随机变量
随机变量的定义与分类
随机变量的定义与分类随机变量是指随机试验中与观察对象的数值相关的数学量，它是随机现象的量化表达。
随机变量不仅在概率论中有着重要的角色，在各种领域中都有广泛的应用。
一、随机变量的定义在概率论中，对于一个实验，若对于每一个结果都可以对应唯一的实数，我们称这个实数为随机变量。
简单的说，随机变量是指一个结果对应的数值量。
例如，掷一枚骰子，用X表示掷出的点数，X的取值范围为{1,2,3,4,5,6}。
此时，X就称为一个随机变量。
在概率论的学习中，随机变量是研究随机现象的基本工具之一。
二、随机变量的分类随机变量可以分为两类：离散型随机变量和连续型随机变量。
1.离散型随机变量离散型随机变量是指在随机试验的结果中，取不到某些数，如投硬币，它只有正反两个结果。
如果用X表示正面朝上的次数，那么X的取值范围为{0,1}，X就是离散型随机变量。
离散型随机变量在数值上是可数的，例如X的取值范围为{0,1,2,3,......}。
2.连续型随机变量连续型随机变量是指在随机试验的结果中，每一个数都可以取到，如测量某件物品的长度，它的取值范围可以是任意的实数值，可以用X表示，X就是连续型随机变量。
由于连续型随机变量在数值上是不可列举的，所以它们的概率密度函数是它们的数值范围上的函数。
三、随机变量的性质1.累积分布函数累积分布函数指的是随机变量X小于等于x的概率，也就是P(X<=x)。
对于任意的随机变量X，它的累积分布函数都是单调不降的，它满足以下性质：（1）F(x)≥0；（2）F(x)≤1；（3）F(x)单调不降；（4）当x→∞时，F(x)→1；（5）当x→-∞时，F(x)→0。
2.概率密度函数概率密度函数是描述连续型随机变量在某一点上的概率密度值的函数，也称概率密度。
对于连续型随机变量X，它的概率密度函数f(x)满足以下两个性质：（1）f(x)≥0；（2）∫∞-∞f(x)dx=1。
3.期望期望是随机变量的一种平均值，用E(X)表示，它的计算方式为：E(X)=∑[X∈S(X)]X×P(X)对于连续型随机变量X，它的期望为：E(X)=∫∞-∞xf(x)dx4.方差方差是刻画随机变量X偏离它的期望值的平均程度的值，用Var(X)表示，它的计算方式为：Var(X)=E{[X-E(X)]^2}对于连续型随机变量X，它的方差为：Var(X)=E{[X-E(X)]^2}=∫∞-∞(x-E(X))^2f(x)dx总结：随机变量是指随机试验中与观察对象的数值相关的数学量，它可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
随机变量的基本理论
1.2 随机变量的定义
• 下面介绍几种典型的离散随机变量的概率分布。 • 1. (0,1)分布 • 设随机变量X 的取值为0和1两个值,其概率分布为
• 称X 服从(0,1)分布。如投掷硬币的试验,假定出现正面用1表示,出现反 面用0表示,用X 表示试验结果,那么X 的可能取值为0、1,X 是一个离 散型随机变量且服从(0,1)分布,即
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1.3 随机变量的分布函数与概率密度
• 正态分布函数为 • 标准正态分布函数通常用Φ(x)表示,即
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1.3 随机变量的分布函数与概率密度
• 2. 均匀分布 • 如果随机变量X 的概率密度函数为
• 则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布。均匀分布概率密度曲线如图1.4 所示。
• 第三, 税收具有固定性对象、税率、纳税期限、纳税地 点等。
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第一节 税法概述
• 这些标准一经确定, 在一定时间内是相对稳定的。税收的固定性包括 两层含义: 其一, 税收征收总量的有限性。由于预先规定了征税的标 准, 政府在一定时期内的征税数量就要以此为限, 从而保证税收在国民 经济总量中的适当比例。其二, 税收征收具体操作的确定性。即税法 确定了课税对象及征收比例或数额, 具有相对稳定、连续的特点。既 要求纳税人必须按税法规定的标准缴纳税额, 也要求税务机关只能按 税法规定的标准对纳税人征税, 不能任意降低或提高。
骰子的样本空间为 1,2,3,4,5,6 。
• 6. 频数和频率
• 一般地,在相同条件下的n 次重复试验中,事件A 发生的次数nA 称为事
件A 的频数,比值
称为事件A 发生的频率。频率反映了事件A 发
第二章随机变量
金融保险) 例2.2.4: (金融保险 金融保险 根据生命表知道， 根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内 每个人死亡的概率是 0.005 ，现在有 10,000 人参加 保险， 人的概率。 保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。 解: 分析 分析, 人中死亡的人数， 以 X 记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有 X ~b (104，0.005 ) ，需要计算 { X ≤ 60 } 。 需要计算P P { X ≤ 60 } = ∑k6=00 [C10000k 0.005k 0.99510000 – k ]
例2.1.1
抛掷均匀硬币两次， 抛掷均匀硬币两次，用X 表示正面 H 出现的次数。 出现的次数。
X
=
0 ，
1 ，
2， ，
3
试验结果 = 相应概率 =
{TTT} ， {HTT,TTH,THT}， {HHT,THH,HTH}, {HHH} , ， , 1/8 ， 3/8 ， 3/8, 1/8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X 的概率分布也可以表格的形式表示： 的概率分布也可以表格的形式表示： X p 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8
离散随机变量概率分布的表达形式
1.
X pk
x1 x 2 x 3 ⋅ ⋅ ⋅ x k ⋅ ⋅ ⋅ p1 p2 p3 ⋅ ⋅ ⋅ pk ⋅ ⋅ ⋅
2.
x1 X ~ p1
x2 ⋅ ⋅ ⋅ p2 ⋅ ⋅ ⋅
xn pn
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
离散型随机变量X的分布律具有以下性 离散型随机变量 的分布律具有以下性 质: 1.
有下面四个约定
1). 每次试验至多出现两个可能结果之一 或 A 每次试验至多出现两个可能结果之一:A或 2). A在每次试验中出现的概率 保持不变 在每次试验中出现的概率p保持不变 在每次试验中出现的概率 3). 各次试验相互独立 4). 共进行 次试验 共进行n次试验
随机变量及其分布
记
p(xi)P{Xxi}, i1, 2,
(21)
则称{p(xi) i1 2 }为X的概率分布 有时也将p(xi)记为pi 用
下列表格形式来表示 并称之为X 的概率分布表
4
概率分布的性质
任何一个离散型随机变量的概率分布{p(xi)}必然满足下 列性质
1 p(xi)0 i1 2
(22)
((22))ii pp((xxi)i)11
事件的概率与密度函数的关系
(1)连续型随机变量X落于区间(a b]上的概率为
b
P{a X b} F(b) F(a)a f (x)dx
(2)连续型随机变量X落于点x上的概率为
P{Xx}0
(212)
(213)
19
例28 设X是在[a b]上等可能投点的位置 其分布函数为
0, F (x) bx1,aa ,
x
x
F(x) 0 F() lim F(x)1
若函数Fx)满足上述三
x
条性质 则它一定是某个随
(3)右连续性 F(x0)F(x) 机变量X的分布函数
10
三、分布函数
定义24(分布函数) 设X是一随机变量 则称函数
F(x)P{Xx} x( )
(29)
为随机变量X的分布函数 记作X ~F(x)
分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质
0 x1, x1.
14
四、离散型随机变量的分布函数
离散型随机变量的分布函数F(x)的共同特征是 F(x)是一 个阶梯形的函数 它在X的可能取值点处发生跳跃跳跃高度 等于相应点处的概率 而在两个相邻跳跃点之间分布函数值 保持不变
反过来 如果一个随机变量X的分布函数F(x)是阶梯型函 数 则X一定是一个离散型随机变量 其概率分布可由分布函 数F(x)惟一确定 F(x)的跳跃点全体构成X的所有可能取值 每 一跳跃点处的跳跃高度则是X在相应点处的概率
随机变量
• 例1：“抛硬币”实验 • 样本空间S={正面，反面}={e}
令X=X(e)=
1 0 当e=正面 当e=反面
• 则X=X(e)为一离散型随机变量。 • 例2：“掷骰子”实验 • 样本空间S={e}={1,2,3,4,5,6} • 令X=X(e)=e， • 则X=X(e)=e为一离散型随机变量。
• 5、多维随机变量 • 二维随机变量： • 定义：设随机实验E的样本空间为S={e}，X=X(e)和 Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，则称(X,Y)为二维 随机变量。
x1 <x 2
• 二维随机变量的分布函数（联合分布函数） • 定义：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实 数，x,y的二元函数 • F(x,y)=P(X<=x,Y<=y) • 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数（联合分 布函数）。其中P(X<=x,Y<=y)表示随机变量 X<=x,Y<=y的概率。 • 二维随机变量的联合概率密度函数 • 定义：若存在分布函数F(x,y)连续，且存在 二阶混合偏导数。
第1章 随机变量（复习）
复习一下随机变量，为后面学随机过程打 基础
§1.1 随机变量及其分布
• 1、随机变量的概念 定义：设E为一个随机实验，其样本空间为S={e}， 若对每一个 e S 都有一个实数X(e)与之对应，而 且对于任何实数x，X(e)<=x有确定的概率，则称 X(e)为随机变量。
xi x
F(x)= p (t ) 连续型：
x
F ( x)是p(x)的一个原函数, 则：
dF ( x) p ( x) dx F ( x2 ) F ( x1 ) p( x)dx
随机变量名词解释
随机变量名词解释
随机变量是概率论中的一个重要概念，它是描述随机现象的数学模型。
随机变量可以看作是一种将随机事件转化为数值的函数。
它的取值是根据随机事件的结果而变化的，但是每个取值都与相应的随机事件有一定的概率关联。
随机变量通常用大写字母表示，例如X、Y等。
它可以分为离散随机变量和连续随机变量两种类型。
离散随机变量取值有限或者可数，例如掷硬币的结果（正面或者反面）、骰子的点数（1到6）、抛掷骰子100次结果为6的次数等。
离散随机变量的概率可以通过概率分布函数或概率质量函数来描述。
连续随机变量的取值是无限的、可以是任意的实数值，例如测量某个物体的重量、人们的身高、汽车的速度等。
连续随机变量的概率可以通过概率密度函数来描述。
随机变量可以用来描述随机事件的平均值、方差、概率等性质。
通过对随机变量的分析和运算，我们可以获得对随机现象的深入理解，并进行概率推断和统计推断。
在实际应用中，随机变量被广泛应用于概率论、统计学、金融、工程等领域。
通过建立适当的随机变量模型，可以帮助我们分析和预测各种不确定性问题，为决策提供科学依据。
总之，随机变量作为数学模型，是描述随机现象的重要工具。
它将随机事件的结果转化为数值，并通过概率分布函数或概率密度函数来描述其概率性质，为我们研究和理解随机现象提供了有力的工具。
随机变量的基本概念
随机变量的基本概念随机变量是概率论中的一个重要概念，它是描述随机现象结果的数学变量。
在概率论和数理统计中，随机变量是对随机试验结果的数值描述，它的取值不是确定的，而是依赖于随机试验的结果。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的，它们在不同的概率分布下具有不同的特性。
本文将介绍随机变量的基本概念，包括随机变量的定义、分类、性质以及常见的概率分布。
一、随机变量的定义随机变量是对随机试验结果的数值描述，它的取值不是确定的，而是依赖于随机试验的结果。
随机变量通常用大写字母表示，如X、Y 等。
在数学上，随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量两种类型。
1. 离散随机变量：如果随机变量只能取有限个或可数个数值，称为离散随机变量。
离散随机变量的取值是可以数清楚的，例如掷骰子的点数、抛硬币的正反面等。
2. 连续随机变量：如果随机变量在某一区间内可以取无穷多个数值，称为连续随机变量。
连续随机变量的取值是连续的，例如人的身高、温度等。
二、随机变量的分类根据随机变量的取值类型和分布特点，可以将随机变量分为不同的类型，常见的随机变量包括离散型随机变量、连续型随机变量和混合型随机变量。
1. 离散型随机变量：离散型随机变量的取值是有限个或可数个，通常用概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）描述其分布特征。
常见的离散型随机变量包括伯努利随机变量、二项随机变量、泊松随机变量等。
2. 连续型随机变量：连续型随机变量的取值是连续的，通常用概率密度函数（Probability Density Function，PDF）描述其分布特征。
常见的连续型随机变量包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
3. 混合型随机变量：混合型随机变量是离散型随机变量和连续型随机变量的组合，其取值既可以是离散的，也可以是连续的。
混合型随机变量的分布特征由概率质量函数和概率密度函数共同描述。
三、随机变量的性质随机变量具有一些重要的性质，包括期望、方差、协方差等，这些性质可以帮助我们更好地理解随机变量的特征和分布规律。
随机变量的定义定义
条件随机变量
01
定义
条件随机变量是指在给定某些变量的条件下，另一个变量 的概率分布。
02 03
描述
条件随机变量通常用于描述两个或多个随机事件之间的条 件关系，例如在概率图模型中，条件随机变量被用来表示 节点之间的条件依赖关系。
应用
条件随机变量在许多实际问题中都有应用，例如在自然语 言处理中，给定上下文的情况下，下一个词的概率分布可 以用条件随机变量来表示；在推荐系统中，给定用户历史 行为的情况下，用户的兴趣偏好可以用条件随机变量来表 示。
02
相关系数的定义
相关系数是协方差与两个随机变量各自方差的比值，用于衡量两个随机
变量的线性相关程度。
03
协方差与相关系数的性质
协方差和相关系数具有对称性、非负性、规范性等性质，这些性质使得
协方差和相关系数成为描述两个随机变量之间线性关系的重要指标。
03
CATALOGUE
随机变量的应用
在统计学中的应用
方差的定义
方差是随机变量取值与期望值之差的平方的平均值，用于衡量随机变量取值的离散程度 。
方差的性质
方差具有非负性、规范性、可加性等性质，这些性质使得方差成为描述随机变量离散程 度的重要指标。
协方差与相关系数
01
协方差的定义
协方差是两个随机变量取值之间线性关系的度量，反映了两个随机变量
同时取值的波动情况。
概率分布
随机变量是概率论的基本概念之一，它可以表示某一随机现象的 结果，并具有特定的概率分布。
随机事件的概率
通过随机变量，我们可以计算随机事件的概率，了解事件发生的 可能性。
随机过程的描述
在随机过程中，随机变量用于描述随机现象的变化规律，帮助我 们理解随机现象的本质。
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第二章随机变量与概率分布
§1 随机变量
在第一章里，讨论了随机事件和概率．为了进一步研究随机现象，需要将随机试验的结果数量化，我们将引进洋站一种特殊函数――随机变量，其目的将随机事件通过随机变量来表示。
一．随机变量的定义：
１．【例１】抛掷硬币的试验。
抛掷一枚质地均匀的硬币，有
２．定义：设随机试验的样本空间为Ω，如果对于每一个可能的
【例２】盒中有５个乒乓球，其中2个白球，3个黄球的，从中任取3个，
记X＝“取到白球的个数”，则Ｘ是一个随机变量，且X的可能取值是
０，１，２．
不难计算：
Ｐ（Ｘ＝０）＝
1
10
=0。
1
Ｐ（Ｘ＝１）＝
6
10
=0。
6
Ｐ（Ｘ＝２）＝
3
10
=0。
3
【例３】考虑测试灯泡寿命的试验．用X表示一个灯泡的寿命(以小时记)，则X是一个随机变量，且X的可能取值是[0,)
+∞
随机变量的概念在概率论与数理统计中既是基本的又是重要的．在实际问题中广泛存在着随机变量，我们要学会把随机变量的概念与实际中的具体问题联系起来
二．随机变量分类
随机变量通常分两类进行两类讨论。
离散型：如果随机变量Ｘ的可能取值能够一一列举出来，
如:【例１】，【例２】
随机变量连续型：如:【例3】
非离散型
其它
在非离散型中连续型随机变量是最重要的，也是实际工作中经常遇到的随机变量，。