3.4 相互独立的随机变量

FX 1 ( x1 ) F ( x1 , , ,, ) FX 1 , X 2 ( x1 , x2 ) F ( x1 , x 2 , , ,, )
4.边缘概率密度函数
若 f ( x1 , x2 ,, xn ) 是 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 的概率
密度, 则 ( X1 , X 2 ,, X n ) 关于 X1 ,关于 ( X1 , X 2 ) 的
x
FX Y ( x y )
f X Y ( x y ) d x
x y
[ f ( x , y ) fY ( y )]d x .
FY X ( y x )
y
fY X ( y x ) d y
[ f ( x , y ) f X ( x )]d y .

思考题
设随机变量 X 和Y 相互独立, 并且 X 服从 N (a , σ ),Y 在 [ b, b] 上服从均匀分布, 求 ( X ,Y )
同理可得 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 的 k (1 k n) 维边缘概
率密度 .
5. 相互独立性
若对于所有的 x1 , x2 ,, xn 有
F ( x1 , x2 ,, xn ) FX 1 ( x1 )FX 2 ( x2 ) FX n ( xn ),
则称 X 1 , X 2 ,, X n 是相互独立的. 若对于所有的 x1 , x2 ,, xm , y1 , y2 ,, yn 有
P{ X i ,Y j } pij , i , j 1,2,.
X 和 Y 相互独立
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j },
即 pij pi p j .
( 2) 设连续型随机变量 ( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x , y ), 边缘概率密度分别为 f X ( x ), fY ( y ), 则有
1 ( x μ1 )2 ( x μ1 )( y μ2 ) ( y μ2 )2 exp 2ρ 2 2 2 σ 1σ 2 σ2 2(1 ρ ) σ1 1 ( x μ1 )2 ( y μ2 )2 1 exp f X ( x ) fY ( x ) . 2 2 2 πσ1σ 2 σ2 2 σ1
y 0,
其他，
得
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ),
因而X和Y是相互独立的.
例2
Y
若X,Y具有联合分布率
X 1
0
16 16 13
1 26
26 23
PY j
12 12 1
2 Px i
则有 P{ X 0,Y 1} 1 6 P { X 0} P {Y 1},
结论:
对于二维正态随机变量 ( X ,Y ) ， X和Y相互独立 的充要条件是参数 0.
例3一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12 时, 他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时,
设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办 室的时间相差不超过 5 分钟 (1 12小时)的概率.
解 设 X 和Y 分别是负责人和 他的秘书到达办公室的时间,
边缘概率密度分别为
f X 1 ( x1 )


f ( x1 , x 2 ,, x n ) d x 2 d x 3 d x n ,




f X 1 , X 2 ( x1 , x2 )
f ( x1 , x 2 ,, x n ) d x 3 d x4 d x n .
P{ X 0,Y 2} 1 6 P{ X 0}P{Y 2}, P{ X 1,Y 1} 2 6 P { X 1} P {Y 1}, P{ X 1,Y 2} 2 6 P { X 1} P {Y 2},
考察二维正态随机变量 ( X ,Y ) . 1 f ( x, y) 2 σ1σ 2 1 ρ 2
F ( x1 , x2 ,, xm , y1 , y2 ,, yn )
F1 ( x1 , x2 ,, xm )F2 ( y1 , y2 ,, yn )
其中F1 , F2 , F依次为随机变量( X1 , X 2 ,, X m ),
(Y1 ,Y2 ,,Yn )和( X1 , X 2 ,, X m ,Y1 ,Y2 ,,Yn )的分布
而
G的面积
三角形ABC 的面积 三角形ABC 的面积
1 1 13 1 11 . 6 2 12 2 12
2 2
于是
1 1 1 P { X Y } ( G 的面积 ) . 12 48 8
即负责人和他的秘书到达办公室的时间相差不超
X Y 1 12 , 以及长方形[8 x 12;7 y 9], 它
们的公共部分是四边形 BCC B, 记为G(如图3 8).
显然仅当( X ,Y )取值于G内， 他们两人到达的时间
相差才不超过 1 12小时. 因此, 所求的概率为 1 P{ X Y } y A C C 12 9 B G f ( x , y ) d x d y B 7 G 1 O 8 ( G 的面积 ). 12 x 8
则称事件 A , B 独立 .
用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
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F ( x, y) FX ( x)FY ( y)
则称 X 和 Y 相互独立 .
它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合分布函 数等于两个边缘分布函数的乘积 .
2.说明
(1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为
Y2 ,,Yn ) 相互独立.
三、小 结
1. 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为
P{ X i ,Y j } pij , i , j 1,2,.
X 和 Y 相互独立
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j }.
2. 设连续型随机变量 ( X ,Y )的联合概率密度为
函数, 则称随机变量( X1 ,, X m )和(Y1 ,,Yn )是相互 独立的.
6.重要结论
定理 设 ( X1 , X 2 ,, X m ) 和 (Y1 ,Y2 ,,Yn ) 相互
独立, 则X i (1,2,, m )和Y j ( j 1,2,, n)相互独立.
又若 h, g是连续函数, 则 h( X 1 , X 2 ,, X m ) 和 g(Y1 ,
由假设 X 和Y 的概率密度分别为
f X ( x)
1 , 8 x 12, 4 fY ( y ) 0, 其他,
0,
1 , 7 x 9, 2
其他,
因为 X ,Y 相互独立, 故 ( X ,Y ) 的概率密度为 y A C C f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 9 B G 1 B , 8 x 12 , 7 y 9 , 7 8 0, 其他. O 8 12 x 按题意需要求概率P{ X Y 1 12}. 画出区域:
2.概率密度函数
若存在非负函数 f ( x1 , x2 ,, xn ), 使对于任意 实数 x1 , x2 ,, xn 有
F ( x1 , x2 ,, xn )


xn
xn 1

x1

f ( x1 , x2 ,, xn ) d x1 d x2 d xn ,
则称 f ( x1 , x2 ,, xn ) 为 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 的概率密
度函数.
3.边缘分布函数
设( X1 , X 2 ,, X n )的分布函数F ( x1 , x2 ,, xn )
为已知, 则( X 1 , X 2 ,, X n )的k (1 k n)维边缘分布 函数就随之确定. 例如( X 1 , X 2 ,, X n )关于X 1、关于
( X1 , X 2 )的边缘分布函数分别为
2
的联合概率密度 .
f ( x , y ), 边缘概率密度分别为 f X ( x ), fY ( y ), 则有
X 和 Y 相互独立 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
3. X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立. 4. 设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量 , 则有
第四节
相互独立的随机变量
一、随机变量的相互独立性 二、二维随机变量的推广 三、小结
一、相互独立的随机变量
1.定义
设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
P ( X x,Y y) P( X x) P(Y y)
则称 X 和 Y 相互独立 .
两事件 A , B 独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)
X 和 Y 相互独立 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ).
( 3 ) X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
由 例1 对于随机变量 X和Y，
2 x y 2 e , x 0 , e , f X ( x) fY ( y ) 其他， 0, 0,
1 过 5 分钟的概率为 . 48
补充例题
二、二维随机变量的推广
1.分布函数
n 维随机变量 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 的分布函数定
义为
F ( x1 , x2 ,, xn ) P{ X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn },