第32讲 相互独立的随机变量 (II)
2-2-3随机变量的独立性,条件分布
x
FX Y ( x y) pX Y ( x y) d x
x
[ p(x, y)
pY ( y)]d x.
y
FY X ( y x) pY X ( y x) d y
y
[ p(x, y)
pX (x)]d y.
备份题
例1 设
(X,Y )
~
p( x,
y)
Cy(1 0,
x),
0 x 1,0 其 它.
则称X和Y相互独立.
例1 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2)
111 1
pij
6
9 18
3
(1) 求与应满足的条件;
(2) 若 X 与 Y 相互独立,求 与 的值.
(2,3)
解 将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
Y X
1
1
1
6
1
2
3
p• j P{Y yj } 1 2
2 1 9
1
9
3 pi• P{ X xi }
1
1
18
3
1
3
1
18
2
3
(1)由分布律的性质知
0,
0,
2
3
1,
故与应满足的条件是 : 0, 0 且 1 .
3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
pij pi• p• j , (i 1,2; j 1,2,3)
xe(x y)dy xe x
0
x>0
pY ( y) 0 xe( x y)dx e y
y >0
即：
3-2相互独立的随机变量
用分布函数表示,即
设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F ( x, y) FX ( x)FY ( y)
则称X,Y相互独立 . 它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
若 (X,Y)是离散型r.v ，则上述独立性的 定义等价于： 对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
被积函数为常数， 直接求面积
y
xy
x
60 40
P(X <Y) =P(X >Y) =1/2
0
10
15
45
x
类似的问题如：
甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船 各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到 达是等可能的 . 若甲船需停泊1小时，乙船需 停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求 其中一艘船要等待码头空出的概率.
在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机 是等可能的. 若收到两个互相独立的这种信号 的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干 扰. 求发生两信号互相干扰的概率.
可以证明： 如果（ X,Y）～N( 1, 2 , 1, 2 , ) 则 X与Y相互独立的
充要条件是
0
随机变量独立性的概念不难推广到两个 以上r.v的情形. 最后我们给出数理统计中常用的一个结论 定理2 若（X1, …,Xm）与（Y1, …,Yn）相互 独立,则Xi （i=1,2, …,m)与Yj （j=1,2, …,n)相互 独立，且U=f(X1, …,Xm), 与V=g (Y1, …,Yn)相互独 立. 特别：对二维随机变量(X,Y)，若X与Y相互独立， 则f(X)与g(Y)也相互独立。
由于 P ( X 0,Y 0) P ( X 0) P (Y 0)
相互独立的随机变量
即 pij = pi • ⋅ p• j .
( 2 ) 设连续型随机变量 ( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x , y ), 边缘概率密度分别为 f X ( x ), fY ( y ), 则有
X 和Y 相互独立 ⇔ f ( x, y) = f X ( x) fY ( y).
( 3) X 和 Y 相互独立 , 则 f ( X ) 和 g (Y )也相互独立 .
当 y > b 时, f ( x , y ) = 0.
例3 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为
X PX
1 0.3
3 0.7
Y PY
2 0.6
4 0.4
的分布律. 求随机变量 ( X, Y ) 的分布律 解 因为 X 与 Y 相互独立 所以 相互独立,
P{ X = xi ,Y = yj } = P{ X = xi } P{Y = yj }.
因此 ( X ,Y ) 的联合分布律为
X 1 3
Y
2 0.18 0.42
4 0.12 0.28
二、二维随机变量的推广
1.分布函数 分布函数
n 维随机变量 ( X 1 , X 2 ,L, X n ) 的分布函数
F( x1, x2 ,L, xn ) = P{ X1 ≤ x1 , X2 ≤ x2 ,L, Xn ≤ xn },
6.重要结论 重要结论
定理 设 ( X 1 , X 2 ,L, X m ) 和 (Y1 ,Y2 ,L,Yn ) 相互独 立, 则X i (1,2,L, m )和Y j ( j = 1,2,L, n)相互独立 .又 若 h, g是连续函数 , 则 h( X 1 , X 2 ,L, X m ) 和 g (Y1 ,Y2 , L,Yn ) 相互独立 .
3.3 相互独立的随机变量
(1) f ( x, y) 0,
; 其它
(2)
f
(
x,
y)
2, 0,
0 x y,0 y 1
其它
,
问 X 和Y 是否独立?
解 (1)
fX (x)
xe( x y)dy xex ,
0
x0
fY ( y)
xe( x y)dx e y ,
具有概率密度函数
f ( x, y) 0
其它
(1)求X,Y的边缘概率密度； y
(2)问X与Y是否相互独立？
1
解 fX ( x) f ( x, y)dy
1
1155x
22
x
ydy,
00
x
1
15 2
(x2
x4 )
0
, 其其它 0
0 x1 其它 O
1 9
a
1 9
1 3
1 18
b
1 18
1 3
a
2 9
b
1 9
Y1 X
2
pi•
1 1/3 1/6 1/2
2 2/9 1/9 1/3
3 1/9 1/18 1/6
故 (X,Y)的联合分布律和边缘分布律为
经检验，此时X与Y是相互独立的。
p•j 2/3 1/3
Ex2. 袋中之球，3黑1红2白，不放回地取3球。以 X, Y 分别表所取黑球数与红球数。试求X与Y的联合分布律， 并判断二者是否相互独立。
随机变量的相互独立性
p ij = p i • × p • j
证 ∵X与Y的边缘分布律分别为 与 的边缘分布律分别为
X p.i -1 2/5 0 1/5 2 2/5 Y 1/2 Pj. 1/4 1 1/4 2 2/4
2 1 p11 = p12 = = p1. ⋅ p.1 = p1. ⋅ p.2 20 20 4 p13 = = p1. ⋅ p.3 20 p21 = p2. ⋅ p.1 p22 = p2. ⋅ p.2 p23 = p2. ⋅ p.3
fY ( y ) = ∫
+∞
−∞
f ( x, y )dx
y ≤ 0 或 y ≥1 时
fY ( y ) = 0
0 < y ≤ 1 时，
0
fY ( y ) = ∫ y −1 4dx = 2(1 − y )
2
所以，关于 的边缘分布密度为 所以，关于Y的边缘分布密度为
2(1 − y ), fY ( y ) = 0,
随机变量的相互独立性
定义 设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个 的联合分布函数为F(x,y) F(x,y)， 边缘分布函数分别为F 边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y (y)，如果对于任意的x,y 都有F(x,y)= 都有F(x,y)= FX(x) FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。 (y)，则称随机变量X 相互独立。 特别，对于离散型和连续型的随机变量， 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分 别等价于
(0 < y ≤ 1) 其它
所以
1 8(2x +1)(1− y),(− < x ≤ 0,0 < y ≤ 1 ) f X ( x) ⋅ fY ( y) = 2 0, 其它
第三章相互独立的随机变量(多维随机变量及其分布)
F ( x , y ) F X ( x ) FY ( y ) , x,y R .
所以 X 与 Y 相互独立.
10:42:20 3
X 与 Y 相互独立. 此时，若再求两个部件的 寿命都超过100小时的概率，则
P ( X 0 . 1, Y 0 . 1 ) P ( X 0 .1) P (Y 0 .1)
X Y
其中F ( x , y ), FX ( x ), FY ( y )分别是二维随机变量 ( X , Y )的分布函数及边缘分布 函数.
10:42:20 1
例1 一电子元件由两个部件构成，以X, Y 分别表示两个部件的寿命(单位：千小时). 已知 (X, Y)的联合分布函数为
(1 e )(1 e ), x 0, y 0, F ( x, y) 其它. 0,
若 0，则
2 2 1 1 ( x μ1 ) ( y μ2 ) f ( x, y) exp 2 2 2σ1σ 2 σ2 2 σ1 2 2 1 ( x μ1 ) 1 ( y μ2 ) exp exp 2 2 2 σ1 2σ1 2 σ 2 2σ 2
两个离散型随机变量相互独立时，它们的 联合分布律等于两个边缘分布律的乘积 .
10:42:20
6
例2 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为
X
P
1 0.3
3 0.7
Y
P
2 0.6
4 0.4
求随机向量( X, Y ) 的联合分布律. 解 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 P ( X xi , Y y j ) P ( X xi ) P ( Y y j ),
=1/2.
《概率论》第3章§4相互独立的随机变量
§4
A, B 相互独立 X , Y 相互独立
相互独立的随机变量
11/19
P( A | B) P( A), P( B | A) P( B)
f ( x, y) f X ( x) fY ( y) (a.e) f ( x, y ) f X |Y ( x | y ) = f X ( x) ( a.e) fY ( y )
§4
相互独立的随机变量
1/19
随机变量的独立性
离散型、连续型随机变量的独立性的判断
利用随机变量的独立性进行相关概率的 计算
第三章 多维随机变量及其分布
§4
A, B 相互独立
相互独立的随机变量
A, B 之间没有任何关系
P( AB) P( A) P( B)
2/19
怎样定义 r.v X , Y 之间的独立性 若
FX ( x2 ) FY ( y2 ) FX ( x1 ) FY ( y2 ) FX ( x2 ) FY ( y1 ) FX ( x1 ) FY ( y1 )
[ FX ( x2 ) FX ( x1 )] [ FY ( y2 ) FY ( y1 )]
P{x1 X x2 }P{ y1 Y y2 }
X ~ U (0,1), Y ~ U (0,1)
X , Y 独立,故联合密度为
1, 0 x 1, 0 y 1 f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y ) 其它 0,
故两信号互相干扰的概率为
P{ | X Y | 1 }
120
1
y
y x
1 2 1 2 1
2
( x ) 1 exp{ [ 21 2 1 2(1 )
相互独立的随机变量
例4 已知 ( X, Y ) 的联合概率密度为 (1)
4 xy, 0 x 1,0 y 1 f1 ( x, y ) 其他 0,
8 xy, 0 x y, 0 y 1 f 2 ( x, y ) 其他 0,
概率论
(2)
讨论X ,Y 是否独立？
1 18
1 3
(1) 求 与 应满足的条件 ; (2) 若 X 与 Y 相互独立, 求 与 的值.
解 将 ( X ,Y )
Y
1 1 6 1 3
2 1 9
3 1 18
1 9
1 18
pi P{ X xi } 1 3 1 3
X ,Y 相互独立，则 -1 pij X Y 0.25 -1 0.25 1
P (X = Y ) = 0.5, 故不能说 X = Y .
概率论
练习： 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) ( 2,1) ( 2, 2 ) ( 2, 3 )
pij
1 6
1 9
4 x(1 x 2 ), 0 x 1, f X ( x) 0, 其他
1
1
4 y 3 , 0 y 1, fY ( y ) 其他 0, 显然， f 2 ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y )
故X ,Y 不独立
概率论
判断连续型二维随机变量相互独立的
fY ( y ) xe
0
( x y )
y e , dx
概率论
即
xe x , x 0 f X ( x) , 0, x 0 e y , y 0 fY ( y ) , 0, y 0
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§3.4相互独立的随机变量课即 则称随机变量X 和Y 相互独立。
F (x , y ) = F X (x )F Y (y )定义（随机变量的独立性）设 F (x , y ) 是二维随机变量(X , Y )的联合分布 函数，F X (x )和F Y (y )分别是(X , Y )关于X 和关 于Y 的边缘分布函数。
若对于任意实数 x 和 y , 有 P {X ≤ x ,Y ≤ y }= P {X ≤ x }P {Y ≤ y }即 若对于任意实数 x 和 y , 有P {X ≤ x ,Y ≤ y }= P {X ≤ x }P {Y ≤ y }F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) 四川大学 徐小湛即X 和Y 相互独立当且仅当它们的联合分布函 数等于关于它们的边缘分布函数的乘积。
这时，联合分布可由边缘分布唯一确定。
则称随机变量X 和Y 相互独立。
传课可以证明：对于连续型二维随机变量(X , Y )， 即 则称随机变量X 和Y 相互独立。
若对于任意实数 x 和 y , 有 P {X ≤ x ,Y ≤ y }= P {X ≤ x }P {Y ≤ y }F (x , y ) = F X (x )F Y (y )X 和Y 相互独立当且仅当f (x , y ) = f X (x ) f Y (y )在平面上几乎处处成立（即等式不成立的点 构成集合的“测度(面积)”等于零。
）这时，联合概率密度可由边缘概率密度唯一确定。
对于连续型二维随机变量(X , Y )，X 和Y 相互独立当且仅当f (x , y ) = f X (x ) f Y (y )此时，在条件Y =y 下，X 的条件概率密度X |Y f f Y ( y ) f Y ( y )X ( x ) (x | y ) = f (x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) = f 同理，在条件X =x 下，Y 的条件概率密度X f ( x )Y | X Y f ( y | x ) = f ( x , y ) = f (y ) 条件概率密度 等于边缘密度例子例5 设二维随机变量(X , Y )的联合密度为问：X 与Y 是否相互独立？f (x , y ) = ⎧ (1+ xy ) 4, x <1, y <1 ⎨ ⎪⎩ 0,其他 -1 1-1D 1 解 f (x , y )的非零区域为 D 。
f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) 需求边缘概率密度。
四川大学 徐小湛-1 -1 百度传课 1D 1 当 |x |>1时， f (x , y )=0+∞ +∞ f X (x ) = ⎰-∞ f (x , y )dy = ⎰-∞ 0dy = 0+∞ 4 dy 11+ xy f X (x ) = ⎰-∞ f (x , y )dy = ⎰-1 = 1 4 1 2 (2+0) = 1 4 1 1 ( -1 -1 = dy + ⎰ ⎰ xydy ) 奇函数 当 |x |≤1时，-1-1 D 1 f (x , y ) = ⎧⎪(1+ xy ) 4, x <1, y <1 ⎨⎪⎩ 0, 其他 X f (x ) = ⎧ 1 2, x ≤1 ⎨ ⎪⎩ 0, 其他类似可得（由对称性） Y f (y ) = ⎧ 1 2, y ≤1 ⎨⎪⎩ 0, 其他X Y 2 2 4 4f (x ) f (y ) = 1 ⋅ 1 = 1 ≠ 1 (1+ xy ) = f (x , y ) X 与Y 不相互独立四川大学 徐小湛 当 0<|x |<1, 0<|y |<1时，例6 设随机变量 (X , Y ) 具有分布函数证明 X , Y 相互独立。
-x ⎧(1-e -αx )y , x ≥ 0, 0 ≤ y ≤1⎪ F (x , y ) = 1-e , x ≥ 0, y >1 ( > 0) ⎨ ⎩ ⎪ 0, 其他 F (x , y ) =F X (x )F Y (y ) y →+∞= lim F (x , y ) F X (x ) = F (x ,+∞) F Y (y ) = F (+∞, y ) x →+∞ = lim F (x , y ) 证 欲证 其中百度传课 -x ⎧(1- e -αx )y , x ≥ 0, 0 ≤ y ≤1 ⎪ F (x , y ) = 1- e ⎨ ⎪ 0,⎩ ,x ≥ 0, y >1 其他 x →+∞ F Y (y ) = lim F (x , y ) X y →+∞ F (x ) = lim F (x , y )⎧1- e -αx , = ⎨ 0, ⎩ x ≥ 0, y > 0 其他 ⎧y , 0 ≤ y ≤1 = ⎪ ⎩ ⎨1, y >1 ⎪0, 其他-x ⎧(1- e -αx )y , x ≥ 0, 0 ≤ y ≤1 ⎪ F (x , y ) = 1- e ⎨ ⎪ 0, ⎩, x ≥ 0, y >1 其他 X F (x ) = ⎧1- e -αx , x ≥ 0, y > 0 ⎨ ⎩ 0,其他 Y ⎧y , 0 ≤ y ≤ 1 ⎩ F (y ) = ⎪ , y >1 ⎨1 ⎪ 0, 其他x ≥ 0, y >1时 F (x )F (y ) = (1- e -αx ) ⋅1 = F (x , y ) X Y其他情况 (x <0) F X (x ) = 0 F X (x )F Y (y ) = 0 = F (x , y ) F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) 处处成立 X , Y 相互独立四川大学 徐小湛 x ≥ 0, 0 ≤ y ≤1时 F X (x )F Y (y ) = (1- e -αx ) y = F (x , y )例7 设X 与Y 相互独立，X ~U (a , b ) (0≤a <b )，Y ~ e (λ)， 求: (1) f (x , y ); (2) P {Y ≤X }。
解 X ⎧ 1 f (x ) = ⎪b -a, a ≤ x ≤ b ⎨ ⎪⎩ 0,其他 均匀分布 ⎧ y > 0 f Y (y ) = ⎨ ⎩ 0, y ≤ 0 指数分布百度传课求: (1) f (x , y ) X ⎧ 1 (b -a ), a ≤ x ≤ b f (x ) = ⎨ ⎩ 0,其他 Y ⎧ y > 0 f (y ) = 0, y ≤ 0 ⎨ ⎩ b a D ⎧ f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) (1) 四川大学 徐小湛 f (x , y ) = ⎪ b -a, 0 ≤ a ≤ x ≤ b , y > 0 ⎨ ⎪⎩ 0, 其他f (x , y )的非零区域为 D 。
求(2) P{Y≤X}baD⎧e-λyf (x, y) =⎪b -a, 0 ≤a ≤x ≤b, y >0⎨y≤x⎪⎩0, 其他P{Y ≤X} = f (x, y)dxdyy =xG(2)百度传课例8 设X与Y相互独立，且都服从正态分布：解X ~ N(μ,σ2 ) Y ~ N(μ,σ2 )1 12 2求(X, Y)的联合概率密度f(x, y)。
(-∞<x <+∞)(-∞<y <+∞) fX(x) =Yf ( y)=X与 Y相互独立结论：二维正态随机变量(X, Y)中的X 和Y 相互独立的充分必要条件是参数（相关系数） 0例9 甲到达学校的时间均匀分布在8~12 时，乙到达学校的时间均匀分布在7~9时。
设两人到达学校的时间相互独立，求他们 到达学校的时间相差不到5分钟(1/12小时) 的概率。
X f (x ) = ⎨ ⎩ 0, 其他 Y ⎧1 4, 8< x <12 ⎧1 2, 7 < y <9 f (y ) = ⎨ ⎩ 0, 其他 解 设X 和Y 分别是甲和乙到达学校的时间， 则 X ~U (8,12), Y ~U (7,9)，它们的概率密度分别是X ⎧1 4, 8< x <12 f (x )= ⎨ 0, 其他0, Y f (y ) = ⎨ ⎩ ⎩⎧1 2, 7 <y <9 其他 f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) = ⎨⎧1 8, 8< x <12, 7 < y ≤9⎩ 0, 其他8129 7D因为X 和Y 相互独立，(X , Y )的概率密度四川大学 徐小湛 D ={(x , y )| 8< x <12, 7 < y ≤9}的面积是 8即(X , Y )服从D 上的均匀分布⎧1 8, 8< x <12, 7< y ≤9 f (x , y ) =⎨ 0, ⎩其他 9 D求他们到达学校的时间相差不到5分钟(1/12小时百)的概率 。
12P { X -Y ≤ 1} 8 12 S 是G 的面积12G ={(x , y )| x - y ≤ 1,8< x <12,7 < y <9}所求概率 四川大学徐小湛7 12x -y ≤1 G 88 = ⎰ f (x , y )dxdy = 1dxdy = 1 S ⎰百度传课 12 12y = x + 1 , x = 8 ⇒ y = 8+ 1⇒ B8 12D12G ={(x , y )| x - y ≤ 1,8< x <12,7 < y <9}1 12 12 y = x - 1 , y = 9 ⇒ x = 9 + 1⇒ A 1 1 四12大学 徐小湛12 y = x - , x = 8 ⇒ y = 8- ⇒ A 212 9 1 71 1 12 12y = x + , y = 9 ⇒ x = 9 - ⇒ B 12 y = x +1 1A 2B1B 2G A x - y ≤ 1 - 1 ≤ y - x ≤ 1 x - 1 ≤ y ≤ x +1 12 12 12 12 12 y = x - 11B 2 (8,8+12)97D1 12 A (9 + 1 ,9) 1 A 2 (8,8-12), 112 B (9 - 1 ,9) 1 A 2 B 1B 2 G AG 的面积S =ΔA 1CA 2的面积- ΔB 1CB 2的面积2 12 12 2 6 6 C = 1[(1+ 1 )2 - (1- 1 )2 ] = 1 (2⋅ 1) = 1 12 G 88 48 P { X -Y ≤ 1 }= 1dxdy = 1 S = 1 四川大学 徐小湛812一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位: 千小时)。