条件分布及随机变量的独立性
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2-2-3随机变量的独立性,条件分布
x
FX Y ( x y) pX Y ( x y) d x
x
[ p(x, y)
pY ( y)]d x.
y
FY X ( y x) pY X ( y x) d y
y
[ p(x, y)
pX (x)]d y.
备份题
例1 设
(X,Y )
~
p( x,
y)
Cy(1 0,
x),
0 x 1,0 其 它.
则称X和Y相互独立.
例1 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2)
111 1
pij
6
9 18
3
(1) 求与应满足的条件;
(2) 若 X 与 Y 相互独立,求 与 的值.
(2,3)
解 将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
Y X
1
1
1
6
1
2
3
p• j P{Y yj } 1 2
2 1 9
1
9
3 pi• P{ X xi }
1
1
18
3
1
3
1
18
2
3
(1)由分布律的性质知
0,
0,
2
3
1,
故与应满足的条件是 : 0, 0 且 1 .
3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
pij pi• p• j , (i 1,2; j 1,2,3)
xe(x y)dy xe x
0
x>0
pY ( y) 0 xe( x y)dx e y
y >0
即：
3.4 随机变量的独立性
则称X与Y 相互独立 . 它表明,两个随机变量相互独立时,它们的联合分布函数等于 两个边缘分布函数的乘积 .
第2页
3.4 随机变量独立性
可以证明如下结论： （1）若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义等价于：
对任意的 x, y, 有
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
第6页
3.4 随机变量独立性
例3.4.1
1.
P( X P( X P( X P( X
X ,Y 具有分布律右图，则：
1, Y 0) 1 6 P( X 1) P(Y 0) 2, Y 0) 1 6 P( X 2) P(Y 0) 1, Y 1) 2 6 P( X 1) P(Y 1) 2, Y 1) 2 6 P( X 2) P(Y 1)
p ij p i p j
离散型随机变量的联合分布列等于其边缘分布列的乘积
P { X x i | Y y j } p i , , P { Y y j | X x i } p j
任一变量的条件分布列等于其边缘分布列
要判断 X 和 Y 不独立,只需找到 X, Y 的一对取值(xi,yj),使得 P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }.
P( X1 x1i1 )
i2 ,i3 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 )
f X1 ( x1 )
i3 ,i4 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
第2页
3.4 随机变量独立性
可以证明如下结论： （1）若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义等价于：
对任意的 x, y, 有
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
第6页
3.4 随机变量独立性
例3.4.1
1.
P( X P( X P( X P( X
X ,Y 具有分布律右图，则：
1, Y 0) 1 6 P( X 1) P(Y 0) 2, Y 0) 1 6 P( X 2) P(Y 0) 1, Y 1) 2 6 P( X 1) P(Y 1) 2, Y 1) 2 6 P( X 2) P(Y 1)
p ij p i p j
离散型随机变量的联合分布列等于其边缘分布列的乘积
P { X x i | Y y j } p i , , P { Y y j | X x i } p j
任一变量的条件分布列等于其边缘分布列
要判断 X 和 Y 不独立,只需找到 X, Y 的一对取值(xi,yj),使得 P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }.
P( X1 x1i1 )
i2 ,i3 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 )
f X1 ( x1 )
i3 ,i4 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
10条件分布与独立性
f (x,y)=fX(x)fY(y).
特别地,令x = μ1,y = μ2, 由上述等式得到
1
1,
2 1 2 1 2 2 1 2
从而ρ = 0.
综上所述, 得到以下的重要结论: 定理2 对于二维正态随机变量(X, Y), X与 Y相互独立的充要条件是参数ρ = 0.
讲评 随机变量的独立性往往由实际问题
PX≤ x Y y为随机变量X在条件Y= y下的条件
分布函数, 记作 FX Y ( x y).
即
x f (x, y)
FX Y ( x y)
dx. fY ( y)
则上式就是在给定条件Y= y下, 随机变量X的
条件分布函数.
而 f (x, y) 称为在给定条件
fY ( y)
Y= y下X的条件概率密度,
L
f (x1, x2,L , xn)dx2dx3L dxn,
(3.5)
fX1,X2 (x1, x2)
L
f (x1, x2,L , xn)dx3dx4L dxn.
(3.6)
定义2 若对于所有的实数x1,x2,…, xn有
F(x1, x2,L , xn) FX1 (x1)FX 2 (x2)L FXn (xn) (3.7) ，
随机变量的独立性是概率论与数理统计 中的一个很重要的概念,它是由随机事件的相 互独立性引申而来的.我们知道,两个事件A与B 是相互独立的,当且仅当它们满足条件 P(AB)=P(A)P(B).
由此, 可引出两个随机变量的相互独立性.
设X,Y为两个随机变量,于是{X≤x},{Y≤y}为 两个随机事件, 则两事件{X≤x},{Y≤y}相互独立, 相当于下式成立 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x} P{Y≤y}, 或写成 F(x,y)=FX(x)FY(y).
3.2条件分布与随机变量的独立性
3e3 ydy e3
1
19
例5 甲乙两人约定中午12:30分在某地会面. 如果甲 来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布, 乙独立 地到达, 而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分 布, 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分 钟的概率, 又甲先到的概率是多少?
解 由 X 与Y 独立性知
0
0, x 0
x0
ex , x 0
0, x 0
18
当 x 0时，有
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
xe x(1
ex 0
y)
y
y 0
0
xexy y 0
0 y0
(2)当 X 3时，有
P(Y 1 X 3)
1 fY|X ( y | 3)dy
的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表 中的空白处.
X
Y y1 y2 y3 P{ X xi } pi .
x1
1/ 8
x2
1/ 8
P{ y yj } p j 1/ 6
1
解 由于 P{ X x1,Y y1} P{Y y1} P{X x2 ,Y y1} 1/ 6 1/ 8 1/ 24,
1 p• j
i 1
pij
p• j p• j
1
同样， P{Y y j | X xi }也具有这两点性质。
9
例2 设 X与Y的联合概率分布如右表.
求Y 0 时, X 的条件概率 X Y -1 0 2 分布以及 X 0 时, Y 的条件 0 0.1 0.2 0
概率分布;
1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1
f ( x, y),( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为fY ( y).若
3.2条件分布及其独立性
fX|Y (x| y)
f (x,y) fY (y)
1
2π 1 2
e
1 2(1
2
[ )
(
x1
2 1
)2
2
(x1)( y2 1 2
)
(
y2)2
2 2
]
1 2
1
e
(
y2
2
2 2
)2
2π 2
1
e
1 2(1
2)(
x1 1
y2 2
)2
2π 1 1 2
1
e
212
1 (1
2
[ )
x1
1 2
(
y 2 )]2
P{X xi,Y yj} P{Y yj}
pij pYj
(323)
其中P{Xxi|Yyj}是在事件“Yyj ”发生的条件下 事件“Xxi”
发生的条件概率 通常记作pi|j
不难验证 数列pi|j(i1 2 )满足概率分布所要求的性质
(1) pi|j 0 (2) pi| j 1 i
二、离散型随机变量的条件概率分布与独立性
一、条件分布与独立性的一般概念
条件分布函数 对每个给定的实数x 我们记条件概率P{Xx|A}为F(x|A)
并称F(x|A)(x)为在A发生的条件下X的条件分布函数 设A{Yy} 且P{Yy}0 则有
F(x|Y y) P{X x,Y y} F(x,y) P{Y y} FY (y)
(320)
说明 一般地 两个随机变量X和Y之间存在着相互联系 因而一
F(x y)和f(x y) 我们希望考虑在Yy的条件下X的条件分布
P{X x|Y y} lim P{X x| yΔ y Y y} Δ y0
多维随机变量及其分布,随机变量相互独立性,条件概率
P {Y0X1 }P {X1 ,Y0} 0.030 , P {X1 } 0.045
P {Y1X1 }P {X1 ,Y1 } 0.010 , P {X1 } 0.045
P {Y2X1 }P {X1 ,Y2} 0.005 , P {X1 } 0.045
三、连续型随机变量的条件分
布
定义 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
xp 0(,xy,y ) 0p X(x)p Y(y) 其它 故X,Y 独立
问X和Y是否独立？
解：pX(x)
xe(xy)dy
0
xex
x>0
pY(y)0x e(xy)dx e y
y >0
即：
xex, x0
pX(x)0, 其它
ey,
pY
(
y)
0,
y0 其它
例3 设随机X变 和Y量 相互独 ,并立 且 X服从 N(a,σ2)Y , 在[b,b]上服从均,求 匀 (X分 ,Y)布 的联合概. 率密度
对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
P ( X x i,Y y j) P ( X x i) P ( Y y j)
则称X和Y相互独立.
例1 已知(X,Y)的分布律为
(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
1
1
1
1
p ij
6
9 18
3
(1)求 与 应满足;的条件
(1)求在 X1的条件 ,Y的 下条件分 ; 布律
(2)求在 Y0的条件 ,X的 下条件分 . 布律
解 Y X 0 1 2 3P{Yj}
0 0 .84 0 .0 03 0 .0 02 0 .0 0100 .900 1 0 .06 0 .0 01 0 .0 00 0 .0 8002 .080 2 0 .01 0 .0 00 0 .0 50 0 .0 4001 .020 P{Xi} 0 .91 0 .0 04 0 .0 53 0 .0 2113 .000
P {Y1X1 }P {X1 ,Y1 } 0.010 , P {X1 } 0.045
P {Y2X1 }P {X1 ,Y2} 0.005 , P {X1 } 0.045
三、连续型随机变量的条件分
布
定义 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
xp 0(,xy,y ) 0p X(x)p Y(y) 其它 故X,Y 独立
问X和Y是否独立？
解：pX(x)
xe(xy)dy
0
xex
x>0
pY(y)0x e(xy)dx e y
y >0
即：
xex, x0
pX(x)0, 其它
ey,
pY
(
y)
0,
y0 其它
例3 设随机X变 和Y量 相互独 ,并立 且 X服从 N(a,σ2)Y , 在[b,b]上服从均,求 匀 (X分 ,Y)布 的联合概. 率密度
对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
P ( X x i,Y y j) P ( X x i) P ( Y y j)
则称X和Y相互独立.
例1 已知(X,Y)的分布律为
(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
1
1
1
1
p ij
6
9 18
3
(1)求 与 应满足;的条件
(1)求在 X1的条件 ,Y的 下条件分 ; 布律
(2)求在 Y0的条件 ,X的 下条件分 . 布律
解 Y X 0 1 2 3P{Yj}
0 0 .84 0 .0 03 0 .0 02 0 .0 0100 .900 1 0 .06 0 .0 01 0 .0 00 0 .0 8002 .080 2 0 .01 0 .0 00 0 .0 50 0 .0 4001 .020 P{Xi} 0 .91 0 .0 04 0 .0 53 0 .0 2113 .000
随机变量的独立性
f (x, y)
fX
(
x)
fY
(
y)
1 4
e
x 2
y
0
x 0, y 0 其他
P( X 2Y )
dx
1
e
x
2
y
dy
0
x/2 4
1 x x e 2 e 4 dx
1 e
3x 4
dx
2
02
02
3
两个随机变量函数的分布
• 随机变量函数的分布：
• 已知随机变量X的分布，如何求随机变量 Y=g(X)的分布
Fmax (z) (F (z))n Fmin (z) 1 [1 F (z)]n
例：设X与Y 独立，均服从U (0, 1), 分别求M max( X ,Y ), N min( X ,Y )的概率密度。
0, x 0
解：X、Y的分布函数F ( x)
x,
0
x
1
1, x 1
0, x 0
例：设X与Y 独立，且 X, Y 等可能地取值 0和1. (1)求 U = max(X, Y) 的分布列. (2)求V = X+Y的分布列.
解: X 0 1 p 1/2 1/2
Y0 1 P 1/2 1/2
(1) U = max(X, Y) 的取值为: 0, 1
P(U=0) = P(X=0, Y=0) = P(X=0)P(Y=0) =1/4
Fmin (z) P( N z) 1 P( N z) 1 P( X z,Y z) 1 P( X z)P(Y z)
即 Fmin (z) 1 (1 FX (z))(1 FY (z))
推广：
设X1, X2 ,, Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别
第2节 条件分布与独立性
解 (1)若( X , Y ) ~ N (0,0,1,1, ), 则
X |Y ( x | y) ~ N ( y,1 2 );
Y | X ( y | x) ~ N ( x,1 ).
2
推广
(2) 设( X ,Y ) ~ N ( 1 , 2 , , , ), 则
.
对于任意给定 xi , 如果 P{ X xi } 0, 则在X xi的
性质：pi| j 0,
p
i
i| j
1;
p j|i 0,
p
j
j|i
1.
问题 : 联合分布、边缘分布和条件分布有什么关系?
联合分布、边缘分布和条件分布的关系 X Y
y1 p11 p21 pi 1
y2 p12 p22 pi 2
2. 连续型变量独立的定义
设两个连续型随机变量 X 和 Y 的联合密度和边缘 密度分别为 f ( x, y )和 f X ( x )与fY ( y ). 则
严格地说 , 连续型随机变量X与Y 相互独立是指 f ( x, y ) f X ( x ) fY ( y ) 在整个平面上几乎处处(即面积为0的区域除外)成立.
3. 一般型随机变量的条件分布 设 X 是一随机变量, A 是一随机事件, 则由如下条件 概率确定的函数
F ( x A) P X x A , x 称为在A 发生条件下 X的条件分布函数 .
二、随机变量的独立性
随机变量独立的直观含义
随机变量 X 和 Y 相互独立的直观含义是指它 们之间在概率上相互毫无影响, 也就是说 , 任何一 个的取值都不会影响到另一个取值的分布.
pi 1
yj p1 j p2 i pij
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条件分布及随机变量的独立性
1．设二维离散型随机变量),(Y X 只取 )2,1(),1,1(),0,0(-- 及 )0,2( 四对值，相应概率依次为
12
5,31,61,121 ，试判断随机变量X 与Y 是否相互独立。
所以，X 与Y 不独立。
2. 设随机变量X 与Y 相互独立，试完成下表：
3．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合密度函数为
1,01,02,
(,)0,x y x f x y <<<<⎧⎪=⎨⎪⎩其他.
试判定X 与Y 是否相互独立。
解：
()(,)X f x f x y dy
+∞
-∞
=⎰
.
当0x ≤或1x ≥时，
()0
X f x =；当01x <<时，
20
()12x
X f x dy x
==⎰.
()(,)Y f y f x y dx
+∞
-∞
=⎰
.
由于当(,){01,02}x y x y x ∈<<<<时，
(,)()()
X Y f x y f x f y ≠⋅，
且区域{01,02}x y x <<<<的面积不为0，所以，X 与Y 不相互独立.
4. 设二维连续型随机变量),(Y X 的联合密度函数为
201,01
(,)0
x y cxy f x y <<<<⎧=⎨
⎩其他， 求常数c ，并判断X 与Y 是否相互独立。
6=c 。
求X 的边缘密度：()()⎰
+∞
∞
-=
dy
y x f x f X ,。
当
10≥≤x x 或时，()0=x f X ；
当10<<x 时，
()⎰
==
1
226x
dy xy x f X 。
求Y 的边缘密度函数：()()⎰+∞
∞
-=dx
y x f
y f Y
,。
当
10≥≤y y 或时，()0=y f Y ；
当
10<<y 时，
()⎰
==
1
2
236y dx xy y f Y 。
由于对任x ，y ，有
()()()y f x f y x f Y X =,。
所以，X 与Y 相互独立。
5．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0,1）内服从均匀分布，Y 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0
,
00,
2
1)(2/y y e y f y Y ．
（1）求X 与Y 的联合概率密度；（2）设关于a 的二次方程为 022
=++Y Xa a ，求此方程有实根的概率。
解：由X ~U (0，1)知X 的密度为：
()X f x =
1,
01;0,
x <<⎧⎨⎩其他.
由X Y 与独立知，(X ,Y )的一个联合密度为：
方程有实跟的概率为：。