随机变量的独立性
第16讲-随机变量的独立性
C
0
e
2 x
dx
0
e
2 y
C dy 4
y 1 x+y=1 D
dx
0
1
1 x
D
0
4e
2 ( x y )
2 1 3 e dy
O
(3)关于X 的边缘密度函数为
1
x
f X ( x)
f ( x , y )dy
当 x 0 时，f X ( x)＝0
定理3.3 (1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为
P{ X i ,Y j } pij , i , j 1,2,. X 和 Y 相互独立 P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j }, 即 pij pi p j .
x 0, x 0.
y 0, y 0.
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )，
所以X, Y 相互独立.
例12设二维随机变量(X,Y)服从如图区域 D上
的均匀分布，求关于X, Y 的边缘分布并判断 X, Y 是否 相互独立． 解 由均匀分布的定义， (X,Y)的联合密度函数
(2)(X，Y) 落在如下图所示的三角区域内D 的概率；
(3)关于X, Y 的边缘分布并判断 是否相互独立． 解 (1)由分布函数的性质，可得
1
f ( x , y )dxdy 0
0
Ce 2( x y )dxdy
C4 故 (2) P{( X ,Y ) D} f ( x , y )dxdy
多元随机变量的独立性和相关性
多元随机变量的独立性和相关性是概率论中非常重要的概念，它们描述了不同随机变量之间的关系。
在很多应用领域中，我们需要研究多个随机变量之间的关系，比如金融中股票的涨跌、交通中车流量和堵塞程度的关系等等。
因此，理解是非常有意义的。
一、随机变量的独立性独立性是指两个或多个随机变量之间没有关系，即一个随机变量的取值不会影响另一个随机变量的取值。
如果两个随机变量是独立的，那么它们的联合概率分布可以简化为它们的边缘概率分布的乘积，即：P(X,Y) = P(X)P(Y)其中，P(X,Y)表示随机变量X和Y同时取某个值的概率，P(X)和P(Y)分别表示随机变量X和Y各自取某个值的概率。
在实际应用中，独立性是一个非常重要的假设。
如果我们误以为两个随机变量是独立的，而实际上它们之间存在一定的关联，那么我们在建模和预测的过程中可能会出现误差。
比如，在金融中，如果我们认为两只股票之间是独立的，而实际上它们之间存在一定的相关性，那么我们在制定投资策略时会出现偏差。
二、随机变量的相关性相关性是指两个或多个随机变量之间的关系，也就是说，一个随机变量的取值会影响另一个随机变量的取值。
如果两个随机变量之间存在相关性，那么它们的联合概率分布不能简化为它们的边缘概率分布的乘积。
一般来说，我们会使用协方差和相关系数来度量随机变量之间的相关性。
协方差是一个用来度量两个随机变量线性相关程度的指标。
如果两个随机变量之间存在正相关，那么它们的协方差为正值；如果两个随机变量之间存在负相关，那么它们的协方差为负值；如果两个随机变量之间不存在线性关系，那么它们的协方差为0。
相关系数是一个将协方差标准化的指标，它的取值范围为-1到1。
如果两个随机变量之间的相关系数为1，那么它们之间存在完全正相关；如果两个随机变量之间的相关系数为-1，那么它们之间存在完全负相关；如果两个随机变量之间的相关系数为0，那么它们之间不存在线性关系。
三、总结是概率论中非常重要的概念。
浅谈随机变量的独立性
摘要随机变量的独立性是概率论中最基本的概念之一,通过对它的研究可使许多实际问题的具体计算得到简化.本文首先介绍了随机变量独立性的定义.然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了两种判别方法,同时得出了一些相关的推论,并对其应用进行了举例说明.最后文章对随机变量独立性在求随机变量特征数中的一些应用进行了整合.关键词:离散型随机变量;连续型随机变量;独立性;数学期望;方差The Research on the Independence of Random Variables 10204631SUN Jing-jing Mathematics and Applied MathematicsTutor LI Jian-liAbstractThe independence of the random variable is the most basic concept of probability. Through the study of it can simplify many specific calculations of the practical problems. Firstly, this paper introduces the definition of the independence of random variables. Secondly, for the independence of discrete random variables and continuous random variables, the article gives two judgmental methods to them, and obtains some inferences; this paper also illustrates some examples for these applications. Finally, this paper composes some applications of the independence of the random variable for the calculation of some random variable numeral characters.Key words: discrete random variable; continuous random variable; independence; mathematical expectation; variance目录1 引言 (1)2 随机变量独立性的定义 (1)3 随机变量独立性的判定 (1)3.1离散型随机变量独立性的判定 (2)3.1.1判别法一 (2)3.1.2判别法二 (4)3.2连续型随机变量独立性的判定 (8)3.2.1判别法一 (8)3.2.2判别法二 (9)4 随机变量独立性与数字特征 (11)4.1随机变量独立性与数学期望 (12)4.2随机变量独立性与方差 (12)4.3随机变量独立性与协方差 (13)4.4随机变量独立性与相关系数 (13)总结 (14)参考文献 (15)致谢 (16)浅谈随机变量的独立性1 引言概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.概率论和数理统计已有的成果很多都是在某种独立性的前提下得到的.随机变量独立性的研究因而倍受重视.随机变量独立性的研究经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的时期.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献[4]中胡纲、张素霞对随机变量独立性存在的一些易错点进行了分析整合;文献[9]中佟毅对随机变量独立性的相关内容进行了论述.本文将在此基础上对随机变量独立性做详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量独立性在求数字特征中的应用做详细的介绍.2 随机变量独立性的定义定义]6[ 设ηξ,为两个随机变量,若对于任意的实数y x ,,事件{}x <ξ与{}y <η相互独立,即()()()y P x P y x P ≤⋅≤=≤≤ηξηξ,, )1(则称ξ与η相互独立.若()y x F ,为ξ与η的联合分布函数,()x F ξ、()y F η分别是ξ与η的边际分布函数,则)1(式等价于()()()y F x F y x F ηξ⋅=,.3 随机变量独立性的判定本节主要根据随机变量独立性的定义,分别对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性讨论其判别方法.3.1 离散型随机变量独立性的判定3.1.1 判别法一定理1 设二维离散型随机变量()ηξ,的联合分布列为()j i ij y x P p ===ηξ,,()n j m i ,,2,1;,2,1 ==,ξ的边际分布列为()i i x P p ==⋅ξ,()m i ,,2,1 =,η的边际分布列为()j j y P p ==⋅η,()n j ,,2,1 =,则ξ和η相互独立的充要条件是:对所有的取值()j i y x ,有()n j m i p p p j i ij ,,2,1;,,2,1, ==⋅=⋅⋅.证明 充分性若()n j m i p p p j i ij ,,2,1,,,2,1, ==⋅=⋅⋅,则对任意的y x ,,因为()ηξ,是离散型随机变量,所以()()()∑∑≤≤===≤≤=x x yy j i i j y x P y x P y x F ηξηξ,,,∑∑∑∑∑∑≤⋅≤⋅≤≤⋅⋅≤≤⋅=⋅==yy j xx i x x yy j i x x yy ij j i i j i j p p p p p()()()()y P x P y P x P yy i xx i i i ≤≤====∑∑≤≤ηξηξ()()y F x F ηξ⋅=.即ξ和η相互独立.必要性若ξ和η相互独立,不妨设n m y y y y x x x x <<<<<<<< 321321,,则对任意y x ,,有()()()y F x F y x F ηξ⋅=,,即()()()y P x P y x P ≤⋅≤=≤≤ηξηξ,.当11,y y x x ==时,有 ()()()1111,y P x P y x P ≤⋅≤=≤≤ηξηξ, 即()()()1111,y P x P y x P =⋅====ηξηξ,亦即1111⋅⋅⋅=p p p . )2(当21,y y x x ==时,有()()()2121,y P x P y x P ≤⋅≤=≤≤ηξηξ()()()()(){}2112111,,y P y P x P y x P y x P =+=⋅====+==ηηξηξηξ()21112111211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=+=+p p p p p p p p p .由)2(式得2112⋅⋅⋅=p p p . 如此下去,最后可得到n n p p p ⋅⋅=11. 一般地有()n j p p p j j ,,2,1,11 =⋅=⋅⋅.同样,若取()n j y y x x j ,,2,1,,2 ===,可得出()n j p p p j j ,,2,1,22 =⋅=⋅⋅. 如此下去,最后得出()n j p p p j m mj ,,2,1, =⋅=⋅⋅. 即有()n j m i p p p j i ij ,,2,1,,,2,1, ==⋅=⋅⋅.综上,定理得证.从定理1可见,对于二维离散型随机变量()ηξ,,等式()()()y F x F y x F ηξ⋅=,,()R y x ∈,成立同等式()j i ij y x P p ===ηξ,成立是等价的.因此可以直接用后者来判定二维离散型随机变量的相互独立.定理1是对二维离散型随机变量()ηξ,取有限个点时对独立性的判定.从定理1的证明可以看出,若()ηξ,取无限多个点,结论也是成立的.因此上述定理可推广为如下定理:定理2 设二维离散型随机变量()ηξ,的联合分布列为()j i ij y x P p ===ηξ,,() ,2,1;2,1==j i ,ξ和η的边际分布列分别为()i i x P p ==⋅ξ,()j j y P p ==⋅η, () ,2,1;2,1==j i ,则ξ和η相互独立的充要条件是对所有的取值()j i y x ,有() ,2,1;,2,1,==⋅=⋅⋅j i p p p j i ij .例1 设随机变量ξ和η相互独立,并且有{}{}p P P ====11ηξ,{}==0ξP{}q p P =-==10η,10<<p ,定义随机变量ζ为1,;0,.ξηζξη+⎧=⎨+⎩若为偶数若为奇数问当p 取何值时,ξ和ζ相互独立?解 因为 {}{}{}0,01,11======ηξηξζ ,{}{}{}0,11,00======ηξηξζ ,所以 {}{}{}{}2111,11,1p P P P P ==⋅=======ηξηξζξ, {}{}{}{}pq P P P P ==⋅=======010,10,1ηξηξζξ,{}{}{}{}2000,01,0q P P P P ==⋅=======ηξηξζξ,{}{}{}{}pq P P P P ==⋅=======101,00,0ηξηξζξ.由此得()ζξ,的联合分布列及其边际分布列如表1所示.为使ξ和ζ相互独立,必须有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=.,2,,2222222p p q p pq pqp q q q p pq pqq由于10<<p ,联立方程的解为21=p ,即当21=p 时,ξ和ζ相互独立.3.1.2 判别法二设()ηξ,是二维离散型随机变量,其联合概率分布列()j i ij y x P p ===ηξ,,() ,2,1,=j i 可以用下表所示且=≥ijij ij p p 1,0,矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ij i i j jp p p p p p p p p A 212222111211 称为()ηξ,的联合概率分布矩阵,其行向量记为()() ,2,1,,,,,21==i p p p ij i i i α,记()ηξ,的联合分布列()A ~,ηξ.引理]10[ 设1α是非零向量,1α和2α线性相关,则2α可由1α线性表出. 证明 因为1α和2α线性相关,所以存在不全为零的两个数1λ和2λ,使得02211=+ααλλ,又因为1α是非零向量,若02=λ,则01=λ,故02≠λ,所以1212ααλλ-=, 即2α可由1α线性表出.定理3 若()A ~,ηξ,则ξ与η相互独立的充要条件是联合概率矩阵的任意两个行向量(或列向量)线性相关.证明 充分性若A 中任意的两个行向量线性相关,由∑∑=≥ijij ij p p 1,0,有A 中至少有一个元素不为零,即至少有一个非零行向量,不妨设1α是非零向量,由引理知,2α,3α ,,i α都可以由1α线性表出,则() ,2,1,1==i k i i αα,11=k ,且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=j i i i jjp k p k p k p k p k p k p k p k p k A 112111212211211121111, 这里() ,2,1,,1=⋅=j i p k p j i ij ,且111∑∑∑∑∑∑===ijijj i j i ijij p k p k p .又由于ξ,η的边缘分布分别为:()∑∑===jj i jij i p k p x P 1ξ,()∑∑∑⋅====ii j ij i iij j k p p k p y P 11η,因此()()∑∑∑∑⋅===⋅=ii j jj i iij jij j i k p p k p p y P x P 11ηξij j i ii jj j i p p k k p p k ==⋅=∑∑111()j i y x P ===ηξ,, 即ξ与η相互独立. 必要性若ξ与η相互独立,由j i ij p p p ⋅⋅=,则A 中的任意两个行向量可写为()() ,,,,,,,,2121j m j m m m m p p p p p p p p p p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==α,()() ,,,,,,,,2121j n j n n n n p p p p p p p p p p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==α,显然m α与n α线性相关.推论1 若()A ~,ηξ,则ξ与η相互独立的充要条件是矩阵A 的任意两行(或两列)对应元素成比例.推论2 若()A ~,ηξ,则ξ与η不相互独立的充要条件是存在矩阵A 的任意两个行向量(或列向量)线性无关.推论3 若()A ~,ηξ,则ξ与η不相互独立的充要条件是存在矩阵A 的任意两行(或两列)对应元素不成比例.推论4 若()A ~,ηξ,则ξ与η相互独立的充要条件是矩阵A 的秩为1. 推论5 若()A ~,ηξ,则ξ与η不相互独立的充要条件是矩阵A 的秩大于1. 推论6 若()A ~,ηξ中有某个0=ij P ,但元素ij P 所在的行与列的所有元素不全为零,则ξ与η不相互独立.例2 从一只装有三个黑球和二个白球的口袋中取球两次,每次去一个球,设⎩⎨⎧=.,1;,0第一次取出黑球第一次取出白球ξ ⎩⎨⎧=.,1;,0第二次取出黑球第二次取出白球η 分别在放回抽样和不放回抽样的试验条件下写出二维随机变量()ηξ,的联合分布列,并判别ξ与η的相互独立性.解 1)放回抽样二维随机变量()ηξ,的联合分布列为:表 3且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00329664259256256254A , 因此()1=A r ,所以ξ与η相互独立. 2)不放回抽样二维随机变量()ηξ,的联合分布列为:且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10316662206206206202A , 因此()12>=A r ,所以ξ与η不相互独立.3.2 连续型随机变量独立性的判定3.2.1 判别法一定理4 设()ηξ,是连续型随机变量,如果其联合密度函数和边际密度函数()()()y f x f y x f ηξ,,,都是除面积为零的区域外的连续函数,则ξ和η相互独立的充要条件是:除面积为零的区域外,恒有()()()y f x f y x f ηξ⋅=,.证明 充分性设()()()y f x f y x f ηξ⋅=,,则对任意的实数y x ,,有()()()()⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-∞-==x yxyu v v f u f u v v u f y x F d d d d ,,ηξ()()()()y F x F v v f u u f y xηξηξ==⎰⎰∞-∞-d d .所以,ξ和η相互独立. 必要性设ξ和η相互独立,则有()()()()()⎰⎰⎰⎰∞-∞∞-∞==yxy v v f u u f y F x F u v v u f d d d d ,x--ηξηξ()()⎰⎰∞-∞-=x yu v u f u f d d ηξ.因为上式对任意的y x ,都成立,于是有()()()y f x f y x f ηξ⋅=,, 综上,定理得证.例3]1[ 若()ηξ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他，,0;10,0,8,y y x xy y x p 问ξ和η是否相互独立?解 先分别求ξ和η的边际密度函数: 当0<x 或1>x 时,()0=x p ξ. 当10≤≤x 时,有()3144d 8x x y xy x p x-==⎰ξ.因此()⎩⎨⎧≤≤-=.,0;10,443其他x x x x p ξ当0<y 或1>y 时,()0=y p η. 当10≤≤y 时,()3048y dx xy y p y==⎰η.因此()⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,43其他y y y p η很明显,()()()y p x p y x p ηξ≠,,所以ξ和η不相互独立. 3.2.2 判别法二定理5 设()ηξ,是连续型随机变量,其联合密度函数为(),,,b x a y x f <≤d y c <≤,则随机变量ξ和η相互独立的充要条件为:1)存在连续函数()()y g x h 、使()()()y g x h y x f ⋅=,; 2)d c b a 、、、是分别和y x ,无关的常数. 证明 充分性首先分别求()ηξ,的边际密度函数,()()()()()()⎰⎰⎰===+∞∞-dcd cy y g x h y y g x h y y x f x f d d d ,ξ,()()()()()()⎰⎰⎰===+∞∞-bab ax x h y g x y g x h x y x f y f d d d ,η,由于d c b a 、、、是分别和y x ,无关的常数,所以上式积分中的结果()⎰dcy y g d 与()⎰bax x h d 是分别和y x ,无关的常数,分别记为C B ,.进一步由联合密度函数的性质()()()1d d d d ,==⎰⎰⎰⎰b a dcb a dc x y y g x h x y y x f ,有 ()()()()()()()()()()⎰⎰⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=b adcyy g x x h y g x h C B y g x h C y g B x h y f x f d d ηξ ()()()()()()()y x f x y y x f y x f x y y g x h y g x h badcbadc,d d ,,d d ==⋅=⎰⎰⎰⎰,即()()()y f x f y x f ηξ=,,由定理4得ηξ,相互独立,充分性得证. 必要性若ηξ,相互独立,由定理4得,必有()()()y f x f y x f ηξ=,,,,d y c b x a <≤<≤取()()()(),,y g y f x h x f ==ηξ则有()()()y g x h y x f ⋅=,,于是定理中的条件1)成立.下面用反证法证明,若d c b a 、、、中至少有一个是与x 或y 有关的函数,不妨设()y a a =,由于()()x h x f =ξ是关于x 的边际密度函数,必有()1=⎰ba dx x f ξ,而()()()y A dx x f bya =⎰ξ是一个与y 有关的不恒为1的y 的函数,矛盾,因而必有a 与y无关.进一步d c b a 、、、都应与y 无关.从而必要性得证.推论7 在定理5的条件中如果c a 、有一个或两个都趋于d b 、,∞-中有一个或两个都趋于∞+,则定理的结果也是成立的.推论8 若定理5的条件成立,则()x h 与()x f ξ成正比例关系,()y g 与()y f η成正比例关系.例4 设()ηξ,的联合密度函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∞<<+∞<<∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛=+--.其它,0;0,,2222,22212y x e y n n y x f ny x n n π 讨论ηξ,的独立性.解 令()()2122222222ny n ne y y g e n n x h x ---⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛=，π,则有()()()y g x h y x f ⋅=,,又因为∞→=∞→∞→d c b a ,0,,,由推论7可知ηξ,相互独立. 例5 设()ηξ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧<≤=.其它,0;1,,22y x y Kx y x f讨论ηξ,的独立性.解 由条件可知12<≤y x ,即y 的积分下限2x y =是与x 有关的x 的函数,而不是一个常数,由定理的条件知ηξ,不是相互独立的.4 随机变量独立性与数字特征上一节对随机变量独立性的判定做了详细的论述,本节具体对随机变量独立性在求数字特征中的应用进行探讨.4.1 随机变量独立性与数学期望定理6 设随机变量ηξ,相互独立,则()()()ηξηξE E E ⋅=⋅.证明 设()ηξ,为二维离散型随机变量,其联合分布列为()j i y x P ==ηξ,,() ,2,1;,2,1==j i ,ξ和η的边际分布列为()i x P =ξ,() ,2,1=i 和()i y P =η, () ,2,1=j ,因为ηξ,相互独立,所以()()()j i j i y P x P y x P =⋅====ηξηξ,,则有()()()()∑∑∑∑=⋅=⋅⋅===⋅⋅=⋅ijj i j i ijj i j i y P x P y x y x P y x E ηξηξηξ,()()()()()()ηξηξE E y P y x P x jj j ii i ⋅==⋅⋅=⋅=∑∑.同理,设()ηξ,为二维连续型随机变量,()()y f x f ηξ,分别为ηξ,的密度函数,()y x f ,为()ηξ,的密度函数,因为ξ与η相互独立,所以有()()()y f x f y x f ηξ⋅=,,于是()()()()⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-+∞∞-==⋅y x y f x xyf y x y x xyf E d d d d ,ηξηξ()()()()ηξηξE E y y yf x x xf ⋅=⋅=⎰⎰+∞∞-+∞∞-d d .综上可得,定理成立.4.2 随机变量独立性与方差定理7 设随机变量ηξ,相互独立,则()()()ηξηξD D D +=+. 证明 ()()[]2ηξηξηξ+-+=+E E D()[]()[]()[]()[]{}222ηηηηξξξξE E E E E -+-⋅-+-=()[]()[]()[]{}()[]222ηηηηξξξξE E E E E E E -+-⋅-+-=()()()[]()[]{}ηηξξηξE E E D D -⋅-++=2,因为ξ与η相互独立,所以()ξξE -与()ηηE -也独立,故有()[]()[]{}()[]()[]0=-⋅-=-⋅-ηηξξηηξξE E E E E E E ,从而()()()ηξηξD D D +=+.推论9 设随机变量ηξ,相互独立,则()()()ηξηξD D D +=-.例6 设n ξξξξ,,,,321 相互独立,且()()()n i a E D i i ,,2,1,,2 ===ξσξ,试求∑==ni i n 11ξξ的数学期望和方差.解 因为n ξξξξ,,,,321 相互独立,所以由期望和方差的性质]1[及定理7有()()a E n E n n E E ni i n i i n i i ==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===111111ξξξξ,()()n D n D n n D D ni i n i i n i i 212121111σξξξξ==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===.4.3 随机变量独立性与协方差定理8 设随机变量ηξ,相互独立,则ξ与η必不相关,即()0,Cov =ηξ,若ξ与η不相关,则ηξ,不一定相互独立.证明 因ηξ,相互独立,所以()()()ηξηξE E E ⋅=⋅,于是()()[]()[]{}ηηξξηξE E E -⋅-=,Cov ()()()0=⋅-=ηξξηE E E . 对ξ与η不相关,ηξ,不一定相互独立,见如下反例.例7]1[ 设随机变量()2,0~σξN ,且令2ξη=,则ξ与η不独立.此时ξ与η的协方差为()()()()()0,Cov ,Cov 222=-⋅==ξξξξξξηξE E E .即有ξ与η不相关,但ηξ,不相互独立.4.4 随机变量独立性与相关系数定理9 设随机变量ηξ,相互独立,则()0,Corr =ηξ. 证明 因为ηξ,相互独立,则()0,Cov =ηξ,则()()0,Cov ,Corr =⋅=ηξσσηξηξ. 定理10 若()()ρσσμμηξ,,,,~,222121N ,则ξ与η相互独立的充要条件是0=ρ.证明 充分性 若0=ρ,此时()()()22222121222121,σμσμσπσ----⋅=y x eey x f ()()y f x f ηξ⋅=,所以ηξ,相互独立. 必要性因ηξ,相互独立,且()()()y f x f y x f ηξ,,,都是连续函数,所以对一切y x ,恒有()()()y f x f y x f ηξ⋅=,,特别取21,μμ==y x ,有()()()2121,μμμμηξf f f ⋅=, 即212212121121σπσπρσπσ⋅=-,从而0=ρ.总结本文对随机变量的独立性做了详细、全面的论述.文中重点对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性给出了判别方法,对于离散型随机变量,可通过式子()()()y P x P y x P ≤⋅≤=≤≤ηξηξ,,或联合概率分布矩阵中行(列)向量的线性关系来判别变量间的独立性;对连续型随机变量,可通过边际密度函数的乘积与联合密度函数的关系,或联合密度函数是否可分离来判别变量间的独立性.最后,本文整合了随机变量独立性在求数字特征中的应用.但文章只对二维随机变量的独立性进行了分析,对多维随机变量的独立性未进行研究.参考文献[1] 程依明,茆诗松,濮晓龙.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2010.[2] 郭英,王苫社,徐艳,张宏礼.连续型随机变量的概率密度函数和独立性[J].大庆师范学院学报,2009,29(3):75-77.[3] 何丽敏,侯玉双,余婷.随机变量独立性的判定及运用[J].内蒙古科技大学报,2008,27(3):279-281.[4] 胡纲,张素霞.随机变量独立性易错点分析[J].河北北方学院学报,2006,22(5):14-16.[5] 胡乔林.浅谈概率论中的独立性问题[J].科技信息,2007(24):472、483.[6] 缪铨生.概率与数理统计[M].上海:华东师范大学出版社,2006.[7] 李滨予,张卷美.二维离散型随机变量相互独立[J].焦作工学院学报,1997,16(1):77-80.[8] 彭刚,禹辉煌.二维离散型随机变量独立性判别定理及应用[J].湖南理工学院学报,2010,23(2):23-25.[9] 佟毅.关于随机变量独立性的研究[J].石油化工高等学校学报,1994,7(3):71-74.[10] 魏献祝.高等代数[M].上海:华东师范大学出版社,2005.[11] 汪四水,尤芳.随机变量独立性的若干判别法[J].雁北师范学院学报,2006,22(5): 11-14.致谢在本文完成之际,首先要向我的指导老师xxx老师致以崇高的敬意和诚挚的谢意.李老师学识渊博、治学严谨,对论文的选题,结构以及最后的定稿作了大量的工作,同时她对工作积极热情、认真负责、实事求是的态度,给我留下了深刻的印象,使我受益匪浅.同时向在论文撰写期间给予我鼓励和帮助的各位老师和同学致以衷心的感谢.老师们的悉心指导使我有了良好的专业课知识,这是我的论文得以完成的基础.另外,在整个论文写作过程中,各位同学积极地帮我查阅资料和提供建议，使我的论文不断完善.在此,真诚的向你们说一声:谢谢!。
随机变量的独立性与相关性
随机变量的独立性与相关性随机变量是概率论和统计学中非常重要的概念，它描述了一种具有不确定性的数值变化过程。
在实际应用中，我们经常需要分析随机变量之间的关系，以便更好地理解和应对不确定性。
一、独立性的概念与性质独立性是指两个或多个随机变量之间的关系，在给定其他随机变量的取值时并不影响彼此的概率分布。
具体来说，对于随机变量X 和Y，如果其联合概率分布可以拆解为 X 和 Y 的边缘概率分布的乘积形式，即 P(X,Y) = P(X) * P(Y)，则称 X 和 Y 是独立的。
独立性具有以下性质：1. 互斥事件的独立性：如果事件 A 和事件 B 是互斥的，即同时发生的概率为零，那么 A 和 B 是独立的。
这可以通过检验P(A∩B) = P(A) * P(B) 来判断。
2. 集合独立性：对于任意多个事件，如果它们两两独立，那么它们是集合独立的。
也就是说，对于事件集合 {A1, A2, ..., An}，如果对于任意的i ≠ j，有P(Ai∩Aj) = P(Ai) * P(Aj)，则它们是集合独立的。
3. 独立性的性质传递：如果事件 A 和事件 B 是独立的，事件 B 和事件 C 也是独立的，则事件 A 和事件 C 是独立的。
这可以通过检验P(A∩B∩C) = P(A) * P(B) * P(C) 来判断。
二、相关性的概念与性质相关性描述了两个随机变量之间的线性关系。
具体来说，对于随机变量 X 和 Y，它们之间的相关性可以通过协方差和相关系数来度量。
1. 协方差：协方差用于度量两个随机变量的总体误差。
设 X 和 Y是两个随机变量，它们的期望分别为μx 和μy，协方差定义为 Cov(X,Y) = E[(X-μx)(Y-μy)]。
2. 相关系数：相关系数是协方差的标准化形式，它的取值范围在 -1 到 1 之间。
设 X 和 Y 是两个随机变量，它们的标准差分别为σx 和σy，则相关系数定义为Corr(X,Y) = Cov(X,Y) / (σx * σy)。
概率论与数理统计--- 随机变量的独立性
F(x, y) = F (x)⋅ F ( y) = ∫−∞ fX(u)du⋅ ∫−∞ fY(v)dv = ∫−∞∫−∞ fX (u) fY (v) dudv X Y
对 F(x,y)求二阶 偏导即得联合密度 ( , ) f (x, y) = fX (x)⋅ fY ( y) (对 意 数 , y) 任 实 x ： “⇐”若 f (x, y) = fX(x)⋅ fY ( y) (对 意 数 , y), 则 任 实 x
0 0 0.2 x −5 y
dy =0.3697
甲乙两人约定中午12时 分在某地会面 分在某地会面. 例4 甲乙两人约定中午 时30分在某地会面 如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀 如果甲来到的时间在 到 之间是均匀 分布. 乙独立地到达,而且到达时间在 而且到达时间在12:00到 分布 乙独立地到达 而且到达时间在 到 13:00之间是均匀分布 试求先到的人等待另一 之间是均匀分布. 之间是均匀分布 人到达的时间不超过5分钟的概率 分钟的概率. 人到达的时间不超过 分钟的概率 又甲先到的 概率是多少？ 概率是多少？ 为甲到达时刻,Y为乙到达时刻 解: 设X为甲到达时刻 为乙到达时刻 为甲到达时刻 时为起点,以分为单位 依题意, 以12时为起点 以分为单位 依题意 时为起点 以分为单位,依题意 X~U(15,45), Y~U(0,60)
例: 设 ( X , Y ) 的联合密度函数
4 xy 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 f ( x, y ) = . 其它 0
Байду номын сангаас
(1)求分别关于 X 与 Y 的边缘密度函数; (2)X 与 Y 是否独立?说明理由.
解 (1)
f X ( x) =
概率论与数理统计-第3章-第4讲-随机变量的独立性
1, (x, y) G
f (x, y) 0,
其它.
1
2x
02 随机变量的独立性
例题 设二维离散型随机变量 X， Y 的联合分布律为
应用
Y X
1
1
1 6
2
3
1
1
9
18
2
1 3
试确定常数 ， 使得随机变量 X 与Y 相互独立．
02
随机变量的独立性 由表，可得随机变量 X 与Y 的边缘分布律为
P{XY Y 0} P{( X 1)Y 0}
P{X 1 0,Y 0} P{X 1 0,Y 0}
P(X ) P(X ) 1
2
P{X 1}P{Y 0} P{X 1}P{Y 0} 1111 1
22 22 2
第4讲 随机变量的独立性
本节我们学习了二维随机变量的独立性, 后续会推广到更多维. 随机变量的独立性在概率论和数理统计中会发挥重要的作用.
用分布函数表示, 即 设 X,Y 是两个随机变量, 若对任意的x, y, 有 F ( x, y) FX (x)FY ( y)
则称 X, Y 相互独立 .
它表明, 两个随机变量相互独立时, 联合分布函数等于两个 边缘分布函数的乘积 .
01 两个随机变量独立的定义
离散型
X与Y 独立
对一切 i , j 有
01 两个随机变量独立的定义 两个随机变量独立的定义
设 X,Y是两个随机变量, 若对任意的x,y ,有 P ( X x,Y y) P( X x)P(Y y)
则称X,Y相互独立 .
如何判断
两事件A, B独立的定义是： 若 P(AB)=P(A)P(B)则称事件A, B独立 .
01 两个随机变量独立的定义
随机变量的独立性
f (x, y)
fX
(
x)
fY
(
y)
1 4
e
x 2
y
0
x 0, y 0 其他
P( X 2Y )
dx
1
e
x
2
y
dy
0
x/2 4
1 x x e 2 e 4 dx
1 e
3x 4
dx
2
02
02
3
两个随机变量函数的分布
• 随机变量函数的分布：
• 已知随机变量X的分布，如何求随机变量 Y=g(X)的分布
Fmax (z) (F (z))n Fmin (z) 1 [1 F (z)]n
例：设X与Y 独立，均服从U (0, 1), 分别求M max( X ,Y ), N min( X ,Y )的概率密度。
0, x 0
解：X、Y的分布函数F ( x)
x,
0
x
1
1, x 1
0, x 0
例：设X与Y 独立，且 X, Y 等可能地取值 0和1. (1)求 U = max(X, Y) 的分布列. (2)求V = X+Y的分布列.
解: X 0 1 p 1/2 1/2
Y0 1 P 1/2 1/2
(1) U = max(X, Y) 的取值为: 0, 1
P(U=0) = P(X=0, Y=0) = P(X=0)P(Y=0) =1/4
Fmin (z) P( N z) 1 P( N z) 1 P( X z,Y z) 1 P( X z)P(Y z)
即 Fmin (z) 1 (1 FX (z))(1 FY (z))
推广：
设X1, X2 ,, Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别
随机变量的独立性与相关性
随机变量的独立性与相关性统计学与概率论是自然科学的重要分支，而随机变量是统计学中的重要概念。
随机变量是一个数值变量，其取值由特定的随机过程而定。
在统计学中，我们需要研究随机变量之间的关系，包括它们的相关性和独立性。
一、随机变量的独立性随机变量的独立性是指两个或多个随机变量之间的取值没有任何关系。
也就是说，当两个或多个随机变量之间是独立的时候，它们的取值不受彼此的影响。
以两个硬币为例，假设我们投掷两个硬币，A表示第一个硬币的正反面，B表示第二个硬币的正反面。
我们可以用在A和B中都会出现正面的概率来表示两个硬币独立的概率。
即P(A=正面)×P(B=正面)。
另一个例子是，假设我们有两个骰子，X表示第一个骰子的点数，Y表示第二个骰子的点数。
在这种情况下，X和Y之间的独立性表现为两个事件之间的概率乘积等于这两个事件的交集。
即P(X=2)×P(Y=6)=1/36，因为这意味着第一个骰子的点数是2，第二个骰子的点数是6的概率。
二、随机变量的相关性相对于独立性而言，相关性表示出的是两个或多个随机变量之间的取值存在某种关系。
也就是说，当两个或多个随机变量之间是相关的时候，它们的取值受彼此的影响。
在统计学中，我们用协方差和相关系数来描述随机变量之间的相关性。
协方差是一个衡量两个随机变量之间关系强度的指标，其中正值表示正相关，负值表示负相关，而0表示没有相关性。
相关系数是协方差的标准化版本，其数值范围在-1到1之间，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，而0表示没有相关性。
相关系数越接近1或-1，证明两个随机变量之间的关系越强。
需要注意的是，虽然相关性和独立性在概念上有所区别，但它们并非互斥的关系。
有时候，两个随机变量之间既有独立性又有相关性。
三、应用随机变量的独立性和相关性在统计学中拥有广泛的应用场景。
例如，在回归分析中，我们需要确定每个输入变量之间是否存在相关性或独立性，以确定模型中是否需要保留特定的变量。
§3.3 随机变量的独立性
若 P(X1 x1, X2 x2,, Xn xn)
P(X1 x1)P(X2 x2)P(Xn xn)
则称 r.v. X 1, X 2 , , X n 相互独立
Ch3-111
注意 若两随机变量相互独立,且又有相同 的分布, 不能说这两个随机变量相等. 如
F(x, y) R(x)G( y)
且
FX
(x)
R(x) R()
FY
(
y)
G( y) G()
Ch3-108
判独立的一个重要命题
设 X ,Y 为相互独立的 r.v. u(x),v(y) 为连续函数, 则 U=u ( X ) , V=v (Y ) 也 相互独立. 即
独立 r.v.的连续函数仍独立.
u ( x )u v( y)v
u ( x)u
v( y)v
P(u(X ) u)P(v(Y ) v) FU (u)FV (v)
Ch3-110
由命题知 若 X ,Y 为相互独立的 r.v. 则aX + b, cY + d 也相互独立； X 2, Y 2 也相互独立；
随机变量相互独立的概念
X -1 1
Y -1 1
P 0.5 0.5
P 0.5 0.5
X ,Y 相互独立，则 pij X -1 1
Y
-1 0.25 0.25 1 0.25 0.25
由左表易得 ：
P(X Y)
P(X 1,Y 1) P(X 1,Y 1) 0.5
故不能说 X = Y .
Ch3-112
F(x, y) FX (x)FY ( y)
a b,c d P(a X b,c Y d)
随机变量的独立性与相关性
随机变量的独立性与相关性随机变量的独立性与相关性是概率论和数理统计中重要的概念。
独立性是指两个或多个随机变量的取值之间没有相互影响的关系，而相关性则描述了随机变量之间的线性关系程度。
本文将分别介绍随机变量的独立性和相关性的定义、性质以及其在实际问题中的应用。
一、随机变量的独立性在概率论中，独立性是指两个或多个随机变量在任意条件下都是互相独立的。
具体而言，对于随机变量X和Y，如果对于任意的实数a 和b，满足以下等式：P(X ≤ a, Y ≤ b) = P(X ≤ a) · P(Y ≤ b)，则称X和Y是独立的。
其中，P(X ≤ a, Y ≤ b)表示事件{X ≤ a}和{Y ≤ b}同时发生的概率。
独立性是一种极为重要的性质，它使得概率计算更加简化。
在实际问题中，我们可以利用独立性假设来简化分析，提高计算的效率。
例如，在投掷硬币的实验中，每一次投掷的结果都是独立的，因此可以通过简单的概率计算来确定投掷n次后获得正面朝上的次数。
二、随机变量的相关性相关性是指随机变量之间的线性关系程度。
对于两个随机变量X和Y，其相关性可以通过协方差或相关系数来衡量。
1. 协方差随机变量X和Y的协方差定义为：Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]，其中，E(X)和E(Y)分别表示X和Y的期望值。
协方差可以看作是X与Y共同变动的程度。
如果Cov(X, Y) = 0，则称X和Y是不相关的。
如果Cov(X, Y) > 0，则X和Y是正相关的；如果Cov(X, Y) < 0，则X和Y是负相关的。
2. 相关系数相关系数是协方差的归一化形式，可以消除量纲的影响。
随机变量X和Y的相关系数定义为：ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ(X)σ(Y))，其中，σ(X)和σ(Y)分别表示X和Y的标准差。
相关系数的取值范围在-1到1之间，且满足如下性质：若ρ(X, Y) = 0，则X和Y不相关；若ρ(X, Y) > 0，则X和Y正相关；若ρ(X, Y) < 0，则X和Y负相关。
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设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
P( X x, Y y) P ( X x ) P (Y y)
则称X,Y相互独立 .
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .
用分布函数表示,即
X
Y
0
0 1
1
0 1
p j
5 5
1 1 5 3 5 4 5
1 4
pi
5 5
P ( X 0, Y 0) P ( X 0) P (Y 0)
当采取不放回抽取时， X与Y不独立。
(2)当采取放回抽取时，可得(X，Y)的联合 分布律和边缘分布律如下表：
X Y
0
1
p j
0 1 25 4 25 1 5
设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F ( x, y) FX ( x)FY ( y)
则称X,Y相互独立 . 它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
若 (X,Y)是离散型r.v ，则上述独立性的 定义等价于： 对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
这一讲，我们由两个事件相互独立的 概念引入两个随机变量相互独立的概念.
如果两个随机变量不独立，讨论它们 的关系时，除了前面介绍的联合分布和边 缘分布外，有必要引入条件分布的概念， 这将在下一讲介绍.
解一： P(| X-Y| 5) =P( -5< X -Y <5)
1 [ dy]dx 15 x 5 1800
45 x 5
y
60
40
x y 5 xy5
10
0
15
y
45
x
xy
=1/6 P(X<Y) [
15 45 60
60
x
=1/2
1 dy]dx 1800
以12时为起点,以分为单位,依题意,
X~U(15,45), Y~U(0,60)
解: 设X为甲到达时刻， Y为乙到达时刻 以12时为起点，以分为单位，依题意， X~U(15,45), Y~U(0,60) 1 1 , 15 x 45 , 0 x 60 f X ( x ) 30 fY ( y ) 60 其它 其它 0, 0, 由独立性 先到的人等待另一人 甲先到 1 到达的时间不超过 , 5分钟 15 x 45,0 y 60 的概率 f ( x, y ) 的概率 1800 0, 其它 所求为P( |X-Y | 5) 及P(X<Y)
两边先关于x 求偏导，然后再关于y 求偏 导，可得
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
x
反之，若 f ( x, y ) f X ( x ) fY ( y )两边积分得
x
y
f ( x, y )dxdy
f X ( x )dx
y
fY ( y )dy
1 4 25 16 25 4 5
1 4
pi
5 5
显然，pij pi p j ( i , j 1,2)
当采取放回抽取时， X与Y独立。
例2 设(X,Y)的概率密度为
xe f ( x, y )
解：f X ( x )
( x y )
,y , 均有： , x 对一切 0, y x 0 f ( x, y) f X ( x) fY ( y) 0, 其它 故X,Y 独立
P ( X xi , Y y j ) P ( X xi ) P (Y y j )
则称X和Y相互独立.
即当pij pi p j时，X与Y相互独立
若 (X,Y)是连续型r.v ，有
定理 连续型随机变量X与Y相互独立的充要 条件是
f ( x, y) f X ( x) fY ( y)
40
10
0
15
45
x
1 [60 30 2(10 30 30 30 / 2)] 1800
解二：P(| X-Y| 5) 1 dxdy 1800 |x y|5
y
60
40
x y 5 xy5
10
0
60 40
=1/6
被积函数为常数， 直接求面积
( x y )
问X和Y是否独立？
0
xe
dy xe x , x>0
y
fY ( y) xe
0
( x y )
dx e ,
y >0
即： xe x , x 0 f X ( x) 0, 其它
e y , y 0 fY ( 人约定中午12时30分在某地会面. 如果甲来到的时间在 12:15到12:45之间是均匀 分布 . 乙独立地到达 , 而且到达时间在 12:00 到 13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一 人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的 概率是多少？
解: 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻
在f ( x , y )，f X ( x )，fY ( y )的一切公共连续 点上都成立。 其中 f ( x, y ) 是X,Y的联合密度， f X ( x), fY ( y)分别是X的
边缘密度和Y 的边缘密度 .
证明：若X 与Y 独立，由定义知
F ( x, y) FX ( x )FY ( y )
即 F ( x , y ) F ( x )F ( y ) 故X与Y 独立. X Y
例1 一个袋内有5只球，其中4只红球，1只白 球，每次从中随机抽取1只，连抽两次。令
1 X 0 若第1次抽到红球 若第1次抽到白球
1 Y 0
若第2次抽到红球 若第2次抽到白球
(1)当采取不放回抽取时，可得(X，Y)的联合 分布律和边缘分布律如下表：
y
15
45
x
xy
P(X <Y) =P(X >Y) =1/2
0
10
15
45
x
类似的问题如：
甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船 各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到 达是等可能的 . 若甲船需停泊1小时，乙船需 停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求 其中一艘船要等待码头空出的概率.
在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机 是等可能的. 若收到两个互相独立的这种信号 的时间间隔小于 0.5 秒，则信号将产生互相干 扰. 求发生两信号互相干扰的概率.