概率论课件PPT3.4 相互独立的随机变量
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随机变量的相互独立性
6
例2 设X与Y是两个相互独立的随机变量, X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的概率密度 5 y 为: 5e , y 0
求 P{Y≤X}
fY ( y ) 0,
D
其它
解: P{Y≤X} f ( x , y )dxdy
1 5 , 0 x 0 .2 0 .2 0 f X ( x) 其它 0,
12
若(X,Y)的概率密度为
2 , 0 x y ,0 y 1 f ( x, y ) 其它 0,
情况又怎样？
解： f X ( x )
fY
( y)
1
x y 0
2dy 2(1 x ), 2dx 2 y,
0<x<1
0<y<1
由于存在面积不为0的区域， f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 故X和Y不独立 .
13
例5 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面. 如果甲来到的时间在 12:15到12:45之间是均匀 分布 . 乙独立地到达 , 而且到达时间在 12:00 到 13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一 人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的 概率是多少？
解: 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻
( x y )
问X和Y是否独立？
0
xe
dy xe x , x>0
y
fY ( y) xe
0
( x y )
dx e ,
y >0
即： xe x , x 0 f X ( x) 0, 其它
e y , y 0 fY ( y ) 0, 其它
例2 设X与Y是两个相互独立的随机变量, X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的概率密度 5 y 为: 5e , y 0
求 P{Y≤X}
fY ( y ) 0,
D
其它
解: P{Y≤X} f ( x , y )dxdy
1 5 , 0 x 0 .2 0 .2 0 f X ( x) 其它 0,
12
若(X,Y)的概率密度为
2 , 0 x y ,0 y 1 f ( x, y ) 其它 0,
情况又怎样？
解： f X ( x )
fY
( y)
1
x y 0
2dy 2(1 x ), 2dx 2 y,
0<x<1
0<y<1
由于存在面积不为0的区域， f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 故X和Y不独立 .
13
例5 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面. 如果甲来到的时间在 12:15到12:45之间是均匀 分布 . 乙独立地到达 , 而且到达时间在 12:00 到 13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一 人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的 概率是多少？
解: 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻
( x y )
问X和Y是否独立？
0
xe
dy xe x , x>0
y
fY ( y) xe
0
( x y )
dx e ,
y >0
即： xe x , x 0 f X ( x) 0, 其它
e y , y 0 fY ( y ) 0, 其它
概率论与数理统计(随机变量的相互独立性)
即X与Y独立．
3.4 随机变量的相互独立性
反之，若X与Y独立，由于f(x,y)，fX(x)，fY(y)都是 连续函数，故对所有的x,y，有
f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
特别，令 x 1, y 2，可以得到
1
1
2 1 2 1 2 2 1 2
从而 0.
☺课堂练习
已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
111 1
pij
6
9 18
3
(1) 求 与 应满足的条件; (2) 若 X 与 Y 相互独立,求 与 的值.
解：将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
(2) P{ X1 X2 1} D f ( x1, x2 )dx1d x2
x2
1
x1 x2 1 D
O
1
1 0
1 x2 0
1 9
e ( x1 x2 )/ 3
d
x1
d
x2
1 9
1 ex2 / 3 (
0
1 0
x2
e
x1
/
3
d
x1
)dx2
x1
9
18
3.4 随机变量的相互独立性
【例3.17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参 数为1/2的0-1分布，定义随机变量
1 当X Y为偶数 Z 0 当X Y为奇数
求Z的分布律，(X，Z)的分布律， 并问X与Z是否独立？
解：由X与Y的分布律
X
0
3.4 随机变量的独立性
则称X与Y 相互独立 . 它表明,两个随机变量相互独立时,它们的联合分布函数等于 两个边缘分布函数的乘积 .
第2页
3.4 随机变量独立性
可以证明如下结论： （1）若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义等价于：
对任意的 x, y, 有
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
第6页
3.4 随机变量独立性
例3.4.1
1.
P( X P( X P( X P( X
X ,Y 具有分布律右图，则：
1, Y 0) 1 6 P( X 1) P(Y 0) 2, Y 0) 1 6 P( X 2) P(Y 0) 1, Y 1) 2 6 P( X 1) P(Y 1) 2, Y 1) 2 6 P( X 2) P(Y 1)
p ij p i p j
离散型随机变量的联合分布列等于其边缘分布列的乘积
P { X x i | Y y j } p i , , P { Y y j | X x i } p j
任一变量的条件分布列等于其边缘分布列
要判断 X 和 Y 不独立,只需找到 X, Y 的一对取值(xi,yj),使得 P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }.
P( X1 x1i1 )
i2 ,i3 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 )
f X1 ( x1 )
i3 ,i4 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
第2页
3.4 随机变量独立性
可以证明如下结论： （1）若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义等价于：
对任意的 x, y, 有
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
第6页
3.4 随机变量独立性
例3.4.1
1.
P( X P( X P( X P( X
X ,Y 具有分布律右图，则：
1, Y 0) 1 6 P( X 1) P(Y 0) 2, Y 0) 1 6 P( X 2) P(Y 0) 1, Y 1) 2 6 P( X 1) P(Y 1) 2, Y 1) 2 6 P( X 2) P(Y 1)
p ij p i p j
离散型随机变量的联合分布列等于其边缘分布列的乘积
P { X x i | Y y j } p i , , P { Y y j | X x i } p j
任一变量的条件分布列等于其边缘分布列
要判断 X 和 Y 不独立,只需找到 X, Y 的一对取值(xi,yj),使得 P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }.
P( X1 x1i1 )
i2 ,i3 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 )
f X1 ( x1 )
i3 ,i4 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
概率论与数理统计课件第三章
f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(y
2)2
2 2
其中1、2、1、 2、都是常数，且1 0， 2 0，1 1.
则称（X,Y）服从参数为1、2、1、的二2、维 正态分布，
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
2F(x, y) f (x, y) xy
(5)若(X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y),则
F(x,y) P{X x,Y y}
返回
X
18
第
页
例5 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
Ae2(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
（1）确定常数A；
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
返回
X
25
第
页
例1 设二维随机向量（X,Y）的联合分布函数为
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
F(x, y)
0, 其他.
求边缘分布 FX (x), FY ( y)
当x
0时，FX
(x)
lim (1
y
e2 x
)(1
e3 y
)
1
e2 x
返回
X
14
第
例3 设随机变量Y~N(0，1),令
0, X 1 1,
| Y | 1
0,
|Y
|
概率论第三章第3,4节条件分布,独立性
1,2,
P X m， Y n q n2 p2 , n 2,3,; m 1,2,n 1
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第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
例3 设某班车起点站上车人数 X 服从参数为 ( 0) 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p(0 p 1),
1 f ( x, y) , x y x, f ( y | x ) 当0 x 1, Y | X 2x f X ( x) 其它。 0,
1 P{ X , Y 0} 1 2 ( 3) P{ X | Y 0} 2 P{Y 0} y
1 1 (1 ) 2 3 2 2 1 4 1 1 2
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第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
P{ X x , y Y y } FX |Y ( x | y ) lim 0 P{ y Y y }
F ( x , y ) lim [F ( x, y ) F ( x, y )]/ 2 y 0 d lim [ F ( y ) F ( y )] / 2 Y Y FY ( y ) 0 dy y x x f ( u, v )dudv f ( u, y )du y . fY ( y) fY ( y)
n 2
2
第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
在 X= m 条件下随机变量Y 的条件分布律为
当m=1,2,3,… 时，
P{Y n | X m}
P{ X m ,Y n} P{ X m }
p 2 q n 2 n m 1 pq , m 1 pq
P X m， Y n q n2 p2 , n 2,3,; m 1,2,n 1
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第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
例3 设某班车起点站上车人数 X 服从参数为 ( 0) 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p(0 p 1),
1 f ( x, y) , x y x, f ( y | x ) 当0 x 1, Y | X 2x f X ( x) 其它。 0,
1 P{ X , Y 0} 1 2 ( 3) P{ X | Y 0} 2 P{Y 0} y
1 1 (1 ) 2 3 2 2 1 4 1 1 2
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第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
P{ X x , y Y y } FX |Y ( x | y ) lim 0 P{ y Y y }
F ( x , y ) lim [F ( x, y ) F ( x, y )]/ 2 y 0 d lim [ F ( y ) F ( y )] / 2 Y Y FY ( y ) 0 dy y x x f ( u, v )dudv f ( u, y )du y . fY ( y) fY ( y)
n 2
2
第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
在 X= m 条件下随机变量Y 的条件分布律为
当m=1,2,3,… 时，
P{Y n | X m}
P{ X m ,Y n} P{ X m }
p 2 q n 2 n m 1 pq , m 1 pq
《概率论》课程PPT：边缘分布及随机变量的相互独立性
F(x, y) FX (x) FY ( y)
例1 设（X，Y）的概率分布（律）为
y x
1/2 1 2
p .j
-1 2/20 2/20 4/20 2/5
0 1/20 1/20 2/20 1/5
2
pi.
2/20 1/4
2/20 1/4
4/20 2/4 2/5
证明：X、Y相互独立。
逐个验证等式 pij pi p j
即
Y
X
y1 y2 y3 …
x1 p11 p12 p13 … x2 p21 p22 p23 … x3 p31 p32 p33 … ……………
二维离散型R.v.的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
p13
…
P1.
x2
p21
p22
p23
…
P2.
x3
p31
p32
p33
…
P3.
…………… …
p.j p.1 p.2 p.3 …
依次称为二维随机变量 (X ,Y )关于 X 和关于 Y
的边缘分布函数．
FX (x) F(x, ) FY ( y) F(, y)
二维离散型R.v.的边缘分布
如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
P{X xi ,Y y j} pij i, j 1, 2,3,
关于Y的边缘分布
Y 0 1 1/3 概率 7/12 1/3 1/12
（X，Y）的联合分布列
Y
X
0
1 1/3
-1 0 1/3 1/12 0 1/6 0 0 2 5/12 0 0
例1 设（X，Y）的概率分布（律）为
y x
1/2 1 2
p .j
-1 2/20 2/20 4/20 2/5
0 1/20 1/20 2/20 1/5
2
pi.
2/20 1/4
2/20 1/4
4/20 2/4 2/5
证明：X、Y相互独立。
逐个验证等式 pij pi p j
即
Y
X
y1 y2 y3 …
x1 p11 p12 p13 … x2 p21 p22 p23 … x3 p31 p32 p33 … ……………
二维离散型R.v.的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
p13
…
P1.
x2
p21
p22
p23
…
P2.
x3
p31
p32
p33
…
P3.
…………… …
p.j p.1 p.2 p.3 …
依次称为二维随机变量 (X ,Y )关于 X 和关于 Y
的边缘分布函数．
FX (x) F(x, ) FY ( y) F(, y)
二维离散型R.v.的边缘分布
如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
P{X xi ,Y y j} pij i, j 1, 2,3,
关于Y的边缘分布
Y 0 1 1/3 概率 7/12 1/3 1/12
（X，Y）的联合分布列
Y
X
0
1 1/3
-1 0 1/3 1/12 0 1/6 0 0 2 5/12 0 0
《概率论》第3章§4相互独立的随机变量
§4
A, B 相互独立 X , Y 相互独立
相互独立的随机变量
11/19
P( A | B) P( A), P( B | A) P( B)
f ( x, y) f X ( x) fY ( y) (a.e) f ( x, y ) f X |Y ( x | y ) = f X ( x) ( a.e) fY ( y )
§4
相互独立的随机变量
1/19
随机变量的独立性
离散型、连续型随机变量的独立性的判断
利用随机变量的独立性进行相关概率的 计算
第三章 多维随机变量及其分布
§4
A, B 相互独立
相互独立的随机变量
A, B 之间没有任何关系
P( AB) P( A) P( B)
2/19
怎样定义 r.v X , Y 之间的独立性 若
FX ( x2 ) FY ( y2 ) FX ( x1 ) FY ( y2 ) FX ( x2 ) FY ( y1 ) FX ( x1 ) FY ( y1 )
[ FX ( x2 ) FX ( x1 )] [ FY ( y2 ) FY ( y1 )]
P{x1 X x2 }P{ y1 Y y2 }
X ~ U (0,1), Y ~ U (0,1)
X , Y 独立,故联合密度为
1, 0 x 1, 0 y 1 f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y ) 其它 0,
故两信号互相干扰的概率为
P{ | X Y | 1 }
120
1
y
y x
1 2 1 2 1
2
( x ) 1 exp{ [ 21 2 1 2(1 )
概率论与数理统计-第3章-第4讲-随机变量的独立性
1, (x, y) G
f (x, y) 0,
其它.
1
2x
02 随机变量的独立性
例题 设二维离散型随机变量 X， Y 的联合分布律为
应用
Y X
1
1
1 6
2
3
1
1
9
18
2
1 3
试确定常数 ， 使得随机变量 X 与Y 相互独立．
02
随机变量的独立性 由表，可得随机变量 X 与Y 的边缘分布律为
P{XY Y 0} P{( X 1)Y 0}
P{X 1 0,Y 0} P{X 1 0,Y 0}
P(X ) P(X ) 1
2
P{X 1}P{Y 0} P{X 1}P{Y 0} 1111 1
22 22 2
第4讲 随机变量的独立性
本节我们学习了二维随机变量的独立性, 后续会推广到更多维. 随机变量的独立性在概率论和数理统计中会发挥重要的作用.
用分布函数表示, 即 设 X,Y 是两个随机变量, 若对任意的x, y, 有 F ( x, y) FX (x)FY ( y)
则称 X, Y 相互独立 .
它表明, 两个随机变量相互独立时, 联合分布函数等于两个 边缘分布函数的乘积 .
01 两个随机变量独立的定义
离散型
X与Y 独立
对一切 i , j 有
01 两个随机变量独立的定义 两个随机变量独立的定义
设 X,Y是两个随机变量, 若对任意的x,y ,有 P ( X x,Y y) P( X x)P(Y y)
则称X,Y相互独立 .
如何判断
两事件A, B独立的定义是： 若 P(AB)=P(A)P(B)则称事件A, B独立 .
01 两个随机变量独立的定义
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解：由已知的X与Y的联合分布律求其边缘分布律为
pi•
p• j P{X 0,Y 0} 6 3 3 P{X 0}P{Y 0}
20 5 5 因此X与Y不相互独立.
注：只要有一个等式不成立就不独立。
例3 设随机变量X与Y相互独立，试确定 a,b,c 的值？
pi•
p• j
解: 根据X与Y相互独立得
P{X 1,Y 0} 6 2 3 P{X 1}P{Y 0} 25 5 5
P{X 1,Y 1} 4 2 2 P{X 1}P{Y 1} 25 5 5
因此X与Y相互独立.
注：若独立必须每个等式都成立。
已知随机变量 ( X ,Y ) 的分布律如下表，问 例2 X与Y是否相互独立？
第三章
§3.4 相互独立的随机变量
一、两个随机变量的独立性 二、n个随机变量的独立性
独立性是概率论的一个重要概念，在第一章中我们
讨论过事件A、B 相互独立的问题， 若
P AB P A P B
则称 A、B 相互独立。其意义是其中一个发生不影 响另一个发生的概率。
在研究二维随机变量时，涉及到两个随机变量， 自然也可提出其中一个的取值是否对另一个的取值 产生影响呢？
1. 两个随机变量的独立性
定义1 若二维随机变量 ( X ,Y ) 对任意的实数 x, y
均有 P{X x,Y y} P{X x}P{Y y} 成立， 则称随机变量X与Y是相互独立的。 命题：X与Y相互独立 F ( x, y) FX ( x)FY ( y) 下面我们寻找判断X，Y 相互独立的办法：
作 业 11
P89: 12, 19
即在平面上除去“面积”为零的集合之外处处成立 。
例1 已知随机变量 ( X ,Y ) 的分布律如下表，问X与Y
是否相互独立？
解：由X,Y的联合分布律求其边缘分布律为 pi•
p• j
由于 P{X 0,Y 0} 9 3 3 P{X 0}P{Y 0} 25 5 5
P{X 0,Y 1} 6 3 2 P{X 0}P{Y 1} 25 5 5
4 x y, 0 x 1, 0 y 1,
f (x, y)
0,
其它．
问X与Y是否相互独X的边缘概率密度
fX (x)
f
(x,
y)dy
1 0
4xydy
2x,
0,
0 x 1; 其 它.
同理
2 y,
fY
( y)
0,
0 y 1, 其它．
相互独立 ↙
p22 p2 p2 (1/ 9 b)(1/ 9 1/ 3 b) b b 2 / 9; p21 p2 p1 (1/ 9 a)(1/ 9 1/ 3 b) 1/ 9 a 1/8;
p23 p2 p3 (1/ 3 c)(1/ 9 1/ 3 b) 1/ 3 c 1/ 6.
例4 设随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
显然，对任意的实数x,y均有 f (x, y) fX (x) fY ( y)
例5 若二维随机变量
证明X与Y 相互独立的充分必要条件是 0.
证明略. （P79 例5）
2. n个随机变量的独立性（自学）参79页
定理 设随机变量 ( X1, X 2 , X m ) 和 (Y1,Y2 ,Yn ) 相互 独立，h , g 是连续函数，则随机变量 h( X1, X 2 , X m ) 和 g(Y1,Y2 ,Yn ) 也相互独立。
Ⅰ.若 ( X ,Y ) 是离散型随机变量，则X与Y相互独立的
充要条件是 P{X xi ,Y y j} P{X xi}P{Y y j}
即
pij pi p j , i, j 1,2,
Ⅱ.若 ( X ,Y ) 是连续型随机变量，则X与Y相互独立的
充要条件是 f (x, y) fX (x) fY ( y) 几乎处处成立，
pi•
p• j P{X 0,Y 0} 6 3 3 P{X 0}P{Y 0}
20 5 5 因此X与Y不相互独立.
注：只要有一个等式不成立就不独立。
例3 设随机变量X与Y相互独立，试确定 a,b,c 的值？
pi•
p• j
解: 根据X与Y相互独立得
P{X 1,Y 0} 6 2 3 P{X 1}P{Y 0} 25 5 5
P{X 1,Y 1} 4 2 2 P{X 1}P{Y 1} 25 5 5
因此X与Y相互独立.
注：若独立必须每个等式都成立。
已知随机变量 ( X ,Y ) 的分布律如下表，问 例2 X与Y是否相互独立？
第三章
§3.4 相互独立的随机变量
一、两个随机变量的独立性 二、n个随机变量的独立性
独立性是概率论的一个重要概念，在第一章中我们
讨论过事件A、B 相互独立的问题， 若
P AB P A P B
则称 A、B 相互独立。其意义是其中一个发生不影 响另一个发生的概率。
在研究二维随机变量时，涉及到两个随机变量， 自然也可提出其中一个的取值是否对另一个的取值 产生影响呢？
1. 两个随机变量的独立性
定义1 若二维随机变量 ( X ,Y ) 对任意的实数 x, y
均有 P{X x,Y y} P{X x}P{Y y} 成立， 则称随机变量X与Y是相互独立的。 命题：X与Y相互独立 F ( x, y) FX ( x)FY ( y) 下面我们寻找判断X，Y 相互独立的办法：
作 业 11
P89: 12, 19
即在平面上除去“面积”为零的集合之外处处成立 。
例1 已知随机变量 ( X ,Y ) 的分布律如下表，问X与Y
是否相互独立？
解：由X,Y的联合分布律求其边缘分布律为 pi•
p• j
由于 P{X 0,Y 0} 9 3 3 P{X 0}P{Y 0} 25 5 5
P{X 0,Y 1} 6 3 2 P{X 0}P{Y 1} 25 5 5
4 x y, 0 x 1, 0 y 1,
f (x, y)
0,
其它．
问X与Y是否相互独X的边缘概率密度
fX (x)
f
(x,
y)dy
1 0
4xydy
2x,
0,
0 x 1; 其 它.
同理
2 y,
fY
( y)
0,
0 y 1, 其它．
相互独立 ↙
p22 p2 p2 (1/ 9 b)(1/ 9 1/ 3 b) b b 2 / 9; p21 p2 p1 (1/ 9 a)(1/ 9 1/ 3 b) 1/ 9 a 1/8;
p23 p2 p3 (1/ 3 c)(1/ 9 1/ 3 b) 1/ 3 c 1/ 6.
例4 设随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
显然，对任意的实数x,y均有 f (x, y) fX (x) fY ( y)
例5 若二维随机变量
证明X与Y 相互独立的充分必要条件是 0.
证明略. （P79 例5）
2. n个随机变量的独立性（自学）参79页
定理 设随机变量 ( X1, X 2 , X m ) 和 (Y1,Y2 ,Yn ) 相互 独立，h , g 是连续函数，则随机变量 h( X1, X 2 , X m ) 和 g(Y1,Y2 ,Yn ) 也相互独立。
Ⅰ.若 ( X ,Y ) 是离散型随机变量，则X与Y相互独立的
充要条件是 P{X xi ,Y y j} P{X xi}P{Y y j}
即
pij pi p j , i, j 1,2,
Ⅱ.若 ( X ,Y ) 是连续型随机变量，则X与Y相互独立的
充要条件是 f (x, y) fX (x) fY ( y) 几乎处处成立，