随机变量函数及其分布
随机变量及其分布函数
随机变量及其分布函数将随机事件以数量来标识，即用随机变量描述随机现象的研究方法，它是定义在样本空间上具有某种可预测性的实值函数。
分布函数则完整的表述了随机变量。
一、 随机变量与分布函数(1) 随机变量：取值依赖于某个随机试验的结果（样本空间），并随着试验结果不同而变化的变量，称之为随机变量。
分布函数：[1] 定义：设X 是一个随机变量，对任意实数x ，记作(){}F x P X x ≤=，称()F x 为随机变量X 的分布函数，又称随机变量X 服从分布()F x ，显然，函数()F x 的定义域为(),-∞+∞，值域为[0,1]。
[2] 性质：❶()F x 单调非降。
❷()0F -∞=、()1F +∞=。
❸()(0)F x F x =+，即()F x 一定是右连续的。
❹对于任意两个实数a b <，{}()()P a X b F b F a <≤=-❺对于任意实数0x ，000{}()()P X x F x F x ==-- ❻000{}1{}1()P X x P X x F x >=-≤=- ❼000{}{)lim }(x x P X x P X x x F →-=≤<=-❽000{}1{}1()P X x P X x F x ≥=-<=-- 二、 离散型随机变量与连续型随机变量(1) 离散型随机变量[1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。
其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布律，表格表示形式如下：[2] 性质：❶0i p ≥❷11nii p==∑❸分布函数()i i x xF x p ==∑❹1{}()()i i i P Xx F x F x -==-(2) 连续型随机变量[1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有：()()xF x f x d x-∞=⎰则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函数或者密度函数。
第二章随机变量及其分布函数
28
例2.2.9 设在时间t分钟内通过某交叉路口的汽车 数服从参数与t成正比的泊松分布. 已知在一分钟内 没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内多于一辆 车通过的概率.
S={红色、白色} ?
将 S 数量化
非数量 可采用下列方法
X ()
红色 白色
S
1 0R
3
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0.
1, 红色, X () 0, 白色.
这样便将非数量的 S={红色，白色} 数量化了.
4
实例2 抛掷骰子,观察出现的点数.
则有
S={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量 X () 恒等变换
20
泊松分布是一个非常常用的分布律，它常与 单位时间、单位面积等上的计数过程相联系. 例如一小时内来到某百货公司中顾客数、单位 时间内某电话交换机接到的呼唤次数和布匹 上单位面积的疵点数等随机现象都可以用泊
松分布来描述. 附表 2 给出了不同 值对应的
泊松分布函数的值.
21
泊松分布的取值规律
记 P(k; ) k e ，则
P
1 2
X
5
2
P(X
1 X
2)
P(X 1) P(X 2) 5
9
12
例 2.2.2 一只口袋中有 m 只白球， n m 只黑球.连 续无放回地从这口袋中取球，直到取出黑球为止．设 此时取出了 X 只白球，求 X 的分布律.
解 X 的可能取值为 0,1,2,, m ，且事件{X i}意 味着总共取了 i+1 次球，其中最后一次取的是黑球而 前面 i 次取得都是白球.
或 X ~ Bn, p.
二项分布的背景是伯努利试验：如果每次试验中事 件A发生的概率均为p，则在n重伯努利试验中A发生 的次数服从参数为n,p的二项分布。
第四章 随机变量及其分布
第一节 随机变量及其分布函数
一、 随机变量的概念
1、含义：用来表示随机现象结果的变量。 ①样本点本身是用数量表示的； T ②样本点本身不是用数量表示的。 H 总之，不管随机试验的结果是否具有数量的性 质，都可以建立一个样本空间和实数空间的对 应关系，使之与数值发生联系，用随机变量的 取值来表示事件。 2、定义：定义在样本空间Ω＝｛ω｝上的实值 函数X＝X(ω)称为随机变量，常用大写英文字 母或小写希腊字母来表示，相应地，用小写英 文字母表示其取值。
为了方便地表示随机事件的概率及其运算，我 们引入了分布函数的概念。
定义：设X 是一随机变量，对x R,
称F ( x ) P ( X x )为随机变量X的分布函数；
并称X 服从分布F ( x )，记为X ~ F ( x ).
注：（1）分布函数表示的是随机事件的概率。 （2）分布函数与微积分中的函数没有区别。
P ( X 0) F (0) F (0 0) 0.8 0.3 0.5 P ( X 1) F (1) F (1 0) 1 0.8 0.2
X P
1 0.3
0 0.5
1 0.2
思考：X还能取 到其他数值吗？
例4 一汽车沿一街道行驶，需要经过三个设有红绿信号 灯的路口，且信号灯的工作相互独立，以X表示汽车首 次遇到红灯已通过的路口数，求X的概率分布列。 解：记Ai—汽车在第i个路口遇到红灯，i＝1，2，3. 1 P ( Ai ) P ( Ai ) , 且A1 , A2 , A3相互独立. 2 X的可能取值为 0, 1, 2, 3.
共有10个不同的样本点
记X表示“空格个数”，则有
X ( ) 2
X ( ) 1 X ( ) 0
随机变量及其分布
f ( x) lim
x 0
xLeabharlann x xlim P{x X x x} lim x
f (x)dx .
x 0
x
x 0
x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 (x,x+△x] 上的概率与区间长度 △x之比的极限. 这里，如果把概率理解为质 量， f (x)相当于线密度.
f (x)
a
ba
当x b时，
x
a
b
x
F (x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (t)dt 1.
a
b
因此X ～ U(a, b)的分布函数为：
0
F ( x)
P( X
x)
x b
a
a 1
xa a xb
xb
例1 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发
车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随
解: 设X表示400次独立射击中命中的次数，则
X～B(400, 0.02)，故 P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399) ＝0.9972
例5 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障只能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法,其一 是由4人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护 30台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及 时维修的概率大小.
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
(4) 若x是f(x)的连续点，则 dF(x) F(x) f (x)
dx
设随机变量X的分布函数
F
随机变量及其分布函数
随机变量及其分布函数随机变量是描述随机事件的数学工具，它将随机事件映射到实数上。
我们可以将随机变量理解为一个函数，它将样本空间上的随机事件转化为一个实数。
随机变量的取值通常用大写字母来表示，例如X、Y、Z等，并且随机变量的取值可以是有限个或无限个。
随机变量的分布函数一个随机变量有着不同取值的可能性，而这些可能性可以用概率来描述。
针对一个随机变量而言，其取值在不同的范围内所对应的概率，就被称为该随机变量的分布函数。
分布函数通常用F(x)来表示，其中F是函数符号，x是随机变量的取值。
对于一个随机变量X，其分布函数定义为：F(x) = P(X≤x)其中P(X≤x)指的是随机变量X小于或等于x的概率。
因此，对于小于或等于x的所有可能取值，X的分布函数F(x)均可以计算出来。
随机变量的类型随机变量可以分为两类：离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量离散随机变量是只能取某些特定离散值的随机变量，它们通常意味着某个事件只能发生某些确定的次数。
例如，抛掷一颗骰子的结果就是一个典型的离散随机变量，因为其可能取的值只有1、2、3、4、5、6六种可能。
对于某个离散随机变量而言，它的分布函数是一个阶梯函数，在每个离散值处有一个跳跃，即：F(x) = P(X≤x) = ΣP(X=i)，i≤x其中ΣP(X=i)表示随机变量取i的概率，i≤x表示X取i的所有取值小于或等于x。
例如，对于一个只能取0或1的离散随机变量X，其分布函数F(x)可以表示为：F(x) = P(X≤0) + P(X=1) = P(X=0) + P(X=1)其中P(X=0)和P(X=1)表示X取0和1的概率，因此：F(0) = P(X=0)F(1) = P(X=0)+P(X=1)连续随机变量连续随机变量是指可以取到任意实数值的随机变量，通常用于描述某个事件的结果可以连续变化的场景。
例如，衡量人的身高或体重就是一种典型的连续随机变量。
对于某个连续随机变量而言，由于它可以取到任意实数值，因此其分布函数也是一个连续函数。
第3.3节随机变量的函数及其分布(new)
pη ( y ) = ∫ p1 ( x) p2 ( y − x)dx
+∞
因此我们有如下定理： 定理：若 ξ1，ξ 2 相互独立，且有密度函 数， 则ξ1 + ξ 2也有密度函数，并且其 密度函数为 ξ1 与ξ 2密度函数的卷积。
例 设随机变数 ξ ， η 独立，同服从 λ = 1的 指数分布，求 ξ + η 的密度函数。 解： ξ + η 的密度函数为 pξ+η ( y ) =
Fη ( y ) = P {η < y} = z1 = x1 令 z 2 = x1 + x 2 上式 = = (∫ ,则
2 x1 + x 2 < y
∫∫
p ( x 1 , x 2 ) dx 1 dx
2
∫ ∫
−∞ +∞ −∞
+∞
y −∞
p ( z 1 , z 2 − z 1 ) dz 1 dz
i =0 k
= ∑ P{ξ = i}P{η = k − i} = ∑ C p q C
i =0 i =0 i n i n −i
k
k
k −i m
p q
k −i
m− k +i
=p q
k
n+ m−k
∑C C
i =0 i n
k
k −i m
=C
k n+m
p q
k
n + m−k
, k = 0,L, n + m
则ξ + η ~ B(n + m, p)
故η的密度函数为 1 p( y) = F′( y) = 2 π(1+ y )
例2的解
第六章 随机变量的函数及其分布
FY ( y) 0
y y y 1 dx y , 0 y 1 f X ( x)dx 0 1, 其他
当y≥0时,P(X2≤y)= FY ( y) 于是Y分布函数为
y
-
p ( x)dx p ( x)dx
x - x
பைடு நூலகம் y
再由分布函数求概率密度
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
p
Y
( y ) F 'Y ( y )
p
x
( y )( y )'
p
x
( y )( y )'
ye y 2 1 1 ,y0 ( y ) 3 e ( y ) 0 2 2 y 2 y 0, y 0 y 3 当Y 2 X 3时有y 2 x 3 x , 2 3 2 ) y 3 3 ( y2 y 3 y 3 2 ( ) e ( )', y 3 ( y ) ( y ) ( x ) dx ' pY 2 p x 2 F 'Y 0, y 3
P(Y=-1)= P(X<10)
P(Y=20)= P(10≤X≤12
12 11 10 11 Φ( ) Φ ( ) 1 1 Φ (1) Φ (1) 0.68
综合得Y的分布律为
Y -5 p 0.16
-1 20 0.16 0.68
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
3 2 ) 1 y 3 3 ( y2 ) e ，y 3 ( 2 2 0, y 3
概率论 随机变量的函数及其分布
p X [ f 1 ( y )] [ f 1 ( y )] , 0 y , pY ( y ) 其他 . 0，
1 [ f 1 ( y )] , 0 f 1 ( y ) 1, 其他 . 0, 1 1 , 0 ln y 1, y 其他 . 0, 1 , 1 y e, y 0, 其他 .
证 F ( x )是分布函数
0 F ( x ) 1, 且F ( x )单调不减
依题意， 又知 F ( x )严格单调增加
故 y R,
FY ( y ) P{Y y } P { F ( X ) y }
FY ( y ) P{Y y } P{ F ( X ) y } y 0, P ( ), P{ F ( X ) y }, 0 y 1, P ( ), y 1. y 0, 0, P{ X F 1 ( y )}, 0 y 1, 1, y 1.
且恒有f ( x ) 0(或恒有f ( x ) 0), 则Y f ( X )是连
续型随机变量，其概率 密度为
p X [ f 1 ( y )] [ f 1 ( y )] , y , pY ( y ) 0, 其它. 其中 f 1 ( y ) 是 f ( x ) 的反函数, ( , )是f 1 ( y )的定义域，
y 0, 0, 0, 0 y 1, FY ( y ) ln y , 1 y e, y e. 1,
从而
d FY ( y ) pY ( y ) dy
1 , 1 y e, y 0, 其他 .
例6 设圆的直径服从区间(0,1)上的均匀分布
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
01
1
dx
1 3
3
0
= P(Y=1)=P(X>0) 因此,所求分布律=为
21
2
0
dx 3
3
X Y -1
1
P 1/3
2/3
第六章 随机变量函数及其分布
解：P76-9
P
1111
11
4 4 8 8 0 088 0
(X,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1)(3,2) (3,3)
第六章 随机变量函数及其分布
P76-9
故得
XY
1236
P 1/ 4 3/8 1/ 4 1/8
第六章 随机变量函数及其分布
P76-12
解 (X,Y)的联合密度函数为
f
(x,
y)
1 4
,
0,
Z=X-Y，则Z的分布函
0 x 2,0 y 2 其他
数Fz(z)=P(Z≤z)=P(X-Y≤z) f (x, y)dxdy
2 1 1
2 y
1,
y
Y的密度函数为
fY ( y) f X (h( y)) | h'( y) |
1,
y
0,
5
2
y
6
1,
y
其他
0,
25 π y 9
4 其他
第六章 随机变量函数及其分布
P75-7
解 由于 X~N(0,1)， 所以 f X (x)
1
x2
e 2 , x
2
Y X a 其反函数h(y)=(y-a)/σ， h’(y)=1/σ，
Y的密度函数为
fY ( y) f X (h( y)) | h'( y) |
1
1( ya)2
e2
1
1
e
(
ya)2
2 2
,
y
2
2
即证明了 X a ~ N (a, 2 ).
第六章 随机变量函数及其分布
P75-8
解 X~R[-1,2]， 则
f
(
而
P(Y=- P(X<0) 1P)(=Y=0)=P=(X=0)
第六章 随机变量函数及其分布
P75-3
解(1) y=2x,x=y/2=h( H’(y)=1/2, 则 y)
fY ( y) f X (h( y)) | h'( y) |
2
y 2
1 2
,
0,
0 y 1 2
y 2
,
其他
0,
0 y2 其他
(2)设Y=-X+1,则x=1y=hfY((yy)), f X (h( y)) | h'( y) |
Dz
f (x, y)dxdy
Dz
dxdy 4
4 ADz
1 (4 1 (2 z)2) 1 1 (2 z)2
42
8
当z≥2时， Fz (z) f (x, y)dxdy 1
Dz
0,
z 2,
Fz
(z)
181(12
z)2, (2 z)2
,
2 0
z0 z2
8
1,
z2
fz
(z)
Dz
Dz {( x, y) : x y z}
当z<-2时，Fz (z) 0dxdy 0
Dz
当-2≤z<0时，Fz (z)
Dz
f (x, y)dxdy
Dz
1dxdy 4
1 4 ADz
1 (2 z)2
8
第六章 随机变量函数及其分布
P76-12
当-2≤z<2时，
1
1
Fz (z)
X +Y 2 3 4 3 4 5 4 5 6
X -Y 0 -1 -2 1 0 -1 -1 1 0
XY 1 2 3 2 4 6 3 6 9
第六章 随机变量函数及其分布
P76-9
故得
X+Y 2 3 4 5
P 1/ 4 3/8 1/ 4 1/8
X-Y
-2 -1 0 1 2
P 1/8 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/8
1 (2 4 1
z),
(2 z),
4
0,
2 z0
0 z2 其他
2
y1 1 , 22
0
y 1
0,
其他
1, 0 y 1
0,
其他
第六章 随机变量函数及其分布
P75-4
解 圆面积Y=πx2/4,由于X均匀取(5,6)中的值,所以 X的密度函数
1,
5 x6
f
(x)
0,
其他
且y=πx2/4为单调增加函数x∈(5,6),其反函数
h(y)
4 y , h'(y) π
h’(y)=-1,Y的密度函数
2(1
y)(1), 0,
0 1 y 1 其他
2( y 1),
0,
0 y1 其他
第六章 随机变量函数及其分布
P75-3
解(3) Y=x2,由于X只取(0,1)中的值, 所以y=x2也为单调 函数 h( y) y h' ( y) 1 1
2y
fY ( y) f X (h( y)) | h'( y) |