解析 由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．8．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案 2解析 依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2. 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝f (2 016)＝f (0)＝0.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，53 解析 ∵f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，∴－1<x <1，f (－x )＝－f (x )．∴f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为f (m －2)>－f (2m －3)，∴f (m －2)>f (－2m ＋3)，∵f (x )是减函数，∴m －2<－2m ＋3，∵⎩⎪⎨⎪⎧ －1<m －2<1，－1<2m －3<1，m －2<－2m ＋3.∴1<m <53. 12．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a＋2b＝－2.①由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋2 2，即b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.13．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．答案7解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.14．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．答案①②解析在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1，且f(x)是周期为2的周期函数．∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误．15．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。
判断函数奇偶性的方法
判断函数奇偶性的方法对于一个给定的函数，我们常常需要判断它的奇偶性。
判断一个函数的奇偶性可以帮助我们更好地理解函数的性质，从而更好地解决问题。
在数学中，奇函数和偶函数是两种特殊的函数类型，它们具有一些特定的性质和规律。
本文将介绍判断函数奇偶性的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来看一下奇函数和偶函数的定义。
一个函数f(x)是奇函数，当且仅当对任意x∈D，都有f(-x)=-f(x)成立；一个函数f(x)是偶函数，当且仅当对任意x∈D，都有f(-x)=f(x)成立。
其中，D表示函数的定义域。
接下来，我们将介绍几种常见的判断函数奇偶性的方法。
方法一，利用函数图像判断。
对于一个给定的函数，我们可以通过观察它的图像来判断它的奇偶性。
具体来说，如果函数的图像关于原点对称，那么这个函数就是偶函数；如果函数的图像关于坐标轴原点对称，那么这个函数就是奇函数。
例如，对于函数y=x^2，它的图像是一个关于y轴对称的抛物线，因此它是偶函数；而对于函数y=x^3，它的图像是关于原点对称的曲线，因此它是奇函数。
方法二，利用函数的性质判断。
除了通过观察函数的图像来判断奇偶性外，我们还可以利用函数的性质来进行判断。
具体来说，我们可以利用函数的定义和性质来进行推导和证明。
以多项式函数为例，我们知道，一个多项式函数可以表示为f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，其中a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0为常数，n为非负整数。
对于一个多项式函数，如果它满足f(-x)=f(x)，那么它就是偶函数；如果它满足f(-x)=-f(x)，那么它就是奇函数。
方法三，利用导数判断。
另外，我们还可以利用函数的导数来判断函数的奇偶性。
具体来说，如果一个函数f(x)是偶函数，那么它的导数f'(x)是奇函数；如果一个函数f(x)是奇函数，那么它的导数f'(x)是偶函数。
浅谈用好单调性和奇偶性解决数学常规题
172单调性和奇偶性是函数的两个重要基本性质，二者之间有着密切的联系：（1）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；（2）偶函数 在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。
巧妙地运用单调性和奇偶性的联系，可以轻松解决比较函数值的大小、求函数的最值、解抽象函数不等式等诸多函数问题。
现就函数单调性与奇偶性的题型分类举例浅析如下。
1 比较大小利用函数的单调性比较几个函数值的大小是函数问题中的最常见的题型，用此法时先要将函数的自变量通过函数的其他性质如奇偶性、周期性等化到同一个单调区间内。
例1已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则( )A．f(0)>f(log32)>f(－log23)B．f(log32)>f(0)>f(－log23)C．f(－log23)>f(log32)>f(0)D．f(－log23)>f(0)>f(log32)解析：∵log23>log22＝1＝log33>log32>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(log23)>f(log32)>f(0)，又函数f(x)为偶函数，∴f(log23)＝f(－log23)，∴f(－log23)>f(log32)>f(0)．答案 C评注 比较两个函数值大小时，如果两个自变量的值不在同一单调区间上，则需要利用奇偶性来进行转化．2 求函数最值求函数的最值是函数内容必考的题型，这种题型对同学们有一定的难度。
用单调性求最值，首先要判断函数在所求区间上的单调性，尤其在求关于原点对称的对称区间上的单调性或最值时，可能要结合函数的奇偶性。
例2 若偶函数f(x)在区间[3,6]上是增函数且f(6)＝9，则它在区间[－6，－3]上( )A．最小值是9 B．最小值是－9C．最大值是－9 D．最大值是9解析 因为f(x)是偶函数且在区间[3,6]上是增函数，所以f(x)在区间[－6，－3]上是减函数．因此，f(x)在区间[－6，－3]上最大值为f(－6)＝f(6)＝9.答案 D评注 应用单调性和奇偶性的联系求最值时，一定要注意奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。
《3.3.2 函数的奇偶性》作业设计方案
《函数的奇偶性》作业设计方案（第一课时）一、作业目标：1. 理解和掌握函数的奇偶性概念；2. 能够根据概念判断函数的奇偶性；3. 培养数学思维能力和分析问题能力。
二、作业内容：1. 理论作业：（1）请列举几个函数，并分析它们的奇偶性。
例如：f(x) = x^2, f(x) = x+1, f(x) = -x等。
（2）阅读教材，理解奇偶性的概念，并用自己的话进行描述。
（3）根据定义，说明下列函数是否为奇函数：f(x) = x^3, g(x) = 2x^2 + 3, h(x) = x^2 - x + 1。
（4）请举出一些满足某种奇偶性特性的函数例子，并尝试解释其特性原因。
2. 实践作业：（1）自行设计一个简单的数学问题，要求该问题需要用到函数的奇偶性。
例如：求一个奇函数在某一点的导数值等。
（2）尝试解决一些实际生活中的数学问题，例如：设计一个简单的测量工具，用于测量一个圆形物体的直径等，需要用到函数的奇偶性。
三、作业要求：1. 严格按照作业要求完成作业，注意作业的格式和规范；2. 遇到问题时，积极思考、查阅资料，或与同学讨论，解决问题；3. 按时提交作业，不得拖延。
四、作业评价：1. 评价标准：作业完成情况、问题解决能力、思考深度等；2. 评价方式：学生自评、小组互评、教师评价相结合。
五、作业反馈：1. 请同学们在完成作业后，将作业结果进行整理，并附上自己的感想和收获；2. 小组内可以互相交流、讨论，共同提高；3. 对于无法解决的问题，可以向老师请教，寻求帮助。
通过本次作业，希望同学们能够更好地理解和掌握函数的奇偶性这一知识点，培养数学思维能力和分析问题能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
同时，也希望同学们能够积极思考、勇于探索，将所学知识应用到实际生活中，提高自己的数学应用能力。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标1. 巩固学生对函数奇偶性的理解，加深对奇偶性概念、性质及图形特征的认识。
2. 通过作业实践，提高学生的数学思维能力和问题解决能力。
高一数学：函数奇偶性题型及求解的8种策略
高一数学：函数奇偶性题型及求解的8种策略
函数的奇偶性是函数的重要性质,也是每年高考的重要内容和热点内容之一,函数的奇偶性可以解决下列几类问题.
一、利用奇偶性的定义判断
【点评】解抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法,即赋予恰当的数值,利用定义经过运算与推理,最后得出结论.
【点评】本题考查函数奇偶性的判定,注意要先分析函数的定义域.定义域不对称,则非奇非偶.
【点评】本题考查偶函数的定义，根据偶函数的定义，可得一次项系数为0，从而可得结论.
【点评】考查奇函数的定义,已知函数求值的方法,解决本题的关键是利用奇函数的性质把自变量转化为
四、利用奇偶性的对称性解题
【点评】本题考查了偶函数的性质,以及函数的单调性的应用,一般将函数值转化到同一单调区间上再比较大小.
【点评】本题以不等式为载体,考查函数的单调性和奇偶性,由题意可得 f (x) 为R上的奇函数和增函数,故脱掉“f ”,问题转化为解一元不等式问题解决.
【点评】本题考查函数的奇偶性的应用,考查计算能力.一般设出所求自变量解析式所在的范围,把所求范围转化为已知解析式的定义域,利用函数的奇偶性化简即可求出解析式.
七、利用函数的性质求恒成立问题
【点评】本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合,其中根据已知条件及偶函数在对称区间上单调性相反,得到函数的单调性是解答本题的关键.
八、变形构造奇偶函数求参数。
函数单调性与奇偶性
函数单调性与奇偶性在数学的广袤天地中，函数单调性与奇偶性是两个极为重要的概念。
它们不仅在数学理论中占据着关键的地位，还在解决实际问题时发挥着巨大的作用。
首先，咱们来聊聊函数的单调性。
简单来说，单调性就是描述函数值随着自变量的变化而变化的趋势。
想象一下，你沿着一条笔直的道路行走，你的位置就好比是函数的自变量，而你行走的速度就像是函数值的变化。
如果你的速度一直保持增加，那就是单调递增；要是速度一直减少，那就是单调递减。
举个具体的例子，比如函数 f(x) ＝ x²，当 x 在区间（∞， 0) 时，函数值随着 x 的增大而减小，所以它在这个区间是单调递减的；而当 x 在区间（0, ＋∞）时，函数值随着 x 的增大而增大，这时候它就是单调递增的。
那么怎么来判断一个函数的单调性呢？通常有两种常见的方法，一种是利用定义，另一种是通过求导。
利用定义来判断单调性，就是设出定义域内的两个自变量的值 x₁和 x₂，然后比较 f(x₁) 和 f(x₂) 的大小关系。
如果对于定义域内的任意两个自变量 x₁＜ x₂，都有 f(x₁) ＜ f(x₂) ，那么函数就是单调递增的；反过来，如果都有 f(x₁) ＞ f(x₂) ，那就是单调递减的。
而对于学过导数的同学来说，求导就会更加方便快捷。
如果函数的导数大于零，那么函数在相应的区间就是单调递增的；导数小于零，就是单调递减的。
比如说函数 f(x) ＝ 2x³ 3x²＋ 1 ，对它求导得到 f'（x) ＝ 6x² 6x ，通过分析导数的正负，就能很容易地判断出函数的单调性。
函数的单调性在实际生活中也有很多应用。
比如在经济学中，成本函数的单调性可以帮助企业判断生产规模的变化对成本的影响，从而做出最优的生产决策。
接下来，咱们再谈谈函数的奇偶性。
奇偶性反映的是函数图像关于原点或者 y 轴对称的性质。
如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，那么这个函数就是偶函数。
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《1.3.2函数的奇偶性》问题解决--评价单
设计人：张娟 审核人：胡培瑞 序号：5-2
班级： 组名： 姓名： 日期：2011.
请同学们在有效的时间内高效完成下列每题（时间：40分钟 总分：50分） 题型一、函数奇偶性定义的理解？（2分/2分钟）
对于定义在R 上的函数f(x)，下列判断是否正确？
（1）若f(-2)=f(2),则函数f(x)是偶函数。
（ ）
（2）若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数。
（ ）
（3）若f(-2)=f(2),则函数f(x)不是奇函数。
（ ）
题型二、函数奇偶性的判断（四种类型）（16分/12分钟）
（1）()x
x x f 12
+= （2）()123++=x x x f
（3）()R x x x f ∈=,2 （4）()[]2,1,2-∈=x x x f （5）()122++=x x x f （6）()122++=x x x f （7）()2244x x x f -+-= （8）()123--=x x
x x f
题型三、函数奇偶性的应用
A ． 求函数值（10分/8分钟）
若(),8535-++=bx x x x f 且()102=-f ，求()2f （要求：两种方法以上）
考查的知识点：
思辨：
（1）判断奇偶函数的关键步骤是什么？（2）四种类型各自的特点是什么？ 考查的知识点：
思辨方法的适用特点：
思辨：奇偶函数概念中的关键词是什么？如何理解？
B ．求解析式（10分/10分钟）
已知函数f(x)是奇函数，且当x ＞0时，2)(-=x x x f ，求当x ＜0时，f(x)的解析式。
思辨：求x ∈R 时f(x) 的解析式
变式训练：已知函数g(x)是奇函数，f(x)是偶函数，且满足f(x)+g(x)=11-x ，求f(x),g(x).
C ．解抽象函数的不等式（12分/8分钟）
设f(x)在R 上是偶函数，在区间（-∞，0）上递增，且有
)123()12(22+-++a a f a a f ＜，求的取值范围。
自我评价 小组长评价 学科长评价
A.全会做的 A.掌握的 A.完善好的
B.粗心做错的 B.待掌握的 B.待完善的
C.全不会做的
考查的知识点：
反思：
考查的知识点：
反思：。