4.4正态随机变量的线性函数的分布
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随机变量函数的 分布
WENKU DESIGN
离散型随机变量函数的概率分布
01
定义
离散型随机变量函数的概率分布 是指随机变量取各个可能值的概 率。
02
03
计算方法
应用
根据随机变量的定义和性质，计 算每个可能值的概率，并列出概 率分布表。
在概率论和统计学中，离散型随 机变量函数的概率分布是描述随 机变量取值规律的重要工具。
离散型随机变量函数的期望和方差
1 2 3
期望
离散型随机变量函数的期望是指所有可能取值的 概率加权和，即E(X)=∑xp(x)。
方差
离散型随机变量函数的方差是每个可能取值的概 率加权平方和的平均值，即D(X)=∑x^2p(x)E(X)^2。
应用
期望和方差是描述离散型随机变量函数取值稳定 性和分散程度的指标，在统计学、决策理论和风 险管理中具有重要应用。
随机变量函数的定义
随机变量函数是指将一个随机试验的 结果映射到一个实数域上的函数。
随机变量函数通常用大写字母表示， 如X(ω)，其中ω表示随机试验的结果。
随机变量函数的性质
确定性
对于每一个试验结果ω，随机变量函数都 有一个确定的函数值X(ω)。
VS
随机性
函数值X(ω)是随机的，即对于相同的试验 结果ω，每次试验都可能得到不同的函数 值。
随机变量函数的分布
https://
REPORTING
• 随机变量函数的基本概念 • 离散型随机变量函数的分布 • 连续型随机变量函数的分布 • 随机变量函数的变换 • 随机变量函数的应用
目录
PART 01
随机变量函数的基本概念
REPORTING
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连续性
正态分布及正态随机变量
正态分布及正态随机变量正态分布是连续型随机变量概率分布中的⼀种，你⼏乎能在各⾏各业中看到他的⾝影，⾃然界中某地多年统计的年降雪量、⼈类社会中⽐如某地⾼三男⽣平均⾝⾼、教育领域中的某地区⾼考成绩、信号系统中的噪⾳信号等，⼤量⾃然、社会现象均按正态形式分布。
正态分布中有两个参数，⼀个是随机变量的均值 µµ，另⼀个是随机变量的标准差σσ，他的概率密度函数 PDF 为：fX(x)=1√2πσe−(x−µ)2/(2σ2)fX(x)=12πσe−(x−µ)2/(2σ2)。
当我们指定不同的均值和标准差参数后，就能得到不同正态分布的概率密度曲线，正态分布的概率密度曲线形状都是类似的，他们都是关于均值 µµ 对称的钟形曲线，概率密度曲线在离开均值区域后，呈现出快速的下降形态。
这⾥，我们不得不专门提⼀句，当均值 µ=0µ=0，标准差σ=1σ=1 时，我们称之为标准正态分布。
还是⽼规矩，眼见为实，下⾯来观察两组正态分布的概率密度函数取值，⼀组是均值为 00，标准差为 11 的标准正态分布。
另⼀组，我们取均值为 11，标准差为 22。
代码⽚段：from scipy.stats import normimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npimport seabornseaborn.set()fig, ax = plt.subplots(1, 1)norm_0 = norm(loc=0, scale=1)norm_1 = norm(loc=1, scale=2)x = np.linspace(-10, 10, 1000)ax.plot(x, norm_0.pdf(x), color='red', lw=5, alpha=0.6, label='loc=0, scale=1')ax.plot(x, norm_1.pdf(x), color='blue', lw=5, alpha=0.6, label='loc=1, scale=2')ax.legend(loc='best', frameon=False)plt.show()。
随机变量及其分布正态分布
测量误差
在自然科学中，许多测量误差都被认为服从正态 分布。这种假设允许使用统计方法进行误差分析 和建模。
正态分布在社会科学中的应用
能力和智力测试
正态分布在能力和智力测试中经常被用作模型，因为许多测试得分都呈现出正 态分布的形态。这使得教育工作者和心理学家能够对学生的能力或受试者的智 力进行评估和比较。
02 示例
人的身高、体重等都是连续型随机变量的例子。
03 性质
连续型随机变量的概率密度函数（PDF）描述了 变量在某个区间内取值的概率。
随机变量的数学期望与方差
数学期望（均值）
描述了随机变量取值的“平均”水平。对于离散型随机变量 ，数学期望是各个可能取值与对应概率的加权和；对于连续 型随机变量，数学期望是概率密度函数与自变量乘积的积分 。
02
随机变量的分类与性质
离散型随机变量
01 定义
离散型随机变量是指其取值集合是可数集的随机 变量。
02 示例
抛硬币的正面次数、掷骰子的点数等都是离散型 随机变量的例子。
03 性质
离散型随机变量的概率质量函数（PMF）描述了 每个可能取值的概率。
连续型随机变量
01 定义
连续型随机变量是指其取值集合是连续统（不可 数集）的随机变量。
它由均值和标准差两个参数完全决定，呈现出钟 02 形的曲线。
正态分布在自然界和社会现象中广泛存在，如测 03 量误差、人口身高、考试成绩等。
正态分布的概率密度函数
01 概率密度函数：f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-((x μ)² / (2σ²)))，其中μ为均值，σ为标准差。
总结与展望
正态分布在统计学中的重要性总结
基础地位
在自然科学中，许多测量误差都被认为服从正态 分布。这种假设允许使用统计方法进行误差分析 和建模。
正态分布在社会科学中的应用
能力和智力测试
正态分布在能力和智力测试中经常被用作模型，因为许多测试得分都呈现出正 态分布的形态。这使得教育工作者和心理学家能够对学生的能力或受试者的智 力进行评估和比较。
02 示例
人的身高、体重等都是连续型随机变量的例子。
03 性质
连续型随机变量的概率密度函数（PDF）描述了 变量在某个区间内取值的概率。
随机变量的数学期望与方差
数学期望（均值）
描述了随机变量取值的“平均”水平。对于离散型随机变量 ，数学期望是各个可能取值与对应概率的加权和；对于连续 型随机变量，数学期望是概率密度函数与自变量乘积的积分 。
02
随机变量的分类与性质
离散型随机变量
01 定义
离散型随机变量是指其取值集合是可数集的随机 变量。
02 示例
抛硬币的正面次数、掷骰子的点数等都是离散型 随机变量的例子。
03 性质
离散型随机变量的概率质量函数（PMF）描述了 每个可能取值的概率。
连续型随机变量
01 定义
连续型随机变量是指其取值集合是连续统（不可 数集）的随机变量。
它由均值和标准差两个参数完全决定，呈现出钟 02 形的曲线。
正态分布在自然界和社会现象中广泛存在，如测 03 量误差、人口身高、考试成绩等。
正态分布的概率密度函数
01 概率密度函数：f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-((x μ)² / (2σ²)))，其中μ为均值，σ为标准差。
总结与展望
正态分布在统计学中的重要性总结
基础地位
第四章 第一讲 正态分布及其性质
上侧分位数的计算方法： 由定义知 ( u ) 1
u
查标准正态分布函数值表便可得 u
x
图2 也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系,借助于标 准正态分布双侧分位数表直接查得，即直接查 的双侧分位数.
0 .0 5
u 1 .6 4 5
0 .0 1
所以有 P 0 . 84 X 0 . 64 ( 0 . 64 ) ( 0 . 84 )
0 . 7389 0 . 2005 0 . 5384
《概率论与数理统计》课程教学团队
第四章 第一讲 正态分布及其性质
例 设X～N(0, 1)，求P(－1＜X≤2)，P(X＞2.5). 解 P( －1＜X≤2 ) = Φ( 2 )－Φ( －1 ) = Φ( 2 )－[1－Φ( 1 )] = 0.9772－(1－0.8413) = 0.8185. P{ X ＞ 2.5 }= 1－Φ( 2.5 )
第四章 正态分布
第一讲
正态分布及其性质
《概率论与数理统计》课程教学团队
第四章 第一讲 正态分布及其性质
第一讲 正态分布及其性质
• • • • 一、正态分布 二、标准正态分布 三、正态变量的线性组合 四、小结
《概率论与数理统计》课程教学团队
第四章 第一讲 正态分布及其性质
一、正态分布
1、定义
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x) 1 2 πσ
解 ： （ 2） P { X 5 0 0 2 0 0} 1 P { X 500 200 }
1 P{ 200 60 X 500 60 200 60 }
200 200 1 60 60
u
查标准正态分布函数值表便可得 u
x
图2 也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系,借助于标 准正态分布双侧分位数表直接查得，即直接查 的双侧分位数.
0 .0 5
u 1 .6 4 5
0 .0 1
所以有 P 0 . 84 X 0 . 64 ( 0 . 64 ) ( 0 . 84 )
0 . 7389 0 . 2005 0 . 5384
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
例 设X～N(0, 1)，求P(－1＜X≤2)，P(X＞2.5). 解 P( －1＜X≤2 ) = Φ( 2 )－Φ( －1 ) = Φ( 2 )－[1－Φ( 1 )] = 0.9772－(1－0.8413) = 0.8185. P{ X ＞ 2.5 }= 1－Φ( 2.5 )
第四章 正态分布
第一讲
正态分布及其性质
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
第一讲 正态分布及其性质
• • • • 一、正态分布 二、标准正态分布 三、正态变量的线性组合 四、小结
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
一、正态分布
1、定义
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x) 1 2 πσ
解 ： （ 2） P { X 5 0 0 2 0 0} 1 P { X 500 200 }
1 P{ 200 60 X 500 60 200 60 }
200 200 1 60 60
4-4正态随机变量的线性函数的分布
1 fZ ( z) e 3 2
( z 5 ) 2 18
, z .
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
2.设随机变量 X 服从正态分布 N ( , 2 ) , 且二次方程
y 4 y X 0 无实根的概率为 0.5 , 则 _____. 解： 方程 y 2 4 y X 0 无实根就是 16 4 X 0 , 即 X 4, 按题意,有 P( X 4) 0.5 , 即 P( X 4) 0.5. 已知 X ~ N ( , 2 ) , 所以 X 4 4 P( X 4) P( ) ( ), 从而， 4 ( ) 0 .5 , 4 0 , 由此得 4. 因为 (0) 0.5 , 所以应有
i 1
i 1
i 1
前面，我们已经看到： 若X与Y独立，则X与Y不相关， 但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立. 但对下述情形，独立与不相关等价 若(X,Y)服从二维正态分布，则
X与Y独立
X与Y不相关
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
小 结
1. 若 X ~ N ( , 2 )，则当b 0时，
fY ( y) [ FX ( y a )] 1 f X ( y a ) 1 e b b b 2 b
[ y ( a b )]2 2 b 2 2
,
所以Y ~ N (a b , b2 2 ). 当 b 0 时类似地可证.
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
2 推广： 设 X1 , X 2 , X n 相互独立， 且 X i ~ N ( i , i ),
i 1 , 2 , , n, 则
ci X i ~ N ( ci i , c i i 1 i 1 i 1
概率论2-5 (1)
2
y
fY
( y)
1
y
e 2, y 0
2 y
0
其它
设X ~ N（0，1），其概率密度为：
x
1
x2 ,
e 2 x
2
则 Y X 2 概率密度函数为：
fY
y
1
2
1 y
y 2e 2 ,
0,
y0 y0
此时称Y服从自由度为1的 2分布,记作 Y ~ 2 1
结论：若 X ~ N 0,1 则 X 2 ~ 2 1
机变量。求Y的分布律.
例:已知
X -1 0
Pk
1 3
1 3
求：Y=X2的分布律
1
Y1 0
1 3
Pk
2 3
1 3
一般地
X
x1
x2 xk
Pk p1
p2 pk
Y=g(X) g(x1) g(x2 ) g(xk )
如果g( x i )与g( x j )相同，此时将两项合并，对应概率 相加．
例 设随机变量X的分布律为
1、一般方法
(1) 求Y的分布函数 FY(y)
根据分布函数的定义
FY ( y)
P{Y y} P{g(X ) y}
(2) 对FY(y) 求导，得到 fY(y)
f (x)dx
g ( x) y
fY ( y) (FY ( y)) '
设随机变量X的密度函数为
fX
(x)
x
8
,0
x
4
0, 其它
求随机变量Y=2X+8的概率密度。
2
pk 0.2 0.3 0.4 0.1
解 由题设可得如下表格
概率论与数理统计之正态分布
转化为标准正态分布
P(8100 Yn 10000)
标准化
P 2.5
Yn np np(1 p)
50
(50) (2.5) 1 0.9938 0.0062
37
例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8 各用户用电多少是相互独立的，求：
(1)同一时刻有8100户以上用电的概率； (2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以
1
z2
e 10 , z R
10
§4.4 二维正态分布
定义： 二维随机变量 (X ,Y )服从二维正态分布，记作
(
X
,Y
)
~
N(x
,
y
,
2 x
,
2 y
,
r)
其中 x, y ,x 0, y 0, r( r 1) 是参数.
26
§4.4 二维正态分布
定理1：设二维连续随机变量
(X
,Y
)
~
N(x
,
Q /100 8000 1.96
Q 807840
38
40
39
15-16，五. 设每个零件上的瑕疵点个数服从泊松分布P(1)，现 随机抽取100个零件，根据中心极限定理，求100个 零件上总瑕疵点个数不多于120个的概率.
正态分布的前世今生
一、邂逅，正态曲线的首次发现 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，4.5节
二、寻找随机误差分布的规律（正态分布的确立） 三、正态分布的各种推导 四、正态分布开疆扩土 五、正态魅影
正态分布性质，4.3节
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
定义：设随机变量 X 的概率密度为
正态分布及随机变量函数的分布
概率预测
在概率论中，大数定律可以帮助我们预测某一事件发生的概率，例如在赌博游戏中，大数定律可以帮助我们预测 长期赌博的胜率。
THANKS
感谢您的观看
证明过程
需要用到概率论和数理统计中的一些高级概念，如大数定律 、特征函数等。
中心极限定理的应用
01
在统计学中，中心极限定理是 用来推导各种统计量的分布的 重要依据，如样本均值、样本 中位数、样本方差等。
02
在金融领域，中心极限定理用 于分析股票价格波动、收益率 分布等问题。
03
在生物学和医学研究中，中心 极限定理用于研究遗传学、流 行病学等领域的数据分析。
在科学研究领域，实验数 据的统计分析也常常用到 正态分布。
Part
02
随机变量
随机变量的定义
STEP 01
随机变量
STEP 02
离散随机变量
在随机试验中，每一个样 本点用一个实数来表示， 这个实数称为随机变量。
STEP 03
连续随机变量
如果随机试验的结果不能 一一列出，则称这种随机 变量为连续随机变量。
数学表述
设随机变量 X1,X2,...,Xn 是来自总体 X 的简单随机样本，当 n 充分大时，样本均值 X_bar 的分布近似服 从均值为 μX ，标准差为 σX / sqrt(n) 的正态分布。
中心极限定理的证明
证明方法
数学证明通常采用级数收敛的方法，通过将样本均值表示为 无穷级数，并证明这个级数在概率上收敛于正态分布。
正态分布的性质
集中性
正态分布曲线是关于均值 μ对称的，大多数数据值 集中在均值μ附近。
均匀性
随着数据值远离均值μ， 数据值出现的概率逐渐减 小，且速度逐渐减慢。
在概率论中，大数定律可以帮助我们预测某一事件发生的概率，例如在赌博游戏中，大数定律可以帮助我们预测 长期赌博的胜率。
THANKS
感谢您的观看
证明过程
需要用到概率论和数理统计中的一些高级概念，如大数定律 、特征函数等。
中心极限定理的应用
01
在统计学中，中心极限定理是 用来推导各种统计量的分布的 重要依据，如样本均值、样本 中位数、样本方差等。
02
在金融领域，中心极限定理用 于分析股票价格波动、收益率 分布等问题。
03
在生物学和医学研究中，中心 极限定理用于研究遗传学、流 行病学等领域的数据分析。
在科学研究领域，实验数 据的统计分析也常常用到 正态分布。
Part
02
随机变量
随机变量的定义
STEP 01
随机变量
STEP 02
离散随机变量
在随机试验中，每一个样 本点用一个实数来表示， 这个实数称为随机变量。
STEP 03
连续随机变量
如果随机试验的结果不能 一一列出，则称这种随机 变量为连续随机变量。
数学表述
设随机变量 X1,X2,...,Xn 是来自总体 X 的简单随机样本，当 n 充分大时，样本均值 X_bar 的分布近似服 从均值为 μX ，标准差为 σX / sqrt(n) 的正态分布。
中心极限定理的证明
证明方法
数学证明通常采用级数收敛的方法，通过将样本均值表示为 无穷级数，并证明这个级数在概率上收敛于正态分布。
正态分布的性质
集中性
正态分布曲线是关于均值 μ对称的，大多数数据值 集中在均值μ附近。
均匀性
随着数据值远离均值μ， 数据值出现的概率逐渐减 小，且速度逐渐减慢。
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(4.20)
对比（4.1）知Y ~ N (a b , b 2 2 ).
定理1表明： 正态随机变量的线性函数仍然是正态随机变量.
概率论与数理统计教程（第五版）
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§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
[定理1] 设随机变量 X 服从正态分布 N ( , 2 ) , 则 X 的线性函数 Y a bX (b 0) 也服从正态分布： 2 2 Y a bX ~ N (a b , b ). [推论] 设随机变量 X N ( , 2 ) 则标准化的 X * X ~ N (0 ,1). 随机变量 1 在定理1中，设 a , b 即得结论.
[定理2] 随机变量 X N ( , 2 ) 的充要条件是
X
*
X
~ N (0 ,1).
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§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
[定理3] 设随机变量X 与Y 独立， 并且都服从正态分布：
2 2 X ~ N ( x , x ) , Y ~ N ( y , y ),
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具有概率密度 f ( x)
1
e
( x 20 ) 2 3200
,
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
设Y为三次测量中误差的绝对值不超过30m出现的次数， 则Y服从二项分布B（3,0.4931），
所以， 在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过 30m 的概率为
3 1-P （ 0 ） =1 (1 0.4931) 3
0.8698.
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§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
思考题
1.设随机变量 X 与 Y 独立， 且 X 服从均值为 1 , 标准差 为 2 的正态分布， 而 Y 服从标准正态分布， 试求随机 变量 Z 2 X Y 3 的概率密度. 解： 已知 X 与Y 独立， 且 X ~ N (1 ,2) , Y ~ N (0 ,1) , 所以 W 2 X Y ~ N (2 ,9). 又因为随机变量Z W 3, 于是 Z 2 X Y 3 W 3 ~ N (5 ,9). 由此可知， Z 的概率密度为
则它们的和也服从正态分布， 且有
Z X Y ~ N ( x y , ).
2 x 2 y
证明：见P185
定理2表明： 独立正态随机变量的和仍是正态随机变量.
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§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
由定理1及定理3 还可得下面更一般的结论. [定理4] 设随机变量 X1 , X 2 , , X n 相互独立， 且都
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
概率论与数理统计教程（第五
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§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
2 [定理1] 设随机变量 X 服从正态分布 N ( , ) , 则 X 的线性函数 Y a bX (b 0) 也服从正态分布,即 Y a bX ~ N (a b , b 2 2 ).
1 fZ ( z) e 3 2
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( z 5 ) 2 18
, z .
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证： 因为X ~ N ( , 2 ), 其密度为f ( x) X
所以由P83(2.41)知Y的密度为
1 ya 1 fY ( y ) fX ( ) e b b 2 b
1 e 2
( x )2 2 2
(4.1)
[ y ( a b )]2 2 b 2 2
i 1
i 1
i 1
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例1] 测量到某一目标的距离时发生的随机误差 X (m)
40 2 求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过 30m 的概率. 解：按题意， 每次测量时发生的随机误差 X (m) 服从 2 正态分布 N (20 ,40 ) , 于是 P( X 30) P(30 X 30) 30 20 30 20 ( ) ( ) 40 40 (0.25) (1.25) (0.25) [1 (1.25)] 0.4931.
2 X ~ N ( , 服从正态分布： i i i ), i 1 ,2 , n , 则它们
且有 的线性组合 ci X i 也服从正态分布，
i 1
n
2 2 c X ~ N ( c , c i i i i i i ),
n
n
n
其中 c1 , c2 , , cn 为常数.