二维随机变量的独立性

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第三章第二节二维随机变量的独立性

§3.2 二维随机变量的独立性与条件分布1`二维随机变量的独立性定义3.2.1 设(,),(),()X Y F x y F x F y 依次为(,),,X Y X Y 的分布函数,若对任意实数,x y 都有(,)()()X Y F x y F x F y =则称两个随机变量X 与Y 相互独立.(1) 离散型随机变量的独立性定义3.2.2如果（X,Y ）是二维离散型随机变量，如果对于它们的任意一对取值i x 及j y ，对（X ，Y ）的任意一对取值(),i j x y ，都有{,} {} { } i j i j P X x Y y P X x P Y y ===== i ，j =1，2，… (3.2.2) 则称离散型随机变量X 和Y 是独立的。

例3.2.1例3.1.1中两个随机变量X 与Y 是相互独立吗? 解由例3.1可得2222210,,,915p p p ⋅⋅===显见22 2..2,p p p ≠⋅因此X 与Y 不独立.(2) 连续型随机变量的独立性定义3.2.3 如果（X,Y ）是二维连续型随机变量，其联合概率密度为p (x,y ),则X 与Y 也都是连续型随机变量，它们的概率密度分别为(),()X Y p x p y , 若对任意实数,x y 都有(,) (),()X Y p x y p x p y = 则称连续型随机变量X 和Y 是独立的。

例3.2.2本章第一节例3.2中随机变量X,Y 的边缘概率密度分别为p X (x )=⎰+∞∞-p (x,y )dy=2()2042, 0,0, x y x edy e x +∞-+-⎧=≥⎪⎨⎪⎩⎰其它.p Y (y )＝⎰+∞∞-p (x,y )dx=2()2y 04x 2, y 0,0, x y ed e +∞-+-⎧=≥⎪⎨⎪⎩⎰其它.显然有 p (x,y )＝p X (x )·p Y (y )，所以X,Y 相互独立。

二维随机变量独立性的研究

随机变量的独立性是概率统计中十分重要的概念也是许多数学模型的基本前提条件但到目前为止关于随机变量独立性研究的文献较少而且概率参考书中对此问题介绍也比较少一般仅给出定义
第３９卷第４期
Ｊｌｆ０ｒｌｉｔｉｅｓ・ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎｏｕｒｎａｏｆＳｏｕｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＮａｔｉｏｎａ
分布矩阵：
Ｐｌ１Ｐ１２Ｐ２１Ｐ２２
Ｐｌ， … Ｐ２ｊ。 ’ ‘
● ● ● ● ● ●
Ｐ１．Ｐ．１
Ｐ１．Ｐ．２
１．
，
…
Ｐ２．Ｐ．１Ｐｚ．Ｐ．２
● ● ●
Ｐ２．ｐ．ｊ …
ｊ＝ｌｉ＝１
是：对一
，有Ｐｕ＝Ｐｉ．Ｐ
，＝１，２， …．
２主要结果
为了下文更加方便地叙述问题，首先给出本文用到的一些重要概念．
定义１设（，】，）是二维离散型随机变量，其联合分布律Ｐ＝ＪＦ）（＝ｘｉ，Ｙ＝Ｙｊ）ｆ，．，：１，２， … 可以用下
● ● ● ● ● ●
Ａ＝ＰｉｌＰｉｚ
Ｊｆ， “ …
西南民族大
报
‘
自然
学版
Ｊｕ１．２ｏｌ３
ｄｏｉ：ｌ０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００３－４２７１．２０Ｉ３．０４．Ｉ３
二维随机变量独立性的研究

《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性

i, j=1, 2, ...,
连续型
f (x, y)
第三章多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组版权所有
第2节二维随机变量的边缘分布
第三章多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
山东农业大学公共数学系概率统计课程组版权所有
主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布填空
( X, Y )联合分布一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)

2.4 概率论——二维随机变量的独立性

y
FY ( y) F(, y) [ f ( x, v)dx]dv,
故X,Y 的边缘密度函数为：
fX ( x) FX ( x)
f ( x, y)dy,
fY ( y) FY ( y)
f ( x, y)dx,
例2：设（X，Y）服从下列区域上的二维均匀分布，
试求X，Y的边缘概率密度。
y
(1)D ( x, y) | 0 x 2,0 y 1 1
2.4 二维随机变量的独立性
一、二维随机变量的边缘分布
随机向量( X ,Y )中, X ,Y的分布分别称为关于X、Y的边缘分布。X, Y的分布函数 FX ( x), FY ( y) 称为边缘分布函数。
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，则易知：
FX x PX x PX x,Y F x, FY y PY y PX ,Y y F , y
次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行的射击次数 . 试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布.
解依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击中目标 , 且在前n-1次射击中有一次击中目标. {X=m} 表首次击中目标时射击了m次 .
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击击中
击中
j
P{[( X xi ) (Y y j )]}
j
P{X xi ,Y y j }
j
pij pi• (i 1,2, ) j
同理，Y的边缘分布
P{Y y j } pij p• j i
( j 1,2, )
XY
x1 x2 xi
p• j
y1 y2 y j pi•
p11 p12 p1 j p1•
暂时固定

二维随机变量的相互独立性

f(x, y)=fX(x) fY(y) 几乎处处成立(即: 在平面上除去“面积”为零的集合以外, 处处成立).
➢ 因为随机变量是随机事件的量化指标，因此在判断随机变量X与Y是否相互独立时，仍可以像判断随机事件的独立性一样，根据问题的实际意义去判定.
概率论与数理统计
9
❖ 3.连续型随机变量的独立性 1.概念
判断随机变量X与Y是否相互独立.
➢ 解 (2) 不放回摸球, 分布律如表:
P( X 0,Y 0) P( X 0)P(Y 0)
故采用无放回抽取时，可判定
X与Y不是相互独立的，这也
与实际意义一致.
概率论与数理统计
8
❖ 3.连续型随机变量的独立性 1.概念
➢ 定理3.6.2 设二维连续型随机变量(X, Y) 的概率密度为 f(x, y), fX(x), fY(y) 分别为(X, Y) 的边缘概率密度, 则X和Y 相互独立等价于
1, 第一次摸出白球, 1, 第二次摸出白球, X 0, 第一次摸出黑球, Y 0, 第二次摸出黑球.
判断随机变量X与Y是否相互独立.
➢ 解利用古典概型的方法求其
联合分布律及边缘分布律，
根据分布律的结果判断独立性.
(1) 有放回摸球，分布律如下：
概率论与数理统计
6
❖ 2.离散型随机变量的独立性 1.概念
即X 和Y 相互独立.
概率论与数理统计
4
❖ 2.离散型随机变量的独立性 1.概念
➢ 设离散型随机变量(X, Y)的联合分布律、边缘分布律分别为
P( X xi ,Y y j ) pij , P( X xi ) pi , P(Y y j ) p• j
关于离散型随机变量X, Y的相互独立性，有如下的判别法. ➢ 定理3.6.1 离散型随机变量X与Y相互独立的充要条件是：

二维随机变量独立性的判定定理

徐幼学
（湛江广播电＇视大学，广东湛江，５２４００５）
【摘要】二维随机变量及其分布是概率论与数理统计课程的难点和重点。已有的二维随机变量判定定理判断随机变
量的独立性，必须求出边缘分布律，有时计算会比较复杂，另有的两个判定定理更为简明直接，可以参考应用。【关键词】独立性；直接判别法；二维随机变量；判定定理Ｉ中图分类号ｌＯ２１１．５Ｉ文献标识码ｌＡ【文章编号ｌ２０９５－９３２ｘ（２０１５）０２－０１１１－０２
【收稿日期ｌ２０１５ — ０３ —０６【作者简介】徐幼学（１９５７－），男，江西临川人，湛江广播电视大学讲师。
广东开放大学学报
（第２４卷总第１１１期）
２０１５年第３期
＝ｇ）￡；￣ｇ（ｘ）ｈ（ｙ）ｄｘｄｙ＝ｇ）￡￡厂、ｙ）ｄｘｄｙ
Ｐ（２，０）＝＝ × ，Ｐ（２，１）＝＝ ×
（３）肚
叫
且＋；，；＝１，＋＝
Ｏｌ２１／１２１／４
由定理四知，Ｘ与Ｙ独立。
１１／６１／２Ｐ
总第１１１期
ＳｕｍＮｏ．１１１
广东开放大学学报
Ｊ０ＵＲＮＡＬＯＦＯＰＥＮＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＯＦＧＵＡＮＧＤＯＮＧ
２０１５年第３期
Ｎｏ．３．２０１５

二维随机变量独立性分析及教学案例设计

二维随机变量独立性分析及教学案例设计
贺方超;陈金玉;汪慧
【期刊名称】《科教导刊》
【年(卷),期】2022()27
【摘要】随机变量独立性分析是本科概率统计课程中的重要知识点。

本文首先回顾了二维随机变量独立性的三个性质,接着通过对一道课堂例题结果的观察与思考,从矩阵及向量线性相关的角度给出了二维离散型随机变量相互独立条件下的两个定理,并进一步将二维随机变量独立性的性质推广到连续型的情形。

最后,为使该性质得到更好的理解和运用,将其融入实际问题的求解中,以激发学生的数学思维,从整体掌握三个定理的应用。

【总页数】4页(P136-139)
【作者】贺方超;陈金玉;汪慧
【作者单位】湖北工业大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】G642;O211.5-4
【相关文献】
1.二维随机变量独立性度量及其在独立分量分析中的应用
2.二维随机变量独立性的判定定理
3.二维连续型随机变量独立性的判定
4.二维正态随机变量的线性组合的独立性
5.关于二维随机变量独立性问题的探讨
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二维连续型随机变量独立性的判定

一
般地，称ｎ个随机变量的整体Ｘ＝（Ｘ，Ｘ， …，Ｘ）为ｎ维随机变量或ｎ维随机向量。
Ｆ（，）＝Ｐ｛Ｆｘ（）＝Ｐ｛｝＝Ｐ｛，ｙ｝，Ｙ＜＋∞｝，
定义２ … 设（，ｙ）是二维随机变量，对任意实数，Ｙ，二元函数
，
ｙ＝
｛Ｌ：Ｏ， ‘ ， ’ 姜其它 ∈ 。，
ｈ２
，
与ｌ，的边缘概率密度分别为ｉｘ（
Ｌ０，其它
。
舳
先证明必要性：
＝ｈ３
Ｌ０，其它
设与ｌ，相互独立，即
摘
要：给出了二维连续型随机变量独立性的一个判定定理、两个推论，并举例说明用此结论判断二维连续型随机
变量的独立性时，不需要计算边缘密度函数，只从联合概率密度的形式上就能判断出Ｘ与ｙ的独立性。
关键词：二维连续型随机变量；独立性；判定
判断二维连续型随机变量的独立性通常是先求出其边缘密度函数，然后利用等价条件，（，Ｙ）＝
（）（Ｙ）来判断。计算边缘密度函数（）（ｙ）需要用到积分的知识，这对于有些学生来说有一定难度，下面介绍一种简单方法只要从ｌ厂（，Ｙ）的形式就能判断出二维连续型随机变量的独立性。
第２５卷
第４期

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令 x=1 , y=2 , f (1, 2 ) fX ( 1) fY (2 ),

1
1 1
பைடு நூலகம்
2 12 1 2 2 1 2 2
=0.
1/2
4/20 2/20 4/20
问X与Y相互独立吗？
pij pi• p• j
解：设（X，Y）的边缘分布律为
Y
x
-1 0
2
pi.
1/2 2/20 1/20 2/20 1/4
1 2/20 1/20 2/20 1/4
2 4/20 2/20 4/20 1/2
p .j
2/5 1/5 2/5
下面判断X、Y是否相互独立。
例设随机变量 X 和Y 相互独立,并且 X 服从 N (a, σ 2 ),Y 在 [b,b] 上服从均匀分布, 求 ( X ,Y ) 的联合概率密度.
解：由于X 与Y 相互独立, 所以 f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
X ~ N(, 2)
则fX (x)
1
e ,
(2)若X,Y相互独立，由
P{X xi ,Y yj} P{X xi Y yj} P{Y yj}
P{Y yj X xi} P{X xi}
P{X xi Y y j} P{X xi}; P{Y y j X xi} P{Y y j}
当0 y 1时，fY ( y)
y 8xydx 4 y3,则
0
4 y3，0 y 1 fY ( y) 0，其他
f (x, y) fX (x) fY ( y)
X , Y不独立。
例已知 (X, Y) 的联合概率密度为
ex y , f (x, y)
p21 p2. p.1 p31 p3. p.1
p22 p2. p.2 p32 p3. p.2
p23 p2. p.3 p33 p3. p.3
∴X、Y相互独立
例设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为
X1
3
PX 0.3 0.7
Y2
4
PY 0.6 0.4
引入：事件的独立性 A,B: P(AB)=P(A)P(B) A (X x); B (Y y)
P{X x,Y y} P{X x} P{Y y}
F (x, y) FX (x) FY ( y)
定义设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y 都有F(x,y)= FX(x) FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。
0,
问 X 与Y 是否独立？
x 0, y 0; 其他.
解: 边际分布密度分别为:
fX (x)

e(x y)dy
0
ex
x0
0
x0
ey , y 0
fY
(y)

0,
y0
f (x, y) fX (x) fY ( y)
所以X 与Y 独立。
1
2
1
(
e
x1)2
, 2
2 1
x
1
2
2
e ,
(
y 2)2
2
2 2
y
充分性：若 = 0, f (x, y) f X (x) fY ( y),
∴ 故 X 和Y 相互独立 .
必要性：若X 和Y 相互独立 , f (x, y) fX (x) fY ( y),
(
x )2 2σ2
x ;
2πσ
Y ~ U (b,b)
则fY
(
y)

1 2b
,
b y b,
0, 其他.
f
(x,
y)

1 2b

1
e ,
(
x )2 2σ2
2πσ
0，其他
b y b.
例设二维随机变量(X,Y)～N( 1, 12, 2 ,22 , ).
试证: X 与Y 相互独立的充要条件是 =0 .
证： (X,Y)的联合概率密度为
f (x, y)
1
e
1
2(1 02
[( )
x1 1
)2
20
(
x 1 1
)
(
y2 2
)(
y2 2
)2
]
2 1 2 1 02
其边缘概率密度分别为
fX (x)
fY ( y)
例设(X,Y)的概率密度为
8xy, 0 x y 1 f (x, y) 0,其他
问X , Y是否独立？
解：
f (x, y) fX (x) fY ( y)
(1) X , Y的边缘概率密度
当0 x 1时，fX (x)
1
8xydy

4x(1

x2
),
则
x
4x(1 x2 )，0 x 1 fX (x) 0，其他
即逐个验证等式 pij pi• p• j
证 ∵X与Y的边缘分布律分别为
X -1
0 2 Y 1/2 1 2
p.i 2/5 1/5 2/5 Pj. 1/4 1/4 2/4
2 p11 20 p1. p.1
4 p13 20 p1. p.3
1 p12 20 p1. p.2
求随机变量 ( X, Y ) 的分布律.
解：因为 X 与 Y 相互独立, 所以 P{ X xi ,Y yj } P{ X xi } P{Y yj }.
P{X 1,Y 2} P{X 1}P{Y 2} 0.3 0.6 0.18,
P{X 1,Y 4} P{X 1}P{Y 4} 0.3 0.4 0.12,
P{X 3,Y 2} P{X 3}P{Y 2} 0.7 0.6 0.42,
P{X 3,Y 4} P{X 3}P{Y 4} 0.7 0.4 0.28.
因此 ( X ,Y ) 的联合分布律为
Y X
2
4
1 0.18 0.12
3 0.42 0.28
特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于
离散型
pij pi• p• j
对任意i,j
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi } P{Y y j }.
连续型
f (x, y) fX (x) fY ( y) 对任意x,y
说明： (1) X,Y独立，边缘分布确定联合分布;
f (x, y) fX Y (x y) fY (y) fY X (y x) fX (x)
fX Y (x y)=fX (x)，fY X ( y x)=fY ( y)
例: 设二维随机变量(X,Y)的分布律如表所示。
X Y -1 0
2
-1/2
2/20 1/20
2/20
1
2/20 1/20 2/20