1.3 正方形的性质与判定(1)
北师大版九年级数学1.3正方形的性质与判定(1)教案
学以致用
10.如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，CE.找出图中的全等三角形，并选择其中一对进行证明.
11.如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，则∠AEB=.
12.如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，则∠AEB=.
10.将两个图形组合成“具有公共对称轴”的图形后，利用对称性直观发现结论，再进行严密的逻辑推理。
新课引入
1.观察下列特殊的平行四边形，你能发现它们的共同特征吗？
2.通过学生的发现引导学生得出正方形的概念.
1.通过观察，发现共同特征，引入正方形的概念，并尽量进行规范描述；
2.明确概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
引入正方形的概念，明确正方形既是矩形，也是菱形，因此具有矩形和菱形的一切性质。
应用正方形的性质（对称性）解决问题。
能力提升
挑战自我
13.如图，正方形ABCD对角线交于点O，E、F分别为BC、CD边上的两个动点，且OE⊥OF.
（1）求证：△BOE≌△COF；
（2）求证：CE+CF= CO;
（3）若正方形边长为4，求四边形OECF的面积.
独立思考，合作交流，提出困惑或者解决问题的方法。
图形对称
数学之美
8.正方形有条对称轴，并在下图中画出.
9.已知，四边形ABCD为正方形
（1）若△BCE为等边三角形，下图是轴对称图形吗？若是，请画出其对称轴.
（2）点E是对称轴BD上一点，下图是轴对称图形吗？若是，请画出其对称轴.
8.画出正方形的4条对称轴；
9.分析并画出组合图形的对称轴。
探索正方形的对称性；结合所学的轴对称图形加以组合再进行对称性的辨析，为学生后期解决类似问题提供思路；为解决下一个环节中的问题作出铺垫。
1.3正方形的性质与判定第1课时教案
举例：通过对比矩形和正方形的性质，强调正方形的特殊性，如正方形的对角线相等，而矩形的对角线不一定相等。
2.教学难点
-理解正方形对角线性质的应用：学生往往难以理解正方形对角线互相垂直平分且相等这一性质的应用，如证明正方形对角线相等时，需要运用到垂直平分线的性质。
（2）正方形的判定：四边相等且四个角为直角的四边形是正方形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
本节课旨在让学生掌握正方形的性质与判定方法，并能运用所学知识解决实际问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.理解与运用：通过学习正方形的定义和性质，使学生能够理解正方形的特点，并运用这些性质解决实际问题，培养几何直观和空间想象能力。
最后，在总结回顾环节，学生对本节课的知识点有了较好的掌握，但仍有个别学生存在疑问。为了确保每位学生都能跟上教学进度，我决定在课后对这部分学生进行个别辅导，帮助他们解决困惑。
2.思维与发展：在教学过程中，引导学生通过观察、分析、归纳等思维活动，发现正方形的性质与判定方法，提高逻辑推理和抽象思维能力。
3.合作与交流：鼓励学生在小组合作中分享观点、讨论问题，培养团队协作能力和交流表达能力，增强几何图形的审美观念。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-正方形的定义及其性质：正方形作为特殊的矩形，其定义和性质是本节课的核心内容。重点包括四边相等、四角为直角、对边平行且相等、对角线互相垂直平分且相等等性质。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正方形的基本概念。正方形是一种四边相等且四个角均为直角的四边形。它在建筑、设计等领域具有广泛的应用。
正方形的性质与判定(一)
第三任务：引用书上的议一议，让学生解决“正方形有几条对称轴”
第四环节：性质应用
活动内容：①引用课本例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间又怎样的关系？请说明理由。
教 师 行 为
学 生 行 为
第一环节：课前准备
活动内容：搜集身边的矩形（提前布置）。
准备好数学常用的度量工具：直尺、量角器、圆规。
以合作小组为单位，开展调查活动：
各尽所能收集生活中应用的各种矩形图形。
学生搜集的图片或实物（部分）：
课时教学流程
教 师 行 为
学 生 行 为
第二环节：情境引入
活动内容：展示学生的成果，包括图片以及实物等各种学生能得到的“图形”。并让学生利用适当的度量工具，对搜集到的图形素材进行度量或者对素材进行适当的操作，并记录、整理数据。
②选用课本议一议进行阶段小结“平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流”
对通过自己的实践总结得到的关于正方形的性质能够熟练运用、解决具体问题。
学生养成阶段性回顾总结的习惯，使其逐渐养成良好的学习品质。同时又是对知识结构的再建过程，是学生丰富、重建自身认知结构的必要手段。
难点：体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想
教学方法
任务驱动法
使
用
教
材
构
想
学生对正方形比较熟悉，因此教学是可以直接观察正方形，引导他们抽象出其中的共同特征，从而引入正方形的定义。进儿通过用菱形定义正方形，用矩形定义正方形，引导学生思考正方形与矩形，菱形的关系，从而得出正方形具有的性质。
1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质(教案)2022秋九年级上册初三数学北师大版(安徽)
1.教学重点
-正方形性质的掌握：包括正方形的定义、四条边相等、四个角为直角、对角线互相垂直平分且相等、对边平行且相等等性质。
-性质的运用：能够运用正方形的性质解决具体问题，如求正方形对角线长度、面积等。
-逻辑推理能力培养：通过性质推导，培养学生严密的逻辑推理能力。
举例：在讲解正方形对角线性质时，重点强调对角线互相垂直平分且相等的特点，并通过实际例题演示如何应用这一性质求解相关问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正方形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正方形的基本概念。正方形是四边相等且四个角为直角的四边形。它在几何图形中具有特殊地位，因为具有多种图形的性质，如矩形、菱形等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析正方形的特点，了解它在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
同时，我也发现学生们在解决问题的过程中，对于正方形性质的运用还不够熟练。这说明我在教学过程中需要加强对重点难点的讲解和练习，让学生在实际操作中更好地掌握正方形性质。
最后，通过今天的课堂总结，我发现学生们对于正方形的应用有了更深入的认识。但在回顾环节，我没有给予学生充分的提问机会，这是我在以后的教学中需要改进的地方。我会更加关注学生的需求，给他们提供更多的思考和提问空间。
2.正方形的性质：
1.3正方形的性质与判定(1)
O
D
B
C
例2、如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E， 使CE=AC，连接AE，交CD于F，求∠E， ∠AFC的
度数. A D F B 练习：1、如图，正方形ABCD中，BE=BD，求∠E A E
C D
B
C
E
回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列
性质 分类 图形
平行四 边形
对边平行 且相等 对角相等 对角线互 相平分
）
×
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（
（6）正方形一定是矩形．（√ ） （7）正方形一定是菱形．（√ ） （8）菱形一定是正方形．（ ） （9）矩形一定是正方形．（ ） (10) 正 方 形 、 矩 形 、 菱 形 都 是 平 行 四 边 形． （√ ）
（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴(
⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
（ 正方形 ）
1.一个菱形的两条对角线的长分别为 4cm和8cm，求它的边长。 2.如果一个四边形是轴对称图形，而且 有两条互相垂直的对称轴，那么这个四 边形一定是菱形吗？为什么？ 3.一个菱形的周长是200cm，一条对角线长 60cm,求： 1）另一条对角线的长度； 2）菱形的面积.
根据图形所具有的性质,在下表中相应的空格里打“ √ ”
图形 性质 对边平行且相等 四边相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直 每条对角线平分一组对角 平行四边形 矩形 菱形 正方形
√
√
九数上册 1.3 正方形的性质与判定
这是老师的，你的呢？
练习提高
1：如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相 交于点O，图中有多少个等腰三角形？ 2：如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC 上一点，连接BF,DF。你能找出图中的全等 三角形吗？选择其中一对进行证明.
1：解：图中共有8个等腰三角形. 2：解：图中的全等三角形共有3对， 分别是△ADC与ABC, △FCD与FCB, △FAD与△FAB.
第一章 特殊平行四边形
第3节 正方形的性质与判定（一）
情境引入
看我们收获了什么？
看我们收获了什么？Fra bibliotek合作学习
第二类图形就是正方形，我们给出定义： 有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
议一议： （1）正方形是菱形吗? （2）你认为正方形有哪些性质？
从我们得到数据分析：正方形既是矩形 又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质.
选择△FAD≌△FAB证明，过程如下：
∵正方形ABCD, ∴AD=AB,∠DAF=∠BAF, 又∵AF=AF ∴△FAD≌△FAB.
课堂小结
1：正方形的性质：包括边、角、对角线以及 对称性. 2：将平行四边形、矩形、菱形、正方形之间 的联系. 3：建立起适合自己的知识结构并内化为自己 数学品质的一部分.
性质应用
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD 上一点，F为BC边延长线上一点，且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由. 解：BE=DF,且BE⊥DF. 理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四 条边都相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
1.3 正方形的性质与判定 初中数学北师大版九上授课课件
求证:AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO. A
D
分析：因为正方形具有矩形和菱形的所
O
有性质,所以结论易证. 证明：∵四边形ABCD是正方形,
B
C
∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.
∴AC=BD , AC⊥BD, AO=CO,BO=DO.
性质应用
例1：如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，
再由一个直角，得出是矩形；
最后由一组邻边相等可得正 方形；
450 C F
有一组邻边相等的矩形是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形
做一做
顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。
顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A H
A
H
E
DE
A
H
D
D
G
E
G
B F
GB C
F
C
正方形有什么性质？怎样判定一个四边形是正 方形？
想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？
矩形 正方形 菱形 平行四边形
归纳 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所 以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四 条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形 既是矩形，又是菱形.
又∵CE=CF,
∴△BCE≌△DCF.
B
∴BE=DF.
D E
C
F
(2)延长BE交DE于点M. ∵△BCE≌△DCF, ∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°, ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
1.3-1正方形的性质与判定
课题：1.3 正方形的性质与判定(1)教学目标：1．掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.3.通过观察、实验、归纳、类比获得数学猜想，发展学生的合情推理能力，进一步提高学生逻辑思维能力．教学重点与难点：重点：正方形的概念、性质及与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.难点：应用正方形的性质进行有关的论证和计算,提高学生的逻辑思维能力．课前准备：多媒体课件．教学过程:一、创设情境，导入新课活动内容：回答下列问题.问题1：回顾思考平行四边形、矩形、菱形的性质是什么？问题2：观察下列特殊的平行四边形,你能发现什么样的共同特征?问题3：这几个图形是矩形吗?是菱形吗?是否具有矩形,菱形的性质吗?332211处理方式：通过课件展示问题由学生口答，问题1给学生1分钟的思考时间，然后指定同学（重点检查学困生，中等生对回答问题进行补充）回答，问题2、3由学生集体回答，在同学回答时给予适时的引导，逐步引导学生向正方形的概念和性质方面思考。
设计意图：通过复习回顾旧知识，创设问题情境，引导在回答问题中感受知识学习的重要性，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，探索欲，同时让学生在回答问题的过程中不断的理解感知知识间的区别与联系．二、探究学习，感悟新知活动内容1：（多媒体出示）请同学们看课本第20页，完成以下探究问题，并与同伴交流．1．正方形的定义：有一组邻边,并且有一个角是的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质：(1)正方形既是,又是,因此它具有矩形与菱形的所有性质．(2)正方形四个角都,都等于．(3)正方形的对角线且互相．每条对角线都平分一组．(4)正方形即是对称图形,又是对称图形;它有条对称轴,分别是所在的直线和所在的直线;它的对称中心是．3．总结正方形的性质定理：（多媒体展示）（1）正方形的四个角都是直角，四条边相等（3）正方形的对角线相等且互相垂直平分.（补充说明：定理的证明可以让学生进行口述，教师适时的进行补充说明，不作为重点内容讲解）处理方式：学生在自学的基础上讨论交流，并完成问题探究,个别提问与学生之间互相补充,以达到问题的完整正确,教师适时点评，强调性质．设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主学习，合作探究，展示交流，让学生在解决问题的过程中，享受学习的快乐，享受收获的喜悦，逐步从感性的知识，发展成理性的感知．活动内容2：请同学看课本21页“议一议”思考：（1）平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系？（2）小组合作，用一个图形直观的表示他们之间的关系吗？并展示与其它小组共同分享．AB处理方式：在小组合作讨论交流,老师的指导下，让学生通过自己的归纳找到平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系，组员合作共同完成用图形直观的表示它们之间的关系，用投影仪展示他们的成果，通过学生展示后共同总结，并用多媒体课件出示．设计意图：通过合作交流，进一步培养学生的合作意识，同时通过知识总结让各环节的知识点融会贯通，加强学生对知识间相互联系的认识，提升学生的综合应用能力．活动内容3：知识巩固（多媒体展示） 1．正方形具有菱形不具有的性质是（ ）A ．对角线平分一组对角B ．对角线互相垂直C ．有4条对称轴D ．四条边都相等 2.（14•湘西州）下列说法中，正确的是（ ）A ．相等的角一定是对顶角B ．四个角都相等的四边形一定是正方形C ．平行四边形的对角线互相平分D ．矩形的对角线一定垂直3.（14▪株洲）已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°， ③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是 正方形，现有下列四种选法，其中错误的是A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④4．如图在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，图中有多少个等腰三角形？活动内容4：例题解析（多媒体出示例1）如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为延长线上一点，且CE=CF ，BE 与DF 之间有怎样的关系？请说明理由．ABF处理方式：先让学生认真看题，理解题意，找到题中的已知条件，理清解题思路，讨论交流，2分钟后让学生到黑板展示，其余学生在下面独立书写解题过程；老师结合学生的板书进行点评指导．设计意图：通过例题展示，让学生逐步学会对知识的应用，进一步理解正方形的性质，并学会应用正方形的性质解决有关实际的问题．活动内容5：知识巩固(多媒体展示) 1．对角线长为2cm 的正方形,边长是多少?2．如图，在正方形ABCD 中,点F 为对角线AC 上一点,连接BF ，DF ，你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明．3．如图，四边形ABCD 是正方形,△CBE 是等边三角形,求∠AEB 的度数.处理方式：让三名学生主动到黑板板演，拨．学生完成后及时点评，同时借助多媒体投影展示学生出现的普遍问题,进行矫正．设计意图：通过巩固练习加深对知识的理解与应用．第2题图第3题图三、回顾反思，提炼升华师：同学们，通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识． 四、达标检测，反馈提高师：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）A ．邻边相等B ． 四个角都是直角C ．对角线相等D ． 对角线互相平分2（14.来宾）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（ ）A ． 8B ．24C ．28D ． 16 3．（14．福州）如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．45︒B ．55︒C ．60︒D ．75︒ 4．（2014•鄂州）在平面内正方形ABCD 与正方形CEFH 如图放置，连DE ，BH ，两线交于M ．求证： （1）BH=DE ． （2）BH ⊥DE ．处理方式：学生独立完成，教师出示答案,根据学生的板书指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据自己的答案进行订正改错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．五、布置作业，课堂延伸必做题：助学第19页，知识梳理，范例导航；自主评价第1、2、3、4、7、9题 选做题：助学第20页，自主评价第5、6、8、10题第4题图板书设计：。