第一章1.3.2函数的奇偶性

第一章1 32 函数的奇偶性
教学目的：
1.. 了解函数的奇偶性的概念。

2.掌握函数奇偶性的证明和判断的基本方法。

3.要求学生能从数和形两个角度认识函数奇偶性。

4.要求学生能用定义判断某些函数的奇偶性，并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘
制过程。

5.通过对函数奇偶性的理论以及奇偶函数图形的研究，增强学生对数学美的体验，培养
乐于求索的精神，形成科学，严谨的研究态度.
教学重点：熟练判断函数奇偶性的方法和步骤.认识奇偶函数的图像特点
教学难点：对函数奇偶性的判断和奇偶性的应用
教学过程：
一、复习引入：
1.函数增减性的概念，回忆函数增减性的判断方法和单调区间概念。

2.增函数(减函数)图像的性质。

3.最大(最小)值的概念及求最值的方法。

4.初等函数的单调性和最值。

二、讲解新课：
1、引入1:分别作出函数f(x)=x2与f(x)=x的图像，并思考函数值和图象的变化规律 .
X -3 -2 -1
0 1 2 3
f(x) =x2
9 4 1 0 1 4 9
X -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) =| x 3 2 1 0 1 2 3
观察上面两个函数图像和表格有什么共同点？
2
观察可知：对于f(x)二x有：f(-3)=9二f(3)
f(_2)=4= f(2)
f (-1)亠f (1)
对于函数f(x)=| x同样也有上面的结论.
2、偶函数定义：一般地，如果对于函数 f (x)的定义域内任意一个 x,都有f ( — x)=f (x), 那么函数f (x)就叫做偶函数(even function ).
22
例如：函数f(x)二x・1和函数f二飞都是偶函数，他们的图像见书本P34
X2 +11
1
3、弓I入2:分别作出函数f (x)二x与f(x) 的图像，并思考函数值和图象的变化规律•
x
同样观察可知：对于有：
f(-2) = -2 = -f(2)
f(_1)一1 —f(1)
1
对于函数f (x) 同样也有上面的结论.
x
4、奇函数定义：一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个 x,都有f ( — x)= — f (x),
JT—3—1013
用1.3-9
那么函数f (x)就叫做奇函数(odd function ).
1 1
(1)f(x)=x4(2)f(x)=x5⑶ f(x)=x —(4) f (x) 2
x x
例2 (补充)判断下列函数的奇偶性
(1)y—x2 x.〔一3,11 ；(2) 「」「—「；(3)f(x) 丨-舟
2+1 2 解：(1) ( 2)非奇非偶函数(定义域不对称) (3)奇函数f (x)+f ( — x)=0
结论：(1) 一般函数的奇偶性有四种：奇函数、偶函数、即奇且偶函数、非奇非偶函数，一个函数是奇函数或是偶函数叫这个函数具有奇偶性，显然函数的奇偶性是相对于函数的整个
定义或二言，而非相对于某个区间。

(2)若f (x)是奇函数或偶函数，则对于定义域D 上的任意一个X,都有—x€ D,这就是定
义域必须是关于原点对称的. 若函数的定义域不是关于原点对称的，则可判断该函数既不是
奇函数又不是偶函数.
例3. 已知函数f x既是奇函数也是偶函数，求证：f X[=0.
证明：既是奇函数也是偶函数，..1■-' = . 1 ,且m⑴, 」亠」「. ■-",即兀―
结论2: (1) f x i=0是唯一的既奇且偶函数
(2)而y = f x二a常数a 0为偶函数
(3)根据定义验证奇偶性的时候，有时为了运算上的方便，常常把验证f ( — x)= ±f (x)
— f ■ x
转化为验证 f (x) -f ( — x)=0 , 1 (f (x)非零)，f (x)+f ( — x)=0 或2f (x).
f(x)
5、奇偶函数的性质：
从前引入的例中容易得到结论1：奇函数、偶函数的图象的对称性(定理)
①奇函数的图象关于原点对称，反之，若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数.
解：显然定义域关于原点对称
2 2
当 x>0 时，-x<0 f ( 夕)=x -x = -(x -x )
2 2
当 x<0 时, -x>0 f (
夕)=
-x -x = -(x +x)
•••此函数为奇函数
②偶函数的图象关于 y 轴对称，反之，若一个函数的图象关于 y 轴对称，则这个函数是 偶函数.
思考：(1)判断函数f (x) =x 3
- x 的奇偶性
(2)若上图是函数f (x^x 3
x 的图像的一部分,
你能根据f(x)的奇偶性画出它在 y 轴左边的图像么？
注：函数奇偶性是画函数图象和研究性质的一个重要依 据，对奇(偶)函数的图象，只须画出该函数在 x> 0(x >0)时
的图象，再根据对称性就能得到
x <0的图象；由x>0(x >0)
时函数的性质；再利用对称性就能推断函数在整个定义域上的性质. 练习：P36 2
例4.判断下列函数的奇偶性：
1 • f(X)二.X 2
-1、1 -X 2
解：定义域:
x 2 —1^0
\ >1或X 兰-1 2 二"
1 —X 2兰0
—1兰x 兰1
• ••定义域为 X = ± 1
f (-X)- ■■■. X 2
-1、1 - X 2
二 f (x)
•••此函数为即奇且偶函数
且 f ( 土 1) = 0
2. (1) f x = kx b k = 0
k
(2) f x k R
X
(3) f x 二 ax 2 bx c a = 0
3. f(x)
X 2
X
2
X 「X (X < 0)
(x 0)
即: f(-x)
r 2
-(x 2
+x) 厂(x-X 2
)
g 0) (X 0)
--f (x)
例5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当X<0时，f(x)=2x -3x 1，求f(x) 的表达式.
■ ■ 2
|2x —3x+1(x^0)
解：f X = 2
2x23x 1 x 0
三、总结：1、判断函数奇偶性的步骤：
①考查定义域 D是否关于原点对称，若存在一个x o€ D,使得f( — x o)没有意义，则f(x)
既不是奇函数也不是偶函数；若对于任意x € D, f ( — x)均有意义，则再进行下一步.
②判断f ( — x)= — f (x)或f ( — x)=f (x)之一是否成立，从而作出正确结论.
注：有时为了运算上的方便，常常把验证f ( — x)= ± f (x)转化为验证f (x) = f ( —
x)=0 , f'二1 , f (x)+ f ( — x)=0 或2f (x).
f x
2、奇函数二图象关于原点对称偶函数二图象关于轴对称
3、函数f x =0和y = f x =a常数a = 0的奇偶性。

4、分段函数的奇偶性的判定
四、作业：P39 习题 1.3 A:6 B:3 P44 A : 10 ; B: 6
补充习题：
1.判断下列函数的奇偶性
丄x21 x 0
(1 f x 二 kx b k = 0 ；⑵ f x = a a R ；⑶ f x = 2
1 2,
x -1 x ：： 0
2
解：(1)当'「亠1时，为奇函数，当J - 1时，既不是奇函数也不是偶函数
(2)当一•：M 时, 既是奇函数也是偶函数，当(3^0时, 是偶函数.
1 . 1卫
K
n _
r
/ ft =-1 = --^ 7 KE
(3)当.1 I.时，厂；于是_ -
当畫〈0时，-于是％) = ■%),
2.已知函数f (x)对于一切x , y都有f (x+y ) = f (x)+ f (y)
（1）.求证：f （x）是奇函数;
(2)若 f (—3)= 2,求 f ( 12)的值
作业本： 1.3.2
课外作
成材之路：P 35 1.3.2 ; 背面1.3.2;
业:
3.课外思考：下列结论的否成立？（公共定义域一样情况下，其中结论4中f （x）非零））
①两个奇（偶）函数的和与差，仍是奇（偶）函数.
②两个奇（偶）函数的积是偶函数.
③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
1
④函数f（X）与—有相同的奇偶性.
f（x）
探索：定义域为’I ':的任意函数.■都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和你能试证明之吗？。