随机变量独立同分布的概念
随机变量的独立性
P{ X = 0} = 1 p , P{ Z = 0} = 2 p(1 p) ,
P{ X = 0, Z = 0} = P{ X = 0, X + Y = 1}
= P{ X = 0, Y = 1} = P{ X = 0} P{Y = 1} = p(1 p ) .
2 p(1 p ) 2 = p(1 p ) , p = 0.5 . 令
1 ,若X + Y为偶数, Z= 0 ,若X + Y为奇数. 取何值时, 和 相互独立 相互独立? 问p取何值时,X和Z相互独立? 取何值时
解 首先求出Z的概率分布: 首先求出 的概率分布: 的概率分布
P{ Z = 0} = P{ X + Y = 1}
因为X和 因为 和Y 相互独立
= P{ X = 0, Y = 1} + P{ X = 1, Y = 0}
1 α= . 6
2 β = . 9
5
又由分布律的性质,有 又由分布律的性质 有
1 1 1 1 α + + + +β + =1 9 18 3 9
7 α+β = 18
假设随机变量X和 相互独立 相互独立, 例3 假设随机变量 和Y相互独立,都服从参数为 p(0<p<1)的0-1分布,随机变量 分布, ( ) 分布
f (x, y) = f X ( x) fY ( y) 成立,所以 相互独立.8 成立,所以X,Y相互独立 相互独立.
例5 设(X,Y )的联合密度函数为 ,
8 xy 0 ≤ x ≤ y , 0 ≤ y ≤ 1 f ( x, y) = , 其它 0
1
y
y= x
是否相互独立? 问X与Y是否相互独立? 与 是否相互独立 的边缘密度分别为 解 X,Y的边缘密度分别为
独立同分布的随机变量的方差
独立同分布的随机变量的方差1. 什么是独立同分布的随机变量说到独立同分布的随机变量，很多人可能会觉得这就像数学界的“高深莫测”，但其实，简单点说，它们就像一群好朋友，各自过着自己的生活，但又有着相同的背景和性格。
想象一下，假如你有一群朋友，他们都喜欢吃披萨，而且每个人每次点披萨的方式完全不受其他人的影响。
你点的是夏威夷披萨，他点的是香肠披萨，而她则选择了素食披萨，虽然每个人的选择不一样，但他们都是热爱披萨的“同类”。
这就是独立同分布的随机变量，简而言之，就是每个随机变量都是独立的，而且它们来自同一个分布。
1.1 为什么要研究方差好啦，既然我们知道了这些小家伙的背景，接下来就要聊聊方差了。
方差，简单来说，就是用来衡量这些随机变量“离家出走”的程度，听起来是不是有点搞笑？比如说，你和你朋友都爱旅游，但你每年只去一次，而他却去五次，那你们的“离家出走”程度就不一样。
方差就是要告诉我们这些不同的选择有多么“疯狂”或者“平淡”。
就像如果你总是在同一个地方打转，而你的朋友却是个旅行狂，那你们的“人生轨迹”就是不一样的。
通过方差，我们能了解这些随机变量的分散程度，知道它们之间的差异性。
1.2 如何计算方差那么，方差到底怎么计算呢？其实，计算方差就像是在做一道小菜，分步骤来就行。
首先，我们需要知道这些随机变量的平均值，简单点说，就是它们的“中心”。
然后，我们要看每个随机变量离这个中心有多远。
接着，咱们把这些距离的平方加起来，然后再除以变量的个数，这样就得到了方差。
就像你做蛋糕，先把面粉、糖、鸡蛋都准备好，然后混合在一起，最后烤成美味的蛋糕。
虽然听起来有点复杂，但其实就是这么回事！2. 独立同分布的方差有什么特别之处说到独立同分布的随机变量，它们的方差有一些特别的性质，简直是数学界的小秘密！首先，这些随机变量的方差是可以相加的。
比如说，你有三个独立的随机变量X、Y和Z，它们的方差分别是Var(X)、Var(Y)和Var(Z)，那么这三个小家伙的总方差就可以写成Var(X) + Var(Y) + Var(Z)。
3.4 随机变量的独立性
第2页
3.4 随机变量独立性
可以证明如下结论： （1）若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义等价于：
对任意的 x, y, 有
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
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3.4 随机变量独立性
例3.4.1
1.
P( X P( X P( X P( X
X ,Y 具有分布律右图，则：
1, Y 0) 1 6 P( X 1) P(Y 0) 2, Y 0) 1 6 P( X 2) P(Y 0) 1, Y 1) 2 6 P( X 1) P(Y 1) 2, Y 1) 2 6 P( X 2) P(Y 1)
p ij p i p j
离散型随机变量的联合分布列等于其边缘分布列的乘积
P { X x i | Y y j } p i , , P { Y y j | X x i } p j
任一变量的条件分布列等于其边缘分布列
要判断 X 和 Y 不独立,只需找到 X, Y 的一对取值(xi,yj),使得 P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }.
P( X1 x1i1 )
i2 ,i3 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 )
f X1 ( x1 )
i3 ,i4 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
独立同分布相加的方差
独立同分布相加的方差
独立同分布相加的方差是指两个独立的随机变量具有相同的概率分布，它们的方差相加的结果。
它是统计学中一个重要的概念，用于计算多个变量之间的关系。
它可以用于分析多个变量之间的差异，以及它们之间的联系。
独立同分布相加的方差可以用数学表达式表示为：
σ=σ1+σ2，其中σ1和σ2分别表示两个独立同分布变量的方差，σ表示这两个变量的总方差。
这个概念可以用来计算组合数据
的方差，以及分析多个变量之间的关系。
例如，如果有两个独立的随机变量x1和x2，它们同时具
有相同的概率分布，那么根据独立同分布相加的方差，可以得出x1和x2的总方差为σ1+σ2。
这意味着，x1和x2之间的差
异将会比x1和x2单独的方差要大。
因此，独立同分布相加的方差可以用来测量多个变量之间的关系。
此外，独立同分布相加的方差还可以用来分析不同的变量之间的联系。
如果不同的变量的方差相加的结果大于它们单独的方差，那么就意味着这些变量之间存在一定的联系。
因此，可以说，独立同分布相加的方差可以用来检验不同的变量之间的相关性。
总之，独立同分布相加的方差是一个重要的统计概念，它可以用来分析多个变量之间的关系，以及检验它们之间的联系。
它可以用来计算组合数据的方差，以及分析不同变量之间的相关性。
因此，它可以用来帮助我们了解数据的真实意义，并进一步开展更深入的分析。
高中数学随机变量及其分布内容简介
高中数学随机变量及其分布内容简介
随机变量是概率论中的重要概念，指的是一个变量的取值由随机试验的结果决定。
在高中数学中，我们常常接触到一些常见的随机变量及其分布，这些内容是数学学习中的重要一环。
首先，我们要了解离散随机变量及其分布。
离散随机变量是指只取有限个或可数无限个可能值的随机变量。
在离散随机变量的分布中，最常见的是二项分布和泊松分布。
二项分布是指在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数的概率分布，而泊松分布则是用于描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生的次数的分布。
另外，连续随机变量及其分布也是我们需要了解的内容。
连续随机变量是指取值在一段或多段连续区间内的随机变量。
在连续随机变量的分布中，最常见的是正态分布和指数分布。
正态分布是一种在数学、物理、工程领域中非常常见的分布，其形状呈钟形曲线，具有均值和标准差这两个参数。
而指数分布则是描述独立随机事件发生的时间间隔的分布。
在学习高中数学中的随机变量及其分布时，我们需要掌握如何计算随机变量的期望值、方差以及概率分布等重要性质。
通过学习随机变量及其分布，我们可以更好地理解概率论中的概念，为后续的数学学习打下坚实的基础。
总的来说，高中数学中的随机变量及其分布是一项重要的内容，通过学习这一部分知识，我们可以更好地理解概率论的相关概念，提高数学分析和问题解决的能力。
希望同学们能够认真学习这一部分内容，掌握其中的关键知识点，为未来的学习和发展打下良好的基础。
随机变量相互独立的定义
1 , 8 < x <12 f X (x) = 4 0, 其它
由独立性
1 , 7< x <9 fY ( y) = 2 0, 其它
概率论
1 , 8 < x <12,7 < y < 9 f (x, y) = f X (x) fY ( y) = 8 0, 其它
概率论
解 (1) ( X,Y ) 的联合分布律及边缘分布律 如下表所示 : Y X
0
1
2
pi⋅
2
0
m
2
( m + n)
mn ( m + n) n
2
m m+ n n m+ n
1
p⋅ j
mn ( m + n)
2
( m + n)
2
m m+ n
n m+ n
(2) 由上表可知 pij = pi⋅ ⋅ p⋅ j ( i, j = 0,1) 的相互独立. 故 X,Y 的相互独立
先到的人等待另一人到达的时间不 超过5分钟的概率 超过 分钟的概率 所求为P( 所求为 |X-Y | ≤1/12) , 1/12, 记G=|X-Y | ≤
y
所以 P( | X-Y| ≤1/12 )60 − Nhomakorabea40
− −
概率论
= ∫∫ f (x, y)dxdy
G
x − y = −5 x−y =5
1 = ×(G 的面积） 8
不是相互独立. 故 X,Y 不是相互独立
概率论
三、多维随机变量的一些概念
上面说过， 维随机变量 上面说过，n维随机变量 ( X1, X2 ,L, Xn )的分布函数定义为
随机变量及其分布事件的相互独立性
03
随机试验
在一定条件下进行的试验 ，其结果具有不确定性。
样本空间
随机试验所有可能结果的 集合。
事件
样本空间的一个子集，是 随机试验的结果的集合。
事件的概率
非负性、规范性、可加性 等。根据事件的性质和概率的 定义进行计算。
描述事件发生的可能性大 小的数值。
概率定义
概率的性质 概率计算
事件的相互独立性
取值是连续的实数的随机变量称为连 续随机变量。
02
随机变量的分布
概率分布
离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量的取值范围是有限或可数的，每个取值对应的概率是已知的， 这些概率值之和为1。
连续型随机变量的概率分布
连续型随机变量的取值范围是无限的，取值对应的概率是未知的，需要使用概 率密度函数来描述。
多元随机变量的分布
二元随机变量的分布
二元随机变量有两个取值，其分布可以描述为两个边缘分布 的组合。
高维随机变量的分布
高维随机变量有多个取值，其分布可以描述为多个边缘分布 的组合。高维随机变量的分布比一维和二元随机变量的分布 更为复杂，需要考虑更多的因素。
03
事件及其相互独立性
事件的定义
01
02
如果事件的发生不受随机变量的影响，则称事件与随机变量相互独立。
独立性的条件
事件的发生不受随机变量的影响，或者随机变量的取值不影响事件发生的概率。
两个随机变量的相互独立性
定义
如果对于任意两个实数$x$和$y$，有 $P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$，则称 $X$和$Y$相互独立。
随机变量及其分布事件的相 互独立性
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目录
2.3随机变量的独立性
问X和Y是否独立？
解：fX (x)
xe( x y)dy xe x ,
0
x>0
fY ( y)
xe( x y)dx e y ,
0
y >0
即：
xex , x 0
fX (x)
0,
其它
e y , y 0
fY
(
y)
0,
其它
若(X,Y)的概率密度为
2, 0 x y,0 y 1
f
f(x,y)= fX(x)fY(y)
特别,取 x=u1 , y=u2 代入上式有 f(u1,u2)= fX(u1)fY(u2)
即:
1
11
21 2 1 2
2 1 2 2
对比两边 ∴ =0
例3 设(X,Y)的概率密度为
xe( x y) , f (x, y)
0,
x其它0f,(对yx,一y故切)0Xx,,YfyX,独(均x立)有fY：( y)
如果两个随机变量不独立，讨论它们的 关系时，除了前面介绍的联合分布和边缘 分布外，有必要引入条件分布的概念，这 将在下一讲介绍.
45 x5
[
1
dy]dx
15 x5 1800
10
0 15 y 45
x
=1/6
60
xy
P(X<Y)
45 60
[
1
dy]dx
15 x 1800
40
=1/2
10
0 15 45
x
y
解二：P(| X-Y| 5)
60
1 dxdy
40
1
|xy|5 1800
[60 30 2(10 30 30 30 / 2)]
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1、随机变量独立同分布的概念
随机变量X1和X2独立，是指X1的取值不影响X2的取值，X2的取值也不影响X1的取值。
随机变量X1和X2同分布，意味着X1和X2具有相同的分布形状和相同的分布参数，对离散型随机变量具有相同的概率函数，对连续型随机变量具有相同的概率密度函数，有着相同的分布函数，相同的均值、方差与标准差。
反之，若随机变量X1和X2是同类型分布，且分布参数全相同，则X1和X2一定同分布。
一般来说，在相同条件下，进行两次独立试验，则这两次实验结果所对应的随机变量是独立同分布的。
比如，将一枚质地均匀的硬币抛掷两次，设X1为第一次抛掷硬币的结果，X2为第二次抛掷硬币的结果。
显然，第一次抛掷硬币的结果对第二次的结果没有影响，反之亦然，故X1和X2相互独立。
同时，X1和X2都只有两种试验结果：正面朝上和背面朝上，以0代表正面朝上，1代表背面朝上，则
P(X1=0)=P(X2=0)=0.5, P(X1=1)=P(X2=1)=0.5,
故X1和X2是独立同分布的随机变量。
随机变量独立同分布的特性可以推广到三个或更多个随机变量。
2、独立同正态分布（定理1）
3、独立同分布（定理2——中心极限定理）
当的分布对称时，只要n 5，那么，近似效果就比较理想；当的分布非对称时，要求n 值较大，一般n 30近似效果较理想。
这个定理表明：无论随机变量服从何种分布，可能是离散分布，也可能是连续分布，连续分布可能是正态分布，也可能是非正态分布，只要独立同分布随机变量的个数n较大，那么，随机变量之和的分布、随机变量均值X-的分布都可以近似为正态分布。
这一结论意义深远。
4、标准误
统计学中把均值X-的标准差称为均值的标准误，记为，无论是正态还是非正态，均值X-的标准误都有
SEM随着n的增加而减少。
常常对一个零件的质量特性只观测一次，就用该观测结果去估计过程输出的质量特性。
这里建议一种简单有效的减少测量系统误差的方法。
对同一个零件的质量特性作两次或更多次重复测量，用其观测结果的平均值去估计过程输出的质量特性，就可以减少标准差。
当然，这不是回避使用更精确量具的理由，而是一种提高现有量具精度的简易方法，多次测量值的平均值要比单次测量值更精确。