一.第三讲随机变量的函数与特征函数
随机变量的特征函数的求法
随机变量的特征函数的求法
随机变量的特征函数是描述随机变量的一个重要工具，它可以用来求解随机变量的各种性质，如期望、方差等。
特征函数的求法有多种方法，下面将介绍其中的两种常用方法。
一、定义法
特征函数的定义为：
$$\varphi_X(t)=E(e^{itX})$$
其中，$X$为随机变量，$t$为实数。
根据定义，可以得到特征函数的求解公式：
$$\varphi_X(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f_X(x)dx$$
其中，$f_X(x)$为$X$的概率密度函数。
二、矩母函数法
矩母函数是随机变量的一个重要工具，它可以用来求解随机变量的各种矩，如一阶矩、二阶矩等。
矩母函数的定义为：
$$M_X(t)=E(e^{tX})$$
根据矩母函数的定义，可以得到特征函数的求解公式：
$$\varphi_X(t)=M_X(it)$$
因此，只需要求出随机变量的矩母函数，就可以得到其特征函数。
总结：
特征函数是描述随机变量的一个重要工具，它可以用来求解随机变量的各种性质。
特征函数的求法有多种方法，其中定义法和矩母函数法是常用的两种方法。
在实际应用中，可以根据具体问题选择合适的方法来求解特征函数。
随机变量的特征函数
1
4 2
X
(1
,
2
)e
j1x1
j
2
x2
d1d
2
第二特征函数定义为
X (1,2 ) ln X (1,2 )
例1：设随机变量X的概率分布为
P{X 1} p P{X 0} q pq 1
求X的特征函数。
例2：设随机变量X服从标准正态分 布N(0,1)，即
e
jx
f
X
(
x)dx
随机变量X的第二特征函数定义为特 征函数的对数，即
X ( ) ln X ( )
对二维随机变量，可用类似的方法 定义特征函数
X (1,2)
fX
( x1,
x2 )e j1x1 j2x2dx1dx2
f X (x1, x2 )
1.6 随机变量的特征函数
1.6.1 特征函数的定义
随机变量X的特征函数就是由X组成
的一个新的随机变量ejwX的数学期望，
即
X ( ) E[e jX ]
离散随机变量和连续随机变量的特 征函数分别表示为
X ( ) E[e jX ] e jxi P{X xi}
i
X () E[e jX ]
即若
n 1
N
Y ( ) Xn ( )
n1
则
1.6.3 特征函数与矩函数的关系
矩函数与特征函数之间存在如下关系：
E[
X
]jdX ( d)
| 0
E[ X
n]
(
j)n
d nX ( ) d n
概率论特征函数
概率论特征函数
概率论中的特征函数是一个非常重要的概念，它可以通过数学函数的形式描述随机变量的特征。
特征函数的定义如下：对于任意一个随机变量X，它的特征函数φ(t)定义为：
φ(t) = E(e^(i*t*X))
其中，i是虚数单位，E表示数学期望。
特征函数的主要作用是描述一个随机变量的矩，特别是它的所有阶矩。
通过特征函数，我们可以轻松地求出一个随机变量的均值、方差、偏度和峰度等统计量。
特征函数还可以用于分析随机变量之间的独立性和相关性等问题，因此在概率论和统计学中得到了广泛的应用。
需要注意的是，特征函数是一个复数函数，通常用实部和虚部分别表示它的实部函数和虚部函数。
特征函数有许多重要的性质，例如它是连续的、有界的和解析的等等。
同时，特征函数还有许多重要的应用，例如它可以用于求解随机过程中的协方差函数和自相关函数等问题。
总之，特征函数在概率论和统计学中扮演着非常重要的角色，它是研究随机变量特征的有力工具。
概率论_特征函数
概率论_特征函数特征函数（characteristic function）是概率论中一个非常重要的工具，它能够完全描述一个随机变量的分布，并且可以用来推导和证明一系列的性质和定理。
特征函数具有许多重要的性质，如唯一决定定理、独立性的性质、收敛性的性质等。
特征函数的定义如下：对于一个随机变量X，它的特征函数$\varphi(t)$定义为$E[e^{itX}]$，其中 i 是复数单位，t 是实数。
特征函数是关于 t 的复数函数，其实部和虚部分别是 $\cos(tx)$ 和$\sin(tx)$。
特征函数的一个重要性质是唯一决定性（uniqueness），即对于一个分布，它的特征函数是唯一确定的，并且确定了分布的所有性质。
这一性质使得特征函数成为一种描述概率分布的有效工具。
对于连续分布，特征函数可以通过概率密度函数和积分的关系得到，对于离散分布，特征函数可以通过概率质量函数和求和的关系得到。
另一个重要的性质是独立性的性质。
如果两个随机变量 X 和 Y 是独立的，那么它们的特征函数的乘积等于它们各自的特征函数的乘积。
即$\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$。
这个性质可以用来推导和证明随机变量的和的分布。
特别地，如果 X 和 Y 是独立同分布的，那么它们的特征函数的乘积等于它们特征函数的平方。
特征函数还有一个重要的性质是收敛性的性质。
对于一个随机变量序列X₁,X₂,...，如果它们的特征函数逐点收敛于一个函数，那么这个函数也是一个随机变量的特征函数，且收敛到的分布是弱收敛的。
这个性质可以用来证明中心极限定理等重要的结果。
特征函数在概率论和统计学中有广泛的应用。
它被用来推导和证明许多重要的定理，如中心极限定理、大数定律、极限理论等。
它还可以用来计算随机变量的矩、协方差、相关系数等统计量，并且可以用来推导各种分布族的性质。
特征函数的计算通常比较简单，只需计算指数函数的期望。
概率论_特征函数
f ( t ) e dF ( x ) e itx dF ( x ) f ( t ).
- itx
9
【系1】 (唯一性定理) 两分布函数恒等的充要条 件是它们各自的特征函数恒等。
即：分布函数由其特征函数唯一确定
23
三、性质与定理的应用 例1 若X~B(n1 , p)、Y~B( n2 , p)，且X与Y相互独立
性质3：设Y aX b, 这里a, b为常数，则fY (t ) ei bt f X (at ).
29
f ( t ) E (e ) e f ( x )dx
itX itx
这就是密度函数f(x)的傅里叶变换
5
常见分布的特征函数
【单点分布】
f ( t ) pk e
k 1
itxk
e
ita
【二项分布】
f (t ) C p q
k 0 k n k
n
nk
e
itk
C ( p e ) q
k 0 k n it k
n
n k
( pe q)
it
n
【泊松分布】
it k ( e ) itk eit (eit 1) f (t ) e e e e e k! k 0 k ! k 0
6
k
【均匀分布】X~U [a, b]
【注1】 e
itx
cos tx i sin tx （欧拉公式）
3
【注2】 f (t ) cos txdF ( x ) i sin txdF ( x )
【注3】
特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：
随机变量
• 例1：“抛硬币”实验 • 样本空间S={正面，反面}={e}
令X=X(e)=
1 0 当e=正面 当e=反面
• 则X=X(e)为一离散型随机变量。 • 例2：“掷骰子”实验 • 样本空间S={e}={1,2,3,4,5,6} • 令X=X(e)=e， • 则X=X(e)=e为一离散型随机变量。
• 5、多维随机变量 • 二维随机变量： • 定义：设随机实验E的样本空间为S={e}，X=X(e)和 Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，则称(X,Y)为二维 随机变量。
x1 <x 2
• 二维随机变量的分布函数（联合分布函数） • 定义：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实 数，x,y的二元函数 • F(x,y)=P(X<=x,Y<=y) • 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数（联合分 布函数）。其中P(X<=x,Y<=y)表示随机变量 X<=x,Y<=y的概率。 • 二维随机变量的联合概率密度函数 • 定义：若存在分布函数F(x,y)连续，且存在 二阶混合偏导数。
第1章 随机变量（复习）
复习一下随机变量，为后面学随机过程打 基础
§1.1 随机变量及其分布
• 1、随机变量的概念 定义：设E为一个随机实验，其样本空间为S={e}， 若对每一个 e S 都有一个实数X(e)与之对应，而 且对于任何实数x，X(e)<=x有确定的概率，则称 X(e)为随机变量。
xi x
F(x)= p (t ) 连续型：
x
F ( x)是p(x)的一个原函数, 则：
dF ( x) p ( x) dx F ( x2 ) F ( x1 ) p( x)dx
随机信号第3讲
2.1.2随机过程的分布律
一个随机过程是定义在一个时间区间上,而这个 时间区间上的任意一个时刻,随机过程表现为一个随 机变量,那么我们是否可以用随机变量的分布律来表 征随机过程的分布律呢? 下面我们既要用随机变量的分布律描述随机过程 的分布律,又要用随机变量的数字特征来描述随机过 程的一些数字特征.
FX ( x1 , t1 ) f X ( x1 , t1 ) x1
为随机过程的概率密度函数.
一维分布律只表征随机过程在固定时刻t上的统 计特性.若需了解随机过程更详细的情况，还要研 究随机过程的二维非步履乃至多维分布律。
二维分布律:随机过程X(t)在任意时刻t1,t2, 是一个二 维随机变量{X(t1),X(t2)},定义t=t1时X(t1) ≤x1和 t=t2时 X(t2) ≤x2的概率为随机过程X(t)的二维概率分布函 数 FX ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) P{X (t1 ) x1 , X (t 2 ) x2 }
x x
1 2
f X ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
这实际上是随机过程在t1,t2时刻的两个状态的二阶 混合原点距.
描述随机过程的相关性的另一个矩函数是二阶混 合中心矩,称为协方差函数.
C X (t1 , t 2 ) E[{X (t1 ) m X (t1 )}{X (t 2 ) m X (t 2 )}]
n n n
(7)随机信号的分布律: 二项式分布,泊松分布(离散变量) 均匀分布(※连续变量) (8)高斯分布(※正态分布): 概率密度函数 概率分布函数 概率积分函数(三条性质) 归一化高斯变量:数学期望为0,方差为1.
第二章 随机过程和随机序列
随机过程及应用：预备知识：特征函数
e
jtxφ(t
)dt
反演公式
注
因
φ(t)
e
jtx
f
(
x)dx
对于连续型随机变量X，概率密度与特征 函数互为富氏变换.
特征函数
推论3 随机变量X 是离散型的,其分布律为
pk PX k, k 0,1,2.
则 φ(t ) pke jkt , t R. k
1
pk 2π
π e j tkφ(t )dt
φ(t) e jt0(1 p) e jt1 p 1 p pe jt q pe jt , t R.
Ex.3 二项分布 φ(t) (q pe jt )n , t R
Ex.4 泊松分布 φ(t ) e(e jt 1) , t R
Hale Waihona Puke 特征函数Ex.5 指数分布
ex ,
f (x) 0,
e
jtxdF
(
x)
求随机变 量函数的 数学期望
注 1）t R, costx 和 sintx 均为有界函数, 故
E(e jtX ) 总存在.
2) E(e j是tX )实变量t 的函数.
特征函数
定义5.1 设X是定义在(Ω,F , P )上的随机变 量,称
φ(t ) E(e jtX )
e
jtxdF
π
反演公式
证 设 s 有N ,
πe jtsφ(t )dt π
π π
pk e jkte jtsdt
k
特征函数
π
π psdt
π π
pke
jt(k s)dt
2ps
0
k
ks
其中当k s时
π
e
jt(k s)dt
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Y [X ]
如果X与Y之间的关系是单调的，并且 存在反函数，即
X 1[Y ] h(Y ) 若反函数h(Y)的导数也存在，则可利 用X的概率密度求出Y的概率密度。
综合上述讨论，得到
fY ( y) fX (h( y)) • h'( y)
如果X和Y之间不是单调关系，即Y的取值 y可能对应X的两个或更多的值x1,x2,…, xn。
（3）中心极限定理
若有大量相互独立的随机变量的和
n
Y Xi
i 1
其够中小每时个，随则机在变一量定X条i对件总下的，变当量nY的影响足
时，随机变量Y是服从正态分布的，而与每 个随机变量的分布律无关。
结论：任何许多独立作用之和的物理过
程，都趋于高斯分布。
2）二维高斯分布
设X是均值为
mX
3.3.2 常见的连续分布 一. 均匀分布
设连续型随机变量X在有限区间[a,b] 内取值，且其概率密度为
fX
(x)
b
1
a
0
a xb else
则称X在区间[a,b]上服从均匀分布。
随机变量X的分布函数为
0
FX
(x)
x
b
1
a a
xa a xb
xb
mX
性质2：若Y=aX+b，a和b为常数，Y的 特征函数为
Y ( ) e jb X (a )
性质3：互相独立随机变量之和的特征
函数等于各随机变量特征函数之积，
即若
N
Y Xn
n 1
则
N
Y ( ) Xn ( )
n1
3.2.3 特征函数与矩函数的关系 矩函数与特征函数之间存在如下关系：
j
x
d
略有不同，指数项差一符号
3.3 常见分布
3.3.1 常见的离散型分布 一. 两点分布
如果随机变量X的分布为
X
a
b
P 1－p p
则称X服从两点分布，也称为贝努里 分布。当a、b分别为0、1时，称这种 分布为0－1分布。
二. 二项分布
设随机试验E只有两种可能的结果 A, A 且
P( A) p, P( A) 1 p q
E[
X
]
j
dX ( d
)
| 0
E[ X
n]
(
j)n
d nX ( ) d n
| 0
3.2.4 特征函数与概率密度的关系
由定义可知，特征函数与概率密度 函数有类似傅氏变换的关系
X ()
fX
(x)e jxdx
f X
(x)
1
2
X
(
)e
)
X
2
(
y
mY
)2
2 XY 1 rXY 2
设n维随机变量向量为Y，数学期望和 方差向量为m和s，它们具有如下形式：
Y1
Y=
Y2
Yn
m1
m=
m2
mn
s=
2 1
2 2
n
2
协方差矩阵C
n
R Y
Xi2
i 1
则R为广义瑞利分布
fR (r)
2(n2)
r n 1
2 n(n 2)
e
r2
2 2
r0
2) 莱斯分布
当高斯变量Xi(I=1,2,…,n)的数学期望 为 mi 不为零时，
n
Y
Xi2
i 1
是非中心 2 分布，而 R Y 则是
莱斯分布。
对于任意n值有
mY amX b Y 2 a2 X 2
（2）独立高斯变量之和仍为高斯变量。
推广到多个互相独立的高斯变量，其 和也是高斯分布。即
n
Y Xi
i 1
若Xi服从 N (mi ,i2 ) ，则其和的数学
期望和方差分别为
n
mY mi
i 1
n
Y 2 i2
i 1
若对于给定的正数 0 ，随机变量序 列Xn满足
lim
n
P{
Xn
X
}1
则称随机变量序列Xn依概率收敛于X
分布收敛（d收敛，弱收敛）
若Xn的概率分布函数在x的每一连续点 收敛于X的概率分布函数，则称随机变量序 列依分布收敛于随机变量X，记为
lim
n
F
( xn
)
F
(x)
四种收敛的关系
随机变量的抽样
均匀分布到其它分布 高斯分布，中心极限定理 利用计算机的产生伪随机数（不能产生连续点，
由位数决定）
加同余法
yn+1=yn+c（mod M） xn+1=yn+1/M
乘同余法
yn+1=ayn（mod M） xn+1=yn+1/M
M和初始y0为正整数，M越大越好
C11 C12
C = C21 C 22
Cn1 Cn 2
C1n
C2
n
Cnn
则n维联合概率密度函数为
f
( y)
1
(2 )n 2
C12
( ym)T C 1 ( ym)
e
2
三. 2 分布
1) 中心 2 分布
若n个互相独立的高斯变量X1, X2,…,
将E独立地重复n次，那么在n次试验中事件A 发生m次的概率为
Pn (m) Cnm pmqnm 0 m n
称为二项分布。
三.泊松分布 设随机变量X的可能取值为0,1,2,…,
且分布密度为
P{X k} k e
k!
k 0,1, 2,L , 0
则称X服从泊松分布。
第三讲 随机变量的函数与特征函数
3.1 随机变量的函数变换
在随机试验E中，设样本空间为S={ei}, 对每一个试验结果ei，对应于X的某个取值 X(ei)，相应地指定一个Y(ei)，且Y(ei)与 X(ei)有如下关系：
Y (ei ) g[X (ei )]
显然，Y的概率特性与X是有关系的。
3.1.1 一维变换
度为
，归一化后的概率密
fY ( y)
1
y2
e2
2
服从标准正态分布N(0,1)的高斯变量X， 其特征函数为
2
X () e 2
服从 N (mY , Y 2 ) 的高斯变量Y，其特 征函数为
( ) e jmY
Y
2
2
2
Y
高斯变量特点：
（1）已知X为高斯变量，则Y=aX+b （a,b为常数）也为高斯变量，且
jx
f
X
(
x)dx
随机变量X的第二特征函数定义为特 征函数的对数，即
X ( ) ln X ( )
对二维随机变量，可用类似的方法定 义特征函数
X (1,2) Nhomakorabea
fX
(x1, x2 )e j1x1 j2x2dx1dx2
f X (x1, x2 )
Xn的数学期望都为零，方差为1，它们
的平方和
n
Y X i2
i 1
的分布是具有n个自由度的 2 分布。
其概率密度为
fY ( y)
2n
1 2 (n 2)
n 1 y
y2 e 2
y0
( x) t x1etdt 0
当互相独立的高斯变量Xi的方差不是1， 而是 2 时，Y的概率密度为
X1 h1(Y1,Y2 ) X2 h2 (Y1,Y2 )
fY ( y1, y2 ) J f X ( x1, x2 )
h1
y1 h2
y1
h1
y2 h2
f X (h1( y1, y2 ),h2 ( y1, y2 ))
y2
3.2 随机变量的特征函数
3.2.1 特征函数的定义
fY
( y)
(2
1 2 )n 2 (n 2)
y e n 1 2
y
2
2
y0
性质：两个互相独立的具有 2 分布 的随机变量之和仍为 2 分布，若它 们的自由度分别为n1和n2，其和的自 由度为n= n1+n2。
2) 非中心 2 分布
若互相独立的高斯变量Xi(I=1,2,…,n) 的方差为 2 ，数学期望为 mi ，则
，方差为
2 X
的正
态随机变量，Y是均值为 mY ，方差为
Y 2 的正态随机变量，且X,Y的相关系
数为 rXY ，则二维随机变量(X,Y)为一
个二维正态随机变量，其联合概率密
度函数为
f (x, y)
1
e
Y
2
(
x
mX
)2
2
rXY XY ( xmX )( ymY 2 X 2Y 2 (1rXY2 )
fX (hn ( y)) • hn'( y)
3.1.2 二维变换
设二维随机变量(X1,X2)的联合概率密度 f(x1, x2)，另有二维随机变量(Y1,Y2)，且
Y1 1( X1, X 2 ) Y2 2 ( X1, X 2 )
求随机变量(Y1,Y2)的联合概率密度f(y1, y2)。