1.1.3 随机变量的函数变换
概率论变量变换法
概率论变量变换法概率论变量变换法是一种求解随机变量函数的分布的方法，它利用随机变量之间的函数关系，通过积分或者求和的方式，得到新的随机变量的概率分布。
概率论变量变换法有两种常见的形式：一元变换和多元变换。
一元变换是指已知一个随机变量X的分布，求另一个随机变量Y=f(X)的分布。
一元变换的方法有两种：累积分布函数法和密度函数法。
累积分布函数法是利用Y=f(X)的累积分布函数F_Y(y)等于F_X(f^{-1}(y))或者1-F_X(f^{-1}(y))，根据X的累积分布函数F_X(x)求出F_Y(y)，然后求导得到Y 的密度函数f_Y(y)。
密度函数法是利用Y=f(X)的密度函数f_Y(y)等于f_X(f^{-1}(y))乘以f^{-1}(y)对y的导数的绝对值，根据X的密度函数f_X(x)求出f_Y(y)。
一元变换的例子有指数分布、正态分布、卡方分布、t分布等。
多元变换是指已知n个随机变量X_1,X_2,...,X_n的联合分布，求另外m个随机变量Y_1,Y_2,...,Y_m=g(X_1,X_2,...,X_n)的联合分布。
多元变换的方法有两种：雅可比行列式法和矩母函数法。
雅可比行列式法是利用(Y_1,Y_2,...,Y_m)和(X_1,X_2,...,X_n)之间的雅可比行列式J=\frac{\partial(Y_1,Y_2,...,Y_m)}{\partial(X_1,X_2 ,...,X_n)}，根据(X_1,X_2,...,X_n)的联合密度函数f_{X_1,X_2,...,X_n}(x_1,x_2,...,x_n)求出(Y_1,Y_2,...,Y_m)的联合密度函数f_{Y_1,Y_2,...,Y_m}(y_1,y_2,...,y_m)，其中f_{Y_1,Y_2,...,Y_m}(y_1,y_2,...,y_m)=f_{X_1,X_2,... ,X_n}(g^{-1}(y_1,y_2,...,y_m))|J|。
2024数学三考研大纲
2024数学三考研大纲第一部分：数学分析1.实数与实数的基本性质1.1实数的完备性1.2实数序列的性质1.3实数级数的收敛性与发散性2.极限与连续2.1极限的定义与性质2.2函数的极限与连续2.3一元函数的微分学3.不定积分与定积分3.1不定积分的概念与性质3.2定积分的概念与性质3.3定积分的计算方法4.函数列与函数项级数4.1函数列的收敛性4.2函数项级数的收敛性4.3函数项级数的一致收敛性5.幂级数与傅里叶级数5.1幂级数的收敛半径与收敛域5.2幂级数的常用运算5.3傅里叶级数的性质与应用第二部分：代数与几何1.线性代数1.1实数向量空间与内积空间1.2矩阵与行列式1.3向量空间的基与维数2.线性方程组与矩阵的应用2.1线性方程组的基本概念与解法2.2矩阵的特征值与特征向量2.3矩阵的对角化与相似变换3.多元函数的微分学3.1多元函数的偏导数与全微分3.2多元函数的极值与条件极值3.3隐函数与参数方程的微分4.曲线积分与曲面积分4.1曲线积分的定义与性质4.2曲面积分的定义与性质4.3绿公式与高斯公式5.空间解析几何5.1空间中的直线与平面5.2空间曲线与曲面的方程5.3空间中的向量与坐标系第三部分：概率与统计1.随机事件与概率1.1随机事件的概念与性质1.2概率的基本概念与公理1.3概率的运算与应用2.随机变量与概率分布2.1随机变量的概念与分类2.2离散型随机变量的概率分布2.3连续型随机变量的概率密度函数3.随机变量的特征与分布3.1随机变量的数学期望与方差3.2常见离散型与连续型分布3.3多维随机变量的联合分布与边缘分布4.大数定律与中心极限定理4.1大数定律的概念与证明4.2中心极限定理的概念与应用4.3样本统计量的极限分布5.统计推断与假设检验5.1参数估计与区间估计5.2假设检验的基本原理5.3常用假设检验的方法与步骤第四部分：数学建模与应用1.数学建模的基本概念1.1数学建模的过程与方法1.2数学建模的评价标准与特点1.3数学建模在实际问题中的应用2.线性规划模型2.1线性规划问题的数学描述2.2单纯形法与对偶问题2.3整数线性规划问题与解法3.非线性规划模型3.1非线性规划的基本概念与性质3.2非线性规划的解法与应用3.3动态规划与整数规划问题4.数学建模实例分析4.1数学建模实例的选择与分析4.2实际问题的数学建模过程4.3数学建模结果的解释与应用5.模拟与优化算法5.1随机模拟与蒙特卡洛方法5.2优化算法的基本概念与分类5.3优化算法在数学建模中的应用结语数学三考研大纲是考生备战考研数学的重要参考资料，内容涵盖了数学分析、代数与几何、概率与统计、数学建模与应用等多个领域，全面系统地呈现了数学学科的基本知识与方法。
随机变量
• 例1：“抛硬币”实验 • 样本空间S={正面，反面}={e}
令X=X(e)=
1 0 当e=正面 当e=反面
• 则X=X(e)为一离散型随机变量。 • 例2：“掷骰子”实验 • 样本空间S={e}={1,2,3,4,5,6} • 令X=X(e)=e， • 则X=X(e)=e为一离散型随机变量。
• 5、多维随机变量 • 二维随机变量： • 定义：设随机实验E的样本空间为S={e}，X=X(e)和 Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，则称(X,Y)为二维 随机变量。
x1 <x 2
• 二维随机变量的分布函数（联合分布函数） • 定义：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实 数，x,y的二元函数 • F(x,y)=P(X<=x,Y<=y) • 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数（联合分 布函数）。其中P(X<=x,Y<=y)表示随机变量 X<=x,Y<=y的概率。 • 二维随机变量的联合概率密度函数 • 定义：若存在分布函数F(x,y)连续，且存在 二阶混合偏导数。
第1章 随机变量（复习）
复习一下随机变量，为后面学随机过程打 基础
§1.1 随机变量及其分布
• 1、随机变量的概念 定义：设E为一个随机实验，其样本空间为S={e}， 若对每一个 e S 都有一个实数X(e)与之对应，而 且对于任何实数x，X(e)<=x有确定的概率，则称 X(e)为随机变量。
xi x
F(x)= p (t ) 连续型：
x
F ( x)是p(x)的一个原函数, 则：
dF ( x) p ( x) dx F ( x2 ) F ( x1 ) p( x)dx
随机信号第3讲
2.1.2随机过程的分布律
一个随机过程是定义在一个时间区间上,而这个 时间区间上的任意一个时刻,随机过程表现为一个随 机变量,那么我们是否可以用随机变量的分布律来表 征随机过程的分布律呢? 下面我们既要用随机变量的分布律描述随机过程 的分布律,又要用随机变量的数字特征来描述随机过 程的一些数字特征.
FX ( x1 , t1 ) f X ( x1 , t1 ) x1
为随机过程的概率密度函数.
一维分布律只表征随机过程在固定时刻t上的统 计特性.若需了解随机过程更详细的情况，还要研 究随机过程的二维非步履乃至多维分布律。
二维分布律:随机过程X(t)在任意时刻t1,t2, 是一个二 维随机变量{X(t1),X(t2)},定义t=t1时X(t1) ≤x1和 t=t2时 X(t2) ≤x2的概率为随机过程X(t)的二维概率分布函 数 FX ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) P{X (t1 ) x1 , X (t 2 ) x2 }
x x
1 2
f X ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
这实际上是随机过程在t1,t2时刻的两个状态的二阶 混合原点距.
描述随机过程的相关性的另一个矩函数是二阶混 合中心矩,称为协方差函数.
C X (t1 , t 2 ) E[{X (t1 ) m X (t1 )}{X (t 2 ) m X (t 2 )}]
n n n
(7)随机信号的分布律: 二项式分布,泊松分布(离散变量) 均匀分布(※连续变量) (8)高斯分布(※正态分布): 概率密度函数 概率分布函数 概率积分函数(三条性质) 归一化高斯变量:数学期望为0,方差为1.
第二章 随机过程和随机序列
随机变量的定义定义
条件随机变量
01
定义
条件随机变量是指在给定某些变量的条件下，另一个变量 的概率分布。
02 03
描述
条件随机变量通常用于描述两个或多个随机事件之间的条 件关系，例如在概率图模型中，条件随机变量被用来表示 节点之间的条件依赖关系。
应用
条件随机变量在许多实际问题中都有应用，例如在自然语 言处理中，给定上下文的情况下，下一个词的概率分布可 以用条件随机变量来表示；在推荐系统中，给定用户历史 行为的情况下，用户的兴趣偏好可以用条件随机变量来表 示。
02
相关系数的定义
相关系数是协方差与两个随机变量各自方差的比值，用于衡量两个随机
变量的线性相关程度。
03
协方差与相关系数的性质
协方差和相关系数具有对称性、非负性、规范性等性质，这些性质使得
协方差和相关系数成为描述两个随机变量之间线性关系的重要指标。
03
CATALOGUE
随机变量的应用
在统计学中的应用
方差的定义
方差是随机变量取值与期望值之差的平方的平均值，用于衡量随机变量取值的离散程度 。
方差的性质
方差具有非负性、规范性、可加性等性质，这些性质使得方差成为描述随机变量离散程 度的重要指标。
协方差与相关系数
01
协方差的定义
协方差是两个随机变量取值之间线性关系的度量，反映了两个随机变量
同时取值的波动情况。
概率分布
随机变量是概率论的基本概念之一，它可以表示某一随机现象的 结果，并具有特定的概率分布。
随机事件的概率
通过随机变量，我们可以计算随机事件的概率，了解事件发生的 可能性。
随机过程的描述
在随机过程中，随机变量用于描述随机现象的变化规律，帮助我 们理解随机现象的本质。
随机变量的函数变换
如果随机变量Y是二维随机变量(X1,X2) 的函数，即
Y g ( X 1, X 2 )
可求Y的数学期望和方差。
f X ( x)
1 2 X
e
( x m X )2 2 X 2
a、b为常数，求Y的概率密度。
如果X和Y之间不是单调关系，即 Y的取值y可能对应X的两个或更多的 值x1,x2,…, xn。
假定一个y值有两个x值与之对应，则有
fY ( y ) f X (h1 ( y )) h ( y ) f X (h2 ( y )) h2 ( y )
' 1
'
一般地，如果y=g(x)有n个反函数 h1(y), h2(y),…, hn(y)，则
fY ( y ) f X (h1 ( y )) h ( y ) f X (h2 ( y )) h2 ( y ) f X (hn ( y )) hn ( y )
'
' 1
'
例2：假定输入输出的关系为Y=bX2， b>0，若已知X的概率密度为f(x)，求Y 的f(y)。
Y [ X ]
如果X与Y之间的关系是单调的，并且 存在反函数，即 X 1[Y ] h(Y )
若反函数h(Y)的导数也存在，则可利 用X的概率密度求出Y的概率密度。
综合上述讨论，得到
fY ( y ) f X ( h( y )) h ( y )
'
例1：随机变量X和Y满足线性关系 Y=aX+b，X为高斯变量，即
1.5 随机变量的函数变换
这个函数关系的含义为：在随机试 验E中，设样本空间为S={ei}，对每一 个试验结果ei，对应于X的某个取值 X(ei)，相应地指定一个Y(ei)，且Y(ei) 与X(ei)有如下关系：
随机变量的函数变换
对数变换的性质与定理
1
对数变换可以用来将正态分布转换为标准正态分 布。
2
如果随机变量X的对数变换Y=logX服从正态分布， 那么Y的数学期望EY=0，方差DY=1。
3
如果X是连续型随机变量，那么对于任意实数a， 有P(aX≤x)=P(X≤x/a)。
幂函数变换的性质与定理
幂函数变换可以用来将均匀 分布转换为标准均匀分布。
对数变换
对数变换是指将随机变量X替换为 log(X)，其中log表示以e为底的对数。 对数变换可以用来将概率分布从偏态 分布转化为正态分布。
在生物学、医学和金融领域，对数变 换被广泛应用于处理数据，因为这些 领域的数据往往呈现偏态分布。
幂函变换
幂函数变换是指将随机变量X替换为X^a，其中a是常数且a≠0。幂函数变换可以用来改变随机变量的分 布形状，特别是当X的值域较大时。
在研究随机过程时，经常需要将时间变量或空间变量进行函数变 换，以分析随机过程的性质和行为。
随机变量的变换
通过对随机变量进行函数变换，可以研究其概率分布的性质，如 期望、方差、协方差等。
随机事件的变换
在概率论中，通过对随机事件进行函数变换，可以研究其概率的 增减和变化规律。
在金融数学中的应用
风险度量
如果随机变量X的幂函数变换 Y=X^n服从均匀分布[0,1]，那 么Y的数学期望EY=1/n，方差
DY=1/n^2。
如果X是连续型随机变量，那 么对于任意实数a和正整数n， 有 P(aX≤x)=P(X≤x^(1/n))/|a|^ n。
05
函数变换的应用
在统计学中的应用
分布变换
通过函数变换，可以将一种分布 的随机变量转换为另一种分布的 随机变量，从而简化统计分析过 程。
高级数学中的概率论与随机变量
离散型随机变量：其分布函数是一个阶梯函数，概率密度函数是离散的。 连续型随机变量：其分布函数是连续的，概率密度函数也是连续的。 正态分布：其分布函数和概率密度函数都是钟形的，且对称轴为均值所在直线。 指数分布：其分布函数和概率密度函数都是无限可导的，且在均值处达到最大值。
随机变量的数字特 征
越弱
矩的定义：矩是随机变量的概率分布的数学描述，包括原点矩和中心矩。 矩的性质：矩具有一些重要的性质，如线性性质、幂等性质和正定性等。 常用矩：常用的矩包括期望值、方差、偏度和峰度等。 矩的计算方法：可以通过概率密度函数或概率质量函数来计算矩。
随机变量的极限理 论
大数定律：描述了当试验次数趋于无穷时，随机事件的相对频率趋于该事件的概率。 中心极限定理：无论独立随机变量的分布是什么，它们的和在平均值附近趋近于正态分布。
数学期望的定义：随机变量所有可能取值的概率加权和 数学期望的性质：线性性质、非负性、可加性 数学期望与概率的关系：反映随机变量的平均水平 数学期望在概率论中的应用：估计概率分布、计算概率密度函数等
方差的定义：衡量随机变量偏 离其期望值的程度
方差的性质：非负性、有界性、 对称性
方差的计算公式：D(X)=E[(XE(X))^2]
强大数定律： 描述了当试验 次数趋于无穷 时，随机变量 的平均值趋近
于真实值。
弱收敛性：描 述了随机变量 的分布函数在 概率空间上的
收敛性质。
两者关系：强大 数定律是弱收敛 性的一个特例， 弱收敛性更广泛 地描述了随机变 量的收敛性质。
应用场景：在 统计学、概率 论、金融等领 域有广泛应用。
定义：随机变量序列的极限存在，即存在一个随机变量X，使得对于任意小的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，Xn与X 的距离不超过ε的概率不小于1-δ。
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如果X1, X 2互相独立 则有: f X ( x1, x2 ) f X1 ( x1 ) f X 2 ( x2 ) ,
fY ( y) f X1 ( y1 ) f X 2 ( y y1 )dy1 f X1 ( y) f X 2 ( y)
两个互相独立随机变量之和的概率密度等 于两个随机变量各自概率密度的卷积。
X ( ) f ( x)e jx dx
X () F ()
FT[ f ( x)] F ( ) f ( x)e jx dx
u
1 f ( x) 2
F ( )e
jx
1 d 2
F (u )e jux du X ( )e jx d
10
例1.1.8 任选两个标有阻值 K的电阻R1和R2串联, 两个 20 电阻的误差都在 5%之内, 并且在误差之内它们是 均匀分 布的.求R1和R2串联后误差不超过 2.5%的概率有多大?
(1) R1和R2 应在19 ~ 21K内均匀分布 (2) R1和R2 互相独立, 串联后的R R1 R2 (3) R应在38 42K之间, 求R取39 ~ 41K的概率
例1.2.1 随机变量X 1 , X 2为互相独立的高斯变量数学期望 , 为零, 方差为1. 求Y X 1 X 2的概率密度 .
1 f X ( x) e 2 ( xm)2 2 2
1 f X ( x) e 2
x2 2
fY ( y) f X1 ( y) f X 2 ( y)
' fY ( y ) f X (h1 ( y )) h1' ( y ) f X (h2 ( y )) h2 ( y )
2
例1.1.5 随 机 变 量 和Y满 足 线 性 关 系 aX b, X Y X为 高 斯 变 量a, b为 常 数 求Y的 概 率 密 度 , , .
f X ( x)
mY amX b
2 2 Y a 2 X
3
2、二维变换
已知二维随机变量 X 1 , X 2 )的联合概率密度 X ( x1 , x2 ),以及 ( f 二维随机变量 Y1 , Y2 )与( X 1 , X 2 )之间的函数关系为 ( : Y1 1 ( X 1 , X 2 ) X 1 h1 (Y1 , Y2 ) 它们的反函数为: Y2 2 ( X 1 , X 2 ) X 2 h2 (Y1 , Y2 ) 那么随机变量 Y1 , Y2 )的联合概率密度 Y ( y1 , y2 )由下式给出: ( f
1.1.3 随机变量的函数变换
1、一维变换
设随机变量X和Y满足 Y ( X ) ，如果X、Y之间的 关系是单调的，并且存在反函数 X 1 (Y ) h(Y )
f Y ( y)dy
P( x X x dx) P( y Y y dy)
f X ( x)dx fY ( y)dy
Y () X1 () X 2 () ()
2 X
X () e
t2 2 2
2
2
X () FT[ f X ( x)]
FT[e
] 2 e
2 2
2
18
例1.2.1 随机变量X 1 , X 2为互相独立的高斯变量数学期望 , 为零, 方差为1. 求Y X 1 X 2的概率密度 .
1 2 X
( xmX )2
2 2 X
e
Y b X h(Y ) a
fY ( y ) f X (h( y )) h( y )
1 e 2 a X
1 2 X
e
y b mX )2 a 2 2 X (
1 a
( y am X b ) 2
2 2 a 2 X
可用卷积的 图解法来求
11
例1.1.8 任选两个标有阻值 K的电阻R1和R2串联, 两个 20 电阻的误差都在 5%之内, 并且在误差之内它们是 均匀分 布的.求R1和R2串联后误差不超过 2.5%的概率有多大?
0.25(r 38) 38 r 40 f R (r ) 0.25(42 r ) 40 r 42 0 r为其它值
fY ( y1, y2 ) J f X ( x1, x2 ) J f X (h1 ( y1, y2 ), h2 ( y1, y2 ))
4
Y1 1 ( X 1 , X 2 ) X 1 h1 (Y1 , Y2 ) 它们的反函数为 : Y2 2 ( X 1 , X 2 ) X 2 h2 (Y1 , Y2 )
1 2
2
x2 y 2 2 2
e
e
f A (a, )
a 2
2
a2 2 2
6
例1.1.6 设X , Y是相互独立的高斯变量 , 数学期望为零 ,
2 2 X Y 2 , A 0, 0 2 . 求f A (a )和f ( ).
f A (a, )
Y ( ) ()
2 X
16
1 2
X (u )e
jux
1 du 2Байду номын сангаас
X ( ) f ( x)e jx dx
1 f ( x) 2
X ( )e jx d
X () F ()
X () F ()
特征函数与概率密度之间的关系与 傅里叶变换略有不同，指数项差一 负号。
2 X 2 Y 2
A 0, 0 2 . 求f A (a, ), f A (a)和f ( ).
f A (a,) J f XY ( x, y) J f XY (a cos, a sin )
f XY ( x, y) f X ( x) fY ( y)
x a J y a x cos y sin a sin a cos a
f X ( y1 , y y1 )dy1
9
例1.1.7 已知二维随机变量 X 1 , X 2 )的联合概率密 ( 度f X ( x1 , x2 ), 求X 1 , X 2之和Y X 1 X 2的概率密度 .
fY ( y) f X ( y1 , y y1 )dy1
fY2 ( y2 ) fY ( y1 , y2 )dy1
fY ( y1, y2 ) J f X ( x1, x2 ) J f X (h1 ( y1, y2 ), h2 ( y1, y2 ))
X 1 h1 (Y1 , Y2 ) Y1 X 2 h2 (Y1 , Y2 ) Y2 Y1
( ) pi e jxi 对于离散随机变量有:
i 1
jx 对于连续随机变量有: ( ) f ( x)e dx
随机变量X的第二特征函数定义为 特征函数的对数 ( ) ln ( )
13
特征函数的性质
性质 : () (0) 1 1
性质2 : 若Y aX b, a和b为常数, X ( )为 X的特征函数, 则Y的特征函数为:
f X ( x)dx
1
dx fY ( y ) f X ( x) dy
X 1 (Y ) h(Y )
f Y ( y ) f X ( x)
dx dy
fY ( y) f X (h( y)) h( y)
X 1 h1 (Y ) X 2 h2 (Y )
fY ( y)dy f X ( x1 )dx1 f X ( x2 )dx2
Y ( ) e jb X (a )
性质3 : 互相独立随机变量之和 的特征函数等于各随机 变量 特征函数之积 即 : 若Y X n , X n 之间相互独立 , ,
n 1 N
则 : Y ( ) E[e
jY
] X n ( )
n 1
14
N
随机变量X 1 , X 2 , X 3彼此独立, 且特征函数分别为 1 ( ), 2 ( ), 3 ( ), 求下列随机变量的特征 函数 : (1) X X 1 X 2 ; (3) X X 1 2 X 2 3 X 3 (2) X X 1 X 2 X 3 ; (4) X 2 X 1 X 2 4 X 3 10.
fY ( y1, y2 ) J f X ( x1, x2 ) J f X (h1 ( y1, y2 ), h2 ( y1, y2 ))
x1 y1 J x2 y1 x1 y2 x2 y2
J 雅可比行列式
5
例1.1.6 设X , Y是相互独立的高斯变量数学期望为零, , X A cos 方差相等 , A和为随机变量, 且 Y A sin
a 2
2
a2 2 2
e
A服从瑞利分布
2
f A (a) f A (a, )d
a 2
a
2
a2 2 2
0
e
d
a
a2 2 2
2
e
f ( ) 1 2
2
f A (a, )da
2
a2 2 2
0
2
2
X 1 h1 (Y1 , Y2 ) Y1 X 2 h2 (Y1 , Y2 ) Y2 Y1
J 1
fY ( y1 , y2 ) f X ( y1 , y2 y1 )