矩形、正方形的性质和判定(北师版)(含答案)

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2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1-3正方形的性质与判定》同步练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步练习题（附答案）一．选择题1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．四个角都是直角C．对角线互相垂直D．两组对边分别平行2．下列说法正确的是（）A．正方形既是矩形，又是菱形B．有一个内角是直角的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D．对角线互相垂直的四边形是菱形3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论正确的是（）A．当AB＝BC时，四边形ABCD是矩形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是矩形C．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形D．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是正方形4．在正方形ABCD中，BF平分∠DBC交CD于F点，则∠DBF的度数是（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°5．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且CE＝BF，AF、BE相交于点G，下列结论不正确的是（）A．AF＝BE B．AF⊥BEC．AG＝GE D．S△ABG＝S四边形CEGF6．如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（）A．∠AFP＝∠BPQB．EF∥QPC．四边形EFPQ是正方形D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半7．如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1．现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则AB的长可能为（）A．3.0B．2.5C．2.0D．1.58．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③AP＝EF；④EF的最小值为2．其中正确结论有几个（）A．1B．2C．3D．49．如图，在平面直角坐标系xOy中，P（4，4），A、B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，且△ABO的周长是8，则P到直线AB的距离是（）A．4B．3C．2.5D．210．如图四块同样大小的正方形纸片，围出一个菱形ABCD，一个小孩顺次在这四块纸片上轮流走动，每一步都踩在一块纸片的中心，则这个小孩走的路线所围成的图形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形二．填空题11．如图，已知阴影部分是一个正方形，AB＝4，∠B＝45°，则此正方形的面积为．12．添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是．13．如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是（只需添加一个即可）14．边长为4的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为．15．如图，正方形ABCD内部有一个等边△ABE，则∠DAE＝°．16．如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，点D的坐标是（2，3），则点B的坐标是．17．如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，连接AD，DE，DF，有下列结论：①四边形AEDF一定是平行四边形；②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形；④若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形．其中正确的有．（填序号）三．解答题18．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且AB＝4，CF＝1．（1）求AE，EF，AF的长；（2）求证：∠AEF＝90°．19．如图，在正方形ABCD中，PD＝QC，求证：PB＝AQ，BP⊥AQ．20．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交线段BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长．参考答案一．选择题1．解：∵正方形的性质为：对边平行且相等，四条边相等，四个角为直角，对角线互相垂直平分，相等，且每条对角线平分一组对角，矩形的性质为：对边平行且相等，四个角为直角，对角线互相平分，相等，∴正方形具有而矩形不一定具有的性质是：对角线互相垂直，故选：C．2．解：A．正方形既是矩形，又是菱形，正确，符合题意；B．有一个内角是直角的四边形是矩形，错误，不符合题意；C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误，不符合题意；D．对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，不符合题意．故选：A．3．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故本选项符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；故选：C．4．解：∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠DBC＝45°．∵BF平分∠DBC，∴∠DBF＝∠DBC＝22.5°．故选：B．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，∵BF＝CE，∴△ABF≌△BCE（SAS），∴AF＝BE，∠BAG＝∠CBE，∴选项A不符合题意；∵∠ABG+∠CBE＝∠ABC＝90°，∴∠BAG+∠ABG＝90°，∴∠AGB＝90°，∴AF⊥BE，∴选项B不符合题意；∵△ABF≌△BCE，∴S△ABF＝S△BCE，∴S△ABF﹣S△BFG＝S△BCE﹣S△BFG，∴S△ABG＝S四边形CEGF，∴选项D不符合题意；∵无法证明AG＝GE，∴选项C符合题意；故选：C．6．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝CE＝BQ＝AP，∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），∴EF＝FP＝PQ＝QE，∠AFP＝∠BPQ，故A选项正确，不符合题意；∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四边形EFPQ是菱形，∴EF∥PQ，故B选项正确，不符合题意；∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ，∵∠AFP+∠APF＝90°，∴∠APF+∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴四边形EFPQ是正方形．故C选项正确，不符合题意；∵四边形PQEF的面积＝EF2，四边形ABCD面积＝AB2，若四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半，则EF2＝AB2，即EF＝AB．若EF≠AB，则四边形PQEF的面积不是四边形ABCD面积的一半，故D选项不一定正确，符合题意．故选：D．7．解：∵由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1，∴该细铁丝的长度为4．∴AC+BC+AB＝4，∴AC+BC＝4﹣AB．∵AC+BC＞AB，∴4﹣AB＞AB，∴AB＜2．∴AB的长可能为1.5，故选：D．8．解：如图，连接PC，①∵正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，∴∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∠PDC＝∠DBC＝45°，AB＝BC＝CD＝AD＝4，又∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PEC＝∠PEB＝∠PFC＝∠PFD＝90°＝∠BCD，∴∠DPF＝∠PDF＝∠BPE＝∠DBC＝45°，∴PF＝DF，PE＝BE，即△PDF和△BPE均为等腰直角三角形，∴PD＝PF，∵∠PEC＝∠PFC＝∠BCD＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴CE＝PF＝DF，PE＝FC，∴PD＝CE，故①正确；②由①知：PE＝BE，且四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2（CE+BE）＝2BC＝2×4＝8，故②正确；③∵四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，在△ADP和△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP＝PC，∴AP＝EF，故③正确；④由③得：EF＝PC＝AP，∴当AP最小时，EF最小，∴当AP⊥BD时，垂线段最短，即AP＝BD＝2时，EF的最小值等于2；故④错误；综上，①②③正确．故选：C．9．解：方法一：如图，过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂直分别为C，D，设OB＝a，OA＝b，AB＝c，P到直线AB的距离是h，∵△ABO的周长是8，∴a+b+c＝8，∴a+b＝8﹣c，∴a2+2ab+b2＝64﹣16c+c2根据勾股定理得：a2+b2＝c2，∴ab＝32﹣8c，∵S△P AB＝4×4﹣ab﹣4（4﹣b）﹣4（4﹣a）＝2（a+b）﹣ab＝2（8﹣c）﹣（32﹣8c）＝16﹣2c﹣16+4c＝2c，∵S△P AB＝×c•h，∴2c＝×c•h，∴h＝4．∴P到直线AB的距离为4．方法二：如图，过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂直分别为C，D，∵P（4，4），∴四边形CODP是边长为4的正方形，∴PC＝PD＝OC＝OD＝4，∵A、B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，∴将△P A′D沿P A′折叠得到△P A′E，延长A′E交y轴于点B，∴∠P A′D＝∠P A′E，PE＝PD，A′D＝A′E，∠PDA′＝∠PEA′＝90°，∴PE＝PC，在Rt△PEB和Rt△PCB中，，∴Rt△PEB≌Rt△PCB（HL），∴BE＝BC，∵△A′BO的周长是8，∴A′O+BO+A′B＝A′O+BO+BE+A′E＝A′O+BO+BC+A′D＝CO+DO＝8，∴△A′BO符合题意中的△ABO，∴P到直线AB的距离PE＝4，故选：A．10．解：如图，根据题意，顺次连接四个正方形的中心，所构成的图形是正方形，所以这个小孩走的路线所围成的图形是正方形．故选：D．二．填空题11．解：∵阴影部分是一个正方形，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝＝＝2，∴正方形的面积为（2）2＝8，故答案为：8．12．解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．理由：∵四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形．或∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．13．解：条件为∠ABC＝90°或AC＝BD，理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°或AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：∠ABC＝90°或AC＝BD．14．解：过C作CD⊥AB交AB延长线与D，如图：∵∠CBD＝180﹣90°﹣60°＝30°，∠D＝90°，∴CD＝BC＝×4＝2，∴△ABC的面积为AB•CD＝×4×2＝4，故答案为：4．15．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∵△ABE是等边三角形，∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30．16．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD＝BC＝AB，∵点D的坐标是（2，3），∴AD＝CD＝BC＝3，OC＝2，∴OB＝1，∴点B的坐标是（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．17．解：①∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF为△ABC的中位线，∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；DF∥AB，且DF＝AB＝AE，∴四边形AEDF一定是平行四边形，故正确；②若∠BAC＝90°，则平行四边形AEDF是矩形，故正确；③若AD平分∠BAC，则∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，∴不能判定四边形AEDF是正方形，故错误；④若AD⊥BC，则AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴AE＝DE，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故正确．故答案为：①②④．三．解答题18．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵E为AB的中点，∴BE＝CE＝2，∴AE＝＝＝2，EF＝＝＝，AF＝＝＝5；（2）证明：∵AE2+EF2＝20+5＝25，AF2＝52＝25，∴AE2+EF2＝AF2，∴∠AEF＝90°．19．证明：由题意可得：AD＝AB＝BC＝DC，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠C＝90°，∵PD＝QC，∴AP＝DQ，在△ADQ和△BAP中，，∴△ADQ≌△BAP（SAS），∴BP＝AQ，∠APB＝∠AQD，∵∠DAQ+∠AQD＝90°，∴∠DAQ+∠APB＝90°，∴BP⊥AQ，∴BP＝AQ，BP⊥AQ．20．（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）解：如图2，在Rt△ABC中，AB＝2，∴AC＝AB＝4，∵CE＝2，∴AE＝4﹣2＝2，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，∴CG＝CE＝2．。

矩形正方形性质和判定

矩形、正方形的性质和判定（北师版） 2.111.(本小题 6 分) 下列说法，错误的是( ) A. 矩形的对边互相平行 B. 矩形的对角相等 2.(本小题 6 分) 矩形具有而平行四边形不具有的性质是(C. 矩形的对角线相等 ) D. 对角相等D. 矩形的对角线平分一组对角A. 对角线互相平分B. 邻角互补C. 对角线相等3.(本小题 6 分) 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC=8，∠AOD=120°，则 AB 的长为()34 ) )54.(本小题 6 分) 如图，在矩形 ABCD 中，若 AC=2AB，则∠AOB 的大小是(5.(本小题 6 分) 如图，在矩形 ABCD 中，DE⊥AC 于 E，∠EDC:∠EDA=1:3，且 AC=10，则 DE 的长度是(6.(本小题 7 分) 如图，矩形 ABCD 中，E 在 AD 上，且 EF⊥EC，EF=EC，AF=2，矩形的周长为 16，则 AE 的长是()7.(本小题 7 分) 已知，在等腰△ABC 中， AB=AC，分别延长 BA， CA 到 D， E 点，使 DA=AB， EA=CA，则四边形 BCDE 是( A. 任意四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 8.(本小题 7 分) 如图，已知∠A=∠B， AA1， PP1， BB1 均垂直于 A1B1， AA1=17， PP1=16， BB1=20， A1B1=12，则 AP+PB 等于())8 9.(本小题 7 分) 矩形、正方形、菱形的共同性质是( A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直10 ) C. 对角线互相平分11D. 每一条对角线平分一组对角10.(本小题 7 分) 如图，正方形 ABCD 内有两条相交线段 MN，EF，M，N，E，F 分别在边 AB，CD，AD，BC 上，MN 交 EF 于点 G．若 MN⊥EF，则 MN EF. A. B. C. D.11.(本小题 7 分) 如图，边长分别为 4 和 8 的两个正方形 ABCD 和 CEFG 并排放在一起，连接 BD 并延长交 EG 于点 T，交 FG 于点 P，则 GT=( )12.(本小题 7 分) 如图所示，两个边长都为 2 的正方形 ABCD 和 OPQR，如果 O 点正好是正方形 ABCD 的中心，而正方形 OPQR 可以绕 O 点旋转，那么它们重叠部分的面积为( )121313.(本小题 7 分) 如图，正方形 OABC 中，点 E，F 分别在 AB，BC 上，OD⊥EF 于 D，OA=OD，DE=2，BF=3．则正方形 AB CD 的边长为( )14.(本小题 7 分) 四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，能判定四边形是正方形的条件是( )A. AC=BD，AB=CD，AB∥CD C. AD∥BC，∠A=∠CB. AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D. AO=CO，BO=DO，AB=BC )15.( 如图，四边形 ABCD 中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形 ABCD 面积为 16，则 DE 的长为(。

13 正方形的性质及判定(备作业)-2021-2022学年九年级数学上(北师大版)(解析版)

1.3正方形的性质及判定一、单选题1．四边形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，下列能判定四边形ABCD 是正方形的是（） A ．,AB BC CD AD AC BD ====B ．,,AO CO BO DO AC BD ==⊥ C ．,AO BO CO DO AC BD ====D ．,AB BC AD CD == 【答案】A【解析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．解：A 、∵AB BC CD AD ===，∴四边形ABCD 是菱形，又∵AC BD =∴ABCD 是正方形，故A 选项能判定；B 、∵,AO CO BO DO ==，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AC BD ⊥，∴ABCD 是菱形，故B 选项不能判定；只能判定为菱形；C 、∵AO BO CO DO ===，∴四边形ABCD 是矩形，故C 选项不能判定；只能判定为矩形；D 、,AB BC AD CD ==，两组邻边相等，无法判定，故D 选项不能判定．故选A ．【点睛】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．2．如图，E 是正方形ABCD 的边BC 的延长线上一点，若CE=CA ，AE 交CD 于F ，则∠FAC 的度数是（）A ．22.5°B ．30°C ．45°D ．67.5°【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，∴∠E+∠∠FAC=∠ACB=45°，∵CE=CA，∴∠E=∠FAC，∴∠FAC=12∠ACB=22.5°．故选A．3．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【答案】B【解析】A、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD 是正方形，故此选项正确，不合题意．故选B．4．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（）A B．C1D．1【答案】B【解析】由正方形的性质和已知条件得出BC=CD=，∠BCD=90°，CE=CF=12，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长．解：∵正方形ABCD的面积为1，∴，∠BCD=90°．∵E、F分别是BC、CD的中点，∴CE=12BC=12，CF=12CD=12，∴CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∴正方形EFGH的周长=4EF=4×2=故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF 的长是解决问题的关键．5．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）．A ．对角线互相平分B ．对角线相等C ．对角线互相垂直D ．对角形互相垂直平分【答案】A【解析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．∵平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线互相平分∴选项A 正确；∵菱形的对角线不相等∴选项B 错误；∵矩形的对角线不相互垂直∴选项C 和D 错误；故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，从而完成求解．6．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且0BAE 22.5 ＝，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为A．1 B C．4-D．4【答案】C【解析】分析：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，∵∠BAE=22.5°，∴∠DAE=90°－∠BAE=90°－22.5°=67.5°．在△ADE中，∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠DAE=∠ADE．∴AD=DE=4．∵正方形的边长为4，∴BD=∴BE=BD－DE=4．∵EF⊥AB，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形．∴EF=22BE==422-．故选C．7．如图，点A（1，1），B（3，1），C（3，﹣1），D（1，﹣1）构成正方形ABCD，以AB为边做等边△ABE，则∠ADE和点E的坐标分别为（）A．15°和（2，B．75°和（2，1）C．15°和（2，75°和（21）D．15°和（2，1+75°和（2，1【答案】D【解析】分为两种情况：①当△ABE在正方形ABCD外时，过E作EM⊥AB于M，根据等边三角形性质求出AM、AE，根据勾股定理求出EM，即可得出E的坐标，求出∠EAD，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质即可求出∠ADE；②当等边△ABE在正方形ABCD内时，同法求出此时E的坐标，求出∠DAE，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质即可求出∠ADE．分为两种情况：①△ABE在正方形ABCD外时，如图，过E作EM⊥AB于M，∵等边三角形ABE，∴AE=AB=3﹣1=2，∴AM=1，由勾股定理得：AE2=AM2+EM2，∴22=12+EM2，∴EM∵A（1，1），∴E 的坐标是(21，，∵等边△ABE 和正方形ABCD ，∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，AD=AE ， ∴()11809060152ADE AED ∠=∠=︒-︒-︒=︒；②同理当△ABE 在正方形ABCD 内时，同法求出E 的坐标是()2,1，∵∠DAE=90°﹣60°=30°，AD=AE ， ∴()118030752ADE AED ∠=∠=︒-︒=︒；∴∠ADE 和点E 的坐标分别为15°，(21，，或75°，()2,1，故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形性质、勾股定理、等腰三角形性质、正方形性质、坐标与图形性质、三角形的内角和定理等知识点的运用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，有一定的难度，但题型较好，注意要分类讨论．8．如图，正方形ABCD 中，AB=6，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 对折至△AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是 ( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】C【解析】连接AE,根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE,在直角△ECG中，根据勾股定理求出DE的长.连接AE，∵AB=AD=AF,∠D=∠AFE=90°，由折叠的性质得：Rt△ABG≌Rt△AFG，在△AFE和△ADE中，∵AE=AE，AD=AF，∠D=∠AFE，∴Rt△AFE≌Rt△ADE，∴EF=DE，设DE=FE=x，则CG=3，EC=6−x.在直角△ECG中，根据勾股定理，得：(6−x)2+9=(x+3)2，解得x=2.则DE=2.【点睛】熟练掌握翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定与性质是本题的解题关键.9．如图，在正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在线段DE 上，若AB AF =，则BFE ∠=（）A ．45°B ．30°C ．60°D ．55°【答案】A【解析】由正方形的性质再结合已知条件可证△ABF 和△ADF 是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质，四边形内角和为360°和三角形内角和定理即可解答.∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90BAD ︒∠=，∵AB AF =，∴AF AD =，∴ABF ∆和ADF ∆都是等腰三角形，∴12∠=∠，34∠=∠．∵1234360BAD ︒∠+∠+∠+∠+∠=，∴2223270︒∠+∠=，∴23135︒∠+∠=，∴18013545BFE ︒︒︒∠=-=．故选A ．【点睛】此题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键在于掌握各性质定理.10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，CH┴AF与点H，那么CH的长是（）A B C D【答案】D【解析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，最后由直角三角形面积的两种表示法即可求得CH的长.如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，==，∵CH⊥AF，∴1122AC CF AF CH⋅=⋅，12CH=⨯，∴.故选D.【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理及直角三角形的面积，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．11．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=14BC,③OD=12BF,④∠CHF=45°．正确结论的个数为( )A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】根据已知对各个结论进行分析，从而确定正确的个数．①作EN ⊥BD 于N ，连接EF ，由全等三角形的判定定理可得△DNE ≌等腰直角△ECF ，再由平行线的性质得出OH 是△DBF 的中位线即可得出结论；②根据OH 是△BFD 的中位线，得出GH=12CF ，由GH ＜14BC ，可得出结论；③由OH 是△BFD 的中位线，BE 平分∠DBC ，由三角形全等得出BD=BF,即可得出结论．④根据四边形ABCD 是正方形，BE 是∠DBC 的平分线可求出Rt △BCE ≌Rt △DCF ，再由∠EBC=22.5°即可求出结论；作EN ⊥BD 于N ，连接EF ．①∵BE 平分∠DBC ∴EC=EN ∴等腰直角△DNE ≌等腰直角△ECF ，DE=FE ∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°∴∠HFE= 22.5°，∴∠EHF=180°-67.5°-22.5°=90°∵DH=HF ∴OH 是△DBF的中位线∴OH ∥BF ，故①正确；②根据OH 是△BFD 的中位线，得出GH=12CF ，由GH ＜14BC ，故②错误；③由OH 是△BFD 的中位线，BE 平分∠DBC ，由三角形全等得出BD=BF,∵OD=12BD,∴OD=12BF ；④∠HCF=90°-22.5°=67.5°HFC=45°+22.5°=67.5°，∠CHF=45°故选B.【点睛】解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．12．如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且2CE DE =．将ADE 沿AE 对折至AFE △，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①ABG AFG △≌△；②BG GC =；③//AG CF ；④3FGC S =．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由正方形和折叠的性质得出AF ＝AB ，∠B ＝∠AFG ＝90°，由HL 即可证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ，得出①正确；设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，由勾股定理求出x ＝3，得出②正确；由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB ＝∠FCG ，证出平行线，得出③正确；根据三角形的特点及面积公式求出△FGC 的面积,即可求证④．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝DC ＝6，∠B ＝D ＝90°，∵CD ＝3DE ，∴DE ＝2，∵△ADE 沿AE 折叠得到△AFE ，∴DE ＝EF ＝2，AD ＝AF ，∠D ＝∠AFE ＝∠AFG ＝90°，∴AF ＝AB ，∵在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，AG AG AB AF=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），∴①正确；∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ，∴BG ＝FG ，∠AGB ＝∠AGF ，设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，在Rt △ECG 中，由勾股定理得：CG 2＋CE 2＝EG 2，∵CG ＝6−x ，CE ＝4，EG ＝x ＋2∴（6−x ）2＋42＝（x ＋2）2解得：x ＝3，∴BG＝GF＝CG＝3，∴②正确；∵CG＝GF，∴∠CFG＝∠FCG，∵∠BGF＝∠CFG＋∠FCG，又∵∠BGF＝∠AGB＋∠AGF，∴∠CFG＋∠FCG＝∠AGB＋∠AGF，∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG，∴∠AGB＝∠FCG，∴AG∥CF，∴③正确；∵△CFG和△CEG中，分别把FG和GE看作底边，则这两个三角形的高相同．∴35CFGCEGS FGS GE==，∵S△GCE＝12×3×4＝6，∴S△CFG＝35×6＝185，∴④不正确；正确的结论有3个，故选：C．二、填空题13．在四边形ABCD 中，90A ︒∠=，AB BC CD ==，试补充一个条件__________，使四边形ABCD 是正方形．【答案】//AB CD （答案不唯一）【解析】根据平行四边形的判定定理、菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．解：补充条件：//AB CD ；证明：∵在四边形ABCD 中，AB =CD ，//AB CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AB =BC ，∴ABCD 是菱形，∵90A ︒∠=∴菱形ABCD 是正方形，故答案为//AB CD .【点睛】解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形．14．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边DCE ，则AEC ∠的度数是__________．【答案】45︒【解析】先求出AED ∠的度数，即可求出AEC ∠.解：由题意可得，,90,60AD DC DE ADC EDC DEC ︒︒==∠=∠=∠=，,150AD DE ADE ADC EDC ︒=∠=∠+∠=180150152AED DAE ︒︒︒-∴∠=∠== 45AEC CED AED ︒∴∠=∠-∠=故答案为45︒【点睛】本题考查了等腰与等边三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，等边三角行的三条边都相等，三个角都相等，灵活应用等腰及等边三角形的性质是解题的关键.15．如图，正方形ABCD 中，CE ⊥MN ，若∠MCE=35°，则∠ANM 的度数是_____.【答案】55°【解析】过N 作NP BC ⊥于P ，则NP DC =，易证BEC PMN ≅，即可得MCE PNM ∠=∠，根据直角三角形内角和为180︒即可求得90ANM MCE ∠=︒-∠.过N 作NP BC ⊥于P ，则NP DC =，90MCE NMC ∠+∠=︒，90MNP NMC ∠+∠=︒，∴MCE MNP ∠=∠，在MNP △和ECB 中，MNP MCE NP CB NPM CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BEC PMN ≅，∴MCE PNM ∠=∠，∴9055ANM MCE ∠=︒-∠=︒，故答案为：55︒.【点睛】本题考查了正方形各边长、各内角相等的性质，考查了全等三角形的判定和全等三角形对应角相等的性质，本题中证明BEC PMN ≅是解题的关键.16．如图，点E 为正方形ABCD 外一点，AE=AD ，∠ADE=75°，则∠AEB= _________°.,【答案】30【解析】根据等腰三角形的性质求出DAE ∠，然后求出BAE ∠的度数，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解.AE AD =，75ADE ∠=︒，∴180218027530DAE DAE ∠=︒-∠=︒-⨯︒=︒，∴9030120BAE BAD DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，AB AD =，∴AB AE =，∴()()111801*********AEB BAE ∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒. 故答案为：30.【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.17．如图，正方形ABCD 的边长为4，H 在CD 的延长线上，四边形CEFH 也为正方形，则DBF 的面积为______．【答案】8【解析】设EC=a ，利用DBF 的面积为：BEF ABD HDF ABCD HCEF S S S S S 正方形正方形+---，进而得出答案．设EC a =，则DBF 的面积为：BEF ABD HDF ABCD HCEF S S S S S 正方形正方形+---()()2221114a a 4a 4a a 48222=+-⨯⨯+-⨯-⨯⨯-=．故答案为8．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确表示出三角形面积，利用数形结合是解题关键．18．如图，正方形ABCD 中，AB=2，点E 为BC 边上的一个动点，连接AE ，作∠EAF=45°，交CD 边于点F ，连接EF.若设BE=x ，则△CEF 的周长为______.【答案】4【解析】先根据正方形的性质得AB AD =，90BAD B ==︒∠∠，把ADF 绕点A 顺时针旋转90︒可得到ABG △，接着利用“SAS ”证明EAG EAF ≅，得到EG EF BE DF ==+，然后利用三角形周长的定义得到CEF △的周长CE CF BE DF CB CD =+++=+，由此即可解决问题. 四边形ABCD 为正方形，∴AB AD =，90BAD B ==︒∠∠，∴把ADF 绕点A 顺时针旋转90︒可得到ABG △，∴AG AF =，BG DF =，90GAF ∠=︒，90ABG B ∠=∠=︒，∴点G 在CB 的延长线上，45EAF ∠=︒，∴45EAG GAF EAF ∠=∠-∠=︒，∴EAG EAF ∠=∠，在EAG △和EAF 中，AE AE EAG EAF AG AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴EAG EAF ≅（SAS ），∴EG EF =，而EG BE BG BE DF =+=+，∴EF BE DF =+，∴CEF △的周长224CE CF BE DF CB CD =+++=+=+=.故答案为：4.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.19．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE=CF ；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF ；④S 正方形ABCD =2．其中正确的序号是_____（把你认为正确的都填上）．【答案】①②④分析：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ．∵△AEF 是等边三角形，∴AE=AF ．∵在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AB=AD ，AE=AF ，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ）．∴BE=DF ．∵BC=DC ，∴BC ﹣BE=CD ﹣DF ．∴CE=CF ．∴①说法正确．∵CE=CF ，∴△ECF 是等腰直角三角形．∴∠CEF=45°．∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°．∴②说法正确．如图，连接AC ，交EF 于G 点，∴AC ⊥EF ，且AC 平分EF ．∵∠CAD≠∠DAF ，∴DF≠FG ．∴BE+DF≠EF ．∴③说法错误．∵EF=2，∴设正方形的边长为a ，在Rt △ADF 中，(22a a 4+=，解得a =，∴2a 2=．∴ABCD S 2=正方形∴④说法正确．综上所述，正确的序号是①②④．20．如图，边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的正方形BEFG 排放在一起，O 1和O 2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为__，线段O 1O 2的长为__．【答案】14ab 如图，∵O 1和O 2分别是两个正方形的中心，正方形ABCD 的边长为a ，正方形BEFG 的边长为b ，∴BO 1=2a ，BO 2=2，∠CBO 1=∠CBO 2=45°，∴∠O1BO 2=90°，∴S 阴影=S △O1O2B =1124ab =，O 1O 2=故答案为：（1）14ab ；（2）21．四边形ABCD 、四边形AEFG 都是正方形，当正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45°（45BAE ∠=︒）时，如图，连接DG ，BE ，并延长BE 交DG 于点H ，且BH DG ⊥．若4AB =，AE =BH 的长是________．【答案】5【解析】如图（见解析），先根据正方形的性质可得1,3GN DN ==，再根据勾股定理可得DG =形全等的判定定理与性质可得BE DG ==最后利用等面积法求出5HE =，据此利用线段的和差即可得出答案．如图，连接GE 交AD 于点N ，连接DE ，∵正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45︒()45BAE ∠=︒，∴AF 与EG 互相垂直平分，且AF 在AD 上，∵四边形AEFG 是正方形，AE =，∴AG AE =，1AN GN ==，2EG =，45DAG ∠=︒，四边形ABCD 是正方形，4AB =，4AD AB ∴==，∴413DN AD AN =-=-=，在Rt DNG中，DG =，在ABE △和ADG 中，45AB AD BAE DAG AE AG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABE ADG SAS ∴≅，∴BE DG == ∵1122DEG S EG DN DG HE =⋅=⋅，即112322⨯⨯=，∴HE =，∴55BH HE BE =+=+=，．【点睛】本题考查了正方形的旋转问题与性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．22．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点A ，先分别过此正方形的顶点B 、D 作BE l ⊥于点E 、DF l ⊥于点F ．然后再以正方形对角线的交点O 为端点，引两条相互垂直的射线分别与AD ，CD 交于G ，H 两点．若EF =2ABE S ∆=，则线段GH 长度的最小值是___．【解析】根据正方形的性质可得AB AD =，90BAD ∠=︒，然后利用同角的余角相等求出BAE ADF ∠=∠，再利用“角角边”证明ABE ∆和DAF ∆全等，根据全等三角形对应边相等可得BE AF =，设AE x =，BE y =，然后列出方程组求出x 、y 的值，再利用勾股定理列式求出正方形的边长AB ，根据正方形的对角线平分一组对角可得45OAG ODH ∠=∠=︒，根据同角的余角相等求出AOG DOH ∠=∠，然后利用“角边角”证明AOG ∆和DOH ∆全等，根据全等三角形对应边相等可得OG OH =，判断出OGH ∆是等腰直角三角形，再根据垂线段最短和等腰直角三角形的性质可得OH CD ⊥时GH 最短，然后求解即可．在正方形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒， 90BAE DAF ∴∠+∠=︒，DF l ⊥，90DAF ADF ∴∠+∠=︒，BAE ADF ∴∠=∠，在ABE ∆和DAF ∆中，90AFD BEA AB AD ⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABE DAF AAS ∴∆≅∆，BE AF ∴=，设AE x =，BE y =，2EF =2ABE S ∆=，∴122x y xy ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，消掉y并整理得，240x -+=，解得11x =，21x ，当11x =，11y ，当21x，21y ，∴由勾股定理得，AB ，在正方形ABCD 中，45OAG ODH ∠=∠=︒，OA OD =，90AOD ∠=︒，90AOG DOG ∴∠+∠=︒，OG OH ⊥，90DOH DOG ∴∠+∠=︒，AOG DOH ∴∠=∠，在AOG ∆和DOH ∆中，OA ODOAG ODH ⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOG DOH ASA ∴∆≅∆，OG OH ∴=，OGH ∴∆是等腰直角三角形，由垂线段最短可得，OH CD ⊥时OH 最短，GH 也最短，此时，GH=【点睛】考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于多次证明三角形全等并判断出GH 长度最小时的情况．三、解答题23．正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数．【答案】45°【解析】延长EB 使得BG=DF ，易证△ABG ≌△ADF （SAS ）可得AF=AG ，进而求证△AEG ≌△AEF 可得∠EAG=∠EAF ，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题．解：如图，延长EB 到点G ，使得BG DF =，连接AG ．在正方形ABCD 中，90D ABC ∠=∠=︒，AB AD =，90ABG ADF ∴∠=∠=︒．在ABG 和ADF 中，AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABG ADF SAS ∴≌，DAF BAG ∴∠=∠，AF AG =．又EF DF BE BG BE EG =+=+=，∴在AEG △和AEF 中，AE AE GE FE AG AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()AEG AEF SSS ∴≌，EAG EAF ∴∠=∠．90DAF EAF BAE ∠+∠+∠=︒，90BAG EAF BAE ∴∠+∠+∠=︒，90EAG EAF ∴∠+∠=︒，45EAF ∴∠=︒．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解决此题的关键． 24．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为,AD BC 边上的点，若2,4,90AG BF GEF ==∠=︒，求GF 的长．【答案】6GF =【解析】延长GE 交CB 的延长线于M ．只要证明△AEG ≌△BEM ，推出AG=CM=2，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题．如图，延长GE 交CB 的延长线于M ．∵四边形ABCD 是正方形，∴//AD CM ，∴∠=∠AGE M ．在AEG △和BEM △中，,,,AGE M AEG MEB AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ≌AEG BEM ， ∴,2===GE EM AG BM ．又∵EF MG ⊥，∴FG FM =．∵4BF =，∴426=+=+=MF BF BM ，∴6==GF FM ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 25．如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE ＝CE ．【答案】见解析【解析】先证明△ABE ≌△CBE ，再利用全等三角形的性质，可以得到AE ＝CE ．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBE ，在△ABE 和△CBE 中，AB CB ABE CBE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBE （SAS ），∴AE＝CE．【点睛】本题利用了全等三角形的判定和性质，以及正方形的性质．26．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OE、OF．当AB 与BC满足___________条件时，四边形AEOF正方形．【答案】垂直，证明见解析．【解析】由菱形的性质得出AB=BC=DC=AD，由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF，OF=12DC，OE=12BC，OE∥BC，可得AE=OE=OF=AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO=90°，四边形AEOF是正方形．证明：：当AB⊥BC 时，四边形AEOF正方形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=DC=AD，∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，∴AE=BE=DF=AF，OF=12DC，OE=12BC，OE∥BC，AE=OE=OF=AF，∴四边形AEOF是菱形，∵AB ⊥BC ，OE ∥BC ，∴OE ⊥AB ，∴∠AEO=90°，∴四边形AEOF 是正方形．故答案：垂直．【点睛】本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．27．如图，点P 是边长为4的正方形ABCD 对角线AC 上一点(P 不同A 、C 重合)，点E 在线段BC 上，且PE PB =.(1)若1AP =，求CE 的长；(2)求证：PE PD ⊥.【答案】(1)CE=4(2)证明见解析.【解析】（1）过点P 作GF AB ∥，得出FC 、BF 的长度以及BF FE =，=CE BC BE BF FC BE =-+- （2）证明()PGD EFP SAS ≌，得出132390∠+∠=∠+∠=°，得出90DPE ∠=︒，从而证明PE PD⊥(1)【解】过点P 作GF AB ∥，分别交AD BC ，于点G F ，，如图所示.∵四边形ABCD 是正方形，∴四边形ABFG 和四边形GFCD 都是矩形， AGP 和PFC △都是等腰直角三角形又∵14AP AD ==，，∴2GP AG BF ===，42GD FC FP ===-又∵PB PE PF BE =⊥，.∴BF FE =，∴4242CE =-⨯=(2)【证明】由(1)得在△PGD 和EFP △中，∴90GD FP PGD EFP PG EF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴()PGD EFP SAS ≌，∴12∠=∠.∴132390∠+∠=∠+∠=°，∴90DPE ∠=︒，∴PE PD ⊥.【点睛】本题考察了辅助线的应用、勾股定理的运用、全等三角形的证明以及垂直的概念，运用好辅助线是解题的关键28．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DF、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【答案】（1）FG⊥E D，理由详见解析；（2）详见解析【解析】（1）由旋转及平移的性质可得到∠DEB+∠GFE=90°，可得出结论；（2）由旋转和平移的性质可得BE=CB，CG∥BE，从而可证明四边形CBEG是矩形，再结合CB=BE可证明四边形CBEG是正方形．（1）FG⊥E D．理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，∴∠DEB=∠ACB，∵把△ABC沿射线平移至△FEG，∴∠GFE=∠A，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠DEB+∠GFE=90°，∴∠FHE=90°，∴FG ⊥ED ；（2）根据旋转和平移可得∠GEF =90°，∠CBE =90°，CG ∥EB ，CB =BE ，∵CG ∥EB ，∴∠BCG =∠CBE =90°，∴∠BCG =90°，∴四边形BCGE 是矩形，∵CB =BE ，∴四边形CBEG 是正方形．【点睛】本题主要考查旋转和平移的性质，掌握旋转和平移的性质是解题的关键，即旋转或平移前后，对应角、对应边都相等．29．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE ，过点A 作AG ED ⊥交DE 于点F ，交CD 于点G ．（1）证明：ADG DCE ∆∆≌；（2）连接BF ，证明：AB FB ＝．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG=∠C=90°，AD=DC ，∠DAG=∠CDE ，即可得出△ADG ≌△DCE ；（2）延长DE 交AB 的延长线于H ，根据△DCE ≌△HBE ，即可得出B 是AH 的中点，进而得到AB=FB ．证明：（1）四边形ABCD 是正方形，90ADG C AD DC ︒∴∠∠＝＝，＝，又AG DE ⊥，90DAG ADF CDE ADF ︒∴∠+∠∠+∠＝＝，DAG CDE ∴∠∠＝，ADG DCE ASA ∴∆∆≌（）（2）如图所示，延长DE 交AB 的延长线于H ，E 是BC 的中点，BE CE ∴＝，又90C HBE DEC HEB ︒∠∠∠∠＝＝，＝，DCE HBE ASA ∴∆∆≌（）， BH DC AB ∴＝＝，即B 是AH 的中点，又90AFH ︒∠＝，Rt AFH ∴∆中，12BF AH AB ＝＝．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．30．如图，正方形ABCD 的对角线交于点O 点E ，F 分别在AB ，BC 上（AE BE <）且90EOF ∠=︒，OE ，DA 的延长线交于点M ，OF ，AB 的延长线交于点N ，连接MN .（1）求证：OM ON =.（2）若正方形ABCD 的边长为4，E 为OM 的中点，求MN 的长.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证△OAM ≌△OBN 即可得；（2）作OH ⊥AD ，由正方形的边长为4且E 为OM 的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2由直角三角形性质知．（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴OA=OB ，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON ，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM=ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH=HA=2，∵E为OM的中点，∴HM=4，则∴．【点睛】本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质．31．如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗．如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析．解：(1)∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA，又∵AM⊥BE，∴∠MEA＋∠MAE＝90°＝∠AFO＋∠MAE∴∠MEA＝∠AFO，∴Rt△BOE≌ Rt△AOF∴OE＝OF(2)OE＝OF成立∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA又∵AM⊥BE，∴∠F＋∠MBF＝90°＝∠E＋∠OBE又∵∠MBF＝∠OBE∴∠F＝∠E∴Rt△BOE≌Rt△AOF∴OE＝OF32．在正方形ABCD中，E是CD边上一点，（1）将ADE 绕点A 按顺时针方向旋转。

北师版九年级数学上册第1章2矩形的性质与判定

称
性是中心对称图形，对称中心是对角线
的交点
矩形的任意一条对角线都把矩形分成两个全等的直角三角形，
如Rt △ ADB ≌Rt△CBD，Rt△ ABC ≌Rt △ CDA.
2.矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，
并且相对的两个等腰三角形全等，如S△ AOB=S △ AOD=
解题秘方：紧扣矩形定义的“两个条件”进行证明.
解题通法：根据矩形的定义判定矩形的方法
知1－练
知1－练
证明：∵ O 为AB 的中点，∴ OB=OA. 又∵ OE=OD，∴四边形AEBD 是平行四边形. ∵ AB=AC，AD 是△ABC 的角平分线，∴ AD⊥ BC. ∴∠ ADB=90°. ∴四边形AEBD 是矩形.
AB∥CD，AD∥BC AB=CD，AD=BC
角
矩形的四个角都是直角
∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ DAB= ∠ DCB= ∠ ADC=∠ ABC =90°
知2－讲
图形
性质
数学表达式
对角线
矩形的对角 ∵四边形ABCD 是矩形，
线相等
∴ AC=BD
对
是轴对称图形，它有两条对称轴，过每组对边中点的直线是其对称轴
第一章特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定
1 课时讲解矩形的定义
矩形的性质直角三角形斜边上中线的性质
2 课时流程矩形的判定
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
知识点 1 矩形的定义
定义
有一个角是直角的平行四边形叫做
矩形
图示
知1－讲
数学表达式 ∵在ABCD 中，∠ A=90°(或∠ B=90° 或∠ C=90°或∠ D=90°)，∴ ABCD 是矩形

北师大版九年级数学上册第一章菱形, 矩形、正方形案

第 1 页共 4 页矩形. 菱形, 正方形练习四边形的演变图基本知识点一、矩形1、矩形的概念:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形 3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 4、矩形的面积： S 矩形=长×宽=ab 1、填空题（1）如图4－41，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，①图中有_____个等腰三角形，有_____个直角三角形；②若∠CAB =30°，则两条对角线相交所成的四个角分别为______.图4—41（2）直角三角形中，两条直角边长分别是12和5，则斜边中线长是_____.（3）两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是_____. （4）矩形的两条对角线所夹的锐角为60°，一条对角线与短边的和为15，则对角线长是_____，短边的长是_____.（5）菱形的面积为24 cm 2，一条对角线的长为6 cm ，则另一条对角线长为_____cm ，边长为_____cm ，高为_____cm.（6）如图4－42，菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，∠ABC =3∠A ，且DE =5 cm ，则AB=_____.（7）在矩形ABCD 中，E 为AD 边上一点，且BE 平分∠ABC ，BE =BC ，则∠CED =_____度.3.如图，四边形ABCD 是矩形，四边形AECF 是菱形，若AB =2 cm ，BC =4 cm ，求四边形AECF 的面积.4.如图，已知O 是矩形ABCD 的对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥B D.求证：OE ⊥D C.5.如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE ⊥BD 于E .（1）若BE =41BD ，OF ⊥BC 于F ，又OF =2 cm ，求BD 的长；（2）若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，求∠CAE 的度数.正方形菱形矩形平行四边形四边形DDCBABCDCBDCBA CBDA A6.已知：如图，从菱形ABCD对角线的交点O分别向各边引垂线，垂足分别是E、F、G、H. 求证：四边形EFGH是矩形.7.如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE=DC，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.二、菱形1、菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半范例讲评1.已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为5cm，求菱形各个角的度数2.已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为5：4，求菱形的各内角的度数．3.已知，如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF＝60°.∠BAE＝18°，求∠CEF的度数．4.如图，已知菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm，求菱形的高．5.已知菱形ABCD的边长为2 cm,∠BAD＝120°对角线AC、BD相交于点O，试求出菱形对角线的长和面积．例7 如图14-2-1，四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，但AD≠CD，我们称这样的四边形为“半菱形”．小明说“‘半菱形’的面积等于两条对角线乘积的一半”，他的说法正确吗?请你判断并证明你的结论．【分析】“半菱形”是一类“特殊”的四边形，其面积计算无现成的公式可套用．但我们想到的是四边形往往通过转化成三角形来研究，而三角形的面积计算是同学们相当熟悉的，这样问题就归结为证明两对角线互相垂直，结合已知条件问题也就顺利得到解决．【解】他的说法正确．证明如下ACBDCOAOBDCOBDAOBDSSS BCDABDABCD⋅=+=⋅+⋅=+=∆∆21)(212121四边形图14-2-1 图14-2-1第 2 页共4 页第 3 页共 4 页D C BA EF P 练习1、菱形ABCD 的周长为20cm ，∠A ：∠ABC ＝1：2，则BD= cm.2、已知菱形的一条对角线的长为12cm ，面积是30cm 2，则这个菱形的另一条对角线的长为 cm.3、已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的边长为 .4、菱形的对角线长为24和10，则菱形的边长为，周长为 .5、菱形的两条对角线分别为4和7，则菱形的面积为 .6、菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________．7、已知菱形两邻角的比是1：2，周长为40cm ，则较短对角线的长是 . 8、已知菱形的面积等于80cm 2，高等于8cm ，则菱形的周长为 .9、菱形ABCD ，若∠A:∠B ＝2：1，∠CAD 的平分线AE 和边CD 之间的关系是（） A ．相等 B ．互相垂直且不平分 C ．互相平分且不垂直 D ．垂直且平分 10、已知菱形ABCD 的周长为40cm ，3BD=4AC ，则菱形的面积为（）A ．96cm 2B ．94cm 2C ．92cm 2D ．90cm211、已知菱形的周长为40cm ，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为( ) A ．6cm ，8cm B ．3cm ，4cm C ．12cm ，16cmD ．24cm ，32cm12、已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为 ( ) A. 45°，135° B. 60°，120° C. 90°，90° D. 30°，150°13、在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，（如图）则∠EAF 等于（） A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°14、菱形的边长是2 cm ，一条对角线的长是23 cm ，则另一条对角线的长是（） A ．4cm B ．3cmC ．2cmD ．23cm三、正方形1、正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

新北师大版初中数学九年级上册第1章特殊平行四边形《第3课正方形的性质与判定》

满足什么条件的菱形是正方形？定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
请证明你的结论，并与同伴交流．
正方形的判定（随堂练习1）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD，DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？
例1.如图 1-18，在正方形 ABCD
中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF．BE
M
与 DF 之间有怎样的关系？请说明
理由．
解：BE = DF，且 BE⊥DF．理由如下：
（2）延长 BE 交 DF 于点 M． ∵ △BCE ≌ △DCF，∴ ∠ CBE = ∠ CDF． ∵ ∠ DCF = 90°，∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°． ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°． ∴ ∠ BMF = 90°．∴ BE⊥DF．
北师大版九年级数学(上)
第一章特殊平行四边形

专题1-4 正方形的性质与判定-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)

专题1.4 正方形的性质与判定-重难点题型【北师大版】【题型1 正方形的性质（求角的度数）】【例1】（2021春•海珠区校级期中）如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边△ADE，则∠ABE 的度数是．【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得AB＝AD＝AE，∠BAE＝150°，进而可求得∠ABE＝15°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴∠BAE＝∠BAD+DAE＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABE=12（180°﹣∠BAE）＝15°，故答案为：15°．【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．【变式1-1】（2021春•黄浦区期末）如图，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，BE交AD于点F，∠ADE ＝75°，则∠AFB＝°．【分析】根据等腰三角形的性质得∠AED＝∠ADE＝75°，由三角形内角和求出顶角∠DAE的度数，根据正方形的性质得△ABE为等腰三角形，再由直角三角形的两锐角互余得答案．【解答】解：∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝75°，∴∠DAE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠BAE＝90°+30°＝120°，∴∠ABE=180°−120°2=30°，∴∠AFB＝90°﹣30°＝60°．故答案为：60．【点评】此题考查了正方形的性质，正方形的四个角都是直角，且各边都相等；在几何证明中常运用等边对等角和等角对等边来证明边相等或角相等；在三角形中，要熟练掌握三角形的内角和定理和直角三角形的两个锐角互余．【变式1-2】（2021春•海淀区校级月考）如图，在正方形ABCD内，以AB为边作等边△ABE，则∠BEG ＝°．【分析】本题通过正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，在由等边三角形的性质得到AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°．进而得到∠ADE＝∠AED＝75°，从而得到答案即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．又∵三角形ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°．∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠BEG＝180°﹣∠DAE﹣∠AEB＝180°﹣75°﹣60°＝45°．故答案为：45．【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键．【变式1-3】（2021春•大兴区期中）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．连接AE，若∠P AB＝20°，求∠ADF的度数．【分析】由对称的性质可得AE＝AB，∠EAB＝40°，即可求得∠EAD的度数，根据正方形的性质可得∠ADF＝∠AED，进而可求解．【解答】解：∵点B关于直线AP的对称点为E，∴AP是对称轴，∴∠P AB＝∠P AE＝20°，∴∠EAB＝2∠BAP＝40°，AE＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠EAD＝130°，∴AE＝AD，∴∠ADF＝∠AED，∴∠ADF=180°−130°2=25°．【点评】本题主要考查正方形的性质，对称的性质，等腰三角形的性质，证得AE＝AD是解题的关键．【题型2 正方形的性质（求线段的长度）】【例2】（2021春•崇川区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为1，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，则BE的长为．【分析】先由勾股定理求出BD，再求出AD＝ED，根据题意列方程即可得到结论．【解答】解：过E作EF⊥AB于F，设EF＝x，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∴BD=√2AB=√2，EF＝BF＝x，∴BE=√2x，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠DAE，∴AD＝ED，∴BD＝BE+ED=√2x+1=√2，∴x＝1−√2 2，∴BE=√2−1，故答案为：√2−1．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定；证明三角形是等腰三角形，列出方程是解决问题的关键．【变式2-1】（2021春•余杭区月考）边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，连结EC、FD，点G，H分别是EC、DF的中点，连结GH，则GH的长为．【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到/A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝2√2，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝BC ＝4，∵E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，∴AE ＝CF =12×4=2，∵AD ∥BC ，∴∠DPH ＝∠FCH ，在△PDH 和△CFH 中，{∠DPH =∠FCH ∠DHP =∠FHC DH =FH，∴△PDH ≌△CFH （AAS ），∴PD ＝CF ＝2，∴AP ＝AD ﹣PD ＝2，∴PE =√AP 2+AE 2=√22+22=2√2，∵点G ，H 分别是EC ，FD 的中点，∴GH =12EP =√2．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质．【变式2-2】（2021春•南开区期中）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG ，点G 在CD 上，AB ＝5，CE ＝2，T 为AF 的中点，求CT 的长．【分析】连接AC ，CF ，如图，根据正方形的性质得到AC =√2，AB ＝5√2，CF =√2CE ＝2√2，∠ACD ＝45°，∠GCF ＝45°，则利用勾股定理得到AF =√58，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到CT 的长．【解答】解：连接AC 、CF ，如图，∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，∴AC =√2AB ＝5√2，CF =√2CE ＝2√2，∠ACD ＝45°，∠GCF ＝45°，∴∠ACF ＝45°+45°＝90°，在Rt △ACF 中，AF =√(5√2)2+(2√2)2=√58，∵T 为AF 的中点，∴CT =12AF =√582，∴CT 的长为√582．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，也考查了直角三角形斜边上的中线性质．【变式2-3】（2021春•綦江区校级月考）正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且∠EDF ＝45°．（1）求证：EF ＝AE +CF ；（2）当AE ＝1时，求EF 的长．【分析】（1）延长BC 至H ，使CH ＝AE ，连接DH ，可得△DAE ≌△DCH ，则DE ＝DH ，∠ADE ＝∠CDH ；由于∠ADE +∠FDC ＝45°，所以∠FDC +∠HCD ＝45°，可得∠EDF ＝∠HDF ，这样△EDF ≌△HDF ，可得EF ＝FH ，结论得证；（2）设EF ＝x ，由（1）的结论可知CF ＝x ﹣1，BF ＝4﹣x ，在Rt △BEF 中，由勾股定理列出方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）证明：延长BC 至H ，使CH ＝AE ，连接DH ，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠A ＝∠DCE ＝90°．∴△DAE ≌△DCH （SAS ）．∴DE ＝DH ，∠ADE ＝∠CDH ．∵∠ADC ＝90°，∠EDF ＝45°，∴∠ADE +∠FDC ＝45°．∴∠FDC +∠CDH ＝45°．即∠FDH ＝45°．∴∠EDF ＝∠FDH ＝45°．在△EDF 和△HDF 中，{DE =DH ∠EDF =∠HDF DF =DF．∴△EDF ≌△HDF （SAS ）．∴EF ＝FH ．∵FH ＝FC +CH ＝FC +AE ，∴EF ＝AE +FC ．（2）设EF ＝x ，则FH ＝x ．∵正方形ABCD 的边长为3，∴AB ＝BC ＝3．∵AE ＝1，∴BE＝2，CH＝1．∴FC＝x﹣1．∴BF＝BC﹣CF＝3﹣（x﹣1）＝4﹣x．在Rt△BEF中，∵BE2+BF2＝EF2，∴22+（4﹣x）2＝x2．解得：x=5 2．∴EF=5 2．【点评】本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等的判定与性质，勾股定理．证明一条线段等于两条线段的和的题目一般采用补短法或截长法，通过构造三角形的全等来解决．【题型3 正方形的性质（求面积、周长）】【例3】（2020春•仪征市期末）正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，线段BF、AE相交于点O，若图中阴影部分的面积为14，则△ABO的周长为．【分析】由“SAS”可证△ABE≌△BCF，可得S△ABE＝S△BCF，∠BAE＝∠CBF，可求S△ABO=12×（4×4﹣14）＝1，可得2AO•BO＝4，由勾股定理可求AO+BO的值，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，又∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴S△ABE＝S△BCF，∠BAE＝∠CBF，∴S△ABO＝S四边形ECFO，∠BAE+∠AEB＝90°＝∠CBF+∠AEB＝∠AOB，∵图中阴影部分的面积为14，∴S△ABO=12×（4×4﹣14）＝1，∴12×AO ×BO ＝1， ∴2AO •BO ＝4，∵AB 2＝AO 2+BO 2＝16，∴（AO +BO ）2＝20，∴AO +BO ＝2√5，∴△ABO 的周长＝AB +AO +BO ＝2√5+4，故答案为：2√5+4．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，求出AO +BO 的值是本题的关键．【变式3-1】（2021春•仓山区期中）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，点E ，F 分别在CD ，AD 上，CE ＝DF ，BE ，CF 相交于点H ．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为3：4，则△BCH 的周长为（）A ．2√5−4B ．2√5C ．2√5+4D ．2√6+4【分析】先计算出正方形的面积，再由比例求出空白部分的面积，通过证明△BCE ≌△CDF 可求解S △BCH ，∠BHC ＝90°，再由勾股定理及完全平方公式可求解BH +CH 的长，即可求出△BCG 的周长﹒【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，BC ＝CD ＝AB ＝4，∠BCE ＝∠CDF ＝90°，∴S 正方形ABCD ＝16，∵S 阴影：S 正方形ABCD ＝3：4，∴S 阴影=34×16=12， ∴S 空白＝16﹣12＝4，在△BCE 和△CDF 中，{BC =CD ∠BCE =∠D =90°CE =DF，∴△BCE ≌△CDF （SAS ），∴S△BCH＝S四边形EDFH＝2，∠HBC＝∠DCF，∵∠DCF+∠HCB＝90°，∴∠HBC+∠HCB＝90°，∴∠BHC＝90°，∴BH2+CH2＝BC2＝16，BH•CH＝4，∴（BH+CH）2＝BH2+CH2+2BH•CH＝16+2×4＝24，∴BH+CH=2√6，∴△BCH的周长为BH+CH+BC=2√6+4，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质及面积的和差相关知识，关键是证明全等两个三角形面积全等，得到△BCH面积．【变式3-2】（2021春•海淀区校级期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（）A．14B．16C．18D．12【分析】由正方形的性质及三角形的中位线可求得BE＝2，由直角三角形斜边上的中线可求得△CEF的周长为ED+EC，利用勾股定理可求解ED的长，进而可求解．【解答】解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝CD，∠BCD＝90°，∵F为DE的中点，∴OF为△DBE的中位线，ED＝2CF＝2EF，∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC，∵OF＝1，∴BE＝2OF＝2，∵CE＝6，∴BC＝BE+CE＝2+6＝8，∴CD＝BC＝8，在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CD＝8，CE＝6，∴ED=√CD2+CE2=√82+62=10，∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC＝10+6＝16，故选：B．【点评】本题主要考查勾股定理，正方形的性质，三角形的中位线，求解ED的长是解题的关键．【变式3-3】（2021春•河西区期中）将5个边长为2cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，A3，A4是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积和为（）A．2cm2B．1cm2C．4cm2D．6cm2【分析】在正方形ABCD中，作A1E⊥AD，A1F⊥DC，即可证得：△A1EN≌△A1MF，则四边形A1MA2N的面积＝四边形EA1F A2的面积=14正方形ABCD的面积，据此即可求解．【解答】解：如图，在正方形ABCD中，作A1E⊥AD，A1F⊥DC，两边相交于M和N，∠A1EN＝∠A1MF＝90°，∠EA1N+∠ENA1＝90°，∠EA1N+∠F A1M＝90°，∴∠ENA1＝∠F A1M，A1E＝A1F，∴△A 1EN ≌△A 1MF （ASA ），∴四边形A 1MA 2N 的面积＝四边形EA 1F A 2的面积=14正方形ABCD 的面积，同理可证，另外三个阴影四边形的面积都等于14正方形ABCD 的面积， ∴图中重叠部分（阴影部分）的面积和＝正方形ABCD 的面积＝4cm 2，故选：C ．【点评】本题主要考查了正方形的性质，正确作出辅助线，证得：四边形A 1MA 2N 的面积＝四边形EA 1F A 2的面积=14正方形ABCD 的面积是解题的关键．【题型4 正方形的性质（探究数量关系）】【例4】（2020秋•和平区期末）如图，若在正方形ABCD 中，点E 为CD 边上一点，点F 为AD 延长线上一点，且DE ＝DF ，则AE 与CF 之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【分析】延长AE 交CF 于点G ，根据四边形ABCD 是正方形，证明△ADE ≌△CDF ，进而可得AE ＝CF ，AE ⊥CF ．【解答】解：AE ＝CF ，AE ⊥CF ，理由如下：如图，延长AE 交CF 于点G ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADC ＝∠CDE ＝90°，在△ADE 和△CDF 中，{AD =CD ∠ADE =∠CDF DE =DF，∴△ADE ≌△CDF （SAS ），∴AE ＝CF ，∠DAE ＝∠DCF ，∵∠DCF +∠F ＝90°，∴∠DAE +∠F ＝90°，∴AG ⊥CF ，即AE ⊥CF ．∴AE ＝CF ，AE ⊥CF ．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．【变式4-1】（2020春•西山区期末）如图（1），正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连接DE ，过点A 作AM ⊥DE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于点F ．（1）直接写出OE 与OF 的数量关系：；（2）如图（2）若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥DE 于点M ，AM 交BD 的延长线于点F ，其他条件不变．试探究OE 与OF 的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB ＝OA ，又因为AM ⊥BE ，所以∠MEA +∠MAE ＝90°＝∠AFO +∠MAE ，从而求证出△AOF ≌△BOE ，得到OE ＝OF ．（2）由“ASA ”可证△AOF ≌△BOE ，得到OE ＝OF ．【解答】解：（1）∵正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AM ⊥DE ，∴∠AOD ＝∠DOE ＝∠AME ＝90°，OA ＝OD ，∴∠MEA +∠MAE ＝90°＝∠AFO +∠MAE ，∴∠AFO ＝∠MEA ，在△AOF 和△DOE 中，{∠AFO =∠MEA AO =DO ∠AOF =∠DOE =90°，∴△AOF ≌△BOE （ASA ），∴OE ＝OF ，故答案为：OE ＝OF ；（2）OE ＝OF ，理由如下：∵正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AM ⊥DE ，∴∠AOD ＝∠DOE ＝∠AME ＝90°，OA ＝OD ，∴∠MEA +∠MAE ＝90°＝∠AFO +∠MAE ，∴∠AFO ＝∠MEA ，在△AOF 和△DOE 中，{∠AFO =∠MEA AO =DO ∠AOF =∠DOE =90°，∴△AOF ≌△BOE （ASA ），∴OE ＝OF ．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．【变式4-2】（2020春•安阳县期末）四边形ABCD 是正方形，G 是直线BC 上任意一点，BE ⊥AG 于点E ，DF ⊥AG 于点F ，当点G 在BC 边上时（如图1），易证DF ﹣BE ＝EF ．（1）当点G 在BC 延长线上时，在图2中补全图形，写出DF 、BE 、EF 的数量关系，并证明．（2）当点G 在CB 延长线上时，在图3中补全图形，写出DF 、BE 、EF 的数量关系，不用证明．【分析】由ABCD 是正方形，得到AB ＝DA 、AB ⊥AD ，由BE ⊥AG 、DF ⊥AG ，结合题干得到∠ABE ＝∠DAF ，于是得出△ABE ≌△DAF ，即可AF ＝BE ．（1）同理证明△ABE ≌△DAF ，得AF ＝BE ，DF ＝AE ，根据图2可得结论；（2）同理证明△ABE ≌△DAF ，得AF ＝BE ，DF ＝AE ，根据图3可得结论．【解答】证明：如图1，∵ABCD 是正方形，∴AB ＝DA 、AB ⊥AD ．∵BE ⊥AG 、DF ⊥AG ，∴∠AEB ＝∠AFD ＝90°，又∵∠BAE +∠DAF ＝90°，∠BAE +∠ABE ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAF ，在△ABE 和△DAF 中，{∠AEB =∠AFD ∠ABE =∠DAF AB =AD，∴△ABE ≌△DAF （AAS ），∴AF ＝BE ，DF ＝AE ，∴DF ﹣BE ＝AE ﹣AF ＝EF ．（1）如图2，DF 、BE 、EF 的数量关系是：BE ＝DF +EF ，理由是：∵ABCD 是正方形，∴AB ＝DA 、AB ⊥AD ．∵BE ⊥AG 、DF ⊥AG ，∴∠AEB ＝∠AFD ＝90°，又∵∠BAE +∠DAF ＝90°，∠BAE +∠ABE ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAF ，在△ABE 和△DAF 中，{∠AEB =∠AFD ∠ABE =∠DAF AB =AD，∴△ABE ≌△DAF （AAS ），∴AF ＝BE ，DF ＝AE ，∴BE ＝AF ＝AE +EF ＝DF +EF ；（2）如图3，DF 、BE 、EF 的数量关系是：EF ＝DF +BE ；理由是：∵ABCD 是正方形，∴AB ＝DA ，AB ⊥AD ．∵BE ⊥AG ，DF ⊥AG ，∴∠AEB ＝∠AFD ＝90°，又∵∠BAE +∠DAF ＝90°，∠BAE +∠ABE ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAF ，在△ABE 和△DAF 中，{∠AEB =∠AFD ∠ABE =∠DAF AB =AD，∴△ABE ≌△DAF （AAS ），∴AF ＝BE ，DF ＝AE ，∴EF ＝AE +AF ＝DF +BE ．【点评】本题主要考查正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质定理，此题难度适中．【变式4-3】（2021春•天河区校级期中）如图，已知四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于O ．（1）如图1，设E 、F 分别是AD 、AB 上的点，且∠EOF ＝90°，线段AF 、BF 和EF 之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设E 、F 分别是AB 上不同的两个点，且∠EOF ＝45°，请你用等式表示线段AE 、BF 和EF 之间的数量关系，并证明．【分析】（1）首先证明△EOA ≌△FOB ，推出AE ＝BF ，从而得出结论；（2）在BC 上取一点H ，使得BH ＝AE ．由△OAE ≌△OBH ，推出AE ＝BH ，∠AOE ＝∠BOH ，OE ＝OH ，由△FOE ≌△FOH ，推出EF ＝FH ，由∠FBH ＝90°，推出FH 2＝BF 2+BH 2，由此即可解答．【解答】解：（1）EF 2＝AF 2+BF 2．理由：如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ，∠OAE ＝∠OBF ＝45°，AC ⊥BD ，∴∠EOF ＝∠AOB ＝90°，∴∠EOA ＝∠FOB ，在△EOA 和△FOB 中，{∠EOA =∠FOB OA =OB ∠OAE =∠OBF，∴△EOA ≌△FOB （ASA ），∴AE ＝BF ，在Rt △EAF 中，EF 2＝AE 2+AF 2＝AF 2+BF 2；（2）在BC 上取一点H ，使得BH ＝AE ．∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ，∠OAE ＝∠OBH ，∠AOB ＝90°，在△OAE 和△OBH 中，{OA =OB ∠OAE =∠OBH AE =BH∴△OAE ≌△OBH （SAS ），∴AE ＝BH ，∠AOE ＝∠BOH ，OE ＝OH ，∵∠EOF ＝45°，∴∠AOE +∠BOF ＝45°，∴∠BOF +∠BOH ＝45°，∴∠FOE ＝∠FOH ＝45°，在△FOE 和△FOH 中•，{OF =OF ∠FOE =∠FOH OE =OH，∴△FOE ≌△FOH （SAS ），∴EF ＝FH ，∵∠FBH ＝90°，∴FH 2＝BF 2+BH 2，∴EF 2＝BF 2+AE 2，【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【题型5 正方形的性质综合应用】【例5】（2020秋•周村区期末）（1）如图1的正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF ＝45°，延长CD 到点G ，使DG ＝BE ，连接EF ，AG ．求证：EF ＝FG ；（2）如图2，等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点M ，N 在边BC 上，且∠MAN ＝45°．若BM ＝1，CN ＝3，求MN 的长．【分析】（1）证△ADG ≌△ABE ，△F AE ≌△F AG ，根据全等三角形的性质求出即可；（2）过点C 作CE ⊥BC ，垂足为点C ，截取CE ，使CE ＝BM ．连接AE 、EN ．通过证明△ABM ≌△ACE （SAS ）推知全等三角形的对应边AM ＝AE 、对应角∠BAM ＝∠CAE ；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN ＝45°得到∠MAN ＝∠EAN ＝45°，所以△MAN ≌△EAN （SAS ），故全等三角形的对应边MN ＝EN ；最后由勾股定理得到EN 2＝EC 2+NC 2即MN 2＝BM 2+NC 2．【解答】（1）证明：在正方形ABCD 中，∠ABE ＝∠ADG ，AD ＝AB ，在△ABE 和△ADG 中，{AD =AB ∠ABE =∠ADG DG =BE，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴∠BAE ＝∠DAG ，AE ＝AG ，∴∠EAG ＝90°，在△F AE 和△GAF 中，{AE =AG∠EAF =∠FAG =45°AF =AF，∴△F AE ≌△GAF （SAS ），∴EF ＝FG ；（2）解：如图，过点C 作CE ⊥BC ，垂足为点C ，截取CE ，使CE ＝BM ．连接AE 、EN ．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠ACB ＝45°．∵CE ⊥BC ，∴∠ACE ＝∠B ＝45°．在△ABM 和△ACE 中，{AB =AC ∠B =∠ACE BM =CE ，∴△ABM ≌△ACE （SAS ）．∴AM ＝AE ，∠BAM ＝∠CAE ．∵∠BAC ＝90°，∠MAN ＝45°，∴∠BAM +∠CAN ＝45°．于是，由∠BAM ＝∠CAE ，得∠MAN ＝∠EAN ＝45°．在△MAN 和△EAN 中，{AM =AE ∠MAN =∠EAN AN =AN，∴△MAN ≌△EAN （SAS ）．∴MN ＝EN ．在Rt △ENC 中，由勾股定理，得EN 2＝EC 2+NC 2．∴MN 2＝BM 2+NC 2．∵BM ＝1，CN ＝3，∴MN 2＝12+32，∴MN =√10．【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题；【变式5-1】（2021春•余杭区月考）已知正方形ABCD 如图所示，连接其对角线AC ，∠BCA 的平分线CF 交AB 于点F ，过点B 作BM ⊥CF 于点N ，交AC 于点M ，过点C 作CP ⊥CF ，交AD 延长线于点P ．（1）求证：BF ＝DP ；（2）若正方形ABCD 的边长为4，求△ACP 的面积；（3）求证：CP ＝BM +2FN ．【分析】（1）由“ASA ”可证△CDP ≌△CBF ，可得BF ＝DP ；（2）根据等角对等边易证AP ＝AC ，根据勾股定理求得AC 的长，然后根据三角形的面积公式即可求解；（3）由全等三角形的性质可得CP ＝CF ，在CN 上截取NH ＝FN ，连接BH ，则可以证明△AMB ≌BHC ，得到CH＝BM，即可证得．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAD＝∠ACD＝45°，∵CP⊥CF，∴∠FCP＝90°＝∠BCD，∴∠BCF＝∠DCP，∵CD＝CB，∠CBF＝∠CDP＝90°，∴△CDP≌△CBF（ASA）∴BF＝DP；（2）∵CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF＝22.5°，∴∠BFC＝67.5°，∵△CDP≌△CBF，∴∠P＝∠BFC＝67.5°，且∠CAP＝45°，∴∠ACP＝∠P＝67.5°，∴AC＝AP，∵AC=√2AB＝4√2，∴S△ACP=12AP×CD＝8√2；（3）在CN上截取NH＝FN，连接BH，∵△CDP≌△CBF，∴CP＝CF，∵FN＝NH，且BN⊥FH，∴BH＝BF，∴∠BFH＝∠BHF＝67.5°，∴∠FBN＝∠HBN＝∠BCH＝22.5°，∴∠HBC＝∠BAM＝45°，∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCH，∴△AMB≌△BHC（ASA），∴CH＝BM，∴CF＝BM+2FN，∴CP＝BM+2FN．【点评】本题是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，正确作出辅助线是关键．【变式5-2】（2021春•莆田期末）如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF；（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE＝EF；（2）成立，延长BA到M，使AM＝CE，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE＝EF；（3）存在，作DM⊥AE于AB交于点M，则有：DM∥EF，连接ME、DF，证明△ADM≌△BAE（ASA），得到DM＝AE，由（1）AE＝EF，所以DM＝EF，所以四边形DMEF为平行四边形．【解答】（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示∵四边形ABCD 是正方形，AE ⊥EF ；∴∠1+∠AEB ＝90°，∠2+∠AEB ＝90°∴∠1＝∠2，∵BH ＝BE ，∠BHE ＝45°，且∠FCG ＝45°，∴∠AHE ＝∠ECF ＝135°，AH ＝CE ，在△AHE 和△ECF 中，{∠1=∠2AH =CE ∠AHE =∠ECF ，∴△AHE ≌△ECF （ASA ），∴AE ＝EF ；（2）解：AE ＝EF 成立，理由如下：如图2，延长BA 到M ，使AM ＝CE ，∵∠AEF ＝90°，∴∠FEG +∠AEB ＝90°．∵∠BAE +∠AEB ＝90°，∴∠BAE ＝∠FEG ，∴∠MAE ＝∠CEF ．∵AB ＝BC ，∴AB +AM ＝BC +CE ，即BM ＝BE ．∴∠M ＝45°，∴∠M ＝∠FCE ．在△AME 与△ECF 中，{∠MAE =∠CEF AM =CE ∠M =∠FCE，∴△AME ≌△ECF （ASA ），∴AE ＝EF ．（3）存在，理由如下：点E 是BC 边上的中点，如图3，作DM ⊥AE 于AB 交于点M ，则有：DM ∥EF ，连接ME 、DF ，在△ADM 与△BAE 中，{∠ADM =∠BAE AD =AB ∠DAM =∠ABE ，∴△ADM ≌△BAE （ASA ），∴DM ＝AE ，由（1）AE ＝EF ，∴DM ＝EF ，∴四边形DMEF 为平行四边形．【点评】此题考查学生对正方形的性质及全等三角形判定的理解及运用，解决本题的关键是作出辅助线．【变式5-3】（2021春•江津区期中）在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在线段OC 上，点F 在线段AB 上，连接BE ，连接EF 交BD 于点M ，已知∠AEB ＝∠OME ．（1）如图1，求证：EB ＝EF ；（2）如图2，点N 在线段EF 上，AN ＝EN ，AN 延长线交DB 于H ，连接DF ，求证：DF =√2AH ．【分析】（1）依据四边形ABCD是正方形，即可得出AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，进而得到∠5＝∠FBE，即可得到EF＝EB；（2）连接DE，先判定△AOH≌△BOE，即可得出AH＝BE，再判定△DCE≌△BCE，即可得到DE＝BE ＝AH＝EF，再根据△DEF是等腰直角三角形，即可得出结论．【解答】证明：（1）如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，∴在Rt△OME和Rt△OEB中，∠3+∠OME＝∠4+∠OEB＝90°，∵∠OME＝∠OEB，∴∠3＝∠4，∴∠5＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠FBE，∴EF＝EB；（2）连接DE，∵AN ＝EN ，∴∠3＝∠5，∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠5，∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ，AC ⊥BD ，∴∠7＝∠8＝90°，在△AOH 和△BOE 中，{∠5=∠4OA =OB ∠7=∠8，∴△AOH ≌△BOE （ASA ），AH ＝BE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴DC ＝BC ，∠1＝∠2＝45°，在△DCE 和△BCE 中，{DC =BC ∠1=∠2CE =CE，∴△DCE ≌△BCE （SAS ），∴DE ＝BE ＝AH ＝EF ，∵AC ⊥BD ，∴∠6＝∠AEB ，∵∠3＝∠4，∠4+∠AEB ＝90°，∴∠3+∠6＝90°，即∠DEF ＝90°，∴△DEF 是等腰直角三角形，∴DF =√DE 2+EF 2=√2EF =√2AH ．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是对全等三角形的判断．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．【题型6 判定正方形成立的条件】【例6】（2020春•上蔡县期末）下列说法正确的个数是（）①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据正方形的判定、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质和矩形的性质即可求解．【解答】解：①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形，故①正确；②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形，故②正确；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故③正确；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故④正确；综上所述，正确的个数为4个，故选：D．【点评】本题考查了正方形的判定、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质和矩形的性质，解题关键是逐个判断即可得出答案．【变式6-1】（2020春•建湖县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF，∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；当BC＝AC时，∵∠ACB＝90°，则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°，∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°，∴菱形BECF是正方形．故选项A正确，但不符合题意；当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项C错误，符合题意；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项D正确，但不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关定理是解题关键．【变式6-2】（2020春•开原市校级月考）已知四边形ABCD是平行四边形，再从四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）①AB＝BC，②∠ABC＝90˚，③AC＝BD，④AC⊥BDA．选①②B．选①③C．选②③D．选②④【分析】根据要判定四边形是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形进而分别分析得出即可．【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意．D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．【变式6-3】（2020秋•陕西期中）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH 是正方形，BD、AC应满足的条件是．【分析】依据条件先判定四边形EFGH为菱形，再根据∠FEH＝90°，即可得到菱形EFGH是正方形．【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD且AC⊥BD．理由：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，∴HG∥AC且HG=12AC；同理EF∥AC且EF=12AC，同理可得EH=12BD，则HG∥EF且HG＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EF⊥EH，∴∠FEH＝90°，∴菱形EFGH是正方形．故答案为：AC＝BD且AC⊥BD．【点评】此题考查了中点四边形的性质、三角形中位线定理以及正方形的判定．解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．【题型7 正方形判定的证明】【例7】（2020秋•富平县期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求证：四边形ABCD是正方形．【分析】作EM⊥BC于点M，可证EM∥AB，可得∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，由角的数量关系可得∠CEM＝45°＝∠BAC，可证AB＝BC，可得结论．【解答】证明：如图，作EM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，∵∠ABE+∠CEF＝45°，∴∠BEM+∠CEF＝45°，∵BE⊥EF，∴∠CEM＝45°＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形．【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．【变式7-1】（2021春•娄星区校级期中）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是两锐角平分线的交点，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形．【分析】过E作EM⊥AB，根据角平分线的性质可得EF＝ED＝EM．再证明四边形EFDC是矩形，可根据邻边相等的矩形是正方形得到四边形CDEF是正方形．【解答】证明：过E作EM⊥AB，∵AE平分∠CAB，∴EF＝EM，∵EB平分∠CBA，∴EM＝ED，∴EF＝ED，∵ED⊥BC，EF⊥AC，△ABC是直角三角形，∴∠CFE＝∠CDE＝∠C＝90°，∴四边形EFDC是矩形，∵EF＝ED，∴四边形CDEF是正方形．【点评】此题主要考查了正方形的判定，关键是掌握邻边相等的矩形是正方形．【变式7-2】（2020春•新乡期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P 作PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，垂足分别为M 、N ．（1）求证：∠ADB ＝∠CDB ；（2）若∠ADC ＝ °时，四边形MPND 是正方形，并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD ≌△CBD ，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB ＝∠CDB ；（2）由三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形MPND 是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND 是正方形．【解答】证明：（1）∵对角线BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，在△ABD 和△CBD 中，{AB =BC ∠ABD =∠CBD BD =BD，∴△ABD ≌△CBD （SAS ），∴∠ADB ＝∠CDB ；（2）当∠ADC ＝90°时，四边形MPND 是正方形，理由如下：∵PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴∠PMD ＝∠PND ＝90°，∵∠ADC ＝90°，∴四边形MPND 是矩形，∵∠ADB ＝∠CDB ，∴∠ADB ＝45°，∵∠PMD ＝90°，∴∠MPD ＝∠PDM ＝45°，∴PM＝MD，∴矩形MPND是正方形，故答案为：90．【点评】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．【变式7-3】（2020秋•渠县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若AB＝BC＝4，则四边形ADCE的面积为多少？（3）直接回答：当△ABC满足时，四边形ADCE是正方形．【分析】（1）根据AN是△ABC外角∠CAM的平分线，推得∠MAE=12（∠B+∠ACB），再由∠B＝∠ACB，得∠MAE＝∠B，则AN∥BC，根据三角形中位线的性质得FD∥AB，可得四边形ABDE为平行四边形，则AE＝BD＝CD，得出四边形ADCE为平行四边形，再证出AD⊥AE即可得出四边形ADCE为矩形．（2）由（1）知四边形ADCE是矩形，由条件可证明△ABC为等边三角形，求出CD和AD长，则四边形ADCE的面积可求出；（3）由（1）知四边形ADCE是矩形，增加条件能使AD＝DC即可【解答】（1）证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=12∠MAC，∵∠MAC＝∠B+∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，。

北师版九年级数学 1.3正方形的性质与判定(学习、上课课件)

知2－练
感悟新知
(2)若OG=1，求△ CDE 的周长．
知2－练
解：易知OC＝OD，DE＝CE，
∴点O，点E在CD的垂直平分线上．
∴OE垂直平分CD.∴G是CD的中点．
∵OB＝OD，OG＝1，∴OG是△BCD的中位线．
∴BC＝2OG＝2.
∵四边形ABCD为正方形，∴DC＝BC＝2.
∵△DCE是等边三角形，∴△CDE的周长＝3CD＝6.
知2－练
2-1. 如图，四边形ABCD 是正方形，△ DCE 是等边三角形，AC，BD 交于点O，连接AE 交BD 于点F，连接 OE 交CD 于点G.
感悟新知
(1)求∠ AED 的度数；解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD. ∵△DCE 是等边三角形， ∴∠CDE＝60°，CD＝DE. ∴∠ADE＝90°＋60°＝150°，AD＝DE. ∴∠AED＝∠DAE＝12×(180°－150°)＝15°.
对角
知2－讲
数学表达式
∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ ADC= ∠ DCB= ∠ CBA=∠ BAD =90°
∵四边形ABCD 是正方形， ∴ AC ⊥ BD，AC=BD， OA=OC，OB=OD；AC 平分∠ DAB 和∠ DCB，BD 平分∠ ADC 和∠ ABC
感悟新知
性质
是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是两条对角线所在对的直线和过每一组对称边中点的直线性是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点
第一章特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定
学习目标
1 课时讲解正方形的定义
正方形的性质正方形的判定
2 课时流程中点四边形

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学生做题前请先回答以下问题
问题1：矩形的定义是什么？正方形的定义是什么？
问题2：矩形有哪些性质？正方形有哪些性质？
问题3：矩形的判定定理是什么？
问题4：正方形的判定定理是什么？
矩形、正方形的性质和判定（北师版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.下列说法，错误的是( )
A.矩形的对边互相平行
B.矩形的对角相等
C.矩形的对角线相等
D.矩形的对角线平分一组对角
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：矩形的性质
2.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A.对角线互相平分
B.邻角互补
C.对角线相等
D.对角相等
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：矩形的性质
3.矩形、正方形、菱形的共同性质是( )
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分
D.每一条对角线平分一组对角
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：菱形的性质
4.如图，矩形ABCD的对角线AC=8，∠AOD=120°，则AB的长为( )
A. B.2
C. D.4
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：矩形的性质
5.如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EF⊥EC，EF=EC，AF=2，矩形的周长为16，则AE的长为( )
A.3
B.4
C.5
D.7
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：矩形的性质
6.在等腰三角形ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到点D，E，使DA=AB，EA=CA，则四边形
BCDE是( )
A.任意四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：矩形的判定
7.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC:∠EDA=1:3，且AC=10，则DE的长为( )
A. B.5 C. D.3
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：矩形的性质
8.如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长，交EG于点T，交FG于点P，则GT的长为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：正方形的性质
9.如图所示，两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕O点旋转，那么它们重叠部分的面积为( )
A. B.
C.2
D.1
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：正方形的性质
10.四边形ABCD的对角线相交于点O，下列能判定四边形ABCD是正方形的条件是( )
A.AC=BD，AB=CD，AB∥CD
B.AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
C.AD∥BC，∠A=∠C
D.AO=CO，BO=DO，AB=BC
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：正方形的判定。