北航矩阵理论2014-2015(B)期末考试试卷及解答.doc
矩阵论复习题 带答案1
矩阵论复习题1设A 、B 均为n 阶正规矩阵，试证A 与B 酉相似的充分必要条件是A 与B 的特征值相同。
证明: 充分性：A 与B 的特征值相同，A 、B 均为n 阶正规矩阵，则有11,A P IP B Q IQ --== 故11111,,A P QIQ P R Q P R P Q -----==令= A 与B 酉相似 必要性:A,B 为n 阶正规矩阵，存在初等变换R,1A RBR -=11,,,I E PQ A P IP B Q EQ --==为对角矩阵，存在初等变换111,I PAP E QRAR Q ---== ，因为I,E 为对角矩阵，故I=E 。
因此A 与B 的特征值相同。
#2 作出下列矩阵的奇异值分解10(1)A 0111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦011(2)A 200-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (1)632- 6 3 2101263011,130 2 6 311206333T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 2221 2 2,131222 2 2TC A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应故263 2 6 32210263 2 203 2 6 3220063 2 20 33HA ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2) 2010,240401T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应， 0040012201-1,2-400- 2 20-11022- 2 2T C A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 0101022200A 001 2202022022H⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.求下列矩阵A 的满秩分解123002111021A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭112211001230010,021110102111001230010,021101100001001230=010021-11-11L L A L L L A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦故4 设A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，证明：若B A ≥且BA AB =，则33B A ≥.证明：由于A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，且BA AB =，则AB 与BA 均为n 阶Hermite 正定矩阵。
09+10年北航研究生矩阵论 矩阵理论B期末试卷
二、设 A∈ 8×8，且 λ I − A 等价于准对角阵
diag
⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣λ
2 −1 0
1 ⎤ ⎡λ +1 λ + 2⎥⎦ , ⎢⎣λ −1
0⎤ λ −1⎥⎦
,(λ
+
2)2
,
λ
+
2,
1,
1⎫⎪⎬⎪⎭
(1)试求 λ I − A 的初等因子，不变因子；Smith 标准形(3)写出 A 的最小多项式及 Jordan 形.
四、证明：1）、 因为 A+ = A，故 A3 = A 所以 秩A=秩A3 ≤ 秩A2 ≤ 秩A，所以 秩A2 = 秩A
2）、由 A3 − A = 0，故 λ3 − λ 将 A 零化，且 λ3 − λ = 0无重根， A 可对角化。
3）、 A 的特征根为 1、-1 和 0，而 秩A=r 。故非零特根个数为（对角线非零元素的个数为 r）
附加题证明：令 B = A( AT A)−1 AT ，则 BT = B 为实对称矩阵，且 B2 = B
从而 BT B 与 B 由相同的特征值，且 B 的正奇异值就是 B 的正特征值。λ2 −1 = λ(λ −1) 是
B 的 零 化 式 。 故 B 的 最 大 特 征 值 为 1 （ 否 则 B 为 零 矩 阵 ， 从 而 A = 0 ， 矛 盾 ）， 所 以 B = B的最大奇异值= 1 = 1
3⎤ 2⎥⎦
.（1）计算
e
At
;
（2）试求
f
∞
A=
n=0
n +1 n!
A2
+
A
n
.
八、 A∈ n×n. 证明 lim Am = 0 ⇔ ρ ( A) < 1. m→∞
矩阵理论试题答案最终版
阵
G
为
(2, 2) (2, t + 1) (2, t 2 − 1) 2 (t + 1, 2) (t + 1, t + 1) (t + 1, t − 1) (t 2 − 1, 2) (t 2 − 1, t + 1) (t 2 − 1, t 2 − 1)
1 ∫−1 4dt 1 = ∫ 2*(t + 1)dt −1 1 ∫ 2*(t 2 − 1)dt −1 −8 4 8 3 10 −4 = 4 3 3 −8 −4 16 3 15 3
2
x ' −1 0 x 1 = + y ' 0 2 y −1 求多项式 P(x)经此仿射变换所得到的曲线，变换后的曲线是什么曲线？ 解：(1)由平面的四个点我们可得如下方程。
a0 + a1 *1 + a2 *12 = 0 2 −1 a0 + a1 *(−1) + a2 *(−1) = 2 1 a0 + a1 * 2 + a2 * 2 = a + a *(−3) + a *(−3) 2 = 2 2 0 1
∫ ∫ ∫
1 −1 1
1
−1
2*(t + 1)dt
−1
(t 2 + 2t + 1)dt
(t + 1) *(t 2 − 1)dt
1 2 ∫−1 (t + 1) *(t − 1)dt 1 2 2 t dt t ( 1) *( 1) − − ∫−1
∫
1
−1
2*(t 2 − 1)dt
北航矩阵考题A
an 1 2an 2 (a , a , 1 2 nan n
, an ) (分解不唯一) ( 4 分)
a1 2a2
nan trA
A2 (trA) A 0
A100 ( )99 A (a1 nan )99 A.
(2)可知 f ( A) 的谱公式为 f ( A) f (1 )G1 f (2 )G2 ,（且 G1 , G2 同上）, 令 f ( x) sin x f (7) sin 7, f (2) sin 2 得 sin A 的谱分解为
4 4 5 4 1 sin A (sin 7)G1 (sin 2)G2 sin 7 1 sin 2 9 9 5 5 5 4
(3) 由 (e A ) {e7 , e 2 } 谱半径 (e A ) e7 由 (esin A ) {esin 7 , e sin 2 } 行列式 det(esin A ) esin 7 sin 2
2
1 1 1 1 四、 （15 分）设 A 1 2 3 , b 2 ， 0 0 0 0
1 n 1 n 2
n (A 2 ) 为收敛
( 4 分)
以下的六、七题中只需任选一题：
4
六、(15 分)(1) 设矩阵 A 最小式 m( x) ( x 2) 2 且 f ( A) 收敛，推导 f ( A) 的广谱 计算公式。解(1)由 ( A 2)2 0 与台乐公式 f ( A) 0 可得公式
(3)求谱半径 (e A ) 与行列式 det(esin A ) ．(4)：求 ln( I A ) ?
南京航空航天大学2007-2014硕士研究生矩阵论matrixTheory试题
2 3 4 A 4 6 8 6 7 8 。 一（20 分） （1）设
2010 ~ 2011 学年《矩阵论》 课程考试 A 卷
（i）求 A 的特征多项式和 A 的全部特征值； （ii）求 A 的行列式因子，不变因子和初等因子； （iii）写出 A 的 Jordan 标准形；
1 A* A2 A* （3）证明： n 。
1 1 1 1 A 0 0 0 0 四、 （20 分）已知矩阵
（1）求矩阵 A 的 QR 分解；
1 2 0 1 b 1 1 2 1 ，向量 ，
（2）计算 A ；
17 6 14 60 A , B 45 16 3 13 ，试问 A 和 B 是否相似？并说明 （2）设
原因。
2 1 A 1 2 3 1 ，求 A 1 ， A 2 ， A ， A F ； 二（20 分） （1）设
（3）用广义逆判断方程组 Ax b 是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、 （20 分）
（1）设矩阵
问当 t 满足什么条件时, A B 成立？
5 3 2 0 1 A 3 2 t , B 1 1 2 t 2 2 0 .5 t
五（20 分）设
A ( a ij )
为 n 阶 Hermite 矩阵，证明：
3
存在唯一 Hermite 矩阵 B 使得 A B ；
2
（2）
（3） 如果 A 0 ，则 tr ( A)tr ( A ) n 。
1
如果 A 0 ，则 tr ( A ) (tr ( A)) ；
2
2021年1月北京航空航天大学矩阵理论2班期末试题(带答案)
2021.1.11北京航空航天大学矩阵理论2班试题（带答案） 姓名： 学号：一．（10分）判断与选择 1. 设A=()ij n n a ⨯的特征值是1,,n λλ，则221,1||||.nnk ijk i j aλ==≤∑∑ ( √ )2. ||•是矩阵范数，I 是单位矩阵，则有可能|I|<1. ( × )3. 设n A C n ⨯∈满足2A =A ，则()()tr A r A =. ( √ )4. 若齐次线性方程组A =0(A C ,C )m n n x x ⨯∈∈其中有唯一解，则H A A 是正定矩阵. ( √ )5. 设120A=,=003a B b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,张量积A B ⊗的全部特征值是2,3a b . ( × )6. 设A 是Hermite 幂等矩阵，则A +=A. ( √ )7. 若0H A AX =，则有可能0AX ≠ （ × ）8. 若B 是列满秩(高阵), C 是行满秩, 则1()+-=H H B B B B 且+H H -1C =C (CC ) （ √ ）9. 正确的张量积公式为__(a)___ (a)H H H ()A B A B ⊗=⊗；(b) H H H ()B A A B ⊗=⊗10. 齐次方程0AX =通解公式为:__(a)__ (a) X ()Y I A A -=-; (b) X ()Y I AA -=-二．（39分）填空1.若A BC =是满秩分解(高低分解)，则A C B +++=，也即()BC C B +++-= 0 .2. 若2阶方阵A 的特征多项式21x x =++，则2A A I ++= 0 .3. 设111561011A=0841111065⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，则lim kk A →∞=__0___，矩阵幂级数1k k A ∞=∑___收敛____。
（填“收敛”或者“发散”）4. A 是n 阶方阵, 则行列式()det()A tr A e e =,且A A e e -= I .5. 已知0t -t001cos sin , =-10-sin cos tA t t A e et t ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则2=tA e cos2sin 2-sin 2cos2t t t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 6. 设A 为方阵，且1||A ||1<. 则220()k k I A A ∞=⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ I .7.设A 是n 阶可逆矩阵，O 是n 阶零矩阵，则O A O O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伪逆是___-1O O O A ⎛⎫⎪⎝⎭____。
北航 元分析与应用期末复习题答案
N4 = 4L1 ⋅ L2 、 N5 = 4L2 ⋅ L3 、 N6 = 4L3 ⋅ L1
2 (x2,y2)
5
3 (x3,y3)
4 6
题8图
q
1(x1,y1) x
在三角形的 142 边上 L3=0，所以
1
2、图示 3 结点三角形单元，厚度为 t，弹性模量为 E，泊松 2
比ν=0，试求：插值函数矩阵 N，应变矩阵 B，应力矩阵 S，
a
单元刚度矩阵 Ke。
解：3 结点三角形单元的插值函数 Ni、Nj、Nm 形式如下：
3
a
1
Ni
=
1 2∆
(ai
+ bi x
+
ci y)
(i, j, m)
题2图
其中
1 xi 2∆ = 1 xj
N1 = L1(2L1 −1) N2 = L2 (2L2 −1) N3 = L3 (2L3 −1)
N4 = 4L1 ⋅ L2
N5 = 4L2 ⋅ L3
N6 = 4L3 ⋅ L1
∴
∑ Ni = L1(2L1 −1) + L2 (2L2 −1) + L3 (2L3 −1) + 4L1 ⋅ L2 + 4L2 ⋅ L3 + 4L3 ⋅ L1
3
4、试证明面积坐标与直角坐标满足下列转换关系：
x = xi Li + x j Lj + xm Lm y = yi Li + y j Lj + ym Lm
证明：三角形的面积坐标如下：
Li
=
(完整版)北航数字电路期末试题及答案
北航数字电路期末试题及答案数字电子技术基础（A卷）解答下列问题（共40分，每小题5分）1. 十进制数X = 117，其ASCII码表示为： _________________ 。
在8位机器中，［X］补= _______________ ，［-X］补= ________________ 。
2. 已知逻辑函数：F A C B C A（B CD），直接用反演规则写出其反函数和对偶函数。
3. 用卡诺图化简逻辑函数F m4(0,6,7,12,14)d4(1,2,8,101315)4. 用OC门驱动发光二极管电路如图，若V F=2V, |F=20mA试完善电路并计算电阻R=?5. 画出图示电路的输出波形A AB ----------- & 0——■ YE nC6.主-从JK 触发器，已知CP J 、K 信号波形如图示，画出输出波形（初始状态为 0）分析函数F AB ABC 所组成的电路存在何种险象。
8.图示电路中触发器：建立时间t su = 20ns ， 保持时间t h = 5ns ，传输迟延时间t pdcp-Q,/Q = 30ns ， 门 G 迟延 t pd G = 10ns ， 时钟脉冲F max = ?逻辑函数F （A,B,C ） ABC BC AC （本题共CPKQJ 7.14分，每小题7分）1. 用3-8译码器及适当门电路实现。
2.用“四选一”数据选择器及适当门电路实现三.分析下列电路所实现的逻辑功能（本题共16分，每小题8分）1.由2-5-10进制异步计数器构成的电路。
CP2.由74LS163构成计数器电路四.某同步时序系统的原始状态表如图示（本题 15分）1. 用隐含表法化简；2. 自然序编码；3. 用JK 触发器及适当门设计电路;4. 检查是否可以自启动。
数字电子技术基础（A 卷）、填空题（本大题共 22 分）3、（本小题4分）逻辑函数F(A D)(A B)AD BD 的反演式为A oA 1八选一数据选择器 A 2D 0D 1D 2 D 3 D 4D 5D 6 D 7— -------------------- 1 ”3分）由集成异步计数器 74LS290构成图示电路，该电路实现的是1、（本小题 3分）十进制数 126,对应8421BCD 码 ，二进制数 ，十六进制2、（本小题2分）二进制负整数 -011011，补码表示为;反码表示为为 __4、（本小题2分）三输入端TTL 与非门如图所示，图中 A 点的电位为F 点的电位为5、（本小题F3分）八选一数据选择器电路如图，该电路实现的逻辑函数是 F=1 A B/0 A/1 B C/0 A/0 C C/0 B/0 DE/0 D/1 EC/0D/0& （本小题进制计数器。