4-4正态随机变量的线性函数的分布
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随机变量函数的 分布
WENKU DESIGN
离散型随机变量函数的概率分布
01
定义
离散型随机变量函数的概率分布 是指随机变量取各个可能值的概 率。
02
03
计算方法
应用
根据随机变量的定义和性质，计 算每个可能值的概率，并列出概 率分布表。
在概率论和统计学中，离散型随 机变量函数的概率分布是描述随 机变量取值规律的重要工具。
离散型随机变量函数的期望和方差
1 2 3
期望
离散型随机变量函数的期望是指所有可能取值的 概率加权和，即E(X)=∑xp(x)。
方差
离散型随机变量函数的方差是每个可能取值的概 率加权平方和的平均值，即D(X)=∑x^2p(x)E(X)^2。
应用
期望和方差是描述离散型随机变量函数取值稳定 性和分散程度的指标，在统计学、决策理论和风 险管理中具有重要应用。
随机变量函数的定义
随机变量函数是指将一个随机试验的 结果映射到一个实数域上的函数。
随机变量函数通常用大写字母表示， 如X(ω)，其中ω表示随机试验的结果。
随机变量函数的性质
确定性
对于每一个试验结果ω，随机变量函数都 有一个确定的函数值X(ω)。
VS
随机性
函数值X(ω)是随机的，即对于相同的试验 结果ω，每次试验都可能得到不同的函数 值。
随机变量函数的分布
https://
REPORTING
• 随机变量函数的基本概念 • 离散型随机变量函数的分布 • 连续型随机变量函数的分布 • 随机变量函数的变换 • 随机变量函数的应用
目录
PART 01
随机变量函数的基本概念
REPORTING
WENKU DESIGN
连续性
概率论2-5 (1)
2
y
fY
( y)
1
y
e 2, y 0
2 y
0
其它
设X ~ N（0，1），其概率密度为：
x
1
x2 ,
e 2 x
2
则 Y X 2 概率密度函数为：
fY
y
1
2
1 y
y 2e 2 ,
0,
y0 y0
此时称Y服从自由度为1的 2分布,记作 Y ~ 2 1
结论：若 X ~ N 0,1 则 X 2 ~ 2 1
机变量。求Y的分布律.
例:已知
X -1 0
Pk
1 3
1 3
求：Y=X2的分布律
1
Y1 0
1 3
Pk
2 3
1 3
一般地
X
x1
x2 xk
Pk p1
p2 pk
Y=g(X) g(x1) g(x2 ) g(xk )
如果g( x i )与g( x j )相同，此时将两项合并，对应概率 相加．
例 设随机变量X的分布律为
1、一般方法
(1) 求Y的分布函数 FY(y)
根据分布函数的定义
FY ( y)
P{Y y} P{g(X ) y}
(2) 对FY(y) 求导，得到 fY(y)
f (x)dx
g ( x) y
fY ( y) (FY ( y)) '
设随机变量X的密度函数为
fX
(x)
x
8
,0
x
4
0, 其它
求随机变量Y=2X+8的概率密度。
2
pk 0.2 0.3 0.4 0.1
解 由题设可得如下表格
随机变量的函数的变量分布
01
02
均匀分布
在一定区间内均匀分布的随机变 量，如时间间隔、长度等。
03
04
二项分布
成功次数的问题中常用，如抛硬 币、抽奖等。
03
随机变量的函数的变量分布
随机变量函数的分布类型
1
离散型随机变量函数
离散型随机变量函数的取值是离散的， 其分布可以用概率分布列或概率质量函 数来表示。常见的离散型随机变量函数 包括二项式随机变量、泊松随机变量等 。
统计推断
通过分析随机变量的分布，可以 进行统计推断，例如参数估计和 假设检验等。
02
随机变量的分布
离散随机变量的分布
伯努利分布
适用于独立重复试验，如抛硬币、抽奖等。
二项分布
适用于成功次数的问题，如投掷n次硬币，成功k次的概率。
泊松分布
适用于单位时间内随机事件的次数，如放射性衰变次数。
连续随机变ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的分布
科学研究
随机变量的函数变量分布在科学研究中也具有广泛的应用价值，例如在物理学、生物学、社会科 学等领域中，可以通过研究随机现象来揭示自然规律和社会现象。
研究展望与未来发展方向
拓展应用领域
将随机变量的函数变量分布应用到更多的领域中，例如在人工智能、大数据分析、物联网等领域中，可以利用这些知 识进行数据分析和预测。
随机变量的函数的方差
方差的性质
如果$X$是一个随机变量，那么对于 任意的常数$a$，有
Var(aX)=a^2Var(X)。
方差的交换律
对于任何两个随机变量$X$和$Y$， 有Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)。
方差的非负性
对于任何随机变量$X$，有 Var(X)>=0。
概率论与数理统计之正态分布
转化为标准正态分布
P(8100 Yn 10000)
标准化
P 2.5
Yn np np(1 p)
50
(50) (2.5) 1 0.9938 0.0062
37
例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8 各用户用电多少是相互独立的，求：
(1)同一时刻有8100户以上用电的概率； (2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以
1
z2
e 10 , z R
10
§4.4 二维正态分布
定义： 二维随机变量 (X ,Y )服从二维正态分布，记作
(
X
,Y
)
~
N(x
,
y
,
2 x
,
2 y
,
r)
其中 x, y ,x 0, y 0, r( r 1) 是参数.
26
§4.4 二维正态分布
定理1：设二维连续随机变量
(X
,Y
)
~
N(x
,
Q /100 8000 1.96
Q 807840
38
40
39
15-16，五. 设每个零件上的瑕疵点个数服从泊松分布P(1)，现 随机抽取100个零件，根据中心极限定理，求100个 零件上总瑕疵点个数不多于120个的概率.
正态分布的前世今生
一、邂逅，正态曲线的首次发现 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，4.5节
二、寻找随机误差分布的规律（正态分布的确立） 三、正态分布的各种推导 四、正态分布开疆扩土 五、正态魅影
正态分布性质，4.3节
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
定义：设随机变量 X 的概率密度为
正态分布及随机变量函数的分布
概率预测
在概率论中，大数定律可以帮助我们预测某一事件发生的概率，例如在赌博游戏中，大数定律可以帮助我们预测 长期赌博的胜率。
THANKS
感谢您的观看
证明过程
需要用到概率论和数理统计中的一些高级概念，如大数定律 、特征函数等。
中心极限定理的应用
01
在统计学中，中心极限定理是 用来推导各种统计量的分布的 重要依据，如样本均值、样本 中位数、样本方差等。
02
在金融领域，中心极限定理用 于分析股票价格波动、收益率 分布等问题。
03
在生物学和医学研究中，中心 极限定理用于研究遗传学、流 行病学等领域的数据分析。
在科学研究领域，实验数 据的统计分析也常常用到 正态分布。
Part
02
随机变量
随机变量的定义
STEP 01
随机变量
STEP 02
离散随机变量
在随机试验中，每一个样 本点用一个实数来表示， 这个实数称为随机变量。
STEP 03
连续随机变量
如果随机试验的结果不能 一一列出，则称这种随机 变量为连续随机变量。
数学表述
设随机变量 X1,X2,...,Xn 是来自总体 X 的简单随机样本，当 n 充分大时，样本均值 X_bar 的分布近似服 从均值为 μX ，标准差为 σX / sqrt(n) 的正态分布。
中心极限定理的证明
证明方法
数学证明通常采用级数收敛的方法，通过将样本均值表示为 无穷级数，并证明这个级数在概率上收敛于正态分布。
正态分布的性质
集中性
正态分布曲线是关于均值 μ对称的，大多数数据值 集中在均值μ附近。
均匀性
随着数据值远离均值μ， 数据值出现的概率逐渐减 小，且速度逐渐减慢。
在概率论中，大数定律可以帮助我们预测某一事件发生的概率，例如在赌博游戏中，大数定律可以帮助我们预测 长期赌博的胜率。
THANKS
感谢您的观看
证明过程
需要用到概率论和数理统计中的一些高级概念，如大数定律 、特征函数等。
中心极限定理的应用
01
在统计学中，中心极限定理是 用来推导各种统计量的分布的 重要依据，如样本均值、样本 中位数、样本方差等。
02
在金融领域，中心极限定理用 于分析股票价格波动、收益率 分布等问题。
03
在生物学和医学研究中，中心 极限定理用于研究遗传学、流 行病学等领域的数据分析。
在科学研究领域，实验数 据的统计分析也常常用到 正态分布。
Part
02
随机变量
随机变量的定义
STEP 01
随机变量
STEP 02
离散随机变量
在随机试验中，每一个样 本点用一个实数来表示， 这个实数称为随机变量。
STEP 03
连续随机变量
如果随机试验的结果不能 一一列出，则称这种随机 变量为连续随机变量。
数学表述
设随机变量 X1,X2,...,Xn 是来自总体 X 的简单随机样本，当 n 充分大时，样本均值 X_bar 的分布近似服 从均值为 μX ，标准差为 σX / sqrt(n) 的正态分布。
中心极限定理的证明
证明方法
数学证明通常采用级数收敛的方法，通过将样本均值表示为 无穷级数，并证明这个级数在概率上收敛于正态分布。
正态分布的性质
集中性
正态分布曲线是关于均值 μ对称的，大多数数据值 集中在均值μ附近。
均匀性
随着数据值远离均值μ， 数据值出现的概率逐渐减 小，且速度逐渐减慢。
《概率论与数理统计》第四节随机变量函数的分布
y，
(ln
y)
1， y
故Y的概率密度为：
fY
(
y)
1 2y
,
1
y e2,
0, 其它.
求连续型随机变量函数分布律的方法：
(2) 设y g( x)在区间I（k k 1,2,, s)上严格单调，且反函数分别
为x
hk (
y)，则Y
g( X )的概率密度为： s
fY ( y) f X [hk ( y)] h'k ( y) .
P(Z 1) P( X 1) P( X 1) 0.2 0.1 0.3，
P(Z 4) P( X 2) 0.3，P(Z 9) P( X 3) 0.3，
因此Z的分布律为：
Z P
0 0.1
1 0.3
4 0.3
9 0.3
.
从例1看到，根据X的分布确定Y g( X )分布，只需用“事件相 同，概率相等”的思想处理. 一般地有，
h'(
y)
,
y ，
其它.
其中 min{ g(), g()}， max{g(), g()}.
一、分布函数
1. 分布函数：设X是一个随机变量，对任意实数 x，事件{X x}的
概率P( X x)称为随机变量X的分布函数，记作F( x)，即
F( x) P( X x).
2. 分布函数的性质：
P( X k) k e，k 0，1，2,， 0， 则称X服从泊松分布，记k为! ：X～ ( ).
4. 几何分布: 若随机变量X所有可能取值为1, 2, , 且分布律为:
P( X k) pqk1, k 1, 2,, 0 p 1, q 1 p,
则称X服从几何分布，记为：X～G( p).
概率论第四章部分习题解答
2 1 e 2σ , 若 y > 0, FY ( y ) = P (Y = | X |≤ y ) 解 f X ( x) = 2π σ x2 y y 1 2 e 2σ dx = P ( y ≤ X ≤ y ) = ∫ f X ( x) dx = ∫ y 2π σ y
2
2
x2
=
2 2π σ
∫
E (Y ) =
).
m 1 np Φ npq
6
m 2 np p (m 1 ≤ Y n ≤ m 2 ) ≈ Φ npq
五,练习题
1. 设 ~ N(0,1),求下列概率: X 求下列概率:
(1) P( X ≤ 1.5);
(2) P( X > 2.5);
(3) P(| X |< 1.68); (4) P(0.36 ≤ X ≤ 0.64)
E (Y 2 ) =
2
2
∫ 2π
+∞
0
x e dx = (2n - 1)!!
2
x 2n - 2
2
( 2 n 1 )! ! , n 为奇数 ∴ DY = E (Y ) - [ E (Y )] = ( 2 n 1 )! ! [( n 1 )! ! ] 2 , n 为偶数
∴ E (XY ) = E ( X
(4) P ( 0.36 ≤ X ≤ 0.64) = Φ(0.64) Φ( 0.36)
= Φ(0.64) + Φ(0.36) 1 = 0.7389 + 0.6406 1= 0.3795
7
2. 设 ~ N(1,22 ),求下列概率: X 求下列概率:
(1) P( X < 2.2); (3) P(| X |< 3.5);
2
2
x2
=
2 2π σ
∫
E (Y ) =
).
m 1 np Φ npq
6
m 2 np p (m 1 ≤ Y n ≤ m 2 ) ≈ Φ npq
五,练习题
1. 设 ~ N(0,1),求下列概率: X 求下列概率:
(1) P( X ≤ 1.5);
(2) P( X > 2.5);
(3) P(| X |< 1.68); (4) P(0.36 ≤ X ≤ 0.64)
E (Y 2 ) =
2
2
∫ 2π
+∞
0
x e dx = (2n - 1)!!
2
x 2n - 2
2
( 2 n 1 )! ! , n 为奇数 ∴ DY = E (Y ) - [ E (Y )] = ( 2 n 1 )! ! [( n 1 )! ! ] 2 , n 为偶数
∴ E (XY ) = E ( X
(4) P ( 0.36 ≤ X ≤ 0.64) = Φ(0.64) Φ( 0.36)
= Φ(0.64) + Φ(0.36) 1 = 0.7389 + 0.6406 1= 0.3795
7
2. 设 ~ N(1,22 ),求下列概率: X 求下列概率:
(1) P( X < 2.2); (3) P(| X |< 3.5);
4.4正态随机变量线性函数的分布
[推论] 设随机变量 X 服从正态分布, 则标准化的
随机变量
X * X ~ N (0 ,1).
在定理1中，设 a , b 1 即得结论.
[定理2] 设随机变量X 与Y 独立，并且都服从正态分布：
X
~
N (x
,
2 x
)
,
Y
~
N ( y
,
2 y
)
,
则它们的和也服从正态分布，且有
Z
X
Y
~
i1
i1
i1
思考题
1.设随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从均值为1 ,标准差 为 2的正态分布，而 Y 服从标准正态分布，试求随机 变量 Z 2X Y 3 的概率密度. 解：已知 X 与Y 独立，且X ~ N(1 ,2) ,Y ~ N(0 ,1) ,
E(Z ) E(2X Y 3) 2E( X ) E(Y ) 3 5
i1
n
n
n
ci Xi ~ N(
cii ,
ci2
2 i
),
i1
i1
i1
其中 c1 ,c2 , ,cn 为常数.
例 设 X ,Y 是两个相互独立的服从同一正态分布
N (0 ,(
1 )2 ) 的随机变量，求随机变量 2
X Y
的数学
期望 E( X Y ).
解: 设Z X Y,由正态随机变量的线性性质知
Z X Y ~ N(0 ,1) ,
于是 Z的概率密度为
fZ (z)
1
z2
e 2 , z .
2π
所以，
E( Z ) z
1
z2
e 2 dz
2π
1
z2
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1 fZ ( z) e 3 2
( z 5 ) 2 18
, z .
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
2.设随机变量 X 服从正态分布 N ( , 2 ) , 且二次方程
y 4 y X 0 无实根的概率为 0.5 , 则 _____. 解： 方程 y 2 4 y X 0 无实根就是 16 4 X 0 , 即 X 4, 按题意,有 P( X 4) 0.5 , 即 P( X 4) 0.5. 已知 X ~ N ( , 2 ) , 所以 X 4 4 P( X 4) P( ) ( ), 从而， 4 ( ) 0 .5 , 4 0 , 由此得 4. 因为 (0) 0.5 , 所以应有
i 1
i 1
i 1
前面，我们已经看到： 若X与Y独立，则X与Y不相关， 但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立. 但对下述情形，独立与不相关等价 若(X,Y)服从二维正态分布，则
X与Y独立
X与Y不相关
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
小 结
1. 若 X ~ N ( , 2 )，则当b 0时，
fY ( y) [ FX ( y a )] 1 f X ( y a ) 1 e b b b 2 b
[ y ( a b )]2 2 b 2 2
,
所以Y ~ N (a b , b2 2 ). 当 b 0 时类似地可证.
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
2 推广： 设 X1 , X 2 , X n 相互独立， 且 X i ~ N ( i , i ),
i 1 , 2 , , n, 则
ci X i ~ N ( ci i , c i i 1 i 1 i 1
2 i
n
n
n
2
).
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
思考题
D）
E( X 2 ) [ E( X )]2 E(Y 2 ) [ E(Y )]2
Y a bX ~ N (a b , b2 2 ). X ~ N (0 ,1). 特别：
2 ), 2. 随机变量 X 与 Y 相互独立， 且 X ~ N ( x , x 2 2 2 Y ~ N ( y , y ), 则 X Y ~ N ( x y , x y ).
定理1表明： 正态随机变量的线性函数仍然是正态随机变量.
[推论]
设随机变量 X 服从正态分布, 则标准化的
随机变量
X
*
X
~ N (0 ,1).
1 在定理1中，设 a , b 即得结论.
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
[定理2] 设随机变量X 与Y 独立， 并且都服从正态分布：
设二维正态随机变量（X，Y）服从正态分布， 则随机变量 X Y , X Y 不相关的充要 条件是： A） E( X ) E(Y )
2 2 E ( X ) E ( Y ) B）
2 2 2 2 E ( X ) [ E ( X )] E ( Y ) [ E ( Y )] C）
2 X ~ N ( , 服从正态分布： i i i ), i 1 ,2 , n , 则它们
且有 的线性组合 ci X i 也服从正态分布，
i 1
n
2 2 c X ~ N ( c , c i i i i i i ),
n
n
n
其中 c1 , c2 , , cn 为常数.
2
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
补充例题
设 X , Y 是两个相互独立的服从同一正态分布 1 2 N (0 , ( ) ) 的随机变量， 则随机变量 X Y 的数学 2 期望 E ( X Y ) _____. 解: 设 Z X Y , 由正态随机变量的线性性质知
Z X Y ~ N (0 ,1) ,
于是 Z 的概率密度为
1 fZ ( z) e 2
z2 2
, z .
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
所以，
E( Z )
1 z e 2
z2 2
dz
1 2
z e
z2 2
dz
2 2
0
ze
z2 2
dz
2
.
2 2 X ~ N ( x , x ) , Y ~ N ( y , y ),
则它们的和也服从正态分布， 且有
Z X Y ~ N ( x y , 量的和仍是正态随机变量.
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
由定理1及定理2 还可得下面更一般的结论. [定理3] 设随机变量 X1 , X 2 , , X n 相互独立， 且都
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
重点：
1) 正态随机变量的线性函数的分布 2） 正态变量的独立性和无关性
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
2 [定理1] 设随机变量 X 服从正态分布 N ( , ) , 则 X 的线性函数 Y a bX (b 0) 也服从正态分布： 2 2 Y a bX ~ N (a b , b ). 证：由分布函数定义，Y 的分布函数为 FY ( y ) P(Y y ) P (a bX y ). 若 b 0 则有 ya ya ), ) FX ( FY ( y ) P( X b b 求导得
1.设随机变量 X 与 Y 独立， 且 X 服从均值为 1 , 标准差 为 2 的正态分布， 而 Y 服从标准正态分布， 试求随机 变量 Z 2 X Y 3 的概率密度. 解： 已知 X 与Y 独立， 且 X ~ N (1 ,2) , Y ~ N (0 ,1) , 所以 W 2 X Y ~ N (2 ,9). 又因为随机变量Z W 3, 于是 Z 2 X Y 3 W 3 ~ N (5 ,9). 由此可知， Z 的概率密度为