12相互独立的随机变量
两随机变量相互独立的充要条件
两个随机变量相互独立的充要条件是它们的联合概率分布等于各自边缘概率分布的乘积。
设有两个随机变量 X 和 Y，它们的联合概率分布记为 P(X, Y)，边缘概率分布分别记为 P(X) 和P(Y)。
充分条件：如果 X 和 Y 相互独立，则它们的联合概率分布等于各自边缘概率分布的乘积，即：
P(X, Y) = P(X) * P(Y)
这表示对于所有可能的 X 和 Y 的取值，联合概率等于各自边缘概率的乘积。
需要注意的是，当联合概率等于边缘概率的乘积时，并不一定说明 X 和 Y 是相互独立的。
这只是相互独立的充分条件。
在一些情况下，这个条件可能成立但 X 和 Y 仍然不是相互独立的。
另外，如果 X 和 Y 是离散型随机变量，那么可以通过条件概率来验证独立性。
具体来说，如果 P(X|Y) = P(X) 或者 P(Y|X) = P(Y) 成立，则表示 X 和 Y 是相互独立的。
总结起来，两个随机变量 X 和 Y 相互独立的充分条件是它们的
联合概率分布等于各自边缘概率分布的乘积，但这并不一定是必要条件。
随机变量的相互独立性
例2 设X与Y是两个相互独立的随机变量, X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的概率密度 5 y 为: 5e , y 0
求 P{Y≤X}
fY ( y ) 0,
D
其它
解: P{Y≤X} f ( x , y )dxdy
1 5 , 0 x 0 .2 0 .2 0 f X ( x) 其它 0,
12
若(X,Y)的概率密度为
2 , 0 x y ,0 y 1 f ( x, y ) 其它 0,
情况又怎样？
解： f X ( x )
fY
( y)
1
x y 0
2dy 2(1 x ), 2dx 2 y,
0<x<1
0<y<1
由于存在面积不为0的区域， f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 故X和Y不独立 .
13
例5 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面. 如果甲来到的时间在 12:15到12:45之间是均匀 分布 . 乙独立地到达 , 而且到达时间在 12:00 到 13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一 人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的 概率是多少？
解: 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻
( x y )
问X和Y是否独立？
0
xe
dy xe x , x>0
y
fY ( y) xe
0
( x y )
dx e ,
y >0
即： xe x , x 0 f X ( x) 0, 其它
e y , y 0 fY ( y ) 0, 其它
§3.4相互独立的随机变量
9
可以验证此时有
p ij p ip j i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3
因 此 ， 取 a=2,b1时 X 与 Y 相 互 独 立 .
99
7
例3 设X和Y相互独立，其边缘分布律如下 表，试求(X,Y)的联合分布律和P(X+Y=1)及 P(X+Y≠0).
X -2 -1 0 1/2 pi. 1/4 1/3 1/12 1/3
Y
-1/2 1
3
p.j
1/2 1/4 1/4
8
解：因X和Y相互独立，
应 有 p i j p i p j i 1 ,2 ,3 ,4 ;j 1 ,2 ,3
故(X,Y)的联合分布律为
Y
-1/2
1
3
X
-2
1/8
1/16
1/16
-1
1/6
1/12
1/12
0
1/24
1/48
1/48
1/2
1/6
1/12
1
由二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的定义 可知，二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的 充要条件是：对任意的x,y,有
F (x ,y ) F X (x )F Y (y )
它表明，两个随机变量相互独立时，它们 的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘 积.
2
若(X,Y)是连续型随机变量,则上述独立性的 定义等价于：若对任意的 x, y, 有
1 x2y2
f(x,y)2e 2
x,y
P {X2Y21} f(x,y)dxdy x2y21
1
x2 y2
e 2 dxdy
2 x2 y2 1
17
钱敏平龚光鲁随机过程答案（部分）
钱敏平龚光鲁随机过程答案（部分）随机过程课后习题答案第⼀章第⼆题：已知⼀列⼀维分布{();1}n F x n ≥，试构造⼀个概率空间及其上的⼀个相互独⽴的随机变量序列{(,);1}n n ξ?≥使得(,)n ξ?的分布函数为()n F x 。
解：有引理：设ξ为[0, 1]上均匀分布的随机变量，F(x)为某⼀随机变量的分布函数，且F(x)连续，那么1()F x η-=是以F(x)为分布的随机变量。
所以可以假设有相互独⽴的随机变量12,,...,n θθθ服从u[0, 1]分布，另有分布{()}n F x ，如果令1(,)()n n n F ξθ-?=，则有(,)n ξ?为服从分布()n F x 的随机变量。
⼜由假设条件可知，随机变量{(,),1}n n ξ?≥之间相互独⽴，则其中任意有限个随机变量12(,), (,),...,(,)n i i i ξξξ的联合分布为：11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i x i x i x F x F x F x ξξξ?≤?≤?≤=再令112{,,...,,...},,{|()[0,1],1,2,...}n i i i i w w w w A A x F x i -Ω=∈=∈=，令F 为Ω所有柱集的σ代数，则由Kolmogorov 定理可知，存在F 上唯⼀的概率测度P 使得：11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i w i w i w F w F w F w ξξξ?≤?≤?≤=则所构造的概率空间为(Ω,F , P)。
第⼋题：令{};1n X n ≥是⼀列相互独⽴且服从(0,1)N （正态分布）的随机变量。
⼜令1n n S X X =++22(1)n S n n ξ+=1(,,)n n F X X σ=试证明：,;1n n F n ξ≥（）是下鞅（参见23题）。
3.4 随机变量的独立性
第2页
3.4 随机变量独立性
可以证明如下结论： （1）若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义等价于：
对任意的 x, y, 有
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
第6页
3.4 随机变量独立性
例3.4.1
1.
P( X P( X P( X P( X
X ,Y 具有分布律右图，则：
1, Y 0) 1 6 P( X 1) P(Y 0) 2, Y 0) 1 6 P( X 2) P(Y 0) 1, Y 1) 2 6 P( X 1) P(Y 1) 2, Y 1) 2 6 P( X 2) P(Y 1)
p ij p i p j
离散型随机变量的联合分布列等于其边缘分布列的乘积
P { X x i | Y y j } p i , , P { Y y j | X x i } p j
任一变量的条件分布列等于其边缘分布列
要判断 X 和 Y 不独立,只需找到 X, Y 的一对取值(xi,yj),使得 P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }.
P( X1 x1i1 )
i2 ,i3 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 )
f X1 ( x1 )
i3 ,i4 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
相互独立的随机变量
pij
1 6
1 9
1 18
1 3
(1) 求 与 应满足的条件 ; (2) 若 X 与 Y 相互独立, 求 与 的值.
解 将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
Y
X
1 2
1 1 6 1 3
即 pij pi p j .
( 2) 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x , y ), 边缘概率密度分别为f X ( x ), fY ( y ), 则有
X 和 Y 相互独立 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ).
( 3) X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
因此负责人和他的秘书 到达办公室的时间相差 1 不超过 5分钟的概率为 . 48
类似的问题如： 甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独 立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的 . 若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头 只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出 的概率.
在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等 可能的. 若收到两个互相独立的这种信号的时间间 隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰. 求发生两信 号互相干扰的概率.
X x1 Y y1 y2 y3pi1/24 1/8 /61/8 3/8 1/2
1/12 1/4 1/4 3/4 1/3 1
x2
p j
例5 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12 时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时, 设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办 公室的时间相差不超过 5 分钟的概率. 解 设 X 和Y 分别是负责人和他的秘 书到
12随机变量及其分布
xi pi，X是离散分布 xp( x)dx，X是连续分布
※ 方差：用来表示分布的散布大小，用Var(X) 表示。
Var（X）=
i
xi E( X )2 pi , X是离散分布
b x
a
E（X）2
p（x）dx，X是连续分布
※ 标准差： =（X）= Var( X )
【例2-4】
甲乙两种牌子的手表，它们的日走时误差分别为X与Y （单位：秒），已知X与Y分别有以下分布列（概率函数）：
2020/8/4
24
2．泊松分布 泊松分布可用来描述不少随机变量的概率分布，如： 一定时间内，电话交换机接错电话的次数； 一定时间内，某操作系统发生的故障数； 一个铸件上的缺陷数； 一平方米玻璃上气泡的个数； 一件产品被擦伤留下的痕迹个数； 一页书上的错字个数。
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25
若λ（λ ＞0）表示某特定单位的平均 点数，则某特定单位内出现的点数 X 取 x 值的 概率为：
（2）”掷两颗骰子，点数之和”的分布为
Y
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
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9
【例2-3】设X的分布列为：
X
1
2
3
4
5
P
p1
p2
p3
p4
p5
概率P（2≤X＜5）=（ ）。 A. p2 + p3 + p4 + p5 B. p2 + p3 + p4
※ X超出上规范限的概率，记为pu=P(X>USL) ※ X低于下规范限的概率，记为pL=P(X<LSL) X 的不合格品率 p=pL+pu
随机变量相互独立的定义
1 , 8 < x <12 f X (x) = 4 0, 其它
由独立性
1 , 7< x <9 fY ( y) = 2 0, 其它
概率论
1 , 8 < x <12,7 < y < 9 f (x, y) = f X (x) fY ( y) = 8 0, 其它
概率论
解 (1) ( X,Y ) 的联合分布律及边缘分布律 如下表所示 : Y X
0
1
2
pi⋅
2
0
m
2
( m + n)
mn ( m + n) n
2
m m+ n n m+ n
1
p⋅ j
mn ( m + n)
2
( m + n)
2
m m+ n
n m+ n
(2) 由上表可知 pij = pi⋅ ⋅ p⋅ j ( i, j = 0,1) 的相互独立. 故 X,Y 的相互独立
先到的人等待另一人到达的时间不 超过5分钟的概率 超过 分钟的概率 所求为P( 所求为 |X-Y | ≤1/12) , 1/12, 记G=|X-Y | ≤
y
所以 P( | X-Y| ≤1/12 )60 − Nhomakorabea40
− −
概率论
= ∫∫ f (x, y)dxdy
G
x − y = −5 x−y =5
1 = ×(G 的面积） 8
不是相互独立. 故 X,Y 不是相互独立
概率论
三、多维随机变量的一些概念
上面说过， 维随机变量 上面说过，n维随机变量 ( X1, X2 ,L, Xn )的分布函数定义为
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1/2 1/ 9 + a 1/18 + b
要使X与Y 相互独立, 只需 pij pi • p• j
P( X 2, Y 2 ) P(X 2 ) P(Y 2 )
1 9
(
1 9
a
)
1 3
,
a
2 9
,
P ( X 3, Y 2ຫໍສະໝຸດ ) P(X 3 ) P(Y 2 )
1 18
(
1 18
b
)
1 3
,
b
1 9
2. 若(X,Y)为连续随机变量
X与Y 相互独立充分必要条件：
f ( x, y) f X ( x) fY ( y) (对任意实数 x, y)
f X Y ( x y ) f X ( x), fY X ( y x ) fY ( y) (x, y R)
f ( x, y) f X |Y ( x | y) fY ( y) fY |X ( y | x ) f X ( x)
,
0 y 1; 其 他.
x+y=1
0
1
x
显然，f ( x, y) f X ( x) fY ( y) , 所以 X 与 Y 不独立 .
F (x, y) FX ( x) FY ( y)
则称X与Y 相互独立 .
1. 若(X,Y )为离散型随机变量 X与Y 相互独立充分必要条件:
P (X xi , Y y j ) P ( X xi ) P (Y y j ) (i, j N ) pij pi • p• j P ( X xi |Y yj ) pi • , P (Y yj | X xi ) p• j
.
例2 设随机变量(X,Y )在区域 G上服从均匀分布,
G是由 x0, y 0, x y 1 所围区域, 判定 X 与 Y 是否独立.
解
由条件知,(X,Y)的联合密度为
f
(
x,
y)
2, 0,
( x, y)G, 其他.
f
X
(
x)
2(1 0,
x)
,
0 x 1; 其 他.
y
1
fY
(
y)
2(1 0,
y)
《概率论与数理统计》 第十二课：相互独立的随机变量
12 随机变量的独立性
一两、事二件维A,随B机相变互量独的立独—立—性
定义1 若二维随机变量(X,Y)对任意的x,y,有
P(X x, Y y) P( X x) P(Y y )
则称X ,Y 相互独立 .
也可用分布函数给出等价形式, 即
设 X,Y是两个随机变量,若对任意的x, y, 有
已例知1随机变量
X Y
1
2
3
1 1/3 a
b
(X,Y)的联合分布列为 2 1/6 1/9 1/18
试确定常数 a 与 b , 使X与Y相互独立.
解 先求(X,Y)关于 X,Y 的边缘分布列:
YX 1
2
pi •
12
3
1/3 2a/ 9 1/b9 1/6 1/ 9 1/18
p• j
1/3 + a + b 1/3