3.3——概率论课件PPT
合集下载
概率论基础3.3
例6 设X～U(0,1), 求Y=ax+b的概率密度(a≠0)。
y b ， 解: Y=ax+b关于x严单, 其反函数为 h( y ) a
y b 1 故 fY ( y) f [h( y)] | h( y) | f X ( ) a a
1 0 x 1 而 f X ( x) 0 others
a X
i 1 i
n
i
~ N ( ai i , ai2 i2 )
i 1 i 1
n
n
EX 卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X (kg)服从
N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000 kg, 问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超 过0.05。
解:设最多装 n袋水泥，Xi为第i袋水泥的重量。 n 2 X ~ N ( 50 n , 2 . 5 n), 则 i 由题意有：P{ X i 2000 } 0.05
FM ( z ) Fi ( z ),
i 1
则，M 和 N 的分布函数分别为： n n
i 1
FN ( z ) 1 [1 Fi ( z )]
特别地，当X1, X2, …, Xn独立同分布时，有
FM(z)＝[F(z)] ; FN(z)＝1－[1－F(z)] .
进一步，若X1, X2, …, Xn独立同分布，其公共密度 为f (x)，则M和N的密度函数可由以下二式表出
y
f Z ( z)
或
f
X
( x) f Y ( z x)dx
x+y z
x+y=z x
＝ f X ( z y ) f Y ( y ) dy
EX 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，
概率论与数理统计3.3条件分布
f (x, y) fX (x)
1 2x
,
0,
x y x, 其它。
(3)
P{ X
1 |Y
0}
P{ X
1 ,Y 2
0}
2
P{Y 0} y
(1
1) 2
1 2
2
3
1 11
4
0
2
yx
11
x
2
12
条件分布
例 设二维随机变量 (X ,Y )服从正态分布,即有
X， Y ~
N
1，
2，
2，
1
2，
0 x y 1,
所以,当0<y<1时
0,
其 它.
fY y
f
x，
ydx
y
0
1 1 x
dx
ln1
y
y.
所以,随机变量Y的密度函数为
1
fY
y
ln1
0,
y,
0 y 1, 其 它.
0
1x
16
xy
f x， y fY y
2
1
2 1
1r2
exp
2
2 1
1 1
r2
x
1
r
1 2
y
2
2
x
结论 二元正态分布的条件分布是一元正态分布,即
N
1
1 2
y
2
，
2 1
1 2
14
条件分布
例 设随机变量X服从区间(0,1)上的均匀分布,当 0<x<1时,随机变量Y在X=x的条件下服从区间(x,1) 上的均匀分布,试求随机变量Y的密度函数.
《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性
i, j=1, 2, ...,
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
概率论与数理统计课件第三章
f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(y
2)2
2 2
其中1、2、1、 2、都是常数，且1 0， 2 0，1 1.
则称（X,Y）服从参数为1、2、1、的二2、维 正态分布，
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
2F(x, y) f (x, y) xy
(5)若(X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y),则
F(x,y) P{X x,Y y}
返回
X
18
第
页
例5 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
Ae2(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
（1）确定常数A；
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
返回
X
25
第
页
例1 设二维随机向量（X,Y）的联合分布函数为
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
F(x, y)
0, 其他.
求边缘分布 FX (x), FY ( y)
当x
0时，FX
(x)
lim (1
y
e2 x
)(1
e3 y
)
1
e2 x
返回
X
14
第
例3 设随机变量Y~N(0，1),令
0, X 1 1,
| Y | 1
0,
|Y
|
概率论-3.3 条件分布
55
同理，已知 X=1的条件下Y的条件分布律为：
Y k
01
PY k | X 1 1 3
44
2020年4月26日星期日
3
目录
上页
下页
返回
二、连续型随机变量的条件分布
定义:对任意给定的正数 ，若 Px X x 0 ，
且对任意实数 y ，极限
lim
0
PY
y
|
x
X
x
lim
0
Px X x ,Y Px X x
y
存在，则称此极限为条件{X=x}的条件下Y的条件分布函
数。记为 FY|X ( y | x)
由于
FY |X
(y
|
x)
lim
0
PY
y
|
x
X
x
Px X x ,Y y
lim 0
Px X x
2020年4月26日星期日
4
目录
上页
下页
返回
lim 0
y
x x
f
(x,
y)dx
布律定义为：
P Y yj | X xi
P
X xi ,Y y j
PX xi
pij , j 1, 2,L pi
2020年4月26日星期日
1
目录
上页
下页
返回
例：已知(X, Y)的分布律如下:
X
求:(1).已知 Y=1的条件下X的
Y
0 1 p j 条件分布律。
0 0.4 0.1 0.5
x
e y y
,
0,
x 0, y 0, 其它.
因此
P
X 1Y y
同理，已知 X=1的条件下Y的条件分布律为：
Y k
01
PY k | X 1 1 3
44
2020年4月26日星期日
3
目录
上页
下页
返回
二、连续型随机变量的条件分布
定义:对任意给定的正数 ，若 Px X x 0 ，
且对任意实数 y ，极限
lim
0
PY
y
|
x
X
x
lim
0
Px X x ,Y Px X x
y
存在，则称此极限为条件{X=x}的条件下Y的条件分布函
数。记为 FY|X ( y | x)
由于
FY |X
(y
|
x)
lim
0
PY
y
|
x
X
x
Px X x ,Y y
lim 0
Px X x
2020年4月26日星期日
4
目录
上页
下页
返回
lim 0
y
x x
f
(x,
y)dx
布律定义为：
P Y yj | X xi
P
X xi ,Y y j
PX xi
pij , j 1, 2,L pi
2020年4月26日星期日
1
目录
上页
下页
返回
例：已知(X, Y)的分布律如下:
X
求:(1).已知 Y=1的条件下X的
Y
0 1 p j 条件分布律。
0 0.4 0.1 0.5
x
e y y
,
0,
x 0, y 0, 其它.
因此
P
X 1Y y
课件3：3.1.1 随机事件的概率
频率
频数
4.概率 （1）定义：对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数 的增加，事件 A 发生的频率 fn(A)会稳定在某个常数上， 把这个常数记为 P(A)，称它为事件 A 的概__率__. （2）由概率的定义可知，事件 A 的概率可以通过大量 的重复试验后，用频率值估计概率. （3）必然事件的概率为_1_，不可能事件的概率为_0_， 因此概率的取值范围是[_0_,_1_] .
【变式与拓展】 3.某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表：
投篮次数 n/次 8 10 15 20 30 40 50 进球次数 m/次 6 8 12 17 25 32 38
(1)填写表中的进球频率； (2)这位运动员投篮一次，进球的概率大约是多少？ 解：(1)从左到右依次填：0.75，0.8，0.8，0.85，0.83，0.8，0.76. (2)由于进球频率都在 0.8 左右摆动，故这位运动员投篮一次，进球 的概率约是 0.8.
第三章 概率
3.1 随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率
1.事件的分类 (1)确定事件： ①必然事件：在条件 S 下，_一__定__会__发__生_的事件； ②不可能事件：在条件 S 下，_一__定__不__会__发__生_的事件. 必然事件与不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件. (2)随机事件： 在条件 S 下，_可__能__发__生__也__可__能__不_发__生__的事件. 确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母 A，B， C…表示.
(B ) A.3 个都是男生
B.至少有 1 个男生
C.3 个都是女生
D.至少有 1 个女生
2.抛掷一枚骰子两次，请就这个试验写出一个随机事件： 两__次__的__点__数__都__是__奇__数__，一个必然事件：_两__次__点__数__之__和__不__小__于__2_， 一个不可能事件：_两__次__点__数__之__差__的__绝__对__值__等__于___6__.
概率论与随机过程：3.3 条件分布
1, n1
m=1,2, …,n-P{X m,Y n}
P{X m}
p2 (1 p)n2 p(1 p)m1 p(1 p) , nm1 n=m+1,m+2, …
二、连续型r.v的条件分布
1. 条件分布函数
在讨论二维连续型随机变量(X,Y)的条件分布时，
推广到随机变量
设有两个r.v X,Y ， 在给定Y取某个或某 些值的条件下，求X的概率分布.
这个分布就是所谓的条件分布.
例如，考虑某大学的全体学生，从其中随
机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和
身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都有一定
的概率分布.
身高Y
体重X
的分布
体重X
身高Y 的分布
现在若限制1.7<Y<1.8(米), 在这个条件下 去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学 生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑 出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布.
例如：P( X xi | Y y j ) 0, i=1,2, …
P(Y y j | X xi ) 1
(1)
P{ X
j 1
xi |Y
yj}
pij p• j
0,
P{Y
yj
|
X
xi }
pij pi•
0,
(2)
P{Y
j 1
yj | X
xi }
j 1
pij pi•
1 pi•
j 1
y x
( f (u,v)d u)d v
lim 0
x x
fX (u)d u
x y
f (x,v)dv
y
f (x,v) dv
概率论与数理统计3.3 随机变量的分布函数
F () =P X P 0
F() =P X P 1
3. 记{xn}是严格递减的数列且xn x,
F (x1) F (x)
P{ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X
x1}
P
xn1
X
xn
n1
P xn1 X xn [F (xn ) F (xn1)]
2.3、随机变量的分布函数
设X是一个随机变量, x 是任意实数, 函数
F( x) P{X x}
称为X的分布函数．
几何定义：将 X 看成是数轴上的随机点的坐标，分布
函数F ( x)在 x 处的函数值就表示 X 落在区间(, x]上 的概率。
X
0x
x
FX (x) P( X x), x
x
x
(3)
F(x)
右连续，即
lim
x x0
F(x)
F ( x0 )
分布函数性质的证明：
1. x1, x2 R且x1 x2.
则 F (x2 ) F (x1) P{x1 X x2} 0，
F (x1) F (x2 )
2. F (x) P{X x},
F(x) P(X x), （ x ）
分布函数的性质(充要条件）
(1) F x 在 , 上是一个不减函数 ,
即对 x1 , x2 , 且 x1 x2 ,都有 F x1 F x2 ;
(2) F() lim F x 0 F() lim F x 1
P{x1 X x2} F (x2 ) F (x1 )
F() =P X P 1
3. 记{xn}是严格递减的数列且xn x,
F (x1) F (x)
P{ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X
x1}
P
xn1
X
xn
n1
P xn1 X xn [F (xn ) F (xn1)]
2.3、随机变量的分布函数
设X是一个随机变量, x 是任意实数, 函数
F( x) P{X x}
称为X的分布函数．
几何定义：将 X 看成是数轴上的随机点的坐标，分布
函数F ( x)在 x 处的函数值就表示 X 落在区间(, x]上 的概率。
X
0x
x
FX (x) P( X x), x
x
x
(3)
F(x)
右连续，即
lim
x x0
F(x)
F ( x0 )
分布函数性质的证明：
1. x1, x2 R且x1 x2.
则 F (x2 ) F (x1) P{x1 X x2} 0，
F (x1) F (x2 )
2. F (x) P{X x},
F(x) P(X x), （ x ）
分布函数的性质(充要条件）
(1) F x 在 , 上是一个不减函数 ,
即对 x1 , x2 , 且 x1 x2 ,都有 F x1 F x2 ;
(2) F() lim F x 0 F() lim F x 1
P{x1 X x2} F (x2 ) F (x1 )