正方形的性质与判定_完整

△CMD≌△ADF
试一试
看能不能完成证明???
例4、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上
一点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°
∴ EH=EF=FG=GH ∴ 四边形EFGH是菱形
又∵ ∠3+∠2=90°且 ∠1＝∠3 ∴ ∠1+∠2=90° ∴ ∠EFG=90° ∴ 四边形EFGH是正方形（有一个角是直角的 菱形是矩形）．
3 2 1
练习.如图，四边形ＡＢＣＤ是正 方形，Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是四 边的中点。你知道四边形EFGH的 形状吗？为什么？
E A B
例1、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个
全等的等腰直角三角形。 已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O。 求证： △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO
3．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
求证：BM＝CN。
DE⊥AC，DF⊥AB。求证：四边形CEDF是正方形。
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90° 而∠ACB=90° ∴
有三个角是 直 四边形ABCD为矩形( ) 角的四边形是矩 形
F
∵ CD平分∠ACB
DE⊥AC， DF⊥BC ∴ DE=DF(角平分线的定理 )
B
D
C.对角线相等 D.对角线平分一组对角 45°度. 3.正方形的对角线和它的边所成的角是 4.已知正方形的一条对角线长为4cm,则它的边长 为
2
2 2cm
， 面积为
8cm
2
。
A P
E O F
B
5.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上任意一
C
点,PE⊥AC,PF⊥BD,E、F为垂足,则PE+PF= 5cm
6 ．四个内角都相等，四条边也都相等的 A） 四边形一定是：（
A．正方形 行四边形
B．菱形
C．矩形
D．平
试一试
1、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩
形EFCG的周长为
7.5
cm。
A
E
D G
B
F C
A
D
4.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝2cm，则AC= 2 2 ,2
想一想：正方形是怎样的矩形？
正方形 矩形
邻边相等 的矩形
矩形 两组 对边
四边形
分别 平行
平行四 边形 菱 形
菱形
平行四边形
正方 形
矩形
一组邻边相等 平行四边形 一内角是直角
正方形
定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边 形叫做正方形
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
平行四边形 正 方 形
正方形






90
创设情景 ☞
情景一

90
问题:
从这个图形中你想到了什么？
想一想：正方形是怎样的菱形？
正方形 菱形
一个角是直角的菱形
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
情景二
A
D
A
D
B
C
B
C
图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？ （CD在移动的过程中始终保持与AB平行） 当CD移动到 C D 位置，且 AD AB 时，此 时的图形还是矩形吗？
性
边 角
D
质 对角线
∟D
A O D
对称性
B
C
B
文 字 语 言
对边平行， 四条边都
相等
四 个 角 都是直角
∵四边形ABCD 是正方形
符 号 语 言
∵四边形ABCD 是正方形
∴AB∥CD ∴∠A=∠B=∠C AD∥BC, =∠D=90° AB=BC=CD=AD
∟
图 形 语 言
A
∟
A
C
B
C
对角线互相垂直 平分且相等，每 条对角线平分一 组对角
分析：要证明BM＝CN，大家观察
图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? △ABM≌△BCN 你所要证明的两个三角形已经满足 了哪些条件?
由正方形可以得到的条件有： AB＝BC，∠1＝∠2＝45 °
条件够吗？
还需要的条件是 AM＝BN
你能完成证明吗???
例2、如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB
。
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
A
D
O
B
C
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ； △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
你觉得什么样的四边形是 正方形呢?( 判断一个四边形 是正方形有哪些方法？）
图形之间的变化关系
B O
4 正方形的面积S=______.
5.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
A
2
C
D
BD相交于点O，且AC＝6
2
cm，
O
36 6 面积S=________. 则边长AB＝______,
B
C
5、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线 AC、BD相交于点O。
⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（ 菱形 ）
巩固练习：判断下列命题是否正确，不是正 方形的补充什么条件能让它成为正方形？ • • • • • • 四个角都相等的四边形是正方形； (× ) 四条边都相等的四边形是正方形； (× ) 对角线相等的菱形是正方形； ( √) 对角线互相垂直的矩形是正方形； (√ ) 对角线垂直且相等的四边形是正方形; (×) 四边相等，有一个角是直角的四边形 是正方形. ( )√
矩形
菱形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩 形，也是特殊的菱形。
回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列
性质 分类 图形
平行四 边形
对边平行 且相等 对角相等 对角线互 相平分
矩 形 (所特有)
菱形 (所特有)
四条边相等
正方形
对边平行且 四条边相等 四个角都 是直角
边 角
四个角都 是直角 对角线 相等
矩形
有一组邻边相等
平行四边形
正方形
有一个角是直角
菱形
正方形的判定方法：
(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）
1、
平行四边形 一内角是直角
一组邻边相等
正方形
定义法
2、
一内角是直角
菱形
正方形
菱形法
3、
矩形
一组邻边相等
正方形
矩形法
判断四边形是正方形有哪些方法？
１、先说明它是矩形，再说明这个矩形 （邻边相等的矩形是正方形） 有一组邻边相等．
２、先说明它是菱形，再说明这个菱形 （有一个角是直角的菱形是正方形） 有一个角是直角．
３、先说明它是平行四边形，再说明有 一组邻边相等，并且一个角是直角。
（对角线平分且垂直又相等的四边形是正方形）
以四边形为基础：
①四条边相等，四个角都是直角 四边形 ②对角线互相垂直、平分且相等 正方形
既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
A
有一组邻边相 ∴四边形ABCD是正方形（ ) 等的矩形是正 方形
4．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线
上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
分析：
欲证∠MFD＝45°，由于
△MDF是直角三角形,只须证 △MDF是等腰三角形,即只要证
_____=_____ 要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?
∵四边形ABCD是正 方形 ∴AC⊥BD,AC=BD, OA=OB=OC=OD
轴 对 称 图 形 中 心 对 称 图 形
∟
二、 例1、如图，正方形ABCD中， 正 2 （1）一条对角线把它分成 个全等的三 方 角形。 问：这些三角形是什么三角形？ 形 （2）两条对角线把 的 它分成 4 个全等的 A B 性 等腰直角 三角形。 质 （3）对角线AC与正 O 的 方形的一边所成的角 应 45 为 度。 D C 用
3、下列命题正确的是（ D ） A、四个角都相等的四边形是正方形
B、四条边都相等的四边形是正方形
C、对角线相等的平行四边形是正方形
D、对角线互相垂直的矩形是正方形
4．四个内角都相等的四边形一定是（C ）
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形 5．在四边形ABCD中，O是对角线的交点， 能判定这个四边形是正 方形的是：（ A ） A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠A＝∠C C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC D．AC＝BD
几种特殊四边形的性质
边
角
对 角 线
对称性
平 行 对边平行 对角相等， 对角线互相平分 中心对称图形 四边形 且相等 邻角互补 矩 形 对边平行 四个角 且相等 都是直角
对角线相等 且互相平分
轴对称图形、 中心对称图形
菱 对边平行， 对角线互相垂直 形 四边都相 对角相等， 平分，每条对角 轴对称图形、 邻角互补 等 线平分一组对角 中心对称图形 正 对角线互相垂直平 对边平行， 方形 四个角 分且相等，每条对 轴对称图形、 四条边 都是直角 中心对称图形 角线平分一组对角 都相等