随机变量的函数变换
随机变量的定义定义
条件随机变量
01
定义
条件随机变量是指在给定某些变量的条件下，另一个变量 的概率分布。
02 03
描述
条件随机变量通常用于描述两个或多个随机事件之间的条 件关系，例如在概率图模型中，条件随机变量被用来表示 节点之间的条件依赖关系。
应用
条件随机变量在许多实际问题中都有应用，例如在自然语 言处理中，给定上下文的情况下，下一个词的概率分布可 以用条件随机变量来表示；在推荐系统中，给定用户历史 行为的情况下，用户的兴趣偏好可以用条件随机变量来表 示。
02
相关系数的定义
相关系数是协方差与两个随机变量各自方差的比值，用于衡量两个随机
变量的线性相关程度。
03
协方差与相关系数的性质
协方差和相关系数具有对称性、非负性、规范性等性质，这些性质使得
协方差和相关系数成为描述两个随机变量之间线性关系的重要指标。
03
CATALOGUE
随机变量的应用
在统计学中的应用
方差的定义
方差是随机变量取值与期望值之差的平方的平均值，用于衡量随机变量取值的离散程度 。
方差的性质
方差具有非负性、规范性、可加性等性质，这些性质使得方差成为描述随机变量离散程 度的重要指标。
协方差与相关系数
01
协方差的定义
协方差是两个随机变量取值之间线性关系的度量，反映了两个随机变量
同时取值的波动情况。
概率分布
随机变量是概率论的基本概念之一，它可以表示某一随机现象的 结果，并具有特定的概率分布。
随机事件的概率
通过随机变量，我们可以计算随机事件的概率，了解事件发生的 可能性。
随机过程的描述
在随机过程中，随机变量用于描述随机现象的变化规律，帮助我 们理解随机现象的本质。
随机变量的函数变换
如果随机变量Y是二维随机变量(X1,X2) 的函数，即
Y g ( X 1, X 2 )
可求Y的数学期望和方差。
f X ( x)
1 2 X
e
( x m X )2 2 X 2
a、b为常数，求Y的概率密度。
如果X和Y之间不是单调关系，即 Y的取值y可能对应X的两个或更多的 值x1,x2,…, xn。
假定一个y值有两个x值与之对应，则有
fY ( y ) f X (h1 ( y )) h ( y ) f X (h2 ( y )) h2 ( y )
' 1
'
一般地，如果y=g(x)有n个反函数 h1(y), h2(y),…, hn(y)，则
fY ( y ) f X (h1 ( y )) h ( y ) f X (h2 ( y )) h2 ( y ) f X (hn ( y )) hn ( y )
'
' 1
'
例2：假定输入输出的关系为Y=bX2， b>0，若已知X的概率密度为f(x)，求Y 的f(y)。
Y [ X ]
如果X与Y之间的关系是单调的，并且 存在反函数，即 X 1[Y ] h(Y )
若反函数h(Y)的导数也存在，则可利 用X的概率密度求出Y的概率密度。
综合上述讨论，得到
fY ( y ) f X ( h( y )) h ( y )
'
例1：随机变量X和Y满足线性关系 Y=aX+b，X为高斯变量，即
1.5 随机变量的函数变换
这个函数关系的含义为：在随机试 验E中，设样本空间为S={ei}，对每一 个试验结果ei，对应于X的某个取值 X(ei)，相应地指定一个Y(ei)，且Y(ei) 与X(ei)有如下关系：
第06章 随机变量函数
第六章 随机变量函数第一节 一维随机变量函数一、一维随机变量函数1、一元波雷尔函数：设)(x f 为一元实函数,若1B ∈∀B ,有11})(|{)(B ∈∈=-B x f x B f ，则称)(x f 为一元波雷尔函数. 可以证明：连续函数、单调函数都是波雷尔函数.2、定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 为S 上的一维随机变量，)(x f 为一元波雷尔函数, S e ∈∀,规定: ))(()(e X f e Y =R ∈,称Y 为X 的函数. 记作)(X f Y =.显然,1B ∈∀B ,F ∈∈=∈=--)}()(|{}))((|{)(11B f e X e B e X f e B Y ， 故Y 也是S 上的一维随机变量.二、离散型设X 的概率分布为X 1x 2x … k x… P1p 2p…kp…)(X f Y =为X 的函数，那么}{~k k y Y P q Y ==,其中 ∑-∈-=∈=====)(11)}({})({}{k i y fx i k k k k p y fX P y X f P y Y P q .特别,当f 为一一对应函数时,令)(k k x f y =, 有k k k k p x X P y fX P q ===∈=-}{)}({1,那么Y)(1x f )(2x f… )(k x f … P1p2p …kp…例1 设X 的概率分布为X-1 01 P1/3 1/2 1/6求：(1)1-X ;(2)X 2-;(3)2X 的概率分布. 解:列表计算1/3 1/2 1/6 X -1 0 1 1-X -2 -1 0 X 2- 2 0 -2 2X1 0 1所以 (1) 1-X 的概率分布为:1-X-2 -1 0 P1/3 1/2 1/6 (2) X 2-的概率分布为:X 2--2 0 2 P 1/6 1/2 1/3 (3) 2X 的概率分布为: 2X0 1 P1/2 1/2例2 设()kk X P X 2/1}{~==，N ∈k ，)2sin(X Y π=，求Y 的概率分布.解: 显然Y 的可能取值为1,0,1-.由已知条件知:∑∑∞=+∞=⎪⎭⎫⎝⎛=+===014021}14{}1{n n n n X P Y P ∑∑∑∞=-∞=∞==-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛====1112131411141414121}2{}0{n n n nn n X P Y P ,152}0{}1{1}1{==-=-=-=Y P Y P Y P .所以Y 的概率分布为:Y-1 0 1 P2/15 1/3 8/15三、连续型设)(~x X ϕ，)(X f Y = 1、 分布函数法先求出⎰≤=≤=≤=yx f Y dx x y X f P y Y P y F )()(})({}{)(ϕ；(2) 再求出)()(y F y Y Y '=ϕ.例3 设)(~x X ϕ,||X Y =,则)()()(y y y X X Y -+=ϕϕϕ，0>y . 解:(1)当0≤y ，0)(=y F Y ,因此0)(=y Y ϕ；(2) 当0>y ,)()(}{}|{|)(y F y F y X y P y X P y F X X Y --=≤≤-=≤=, 那么)()()()()(y y y F y F y X X X XY -+=-'-'=ϕϕϕ.2、公式法(1) 设)(~x X ϕ,)(X f Y =,0)(>'x f ，)(-∞=f α，)(+∞=f β,)(y h 为)(x f 的反函数,则 )()]([)(y h y h y X Y '=ϕϕ，βα<<y .证明:因0)(>'x f ,则)(x f y =存在反函数)(y h x =,且0)(>'y h ,那么)(y h 递增.显然βα≤≤)(X f ,且})({}{)(y X f P y Y P y F Y ≤=≤=.① 当α≤y 时, 0)(=y F Y ,⇒0)(=y Y ϕ； ② 当β≥y 时, 1)(=y F Y ,⇒0)(=y Y ϕ； ③ 当βα<<y 时,)]([)}({)}()]([{)(y h F y h X P y h X f h P y F X Y =≤=≤=, 所以 )()]([)()(y h y h y F y X Y Y '='=ϕϕ.(1)’ 设)(~x X ϕ,)(X f Y =,0)(<'x f ，)(+∞=f α，)(-∞=f β,)(y h 为)(x f 的反函数,则 |)(|)]([)(y h y h y X Y '=ϕϕ，βα<<y .证明:同(1),只是0)(<'y h ,那么)(y h 递减. 当βα<<y 时,)}({1)}({)}()]([{)(y h X P y h X P y h X f h P y F Y <-=≥=≥= )]([1y h F X -=, 所以|)(|)]([)()]([)()(y h y h y h y h y F y X X Y '='-='=ϕϕϕη.例4 设)(~x X ϕ,b aX Y +=,)0(≠a ，则⎪⎭⎫⎝⎛-=a b y a y X Y ϕϕ||1)(,+∞<<∞-y .解:令b ax x f y +==)(,那么-∞=α，+∞=β，ab y y h -=)(,ay h 1)(=',⎪⎭⎫⎝⎛-='=a b y a y h y h y X X Y ϕϕϕ||1|)(|)]([)(,+∞<<∞-y .例5 设),(~2σμN X ,σμ-=X Y ,，则)1,0(~N Y . 解: b aX Y +=,01>=σa ,σμ-=b ,于是()μσσϕϕϕ+=⎪⎭⎫⎝⎛-=y a b y ay XX Y 1)(,()22][222212yy ee --+-==πσπσσμμσ, +∞<<∞-y .例6 设),(~2σμN X ,b aX Y +=,)0(≠a ，则),(~22σμa b a N Y +.证明: 222)(||21||1)(σμσπϕϕ---=⎪⎭⎫⎝⎛-=a b y X Y ea ab y a y2222)]([||21ab a y e a σμσπ+--=，+∞<<∞-y所以 ),(~22σμa b a N Y +.(2)设)(~x X ϕ,b x a <<,)(X f Y =,0)(>'x f ，)(b f =α，)(a f =β,)(y h 为)(x f 的反函数,则)()]([)(y h y h y X Y '=ϕϕ，βα<<y . 证明:因0)(>'x f ,则)(x f y =在),(b a 上存在反函数)(y h x =,且0)(>'y h ,那么)(y h 递增.显然βα≤≤)(X f ,且})({}{)(y X f P y Y P y F Y ≤=≤=. ① 当α≤y 时, 0)(=y F Y ,⇒0)(=y Y ϕ； ② 当β≥y 时, 1)(=y F Y ,⇒0)(=y Y ϕ； ③ 当βα<<y 时,)]([)}({)}()]([{)(y h F y h X P y h X f h P y F X Y =≤=≤=, 所以 )()]([)()(y h y h y F y X Y Y '='=ϕϕ.(2)’ 设)(~x X ϕ,b x a <<,)(X f Y =,0)(<'x f ，)(a f =α，(b f =β,)(y h 为)(x f 的反函数,则|)(|)]([)(y h y h y X Y '=ϕϕ，βα<<y . 证明:同(2),只是0)(<'y h ,那么)(y h 递减. 当βα<<y 时,)}({1)}({)}()]([{)(y h X P y h X P y h X f h P y F Y <-=≥=≥= )]([1y h F X -=,所以|)(|)]([)()]([)()(y h y h y h y h y F y X X Y Y '='-='=ϕϕϕ.例7 设)2,2(~ππ-U X ,X A Y sin =,)0(>A ，求)(y Y ϕ.解:已知x A x f y sin )(==,0)(>'x f ,)2,2(ππ-∈x ,A -=α,A =β,Ay y h arcsin)(=,221)(yA y h -='，又 ⎩⎨⎧>≤=.2/|| ,0 ,2/|| ,1/ )(πππϕt t t X所以 ⎪⎩⎪⎨⎧<<--='=. ,0 , ,1|)(|)]([ )(22其他A y A yA y h y h y XY πϕϕ(3) 设)(~x X ϕ,)(X f Y =,)()(x f x f i =,i I x ∈,且在i I 导数恒不为零,)(y h i 为)(x f i 的反函数, }),(|{i i i I x x f y y J ∈==,i I 为互不相交的区间,.,,2,1m i =,则 iJ y i mi i XY y h y h y ∈='=∑|)(|)]([)(1ϕϕ.证明：由(2)知, |)(|)]([)()(y h y h y i i X X f i '=ϕϕ,i J y ∈.∑∑=∈≤=≤=≤=mi iI e X Y y X fP y X f e P y X f e P y F i1)(})({})(|{})(|{)(iJ y i mi i Xmi i Y Y y h y h y X f P dyd dyy dF y ∈=='=≤==∑∑|)(|)]([})({)()(11ϕϕ.例8 设)(~x X ϕ,2X Y =,则)]()([21)(y y yy X X Y -+=ϕϕϕ，0>y .证明:令0,0,)(,)(121><-===y x y y h x x f y ，0,0,)(,)(222><===y x y y h x x f y ,那么),0(21+∞==J J .由(3)知 )]()([21|)(|)]([)(021y y yy h y h y X X y i i i XY -+='=>=∑ϕϕϕϕ,0>y .例9 设)1,0(~N X ,2X Y =,则)1()21,21(~22χ∆=Γ=X Y .解: )(1)]()([21)(y yy y y y X X X Y ϕϕϕϕ=-+=()21121212)2/1(2/1211---Γ==eyeyy π,0>y .所以 )21,21(~2Γ=XY .四、随机变量存在定理设定义在R 上的函数)(x F 满足：(1)R ∈∀x ,1)(0≤≤x F ；(2))(x F 为单调不减函数；(3)0)(lim =-∞→x F x ,1)(lim =+∞→x F x ；(4))(x F 为右连续函数.则)(x F 必为某一维随机变量的分布函数.事实上,取)1,0(~U X ,定义})(|sup{)(x t F t x G <=,则)(X G Y =的分布函数为)(x F .说明: ① 由此可见满足分布函数(1)-(4)的)(x F 可确定一个随机变量.②利用数学或物理的方法产生)1,0(中均匀分布随机变量的子样(称为均匀分布随机数)，再利用变换)(X G Y =可得到任意分布)(x F 的随机数.这在蒙特卡洛方法中具有重要性．证明:①先证明)(x G 单调不减,那么)(x G 是波雷尔函数.R ∈<∀21x x ,若1)(x t F <,有2)(x t F <⇒})(|{})(|{11x t F t x t F t <⊂<⇒})(|sup{})(|sup{21x t F t x t F t <≤<⇒)()(21x G x G ≤. 所以)(x G 单调不减.其次证明)(x G 的定义域)1,0(⊃D .因X 的值域为)1,0(, 这样)(X G 就是一维随机变量.)1,0(∈∀r ,因(3),必R ∈'''∃x x ,,使得)()(x F r x F ''<<'. 因r x F <')(,有})(|{r t F t x <∈',于是})(|{r t F t <非空；又})(|{r t F t s <∈∀,有)()(x F r s F ''<<,因(2),有x s ''<, 于是})(|{r t F t <有界,这样})(|sup{)(r t F t r G <=存在,. 于是D r ∈,那么D ⊂)1,0(.③ 再证明R ∈∀x ，有x y F x G y <⇔<)()(，这样 )()(y F x y x G ≤⇔≤.“⇐”x y F <)(,因(4),则y y >'∃,使得x y F y F <'<)()(， 这样 )(})(|sup{x G x t F t y y =<≤'<“⇒”)(x G y <，因})(|sup{)(x t F t x G <=,则})(|{ x t F t y <∈'∃， 使得y y x G x G '<--])([)(,即y y '<,又因(2),有x y F y F <'≤)()(. ④ 最后证明)(X G Y =的分布函数为)(x F .因)1,0(~U X ,故x x F X =)(,10≤≤x ,而由(1)知1)(0≤≤y F , 因此 R ∈∀y ，)()]([)}({})({}{)(y F y F F y F X P y X G P y Y P y F X Y ==≤=≤=≤=.第二节 n 维随机变量一、n 维随机变量1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，k X ，)(n N k ∈为S 上的一维随机变 量，称),,,(21n X X X X =为S 上的n 维随机变量.符号约定：设nn n y y y y x x x x R ∈==),,,( ),,,,(2121 ,规定： ① y x <⇔k k y x <；n k ,,2,1 =.②y x ≤⇔k k y x ≤，)(n N k ∈.③将),,,(21n x x x x =写成列(column)向量) (21'n x x x ,即==),,,(21n x x x x ) (21'n x x x .) (),,,(2121'==n n X X X X X X X .2、X 关于J X 的边缘分布：),,,(21mk k k I X X X X =.)(),,,(21n N k k k I m ⊂= 表示)(},,,{21n N k k k m ⊂ .3、X 的分布：}{B P ∈X , n B B ∈. 其中可证：=∈}{B X F ∈∈∈},)(|{S e B e X e .4、分布函数(1)定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 为S 上的n 维随机变量, n x R ∈∀,规定}{)(x X P x F ≤=.称)(x F 为X 的分布函数.(2) 性质① n x R ∈∀,1)(0≤≤x F .② )(x F 关于k x 为单调不减右连续函数，)(n N k ∈. ③ 0)(lim =-∞→x F J x ,)(n N J ⊂；1),,,(=+∞+∞+∞ F .④ ),,,(lim }{)(21n x J JJ x x x F x XP x FJ JX +∞→=≤=,)(n N J J =+.5、相互独立: 设),,,(21m X X X X =,)(x F 为X 的分布函数, 而),,,(21kkn k k k X X X X =为k n 维随机变量, )(k k x F 是k X 的分布函数,m k ,,2,1 =，恒有)(x F ∏==mk k kx F1)(，则称m X X X ,,,21 相互独立.注：① 若mmn m n X X ,,,,,,11111X X 独立,即X 独立， 则m X X X ,,,21 独立.②m X X X ,,,21 独立⇔kn k B B ∈∀，m k ,,2,1 =恒有}{}{}{},,,{22112211m m m m B X P B X P B X P B X B X B X P ∈∈∈=∈∈∈ .③ 若),,,(21m X X X X =相互独立 ⇒kJ J J X X X ,,,21独立,)(21m N J J J k ⊂+++ .6、随机变量序列}{n X 的独立：若}{n X 中任意有限个随机变量独立，则称}{n X 独立.n 维离散型随机变量1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，),,,(21n X X X X =为S 上的n 维随机变量，若X 的取值为有限个或可数个(至多可数)，称X 为S 上的n 维离散型随机变量.显然：X 为S 上的n 维离散型随机变量⇔i X ),,2,1(n i =均为S 上的一维离散型随机变量.2、概率分布：假设X 所有可能取的值为I x ),,,(21ni i i x x x =，nn i i i I N ∈=),,,(21 ，令},,,{}{2121ni n i i I I x X x X x X P x X P p ====== ,称其为n 维随机变量X 的概率分布.3、分布律性质(1)0≥I p ; (2) 1=∑II p ;(1)(2)为离散型随机变量的特征性质. 反之亦然.(3) ∑∈=∈Bx I I p B X P }{,n B B ∈；(4)n X X X ,,,21 独立⇔nI N∈∀,恒有}{}{}{}{2121n i n i i I x X P x X P x X P x X P ===== .4、IJ p Y X ~),(的边缘分布,n I N ∈,mJ N ∈(1)),(Y X 关于X 的边缘分布：∑=∙JIJ I p p X ~.(2)),(Y X 关于Y 的边缘分布：∑=∙IIJ J p p Y ~.5、IJ p Y X ~),(的条件分布(1)在I x X =的条件下Y 的分布：∙===I IJ I J p p x X y Y P }|{.在J y Y =的条件下X 的分布：JIJ J I p p y Y X X P ∙===}|{.三、n 维连续型随机变量1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 为S 上的n 维随机变量，)(x F 为X 的分布函数,若存在非负可积函数)(x ϕ，对n x R ∈∀,有⎰≤=xt dt t x F )()(ϕ,则称X为n 维连续型随机变量. )(x ϕ为X 的概率密度函数.记作)(~x X ϕ. 注：(1) )(x F 为连续函数；(2) )(x ϕ意义与一维相同.2、性质(1)0)(≥x ϕ; (2)⎰∈=nx dxx R1)(ϕ；(1)(2)为连续型随机变量的特征性质. 反之亦然.(3)⎰∈=∈Bx dx x B X P )(}{ϕ,nB B∈；(4)n B B ∈∀,若0)(=B m ,有0}{=∈B X P .(5)n X X X ,,,21 独立⇔nn R x x x x ∈=∀),,,(21 ,恒有∏==nk k X X x x k1)()(ϕϕ.3、 X 关于J X 的边缘分布： ⎰=JJ dx x x )()(ϕϕ，)(n N J J =+.4、在J J x X =的条件下L X 的分布： )()()|(J L J J L x x x x ϕϕϕ+=，)(n N L J ⊂+. 例1 (均匀分布) 在n A B ∈(0)(>A m )中任取一点X ，则X 的密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=. ,0 , )(1)(A x A x A m x ，ϕ 此时，记：)(~A U X .例2 (n 维正态分布) 设)(~),,,(21x X X X X n ϕ =,n R ∈μ,C 为n 阶正定对称矩阵，且)()(211212||)2(1)(μμπϕ-'---=x Cx eC x n,n x R ∈称X 服从n 维正态分布，记作),(~C N X μ.特别,当2=n 时, ),(21μμμ=,因⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211c cc c C 为二阶正定对称矩阵,于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22121211c cc c C ,且011>c ,0||2122211>=-C c c c ,那么022>c , 令111c =σ,222c =σ,221112c c c =ρ，这样1||<ρ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22212121σσρσσρσσC , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-212121221||1σσρσσρσσC C, )1(||22222ρσσ-=C , 于是 )()(211212||)2(1)(μμπϕ-'---=x C x eC x n⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-------=2222212121212)())((2)()1(21221121σμσσμμρσμρρσπσy y x x e，这正是二维正态分布.第三节 n 维随机变量函数一、n 维随机变量函数1、n 元波雷尔函数：设)(x f 为n 元实函数,若1B ∈∀B , 有n B x f x B fB ∈∈=-})(|{)(1，则称)(x f 为n 元波雷尔函数.可以证明：连续函数是波雷尔函数.2、定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 为S 上的n 维随机变量，)(x f 为n 元波雷尔函数, S e ∈∀,规定: ))(()(e X f e Y =R ∈,称Y 为X 的函数. 记作)(X f Y =.3、显然：1B ∈∀B ,F ∈∈=∈=--)}()(|{}))((|{)(11B fe X e B e Xf e B Y ，故Y 也是S 上的一维随机变量.二、离散型设X 的概率分布为}{I x X P =,n I N ∈,)(X f Y =为X 的函数， 则Y 的概率分布为)}({I x f Y P =.例1 设),(Y X 的概率分布为YX -1 1-1 1/4 1/3 1 1/6 1/4求：(1)Y X +；(2) Y X -2 的概率分布.解:列表计算P),(Y X Y X + Y X -2 1/4 (-1,-1) -2 -1 1/3 (-1,1) 0 -3 1/4 (1,1) 2 1 1/6 (1,-1) 0 3所以:(1) Y X +的概率分布为:Y X +-2 0 2 P1/4 1/2 1/4(2)Y X -2的概率分布为:Y Z -2-3 -1 13 P1/3 1/4 1/4 1/6例2 设)(~i i P X λ,2,1=i 独立, 21X X Z +=则 )(~2121λλ++=P X X Z . 解：Z 的可能取值为 ,2,1,0,而∑=-====+==ki i k X i XP k X X P k Z P 02121},{}{}{∑∑=---=-=-===ki ik iki ei k ei i k X P i XP 02102121)!(!}{}{λλλλ)(21210)(2121!)()!(!!!λλλλλλλλ+--=+-+=-=∑ek i k i k k eki k i ki ，0N k ∈,所以)(~2121λλ++=P X X Z .三、连续型1、分布函数法: 设),(~),(y x Y X ϕ，),(Y X f Z =,为S 上的二维随机变量, (1) 先求出⎰⎰≤=≤=≤=zy x f Z dxdyy x z Y X f P z Z P z F ),(),(}),({}{)(ϕ,R ∈∀z ；(2) 再求出)()(z F z Z Z '=ϕ.2、随机变量四则运算公式: 设二维随机变量),(~),(y x Y X ϕ.(1)Y X Z +=,则 ⎰+∞∞--=dx x z x z Z ),()(ϕϕ，或⎰+∞∞--=dyy y z z Z),()(ϕϕ.若X 与Y 独立，则⎰+∞∞--=dx x z x z Y XZ )()()(ϕϕϕ.证明：⎰⎰⎰⎰+∞∞--∞-≤+==xz z y x Z dyy x dx dxdyy x z F ),(),()(ϕϕ⎰⎰⎰⎰∞-+∞∞-+∞∞-∞-=--=-====zzyx t dx x t x dt dtx t x dx ),(),(ϕϕ⎰⎰⎰∞-∞-+∞∞-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=zzdt t dt dx x t x )(),(ζϕϕ,所以⎰+∞∞--=dx x z x z Z ),()(ϕϕ.例3 设)1,0(~N X i ,2,1=i 独立,则)2,0(~21N X X Z +=. 证明：由 222222)(z xz x x z x +-=-+ 22222222)2(22222z z x z z zxx +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=, 从而 ⎰⎰+∞∞----+∞∞-=-=dx eedx x z x z x z xX X Z 2)(2222121)()()(πϕϕϕ⎰⎰∞+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-∞+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2221221222222222222222z x d eedx eez x z z x zπππ ()2222221⋅-=z eπ,R ∈z . 所以)2,0(~N Z .注：一般地，设),(~2i i i N Z σμ,2,1=i 独立,则),(~22212121σσμμ+++=N X X Z .4 设),(~λi i r X Γ,2,1=i 独立, 21X X Z +=则 ),(~2121λr r X X Z +Γ+=.证明: ⎰⎰+∞+∞∞--=-=)()()()()(2121dx x z x dx x z x z X X X X Z ϕϕϕϕϕ,① 当0≤z 时, 0)(=z Z ϕ； ② 当0>z 时,⎰⎰------ΓΓ=-=zx z r r r r zX X Z dx ex z r exr dx x z x z 0)( 12 x11 0221121)()()()()()(λλλλϕϕϕ⎰⎰---+-=--+--⋅ΓΓ===-ΓΓ=111121 0112121212121)1()()()()()()(dt t tz r r edx x z xr r er r r r zxzt zr r r r z λλλλλzr r e z A 121)(λλλ--+=，又因 ) ()()()(1210121r r A z d ez A dz z zr r Z +Γ===⎰⎰+∞--++∞∞-λλϕλ,⇒[]121) (-+Γ=r r A ，这样 []z121 1121212121)()() ()(λλλλλϕ--++--+-+Γ=+Γ=ezr r ez r r z r r r r zr r Z .所以),(~21λr r Z +Γ.(2)Y X Z -=,则 ⎰+∞∞--=dx z x x z Z ),()(ϕϕ.若X 与Y 独立，则⎰+∞∞--=dx z x x z Y XZ )()()(ϕϕϕ.证明：⎰⎰⎰⎰+∞∞--∞-≤-==zx z y x Z dy y x dx dxdyy x z F ),(),()(ϕϕ⎰⎰⎰⎰∞-+∞∞-+∞∞-∞-=--=-====zzyt x dx t x x dt dtt x x dx ),(),(ϕϕ,所以 ⎰+∞∞--=dx z x x z Z ),()(ϕϕ.独立时简单证明: 因 )()(y y Y Y -=-ϕϕ,于是⎰⎰+∞∞-+∞∞---+-=-==dx z x x dx x z x z z Y XY XY X Z )()()()()()()(ϕϕϕϕϕϕ.(3) XY Z =,则 ⎰+∞∞-=dy y yz y z Z ),(||1)(ϕϕ，或⎰+∞∞-=dx xzx x z Z ),(||1)(ϕϕ.若X 与Y 独立，则⎰+∞∞-=dx xzx x z Y X Z )()(||1)(ϕϕϕ.证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞-∞+≤+==),(),(),()(yzyzzxy Z dxy x dy dx y x dy dxdyy x z F ϕϕϕ⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞-∞-=+===01),(1),(zzxyt dt yy yt dydt yy yt dyϕϕ⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞-∞-+=00),(||1),(||1zzdt y yt y dydt y yt y dyϕϕ⎰⎰⎰⎰∞-+∞∞-+∞∞-∞-==zzdy y yt y dtdt y yt y dy),(||1),(||1ϕϕ所以 ⎰+∞∞-=dy y yz y z Z ),(||1)(ϕϕ.例5 设),(~),(y x Y X ϕ,且⎩⎨⎧<≤<= . ,0,10 8),(其他，y x xy y x ϕXY Z =,求)(z Z ϕ.解:⎰⎰==+∞∞-1),(1),(||1)(dy y yz ydy y yz y z Z ϕϕϕz z y d y yz yZZZ ln 481110-==+=⎰⎰⎰,10<<z .(4) YX Z =,则 ⎰+∞∞-=dy y yz y z Z ),(||)(ϕϕ.若X 与Y 独立，则⎰+∞∞-=dy y yz y z Y XZ )()(||)(ϕϕϕ.证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞≤+==),(),(),()(zyzyzyxZ dx y x dy dx y x dy dxdyy x z F ϕϕϕ⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞--∞=+===00),(),(zzxty ydty ty dy ydt y ty dy ϕϕ⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-∞-+=00),(||),(||zzdt y ty y dy dt y ty y dy ϕϕ⎰⎰⎰⎰∞-+∞∞-+∞∞-∞-==zzdyy ty y dt dt y ty y dy ),(||),(||ϕϕ所以 ⎰+∞∞-=dy y yz y z Z ),(||)(ϕϕ.例5 设)(~i Exp X i ,2,1=i 独立, 21X X Z =,求)(z Z ϕ. 解: ⎰⎰+∞+∞∞-==)()()()(||)(2121dy y yz y dy y yz y z X X X X Z ϕϕϕϕϕ，① 当0≤z 时, 0)(=z Z ϕ；当0>z 时, ⎰+∞--=22)(dy eyez yzyZ ϕ22)2(122)2(2)2()2(2])2[()2()2(2z z y z d ez z yz +=+Γ=+++=⎰+∞+--.所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0 ,0 ,0 ,)2(2)(2z z z z Z ϕ四、最大、最小公式设),,,(21n X X X 为S 上的n 维随机变量,且n X X X ,,,21 独立.(1) },,,max{21n X X X Z =，则∏==ni X Z z Fz F i1)()(.证明: }},,,{max{}{)(21z X X X P z Z P z F n Z ≤=≤= },,,{21z X z X z X P n ≤≤≤=∏==≤≤≤=ni X n z Fz X P z X P z X P i121)(}{}{}{ .(2)},,,min{21n X X X Z =，则∏=--=ni X Z z F z F i1)](1[1)(.证明: }},,,{min{1}{1}{)(21z X X X P z Z P z Z P z F n Z >-=>-=≤=},,,{121z X z X z X P n >>>-=∏=--=>>>-=ni X n z F z X P z X P z X P i 121)](1[1}{}{}{1 .例6 设)(~i i Exp X λ,2,1=i 独立,},max{211X X Z =,},min{212X X Z =, 求)(1z Z ϕ,)(2z Z ϕ.解:已知 xX i i ex F λ--=1)(,0>x ,那么① )1)(1()()()(21211zzX X Z eez F z F z F λλ----==,0>z ,zzzZ Z eeez F z )(2121212111)()()(λλλλλλλλϕ+---+-+='=，0>z .⎩⎨⎧≤>+-+=+---.0 ,0,0 ,)( )()(212121211z z e e e z z z z Z λλλλλλλλϕ② zX X Z ez F z F z F )(212121)](1)][(1[1)(λλ+--=---=,0>z ,zZ Z ez F z )(212122)()()(λλλλϕ+-+='=，0>z .所以 ⎩⎨⎧≤>+=+-.0 ,0,0 ,)( )()(21212z z e z z Z λλλλϕ五、函数的独立性设m X X X ,,,21 独立，),,,(21kkn k k k X X X X =，)(k k k X f Y =，m k ,,2,1 =.则 m Y Y Y ,,,21 也独立.证明：121,,,B ∈∀m B B B ,有},,,{2211m m B Y B Y B Y P ∈∈∈)}(,),(),({121221111m m m B f X B f X B f X P ---∈∈∈= )}({)}({)}({121221111m m m B f X P B f X P B f X P ---∈∈∈=}{}{}{2211m m B Y P B Y P B Y P ∈∈∈=例8 设),(~2i i i N X σμ,m i ,,2,1 =独立,则),(~1211∑∑∑====mi i mi i mi iN XY σμ.例9 设),(~λi i r X Γ,m i ,,2,1 =独立, 则),(~11λ∑∑==Γ=mi i mi ir XY .例10 设X 与Y 独立，且)(),(y x Y X ϕϕ,),(y x ϕ均连续, 而)(),(~),(22y x q y x Y X +=ϕ,则X 与Y 均服从正态分布.引理:设)(x f 与)(y g )0,(≥y x 都连续不恒为0,且0,≥∀y x 恒有)()()(y x h y g x f +=,则xka x f =)(,0≥x ，此处a k ,是常数, 0>a .证明:①先证明0)0(≠f .反证.假设0)0(=f ，则0)(≡x h .)(y g 不恒为0,故00≥∃y ,使得0)(0≠y g ,,那么0)()()(00≡+=y g y x h x f ,这与)(x f 不恒为0矛盾,故0)0(≠f .同理可证0)0(≠g .② 由于)()()0()0()(x h x g f g x f ==,那么)()0()0()()0()()0()(x p g f x h g x g f x f ===, 于是)()0()0()()0()()0()()()(y x p g f y x h g y g f x f y p x p +=+==,0,≥y x . ③ 再证明 0)1(≠p .反证. 假设0)1(=p ⇒0)1()1(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡p n p n⇒0)1(lim )0(==→∞n p p n .而1)0()0()0(==f f p ,故0)1(≠p .④ 因)()()(y x p y p x p +=,0,≥y x .则 x a x p =)(⇒x x ka a f x f ==)0()(.此处a k ,是常数,且 0)21()21()1(>==p p p a .例10证明: 因X 与Y 独立,则)(),()()(22y x q y x y x Y X +==ϕϕϕ.考虑在第一象限1D 中,令)()()(22x x x f X X ϕϕ==,)()()(22y y x g Y Y ϕϕ==, 显然都连续不恒为0,再令 )()(2222y x q y x h +=+,于是 )()()(2222y x h y g x f +=,因此2)()(2x X ka x f x ==ϕ,0)0()0()1(>=g f h a .由于σπσπσπϕσ222)(12222k dx ek dx a kdx x xx====⎰⎰⎰+∞∞--+∞∞-+∞∞-,有σπ21=k ,其中,因⎰+∞∞-dx a x2收敛,于是10<<a ,这样0ln 21>-=aσ.从而22221)(σσπϕxX ex -=，在其他三象限同样有此结果,于是),0(~2σN X .由对称性知道, ),0(~2σN Y .六、随机变量的变换)(~x X ϕ为S 上的n 维随机变量，)(x f y =为nn R R →的变换,)(x f y =在其定义域x D 上雅可比行列式0≠∂∂=xyJ ，y D 为其值域， 则)(x f y =有逆变换)(y h x =,)(X f Y =也是S 上的n 维随机变量，且1)]([)]([)(-=∂∂=Jy h yx y h y X X Y ϕϕϕ，y D y ∈. 证明：n y R ∈∀,有⎰≤=≤=yx f XY dx x y X f P y F )()(})({)(ϕ,0≠∂∂xy ,x D x ∈,故)(x f t =有逆变换)(t h x =,且0≠∂∂tx ，那么⎰⎰≤≤∂∂==yt X yx f X Y dt tx t h dx x y F )]([)()()(ϕϕ.又⎰≤=yt YY dt t y F )()(ϕ,故 yx y h y X Y ∂∂=)]([)(ϕϕ，y D y ∈.华东师大《数学分析(下)》例11 设),(~),(y x Y X ϕ，Y X Z +=,则 ⎰+∞∞--=dx x z x z Z ),()(ϕϕ.证明：令Y X Z +=,X W =,定义域和值域都是2R ,且雅可比行列式为10111-==∂∂∂∂∂∂∂∂=y w x w yzx z J , 而逆变换),(w z h 为W X =,W Z Y -=.这样),(W Z 的密度函数为),(),()],([),(11w z w y x J w z h w z -===-ϕϕϕϕ，于是⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=dx x z x dww z w z Z ),(),()(ϕϕϕ.。
随机变量函数中的线性变换与平方变换的图解法
明
要 】概 率论与数理统计》 《 中的求解随机变量函数的分布 ， 图解法的求解直观、 易于掌握 ， 本文通过 实例 （ 线性 变换与平方 变换） 以说 加
【 关键词 】 图解法； 分布 函数法 ； 随机变量的函数
０ 引 言
数学上难于理解的问题 ， 若能用图形说清楚 ， 对学生 、 教师都会 收 【 其 它 Ｏ 到事半功倍 的效 果 ， 在求解随机变量 函数 Ｙ＝ （） ｇｘ 的分 布中 ， 一系列 的 ２ ８的概 率 密度 ． Ｘ＋ 公式推导令学生难于理解与掌握 ， 课堂上用图解法求解 函数 的的分布 从 图 ３上 ， Ｘ取值在（ ４ ， Ｏ，）对应 Ｙ的取值在 （ ， ） Ｏ８ ， 可使学生易于理解 、 易于掌握分 布函数法 ， 下面以实例来 说明用图解 法求解 随机 变量函数中常用的线性变换 Ｙ＝Ｘ＋ （≠０（ 调函数） ａ ｂａ ） 单 与 平 方 变 换 Ｙ Ｘ２ 单 调 函 数 ）学 生 也 可 以用 在其 它 类 型 的 变 换 中 ， ： ＝ ｆ 非 ， 如 Ｂ 对数变换 、 指数变换及三角函数变换 等． 。
—、 。 ：
Ｏ ｛ 哇
×
分 布函数 ：ｄ ）Ｆ（／ ）蹦 一 ／ ）两边对 Ｙ 导得 Ｙ的概率密度 Ｆｙ＝ ｘ 一 、 ， 、 求
ｆ ｙ＝ ｄ ） — 一 Ｏ ／ ｔ 、 ｙ） 、 ｙ） 一 ／ ） ．
２Ｖ Ｙ
图２
对平 方变换 Ｙ＝ 非单调 函数 ）从 图形上搞清 ｘ与 Ｙ的取值 范 Ｘ（ ， 围， 以写 出它们相应的分布函数 ， 可 从而求导得 Ｙ的概率 密度 函数．
一
ｆ
．
０ ＼
图３
Ｘ
率值 ， 如图 １ ：
Ｏ ｘ
随机变量的分布函数、连续型
02
偏度是描述数据分布不对称性的量，即三阶中心矩与三阶原点矩的比值。偏度 大于0表示分布右偏，偏度小于0表示分布左偏。
03
峰度是描述数据分布形态陡峭或扁平程度的量，即四阶中心矩与四阶原点矩的 比值。峰度大于3表示分布比正态分布更陡峭，峰度小于3表示分布比正态分布 更扁平。
PART 04
连续型随机变量的应用
用。
PART 03
连续型随机变量的性质
REPORTING
WENKU DESIGN
概率密度函数（PDF）
概率密度函数（PDF）描述了随机变量取值在 某个区间的概率，即密度函数值与该区间长度 之积等于该区间内事件发生的概率。
PDF具有非负性，即对于所有实数x， PDF(x)≥0。
整个实数轴上的概率总和为1，即 ∫∞−∞f(x)dx=1，其中f(x)是随机变量的概率密 度函数。
在模拟连续型随机变量时，蒙特卡洛方法通过产生大 量随机样本，并计算其统计量，来估计随机变量的分
布函数和概率密度函数。
蒙特卡洛方法的优点是简单易行，适用于各种类型的 分布函数，但缺点是精度取决于样本数量，样本数量
越多，精度越高。
逆变换采样法
逆变换采样法是一种基于概率分布的反向抽样方法，即先从均匀分布的随机数中抽取样本，再通过概 率分布的反函数变换得到所需的随机变量。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
正态分布的实际应用案例
金融领域
正态分布被广泛用于描述金融数据的分布，如股 票价格、收益率等。
自然现象
许多自然现象的分布呈现正态分布特征，如人类 的身高、智商等。
统计学
在统计学中，正态分布是最常用的分布之一，用 于描述数据的集中趋势和离散程度。
2.随机变量的分布
0
y1e y1 1 dy1 , 2 2 (1 y2 ) （ 1 y2）
由于g ( y1 , y2 ) g1 ( y1 ) g2 ( y2 ),所以Y1与Y2也是独立的。
第五节 数字特征及其特征函数
一、数字特征
（一）随机变量的数学期望 1、定义 设离散型随机变量的分布律为
DX E ( X 2 ) [ EX ]2 p p 2 p(1 p)
EX p DX p(1 p)
（2）二项分布 X ~ b(n, p)
X X1 X 2
P X i 1 p
Xn , X n 相互独立。
P X i 0 1 p
参数为
分布律为 P{ X k}
k e
k!
(k 0,1,2,)
E( X )
D( X ) E ( X ) E ( X )
2 2
2 2
E( X ) D( X )
（4）均匀分布 密度函数
X ~ U (a, b) 参数为 a, b
1 , a x b, f ( x) b a others. 0,
ab (b a) 2 E( X ) , D( X ) 2 12
（5）正态分布 X ~ N ( , 2 ) 参数为 , 2
1 密度函数 f ( x) e 2
( x )2 2 2
称Y 是随机变量X 的标准化了的随机变量。
则
例
设 X , Y 是两个相互独立的且均服从正态分布
N (0,1/ 2) 的随机变量 , 则求随机变量 | X Y | 的数学
期望 E (| X Y |) .
随机变量函数分布
随机变量函数分布随机变量函数分布是概率论中的重要概念，它描述了一个随机变量经过函数转换后的分布情况。
在实际问题中，我们常常需要通过随机变量的函数来描述某种现象的规律或特性。
本文将介绍随机变量函数分布的基本概念和常见的分布形式。
一、随机变量函数分布的定义随机变量函数分布指的是一个随机变量经过某种函数转换后的概率分布情况。
在数学上，对于一个随机变量X和一个函数Y=f(X)，我们可以描述函数Y的概率分布，也就是Y的取值在各个区间内的概率。
通常情况下，我们可以通过概率密度函数或累积分布函数来描述随机变量函数分布。
二、常见的随机变量函数分布形式1. 线性变换最简单的随机变量函数分布形式就是线性变换。
设X是一个随机变量，Y=aX+b是X的线性变换，其中a和b为常数。
如果知道X的分布情况，就可以通过线性变换得到Y的分布。
具体地，如果X服从均匀分布，则Y也会服从均匀分布。
2. 指数变换指数变换是常用的随机变量函数形式之一。
如果X服从指数分布，经过指数变换Y=e^X后，Y会服从对数正态分布。
指数变换在描述某些事件的时间间隔时非常有用，比如描述两次地震事件之间的时间间隔。
3. 幂变换幂变换是一种常见的函数形式，如果X服从正态分布，Y=X^2后，Y会服从卡方分布。
幂变换在统计学中的应用非常广泛，比如方差分析和回归分析中就经常用到幂变换来处理数据。
三、实际应用举例在实际问题中，随机变量函数分布具有广泛的应用。
比如在金融领域中，可以通过随机变量函数分布来描述股票价格的涨跌情况，进而进行风险管理和投资决策。
在生物学领域中，可以通过随机变量函数分布来描述基因的变异情况，进而研究遗传特性。
总的来说，随机变量函数分布是概率论中一个重要的概念，它通过函数转换描述了随机变量的特性和规律。
通过研究随机变量函数分布，我们可以更好地理解现实世界中复杂的随机变量关系，从而进行更加精确的建模和分析。
随机变量的拉普拉斯变换及威德形式的反演公式
２１ 第 ６ ００年 期
随机变量的拉普拉斯变换及威德形式的反演公式
热 依 拉 ・ 布 都 热 西 提 阿
（ 新疆阿克苏教育 学院教 学微机教研 室， 新疆阿克苏
８３ ０ ） ４ ００
一
、
陋 毛【 量 的 拉 晋 孤 斯 变 殃 Ｉ 变
设 机 量 的 率 度 ／） ｆ０ ， ） ， 随 变 ｘ 概 密 为 ， ＜ 时 ： 且 ０ 当 分 一 ） （ ０收 时 积 ８ ＞） 敛 有
＝
≤
Ｄ一
其中。于是第 二个积分
（ （ 州
（２ １）
ｎＸｔ －ｉ ＞ ￣
∽ Leabharlann … 这就是威德反演公式。 最后证 明 （２ １）式再 （ ，ｏ ）的任何 有限区问中成立 Ｏ ｏ 的一致性。 设 Ｊ （ ，一）是有 限区间 ，对 ＞０ ｒ Ｏ
所 以，
６ ６ ‘
脚 ＝ｃ （ ） 一
赤即
Ｅ ） －（ｔ ＝ｅｆｄ Ｘｔ ＇）
（ １ ）
故
㈡ 山
证明己 知Ｘ ＝ ，… 服从 １ ，Ｊ 参数为 指数 布， ２ 的 分
－ｆ １ ￣－ ｒ ）式左端为 Ｘ 的母函数，右端为 Ｘ 的拉普拉 ］（
斯 换 （ 拉 变 。 １ 式 端 是 数 厂） 变 称 氏 换）（） 右 又 函 的
２ ． 威德反演公式的大数定律
令 ，对 （ ）式两边取极限，有 ５
定 １ ｊ相 独 、 服 参 为 的 数 理 设 是 互 立 均 从 数 指
赤即
） ㈤ ＝ ・
分 的 机 量 列 ＝ 那 ， 布随变序， ∑ 么
ｋ＝ｌ
（ ） 一
ＸＮ ０ Ｇ Ｕ ＩＮ Ｎ Ｃ Ｎ
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f X ( x)
1 2 X
( x mX )2
2 2 X
e
Y b X h(Y ) a
fY ( y ) f X (h( y )) h( y )
1 e 2 a X
1 2 X
e
y b mX )2 a 2 2 X (
1 a
( y amX b ) 2
2 2 a 2 X
mY am X b
2 2 Y a 2 X
2
例 : 平方律检波的输入输出的关系为 : Y bX 2 b 0 已知输入随机信号X的概率密度为f X ( x), 求输出 随机信号Y的概率密度fY ( y ).
X 1 h1 ( y ) Y b X 2 h2 ( y ) Y b
X 1 h1 (Y ) X 2 h2 (Y )
fY ( y ) f X (h1 ( y )) h1' ( y )
' f X (h2 ( y )) h2 ( y )
1
例1.1.5 随机变量X和Y满足线性关系Y aX b, X为高斯变量, a, b为常数, 求Y的概率密度.
fY ( y ) 1 (2 by ) [ f X ( y b ) f X ( y b )]
3
三、随机变量函数的数字特征
已知随机变量X及其概率密度f X ( x), 随机变量Y g ( X )
E[Y ] yfY ( y)dy g ( x) f X ( x)dx
t2 2 2
FT [e
] 2 e
2 2
2
fY ( y ) fY ( y )
1 2
10
e
y2 4
性质1 : ( ) (0) 1
( ) f ( x)e jx dx
f ( x) 0, 且 e jX 1
( )
Y ( ) E[e jY ] E[e j ( aX b ) ]
E[e
j b
e
jaX
]
e e
jb jb jb
E[e E[e
jaX
] ]
j ( a ) X
e X (a )
12
互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量 特征函数之积, 即 : 若Y X n , X n 之间相互独立,
5
特征函数的性质
性质1 : ( ) (0) 1
性质2 : 若Y aX b, a和b为常数, X ( )为 X的特征函数, 则Y的特征函数为 :
Y ( ) e jb X (a )
性质3 : 互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量 特征函数之积, 即 : 若Y X n , X n 之间相互独立,
随机变量X的特征函数就是由X组成的一个新的随机 变量e jX 的数学期望, 记为 : ( ) E[e jX ]
对于离散随机变量有: ( ) pi e
i 0
jxi
jx 对于连续随机变量有: ( ) f ( x)e dx
随机变量X的第二特征函数定义为特征函数的对数 ( ) ln ( )
E[Y ] E[ g ( X )]
2
只适用单调函数
D[Y ] ( y E[Y ]) fY ( y)dy [ g ( x) mY ]2 f X ( x)dx
D[Y ] D[ g ( X )]
4
பைடு நூலகம்.2 随机变量的特征函数
characteristic function 1.2.1 特征函数的定义与性质
1 e 2
( xm)2 2 2
f X ( x)
1 e 2
x2 2
Y ( ) X1 ( ) X 2 ( ) 2 ( ) X
X ( ) FT [ f X ( x)]
t2 2 2
X ( ) e
2
2
FT [e
] 2 e
h1' ( y) 1 (2 by )
' h2 ( y) 1 (2 by )
' fY ( y ) f X (h1 ( y )) h1' ( y ) f X (h2 ( y )) h2 ( y )
fY ( y ) f X ( y b ) 1 (2 by ) f X ( y b ) 1 (2 by )
1.1.3 随机变量的函数变换
一、一维变换
functions transformation of random variables
设随机变量X和Y满足 Y ( X ) ，如果X、Y之间的 关系是单调的，并且存在反函数 X 1 (Y ) h(Y )
dx fY ( y ) f X ( x) f X (h( y )) h( y ) dy
n 1 N
则 : Y ( ) E[e jY ] X n ( )
n 1
6
N
1.2.2 特征函数与概率密度的关系
X ( ) f ( x)e
jx
dx
X () F ()
FT[ f ( x)] F () f ( x)e jx dx
f ( x )e
jx
dx
f ( x )e
jx
dx
f ( x) e jx dx 1
() 1
(0) f ( x)dx 1
() (0) 1
11
若Y aX b, a和b为常数, X ( )为X的特征函数, 则Y的特征函数为 : Y ( ) e jb X (a )
2 2
2
9
例1.2.1 随机变量X 1 , X 2为互相独立的高斯变量, 数学期望 为零, 方差为1. 求Y X 1 X 2的概率密度.
Y ( ) ( )
2 X
X ( ) e
X ( ) e
2
2
Y ( ) e
2
2
2
fY ( y ) FT 1 Y ( )
n 1 N
则 : Y ( ) E[e
jY
] X n ( )
n 1
N
Y ( ) E[e
N
jY
] E[e
jX n
j X n
n1
N
] E[ e
n 1
N
jX n
]
Y ( ) E[e
n 1
] X n ( )
n 1
13
X ( )e jx d
f ( x) FT
1
X ()
特征函数与概率密度之间的关系与 傅里叶变换略有不同，指数项差一 负号。
例1.2.1 随机变量X 1 , X 2为互相独立的高斯变量, 数学期望 为零, 方差为1. 求Y X 1 X 2的概率密度.
f X ( x)
N
u
1 f ( x) 2
F ( )e
jx
1 d 2
F (u )e jux du
1 2
X ( )e jx d
用代替u
7
X ( ) f ( x)e jx dx F ( )
1 f ( x) 2