正方形的定义性质判定
正方形的性质与判定【十大题型】(举一反三)(浙教版)(原卷版)
专题5.3 正方形的性质与判定【十大题型】【浙教版】【题型1 正方形的性质（求角的度数）】 (1)【题型2 正方形的性质（求线段的长度）】 (3)【题型3 正方形的性质（求面积、周长）】 (4)【题型4 正方形的性质（探究数量关系）】 (6)【题型5 判定正方形成立的条件】 (10)【题型6 正方形判定的证明】 (12)【题型7 正方形的判定与性质综合】 (16)【题型8 探究正方形中的最值问题】 (19)【题型9 正方形在坐标系中的运用】 (20)【题型10 正方形中的多结论问题】 (23)【题型1 正方形的性质（求角的度数）】【例1】（2022春•建阳区期中）如图，在正方形ABCD中有一个点E，使三角形BCE是正三角形，求：（1）∠BAE的大小（2）∠AED的大小．【变式1-1】如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由．【变式1-2】（2022•武威模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，点F在BC的延长线上，且BE＝EF，EF交CD于点G．（1）求证：DE＝EF；（2）求∠DEF的度数．【变式1-3】（2022春•新市区校级期末）如图，在给定的正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠DFE+∠EPC的度数的变化情况是（）A．一直减小B．一直减小后增大C．一直不变D．先增大后减小【题型2 正方形的性质（求线段的长度）】【例2】（2022春•牡丹江期末）如图，正方形ABCD的边长为10，点E，F在正方形内部，AE＝CF＝8，BE＝DF＝6，则线段EF的长为（）A．2√2B．4C．4−√2D．4+√2【变式2-1】（2022春•巴南区期末）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD上，且DE ＝1，作EF∥BC分别交AC、AB于点G、F，P、H分别是AG，BE的中点，则PH的长是（）A．2B．2.5C．3D．4【变式2-2】（2022•越秀区一模）将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上，已知BG=√2，BC＝3，连接DF，M是DF的中点，连接AM，则AM的长是（）A．√102B．√3C．√132D．32【变式2-3】（2022春•吴中区校级期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4√5．E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE，点N、M分别为AF、DE的中点，连接MN，则MN的长度为．【题型3 正方形的性质（求面积、周长）】【例3】（2022春•鄞州区期末）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B得图丙，则阴影部分的面积为（）A．28B．29C．30D．31【变式3-1】（2022春•工业园区校级期中）如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE 为Rt△，∠CED＝90°，OE＝2√2，若CE•DE＝3，则正方形ABCD的面积为（）A．5B．6C．8D．10【变式3-2】（2022•台州）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为．【变式3-3】（2022•江北区一模）如图，以Rt△ABC的各边为边分别向外作正方形，∠BAC＝90°，连结DG，点H为DG的中点，连结HB，HN，若要求出△HBN的面积，只需知道（）A．△ABC的面积B．正方形ADEB的面积C．正方形ACFG的面积D．正方形BNMC的面积【题型4 正方形的性质（探究数量关系）】【例4】（2022秋•中原区校级月考）如图，线段AB＝4，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE 与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）请直接写出△AEF的周长．【变式4-1】（2022春•雁塔区校级期末）在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，该角可以绕点A转动，∠MAN的两边分别交射线CB，DC于点M，N．（1）当点M，N分别在正方形的边CB和DC上时（如图1），线段BM，DN，MN之间有怎样的数量关系？你的猜想是：，并加以证明．（2）当点M，N分别在正方形的边CB和DC的延长线上时（如图2），线段BM，DN，MN之间的数量关系会发生变化吗？证明你的结论．【变式4-2】（2022春•莆田期末）如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE＝AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点．（1）求证：AO＝BO；（2）求证：∠HEB＝∠HNB；（3）过A作AP⊥ED于P点，连BP，则PE−PA的值．PB【变式4-3】（2022春•鼓楼区校级期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点G．点H是线段CE上一点，且CO＝CH．（1）若OF＝5，求FH的长；（2）求证：BF＝OH+CF．【题型5 判定正方形成立的条件】【例5】（2022春•海淀区校级期中）已知四边形ABCD为凸四边形，点M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合），下列说法正确的是（填序号）．①对于任意凸四边形ABCD，一定存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②如果四边形ABCD为任意平行四边形，那么一定存在无数个四边形MNPQ是矩形；③如果四边形ABCD为任意矩形，那么一定存在一个四边形为正方形；④如果四边形ABCD为任意菱形，那么一定存在一个四边形为正方形．【变式5-1】（2022春•岳麓区校级月考）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是．【变式5-2】（2022春•汉寿县期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在AC 上，且OE＝OF，连接DE并延长至点M，使DE＝ME，连接MF，DF，BE．（1）当DF＝MF时，证明：四边形EMBF是矩形；（2）当△DMF满足什么条件时，四边形EMBF是正方形？请说明理由．【变式5-3】（2022春•沛县期中）已知在△ABC中，D为边BC延长线上一点，点O是边AC上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠ACD的平分线相交于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）试确定点O在边AC上的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．（3）在（2）的条件下，且△ABC满足条件时，矩形AECF是正方形？．【题型6 正方形判定的证明】【例6】（2022春•虹口区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E是对角线BD上的一点，且AE＝CE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果AB＝BE，且∠ABE＝2∠DCE，求证：四边形ABCD是正方形．【变式6-1】（2022春•宜城市期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，过点D作DE ∥AC与BC的延长线交于点E，连接AE交DC于F．（1）求证：BC＝CE；（2）连接BF，若∠DAF＝∠FBE，且AD＝2CF，求证：四边形ABCD是正方形．【变式6-2】（2022秋•市南区期末）已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．（1）求证：AF＝CG；（2）连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH 是正方形？【变式6-3】（2022•上海）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形．【题型7 正方形的判定与性质综合】【例7】（2022•威海）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O．（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1cm，则图3中阴影部分的面积为cm2．【变式7-1】（2022•萧山区模拟）如图，P为正方形ABCD内的一点，画▱P AHD，▱PBEA，▱PCFB，▱PDGC，请证明：以E，F，G，H为顶点的四边形是正方形．【变式7-2】（2022•萧山区模拟）已知：如图，边长为4的菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，BE＝1，且DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求线段OF的长．【变式7-3】（2022春•潜山市期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3√2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【题型8 探究正方形中的最值问题】【例8】（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，在正方形ABCD中，M，N是边AB上的动点，且AM＝BN，连接MD交对角线AC于点E，连接BE交CN于点F，若AB＝3，则AF长度的最小值为．【变式8-1】（2022•泰山区一模）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（）A．2B．1C．√5−1D．√5−2【变式8-2】（2022•青山区模拟）已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝4AB＝8，E为线段AD上一动点，以CE 为边向上构造正方形CEFG，连接BF，则BF的最小值是．【变式8-3】（2022•郧阳区模拟）如图，P A=2√2，PB=4√2，以AB为边作正方形ABCD，使得P、D两点落在直线AB的两侧，当∠APB变化时，则PD的最大值为．【题型9 正方形在坐标系中的运用】【例9】（2022春•市中区期末）在平面直角坐标系中，对于两个点P、Q和图形W，如果在图形W上存在点M、N（M、N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．已知正方形的边长为2，一边平行于x轴，对角线的交点为点O，点D的坐标为（2，0）．若点E（x，2）与点D是正方形的一对平衡点，则x的取值范围为（）A．﹣3≤x≤3B．﹣4≤x≤4C．﹣2≤x≤2D．﹣5≤x≤5【变式9-1】（2022秋•永新县期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣2，0）、B（0，﹣2）、C（2，0）、D（0，2），求证：四边形ABCD是正方形．【变式9-2】（2022春•顺城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线OC：yOC＝3x与直线AC：yAC＝﹣x+8相交于点C（2，6）．（1）点M从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿x轴向左运动，两点同时出发．分别过点M，N作x轴的垂线，分别交直线OC，AC于点P，Q，请你在图1中画出图形，猜想四边形PMNQ的形状（点M，N重合时除外），并证明你的猜想；（2）在（1）的条件下，当点M运动秒时，四边形PMNQ是正方形（直接写出结论）．【变式9-3】（2022•河南模拟）如图，正方形OABC 中，点A （4，0），点D 为AB 上一点，且BD ＝1，连接OD ，过点C 作CE ⊥OD 交OA 于点E ，过点D 作MN ∥CE ，交x 轴于点M ，交BC 于点N ，则点M 的坐标为（ ）A ．（5，0）B ．（6，0）C ．（254，0）D ．（274，0） 【题型10 正方形中的多结论问题】【例10】（2022春•慈溪市期末）如图，正方形ABCD 中，点P 为BD 延长线上任一点，连结P A ，过点P 作PE ⊥P A ，交BC 的延长线于点E ，过点E 作EF ⊥BP 于点F ．下列结论：（1）P A ＝PE ； （2）BD ＝2PF ；（3）CE =√2PD ； （4）若BP ＝BE ，则PF =(√2+1)DF ．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式10-1】（2022春•渝中区校级期中）如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），∠DAM ＝45°，点F 在射线AM 上，且AF =√2BE ，CF 与AD 相交于点G ．连接EC 、EF 、EG ．下列结论：①∠ECF ＝45°；②△AEG 的周长为（1+√22）a ；③BE 2+DG 2＝EG 2；④当G 是线段AD的中点时，BE =13a ．正确的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式10-2】（2022秋•三水区月考）如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE＝AD，DF＝BD，连接BF分别交CD，CE于H，G，下列结论：①HF＝2HG；②∠GDH＝∠GHD；③图中有8个等腰三角形；④S△CDG＝S△DHF．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式10-3】（2022春•玉林期末）如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分∠F AE，AG分别交BC、EF于点G、H，连接EG、DH．则下列结论中：①BF＝DE；②∠EGC＝2∠BAG；③AD+DE=√3DH；④DE+BG＝EH；⑤若DE＝CE，则CE：CG：EG＝3：4：5，其中正确的结论有．。
正方形的判定(教材分析)
正方形的判定(教材分析)1. 引言在初等数学课程中，正方形是一个重要的概念。
在教学过程中，学生需要掌握如何判定一个图形是否为正方形，以及正方形的性质和特点。
本文将对目前教材中关于正方形判定的内容进行分析和评价，以确定教材是否充分满足学生的研究需求。
2. 教材内容分析2.1 正方形的定义教材首先对正方形进行明确定义，即四边相等且四个角都是直角的四边形。
该定义准确简练，容易理解。
2.2 正方形的判定方法教材介绍了两种判定正方形的方法：边长判定和对角线判定。
2.2.1 边长判定教材提供了判定正方形的边长判定方法：如果一个四边形的四条边相等，则该四边形为正方形。
该方法简单易行，适合学生初步了解和判定正方形的特点。
2.2.2 对角线判定教材还介绍了对角线判定正方形的方法：如果一个四边形的对角线相等且互相垂直，则该四边形为正方形。
这种方法在实际问题中更具实用性，能够帮助学生更深入地理解正方形的特点。
2.3 正方形的性质和特点教材对正方形的性质和特点进行了详细的介绍：- 正方形是长方形的特殊情况，它具有长方形的所有性质。
- 正方形的周长等于4倍的边长，面积等于边长的平方。
- 正方形的对角线相等且互相平分。
通过对这些性质和特点的介绍，学生可以更好地理解正方形的几何性质和应用价值。
3. 教材评价3.1 优点教材在正方形判定的内容上有以下优点：- 正方形的定义准确简练，易于理解。
- 出现了多种判定方法，有利于学生掌握不同的思路和方法。
- 对正方形的性质和特点进行了全面深入的介绍，有助于学生扩展和应用相关知识。
3.2 不足之处教材在正方形判定的内容上也存在以下不足之处：- 缺乏足够的例题和练题，学生在应用判定方法时缺乏实践机会。
- 缺乏关于正方形相关问题的应用实例和拓展，将正方形的几何知识与实际问题相结合的能力有待提高。
4. 教材改进建议为了更好地满足学生的研究需求，本文提出以下教材改进的建议：- 增加更多例题和练题，让学生能够主动运用判定方法来判断一个图形是否为正方形。
正方形的性质和判定
正方形的性质与判定1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2.性质：（1）对边平行；（2）四条边都相等；（3）四个角都是直角；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3.面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形；（3）一组邻边相等的矩形是正方形（4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形随堂练习1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线平分一组对角2. 已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④3.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ ）A ．BC ＝ACB ．CF ⊥BFC ．BD ＝DF D ．AC ＝BF第3题 第4题 第5题 第6题4.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°5.如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，），则点B 的坐标为（ ）A ．（1﹣， +1）B ．（﹣， +1）C ．（﹣1，+1） D ．（﹣1，）6.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A． B． C．1 D．1﹣7.正方形ABCD中E为线段BC上的动点如图①，过A作AF⊥DE，F为垂足，延长AF交DC于G如图②，①求证：AG＝DE②连接BF，当E为BC中点时，求证：AB＝FB．巩固提升1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③C．①③ D．②④2.如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR的值为（）A． B． C．D．第2题第3题第4题3.如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.2B.3C.23 D 34.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 (x)上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…，则正方形A 2019B 2019C 2019D 2019的边长是（ ）A.()201821B ．()201921C ．()201833D ．()2019335.如图，正方形CEFG 的边GC 在正方形ABCD 的边CD 上，延长CD 到H ，使DH ＝CE ，K 在BC 边上，且BK ＝CE ，求证：四边形AKFH 为正方形．。
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定正方形是一种特殊的四边形，具有特定的性质和判定条件。
本文将对正方形的性质进行分析，并介绍如何判定一个四边形是否为正方形。
一、正方形的定义和性质正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形。
以下是正方形的一些性质：1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，记为a。
2. 直角：正方形的四个角都是直角，即90度。
3. 对角线相等：正方形的对角线相等，记为d。
4. 对角线垂直：正方形的对角线互相垂直，即两条对角线的夹角是直角。
二、正方形的判定条件如何判定一个四边形是否为正方形呢？下面是几种常见的判定条件：1. 边长相等且对角线相等：如果一个四边形的四条边长度相等且对角线相等，则这个四边形是正方形。
2. 边长相等且对角线互相垂直：如果一个四边形的四条边长度相等且对角线互相垂直，则这个四边形是正方形。
3. 内角相等且边长相等：如果一个四边形的四个内角都是直角（90度），且四条边长度相等，则这个四边形是正方形。
三、应用举例1. 例1：已知一个四边形的边长都是5厘米，并且对角线相等，判断这个四边形是否是正方形。
根据判定条件1，边长相等且对角线相等，则可以判断这个四边形是正方形。
2. 例2：已知一个四边形的边长都是4厘米，并且对角线互相垂直，判断这个四边形是否是正方形。
根据判定条件2，边长相等且对角线互相垂直，则可以判断这个四边形是正方形。
3. 例3：已知一个四边形的内角都是直角，且边长相等，判断这个四边形是否是正方形。
根据判定条件3，内角都是直角且边长相等，则可以判断这个四边形是正方形。
四、正方形的应用领域正方形作为一种特殊的四边形，具有独特的性质，在很多领域都有广泛的应用：1. 建筑设计：正方形的对称性使得它在建筑设计中常用于布局规划，例如正方形的房间、庭院等。
2. 绘画和艺术：正方形作为一种几何图形，在绘画和艺术作品中常常被用作构图元素，营造平衡和和谐感。
3. 数学研究：正方形是数学研究中的重要对象，与其他几何形状有着密切的联系，深入研究正方形的性质可以推广到其他领域。
正方形的性质和判定
A
E A
M B
E
思考题： 如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O 又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形 OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.
探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会 发生变化？并说明理由。 探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边 分别相交于M N，试判断线段AM于BN之间 的关系.
正方形的定义
有一个角是直角且一组邻边相等的平行四 边形叫做正方形 一个角是直角 正方形 平行四边形 一组邻边相等
正 方 形 的 性 质
边 角
正方形的对边平行且相等 正方形的四个角都是直角
正方形的 两条对角线互相垂直平分 对角线 且相等,每条对角线平分一组对角
1.正方形的定义？
A B
O D C
2. 正方形具有哪些性质？
⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（ 菱形 ）
⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
（ 正方形 ）
6．四个内角都相等的四边形一定是（C ）
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形 7．在四边形ABCD中，O是对角线的交点， 能判定这个四边形是正 方形的是：（ A ） A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠A＝∠C C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC D．AC＝BD
3. 正方形有哪些判定方法？
一般平行四边形与特殊平行四边形的关系 （从定义观察）
菱 形
平行 四边形
正方形
矩 形
平行四边形、矩形、菱形、 正方形四者关系
正方形的性质及判定
正方形的性质及判定
学习目标
1.掌握正方形的概念，理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，发展思维能力.
2.经历从矩形、菱形类比，归纳总结正方形的性质和判定定理的过程，掌握正方形的性质和判定定理，能够综合运用正方形的性质和判定定理进行计算或证明，提高抽象概括和逻辑推理能力.
教学过程
活动一:正方形的定义
定义：条边都，四个角都是的四边形叫做正方形.
活动二:正方形的性质
1.平行四边形的性质
（1）边：对边（2）角：邻角，对角（3）对角线：对角线
2.菱形的性质
（1）边：四条边（2）对角线：对角线，并且每一条对角线平分一组
3.矩形的性质
（1）角：四个角都是（2）对角线：对角线
归纳总结：正方形的性质
正方形既是菱形，又是矩形，因此正方形具有菱形和矩形所有的性质。
（1）边：对边，且四条边 ;
（2）角：四个角都是 ;
（3）对角线：对角线且互相，
每条对角线一组对角.。
正方形的定义与判定
正方形那点事儿：一看就懂的定义与判定嘿，朋友们，今儿咱们来聊聊一个既简单又有趣的几何图形——正方形。
别一听到“几何”俩字儿就头疼，咱们用大白话，保证让你一听就明白，一看就懂！一、正方形是啥玩意儿？首先啊，咱们得知道正方形是个啥。
正方形，说白了，就是四条边都一样长，四个角都是直角的四边形。
哎，别急，咱一个个来解释。
四条边都一样长：想象一下你手里有个正方形的纸片，你不管怎么量它的四条边，长度都是一样的。
不像长方形那样，有长边和短边之分。
四个角都是直角：直角就是咱们平时说的90度的角。
你瞅瞅正方形的四个角，每一个都是直愣愣的，跟咱们家里墙角那个样儿一模一样。
所以，正方形就是这样一个规矩得不能再规矩的图形，既匀称又美观。
二、咋判定一个图形是不是正方形？好了，知道了正方形是啥样儿的了，那接下来咱们就说说怎么判断一个图形是不是正方形。
别急，咱们一步步来。
方法一：直接观察法这个最简单了，你直接拿眼睛看。
如果一个图形看起来四条边都差不多长，四个角也都是直角的，那它八成就是正方形了。
不过啊，这种方法有点儿靠不住，毕竟咱们的眼睛有时候也会骗人，特别是图形画得不太标准的时候。
方法二：尺子量一量拿出你的尺子，开始量吧！如果一个四边形的四条边长度都一样，那你就可以先给它打个“可能是正方形”的标签了。
接着，你再拿量角器量量它的四个角，如果都是90度，那恭喜你，这个图形就是正方形了。
方法三：利用性质判定这个稍微复杂点儿，但是很有用。
正方形作为四边形的一种，它有一些特殊的性质。
咱们可以利用这些性质来判断一个图形是不是正方形。
对边平行且相等：这是四边形的基本性质，正方形作为四边形，当然也得满足。
不过光这一点儿还不够，因为长方形也对边平行且相等，但它不是正方形。
对角线相等且互相垂直平分：正方形的对角线不仅长度一样，而且它们还互相垂直，并且把对方平分成两段。
这个性质可是正方形独有的哦！邻边垂直：正方形的相邻两条边是垂直的。
这一点儿也很重要，因为它把正方形和菱形区分开来了。
正方形的性质
正方形的性质正方形是一种具有特殊性质的四边形，它拥有独特的内部结构和几何特征。
下面我将详细介绍正方形的性质，并探讨其在几何学和实际生活中的应用。
1. 基本定义正方形是一个特殊的长方形，四条边长度相等且四个内角均为90度。
正方形的对角线相等且垂直，且对角线也是正方形的轴对称线。
例如，当边长为a时，正方形的周长为4a，面积为a^2。
2. 对称性正方形具有多种对称性质。
首先，它是轴对称的，即以中心点为对称中心，可将正方形分成两个相等的部分。
其次，正方形也是旋转对称的，即围绕中心点旋转180度或90度都可得到相同的正方形。
3. 内角性质所有正方形的内角均为90度。
这意味着正方形的四个角均相等，并且每个角的补角也是90度。
无论正方形怎样旋转或翻转，其内角性质不会改变。
4. 相关定理正方形的性质也产生了一些重要的几何定理和性质。
以下是一些常见的相关定理：a. 对角线定理：正方形的对角线相等，并且垂直于彼此。
这个定理十分重要，因为它不仅适用于正方形，还适用于其他一些四边形。
b. 垂直性质：正方形的内角都是直角，因此四条边都彼此垂直。
这使正方形在建筑工程和制图中得到广泛应用。
c. 角平分线定理：正方形的对角线同时也是相邻两个角的平分线。
这个定理可以用来计算正方形内部角的大小。
d. 定比分点定理：正方形的对角线将其内部分为两个等比例的三角形。
这个定理可以用来解决一些相关题目，如计算正方形内部具体点的坐标等。
5. 实际应用正方形作为一种具有独特性质的几何图形，在实际生活中得到了广泛应用。
以下是一些实际应用的例子：a. 建筑设计：正方形具有稳定而坚固的结构特征，因此在建筑设计中被广泛使用。
例如，许多大型建筑物的基础是正方形的，以确保其稳定性和平衡性。
b. 绘画和艺术：正方形是一种简单而美观的形状，常被艺术家用于创作各种艺术作品。
作为图形的基本元素，正方形可以为作品带来平衡和和谐感。
c. 瓷砖和地板设计：正方形的瓷砖和地板设计在家居装饰中非常常见。
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正方形的定义性质判定
执笔：陈振华课型：新课审稿：八年级数学组
教学目标：理解正方形的定义，掌握正方形的性质和判定方法
预习导航
一、理解定义
1、如何将长方形纸片折叠后得到正方形图形，折一折
2、如何在下面的长方形中画一条直线得到正方形图形，试一试
由上面的操作可给正方形定义为______________的矩形叫正方形
3、如何将顶点不固定的棱形变为正方形
因此，我们还可以把_____________的棱形叫正方形
二、找性质
1、因为正方形是特殊的矩形，所以
它具有矩形的性质，对边_________，四角都是__________，对角线__________ _____
2、因为正方形是特殊的棱形，所以
它具有棱形的性质，四边_____，对角线______且_________
讲例与探究
探究一、（1）求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成了四个全等的等腰直角三角形
（2）若边长为a，求BO的长A B
O
D C
探究二、
边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30度到正方形AB1C1D1的位置，则图中阴影部分的面积是
课堂练习
1、求证：对角线互相垂直的矩形是正方形
2、在边长为12cm的正方形纸片ABCD的BC边上有一点P，已知PB＝5cm，如果将纸折起，使点A落在点P上，试求折痕的长度。
3、设P是正方形ABCD内的一点，满足PA∶PB∶PC＝1∶2∶3，求∠APB．
4、ABCD为正方形，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
求证：BM＝CN。
课外练习
2、如图，正方形ABCD 中，△BEC 为等边三角形，求∠EAD 的度数
3、四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 上任一点，∠AEF=90°，且EF 交正方形的外角的平分线CF 于点F ，求证：AE=AF
1．如图(5)，在AB 上取一点C ，以AC 、BC 为正方形
的一边在同一侧作正方形AEDC 和BCFG 连结AF 、BD 延长BD 交AF 于H 。
试猜想AF 与BD 的关系并证明
D A
B E
D B
探究三、在下图中，正方形ABCD的边长为b，对角线交于点O，点O又是正方形
A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等。
那么无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总是多少？并说明道理。
我们来当设计师：下图是一块正方形的草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，请将你的方案画出来，能画几种就画几种，画完后比比谁有创意。
教学反思
1。