两个随机变量的函数的分布
合集下载
两个随机变量的函数的分布
f (x, z x)dx
fX (x) fY (z x)dx
f (z y, y)dy fX (z y) fY (y)dy
连续场合 的卷积公 式
类似可得： fX Y (z)
f (x, x z)dx
fX (x) fY (x z)dx
f (z y, y)dy
fX (z y) fY ( y)dy
(3) 当 1 < z 时,
fZ (z)
1 e(zx)dx ez (e 1).
0
1x
1 ez, 0 z 1
故 fZ (z) ez (e 1), z 1 .
0,
其他
例6 设 X与Y 是独立同分布的标准正态变量，求Z = X+Y 的分布.
解
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx
fXY (z)
f (x, z ) 1 dx x | x |
fX
(x)
fY
(
z) x
|
1 x
|
dx
f ( z , y) 1 dy y | y |
z
1
fX
(
) y
fY
(
y)
|
y
|
dy
fX /Y (z)
f (yz, y) | y | dy
fX ( yz) fY ( y) | y | dy
应用：若 Xi b(1, p)， i=1, 2, …, n且相互独立，则 Z = X1 + X2 + … + Xn b(n, p). 相互独立的0-1分布随机变量之和服从二项分布
二、两个连续型随机变量的和差积商概率密度公式
定理1 数为
设连续型随机变量X与Y 独立，则 Z=X+Y 的密度函
两个随机变量函数的分布
z
x 0 x 0
z
x
0
z
x
zx
0
x
fZ (z)
z xe x (z x)e(z x)dx,
0
当z 0
fZ (z) ez
z
x(z x)dx
0
fZ (z) ez
z (zx x2 )dx
0
z3ez 6
,
z0
0, z 0
作业中的问题
习题二 P70
5. (1) 设随机变量X的分布律为
P(Z 1) P( X 0,Y 1) 0
P(Z 2) P( X 1,Y 1) 3 8
P(Z 3) P(X 2,Y 1) P(X 0,Y 3)
314 88 8
Z123456 pk 0 3/8 4/8 0 0 1/8
例: (P73) 泊松分布的可加性
若X,Y相互独立, X~P(
1
x2
e 2,
x
2
1
y2
e 2,
y
2
求Z=X+Y的概率密度。
解：由卷积公式
fZ z
f
X
x
fY
z
x dx
1
x2 zx2
e 2 e 2 dx
2
( x2 zx z2 ) ( x z )2 z2
2
24
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
令x z t
y0
试就以上三种联接方式分别写出L的寿命Z的概率密度.
解:(1)串联的情况: Z = min (X,Y) X,Y的分布函数分别为：
1 e x , x 0
FX
(
x)
x 0 x 0
z
x
0
z
x
zx
0
x
fZ (z)
z xe x (z x)e(z x)dx,
0
当z 0
fZ (z) ez
z
x(z x)dx
0
fZ (z) ez
z (zx x2 )dx
0
z3ez 6
,
z0
0, z 0
作业中的问题
习题二 P70
5. (1) 设随机变量X的分布律为
P(Z 1) P( X 0,Y 1) 0
P(Z 2) P( X 1,Y 1) 3 8
P(Z 3) P(X 2,Y 1) P(X 0,Y 3)
314 88 8
Z123456 pk 0 3/8 4/8 0 0 1/8
例: (P73) 泊松分布的可加性
若X,Y相互独立, X~P(
1
x2
e 2,
x
2
1
y2
e 2,
y
2
求Z=X+Y的概率密度。
解：由卷积公式
fZ z
f
X
x
fY
z
x dx
1
x2 zx2
e 2 e 2 dx
2
( x2 zx z2 ) ( x z )2 z2
2
24
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
令x z t
y0
试就以上三种联接方式分别写出L的寿命Z的概率密度.
解:(1)串联的情况: Z = min (X,Y) X,Y的分布函数分别为：
1 e x , x 0
FX
(
x)
两个随机变量函数的分布
解: X 0
1
P 1/2 1/2
Y0
1
P 1/2 1/2
(XP,{YZ)=的zk取} 值= P数{对g(为X,(Y0),0=),(z0k,}1=),(1,0),(1p,i1j ,),k 1,2,
Z=max(X,Y)的取值为:0,1
i, j
g( xi , y j )zk
P{Z=0}=P{X=0,Y=0}= P{X=0}P{Y=0} =1/4
（1）
1
f(x, y)dxdy
ke(xy)dxdy k k 1
00
(2)F(x,
y)
x 0
y e-(uv)dudv
0
(1 e-x )(1 ey ),0 x ,0 y
0, 其 它
( 3 )P( 0 X 1,0 Y 2 ) 1 2 e( x y )dxdy ( 1 e1 )( 1 e2 ) 00
e 2 dx
2
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
fZ ( z ) fX ( x ) fY ( z x )dx
1
x2
e2
2
1
( z x )2
e 2 dx
2
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
令 t x z ，得
2
fZ (
z
)
1
2
z2
e4
et2 dt
1
z2
g( xi , y j )zk
概率 1/10 2/10 3/10 2/10 1/10 1/10
（X,Y）(-1,-1) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,1) (2,2)
两个随机变量的函数的分布
如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) < f(x2)，则函数f(x)在其定义 域内单调递增。
单调递减
如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)在其定义 域内单调递减。
有界性
有上界
如果存在一个实数M，使得对于所有x 属于定义域，都有f(x) <= M，则称 函数f(x)有上界。
两个随机变量的函数的实际 应用
金融领域
金融风险评估
在金融领域中，两个随机变量的函数可以用于评估投资组合的风险。例如，通过计算两 个资产收益率的协方差矩阵，可以了解不同资产之间的相关性，从而制定风险管理策略。
期权定价
在期权定价模型中，标的资产的价格通常被视为一个随机变量。通过引入另一个随机变 量，如无风险利率或波动率，可以构建更复杂的期权定价模型，如二叉树模型和蒙特卡
幂函数
若$X$是随机变量，$n$是自然数，则$X^n$的期望是 $E(X^n)=nE(X)$。
方差的计算
1 2 3
线性函数
若$X$是随机变量，$a$和$b$是常数，则 $aX+b$的方差是$D(aX+b)=a^2D(X)$。
乘积函数
若$X$和$Y$是随机变量，则$X times Y$的方差 是$D(X times Y)=D(X) times D(Y)+[E(X)E(Y)]^2$。
04
CHAPTER
两个随机变量的函数的图像 和性质
图像的绘制
直方图
通过将数据分组并在每个组上绘制矩 形来绘制直方图，矩形的面积等于该 组的频数，高度等于组的中位数。
折线图
散点图
将两个随机变量在坐标系上标出，并 绘制点来表示它们的值。
单调递减
如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)在其定义 域内单调递减。
有界性
有上界
如果存在一个实数M，使得对于所有x 属于定义域，都有f(x) <= M，则称 函数f(x)有上界。
两个随机变量的函数的实际 应用
金融领域
金融风险评估
在金融领域中，两个随机变量的函数可以用于评估投资组合的风险。例如，通过计算两 个资产收益率的协方差矩阵，可以了解不同资产之间的相关性，从而制定风险管理策略。
期权定价
在期权定价模型中，标的资产的价格通常被视为一个随机变量。通过引入另一个随机变 量，如无风险利率或波动率，可以构建更复杂的期权定价模型，如二叉树模型和蒙特卡
幂函数
若$X$是随机变量，$n$是自然数，则$X^n$的期望是 $E(X^n)=nE(X)$。
方差的计算
1 2 3
线性函数
若$X$是随机变量，$a$和$b$是常数，则 $aX+b$的方差是$D(aX+b)=a^2D(X)$。
乘积函数
若$X$和$Y$是随机变量，则$X times Y$的方差 是$D(X times Y)=D(X) times D(Y)+[E(X)E(Y)]^2$。
04
CHAPTER
两个随机变量的函数的图像 和性质
图像的绘制
直方图
通过将数据分组并在每个组上绘制矩 形来绘制直方图，矩形的面积等于该 组的频数，高度等于组的中位数。
折线图
散点图
将两个随机变量在坐标系上标出，并 绘制点来表示它们的值。
两个随机变量函数的分布
P{Z 3} P{X Y 3} P{X 3，Y 1} 3 ， 20
P{Z 4} P{X Y 4} P{X 4，Y 4} 1 ， 20
于是得Z =X +Y 的分布律(表3-13)
表3-13
同理可得，Z = XY 的分布律为(表3-14)。
表3-14
例3.17 设X，Y 相互独立，且分别服从
求随机变量Z =X +Y 的分布密度.
解 X，Y 相互独立，所以由卷积公式知
fZ (z) f X (x) fY (z x) dx
。
由题设可知 fX (x) fY ( y)只有当0 x 1 ，y 0 ，即当0 x 1
且z x 0 时才不等于零。现在所求的积分变量为x，z 当作参数,
当积分变量满足x 的不等式组时，被积函数
概率学与数理统计
两个随机变量函数的分布
设( X , Y )为二维随机变量，则 Z ( X ，Y ) 是( X , Y )的
函数，Z 是一维随机变量，现在的问题是如何由( X , Y )的分 布，求出Z 的分布，就是已知二维随机变量( X , Y )的分布律
或密度函数，求Z ( X ，Y ) 的分布律或密度函数问题。
特别地，当X 和Y 相互独立时，设( X , Y )关于X，Y 的边缘
概率密度分别为fX (x)，fY (y)，则有
fZ (z)
fX
(z
y)
fY
dy
，
及
(3.18)
fZ (z)
fX
(x)
fY
(z
x) dx
。
(3.19)
这两个公式称为卷积(Convolution)公式，记为 fX fY 即
0 x 1
3.5 两个随机变量的函数的分布
第五节
两个随机变量的函数的分布
一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结
一、问题的引入
有一大群人 , 令 X 和 Y 分别表示一个人的 年龄和体重, Z 表示该人的血压 ,并且已知 Z 与
X , Y 的函数关系 Z = g ( X ,Y ),如何通过 X ,Y 的分
(iii)备用的情况
由于这时当系统 L1 损坏时,系统 L2 才开始工 作, 因此整个系统 L 的寿命 Z 是 L1 , L2 两者之和： 两者之和：
Z = X +Y
当 z > 0 时 Z = X + Y 的概率密度为
f (z ) = ∫
∞
−∞
f X ( z − y ) fY ( y ) d y
= ∫ αe − α ( z − y ) βe − βy d y
(1 − e − αz )(1 − e − βz ), z > 0, Fmax ( z ) = FX ( z ) ⋅ FY ( z ) = 0, z ≤ 0.
Z = max{ X , Y }的概率密度为
αe − αz + βe − βz − (α + β )e −( α + β ) z , z > 0, f max ( z ) = z ≤ 0. 0,
分布函数为
Fmax ( z ) = P { M ≤ z } = P { X ≤ z ,Y ≤ z }
=P { X ≤ z } P {Y ≤ z }.
即有 Fmax ( z ) = FX ( z )FY ( z ). 类似地, 类似地
可得 N = min{ X , Y }的分布函数为
Fmin (z ) = P { N ≤ z } = 1 − P{ N > z } (z
两个随机变量的函数的分布
一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结
一、问题的引入
有一大群人 , 令 X 和 Y 分别表示一个人的 年龄和体重, Z 表示该人的血压 ,并且已知 Z 与
X , Y 的函数关系 Z = g ( X ,Y ),如何通过 X ,Y 的分
(iii)备用的情况
由于这时当系统 L1 损坏时,系统 L2 才开始工 作, 因此整个系统 L 的寿命 Z 是 L1 , L2 两者之和： 两者之和：
Z = X +Y
当 z > 0 时 Z = X + Y 的概率密度为
f (z ) = ∫
∞
−∞
f X ( z − y ) fY ( y ) d y
= ∫ αe − α ( z − y ) βe − βy d y
(1 − e − αz )(1 − e − βz ), z > 0, Fmax ( z ) = FX ( z ) ⋅ FY ( z ) = 0, z ≤ 0.
Z = max{ X , Y }的概率密度为
αe − αz + βe − βz − (α + β )e −( α + β ) z , z > 0, f max ( z ) = z ≤ 0. 0,
分布函数为
Fmax ( z ) = P { M ≤ z } = P { X ≤ z ,Y ≤ z }
=P { X ≤ z } P {Y ≤ z }.
即有 Fmax ( z ) = FX ( z )FY ( z ). 类似地, 类似地
可得 N = min{ X , Y }的分布函数为
Fmin (z ) = P { N ≤ z } = 1 − P{ N > z } (z
概率统计课件3.5两个随机变量的函数的分布.
2018/10/8
e
1
k 2
k!
e
2
1
1!
e
1
k 1 2
( k 1)!
e
2
k 1
k!
e
1
e
2
1 ( 1 2 ) k k e [2 12k 1 k! 1!
1k ]
k
(1 2 ) ( 1 2 ) 1 ( 1 2 ) k e (1 2 ) e k! k!
参数为 i , 的分布, 则其和 X1 X 2
服从参数为 2018/10/8
Xn
i 1
n
i
, 的分 布.
1 1 ▲ 特别当 1 2 n , 时， 2 2 X X1 X 2 X n 的密度函数为：
x n 1 1 2 2 x e x0 n f X ( x ) 2 2 ( n 2 ) 0 x0 此时则称 X 服从自由度为 n 的开平方分布，记 2 X ~ (n) 为：
第五节 两个随机变量的函数的分布
Z X Y
的分布
M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
小结
研究的问题 在一维随机变量中讨论了：已知随机 变量 X 及它的分布，如何求其函数 Y g( X ) 的分布。 在多维随机变量中需讨论：已知随机变 量X1, X2, …,Xn 及其联合分布，如何求 出它们的函数： Yi =gi (X1, X2, …,Xn ), i = 1, 2,…, m 的联合分布。
X 与 Y 的取值均为： 0, 1, 2,
Z 的取值也为非负的整数 k P (Z k) P ( X Y k)
《概率论》第3章§5两个随机变量的函数的分布
FP( X i z1 P n } 设 Xi ~ = Xi {x),≤=},2,{Y,≤,z且 X1 , X2 ,, Xn 相互独立
= P{X ≤ z,Y ≤ z}
则
Fmax (z) = F (z)
F (z) = P{min(X ,Y) ≤ z} min = FX1 (z)FX,2 (z)z} FXn (z) = 1 P{min(X Y) > F (z) =1P{{min(,Y 1,zX2 ,, Xn ) ≤ z } = P X > z X> } min n = 1∏ > } P(z > [ =1 P{X1zFXi {Y )] z} i =1 =1 ,[1,,{X 独立同分布于 F(x)时有 X1 X2 P Xn ≤ z}][1 P{Y ≤ z}] 特别当 n = 1[1 FX (z)][1 F (z)] n Y
z
2σ 2
∴
z e ,z ≥0 2 fZ (z) = σ 分布) (瑞利Rayleigh分布) 0 , z第三章 多维随机变量及其分布 <0
ρ d 2 =1 e 2σ2 2σ 2
z 2σ 2
(z ≥ 0)
§5 两个随机变量的函数的分布
11/15 11/15
设 X ~ FX (x),Y ~ F ( y) ,且 X,Y 相互独立 ,则 Y F (z) = P{max(X ,Y) ≤ z} max
∵ Fmax (z) = F (z) ∴ fmax (z) = 2 f (z)F(z)
2
= 2 f (z)∫∞ f (t)dt ∵ Fmin (z) = 1[1 F(z)]2
∴ fmax (z) = 2 f (z)[1 F(z)]
= 2 f (z)[1 ∫∞ f (t)dt]
= P{X ≤ z,Y ≤ z}
则
Fmax (z) = F (z)
F (z) = P{min(X ,Y) ≤ z} min = FX1 (z)FX,2 (z)z} FXn (z) = 1 P{min(X Y) > F (z) =1P{{min(,Y 1,zX2 ,, Xn ) ≤ z } = P X > z X> } min n = 1∏ > } P(z > [ =1 P{X1zFXi {Y )] z} i =1 =1 ,[1,,{X 独立同分布于 F(x)时有 X1 X2 P Xn ≤ z}][1 P{Y ≤ z}] 特别当 n = 1[1 FX (z)][1 F (z)] n Y
z
2σ 2
∴
z e ,z ≥0 2 fZ (z) = σ 分布) (瑞利Rayleigh分布) 0 , z第三章 多维随机变量及其分布 <0
ρ d 2 =1 e 2σ2 2σ 2
z 2σ 2
(z ≥ 0)
§5 两个随机变量的函数的分布
11/15 11/15
设 X ~ FX (x),Y ~ F ( y) ,且 X,Y 相互独立 ,则 Y F (z) = P{max(X ,Y) ≤ z} max
∵ Fmax (z) = F (z) ∴ fmax (z) = 2 f (z)F(z)
2
= 2 f (z)∫∞ f (t)dt ∵ Fmin (z) = 1[1 F(z)]2
∴ fmax (z) = 2 f (z)[1 F(z)]
= 2 f (z)[1 ∫∞ f (t)dt]
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0 - αz
z
= αβe
0
z
e -( β - α ) y d y
当M = max(X ,Y )时, 有 FM ( z ) = P{M z} = P{X z ,Y z} = P{X z}P{Y z} = FX( z ) FY ( z )
类似地, N = min(x ,y )时, 有 FN ( z ) = P{N z} = 1 - P{N > z} = 1 - P{x > z ,y > z} = 1 - P{x > z}P{y > z} = 1 - (1 - Fx ( z ))(1 - Fy ( z )).
y
O
同样, N = min(X1 , X2 ,L, Xn ), 有 L[1 - FX ( z )] Fmin ( z ) = 1 - [1 - FX1 ( z )] * [1 - FX2 ( z )] * n
x
特别当X1，X2，…，Xn是相互独立且具有相同 分布函数时，设它们的分布函数为F(x) ，则
G1
G2
= [ yp ( yu, y) d y - yp ( yu, y) d y] d u.
- 0 -
z
0
由此可得分布密度为
p( z ) =
0
yp( yz, y) d y -
0 -
yp( yz, y) d y
（5.7）
=
-
y p( yz, y) d y.
１
同理可得Ｚ=ＸＹ的分布函数：
f Z ( z ) = - f X ( z - y ) fY ( y )dy
f Z ( z ) = - f X ( x) fY ( z - x)dx
这两个公式称为卷积公式, 记作fX * fY ,即 fX * fY = - fX ( z - y ) fY ( y )dy = - fX ( x) fY ( z - x)dx
-
y , y ) d y. p ( y z
（5.8）
特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘 密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式分 别化为：
p( z ) =
p( z ) =
-
y pX ( yz) pY ( y) d y.
１ y y p X ( z ) pY ( y ) d y .
- yz -2 y
e
d y = 0 2 ye
- y ( 2+ z )
2 , dy = 2 (2 + z )
( 当 z 0 时 ) pZ ( z ) = 0,
得
2 , z > 0, 2 pZ ( z ) = ( 2 + z ) z 0. 0,
3. M=max (X，Y )及N=min (X，Y)的分布 设X和Y是相独立的随机变量且它们的 分布函数分别记为FX (x)和FY (y)。
z
- 0
yp( yu, y) d y d u
同理可得
p( x, y ) d x d y = - - - yp( yu, y ) d y d u,
G2
z
0
故有 FZ ( z ) = P{ Z z }
= p( x, y ) d x d y + p( x, y ) d x d y
上述结果容易推广到n个随机变量的情形。
设X1，X2，…，Xn是n个相互独立的随机变量， 它们的分布函数分别为
FX1 ( x1 ), FX2 ( x2 ), L , FXn ( xn )
则M = max(X1 , X2 , L, Xn )的分布函数为 Fmax ( z ) = FX1 ( z ) * FX2 ( z ) L FXn ( z )
=
f ( x, y)dxdy
D
这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z} 是直线x+y =z 左下方的半平面.
FZ ( z ) =
x + y z
f ( x, y)dxdy
z- y
化成累次积分,得
FZ ( z ) = - [ - f ( x, y)dx]dy
固定z和y,对方括号内的积分作 变量代换, 令x=u-y,得
5. 两个随机变量的函数的分布
◆ 主要内容 1. Z=X+Y的分布 2. Z=X/Y的分布、Z=XY的分布 3. M=max {X,Y}及N=min {X,Y}的分布
1. Z=X+Y的分布
例1 设（X、Y）是二维连续型随机变量，它 具有的概率密度为 f (x, y),求Z=X+Y的密度.
解: Z=X+Y的分布函数是: FZ (z)=P (Z ≤ z)=P(X+Y ≤ z)
这个结论还能推广到n个独立正态随机变量之 和的情况：
2 Xi ~ N m 一般来说，若 （i=1, 2, …，n）， ( i , i ), 且他们相互独立，则他们的和Z=X1+X2+…..+Xn n n 仍然服从正态分布，且有 2 2
m = mi = i
i =1
i =1
这个事实可以证明 有限个相互独立的正态 随机变量的线性组合仍 然服从正态分布
G1
G2
G1
=
0
yz
-
p( x , y) d x d y + - yz p( x , y) d x d y,
0
O
G2
x
令u = x y ,
p( x, y) d x d y = 0 - p( x, y) d x d y
G1
yz
=
0
z
-
yp( yu, y) d u d y =
解
由公式
pZ ( z ) = 0 yp( yz, y ) d y - - yp( yz, y ) d y,
0
2e - x e - 2 y , x > 0, y > 0, p( x , y ) = 其它. 0,
得所求密度函数 (当z > 0时)
pZ ( z ) = 0 2 ye
Fmin ( z ) = 1 - [1 - FX ( z )][1 - FY ( z )]
1 - e - ( α + β ) z , z > 0, = z 0. 0,
于是Z=min (X，Y )的概率密度为
(α + β )e -( α + β ) z , z > 0, f min ( z ) = z 0. 0,
+ +
例2 设X,Y是相互独立的服从标准正态分布N(0, 1)的 随机变量。求Z=X +Y的概率密度。
解
X
由于 1 e 2
x2 2
f ( x) =
- < x < - - < y < +
1 f ( y) = e 2
Y
y2 2
因此,由卷积公式有 fZ ( z ) = -
+
1 fX ( x) fY ( z x)dx = 2
（5.9）
-
（5.10）
例3 设 X , Y 分 别 表 示 两 只 不 同 型 的 号灯 泡 的
寿 命, X , Y 相 互 独 立 ,它 们 的 概 率 密 度 分 别 为 e - x , x > 0, 2e - 2 y , y > 0, pX ( x ) = pY ( y ) = 其 它. 0, 其 它, 0, X 试求Z = 的概率密度函数 . Y
L2 Y
接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度.
(1) 串联的情况
由于当 L1 , L2 中有一个损坏时 , 系统 L 就停止工作,
所以这时 L 的寿命为
Z = min( X ,Y ).
αe - αx , x > 0, 1 - e - αx , x > 0, 由 f X ( x) = FX ( x ) = x 0, x 0, 0, 0, βe - βy , y > 0, 1 - βe - βy , y > 0, 由 fY ( y ) = FY ( y ) = y 0; y 0. 0, 0,
FZ ( z ) = - [ - f ( u - y, y)du]dy 交换积分次序 = [ f ( u - y, y)dy]du - -
z
z
FZ ( z ) = - [- f ( u - y, y)dy]du
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y 的概率密度为:
z
f Z ( z ) = F ( z ) = f ( z - y, y)dy
' Z -
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
f Z ( z ) = F ( z ) = f ( x, z - x )dx
' Z -
以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.
特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘 密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:
(2) 并联的情况 由于当且仅当L1, L2都损坏时, 系统L才停止 工作,所以这时L的寿命Z为 Z=max (X，Y )
Z = max( X ,Y ) 的分布函数为
(1 - e - αz )(1 - e - βz ), z > 0, Fmax ( z ) = FX ( z ) FY ( z ) = z 0. 0, 于是Z=max (X，Y )的概率密度为 αe - αz + βe - βz - (α + β )e -( α + β ) z , z > 0, f max ( z ) = z 0. 0,
z
= αβe
0
z
e -( β - α ) y d y
当M = max(X ,Y )时, 有 FM ( z ) = P{M z} = P{X z ,Y z} = P{X z}P{Y z} = FX( z ) FY ( z )
类似地, N = min(x ,y )时, 有 FN ( z ) = P{N z} = 1 - P{N > z} = 1 - P{x > z ,y > z} = 1 - P{x > z}P{y > z} = 1 - (1 - Fx ( z ))(1 - Fy ( z )).
y
O
同样, N = min(X1 , X2 ,L, Xn ), 有 L[1 - FX ( z )] Fmin ( z ) = 1 - [1 - FX1 ( z )] * [1 - FX2 ( z )] * n
x
特别当X1，X2，…，Xn是相互独立且具有相同 分布函数时，设它们的分布函数为F(x) ，则
G1
G2
= [ yp ( yu, y) d y - yp ( yu, y) d y] d u.
- 0 -
z
0
由此可得分布密度为
p( z ) =
0
yp( yz, y) d y -
0 -
yp( yz, y) d y
（5.7）
=
-
y p( yz, y) d y.
１
同理可得Ｚ=ＸＹ的分布函数：
f Z ( z ) = - f X ( z - y ) fY ( y )dy
f Z ( z ) = - f X ( x) fY ( z - x)dx
这两个公式称为卷积公式, 记作fX * fY ,即 fX * fY = - fX ( z - y ) fY ( y )dy = - fX ( x) fY ( z - x)dx
-
y , y ) d y. p ( y z
（5.8）
特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘 密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式分 别化为：
p( z ) =
p( z ) =
-
y pX ( yz) pY ( y) d y.
１ y y p X ( z ) pY ( y ) d y .
- yz -2 y
e
d y = 0 2 ye
- y ( 2+ z )
2 , dy = 2 (2 + z )
( 当 z 0 时 ) pZ ( z ) = 0,
得
2 , z > 0, 2 pZ ( z ) = ( 2 + z ) z 0. 0,
3. M=max (X，Y )及N=min (X，Y)的分布 设X和Y是相独立的随机变量且它们的 分布函数分别记为FX (x)和FY (y)。
z
- 0
yp( yu, y) d y d u
同理可得
p( x, y ) d x d y = - - - yp( yu, y ) d y d u,
G2
z
0
故有 FZ ( z ) = P{ Z z }
= p( x, y ) d x d y + p( x, y ) d x d y
上述结果容易推广到n个随机变量的情形。
设X1，X2，…，Xn是n个相互独立的随机变量， 它们的分布函数分别为
FX1 ( x1 ), FX2 ( x2 ), L , FXn ( xn )
则M = max(X1 , X2 , L, Xn )的分布函数为 Fmax ( z ) = FX1 ( z ) * FX2 ( z ) L FXn ( z )
=
f ( x, y)dxdy
D
这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z} 是直线x+y =z 左下方的半平面.
FZ ( z ) =
x + y z
f ( x, y)dxdy
z- y
化成累次积分,得
FZ ( z ) = - [ - f ( x, y)dx]dy
固定z和y,对方括号内的积分作 变量代换, 令x=u-y,得
5. 两个随机变量的函数的分布
◆ 主要内容 1. Z=X+Y的分布 2. Z=X/Y的分布、Z=XY的分布 3. M=max {X,Y}及N=min {X,Y}的分布
1. Z=X+Y的分布
例1 设（X、Y）是二维连续型随机变量，它 具有的概率密度为 f (x, y),求Z=X+Y的密度.
解: Z=X+Y的分布函数是: FZ (z)=P (Z ≤ z)=P(X+Y ≤ z)
这个结论还能推广到n个独立正态随机变量之 和的情况：
2 Xi ~ N m 一般来说，若 （i=1, 2, …，n）， ( i , i ), 且他们相互独立，则他们的和Z=X1+X2+…..+Xn n n 仍然服从正态分布，且有 2 2
m = mi = i
i =1
i =1
这个事实可以证明 有限个相互独立的正态 随机变量的线性组合仍 然服从正态分布
G1
G2
G1
=
0
yz
-
p( x , y) d x d y + - yz p( x , y) d x d y,
0
O
G2
x
令u = x y ,
p( x, y) d x d y = 0 - p( x, y) d x d y
G1
yz
=
0
z
-
yp( yu, y) d u d y =
解
由公式
pZ ( z ) = 0 yp( yz, y ) d y - - yp( yz, y ) d y,
0
2e - x e - 2 y , x > 0, y > 0, p( x , y ) = 其它. 0,
得所求密度函数 (当z > 0时)
pZ ( z ) = 0 2 ye
Fmin ( z ) = 1 - [1 - FX ( z )][1 - FY ( z )]
1 - e - ( α + β ) z , z > 0, = z 0. 0,
于是Z=min (X，Y )的概率密度为
(α + β )e -( α + β ) z , z > 0, f min ( z ) = z 0. 0,
+ +
例2 设X,Y是相互独立的服从标准正态分布N(0, 1)的 随机变量。求Z=X +Y的概率密度。
解
X
由于 1 e 2
x2 2
f ( x) =
- < x < - - < y < +
1 f ( y) = e 2
Y
y2 2
因此,由卷积公式有 fZ ( z ) = -
+
1 fX ( x) fY ( z x)dx = 2
（5.9）
-
（5.10）
例3 设 X , Y 分 别 表 示 两 只 不 同 型 的 号灯 泡 的
寿 命, X , Y 相 互 独 立 ,它 们 的 概 率 密 度 分 别 为 e - x , x > 0, 2e - 2 y , y > 0, pX ( x ) = pY ( y ) = 其 它. 0, 其 它, 0, X 试求Z = 的概率密度函数 . Y
L2 Y
接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度.
(1) 串联的情况
由于当 L1 , L2 中有一个损坏时 , 系统 L 就停止工作,
所以这时 L 的寿命为
Z = min( X ,Y ).
αe - αx , x > 0, 1 - e - αx , x > 0, 由 f X ( x) = FX ( x ) = x 0, x 0, 0, 0, βe - βy , y > 0, 1 - βe - βy , y > 0, 由 fY ( y ) = FY ( y ) = y 0; y 0. 0, 0,
FZ ( z ) = - [ - f ( u - y, y)du]dy 交换积分次序 = [ f ( u - y, y)dy]du - -
z
z
FZ ( z ) = - [- f ( u - y, y)dy]du
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y 的概率密度为:
z
f Z ( z ) = F ( z ) = f ( z - y, y)dy
' Z -
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
f Z ( z ) = F ( z ) = f ( x, z - x )dx
' Z -
以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.
特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘 密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:
(2) 并联的情况 由于当且仅当L1, L2都损坏时, 系统L才停止 工作,所以这时L的寿命Z为 Z=max (X，Y )
Z = max( X ,Y ) 的分布函数为
(1 - e - αz )(1 - e - βz ), z > 0, Fmax ( z ) = FX ( z ) FY ( z ) = z 0. 0, 于是Z=max (X，Y )的概率密度为 αe - αz + βe - βz - (α + β )e -( α + β ) z , z > 0, f max ( z ) = z 0. 0,