波函数
合集下载
波函数的几种不同的形式
C、若 t 一定， E k 、 E p 随 x 周期分布。
D、能量以速度 u 传播。
二、波的能流（描述波的能量传播的物理量）：
1)能流 — 单位时间内垂直通过某一截面的能量。
设波速为u ，在 时t 间内通过垂直于波速截面
E u t S
的Su能量:
S
ε为截面所在位置的能量密度。
能流为：
ut
P E u S uS 2 A2 sin2[(t x )]
cos(t
20
2
r2 )
在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。
y1( p, ty2 ( p, t )
A2
cos(t
20
2
r2 )
由叠加原理P 点合振动：
y y1 y2 Acos(t )
A A12 A22 2 A1 A2 cos
( 20
干涉减弱
r2 r1
(2n 1)
2
n 0,1,2,3,...
[例1]在同一媒质中相距为20m 的两平面简谐波源S1 和S2 作同方
向,同频率(ν=100Hz )的谐振动,振幅均为A=0.05m,点S1 为波峰时,点S2恰为波谷,波速u = 200m / s 。
求：两波源连线上因干涉而静止的各点位置.
y2
Acos[2 (t
20
x)]
因干涉而静止的点的条件为:
[2 (t x 20 ) ] 2 (t x ) (2n 1)
n 0,1,2,
化简上式,得:
x n 10
2
将 u 代2入m,可得:
x n 10(m)
所以在两波源的连线上因干涉而静止的点的位置分别为:
x 1,2,3,,17,18,19m
大学物理波函数
18
例1:已知描述粒子的归一化波函数为(t,x,y,z)，求在t时刻、 在x到x+dx的无限大薄层内发现粒子的概率。
( t,x ,y ,z ) d x d y d z 解: 体积元内的概率为
Ψ
2
7
4.用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 先看经典波： 声波的干涉
振幅矢量相加
i t A ( x ) e 通过上缝的声波用 描述 1 it )e 描述 2(x 通过下缝的声波用 A
A A ) e 双缝 齐开时的声波为 ( 1 2
i t
8
A A ) e 双缝 齐开时的声波为 ( 1 2
薛定谔方程
§15-1 §15-2 §15-3 §15-4 波函数及其统计诠释 薛定谔方程 力学量的算符表示和平均值 一维势阱和势垒问题
1
波函数的统计解释 一、波函数和概率波
二、物理对波函数的要求
三、自由粒子的波函数
2
一、波函数和概率波
1. 波函数
物质波波函数写成 ( r ,t )
2.玻恩（M.Born）假设 物质波不代表实在物理量的波动 而是刻划粒子在空间概率分布的概率波
10
•双缝齐开时 电子可通过上缝 也可通过下缝 通过上 下缝各有一定的概率 总概率幅
Ψ Ψ Ψ 12 1 2
2 12 2 2
21
| Ψ | | Ψ Ψ | 总概率密度 P 12 1
2 1 2 2
12
出现了干涉
干涉项
11
结论 1)干涉是概率波的干涉 是由于概率幅的线性叠加产生的 2)即使只有一个电子 当双缝齐开时
归一化条件
( r , t ) ( r , t ) d 1
波函数
写成分量形式
p(r )
i [ p•r]
Ae
px
( x) py ( y) pz
(z)
A e A e A e i [
px
x
]
i[
p
y
y
]
i[
pz
z
]
1
2
3
考虑一维积分
px * ( x, t )px ( x, t )dx
(
px
px )
1
2
e dx i (
p
x
px
)
x
e i [
2. 粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连
续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的 大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。
平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波 振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间， 这是没有意义的，与实验事实相矛盾。
电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增 加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚 集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。
事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子 （只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一 些量子现象。
波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀 了粒子的波动性的一面，具有片面性。
(ax) 1 ( x)
作代换：px x，px x0，则
|a|
f ( x) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )
(
px
波函数
波函数波函数是量子力学中用来描述粒子的德布罗意波的函数。
为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数，并用ψ表示。
一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即ψ=ψ(x，y，z，t)。
将爱因斯坦的“鬼场”和光子存在的概率之间的关系加以推广，玻恩假定就是粒子的概率密度，即在时刻t，在点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率。
波函数ψ因此就称为概率幅。
电子在屏上各个位置出现的概率密度并不是常数：有些地方出现的概率大，即出现干涉图样中的“亮条纹”；而有些地方出现的概率却可以为零，没有电子到达，显示“暗条纹”。
由此可见，在电子双缝干涉实验中观察到的，是大量事件所显示出来的一种概率分布，这正是玻恩对波函数物理意义的解释，即波函数模的平方对应于微观粒子在某处出现的概率密度(probability density)：即是说，微观粒子在各处出现的概率密度才具有明显的物理意义。
据此可以认为波函数所代表的是一种概率的波动。
这虽然只是人们目前对物质波所能做出的一种理解，然而波函数概念的形成正是量子力学完全摆脱经典观念、走向成熟的标志；波函数和概率密度，是构成量子力学理论的最基本的概念。
概率幅满足于迭加原理,即：ψ12=ψ1+ψ2（1.26）相应的概率分布为（1.27）波函数的数学表达[1]量子力学假设一：对于一个微观体系，他的任何一个状态都可以用一个坐标和时间的连续、单值、平方可积的函数Ψ来描述。
Ψ是体系的状态函数，它是所有粒子的坐标函数，也是时间函数。
（Ψ）Ψdτ为时刻t及在体积元dτ内出现的概率。
Ψ是归一化的：∫（Ψ）Ψdτ=1式中是对坐标的全部变化区域积分。
（注：（Ψ）指Ψ的共厄复数）[2]量子力学假设二：体系的任何一个可观测力学量A都可与一个线性算符对应，算符按以下规律构成：（1）坐标q和时间t对应的算符为用q和t来相乘。
（2）与q相关联的动量p的算符{p}=-i(h/(2π))(d/dq)(注：d指偏微分，以后不特别说明都指偏微分)（3）对任一力学量先用经典方法写成q,p,t的函数A=A(q,p,t)则对应的算符为：=A(q,-i(h/(2π))(d/dq),t)则：能量算符为：=-h^2/(8π^2m)△+V(其中△为拉普拉斯算符)△=d^2/dx^2+d^2/dy^2+d^2/dz^2(直角坐标)△=(1/r^2)d(r^2d/dr)/dr+(1/(r^2sinθ))d(sinθd/dθ)/dθ+(1/(r^2sin^2θ))d^2/dφ^2(球坐标)角动量算符：{L[x]}=-i(h/(2π))(yd/dz-zd/dy){L[y]}=-i(h/(2π))(zd/dx-xd/dz){L[z]}=-i(h/(2π))(xd/dy-yd/dx)^2={L[x]}^2+{L[y]}^2+{L[z]}^2[3]量子力学假设三：若某一力学量A的算符作用于某一状态函数ψ后，等于一常数a乘以ψ，即ψ=aψ则称力学量A对ψ描述的状态有确定的数值a。
波函数
的 能量应等于两个定态的能量差h： En Ek
反子，则吸收光子到高能级去。
31
（2）定态只能是这样的状态，电子饶核公转的动 量矩L等于 h 的整数倍。
2
L n h n n 1,2,3
2
玻尔从经典电磁理论和牛顿运动定律算出氢原子 的定态能量，从而得出氢原子所发的光的频率。
中的电子形成驻波.
28
§3 氢原子
一、原子光谱的实验定律
原子都会发光。原子发的光经过光谱仪后就形成 线状光谱。不同的原子，具有不同的线状光谱。 实验得知：每一种原子都有特定的一系列的光谱项，
个T1光,T谱2 ,项T3的,差。，它所发出的光的波数 ，就是两
Tn Tk n k
n为奇数时
nx A eiknx eiknx
n
2 A cos
kn x
A1
cos
x 2a21
n为偶数时
nx A eiknx eiknx
n
2iA sin kn x A2 sin 2a x
归一化（-a,a)的波函数
nx
1 cos n x
波函数。
d2x dt 2
2
x
0
x Acost
2y 1 2y x2 u2 t 2
y Acos 2 t x
8
当粒子的运动速度远小于光速时，能量E（对自由 粒子，就是动能）和动量P之间的关系：
E p2 2m
i 2 Et px
波函数
1
波函数
对于微观粒子，牛顿方程已不适用，粒子的位 置这一概念是毫无意义的。必需建立能描述微 观粒子运动的基本方程。
反子，则吸收光子到高能级去。
31
（2）定态只能是这样的状态，电子饶核公转的动 量矩L等于 h 的整数倍。
2
L n h n n 1,2,3
2
玻尔从经典电磁理论和牛顿运动定律算出氢原子 的定态能量，从而得出氢原子所发的光的频率。
中的电子形成驻波.
28
§3 氢原子
一、原子光谱的实验定律
原子都会发光。原子发的光经过光谱仪后就形成 线状光谱。不同的原子，具有不同的线状光谱。 实验得知：每一种原子都有特定的一系列的光谱项，
个T1光,T谱2 ,项T3的,差。，它所发出的光的波数 ，就是两
Tn Tk n k
n为奇数时
nx A eiknx eiknx
n
2 A cos
kn x
A1
cos
x 2a21
n为偶数时
nx A eiknx eiknx
n
2iA sin kn x A2 sin 2a x
归一化（-a,a)的波函数
nx
1 cos n x
波函数。
d2x dt 2
2
x
0
x Acost
2y 1 2y x2 u2 t 2
y Acos 2 t x
8
当粒子的运动速度远小于光速时，能量E（对自由 粒子，就是动能）和动量P之间的关系：
E p2 2m
i 2 Et px
波函数
1
波函数
对于微观粒子，牛顿方程已不适用，粒子的位 置这一概念是毫无意义的。必需建立能描述微 观粒子运动的基本方程。
波函数及其物理意义
12
i 1
i
P1
S
1 D 2
A B
W C 1 C 2 C1C2 ( 2 1 ) * * 相干项 W1 W2 C1C2 (1 2 21 )
2 1 * 1 2 2 * 2 * 1 * 2
当双缝同时打 P2 开时，一个电 子同时处在1 C11 C2 2 态和2态。双 2 2 处于两态的几率分别为：| C11 | , | C2 2 | 缝同时诱导的 双缝同时打开时，电子的几率分布为： 状态是它们的 2 线性组合态。 W | |
2 L 1 1 n 2 nx 4 ( x) dx sin dx sin L 0 L 4 2n 2
2
L 2 2 n n ( ) sin 4 L 4
n 1 其最大值对应于 sin 4
一维自由粒子的波函数可以写为：
( x, t ) Ae (r , t ) Ae
16
i ( Et px )
Ae
i i px Et
e
三维自由粒子的波函数可以写为：
i ( Et pr )
Ae
i i pr Et
e
Байду номын сангаас
可见，自由粒子的波函数所描述的是定态。
微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决定性规律。 牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨迹是已知的， 决定性的。 量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只 给出到达各点的统计分布；即只知道||2大的地方粒子出现 的可能性大，||2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出现 在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）。
在一维空间量，波函数写成 ( x, t ) 间里写成 (r , t ) 。
i 1
i
P1
S
1 D 2
A B
W C 1 C 2 C1C2 ( 2 1 ) * * 相干项 W1 W2 C1C2 (1 2 21 )
2 1 * 1 2 2 * 2 * 1 * 2
当双缝同时打 P2 开时，一个电 子同时处在1 C11 C2 2 态和2态。双 2 2 处于两态的几率分别为：| C11 | , | C2 2 | 缝同时诱导的 双缝同时打开时，电子的几率分布为： 状态是它们的 2 线性组合态。 W | |
2 L 1 1 n 2 nx 4 ( x) dx sin dx sin L 0 L 4 2n 2
2
L 2 2 n n ( ) sin 4 L 4
n 1 其最大值对应于 sin 4
一维自由粒子的波函数可以写为：
( x, t ) Ae (r , t ) Ae
16
i ( Et px )
Ae
i i px Et
e
三维自由粒子的波函数可以写为：
i ( Et pr )
Ae
i i pr Et
e
Байду номын сангаас
可见，自由粒子的波函数所描述的是定态。
微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决定性规律。 牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨迹是已知的， 决定性的。 量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只 给出到达各点的统计分布；即只知道||2大的地方粒子出现 的可能性大，||2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出现 在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）。
在一维空间量，波函数写成 ( x, t ) 间里写成 (r , t ) 。
波函数及其物理意义
4、波函数需要满足的条件
1). 波函数的单值、有限性、连续
根据波函数统计解释，在空间任何有限体积元中找到 粒子的几率必须为单值、有限、连续的
因为，粒子的几率在任何地方 ➢ 只能有一个值； ➢ 不可能无限大； ➢ 不可能在某处发生突变。
以上要求称为波函数的标准化条件
2). 波函数的归一性
rv,t
２ 波函数意义的统计解释：
空间某点波函数的强度（模的平方）和 在这点找到粒子的几率成比例．
| (x, y, z,t) |2 w(x, y, z,t) ３ 态函数定义：
物质波 又叫几率波
物质波的强度决定了粒子出现在空间各点的概率．即
已知
(r ,
t
)
,能定出粒子可能出现的空间坐标及其几率
可能坐标 (r1, r2 ,...rn ,...)
此观点 为实验 所否定
.
. ..
. . ..
.
一个个电子通过单缝，长时间积累也出现衍射效应
2 ) 粒子由波组成，是不同频率的波叠加而成的“波包”
此观点 为实验 所否定
单个电子不能形成衍射花样
介质中频率不同的波 u 不同，波包应发 散，但未见电子“发胖”
不同介质界面波应反射，折射，但 未见电子“碎片”
波函数的强度
e (r, t) A i/( prEt)
例：求一维自由粒子波函数的强度：
| (x,t) |2 *
三维自由粒子
e e
i(
0
i h
(
E
t
p
x
x
)
0
02
二 波函数的解释
关于粒子性和波动性如何统一的有关看法 （一）历史上两种错误看法 1) 波由粒子组成，波动性是粒子相互作用的次级效应
波函数及其统计解释
上述的解释是对处于同一状态的大量电子而言。
在实验中可以控制电子枪的电压，使发出的电子束的 强度十分微弱，以至电子是一个一个通过。假如时间不 长，则落在屏幕上的是一个个的点，而不是扩散开的衍 射图案。就这个意义而言，电子是粒子而不是扩展开的 波。
但时间一长，则感光点在屏幕上的分布显示衍射图样， 与强度较大的电子束在较短时间内得到的图样相同。可 以认为：尽管不能确定一个电子一定到达照相底片的什 么地方，但它到达衍射图样极大值的几率必定较大，而 到达衍射图样极小值的地方的几率必定较小，甚至为零。
在量子物理中，却将这种波方程的复数表示借用过来， 并不再取它的实部，而赋予它新的物理意义。即 用它表示微观客体的波粒子二象性，它就是波函数。
在量子力学中，粒子的状态用波函数来描写，根据薛 定谔方程得出波函数的变化规律。如果已知波函数，则 可由它求出所有描述粒子状态的物理量。
在量子物理中，波函数常用ψ(x,y,z,t)表示，它的最简 单的一个表示式为
3.3 波函数及其统计解释
一、波函数 二、波函数的统计解释 三、波函数的标准条件和归一化
一、波函数
在经典力学中，我们只要知道了质点的运动 方程及其初始条件，就可以知道它的确切位置 和动量。这种方法在宏观世界取得很大的成功， 但不能适用于具有波粒二象性的微观粒子。
量子力学原理之一：微观粒子的状态可用 波函数来描述。
在经典物理中，为了计算方便，常将波方程表示成 复数，如单色平面波
y( x, t) Acos(t kx)
表示为Y ( x, t ) Aei(tkx)
显然，y（x，t）等于Y（x，t）的实部，这样计算时 用Y（x，t），算完后再取它的实部，这样做在经典物 理中是为了计算的方便，在物理学中并无新意。
在实验中可以控制电子枪的电压，使发出的电子束的 强度十分微弱，以至电子是一个一个通过。假如时间不 长，则落在屏幕上的是一个个的点，而不是扩散开的衍 射图案。就这个意义而言，电子是粒子而不是扩展开的 波。
但时间一长，则感光点在屏幕上的分布显示衍射图样， 与强度较大的电子束在较短时间内得到的图样相同。可 以认为：尽管不能确定一个电子一定到达照相底片的什 么地方，但它到达衍射图样极大值的几率必定较大，而 到达衍射图样极小值的地方的几率必定较小，甚至为零。
在量子物理中，却将这种波方程的复数表示借用过来， 并不再取它的实部，而赋予它新的物理意义。即 用它表示微观客体的波粒子二象性，它就是波函数。
在量子力学中，粒子的状态用波函数来描写，根据薛 定谔方程得出波函数的变化规律。如果已知波函数，则 可由它求出所有描述粒子状态的物理量。
在量子物理中，波函数常用ψ(x,y,z,t)表示，它的最简 单的一个表示式为
3.3 波函数及其统计解释
一、波函数 二、波函数的统计解释 三、波函数的标准条件和归一化
一、波函数
在经典力学中，我们只要知道了质点的运动 方程及其初始条件，就可以知道它的确切位置 和动量。这种方法在宏观世界取得很大的成功， 但不能适用于具有波粒二象性的微观粒子。
量子力学原理之一：微观粒子的状态可用 波函数来描述。
在经典物理中，为了计算方便，常将波方程表示成 复数，如单色平面波
y( x, t) Acos(t kx)
表示为Y ( x, t ) Aei(tkx)
显然，y（x，t）等于Y（x，t）的实部，这样计算时 用Y（x，t），算完后再取它的实部，这样做在经典物 理中是为了计算的方便，在物理学中并无新意。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
结论: 结论:3)波函数所代表的波是几率波. 波函数所代表的波是几率波. 微观粒子出现在|Ψ 大的地方, Ψ 微观粒子出现在 Ψ|2大的地方,|Ψ|2小的 地方粒子出现少;粒子受波数所引导, 地方粒子出现少;粒子受波数所引导, 波函数按波的形式去分配粒子的出现的 几率. 几率. 例)求一个能量为E,动量为 的自由粒子的几率 求一个能量为 ,动量为P的自由粒子的几率 i 密度. 密度. ( EtPr ) 解: 波函数为 Ψ = Ψ e 0
∞→∞
因为粒子在全空间出现是必然事件
例1: 设粒子在一维空间运动,其状态可用波函 : 设粒子在一维空间运动, 数描述为: 数描述为:
ψ ( x, t ) = 0
( x ≤ b / 2), x ≤ b / 2)
其中A为任意常数, 和 均为确定的常数. 均为确定的常数 其中 为任意常数,E和b均为确定的常数. 为任意常数 归一化的波函数;几率密度W? 求:归一化的波函数;几率密度W? 解:由归一化条件,有: 由归一化条件,
nπ 其最大值对应于 sin = ±1 4
L 2 2 nπ ω n = Ψ ( ) = sin 4 L 4
,于是有: 于是有:
∴ n = 2(2k + 1)
π nπ = ( 2k + 1) (k = 0,1,2, ) 4 2
(k = 0,1,2, )
�
cos (
2
πx
b
)dx = 1
b ∴ A =1 2
2
∴ A =
2 b
由此可求出归一化的波函数和几率密度 几率密度为: 几率密度为:
W ( x, t ) = ψ 2 ( x, t ) = 0 ( x ≤ b / 2), x ≤ b / 2) 2 2 π x 2 W ( x, t ) = ψ ( x, t ) = cos ( ) ( b / 2 ≤ x ≤ b / 2) b b
常写成复数: 常写成复数:
Ψ=Ψe 0
1 ( EtPx)
Ψ=Ψe 0
当粒子沿着
1 ( EtPx)
Ψ=Ψe 0
其中: 其中:
方向传播时: r 方向传播时: 1
( EtPr )
=Ψe 0
1 [ Et( P x+P y+ pz z )] x y
r = xi + y + zk j
P = Pi + P + P k j x y Z
dW = Ψ dV = ΨΨdV
2
(Ψ 为Ψ共轭复数)
即粒子在空间出现的 Ψ dV
结论: 结论:2)波函数所描述的是处于相同条件 下,大量粒子的一次性行为和一个粒子多次 性重复性行为. 性重复性行为. 微观粒子遵循的是统计规律, 微观粒子遵循的是统计规律,而不是经典的决 定性规律. 定性规律.
如图所示, 如图所示,在区间 (b/2,b/2)以外找 以外找 不到粒子. 不到粒子.在x=0 处找到粒子的几率 最大. 最大.
ψ 2 ( x, t )
ψ ( x, t )
-b/2
o
b/2
x
例2: 已知一维无限深势阱中粒子的归一化定态 : 波函数为: 波函数为:
Ψn ( x) =
2 nπx sin (0 ≤ x ≤ L ) L l
(Ψ的 轭 数 共 复 ) = Ψ = const 无关. 且与位置 无关.在全空间粒子出现的几率一样
2 0
ρ = ΨΨ = Ψ0e
i ( EtPr )
Ψ e 0
i ( EtPr )
三)波函数的标准化条件
( ) 2)波函数是连续的 )
1)波函数具有有限性 W = )
∫∫∫ ΨΨ dV ≤1
V
从波动观点看来: 从波动观点看来:这种波只能是单色平面波
∵P = const ∵E = const E h 恒定! 恒定! ∴ = ν 恒定! 恒定! ∴λ = p h
X
从不确定关系来研究: 从不确定关系来研究:
∵P = const P = 0 x →∞
沿整个X轴传播 沿整个 轴传播
∵E = const E = 0 t →∞
式中: 为势阱宽度 为势阱宽度, 为量子数 为量子数( 式中:L为势阱宽度,n为量子数(n=1,2,…). , , L n :(1) 区间出现的几率; 求:( )粒子在0 ≤ x ≤ 区间出现的几率;并对 = 1 4 的情况算出概率值. 和 n = ∞ 的情况算出概率值. L 的量子态上, (2)在 n = ? 的量子态上,粒子在 x = ) 区 4 间出现的概率密度最大. 间出现的概率密度最大. L 解: 1)粒子在 0 ≤ x ≤ 区间出现的几率: ( ) 区间出现的几率: 4
U 粒子的观点 极大值
波动的观点
2 0 2
较多电子到达 波强度大, 或Ψ 大 波强度大, Ψ 2 2 波强度小, 极小值 较少电子到达 波强度小, 0 或Ψ 小 Ψ 2 2 统一地看: 统一地看:粒子出现的几率正比于 Ψ0 或Ψ 中间值 介于二者之间 波强介于二者之间
2)一个粒子多次重复性行为 )
∴Ψ r, t 在空间是有限函数
即在r处的几率密度 (r )与r + dr处 ρ
几率密度 (r + dr )只差一微量 ρ 3)波函数是单值的 ) 粒子在空间出现的几率只可能是一个值 4)满足归一化条件 (Narmulisation) ) )
(归一化条件) W = ∫∫∫ Ψ ΨdV =1 归一化条件)
U 较长时间以后 波动的观点 粒子的观点 2 2 波强度大, Ψ 较多电子到达 波强度大, 0 或Ψ 大
2 0 2 0 2
极大值 极小值
波强度小, 较少电子到达 波强度小, 或Ψ 小 Ψ 2 统一地看: 统一地看:粒子出现的几率正比于 Ψ 或Ψ 中间值 介于二者之间 波强介于二者之间
结论: 结论:1)某时刻空间某体元dv中出现粒子的几率 某时刻空间某体元dv中出现粒子的几率 dv 正比于该地点波函数模的平方和体积元 体积: 体积: dW ∝ Ψ 2 , ∝ dV 通常比例系数取1: 通常比例系数取
iE πx ψ ( x, t ) = A exp( t ) cos( ) ( b / 2 ≤ x ≤ b / 2) b
A∫
2
b / 2
∝
|ψ(x, t) | dx+ ∫ |ψ(x, t) | dx+ ∫ |ψ(x, t) | dx =1
2 2 2 b / 2 b/ 2
b/ 2
∝
即:
A
2
∫
b/2
b / 2
波列长为∞长. 波列长为∞ 结论:自由粒子的 结论:自由粒子的De Brglie波是单色平面波 波是单色平面波 其波函数为: 其波函数为:Ψ = Ψ Cos2 ( t ) πν 0 λ x E 依德布罗 Ψ = Ψ Cos2 ( t π ) 0 意关系式 h h/ p
x
E x Ψ = Ψ Cos2 ( t π ) 0 h h/ p 2 π = Ψ Cos (Et px) 0 h 1 = Ψ Cos (Et px) 0 1 = Ψ Cos[ (Et px)] 0
Wn = ∫
L 4 0
nπ 2 1 1 2 nπx Ψ ( x) dx = ∫ sin dx = sin L L 4 2πn 2
L 4 0
2
L (2)粒子在 x = ) 4
2
1 1 当 n = 1时 W1 = ≈ 9% 4 2π 1 当 n = ∞ 时 W∞ = = 25% 4
区间出现的概率密度为: 区间出现的概率密度为:
牛顿说:只要给出了初始条件,下一时刻粒 牛顿说:只要给出了初始条件, 子的轨迹是已知的,决定性的. 子的轨迹是已知的,决定性的. 量子力学说:波函数不给出粒子在什么时刻 量子力学说: 一定到达某点,只给出到达各点的统计分布; 一定到达某点,只给出到达各点的统计分布; 即只知道|Ψ 大的地方粒子出现的可能性大, 即只知道 Ψ|2大的地方粒子出现的可能性大, |Ψ|2小的地方几率小.一个粒子下一时刻出 Ψ 小的地方几率小. 现在什么地方, 现在什么地方,走什么路径是不知道的 非决定性的) (非决定性的)
注意:波函数一般要用复数表示! 注意:波函数一般要用复数表示!
二)波函数的统计铨释(波恩Born) 波函数的统计铨释(波恩Born) Born 代表什么? ψ代表什么?只有实践才是捡验真 理的标准,看电子的单缝衍射: 理的标准,看电子的单缝衍射: 1)大量电子的一次性行为: )大量电子的一次性行为:
波函数 (Wave Function) )
引言:德布罗意波到底是什么波? 引言:德布罗意波到底是什么波?开始认为是某 种场量,什么" 暂且不知,权用" 种场量,什么"场"暂且不知,权用"Ψ"表 称之为"波函数" 示,称之为"波函数" 一)自由粒子的波函数 设一自由粒子,不受外力作用, 设一自由粒子,不受外力作用,则粒子作匀速直 线运动(设沿X轴),其动量 能量保持恒定. 其动量, 线运动(设沿 轴),其动量,能量保持恒定.