2.5随机变量函数的分布详解
dFY ( y ) p Y ( y) dy y 8 1 y 8 1 ) ,0 4 ( 8 2 2 2 其他 0,
d [ FX ( y 8 )] 2 dy
于是得Y的概率密度为
pX (
y 8 y 8 )( ) 2 2
y 8 ,8 y 16 32 其他 0,
yi g ( xi ),i 1,2, ,因此 Y 也是离散型随机变量.注意到 i j
时,也有可能出现 g( xi ) g( x j ) 的情况,故 Y 的分布律为
P(Y yi )
g ( xk ) yi
P( X x ),i 1,2,
k
例1:设随机变量X的分布律如下表,试求Y=(X-1)2 的分布律.
e
y b )2 a 2 2 (
1 2 a
e
[ y ( b a )]2 2 ( a ) 2
, y
例 2: 设随机变量 X~ N (, 2 ) ,求 Y aX b (a 0) 的 密度函数.
另解： 先根据Y与X的函数关系式求Y的分布函数:
例2:设X服从参数为λ 的泊松分布,试求Y=f(X)的分 布列.其中
1, f ( x ) 0, 1, x为偶数 x0 x为奇数
解
Y的可能取值为： -1,0,1,则
P{Y 1}
k 0
P{ X 2k 1}
(2k 1)!
k 0
2k 1
e
即得Y的分布律为 Y 0 P 0.1
1 0.7 4 0.2
例1:设随机变量X的分布律如下表,试求Y=(X-1)2 的分布律.
X P
解
Y=(X-1)2 X P
-1 0.2
4 -1 0.2
0 0.3
1 0 0.3
1 0.1
0 1 0.1
2 0.4
1 2 0.4
即得Y的分布律为
Y P 0 0.1 1 0.7 4 0.2
1 2
( x )2 2 2
解： X ～ f X ( x)
e
, x
y b 由y g ( x) ax b，得x h( y) a 1 且h' ( y) , 由定理，得 a y b 1 ) fY ( y) f X (
a a
1 2 a
பைடு நூலகம்
P{Y=0} =P{X=0}=e-λ
P{Y 1} P{ X 2k}
k 1 k 1
2k
(2k )!
e
三、连续型随机变量函数的分布
一般地，连续型随机变量的函数不一定还是连续型 随机变量，但我们主要讨论连续型随机变量的函数 还是连续型随机变量的情形.
设 X 为连续型随机变量, 随机变量 Y g ( X ) 是 X 的函 数.若已知 X 的分布函数 FX ( x) 和密度函数 f X ( x) , 求 求其函数 Y 的分布函数 FY ( y) 和密度函数 f Y ( y) .
其中，x h( y)是y g ( x)的反函数，且
min{g (), g ()}, max{ g (), g ()}
例1：设随机变量X具有概率密度
x ,0 x 4 p X ( x) 8 0, 其他
求随机变量Y=2X+8的概率密度. 另解： 由y g ( x) 2 x 8，
例1：设随机变量X具有概率密度
x ,0 x 4 p X ( x) 8 0, 其他
求随机变量Y=2X+8的概率密度. 解： 先求Y的分布函数FY(y).
FY ( y) P{Y y} P{2 X 8 y} P{ X y 8} F ( y 8 ) X 2 2
§2.5 随机变量函数的分布
一、随机变量的函数
定义：如果存在一个函数g(X)，使得随机变量 X,Y满足 Y=g(X) 则称随机变量Y是随机变量X的函数.
已知随机变量X的分布,如何求它的函数Y=g(X)的分 布呢？
二、离散型随机变量函数的分布
设 X 为离散型随机变量,其分布律为 P( X xi ) pi , i 1,2,, 随 机 变 量 Y g( X ) , 从 而 Y 的 所 有 可 能 取 值 为
y 8 1 ' 得x h( y) 且h ( y) , 由定理，得 2 2
y 8 2 1 ,8 y 16 p Y ( y) 2 8 0, 其他
y 8 ,8 y 16 即，p Y ( y) 32 0, 其他
例 2: 设随机变量 X~ N (, 2 ) ,求 Y aX b (a 0) 的 密度函数.
（2）再对Y的分布函数FY ( y )积分，即得Y的概率 密度函数f Y ( y ).
定理1：设随机变量X具有密度函数f X ( x), x (,), 又设y g ( x)为单调函数且可导，则 Y g ( X )是一个 连续型随机变量，其概 率密度为：
' f [ h ( y )] h ( y) , y X fY ( y) 0, 其它
设X的分布函数和密度函数分别为FX ( x), f X ( x), 则Y g ( X )的概率密度的求法：
（ 1 ）先求Y g ( X )的分布函数：
FY ( y ) P{Y y )} P{g ( X ) y}
P{X C y }
Cy
f X ( x)dx
其中，C y {x | g ( x) y}.
X P
-1 0.2
0 0.3
1 0.1
2 0.4
解 Y所有可能取的值为 0,1,4. P{Y=0} =P{(X-1)2 =0} =P{X=1}=0.1
P{Y=1} =P{(X-1)2 =1} =P{{X=0}+{X=2}}
=P{X=0}+P{X=2}=0.7
P{Y=4} =P{(X-1)2 =4}=P{X=-1}=0.2
d [ FX ( y 8 )] 2 dy
于是得Y的概率密度为
pX (
y 8 y 8 )( ) 2 2
y 8 ,8 y 16 32 其他 0,
yi g ( xi ),i 1,2, ,因此 Y 也是离散型随机变量.注意到 i j
时,也有可能出现 g( xi ) g( x j ) 的情况,故 Y 的分布律为
P(Y yi )
g ( xk ) yi
P( X x ),i 1,2,
k
例1:设随机变量X的分布律如下表,试求Y=(X-1)2 的分布律.
e
y b )2 a 2 2 (
1 2 a
e
[ y ( b a )]2 2 ( a ) 2
, y
例 2: 设随机变量 X~ N (, 2 ) ,求 Y aX b (a 0) 的 密度函数.
另解： 先根据Y与X的函数关系式求Y的分布函数:
例2:设X服从参数为λ 的泊松分布,试求Y=f(X)的分 布列.其中
1, f ( x ) 0, 1, x为偶数 x0 x为奇数
解
Y的可能取值为： -1,0,1,则
P{Y 1}
k 0
P{ X 2k 1}
(2k 1)!
k 0
2k 1
e
即得Y的分布律为 Y 0 P 0.1
1 0.7 4 0.2
例1:设随机变量X的分布律如下表,试求Y=(X-1)2 的分布律.
X P
解
Y=(X-1)2 X P
-1 0.2
4 -1 0.2
0 0.3
1 0 0.3
1 0.1
0 1 0.1
2 0.4
1 2 0.4
即得Y的分布律为
Y P 0 0.1 1 0.7 4 0.2
1 2
( x )2 2 2
解： X ～ f X ( x)
e
, x
y b 由y g ( x) ax b，得x h( y) a 1 且h' ( y) , 由定理，得 a y b 1 ) fY ( y) f X (
a a
1 2 a
பைடு நூலகம்
P{Y=0} =P{X=0}=e-λ
P{Y 1} P{ X 2k}
k 1 k 1
2k
(2k )!
e
三、连续型随机变量函数的分布
一般地，连续型随机变量的函数不一定还是连续型 随机变量，但我们主要讨论连续型随机变量的函数 还是连续型随机变量的情形.
设 X 为连续型随机变量, 随机变量 Y g ( X ) 是 X 的函 数.若已知 X 的分布函数 FX ( x) 和密度函数 f X ( x) , 求 求其函数 Y 的分布函数 FY ( y) 和密度函数 f Y ( y) .
其中，x h( y)是y g ( x)的反函数，且
min{g (), g ()}, max{ g (), g ()}
例1：设随机变量X具有概率密度
x ,0 x 4 p X ( x) 8 0, 其他
求随机变量Y=2X+8的概率密度. 另解： 由y g ( x) 2 x 8，
例1：设随机变量X具有概率密度
x ,0 x 4 p X ( x) 8 0, 其他
求随机变量Y=2X+8的概率密度. 解： 先求Y的分布函数FY(y).
FY ( y) P{Y y} P{2 X 8 y} P{ X y 8} F ( y 8 ) X 2 2
§2.5 随机变量函数的分布
一、随机变量的函数
定义：如果存在一个函数g(X)，使得随机变量 X,Y满足 Y=g(X) 则称随机变量Y是随机变量X的函数.
已知随机变量X的分布,如何求它的函数Y=g(X)的分 布呢？
二、离散型随机变量函数的分布
设 X 为离散型随机变量,其分布律为 P( X xi ) pi , i 1,2,, 随 机 变 量 Y g( X ) , 从 而 Y 的 所 有 可 能 取 值 为
y 8 1 ' 得x h( y) 且h ( y) , 由定理，得 2 2
y 8 2 1 ,8 y 16 p Y ( y) 2 8 0, 其他
y 8 ,8 y 16 即，p Y ( y) 32 0, 其他
例 2: 设随机变量 X~ N (, 2 ) ,求 Y aX b (a 0) 的 密度函数.
（2）再对Y的分布函数FY ( y )积分，即得Y的概率 密度函数f Y ( y ).
定理1：设随机变量X具有密度函数f X ( x), x (,), 又设y g ( x)为单调函数且可导，则 Y g ( X )是一个 连续型随机变量，其概 率密度为：
' f [ h ( y )] h ( y) , y X fY ( y) 0, 其它
设X的分布函数和密度函数分别为FX ( x), f X ( x), 则Y g ( X )的概率密度的求法：
（ 1 ）先求Y g ( X )的分布函数：
FY ( y ) P{Y y )} P{g ( X ) y}
P{X C y }
Cy
f X ( x)dx
其中，C y {x | g ( x) y}.
X P
-1 0.2
0 0.3
1 0.1
2 0.4
解 Y所有可能取的值为 0,1,4. P{Y=0} =P{(X-1)2 =0} =P{X=1}=0.1
P{Y=1} =P{(X-1)2 =1} =P{{X=0}+{X=2}}
=P{X=0}+P{X=2}=0.7
P{Y=4} =P{(X-1)2 =4}=P{X=-1}=0.2
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随机变量函数的 分布
WENKU DESIGN
离散型随机变量函数的概率分布
01
定义
离散型随机变量函数的概率分布 是指随机变量取各个可能值的概 率。
02
03
计算方法
应用
根据随机变量的定义和性质，计 算每个可能值的概率，并列出概 率分布表。
在概率论和统计学中，离散型随 机变量函数的概率分布是描述随 机变量取值规律的重要工具。
离散型随机变量函数的期望和方差
1 2 3
期望
离散型随机变量函数的期望是指所有可能取值的 概率加权和，即E(X)=∑xp(x)。
方差
离散型随机变量函数的方差是每个可能取值的概 率加权平方和的平均值，即D(X)=∑x^2p(x)E(X)^2。
应用
期望和方差是描述离散型随机变量函数取值稳定 性和分散程度的指标，在统计学、决策理论和风 险管理中具有重要应用。
随机变量函数的定义
随机变量函数是指将一个随机试验的 结果映射到一个实数域上的函数。
随机变量函数通常用大写字母表示， 如X(ω)，其中ω表示随机试验的结果。
随机变量函数的性质
确定性
对于每一个试验结果ω，随机变量函数都 有一个确定的函数值X(ω)。
VS
随机性
函数值X(ω)是随机的，即对于相同的试验 结果ω，每次试验都可能得到不同的函数 值。
随机变量函数的分布
https://
REPORTING
• 随机变量函数的基本概念 • 离散型随机变量函数的分布 • 连续型随机变量函数的分布 • 随机变量函数的变换 • 随机变量函数的应用
目录
PART 01
随机变量函数的基本概念
REPORTING
WENKU DESIGN
连续性
第二章 随机变量及其分布(第2讲)
分布函数还具有相当好的性质，有利于用数 学分析方法来处理；
引入随机变量和分布函数，在随机现象与数 学分析之间搭起了桥梁。
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
连续型随机变量（random variables of continuous type)
四、几种重要的连续型分布 均匀分1. 布均的匀实分际布背景是： 并概f ( x率且)随=与取⎪⎩⎪⎨⎧机0b这值−1变a个在量小（其x ∈X它区a取[a,,间bb值）] 的在中是 记长区一 为任度个间意成概X（小正~率aU区比密,[ab间度。,)b上内]函，的数.
利用分布函数与概率密度函数之间的关系，可以求得服从均匀 分布的随机变量 X 的分布函数
f
(x)
=
⎪⎧ ⎨
1 3
,
⎪⎩0 ,
0≤ x≤3 其它
∫ ∫ 所求概率 P{0 ≤ X ≤ 2}=
2 f (x )dx =
0
2 0
1 3
dx
=
2 3
四、几种重要的连续型分布
2.指数分布
定义: 若随机变量X的概率密度函数
X
~
f
(
x)
=
⎧λ
⎨
e−λ
x
⎩0
x>0 x≤0
称 X 服从参数为λ的指数分布,记为X~E(λ) (λ>0),
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
§2.2节学习的分布律对于非离散型型随 机变量失效
引入随机变量和分布函数，在随机现象与数 学分析之间搭起了桥梁。
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
连续型随机变量（random variables of continuous type)
四、几种重要的连续型分布 均匀分1. 布均的匀实分际布背景是： 并概f ( x率且)随=与取⎪⎩⎪⎨⎧机0b这值−1变a个在量小（其x ∈X它区a取[a,,间bb值）] 的在中是 记长区一 为任度个间意成概X（小正~率aU区比密,[ab间度。,)b上内]函，的数.
利用分布函数与概率密度函数之间的关系，可以求得服从均匀 分布的随机变量 X 的分布函数
f
(x)
=
⎪⎧ ⎨
1 3
,
⎪⎩0 ,
0≤ x≤3 其它
∫ ∫ 所求概率 P{0 ≤ X ≤ 2}=
2 f (x )dx =
0
2 0
1 3
dx
=
2 3
四、几种重要的连续型分布
2.指数分布
定义: 若随机变量X的概率密度函数
X
~
f
(
x)
=
⎧λ
⎨
e−λ
x
⎩0
x>0 x≤0
称 X 服从参数为λ的指数分布,记为X~E(λ) (λ>0),
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
§2.2节学习的分布律对于非离散型型随 机变量失效
随机变量及其分布
• 定义1如果对于随机变量X及其分布函数F(x)，存在非负可积函数 • f(x)，使得对于任意实数x有
• 则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称 概率密度或者密度函数.
• 下面给出概率密度函数f(x)的性质: • (1)f(x)≥0 • (2)由分布函数的性质易得
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• 二、离散型随机变量的分布函数
• 设离散型随机变量X的分布律为:
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2. 3随机变量的分布函数
• 其中 • 则随机变量X的分布函数仿照例1可得
• 如图2一1所示，F(x)为阶梯函数，分段区间为半闭半开区间，并且右 连续
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2. 4连续型随机变量及其概率密度
• 一、连续型随机变量及其概率分布
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2. 2离散型随机变量及其分布律
• 一、离散型随机变量
• 在某些试验中(例如 2. 1中的例1，例2，例3)，随机变量的取值是有 • 限个或者无穷可列个.这一类随机变量通常称为离散型随机变量，下
面我们给出离散型随机变量的精确定义: • 定义1若随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xn…，并且其 • 对应的概率分别为p1, p2,…，p n，…，即
• 注:实值单值函数指的是每一个。仅存在唯一一个实数X (ω)与之对应， 其中X (ω)是一个关干样本点的函数，值域为实数集.
• 随机变量可以根据它的取值分为离散型随机变量与非离散型随机变量， • 其中非离散型随机变量又可以进一步分为连续型随机变量与混合型随
机变量.在本书中我们主要学习的是离散型与连续型随机变量.
• 则称X为离散型随机变量，并且式(2.均称为随机变量X的概率分布， 又称分布律或分布列.
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• 则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称 概率密度或者密度函数.
• 下面给出概率密度函数f(x)的性质: • (1)f(x)≥0 • (2)由分布函数的性质易得
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• 二、离散型随机变量的分布函数
• 设离散型随机变量X的分布律为:
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2. 3随机变量的分布函数
• 其中 • 则随机变量X的分布函数仿照例1可得
• 如图2一1所示，F(x)为阶梯函数，分段区间为半闭半开区间，并且右 连续
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2. 4连续型随机变量及其概率密度
• 一、连续型随机变量及其概率分布
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2. 2离散型随机变量及其分布律
• 一、离散型随机变量
• 在某些试验中(例如 2. 1中的例1，例2，例3)，随机变量的取值是有 • 限个或者无穷可列个.这一类随机变量通常称为离散型随机变量，下
面我们给出离散型随机变量的精确定义: • 定义1若随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xn…，并且其 • 对应的概率分别为p1, p2,…，p n，…，即
• 注:实值单值函数指的是每一个。仅存在唯一一个实数X (ω)与之对应， 其中X (ω)是一个关干样本点的函数，值域为实数集.
• 随机变量可以根据它的取值分为离散型随机变量与非离散型随机变量， • 其中非离散型随机变量又可以进一步分为连续型随机变量与混合型随
机变量.在本书中我们主要学习的是离散型与连续型随机变量.
• 则称X为离散型随机变量，并且式(2.均称为随机变量X的概率分布， 又称分布律或分布列.
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概率论2-5 (1)
2
y
fY
( y)
1
y
e 2, y 0
2 y
0
其它
设X ~ N（0，1），其概率密度为：
x
1
x2 ,
e 2 x
2
则 Y X 2 概率密度函数为：
fY
y
1
2
1 y
y 2e 2 ,
0,
y0 y0
此时称Y服从自由度为1的 2分布,记作 Y ~ 2 1
结论：若 X ~ N 0,1 则 X 2 ~ 2 1
机变量。求Y的分布律.
例:已知
X -1 0
Pk
1 3
1 3
求：Y=X2的分布律
1
Y1 0
1 3
Pk
2 3
1 3
一般地
X
x1
x2 xk
Pk p1
p2 pk
Y=g(X) g(x1) g(x2 ) g(xk )
如果g( x i )与g( x j )相同，此时将两项合并，对应概率 相加．
例 设随机变量X的分布律为
1、一般方法
(1) 求Y的分布函数 FY(y)
根据分布函数的定义
FY ( y)
P{Y y} P{g(X ) y}
(2) 对FY(y) 求导，得到 fY(y)
f (x)dx
g ( x) y
fY ( y) (FY ( y)) '
设随机变量X的密度函数为
fX
(x)
x
8
,0
x
4
0, 其它
求随机变量Y=2X+8的概率密度。
2
pk 0.2 0.3 0.4 0.1
解 由题设可得如下表格
2.5随机变量的函数的分布
y
y} y f X (x)dx.
例5 设随机变量 X 具有概率密度 f X (x), x ,
求 Y = X 2 的概率密度.
解：(1)
y
FY ( y) y f X (x)dx.
(2)利用 FY( y) fY ( y)及变限定积分求导公式 得：
fY
(
y)
2
1
y
[
f
X
(
y ) fX (
§2.5 随机变量的函数的分布
• 离散型 • 连续型 • 定理及其应用
随机变量的函数
设 X 是一随机变量，Y 是 X 的函数，Y g X ,则Y 也是一个随机变量． 当 X 取值 x时，Y 取值 y gx
本节的任务就是：
已知随机变量 X 的分布，并且已知 Y gX ，
要求随机变量 Y 的分布．
h
y
f
X
x dx
fX hy hy fX hy hy
定理的证明
若 gx 0，则 gx是严格减少的函数．
因此， 当 y ， 时，
FY y PY y PgX y
PX g 1y PX hy fX xdx
hy
所以， f
y
FY y
d dy
h
y
f
X
x dx
fX hy hy fX hy hy
证 X的概率密度为：
fX (x)
1
( x )2
e , 2 2
2
x .
y g(x) ax b, g(x) a,满足定理的条件，
y g(x)的反函数为：x h( y) y b ,且h( y) 1 .
a
a
fX (x)
1
随机变量的函数的变量分布
01
02
均匀分布
在一定区间内均匀分布的随机变 量，如时间间隔、长度等。
03
04
二项分布
成功次数的问题中常用，如抛硬 币、抽奖等。
03
随机变量的函数的变量分布
随机变量函数的分布类型
1
离散型随机变量函数
离散型随机变量函数的取值是离散的， 其分布可以用概率分布列或概率质量函 数来表示。常见的离散型随机变量函数 包括二项式随机变量、泊松随机变量等 。
统计推断
通过分析随机变量的分布，可以 进行统计推断，例如参数估计和 假设检验等。
02
随机变量的分布
离散随机变量的分布
伯努利分布
适用于独立重复试验，如抛硬币、抽奖等。
二项分布
适用于成功次数的问题，如投掷n次硬币，成功k次的概率。
泊松分布
适用于单位时间内随机事件的次数，如放射性衰变次数。
连续随机变ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的分布
科学研究
随机变量的函数变量分布在科学研究中也具有广泛的应用价值，例如在物理学、生物学、社会科 学等领域中，可以通过研究随机现象来揭示自然规律和社会现象。
研究展望与未来发展方向
拓展应用领域
将随机变量的函数变量分布应用到更多的领域中，例如在人工智能、大数据分析、物联网等领域中，可以利用这些知 识进行数据分析和预测。
随机变量的函数的方差
方差的性质
如果$X$是一个随机变量，那么对于 任意的常数$a$，有
Var(aX)=a^2Var(X)。
方差的交换律
对于任何两个随机变量$X$和$Y$， 有Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)。
方差的非负性
对于任何随机变量$X$，有 Var(X)>=0。
随机变量函数的分布
,
0,
0 ey/2 1 其它
得
fY
(
y)
1 2
e
y
/
2
,
y0
0,
其它
即Y服从参数为1/2的指数分布.
例9
设随机变量 X ~ N ， 2 ，Y eX，试求随机变量
Y 的密度函数 fY y．
解: 由题设，知 X 的密度函数为
f x
1
x2
e 2 2
x
2
因为函数 y ex 是严格增加的，它的反函数为
0,
其它.
整理得 Y =2X +8 的概率密度为：
fY
(
y
)
y8 32
,
8 y 16,
0,
其它.
解题思路总结
核心思想：{Y y}等价于{X ?}
解题过程：
⑴．先求Y g X 的分布函数
FY y PY y P g X y fX ( x)dx g( x) y
⑵．利用Y g X 的分布函数与密度函数之间的关系 求Y g X 的密度函数 fY y FY y
一、 离散型随机变量函数的概率分布
当X为离散型随机变量时， Y g X 也是离散型
随机变量。并且在 X 的分布列已知的情况下，求Y的
分布列是容易的。
X 1 0 1 2 3
例1 已知X的分布列为
Pk 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
求 Y X 1 Y X2
的分布列。
解 由Y 的分布列可列出
面积Y小于 等价于半径X<1/2
0
1
即事件｛面积Y 1 ｝等价于事件｛半径X 1｝
4
2
所以 P{Y } P{ X 1} 1
2.5 随机变量的函数的分布
推论
若X ~ N ( µ , σ ), 则
2
X −µ
σ
~ N (0, 1)
正态分布的标准化
2010年12月16日星期四 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第二章 第五节 --第18页--
设X ~ N（0，1），其概率密度为 （ ， ） 其概率密度为：
1 ϕ ( x) = e −∞ < x < +∞ 2π 则 Y = X 2 概率密度函数为： 概率密度函数为 1 y − − 1 y 2e 2 , y > 0 fY ( y ) = 2π 0, y ≤ 0
1, 0 < x < 1 fX ( x) = 其它 0,
d(e− y/ 2 ) − y/ 2 − y/ 2 , 0< e <1 fX (e ) fY ( y) = dy 0, 其它 1 − y / 2 得 e , y>0 fY ( y) = 2 0, 其它
服从[19 21]上的均匀分布 [19， 上的均匀分布． 即 Y 服从[19，21]上的均匀分布
2010年12月16日星期四 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第二章 第五节 --第26页--
设球的半径X 例 设球的半径X的概率密度为 6 x(1 − x), x ∈ (0,1) f ( x) = 试求体积的概率密度。 试求体积的概率密度。 其它 0, 4 Y = π X 3 的分布函数为 解 体积 3 3y 3y 4 3 FY ( y ) = P π X < y = P X < 3 = FX 3 4π 4π 3 − 2 3 3y 1 3y 3 y 3 y ′ 3 3 3 fY ( y ) = f X ⋅ = fX 3 ⋅ ⋅ ⋅ 4π 4π 4π 3 4π 4π
概率论第六讲--随机变量的分布函数
及
其
y
由 FY ( y) F (x, )
[
f (x, y)dx]dy
知Y是连续型随机变量,其概率密度为
分 布
称为(X,fYY)(关y)于 Y的 f边(x缘, y)概dx率密度.
例3 求例1中二维随机变量（X、Y）关于X
和关于Y的边缘分布律。
例4 设随机变量X和Y具有联合概率密度 求
已知 分布函数F(x)
函 则f(x)在连续点处: f ( x) F `( x)
数
§2.5 多维随机变量及其分布
(一)二维随机变量
1.二维随机变量
引例1 E：火炮射击观察“弹着点”的位置；
例2 E：抽查学龄前儿童，观察身体素质。
定义：
随机试验E,样本空间为S=｛e｝,设X=X(e) 和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量,由它们构 成的向量(X,Y),称为二维随机变量。
其 且F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1.
分 (3)F(x,y)关于x或y右连续.
布
多 • 2.离散型随机变量的联合分布律
维 设二维随机变量(X,Y)所有可能取值为
随 (xi,yj),记P｛X=xi,Y=yj｝=pij,称为二维
机
离散型随机变量(X,Y)的概率分布或分布 律,或称为随机变量X,Y的联合分布律.
机 F(x,y),如存在非负的函数f(x,y),
变 使对于任意x,y，都有：
量 则称(X,Y)是连续型的二维随机变量,
及 函数f(x,y)称为(X,Y)的概率密度,
其 或称为X和Y的联合概率密度.
分
布
多 概率密度f(x,y)的性质
维 1 f (x, y) 0;
2.5随机变量函数的分布
Z0 1 4 P 0.1 0.5 0.4
例 已知 r.v.X
Y
sin
2
X
,
的分布是 PX n
求Y 的概率分布.
2 3n
,
n 1,2,3,...
解 X 1 2 3 4 5 6 7 8 ... n ...
Y sin X
2
1
0 1
0
1
0
1
0
...
s
in
n 2
...
P
2 2 2 2 2 2 2 2 ... 2 ...
Y
sin
2
X
1
0 1
0
P 222 2 3 32 33 34
5 6 7 8 ... n ...
1
0
1
0
...
s
in
n 2
...
2 2 2 2 ... 2 ...
35 36 37 38
3n
P{Y 1} P sin X 1 2
Y 1 0 1
3 1 27
P 40 4 40
P{ X 1} P{ X 5} P{X 9} ... P{X 4n 1} ...
3 32 33 34 35 36 37 38
3n
P{Y 0} P
sin X 0
2
Y 1 0 1
1
P
4
P{ X 2} P{ X 4} P{X 6} ... P{X 2n} ...
2 22
2
32 34 36 ... 32n ...
2
32
1 1
1 4
9
解 X 1234
0
fX ( x)dx
02