随机变量函数的分布密度
随机变量函数的 分布
WENKU DESIGN
离散型随机变量函数的概率分布
01
定义
离散型随机变量函数的概率分布 是指随机变量取各个可能值的概 率。
02
03
计算方法
应用
根据随机变量的定义和性质，计 算每个可能值的概率，并列出概 率分布表。
在概率论和统计学中，离散型随 机变量函数的概率分布是描述随 机变量取值规律的重要工具。
离散型随机变量函数的期望和方差
1 2 3
期望
离散型随机变量函数的期望是指所有可能取值的 概率加权和，即E(X)=∑xp(x)。
方差
离散型随机变量函数的方差是每个可能取值的概 率加权平方和的平均值，即D(X)=∑x^2p(x)E(X)^2。
应用
期望和方差是描述离散型随机变量函数取值稳定 性和分散程度的指标，在统计学、决策理论和风 险管理中具有重要应用。
随机变量函数的定义
随机变量函数是指将一个随机试验的 结果映射到一个实数域上的函数。
随机变量函数通常用大写字母表示， 如X(ω)，其中ω表示随机试验的结果。
随机变量函数的性质
确定性
对于每一个试验结果ω，随机变量函数都 有一个确定的函数值X(ω)。
VS
随机性
函数值X(ω)是随机的，即对于相同的试验 结果ω，每次试验都可能得到不同的函数 值。
随机变量函数的分布
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REPORTING
• 随机变量函数的基本概念 • 离散型随机变量函数的分布 • 连续型随机变量函数的分布 • 随机变量函数的变换 • 随机变量函数的应用
目录
PART 01
随机变量函数的基本概念
REPORTING
WENKU DESIGN
连续性
概率密度与随机变量函数的概率分布解读
P(a X b) 1,即P(a X b) b f ( x)dx 1，且此时认为: a
x a, x b时，f ( x) 0
a
b
b
F () f ( x)dx 0dx f ( x)dx 0dx f ( x)dx 1
f
x
sin
x,
0
x
2
;
0, 其它.
即可.
注 意 ：x
0,
x
2
时f
(x)
0
(2)
sin xdx 2 1,
不是.
0
(3)
当
x
,
3 2
时,
sin x 0,
与 f x 0矛盾, 不是.
第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布
例6-1-2 (拉普拉斯分布) 连续随机变量X 的概率密度为
f x Ae x , x .
0
0
注意：x 0时f ( x) 0
指数分布 e 的分布函数为
F(x)
x
f (t)dt
0
0dt
x etdt et x ex 1
0
0
第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布
即：
F x
1 e
x,
x 0;
0,
x 0.
f x
F x
1
O
,
x
,
2
x 0; x 0.
讲授下例前，介绍常用的伽玛函数的定义：
x1e x dx 0
0
伽玛函数的性质： 1 ;
(n) (n 1)!
1 .
2
例如：( 3) ( 1 1) 1 (1) 1 0! 1
分布函数与概率密度函数：随机变量的统计特征
分布函数与概率密度函数：随机变量的统计特征介绍在概率论与统计学中，分布函数和概率密度函数是描述随机变量统计特征的重要工具。
它们用于描述随机变量取值的概率分布情况，帮助我们理解和分析随机事件发生的规律性。
本文将详细介绍分布函数和概率密度函数的定义、性质以及它们之间的关系。
1. 分布函数定义与性质随机变量的分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）描述了随机变量取值小于或等于某个特定值的概率。
在数学上，分布函数是一个单调递增的非减函数，其定义如下：F(x) = P(X ≤ x)其中，F(x)表示随机变量X的分布函数，x为实数。
性质：（1）非负性：对于任意实数x，0 ≤ F(x) ≤ 1；（2）单调性：对于任意实数x1 ≤ x2，有F(x1) ≤ F(x2)；（3）右连续性：对于任意实数x，有F(x+) = F(x)；（4）极限性：当x趋于负无穷时，F(x)趋于0；当x趋于正无穷时，F(x)趋于1。
2. 概率密度函数定义与性质对于连续型随机变量，其分布函数不再是递增的阶梯曲线，而是通过概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）来描述。
概率密度函数表示随机变量在某个取值点附近取值的概率密度，定义如下：f(x) = dF(x) / dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，x为实数。
性质：（1）非负性：对于任意实数x，f(x) ≥ 0；（2）归一性：∫f(x)dx = 1，即概率密度函数在整个取值范围内的积分为1。
3. 分布函数与概率密度函数的关系对于连续型随机变量X, 它的分布函数与概率密度函数之间存在以下关系：F(x) = ∫f(t)dt, -∞ < x < ∞即分布函数是概率密度函数的积分。
4. 常见的分布函数与概率密度函数（1）正态分布正态分布是最常见的概率分布之一，其分布函数和概率密度函数分别为：F(x) = Φ((x-μ)/σ)f(x) = (1/σ√(2π)) * e^(-((x-μ)/σ)^2/2)其中，μ和σ分别为正态分布的均值和标准差，Φ表示标准正态分布的分布函数。
随机变量函数的分布
此时，称Y服从自由度为1的χ2-分布。
变限函数求导公式:
b(x)
f
(t)dt
f b(x)b(x)
f a(x) a(x).
a(x)
例3：设r.v.X~U(0,1),求Y=eX的概率密度.
1, 0 x 1, 解：因r.v.X~U(0,1),故X的概率密度为：fX (x) 0, 其它.
如图, fX (x)的非零段将整个 x轴分为三部分:
(-∞,0),[0,1),[1,+ ∞); 从而,整个y轴相应地也被分为三 部分: (-∞,1),[1,e),[e,+ ∞).
因此,应就y分为上述三个区 间来求Y的分布函数.
(1) 当y<1时,再分为两种情形:
a) 当y≤0时,
FY (y) PY y P eX y
P() 0;
b) 当0< y<1时,
fY
(
y)
1 y
,
1 y e,
0, 其它.
注意:本题是重要题型,必须熟练掌握。
方法2 公式法(y=g(x)为单调可导函数)
定理：设连续型随机变量X的概率密度为
f X (x)( x )
函数g(x)处处可导且有恒有 g(x) 0(g(x) 0)
则Y=g(X)是连续型随机变量，且其概率密度为
◆如果Y各可能取值中存在多个值相等,则Y取该值的概 率为这些相等值对应的X取值的概率之和.
例如,当 yk g(xi ) g(x j ) g(xm ),
则由基本事件互斥性与概率可加性得：
PY yk P X xi P X xj P X xm
例1:设r.v.X的分布列为:
X
-1
012
P 0.2 0.3 0.1 0.4
§3.5 随机变量函数的分布
( ii ) 若Y = X 2 , 则有 1 fY ( y ) = [ f X ( y ) + f X ( − y )], y ∈ R(Y ). 2 y 这里a , b为常数 且a ≠ 0, R(Y )为Y的值域 .
证明 由于 R(Y ) = [0,+∞ ), 取 y ≥ 0, 有
FY ( y ) = P ( X ≤ y ) = P ( − y ≤ X ≤
2 2 ∑ ci X i ~ N ( ∑ ci µi , ∑ ci σ i ). n i =1 n i =1 n i =1
其中, 为常数. 其中 c1 , c2 ,⋯, cn为常数
3.5.2 二维随机变量函数的分布 一、一般方法 是二维连续型随机变量,其联合密 设 ( X ,Y )是二维连续型随机变量 其联合密 的函数, 度为 f ( x , y ).又设Z = g( X ,Y ) 是 ( X ,Y ) 的函数 又设 类似于一维,求 的密度的一般方法为 的密度的一般方法为: 类似于一维 求Z的密度的一般方法为 (i)确定 的值域 R(Z )； 确定Z的值域 确定 (ii)对任意 z ∈ R(Z )， 对任意 求出Z的分布函数 的分布函数； 求出 的分布函数；
f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( x , z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( z − y , y )dy .
+∞ +∞
当 X与Y 独立时 则 与 独立时,则
f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( x ) fY ( z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( z − y ) fY ( y )dy .
−1 −1
用上述定理求例3.5.1中Y的密度函数 例3.5.3 用上述定理求例 中 的密度函数
《概率论与数理统计》课件-第2章随机变量及其分布 (1)
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数， 原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义： 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)
随机变量的概率密度函数计算方法
随机变量的概率密度函数计算方法随机变量是概率论与数理统计学中的一项非常重要的概念，其代表着任何实验的结果。
在实际应用中，我们往往需要计算随机变量的概率密度函数以便进一步进行统计推断。
所谓概率密度函数，就是指概率分布的密度函数，它可以描述随机变量取各个值的概率密度大小。
本文主要介绍概率密度函数的计算方法及应用。
一、基础知识在理解概率密度函数的计算方法之前，我们需要掌握一些基础知识。
首先，随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量两种类型。
离散型随机变量是指只能取有限个或可列个数值的随机变量，而连续型随机变量是指可以取到某个区间内任何一个点的随机变量。
其次，我们需要了解概率密度函数的定义。
概率密度函数是指随机变量概率分布的密度函数，它可以表示某个区域内随机变量出现的可能性大小。
在连续型随机变量中，概率密度函数可以表示为$f(x)$，即$$P(a \leq X \leq b)=\int_a^b f(x) dx$$其中，$a$和$b$为随机变量的取值范围。
最后，我们需要掌握一些基础的计算公式。
例如，对于连续型随机变量，我们可以使用复合函数求导法则和导数的求解公式来求解概率密度函数。
二、概率密度函数的计算方法在计算概率密度函数时，我们需要考虑到不同的随机变量类型。
对于离散型随机变量，其概率密度函数可以使用离散型随机变量的概率分布函数计算。
而对于连续型随机变量，我们需要使用一些特殊的计算方法。
1. 微积分法微积分法是一种常见的计算概率密度函数的方法。
首先，我们可以通过求解概率分布函数来得到概率密度函数。
对于连续型随机变量，概率分布函数可以表示为$$F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) dt$$其中，$f(x)$为概率密度函数。
根据导数的定义，我们可以得到概率密度函数的计算公式$$f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$$这个公式表明，我们可以通过概率分布函数求导来得到概率密度函数。
例如，如果概率分布函数为$F(x)=\frac{1}{4}x^2+2x-3$，那么概率密度函数可以表示为$$f(x)=\frac{d}{dx}(\frac{1}{4}x^2+2x-3)=\frac{1}{2}x+2$$2. 变量替换法变量替换法是指使用变量替换来计算概率密度函数。
分布函数密度函数
分布函数密度函数
分布函数和密度函数是概率论中常用的两个概念，它们在描述随机变量的分布特征方面起着重要的作用。
分布函数是指随机变量X小于等于某个实数x的概率，即
F(x)=P(X≤x)，其中F(x)表示分布函数。
分布函数具有以下性质：
1. F(x)是单调不减的函数；
2. F(x)的取值范围在[0,1]之间；
3. F(x)是右连续的函数。
密度函数是指随机变量X在某个实数x处的概率密度，即
f(x)=dF(x)/dx，其中f(x)表示密度函数。
密度函数具有以下性质：
1. f(x)是非负的函数；
2. f(x)的积分在整个实数轴上等于1，即∫f(x)dx=1；
3. 在任意一点x处，f(x)表示的是X在该点的概率密度。
分布函数和密度函数是相互关联的，它们之间的关系可以用以下公式表示：
F(x)=∫f(t)dt，其中t的积分范围是从负无穷到x。
在实际应用中，分布函数和密度函数常常用于计算随机变量的期望、方差等统计量，以及进行概率分布的比较和拟合等方面。
总之，分布函数和密度函数是概率论中重要的概念，它们在描述随机变量的分布特征方面具有重要的作用。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的分布函数和密度函数，并结合统计方法进行分析和计算。
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y fX
f aX
f aX b
x
第一步，计算aX的密度函数。aX的值域比X的值域大a倍。所 以，aX的密度函数是将X的密度函数在x轴方向拉长a倍。但为 了使aX的密度函数与x轴围成的面积为1，必须将X的密度函数 下拉到原来的1/a. 随机变量aX+b与aX一样,只是将图形平移了b个单位。 最后，得到随机变量Y=aX+b的密度函数为：
1 180
30 y 2
6 y2
例设随机变量X的密度函数为
f X (x)
求 Y eX 的密度函数. （教材P65）
1
x2
e2
2
解 y ex 是单调增加的函数，其导函数恒不为零，
值域为y>0， 反函数为 x ln y , dx 1
dy y
由定理可得，当 y 0 时，概率密度为
fY ( y)
f X (ln
y) 1 y
1
ln 2 y
e2
1
2
y
1
ln 2 y
e2
2 y
当 y 0 时，Y的概率密度 fY ( y) 0
从而 Y e X 的概率密度为
fY ( y)
1
ln2 y
e 2,
2 y
0,
y0 y0
P(180 y
X)
180 1 FX ( y )
1,若y 180/ 30
1
(180 y
30) /
30,若 180 60
y
180 30
0,若y 180/ 60
0,若y 3
即：FY ( y)
2
6 y
, 若3
y
6
1,若y 6
1 2
1 2 0
0
y1 2 2
1
4
其它
0
1 y5 其它
例4.5 (指数随机变量的线性函数)随机变量X服从参数为λ的指数
分布，密度函数为：
e x , x 0
fX (x)
0,
, 0
x0
定义Y=aX+b,则
fY
( y)
|
1 a
|
fX
求导得：fY ( y)
dFY dy
( y)
d( y2 ) dy
2 y,0
y
1
当 y 0 时, FY ( y) 0; 当 y 1 时, FY ( y) 1
故：fY
(
y)
2 y,0 0, 其他
y
1
例4.2 某人驾车从甲地到乙地，两地相距180公里，速度值服从 [30,60](单位:公里/小时)区间内的均匀分布。求这段旅程所费时 间的密度函数。
解 当y>0时，FY ( y) P(Y y) P( X 2 y)
P( y X y ) FX ( y ) FX ( y )
应用复合函数求导法：fY ( y)
1 2y
fX (
1
y) 2
y f X (
y)
4.2 线性函数
用X的密度函数表示线性函数aX+b的密度函数：
(
y a
b)
yb
ea
| a |
0,其 他
,
y a
b
0
注：b=0,a>0,Y仍是指数分布，但一般情况Y不是指数分布。
4.3 单调函数
设 X ~ f X (x), y=g(x)是x的单调可导函数,其反函数为x=h(y)， 则在 { y | fY ( y) 0} 内， Y=g(X)的密度函数为：
fY
( y)
|
1 a
|
fX
(
y
a
b)
随机变量X的线性函数的分布密度函数
假设X是连续变量，密度函数为 f X , a,b R且a 0
Y aX b
则
1 yb fY ( y) | a | fX ( a )
定义：
证明：(只证a>0的情形)
FY ( y) P(Y y) P(aX b y) P(X y b) a
(2)对 FY
求导，得到Y的密度函数：fY ( y)
dFY dy
( y)
例4.1设X服从[0,1]上的均匀分布，令Y X , 求Y的密度函数.
分析：1均匀分布的密度函数与分布函数
2、X的密度函数： 3、X的分布函数：
解：FY ( y) P( g( X ) y) P( X y) P( X y 2 ) y 2
对上式求导，得Y的密度函数为：
fY
( y)
0,若y 3
6 y2
, 若3
y
6
本题计算步骤：
0,若y 6
X的密度函数— X的分布函数— Y的分布函数— Y的密度函数
例4.3 已知X 密度函数 fX ( x), x 求随机变量 Y X 2
的密度函数(教材P64)
FX
(
y
a
b)
用复合函数求导法得：fY ( y)
dFY dy
( y)
1 a
yb fX( a )
例4.4 设X 服从[0,2]上的均匀分布,密度函数
fX
(
x)
1 2
0 x2
求Y=2X+1的密度函数.(P63）
0 其 它
解:
Y的密度函数为
1 yb fY ( y) | a | fX ( a )
fY ( y) f X [h( y)]. | h' ( y) |
证：
例4.2 在区间[30,60]内，h(y)=180/y,所以
fY (h( y))
1, 30
| h( y) | 180 , y2
所以当 y [3,6] 时，运用公式得到：
fY (h( y))
f X (h( y)) | h( y) |
第四节 随机变量函数的分 布密度
已知连续型随机变量X的密度函数 f X ( x) 随机变量 Y = g( X ) ，求随机变量 Y 的密度函数。
4.1 分布函数法
连续随机变量X的函数Y=g(X)的分布密度函数
(1)使用如下公式计算Y的分布函数 FY :
FY ( y) P( g( X ) y) { x|g( x) y} f X ( x)dx
解：设X是速度,Y=g(X)是这段旅程所花费的时间，则
Y
180 X
X的密度函数
fX
(x)
1
30
, 若30
x
60
0, 其 他
0,若x 30
分布函数为：FX
(x)Biblioteka x 30 30
, 若30
x
60
1,若x 60
Y的分布函数：FY
(
y)
P(180 X
y)